高等数学课后习题解答 上海交通大学出版社 第三版 习题10解答
第10章 曲线积分与曲面积分
1．计算下列对弧长的曲线积分：
(1) sin d C x y s ?，其中C 为3x t
y t =??=?，(0≤t ≤1)；
(2)
22
()d C
x y s +??，其中C 为圆周cos sin x a t y a t =??=?，(0≤t ≤2π)； (3) 2
d C
y s ?，其中C 为摆线(sin )(1cos )x a t t y a t =-??=-?
的第一拱(0≤t ≤2π)； (4) d C
y s ?
，其中C 为抛物线y 2=2x 上由点(0，0)到点(2，2)之间的一段弧； (5) ()d C
x y s +?
，其中C 为以O (0，0)，A (1，0)，B (0，1)为顶点的三角形的边界；
(6)
s ?
，其中C 为圆周x 2+y 2=ax (a >0)；
(7) d C
z s ?，其中C 为圆锥螺线cos sin x t t y t t z t =??
=??=?
从t =0到t =1的一段；
(8) 2
d C
x s ?，其中C
为圆周2224x y z z ?++=??=??
解答：
(1)
1
1
1
1
sin d 3sin sin cos cos )C
x y s t t tdt t t tdt ===-+?
??
(s i n 1c o s 1)
=-；
(2) 2223
()d 2C
x y s a a π
π+==???；
(3)
222
2
3500d (1cos )
16sin 2C
t
y s a t a dt π
π
=-=?
??
353
025632sin 15
a d a πθθ==?；
(4)
3
2
222
11
d (1)
1)3
3
C
y s y
y ==+=?
?； (5) C 可以分割为三条直线:0(01)OA y x =≤≤，
:0(01)O B x
y =≤≤，
:1(01)BA y x x =-≤≤
()d C
x y s +?
=()d OA
x y s +?+()d OB
x y s +?+()d AB
x y s +?
1
1
1
(1xdx ydy x x =+++-???
1=；
(6) C 为圆周x 2+y 2
=ax (a >0)；化为参数方程cos 22sin 2
a a x t a y t ?=+????=??，(0≤t ≤2π)，
2
22220
0cos
cos 22222
a a t t
s dt dt a dt a π
π
π====?
?
?
?；
(7)
1
d C
z s =?
?
3
1
21
2
011
(2)33
t ==+=?； (8) C
可以表示为参数方程[]cos sin ;0,2x y z θθθπ?=?
=∈??
=?
22
20
d cos C
x s π
θπ==?
?．
所属章节：第十章第一节 难度：一级
2．已知半圆形状铁丝cos sin x a t
y a t =??=?(0≤t ≤π)其上每一点的线密度等于该点的纵坐标，求此铁丝
的质量
解答：20
d sin 2C
m y s a a π
===??
所属章节：第十章第一节
难度：一级
3．已知螺旋线cos sin x a t y a t z bt =??
=??=?
(b >0)上各点的线密度等于该点到原点的距离的平方，试求t 从0到
2π一段弧的质量
解答：22
2
2
22223208
()d (ππ)3
C m x y z s a b t a b π
=++=+=+??
所属章节：第十章第一节 难度：二级
4．求摆线(sin )
(1cos )x a t t y a t =-??=-?的第一拱(0≤t ≤2π)关于Ox 轴的转动惯量(设其上各点的密度与该点
到x 轴的距离成正比，比例系数为k )
解答：7
223
3
2
d (1cos )
(1cos )C
I ky s k t t dt π
π
==-=-???
23
740
102464sin 235
t ka
dt ka π
==? 所属章节：第十章第一节 难度：二级
5．计算下列对坐标的曲线积分：
(1) d d C y x x y +?，其中C 为圆弧cos π
,(0)sin 4x a t t y a t =?≤≤?=?，依参数t 增加方向绕行；
(2) (2)d ()d C
a y x a y y ---?，其中C 为摆线(sin )
(1cos )
x a t t y a t =-??=-?自原点起的第一拱； (3) d C
x y ?
，其中C 为x +y =5上由点A (0，5)到点B (5，0)的一直线段；
(4)
C
xydx ?
?，其中C 为圆周222
()(0)x a y a a -+=>及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行) 解答：(1)
()2
2
440
d d sin (cos )cos sin cos 22
C
a y x x y a td a t a td a t a
tdt ππ+=+==?????
??
(2)
(2)d ()d C
a y x a y y ---?
220
[(2cos )(sin )(cos )((1cos ))a a a t d at a t a a a t d a t a π
π=-+---+-=?
(3)
5
25d (5)2
C
x y xd x =-=-
?
? (4) C 分成两部分在2122()(0):x a y a a C -+=>在x 轴的上部逆时针方向，2C 是从原点
指向(2,0)a ，则120
23
20
π02
a
C
C C a xydx xydx xydx x dx a =
+=+?=-?????蜒? 所属章节：第十章第二节 难度：一级
6．计算22()d d OA
x y x xy y -+?，其中O 为坐标原点，点A 的坐标为(1，1)：
(1) OA 为直线段y =x ； (2) OA 为抛物线段y =x 2； (3) OA 为y =0，x =1的折线段
解答：(1)1
2
2
201
()d d 3
OA x y x xy y x dx -+==??；
(2)()1222432
08()d d ()15OA x y x xy y x x dx x d x ??-+=--=?
???； (3) 设点B 的坐标为(1，0)，则OA 分为两段
11
2220
5
()d d 6
OA
OB
BA
x y x xy y x dx ydy -+=+=+=
?
?
?
??． 所属章节：第十章第二节 难度：一级
7．计算22d d AB
xy x x y +?，其中点A 、B 的坐标分别为A (0，0)，B (1，1)：
(1) AB 为直线段y =x ； (2) AB 为抛物线段y =x 2； (3) AB 为y =0，x =1的折线段 解答：(1) 1
2
220
2d d (2)1AB
xy x x y x dx x dx +=+=?
?；
(2)
1
23220
2d d [2()]1AB
xy x x y x dx x d x +=+=?
?；
(3) 设点C 的坐标为(1，0)，则AB 分为两段
11
2
2d d 011AB
AC
CB
xy x x y dx dy +=+=+=?
?
?
??．
所属章节：第十章第二节 难度：一级
8．计算下列曲线积分：
(1) 222()d 2d d L
y z x yz y x y -+-?，其中L 依参数增加方向绕行的曲线段23x t y t z t =??
=??=?
(0≤t ≤1)；
(2)
d d (1)d L
x x y y x y z +++-?
，L 为从点A (1，1，1)到点B (2，3，4)的一直线段；
解答：(1)1
22246640
1()d 2d d (43)35
L
y z x yz y x z t t t t dt -+-=-+-=
??； (2)此时L 写作参数方程12 1 (01)31x t y t t z t =+??
=+≤≤??=+?
1
d d (1)d (14293)13L
x x y y x y z t t t dt +++-=+++++=?
?．
所属章节：第十章第二节 难度：一级
9．一力场由沿横轴正方向的常力F 所构成。试求当一质量为m 的质点沿圆周x 2+y 2=a 2(a >0)按逆时针方向移过位于第一象限那一段圆弧时场力所作的功
解答：20
d cos L
x da t a π
==-??F F F ．
所属章节：第十章第二节 难度：一级
10．设有力场的力，其大小与作用点到Oz 轴的距离成反比(比例系数为k )，方向垂直且朝着
Oz 轴，试求当一质点沿圆周cos 1sin x t y z t =??
=??=?
从点(1，1，0)到点(0，1，1)时力所作的功．
注：本题已改动，否则点不在圆周上． 解答:
由题目可知F =
.当一质点沿圆周cos 1sin x t
y z t
=??
=??=?
从点(1，1，0)
到点(0，1，1)时，y 为常数，0dy =，此时力所作的功为：
020
2
1220
1cos 11cos ln(1)ln 21cos 122
k t kt x d t dt k t k t t π
==-=-+=++?
??． 所属章节：第十章第二节
难度：三级
11．把对坐标的曲线积分(,)d (,)d C
P x y x Q x y y +?化成对弧长的曲线积分，其中C 为：
(1) 在xOy 平面内沿直线y =x 从点(0，0)到点(1，1)； (2) 在xOy 平面内沿抛物线y =x 2从点(0，0)到点(1，1)；
解答：(1)(,)d (,)d C
C
P x y x Q x y y ds +=???F n ，n 为y =x
的单位法向量，,22
=n ，
(,)d (,)d (,)(,))ds C
C
C
P x y x Q x y y ds P x y Q x y +=?=+?
??
F n ； (2) n 为2y x =
的单位法向量，=n ，
(,)d (,)d C
C
C
P x y x Q x y y ds +=?=?
??
F n ．
所属章节：第十章第二节 难度：二级
12．设L 为曲线23x t y t z t =??
=??=?
上相应于t 从0到1的曲线段，试把对坐标的曲线积分d d d L
P x Q y R z
++?化成对弧长的曲线积分
解答：n 为曲线L 23x t y t z t =??
=??=?
的单位法向量，
2==
n L
d d d L
P x Q y R z ds S ++=?=?
??
F n ．
所属章节：第十章第二节 难度：二级
13．设闭曲线C 为正向圆周x 2+y 2=4，试就函数P =2x –y ，Q =x +3y 验证格林公式的正确性 解答：格林公式(,)d (,)d (
)C
D
Q P
P x y x Q x y y dxdy x y
??+=-?????， 由于220
(2(4cos 2sin )(2-)cos 2(2cos 6sin )sin 3)C
dx dy d y d x x y π
π
θθθθθθ+=-+-+???
20
2(210sin cos )8d π
θθθπ=-=?，
(
)28D
D
Q P
dxdy dxdy x y π??-==??????， 所以格林公式正确．
所属章节：第十章第三节 难度：一级
14．试利用格林公式计算下列曲线积分： (1) 2
31(2)3C
x y y dx x x dy ??-+- ???
??，其中C 以x =1、y =x 及y =2x 为边的三角形正向边界； (2)
22
C
xy dy x
ydx -??，C 为正向圆周x 2+y 2=a 2；
(注：本题已改动，否则结果为0)
(3) ()d ()d C x y x x y y +--?，C 为椭圆周22
221x y a b
+=，取正向
解答：(1)
2
31111(2)12113222C D
x y y dx x x dy dxdy ??-+-==??-??= ???????，D 为C 所围区域； (2) 222223
4
1()π2
a
C
D
xy dy x ydx x y dxdy d d a π
θρρ-=+==??????，D 为C 所围区域； (3)
()d ()d 22C
D
x y x x y y dxdy ab π+--=-=-????，D 为C 所围区域．
所属章节：第十章第三节
难度：一级
15．利用曲线积分，求下列曲线所围图形的面积：
(1) 星形线3
3
cos sin x a t
y a t
?=??=??； (2) 椭圆9x 2+16y 2=144；
(3) 圆x 2+y 2=2ax
解答：(1)2222333322
200
01133d d {cos sin sin cos }sin cos 2228
C x y y x a td t td t t tdt a ππππ-=-==?????； (2) 椭圆9x 2+16y 2=144化为参数方程4cos 3sin x t
y t
=??=?,
2220001
d d 6{cos sin sin cos }6122C x y y x td t td t dt ππππ-=-==?????
； (3) 圆x 2+y 2=2ax 化为参数方程cos sin x a t a
y a t
=+??=?,
2
2222000
1d d {(cos )sin sin (cos )}(1cos )222
C a a x y y x a t a d t a td a t a t dt a πππ
π-=+-+=+=????
?．
所属章节：第十章第三节
难度：二级
16．验证下列曲线积分在xOy 平面内与路径无关，并计算它们的积分值： (1) (2,2)
(1,1)()d ()d x y x x y y ++-?；
(2) (3,4)
2322(1,2)(6)d (63)d xy y x x y xy y -+-?
； (3)
(1,2)
423(0,0)
(21)d (4)d xy y x x xy y -++-?
解答：(1) 因为
1Q P
x y
??==??，则曲线积分在xOy 平面内与路径无关，此时可选取,[1,2],y x x =∈ (2,2)
2(1,1)
1
()d ()d 23x y x x y y xdx ++-==?
?；
(2) 因为
2123Q P
xy y x y
??==-??，则曲线积分在xOy 平面内与路径无关，此时可选取1,[1,2],
y x x =+∈ (3,4)
2
23222322(1,2)
1
(6)d (63)d {6(1)(1)6(1)3(1)}xy y x x y xy y x x x x x x x dx -+-=+-+++-+?
?
2
221
(1){63(1)(1)}236x x x x x dx =+++-+=?;
(3) 因为
324Q P
x y x y
??==-??，则曲线积分在xOy 平面内与路径无关，此时选取2,[0,1],y x x =∈ (1,2)
14232424(0,0)
(21)d (4)d {4161264}15xy y x x xy y x x x x dx -++-=-++-=-?
?．
所属章节：第十章第四节 难度：二级
17．利用格林公式计算下列曲线积分： (1)
(24)d (356)d C
x y x x y y -+++-?
，其中C 为三顶点分别为(0，0)，(3，0)，(3，2)三角形
正向边界；
(2) 32
(3e )d sin d 3x
C x x y x x y y y ??++- ????，其中C 是沿摆线sin 1cos x t t
y t =-??=-?
从点(0，0)到点(π，2)的
一段弧； (3)
(e sin )d (e cos )d x x C
y my x y m y -+-?
，其中C 为上半圆周22x y ax +=，取逆时针方向．
注：本小题已加了条件． 解答： (1)
D
(24)d (356)d 412C
x y x x y y dxdy -+++-==????，D 为C 所围区域；
(2) 32
(3e )d sin d 3x
C
x x y x x y y y ??++- ???
?
11
332
2(3e )d sin d (3e )d sin d 33x
x
C C C x x x y x x y y y x y x x y y y +????=++--++- ? ?????
???， 其中1:,[0,2]2
C x y y π
=
∈方向从点(π，2)到点(0，0)，由格林公式前一积分为零，故
原积分1
33322232
03(3e )d sin d {()sin }3
8244
x C
x x y x x y y y x e y y dy π
πππ??=-++-=++- ???
?? π32
3e (π1)3π2cos2sin 23
=-+++-；
(3)
(e sin )d (e cos )d x x C
y my x y m y -+-?
1
1
(e sin )d (e cos )d (e sin )d (e cos )d x x x x
C C C y my x y m y y my x y m y +=-+---+-???
其中1:0,[0,2]C y x a =∈方向从点[2,0]a 到点(0，0)，记D 为1C C +所围区域，则由格林公式
原积分220
108
a D
mdxdy dy m a π=+=???．
所属章节：第十章第三节 难度：二级
18．计算曲线积分
22d d C y x x y x y -++?：
(1) C 为任一按段光滑的、不包含原点的闭曲线；
(2) C 为椭圆2
214
x y +=，取正向；
解答：(1) 由于当220x y +≠时，
2222()()y x y x x y x y
?-?=??++，故由格林公式 22d d 00C D
y x x y
dxdy x y -+==+???? (2)
11122222222d d d d d d d d C C C C C y x x y
y x x y y x x y y x x y x y x y x y x y +-+-+-+-+=-=-++++????蜒蜒，其中222
1:C x y ε
+=取负向，由于1:cos ,sin C x t y t εε==，所以
22d d C y x x y
x y -++?2222
220
sin cos 2t t dt πεεπε
+==?． 所属章节：第十章第三节 难度：三级
19．验证下列P (x ，y )d x +Q (x ，y )d y 在全平面内是某个函数u (x ，y )的全微分，并求此原函数u (x ，y )：
(1) (2)d (2)d x y x x y y +++；
(2) 2222(2)d (2)d x xy y x x xy y y +-+--； (3) 43224(4)d (65)d x xy x x y y y +++；
注：本小题已作改动，原来题中4
3
2
2
4
(4)d (65)d x xy x x y y y ++-，与参考答案5
23525
x x y y C
+++不相符．也可以改动答案为5
23525
x x y y C +-+．
(4) e cos d e sin d x x y x y y -； 解答：(1)
2Q P
x y
??==?? , P (x ，y )d x +Q (x ，y )d y 在全平面内是u (x ，y )的全微分. 22
0(,)(2)2(),2()2,()22
x
x u y u x y x y dx xy y x y x y y C y ????'=+=++=+=+=+??
则221
(,)()22u x y x y xy C =+++
(2)
22Q P
x y x y
??==-?? , P (x ，y )d x +Q (x ，y )d y 在全平面内是u (x ，y )的全微分. 32
2
2
22220(,)(2)(),2()23x
x u
u x y x xy y dx x y xy y x xy y x xy y y
???'=+-=+-+=-+=--??，
3
()3
y y C ?=-+，则
331
(,)()()3
u x y x y xy x y C =-+-+；
(3)
212Q P
xy x y
??==?? , P (x ，y )d x +Q (x ，y )d y 在全平面内是u (x ，y )的全微分. 54
3
2
3
2222450(,)(4)2(),6()65,()5x
x u
u x y x xy dx x y y x y y x y y y y C y
????'=+=++=+=+=+??
则5
235(,)25
x u x y x y y C =+++；
(4)
sin x Q P
e y x y
??==-?? , P (x ，y )d x +Q (x ，y )d y 在全平面内是u (x ，y )的全微分.
(,)cos cos (),
sin ()sin ,()x
x x x x u
u x y e ydx e y y e y y e y y C y
????'==+=-+=-=?? 则(,)e cos x u x y y C =+．
所属章节：第十章第四节 难度：二级
20．设有力场F =(x +y 2)i +(2xy –8)j ，证明质点在此力场内移动时，场力所作的功与路径无关，只与起终点有关 解答：由于
2Q P
y x y
??==??，利用格林公式知场力所作的功与路径无关, 只与起终点有关． 所属章节：第十章第四节 难度：二级
21．计算下列曲面积分 (1) d S
xyz S ??，其中S 为平面12
z
x y ++
=在第一卦限的部分； (2) d S
x S ??，其中S 为球面2
222x
y z R ++=在第一卦限的部分；
(3)
S
S ，其中S 为单位球面2221x y z ++=；
(4)
()2
2d S
x
y S +??，其中S
为锥面z =及平面z =1所围区域的整个边界曲面；
解答：(1) 222,2,2,{(,)1,0,0}x y xy z x y z z D x y x y x y =--=-=-=+≤≥≥
110
1d 3(222)6(1)20
xy
x
S
D xyz S xy x y dxdy dx xy x y dy -=--=--=
??????
；
(2)
222{(,),0,0}x y xy z z z D x y x y R x y ==
=
=+≤≥≥，
24
20
d 4
xy
R
S
D R x S R d π
πθρ===
????
??
；
(3)22{(,)1}x y xy z z z D x y x y ==
=
=+≤
2
212
00
22
xy
S D
S dπθρπ
===
??；
(3)将S分为两个曲面
12
,
S S.
1
S
为锥面z=
22
{(,)1}
x y xy
z z z D x y x y
====+≤
(
)(
)
1
21
22223
00
d
2
xy
S D
x y S x y dxdy d d
π
θρρ
+=+==
???
2
S为平面z=1，22
1,0,0,{(,)1}
x y xy
z z z D x y x y
====+≤.
()()
1
21
22223
00
1
d
2
xy
S D
x y S x y dxdy d d
π
θρρπ
+=+==
??????
(
)
22
1
d1)π
2
S
x y S
+=
??．
所属章节：第十章第五节
难度：二级
22．设半径为R的球面上每点的密度等于该点到某一定直径的距离的平方，求此球面的质量解答：将直径设为Z轴, 球心为原点,
球的方程为z=，
x y
z z
==
球面的质量为()
22d
S
x y S
+
??，
(
)223
2
224
00
8
d22π
3
xy
R
S D
x y S R R d R
π
θρ
+===
????．
所属章节：第十章第五节
难度：二级
23
．求球面z=220
x y ax
+-=内部的面积
解答：
x y
z z z
===22
{(,)}
xy
D x y x y ax
=+≤
cos2
2
2
d(2)
xy
a
S D
S a d a
π
θ
π
θρπ
-
===-
??????．
所属章节：第十章第五节 难度：二级
24．求旋转抛物面221
()2
z x y =+被平面z =2所截部分的质心位置，假设其上各点的密度与该
点到z 轴的距离平方成正比．
解答：由旋转抛物面221
()2
z x y =+的对称性，质心位置在z 轴，
2222
221
()()2()xy
D S z S
D k x y k z x y dS
M z M k x y dS ++=
===+??????%， 其中22:{(,)4}xy D x y x y +≤． 所属章节：第十章第五节
难度：二级
25．计算下列曲面积分 (1) 2d d S
z x y ??，其中S 为平面1x y z ++=位于第一象限部分的上侧； (2) d d d d d d S
x y z y z x z x y ++??，其中S 为球面2
222x
y z R ++=的外侧；
(3)
3
2()d d 2d d d d S
x
yz y z x y z x z x y --+??，其中S 为柱面222x y R +=(0≤z ≤1)的外侧；
（此题的柱面是否封闭？若是，则答案有误，若不是，则题目中积分符号上的圆圈不对；以下按封闭解答） (4)
22
d d d d d d S
xz y z x y z x y z x y ++??
，其中S 为2222,1,0,0,0z x y x y x y z =++====在第一象限中所围立体的表面的外侧；
解答： (1)
1122
20
1d d (1)(1)12
xy
x
S
D z x y x y dxdy dx x y dy -=--=--=
??????
； (2)由S 的对称性可知，
d d d d d d 36S
S
D
x y z y z x z x y zdxdy ++==????乙
220
64d R πθπ==??
；
(3)
3
22()d d 2d d d d (1)S
x
yz y z x y z x z x y x dxdydz Ω
--+=+?????ò
21
224
20
π(cos 1)π4
R
d dr r rdz R R π
θθ=+=
+???；
(4)
2
1
2222
22
d d d d d d ()()8
r S
xz y z x y z x y z x y z x y dxdydz d dr z r dz π
π
θΩ
++=++=+=
??
??????ò．
所属章节：第十章第六节 难度：二级
26．利用高斯公式计算下列曲面积分 (1) 222
d d d d d d S
x y z y z x z x y ++??，其中S 是由x =0，y =0，z =0,1x y z ++=所围立体表面的外侧； (2) ()d d ()d d S x y z y z x y x y -+-??，其中S 为2
21x
y +=，z =0及z =3所围立体表面的外侧；
(3)
d d d d (1)d d S
x y z y z x x y z x y +++++??，其中S
为上半球面z =
(4)
22()d d ()d d 2d d S
x yz y z y zx z x z x y -+-+??，其中S
为锥面1z =被z =0所截部分的上侧．
注：(3)(4)两题积分符号上的圆圈已去掉，由于所涉曲面不封闭。 解答：
(1)2221
d d d d d d (222)64S x y z y z x z x y x y z dxdydz xdxdydz ΩΩ
++=++==????????；
(2) 2130009
()d d ()d d ()(sin )2S
x y z y z x y x y y z dxdydz d dr r z rdz πθθπΩ
-+-=-=-=-??
??????ò；
(3)
d d d d (1)d d S
x y z y z x x y z x y +++++??
1
1
d d d d (1)d d d d d d (1)d d S S S x y z y z x x y z x y x y z y z x x y z x y +=+++++-+++++????ò
3(1)xy
D dxdydz x y dxdy Ω
=+++?????322a a ππ=+，
其中1S 为平面2220,z x y a =+≤的下侧； (4)
2
2()d d ()d d 2d d S
x
yz y z y zx z x z x y -+-+??
1
1
2222
()d d ()d d 2d d ()d d ()d d 2d d S S S x yz y z y zx z x z x y x yz y z y zx z x z x y +=-+-+--+-+????ò
22(1)03
xy
D x y dxdydz dxdy π
Ω
=+++=
????? 其中1S 为平面220,1z x y =+≤下侧．
所属章节：第十章第六节 难度：二级
27．利用斯托克斯公式计算曲线积分22222(e )d (e )d (e )d x y z L
x y z x y z y yz z ++-++?，其中L 为
正向圆周222
0y z R x ?+=?=?
解答：
222
22222222222:0
(e
)d (e )d (e )d ()22x
y z L
y z R x x y z x y z y yz z y z dydz x y zdxdz x yz dxdy ?+=∑?=?++-++=
++-???
?
222
2
22
:()2
xy D y z R R y z dydz π+==
+=
??
．
所属章节：第十章第六节 难度：二级
28．求向量场A 穿出所给曲面的通量： (1) A =x 3i +y 3j +z 3k ，S 为x 2+y 2+z 2=a 2；
(2) A =2x i +y 2j +z 2k ，S 为柱面x 2+y 2=a 2，z =0，z =h 所围立体的全表面 解答：(1) 22
2
2
45
12(333)3sin π5
a
x y z dxdydz d d r dr a π
πθ??Ω
Φ=++==
??????； (2) 220
(222)(22sin 2)2π(1)a h
y z dxdydz d dr r z rdr h h a πθθΩ
Φ=++=++=+??????．
所属章节：第十章第七节 难度：二级
29．求下列向量场的散度div A ：
(1) A =x 3i +y 3j +z 3k 在点(1，0，–1)处的散度； (2) A =x 2y i +xyz j –yz 2k 在点(1，–1，1)处的散度； (3) A =x 2yz i +xy 2z j +xyz 2k 在任一点的散度； (4) A =x 2yz 3(xz i –y 2j +2x 2y k )在任一点的散度 解答：(1) 222333()
6M
M
div x A y z +=+=；
(2) 32()1M
M
xy xz divA
yz +-==；
(3) 2622xyz xyz xyz d x v z i A y ==++；
(4) 242234222222363(2)3x yz x y z x y di z x yz z yz x y vA =-+=-+． 所属章节：第十章第七节
30．求向量场A = –y i +x j +C k (C 为常数)沿下列闭曲线C 的环量Γ： (1) C ：圆周x 2+y 2=R 2，z =0的正向； (2) C ：圆周(x –2)2+y 2=R 2，z =0的正向
解答：(1) 2S
=22S ds dxdy R x y z y x C
π???
Γ?==???-??
??i
j k
n ,其中S 圆周x 2+y 2=R 2，z =0的平面； (2) 2S
=22S ds dxdy R x y z y
x
C
π???
Γ?==???-??
??i
j k
n , 其中S 圆周(x –2)2+y 2=R 2，z =0的平面． 所属章节：第十章第七节 难度：二级
31．求下列向量场A 的旋度rot A ： (1) A =y 2i +z 2j +x 2k ； (2) A =x 2i +y 2j +z 2k ； (3) A =x cos z i +y ln x j –z 2k ； (4) A =3xz 2i –yz j +(x +2z )k
解答：(1) 2
22
2 ()rot A x y z y x x y z z ???
=
=-+???+i
j k
i j k ； (2) 2
22 rot A x y z x y z ???
=
=???i j k 0 ； (3) 2 cos ln sin rot A x y z x z y x y
x z x z -???=?+=
??-i
j
j k k ；
(4) 2
( 3261)rot A x y z xz y x y x z z
z
???
=
=???-++-i
j k
i k ． 所属章节：第十章第七节
32．设r =x i +y j +z k ，r =|r |，f (r )为可微函数，试求： (1) div[f (r )r ]； (2) rot[f (r )r ]
解答：(1) 222
()()()[()]()()3()()()f r f r f r div f r x f r y f r z f r r r rf r f r
r '''=+++'+++=r ；
(2) [()]()()()rot f r x y z f r x
f r y
f r z
???
=
=???i
r j k
0． 所属章节：第十章第七节 难度：二级
高等数学求极限的常用方法附例题和详解
高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和 0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推 论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ） A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii)A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 （v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限)(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f
微积分课后题答案第九章习题详解
第9章 习题9-1 1． 判定下列级数的收敛性： (1) 11 5n n a ∞ =?∑（a ＞0）； (2) ∑∞ =-+1 )1(n n n ; (3) ∑∞ =+13 1 n n ; (4) ∑∞ =-+12)1(2n n n ; (5) ∑∞ =+11ln n n n ; (6) ∑∞ =-12)1(n n ; (7) ∑∞ =+11 n n n ; (8) 0(1)21n n n n ∞ =-?+∑． 解：（1）该级数为等比级数，公比为 1a ,且0a >,故当1 ||1a <,即1a >时，级数收敛，当1 | |1a ≥即01a <≤时，级数发散. （2） Q n S =+++L 1= lim n n S →∞ =∞ ∴ 1 n ∞ =∑发散. （3）113 n n ∞ =+∑是调和级数11n n ∞=∑去掉前3项得到的级数，而调和级数11 n n ∞ =∑发散，故原 级数 11 3 n n ∞ =+∑发散. （4）Q 1112(1)1(1)22 2n n n n n n n ∞ ∞-==?? +--=+ ???∑∑ 而11 12n n ∞ -=∑,1(1)2m n n ∞ =-∑是公比分别为1 2的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质
知111(1)2 2n n n n ∞ -=??-+ ???∑收敛，即原级数收敛. （5）Q ln ln ln(1)1 n n n n =-++ 于是(ln1ln 2)(ln 2ln 3)[ln ln(1)]n S n n =-+-+-+L ln1ln(1)ln(1)n n =-+=-+ 故lim n n S →∞ =-∞,所以级数 1 ln 1 n n n ∞ =+∑发散. （6）Q 2210,2n n S S +==- ∴ lim n n S →∞ 不存在，从而级数 1 (1) 2n n ∞ =-∑发散. （7）Q 1 lim lim 10n n n n U n →∞ →∞+==≠ ∴ 级数 1 1 n n n ∞ =+∑发散. （8）Q (1)(1)1 , lim 21212 n n n n n n U n n →∞--==++ ∴ lim 0n x U →∞≠，故级数1 (1)21n n n n ∞ =-+∑发散. 2． 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和： (1) ∑∞ =??? ??+13121n n n ； (2) ※ ∑∞ =++1)2)(1(1n n n n ; (3) ∑∞ =?1 2sin n n n π ; (4) 0πcos 2n n ∞ =∑． 解：Q （1）1111, 23n n n n ∞ ∞==∑∑都收敛，且其和分别为1和12，则1112 3n n n ∞ =?? + ???∑收敛，且其 和为1+ 12=3 2 . （2）Q 11121(1)(2)212n n n n n n ?? =-+ ?++++??
高等数学课后习题答案第六章 (1)
习题六 1. 指出下列各微分方程的阶数： (1)一阶 (2)二阶 (3)三阶 (4)一阶 2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解： 2(1)2,5xy y y x '==; 解：由25y x =得10y x '=代入方程得 故是方程的解. (2)0,3sin 4cos y y y x x ''+==-; 解：3cos 4sin ;3sin 4cos y x x y x x '''=+=-+ 代入方程得 3sin 4cos 3sin 4cos 0x x x x -++-=. 故是方程的解. 2(3)20,e x y y y y x '''-+== ; 解：2222e e (2)e ,(24)e x x x x y x x x x y x x '''=+=+=++ 代入方程得 2e 0x ≠. 故不是方程的解. 解：12122211221122e e ,e e x x x x y C C y C C λλλλλλλλ'''=+=+ 代入方程得 故是方程的解. 3. 在下列各题中，验证所给二元方程为所给微分方程的解： 证：方程22 x xy y C -+=两端对x 求导： 得 22x y y x y -'= - 代入微分方程，等式恒成立.故是微分方程的解. 证：方程ln()y xy =两端对x 求导： 11y y x y ''= + (*) 得 (1)y y x y '=-. (*)式两端对x 再求导得 将,y y '''代入到微分方程，等式恒成立，故是微分方程的解. 4. 从下列各题中的曲线族里，找出满足所给的初始条件的曲线： 解：当0x =时，y = 5.故C =-25 故所求曲线为：22 25y x -= 解： 2212(22)e x y C C C x '=++ 当x =0时，y =0故有1 0C =. 又当x =0时，1y '=.故有21C =. 故所求曲线为：2e x y x =. 5. 求下列各微分方程的通解： (1)ln 0xy y y '-=;
高等数学下册典型例题精选集合.doc
最新高等数学下册典型例题精选集合 第八章 多元函数及其微分法 最大者泄义域,并在平面上画出泄义域的图形。 A - 77 Z[ = J4x_），的定义域是y 2 < 4x z 2二丿 的定义域是 从而z = :）-的定义域是Z]=』4x-护 与z? = / 1 定义域 的公共部分，即 V4x >y>0 x 2 > y>0 例 2 设 z 二 x+y + /(x 一 y),当 y = 0吋 z = ,求 z. 解：代入y = 0时Z = F,得〒=兀+ /（兀），即/（兀）=亍一匕 所以 z = (x- y)2 +2y. 2 2 例3求lim —— >4o J ，+)" +1 _ [ lim(Jx 2 + y 2 +1 +1) = 2 XT O V 尸0 例1求函数z 解：此函数可以看成两个函数Z 严』4x-y2与Z2 =的乘积。 兀-">0,即兀2 >y >0o y>0 lim (* + )(J 兀2 + y2 + ] 4- 1) 解: XT O 原式=厂0 (J 对 + )厂 +1 -1)( J 兀~ + + ] + 1)
法2化为一元函数的极限计算。令衣+八］=(,则当 x —0, y —?0 吋，t ―> 1 o 『2 _1 原式=lim --------- = lim(r +1) = 2。 t —I / — ] i ―I 例 4 求 lim r 兀+厂 ，T() 丿 解:法1用夹逼准则。因为2 | xy \< x 2 2 + y 2,所以 2 9 0<
而lim凶=0,从而lim| |=0 XT O 2 XT O厂 + \厂 〉?T O 〉?T O兀十〉 于是lim「1=0 牙-叮兀.+ y 尸0 丿 法2利用无穷小与有界函数的乘积 是无穷小的性质。 因为2|xy|< x2 + y2所以—^― Q +y =lim( AT O 〉?T O 尢y ?x) = 0 例5研究lim^- :护+y 解：取路径y二二一x + kxSke R± ,则lim 小 = [由k是任意非零 F *+y k yTO 丿 的常数，表明原极限不存在。a, 又limx = 0 XT O 〉T() 所以
郑州大学高等数学下课后习题答案解析
习题7.7 3.指出下列方程所表示的曲线. （1）???==++;3, 25222x z y x （2）???==++;1,3694222y z y x （3）???-==+-;3, 254222x z y x （4）???==+-+.4,08422y x z y 【解】 （1）表示平面3=x 上的圆周曲线1622=+z y ； （2）表示平面1=y 上的椭圆19 32322 2=+z x ； （3）表示平面3-=x 上的双曲线14 162 2=-y z ； （4）表示平面4=y 上的抛物线642-=x z . 4.求() () ?????=++=++Γ2, 21, :2 22 2 222Rz z y x R z y x 在三个坐标面上的投影曲线. 【解】 （一）（1）、（2）联立消去z 得 2224 3R y x = + 所以，Γ在xoy 面上的投影曲线为 ?????==+.0, 4 322 2z R y x （二）（1）、（2）联立消去y 得 R z 2 1 = 所以，Γ在zox 面上的投影曲线为 .23.0,21R x y R z ≤ ?? ? ??==
（三）（1）、（2）联立消去x 得 R z 21 = 所以，Γ在yoz 面上的投影曲线为 .23.0, 21R y x R z ≤ ????? == 6.求由球面224y x z --= ①和锥面() 223y x z += ②所围成的立体在xoy 面上的投影区域. 【解】联立①、②消去z 得 122=+y x 故Γ在xoy 面上的投影曲线为 ? ??==+.0, 122z y x 所以，球面和锥面所围成的立体在xoy 面上的投影区域为(){}1|,22≤+=y x y x D . 习题7.8 2.设空间曲线C 的向量函数为(){} t t t t t r 62,34,122--+=，R t ∈.求曲线C 在与 20=t 相应的点处的单位切向量. 【解】因(){}64,4,2-=t t t r ，故C 相应20=t 的点处的切向量为 (){}2,4,42='r . C 相应20=t 的点处的单位切向量为 (){}.31,32,322,4,4612? ?????±=± =' 3.求曲线32,,:t z t y t x ===Γ在点)1,1,1(0M 处的切线方程和法平面方程. 【解】0M 对应参数1=t .Γ在0M 点处的切线方向为
高等数学课后习题及解答
高等数学课后习题及解答 1. 设u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用a，b，c 表示2u-3v. 解2u-3v=2（a-b+2c）-3（-a+3b-c） =5a-11b+7c. 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平 行四边形. 证如图8-1 ，设四边形ABCD中AC 与BD 交于M ，已知AM = MC ，DM 故 MB . AB AM MB MC DM DC . 即AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形ABCD是平行四边形. 3. 把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各 分点与点 A 连接.试以AB=c, BC=a 表向量 证如图8-2 ，根据题意知 1 D 1 A, 1 D 2 A, D 3 A, D A. 4 1 D3 D4 BD1 1 a, 5 a, D1D2 a, 5 5 1 D 2 D 3 a, 5 故D1 A=- （AB BD1）=- a- c 5
D 2 A =- （ AB D A =- （ AB BD 2 BD ）=- ）=- 2 a- c 5 3 a- c 3 =- （ AB 3 BD 4 ）=- 5 4a- c. 5 4. 已知两点 M 1（0，1，2）和 M 2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示 向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 . 解 M 1M 2 =（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） . -2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）. 5. 求平行于向量 a =（6， 7， -6）的单位向量 . a 解 向量 a 的单位向量 为 ，故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 = （ 6，7， -6）= 6 , 7 , 6 ， a 11 11 11 11 其 中 a 6 2 72 ( 6)2 11. 6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （ 2， 3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3， 1）. 解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点在第三卦限 . 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （ 3， 4， 0）， B （ 0， 4，3）， C （ 3，0，0）， D （ 0， D A 4
高等数学第六版(同济大学)上册课后习题答案解析
高等数学第六版上册课后习题答案及解析 第一章 习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A \B 及A \(A \B )的表达式. 解 A ?B =(-∞, 3)?(5, +∞), A ? B =[-10, -5), A \ B =(-∞, -10)?(5, +∞), A \(A \B )=[-10, -5). 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B )C =A C ?B C . 证明 因为 x ∈(A ?B )C ?x ?A ?B ? x ?A 或x ?B ? x ∈A C 或x ∈B C ? x ∈A C ?B C , 所以 (A ?B )C =A C ?B C . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f (A ?B )=f (A )?f (B ); (2)f (A ?B )?f (A )?f (B ). 证明 因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B ) ? y ∈f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )=f (A )?f (B ). (2)因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )? y ∈ f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )?f (A )?f (B ). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g =ο, Y I g f =ο, 其中I X 、 I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中
高数典型例题解析
第一章函数及其图形 例1：（）. A. {x | x>3} B. {x | x<-2} C. {x |-2< x ≤1} D. {x | x≤1} 注意，单选题的解答，有其技巧和方法，可参考本课件“应试指南”中的文章《高等数学（一）单项选择题的解题策略与技巧》，这里为说明解题相关的知识点，都采用直接法。 例2：函数的定义域为（）. 解：由于对数函数lnx的定义域为x>0，同时由分母不能为零知lnx≠0，即x≠1。由根式内要非负可知即要有x>0、x≠1与同时成立，从而其定义域为，即应选C。 例3：下列各组函数中，表示相同函数的是（） 解：A中的两个函数是不同的，因为两函数的对应关系不同，当|x|>1时，两函数取得不同的值。 B中的函数是相同的。因为对一切实数x都成立，故应选B。 C中的两个函数是不同的。因为的定义域为x≠-1，而y=x的定义域为（-∞，+∞）。 D中的两个函数也是不同的，因为它们的定义域依次为（-∞，0）∪（0，+∞）和（0，+∞）。例4：设
解：在令t=cosx-1，得 又因为-1≤cosx≤1，所以有-2≤cosx-1≤0，即-2≤t≤0，从而有 。 5： 例 f(2)没有定义。 注意，求分段函数的函数值，要把自变量代到相应区间的表达式中。 例6：函数是（）。 A．偶函数 B．有界函数 C．单调函数 D ．周期函数 解：由于，可知函数为一个奇函数而不是偶函数，即（A）不正确。 由函数在x=0，1，2点处的值分别为0，1，4/5，可知函数也不是单调函数；该函数显然也不是一个周期函数，因此，只能考虑该函数为有界函数。 事实上，对任意的x，由，可得，从而有。可见，对于任意的x，有 。 因此，所给函数是有界的，即应选择B。 例7：若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)是（）。 A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数Ｄ．奇偶性不确定
中国人民大学出版社第四版高等数学一第6章课后习题详解
高等数学一第6章课后习题详解 课后习题全解 习题6-2 ★ 1．求由曲线 x y =与直线 x y =所围图形的面积。 知识点：平面图形的面积 思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1 ∵所围区域D 表达为X-型：?? ?<<< ∵所围区域D 表达为X-型：?????<<< <1 sin 2 0y x x π， （或D 表达为Y-型：???<<< ∴所围区域D 表达为Y-型：?? ?-<<<<-2 2 422y x y y ， ∴23 16 )32 4()4(2 2 32 222= -=--=- - ? y y dy y y S D （由于图形关于X 轴对称，所以也可以解为： 2316 )324(2)4(22 32 22=-=--=? y y dy y y S D ） ★★4．求由曲线 2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积 知识点：平面图形面积 思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-4 ∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：? ??<<< 283 高等数学上（修订版）（复旦出版社） 习题六 无穷数级 答案详解 1．写出下列级数的一般项： (1)111135 7 ++++ ； (2)2 2242462468x x x x x ++++?????? ； (3)3579 3579 a a a a -+-+ ； 解：(1)1 21 n U n =-； (2)()2 !! 2n n x U n = ； (3)() 21 1 121 n n n a U n ++=-+； 2．求下列级数的和： (1)()()() 11 11n x n x n x n ∞ =+-+++∑ ； (2) ( )1 221n n n n ∞ =+-++∑； (3)23 111 5 55+ ++ ； 解：(1)()()() ()()()()1 11111211n u x n x n x n x n x n x n x n = +-+++?? -= ?+-++++?? 284 从而()()()()()()() ()()()()()()()1111 1211212231111111211n S x x x x x x x x x n x n x n x n x x x n x n ?-+-= +++++++?? ++ - ?+-++++? ?? -= ?++++?? 因此() 1lim 21n n S x x →∞ =+，故级数的和为 () 121x x + (2)因为()()211n U n n n n =-+-++- 从而()()()() ()()()()3243322154432112112 1 12 21 n S n n n n n n n n =-+-----+-++---+-++-=+-++-=+-+++ 所以lim 12n n S →∞ =-，即级数的和为12-． (3)因为2111 5551115511511145n n n n S =+ ++????-?? ???? ?=-????=-?? ????? 从而1lim 4 n n S →∞ =，即级数的和为14 ． 3．判定下列级数的敛散性： (1) ( )1 1n n n ∞ =+-∑； (2) ()() 11111661111165451n n +++++???-+ ； (3) ()23133222213333 n n n --+-++- ； 习题6?2 1? 求图6?21 中各画斜线部分的面积? (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 6 1]2132[)(10 22310=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 1|)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A ? 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1? e ]? 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e ? (3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?3? 1]? 所求的面积为 3 32]2)3[(1 32=--=?-dx x x A ? (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?1? 3]? 所求的面积为 3 32 |)313()32(31323 12= -+=-+=--?x x x dx x x A ? 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积? (1) 22 1x y =与x 2?y 2?8(两部分都要计算)? 解? 3 423 8cos 16402+=-=?ππ tdt ? 3 46)22(122-=-=ππS A ? (2)x y 1=与直线y ?x 及x ?2? 解? 所求的面积为 ?-=-= 2 12ln 2 3)1(dx x x A ? (3) y ?e x ? y ?e ?x 与直线x ?1? 解? 所求的面积为 ?-+=-=-1 021)(e e dx e e A x x ? (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解 所求的面积为 3? 求抛物线y ??x 2?4x ?3及其在点(0? ?3)和(3? 0)处的切线所围成的图形的面积? 解? y ???2 x ?4? 高等数学课后习题及解答 1. 设 u =a -b +2c ，v =-a +3b -c .试用 a ，b ， c 表示 2u -3v . 解 2u -3v =2（ a -b +2c ） -3（-a +3b -c ） =5a -11b +7c . 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平 行四边形. 证 如图 8-1 ， 设四边 形 ABCD 中 AC 与 BD 交于 M ， 已知 AM = MC ， DM 故 MB . AB AM MB MC DM DC . 即 AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形 ABCD 是平行四边形. 3. 把△ ABC 的 BC 边五等分，设分点依次为 D 1，D 2，D 3，D 4，再把各 分点与点 A 连接.试以 AB =c, BC =a 表向 量 证 如图 8-2 ，根据题意知 1 D 1 A , 1 D 2 A , D 3 A , D A . 4 1 D 3 D 4 BD 1 1 a, 5 a, D 1D 2 a, 5 5 1 D 2D 3 a, 5 故 D 1 A =- （ AB BD 1 ）=- a- c 5 D 2 A =- （ AB D A =- （ AB BD 2 BD ）=- ）=- 2 a- c 5 3 a- c 3 =- （ AB 3 BD 4 ）=- 5 4a- c. 5 4. 已知两点 M 1（0，1，2）和 M 2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示 向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 . 解 M 1M 2 =（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） . -2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）. 5. 求平行于向量 a =（6， 7， -6）的单位向量 . a 解 向量 a 的单位向量 为 ，故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 = （ 6，7， -6） = 6 , 7 , 6 ， a 11 11 11 11 其 中 a 6 2 7 2 ( 6) 2 11. 6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （ 2， 3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3， 1）. 解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点在第三卦限 . 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （ 3， 4， 0）， B （ 0， 4，3）， C （ 3，0，0）， D （ 0， D A 4 高等数学试题库 第二章 导数和微分 一．判断题 2-1-1 设物体的运动方程为S=S(t),则该物体在时刻t 0的瞬时速度 v=lim lim ()()??????t t s t s t t s t t →→=+-0000与 ?t 有关. ( ) 2-1-2 连续函数在连续点都有切线. ( ) 2-1-3 函数y=|x|在x=0处的导数为0. ( ) 2-1-4 可导的偶函数的导数为非奇非偶函数. ( ) 2-1-5 函数f(x)在点x 0处的导数f '(x 0)=∞ ,说明函数f(x)的曲线在x 0点处的切 线与x 轴垂直. ( ) 2-1-6 周期函数的导数仍是周期函数. ( ) 2-1-7 函数f(x)在点x 0处可导,则该函数在x 0点的微分一定存在. ( ) 2-1-8 若对任意x ∈(a,b),都有f '(x)=0,则在(a,b)内f(x)恒为常数. ( ) 2-1-9 设f(x)=lnx.因为f(e)=1,所以f '(e)=0. ( ) 2-1-10(ln )ln (ln )'ln x x x x x x x x x 2224 3 21 '=-=- ( ) 2-1-11 已知y= 3x 3 +3x 2 +x+1,求x=2时的二阶导数: y '=9x 2 +6x+1 , y '|x=2=49 所以 y"=(y ')'=(49)'=0. ( ) 二．填空题 2-2-1 若函数y=lnx 的x 从1变到100,则自变量x 的增量 ?x=_______,函数增量 ?y=________. 2-2-2 设物体运动方程为s(t)=at 2 +bt+c,(a,b,c 为常数且a 不为0),当t=-b/2a 时, 物体的速度为____________,加速度为________________. 2-2-3 反函数的导数,等于原来函数___________. 2-2-4 若曲线方程为y=f(x),并且该曲线在p(x 0,y 0)有切线,则该曲线在 p(x 0,y 0) 点的切线方程为____________. 2-2-5 若 lim ()() x a f x f a x a →-- 存在,则lim ()x a f x →=______________. 2-2-6 若y=f(x)在点x 0处的导数f '(x)=0,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 __________的切线.若f '(x)= ∞ ,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 _____________的切线. 2-2-7 曲线y=f(x)由方程y=x+lny 所确定,则在任意点(x,y)的切线斜率为 ___________在点(e-1,e)处的切线方程为_____________. 2-2-8 函数 微积分课后题答案习题 详解 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 第二章 习题2-1 1. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞ x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞ x n +k =a . 证：由lim n n x a →∞ =，知0ε?>，1N ?，当1n N >时，有 取1N N k =-，有0ε?>，N ?，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞ =. 2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞ x n =a ,则lim n →∞ ∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明 上述结论反之不成立. 证： 而 n n x a x a -≤- 于是0ε?>，,使当时，有N n N ?> n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-< 由数列极限的定义得 lim n n x a →∞ = 考察数列 (1)n n x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞ =， 所以前面所证结论反之不成立。 3. 利用夹逼定理证明： (1) lim n →∞ 2 22111(1) (2)n n n ??+++ ?+?? =0； (2) lim n →∞2!n n =0. 证：（1）因为 222 222111 112(1)(2)n n n n n n n n n n ++≤+++ ≤≤=+ 而且 21lim 0n n →∞=， 2lim 0n n →∞=， 所以由夹逼定理，得 22211 1lim 0(1)(2)n n n n →∞?? +++ = ?+? ? . （2）因为22222240!123 1n n n n n < =<-，而且4 lim 0n n →∞=， 大学数学A （1）课后复习题 第一章 一、选择题 1.下列各组函数中相等的是. …….. ……..…………………………………………………………………………………….（ ） A .2 ln )(,ln 2)(x x g x x f == B .0 )(,1)(x x g x f == C .1)(,11)(2-=-?+= x x g x x x f D .2)(|,|)(x x g x x f == 2.下列函数中为奇函数的是. ……. …….. …………………………………………………………………………………….（ ）. A .)1ln()(2++=x x x f B .| |)(x e x f = C .x x f cos )(= D .1 sin )1()(2--= x x x x f 3.极限??? ? ?+++∞→22221lim n n n n n 的值为………………………………………………………………………..…….（ ） A ．0 B ．1 C ．2 1 D ．∞ 4.极限x x x x sin lim +∞→的值为.. …….. ……..……………………………………………………………………………...…….（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．∞ 5.当0→x 时，下列各项中与 2 3 x 为等价无穷小的是…………………………………………………….（ ） A ．)1(3-x e x B ．x cos 1- C ．x x sin tan - D ．)1ln(x + 6.设12)(-=x x f ，则当0→x 时，有…………………………………………………………………………..…….（ ）. A ．)(x f 与x 是等价无穷小 B ．)(x f 与x 同阶但非等价无穷小 C ．)(x f 是比x 高阶的无穷小 D ．)(x f 是比x 低阶的无穷小 7.函数)(x f 在点x 0可导是)(x f 在点x 0连续的____________条件. ………...………………....…..（ ） A .充分不必要 B .必要不充分 C .充要 D .既不充分也不必要 8.设函数?? ? ??<≤--<≤≤≤-=01,110, 21,2)(2x x x x x x x f ，则下述结论正确的是……………………………………….（ ） 习题6-2 1. 求图6-21 中各画斜线部分的面积: (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0, 1]. 所求的面积为 6 1 ]2132[)(1022310=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0, 1]. 所求的面积为 1|)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A , 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1, e ]. 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e . (3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-3, 1]. 所求的面积为 3 32 ]2)3[(1 32=--=?-dx x x A . (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-1, 3]. 所求的面积为 3 32 |)313()32(31323 12=-+=-+=--?x x x dx x x A . 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积: (1) 22 1 x y =与x 2+y 2=8(两部分都要计算); 解: 3 8 8282)218(220220*********--=--=--=????dx x dx x dx x dx x x A 34238cos 16402+=-=?ππ tdt . 3 4 6)22(122-=-=ππS A . (2)x y 1 =与直线y =x 及x =2; 解: 所求的面积为 ?-=-=2 12ln 2 3)1(dx x x A . (3) y =e x , y =e -x 与直线x =1; 解: 所求的面积为 ?-+=-=-1021 )(e e dx e e A x x . (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解 所求的面积为 a b e dy e A b a y b a y -===?ln ln ln ln 3. 求抛物线y =-x 2+4x -3及其在点(0, -3)和(3, 0)处的切线所围成的图形的面积. 解: 2014年山东省普通高等教育专升本考试 2014年山东专升本暑期精讲班核心讲义 高职高专类 高等数学 经典方法及典型例题归纳 —经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务 —理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其自 动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程 2013年5月17日星期五 曲天尧 编写 一、求极限的各种方法 1．约去零因子求极限 例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限 例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方； (2) ???? ???=<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1ΛΛ 3．分子(母)有理化求极限 例3：求极限)13(lim 22 +- ++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】 1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2+++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030 +-+-=+-+→→ 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．． 是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限 两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重要极限过 于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。 例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 + ，最后凑指数部分。 【解】22 21212112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→ 例6：(1)x x x ??? ??-+∞→211lim ；(2)已知82lim =?? ? ??-++∞ →x x a x a x ，求a 。 5．用等价无穷小量代换求极限 【说明】 (1)常见等价无穷小有： 习题十 1. 根据二重积分性质，比较 ln()d D x y σ+?? 与2[ln()]d D x y σ+??的大小，其中： （1）D 表示以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形； （2）D 表示矩形区域{(,)|35,02}x y x y ≤≤≤≤. 解：（1）区域D 如图10-1所示，由于区域D 夹在直线x +y =1与x +y =2之间，显然有 图10-1 12x y ≤+≤ < 从而 0ln()1x y ≤+< 故有 2 ln()[ln()]x y x y +≥+ 所以 2ln()d [ln()]d D D x y x y σσ+≥+?? ?? （2）区域D 如图10-2所示.显然，当(,)x y D ∈时，有3x y +≥. 图10-2 从而 ln(x +y )>1 故有 2 ln()[ln()]x y x y +<+ | 所以 2ln()d [ln()]d D D x y x y σσ +<+?? ?? 2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值： （1）4d ,{(,)|02,02}I xy D x y x y σ=+=≤≤≤≤??; （2）22sin sin d ,{(,)|0π,0π}D I x y D x y x y σ= =≤≤≤≤?? ; 解：（1）因为当(,)x y D ∈时，有02x ≤≤, 02y ≤≤ 因而 04xy ≤≤. 从而 2≤≤》 故 2d D D σσσ≤≤?? ?? ?? 即2d d D D σσσ≤≤???? 而 d D σσ=?? （σ为区域D 的面积） ，由σ=4 得 8σ≤ ≤?? (2) 因为2 2 0sin 1,0sin 1x y ≤≤≤≤，从而 220sin sin 1x y ≤≤ 故 220d sin sin d 1d D D D x y σσσ≤≤?? ???? 即220sin sin d d D D x y σσσ≤ ≤=???? ~ 而2 πσ= 所以2220sin sin d πD x y σ≤ ≤?? （3）因为当(,)x y D ∈时，2 2 04x y ≤+≤所以 22229494()925x y x y ≤++≤++≤ 故 229d (49)d 25d D D D x y σσσ≤++≤?? ???? 即 229(49)d 25D x y σσσ≤ ++≤?? 而 2 π24πσ=?= 所以 2236π(49)d 100πD x y σ≤ ++≤?? … 3. 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：高等数学上复旦第三版 课后习题答案
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