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2018高考天津文科数学带答案

2018高考天津文科数

学带答案

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

绝密★启用前

2018年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)

数学(文史类)

本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。

答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上,并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利!

第Ⅰ卷

注意事项:

1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

2.本卷共8小题,每小题5分,共40分。

参考公式:

·如果事件A,B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B).

·棱柱的体积公式V=Sh. 其中S表示棱柱的底面面积,h表示棱柱的高.

·棱锥的体积公式

1

3

V Sh

=,其中S表示棱锥的底面积,h表示棱锥的高.

一.选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)设集合{1,2,3,4}

A=,{1,0,2,3}

B=-,{|12}

C x x

=∈-≤<

R,则()

A B C =

(A){1,1}

-(B){0,1}

(C){1,0,1}

-(D){2,3,4}

(2)设变量,x y满足约束条件

5

24

1

x y

x y

x y

y

+≤

?

?-≤

?

?

-+≤

?

?≥

?

则目标函数35

z x y

=+的最大值为

(A )6 (B )19 (C )21

(D )45

(3)设x ∈R ,则“38x >”是“||2x >” 的 (A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件 (C )充要条件

(D )既不充分也不必

要条件

(4)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入N 的值为20,则输出T 的值为

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(A )1

(B )2

(C )3

(D )4

(5)已知13313

711

log ,(),log 245a b c ===,则,,a b c 的大小关系为

(A )a b c >> (B )b a c >> (C )c b a >>

(D )c a b >>

(6)将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π

个单位长度,所得图象对应的函

(A )在区间[,]44ππ

- 上单调递增

(B )在区间[,0]4π

上单调递减

(C )在区间[,]42ππ

上单调递增

(D )在区间[,]2

π

π 上单调递减

(7)已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>> 的离心率为2,过右焦点且垂直于x 轴

的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ,且126,d d += 则双曲线的方程为

(A )22

139x y -

=

(B )22

193x y -

= (C )22

1412

x y -

=

(D )22

1124

x y -

= (8)在如图的平面图形中,已知

1.2,120OM ON MON ==∠=,2,2,BM MA CN NA ==则·BC OM 的值为

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(A )15- (B )9- (C )6-

(D )0

第Ⅱ卷 注意事项:

1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2.本卷共12小题,共110分。

二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. (9)i 是虚数单位,复数

67i

12i

++=__________. (10)已知函数f (x )=e x ln x ,f ′(x )为f (x )的导函数,则f ′(1)的值为__________.

(11)如图,已知正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长为1,则四棱柱A 1–BB 1D 1D 的体积为__________.

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(12)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为__________.

(13)已知a ,b ∈R ,且a –3b +6=0,则2a +

1

8b

的最小值为__________. (14)已知a ∈R ,函数()22220220x x a x f x x x a x ?++-≤?=?-+->??

,,

,.若对任意x ∈[–3,+∞),

f (x )≤x 恒成立,则a 的取值范围是__________.

三.解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

(15)(本小题满分13分)

已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.

(Ⅰ)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人?

(Ⅱ)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.

(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;

(ii)设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M发生的概率.(16)(本小题满分13分)

在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b sin A=a cos(B–π

6 ).

(Ⅰ)求教B的大小;

(Ⅱ)设a=2,c=3,求b和sin(2A–B)的值.

(17)(本小题满分13分)

如图,在四面体ABCD中,△ABC是等边三角形,平面ABC⊥平面ABD,点M 为棱AB的中点,AB=2,AD=23,∠BAD=90°.

(Ⅰ)求证:AD⊥BC;

(Ⅱ)求异面直线BC与MD所成角的余弦值;

(Ⅲ)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值.

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(18)(本小题满分13分)

设{a n }是等差数列,其前n 项和为S n (n ∈N *);{b n }是等比数列,公比大于0,其前n 项和为T n (n ∈N *).已知b 1=1,b 3=b 2+2,b 4=a 3+a 5,b 5=a 4+2a 6. (Ⅰ)求S n 和T n ;

(Ⅱ)若S n +(T 1+T 2+…+T n )=a n +4b n ,求正整数n 的值. (19)(本小题满分14分)

设椭圆22

221(0)x y a b a b +=>> 的右顶点为A ,上顶点为B .已知椭圆的离心率为

3

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,||AB =(I )求椭圆的方程;

(II )设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于,P Q 两点,l 与直线AB 交于点M ,且点P ,M 均在第四象限.若BPM △的面积是BPQ △面积的2倍,求k 的值. (20)(本小题满分14分)

设函数123()=()()()f x x t x t x t ---,其中123,,t t t ∈R ,且123,,t t t 是公差为d 的等差数列.

(I )若20,1,t d == 求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程; (II )若3d =,求()f x 的极值;

(III )若曲线()y f x = 与直线 12()y x t =---有三个互异的公共点,求

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d 的取值范围. 参考答案

一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题5分,满分40分. (1)C (2)C

(3)A

(4)B

(5)D (6)A (7)A

(8)C

二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题5分,满分30分.

(9)4–i (10)e (11)1 3

(12)2220

x y x

+-=(13)1

4

(14)[1

8

,2]

三、解答题

(15)本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.满分13分.

(Ⅰ)解:由已知,甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学,因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人,2人,2人.

(Ⅱ)(i)解:从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{A,G},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{B,G},{C,D},{C,E},{C,F},{C,G},{D,E},{D,F},{D,G},{E,F},{E,G},{F,G},共21种.

(ii)解:由(Ⅰ),不妨设抽出的7名同学中,来自甲年级的是A,B,C,来自乙年级的是D,E,来自丙年级的是F,G,则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A,B},{A,C},{B,C},{D,E},{F,G},共5种.学@科网

所以,事件M发生的概率为P(M)=5

21

(16)本小题主要考查同角三角函数的基本关系,两角差的正弦与余弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力.满分13分.

(Ⅰ)解:在△ABC 中,由正弦定理

sin sin a b

A B

=

,可得sin sin b A a B =,又由πsin cos()6b A a B =-,得πsin cos()6a B a B =-,即π

sin cos()6B B =-,可得

tan 3B =.又因为(0π)B ∈,,可得B =

π

3

. (Ⅱ)解:在△ABC 中,由余弦定理及a =2,c =3,B =π3

,有

2222cos 7b a c ac B =+-=,故b =7.

由πsin cos()6

b A a B =-,可得3sin 7

A =

.因为a

A =

.因此

43sin 22sin cos A A A ==

,21

cos22cos 17

A A =-=. 所以,sin(2)sin 2cos cos2sin A

B A B A B -=-=

4311333

27?-?=.

(17)本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分13分.

(Ⅰ)由平面ABC ⊥平面ABD ,平面ABC ∩平面ABD =AB ,AD ⊥AB ,可得AD ⊥平面ABC ,故AD ⊥BC .

(Ⅱ)解:取棱AC 的中点N ,连接MN ,ND .又因为M 为棱AB 的中点,故MN ∥BC .所以∠DMN (或其补角)为异面直线BC 与MD 所成的角.

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在Rt △DAM 中,AM =1,故DM

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=AD ⊥平面ABC ,故AD ⊥AC .

在Rt △DAN 中,AN =1,故DN

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在等腰三角形DMN 中,MN =1

,可得12

cos MN

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DMN DM ∠==. 所以,异面直线BC 与MD

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(Ⅲ)解:连接CM .因为△ABC 为等边三角形,M 为边AB 的中点,故CM ⊥AB ,CM

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ABC ⊥平面ABD ,而CM ?平面ABC ,故CM ⊥平面AB D .所以,∠CDM 为直线CD 与平面ABD 所成的角. 在Rt △CAD 中,CD

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. 在Rt △CMD

中,sin CM CDM CD ∠=

=

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所以,直线CD 与平面ABD

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. (18)本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和公式等基础知识.考查数列求和的基本方法和运算求解能力.满分13分.

(I )解:设等比数列{}n b 的公比为q ,由b 1=1,b 3=b 2+2,可得220q q --=. 因为0q >,可得2q =,故1

2

n n b -=.所以122112

n

n n T -=

=--. 设等差数列{}n a 的公差为d .由435b a a =+,可得134a d +=.由5462b a a =+,可得131316,a d += 从而11,1a d ==,故n a n =,所以(1)

2

n n n S +=. (II )解:由(I ),知13112(222)2 2.n n n T T T n n ++++=++

+-=--

由12()4n n n n S T T T a b +++

+=+可得

1

1(1)2222

n n n n n n ++++--=+, 整理得2340,n n --= 解得1n =-(舍),或4n =.所以n 的值为4.学&科网

(19)本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.满分14分.

(I )解:设椭圆的焦距为2c ,由已知得225

9

c a =,又由222a b c =+,可得

23.a b =

由||AB ==,从而3,2a b ==.

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所以,椭圆的方程为22

194

x y +

=. (II )解:设点P 的坐标为11(,)x y ,点M 的坐标为22(,)x y ,由题意,

210x x >>,

点Q 的坐标为11(,).x y -- 由BPM △的面积是BPQ △面积的2倍,可得

||=2||PM PQ ,

从而21112[()]x x x x -=--,即215x x =.

易知直线AB 的方程为236x y +=,由方程组236,

,x y y kx +=??=? 消去y ,可得

2632x k =+.由方程组22

1,94,

x y y kx ?+

?=??=?消去y

,可得1x =.由215x x =

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,可得5(32)k =+,两边平方,整理得2182580k k ++=,解得8

9

k =-,或

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12k =-.

当89k =-时,290x =-<,不合题意,舍去;当12k =-时,212x =,112

5x =,

符合题意.

所以,k 的值为1

2

-.

(20)本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法,考查函数思想和分类讨论思想,考查综合分析问题和解决问题的能量,满分14分.

(Ⅰ)解:由已知,可得f (x )=x (x ?1)(x +1)=x 3?x ,故f ‵(x )=3x ?1,因此f (0)=0,

(0)f '=?1,又因为曲线y =f (x )在点(0, f (0))处的切线方程为y ?f (0)= (0)f '

(x ?0),故所求切线方程为x +y =0. (Ⅱ)解:由已知可得

f (x )=(x ?t 2+3)( x ?t 2) (x ?t 2?3)=( x ?t 2)3?9 ( x ?t 2)=x 3?3t 2x 2+(3t 22?9)x ? t 22+9t 2. 故()f x '= 3x 3?6t 2x +3t 22?9.令()f x '=0,解得x = t 2

,或x = t 2

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当x 变化时,f ‵(x ),f (x )的变化如下表:

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所以函数f (x )的极大值为f (

t 2)=(3?9×(

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;函数小值为f (t 23?9×?(III )解:曲线y =f (x )与直线y =?(x ?t 2)?x 的方程(x ?t 2+d ) (x ?t 2) (x ?t 2?d )+ (x ?t 2=0有三个互异的实数解,令u = x ?t 2,可得u 3+(1?d 2)u =0.

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设函数g (x )= x 3+(1?d 2)x y =f (x )与直线y =?(x ?t 2)?有三个互异的公共点等价于函数y =g (x )有三个零点.

()g'x =3 x 3+(1?d 2).

当d 2≤1时,()g'x ≥0,这时()g'x 在R 上单调递增,不合题意.

当d 2

>1时,()g'x =0,解得x 1=x 2.

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易得,g (x )在(?∞,x 1)上单调递增,在[x 1, x 2]上单调递减,在(x 2, +∞)上单调递增,

g (x )的极大值g (x 1)= g (

+

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g (x )的极小值g (x 2)= g

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)=+若g (x 2) ≥0,由g (x )的单调性可知函数y =f (x )至多有两个零点,不合题意.

若2()0,g x <即32

2

(1)27d ->,也就是||d >2||d x >,

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(||)||0,g d d =+> 且

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312||,(2||)6||2||0d x g d d d -<-=--+<-<,从而由()g x 的单调性,可知函数()y g x = 在区间1122(2||,),(,),(,||)d x x x x d -内各有一个零点,符合题意.

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所以d 的取值范围是(,(10,).-∞+∞

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