2014年全国一卷高考理科数学试卷与答案

2014 年普通高等学校招生全国统一考试全国课标I 理科数学

第Ⅰ卷（选择题共 60 分）

一．选择题：共12 小题，每小题 5 分，共60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1.已知集合

A={ x | x

2

2x30 }

，

B={

－≤＜＝，则A B

=

x | 2 x 2

A .[-2,-1]

B .[-1,2）

C .[-1,1]

D .[1,2）(1i )3

2.(1i )2 =

A .1 i

B .1 i

C . 1 i

D .1 i

3.设函数f (x)，g (x)的定义域都为R，且f ( x)时奇函数，g( x)是偶函数，则下列结论正确的是

A .f ( x) g (x)是偶函数

B .|f ( x)|g( x)是奇函数

C . f ( x) | g ( x) |是奇函数

D .|f (x) g (x)|是奇函数

4.已知F是双曲线C：x2my23m( m0) 的一个焦点，则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为A.3

B .3

C .3m

D .3m

5.4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日

都有同学参加公益活动的概率

A .1

B .

3

C .5

D .

7 8888

6.如图，圆 O 的半径为 1， A 是圆上的定点， P 是圆上的动点，角x 的始边

为射线 OA ，终边为射线 OP ，过点 P 作直线 OA 的垂线，垂足为M ，将点 M 到直线 OP 的距离表示为 x 的函数 f ( x)，则y=f ( x)在[0,]上的图像大致为

7.执行下图的程序框图，若输入的a,b, k 分别为1,2,3，则输出的M=

A.20

B .

16

C .7

D .

15 3528

8.设(0,)，(0,) ，且 tan 1 sin

，则

22cos

A .3

2B .2 C . 3

2

D .2

22

9.不等式组x y 1

的解集记为 D .有下面四个命题：

x 2 y4

p1：( x, y) D , x 2 y 2 ，p2：( x, y) D , x 2y 2,

P3：( x, y) D , x 2 y 3 ，p4：( x, y) D , x 2 y1.

其中真命题是

A .p2，p3

B .p1，p4

C .p1，p2

D .p1，p3

10.已知抛物线C：y28x 的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个焦点，若FP4FQ ，则| QF |=

7

B .5

C .3

D .2

A .

2

2

11.已知函数f ( x) = ax33x21，若 f ( x) 存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围为

A .（2，+∞）

B .（-∞，-2）

C .（1，+∞）

D .（-∞，-1）

12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为

A.6 2

B.4 2 C .6 D .4

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题 -第（ 21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题 -第（ 24）题为选考题，考生根据要求作答。

二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。

13.( x y)( x y)8的展开式中 x2 y2的系数为.(用数字填写答案 )

14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A ， B， C 三个城市时，

甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市；乙说：我没去过 C 城市；

丙说：我们三人去过同一个城市.由此可判断乙去过的城市为.

15.已知 A ，B ， C 是圆 O 上的三点，若AO 1

(AB AC) ，则 AB 与AC的夹角为. 2

16.已知 a,b,c 分别为 ABC 的三个内角 A, B,C 的对边，a=2，且(2 b)(sin A sinB)( c b)sin C ，则ABC 面积的最大值为.

三 .解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分12 分)已知数列 { a n } 的前n项和为S n，a1 =1 ，a n0 ， a n a n 1S n1，其中为常数.

（ I ）证明：a n 2a n；

（Ⅱ）是否存在，使得 { a n } 为等差数列？并说明理由 .

18. ( 本小题满分12 分 )从某企业的某种产品中抽取500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结

果得如下频率分布直方图：

（ I ）求这 500 件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差s2（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N( ,2)，其中近似为样本平均数x ， 2 近似为样本方差s2.

（ i ）利用该正态分布，求P(187.8 Z 212.2) ；

（ii ）某用户从该企业购买了100 件这种产品，学科网记X表示这 100 件产品中质量指标值为于区间

（187.8,212.2 ）的产品件数，利用（ i ）的结果，求EX .

附： 150 ≈12.2

若.Z～N( ,2) ，则P(Z) =0.6826，P(2Z 2 ) =0.9544.

19. (本小题满分 12分)如图三棱锥ABC A1B1C1中，

侧面 BB1C1C 为菱形， AB B1C .

（ I ）证明：AC AB1；

（Ⅱ）若 AC AB1， CBB160o，AB=Bc，

求二面角 A A1B1C1的余弦值.

20. ( 本小题满分12 分 ) 已知点A（ 0， -2），椭圆E：x

2

y21(a b 0) 的离心率为

3

，F是椭a2b22

圆的焦点，直线AF 的斜率为23

，O为坐标原点. 3

（I）求E的方程；

（Ⅱ）设过点 A 的直线l与 E 相交于P,Q两点，当OPQ 的面积最大时，求 l 的方程.

21.( 本小题满分12 分 )设函数f ( x0 ae x ln x be x 1，曲线 y f (x) 在点（1， f (1) ）处的切线为

x

y e( x 1) 2 .（ I）求a, b；（Ⅱ）证明： f ( x) 1 .

请考生从第（ 22）、（ 23）、（ 24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则

按所做的第一个题目计分，作答时请用

2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。

22.（本小题满分 10 分）选修 4— 1：几何证明选讲

如图，四边形 ABCD 是⊙ O 的内接四边形， AB 的延长线与 DC 的延长线交于点

E ，且 CB=CE

(Ⅰ )证明：∠ D= ∠E ；学科网

（Ⅱ）设 AD 不是⊙ O 的直径， AD 的中点为

M ，且 MB=MC ，证明：△ ADE 为等边三角形 .

23. （本小题满分 10 分）选修 4— 4：坐标系与参数方程

已知曲线 C ：

x

2

y 2

x 2 t

1，直线 l ： 2 （ t 为参数） .

4

9

y

2t

（ I ）写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程；

（Ⅱ）过曲线 C 上任一点 P 作与 l 夹角为 30o 的直线，交 l 于点 A ，

求 | PA |的最大值与最小值 .

24. （本小题满分 10 分）选修 4— 5：不等式选讲 若 a 0, b 0 ，且

1

1

ab .

a b

（ I ） 求 a 3 b 3 的最小值；

（Ⅱ）是否存在 a, b ，使得 2a 3b 6 ？并说明理由 .

2014 年普通高等学校招生全国统一考试全国课标I 答案1—5ADCAD6— 12 CDCBBCB13．－ 2014． A 15．90°16．2

17．【解析】： (Ⅰ )由题设a n a n 1S n1， a n1a

n

2

S n1 1，两式相减

a

n 1a

n 2

a

n a n 1，由于 a n0 ，所以 a n 2a n????6 分

（Ⅱ）由题设 a1=1， a1a2S11，可得 a21 1 ，由(Ⅰ)知 a31

假设 { a n } 为等差数列，则a1, a2, a3成等差数列，∴a1a32a2，解得 4 ；证明 4 时，{ a n}为等差数列：由 a n 2 a n 4 知

数列奇数项构成的数列a

2 m 1是首项为1，公差为 4 的等差数列a2 m 14m 3

令 n2m 1, 则 m n 1

2n 1 (n 2m 1)，∴ a n

2

数列偶数项构成的数列a

2 m是首项为3，公差为4 的等差数列a2m4m 1

令 n2m, 则 m n

，∴ a n2n 1 (n2m) 2

∴ a n2n 1（n N *），a n 1a n 2

因此，存在存在 4 ，使得{ a n}为等差数列.??? 12分18．【解析】： (Ⅰ ) 抽取产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差 s2分别为

x170 0.02 180 0.09 190 0.22 200 0.33

210 0.24 220 0.08 230 0.02

200

s2

2

0.0220

2

10

2

00.33

300.090.22

2

0.24

2

0.08

2

0.02

102030

150????6 分

（Ⅱ）（ⅰ）由 (Ⅰ )知Z～N (200,150)，从而

P(187.8 Z212.2)P(200 12.2 Z20012.2)0.6826??????9 分

（ⅱ）由（ⅰ）知，一件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的概率为 0.6826

依题意知 X B(100,0.6826) ，所以EX1000.6826 68.26??? 12 分

19．【解析】： (Ⅰ )连结BC1，交B1C于 O，连结 AO ．因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C BC1，且 O 为B1C与BC1的中点．又AB B1C ，所以 B1C平面 ABO ，故 B1C AO又 B1O CO ，故

AC AB1???6 分

（Ⅱ）因为 AC AB1且O为 B1C 的中点，所以又因为，所以 BOA BOC 故 OA⊥，从而 OA ， OB，OB1两两互相垂直．

以 O 为坐标原点， OB 的方向为 x 轴正方向， OB 为单位长，

建立如图所示空间直角坐标系O- xyz．因为CBB1600，

所以CBB1为等边三角形．又，则

A 0,0,3

， B1,0,0 ，B10,

3

,0 ，C0,

3

,0 333

AB10, 3 ,3， A1B1AB1,0,3, B1C1BC1,3 ,0

3333设 n x, y, z 是平面的法向量，则

n AB10

3 y 3 z0

，即33所以可取n1,3, 3

n A1B103

x z0

3

设 m 是平面的法向量，则m A1B10

，同理可取 m1,3,3 n B1C10

则 cos n, m

n m1，所以二面角 A A1 B1C1的余弦值为1 .

n m77

20．【解析】 (Ⅰ ) 设F c,0，由条件知2 2 3

3又

c3

c3

，得 c

a

，

2

所以， b2a2c2 1 ,故 E 的方程x

2y21.??? .6分4

（Ⅱ）依题意当l x 轴不合题意，故设直线l：y kx2，设 P x1, y1 , Q x2 , y2将 y kx2代入 x2y21，得14k 2x216kx120 ，

4

当

16(4k 2

3)0 ，即k

23

时， x1,2

8k24k 23

414k 2

从而 PQ k 2 1 x1x2 4 k 2 1 4k 23

14k2

又点 O 到直线 PQ 的距离

d

2 ，所以 OPQ 的面积 S OPQ

1

d PQ 4 1 4k 2 3 ，

k 2 1

2 4k 2

设

4k 2

3 t ，则 t 0 ， S OPQ

4t

4

4 1，

t

2

t 4

t

当且仅当 t

2 ， k

7 时等号成立，且满足

0 ，所以当

OPQ 的面积最大时，

l 的方程为：

2

y

7 x 2 或 y

7

x 2 .

??????????

12分

2

2

21．【解析】 (Ⅰ ) 函数 f (x) 的定义域为

0, ， f ( x)

x ln x

a x

b x 1 b x 1

ae

e

x 2 e

e

x

x

由题意可得 f (1) 2, f (1) e ，故 a

1,b 2

?????6 分

（Ⅱ）由 (Ⅰ)知，

f ( x) e x ln x 2e x 1 ，从而 f ( x) 1 等价于 x ln x

xe x

2

x

e

设函数

g( x) x ln x ，则 g (x) x

ln x ，所以当 x

0,

1

时， g ( x)

，当

e

x

1 , 时， g ( x)

，故 g (x)

在

0,

1

单调递减， 在

1 , 单调递增，

e

e

e

从而

g( x) 在 0, 的最小值为

1 1

?????8 分

g( )

.

e

e

设函数

h(x) xe x

2

，则 h (x)

e x 1 x ，所以当 x

0,1

时， h ( x) 0

，当

e

x

1, 时， h (x)

0 ，故 h( x) 在

0,1 单调递增，在

1,

单调递减，从

而

h( x) g( x) 在 0,

的最小值为

1 综上：当 x

0 时， g (x)

h( x) ，即

h(1).

e

f ( x) 1 .

?? 12分

22．【解析】 .(Ⅰ ) 由题设知得 A 、 B 、 C 、 D 四点共圆，所以 D= CBE ，由已知得，

CBE=

E ,

所以

D=

分

（Ⅱ）设 BCN 中点为，连接 MN, 则由

知 MN ⊥ 所以O 在MN 上，又 AD 不是 O 的

直径， M 为 AD 中点，故 OM ⊥ AD ， 即 MN ⊥ AD ，所以 AD//BC, 故 A=

CBE ， 又 CBE= E ，

故

A=

由 (Ⅰ )（ 1）知

D=

E ， 所以△ ADE 为等边三角形．

????? 10 分

23．【解析】 .(Ⅰ ) 曲线 C 的参数方程为：

x 2cos （ 为参数），

y 3sin

直线 l 的普通方程为： 2x y 6 0

???5 分

（Ⅱ）（2）在曲线 C 上任意取一点P (2cos ,3sin )到 l 的距离为

d

5

4cos3sin 6 ，5

则|PA|d25

5sin6，其中为锐角．且 tan4.

sin 30053当 sin 1 时，| PA |取得最大值，最大值为22 5；

5

当 sin1时， | PA |取得最小值，最小值为25

???? 10分.

5

24．【解析】 (Ⅰ )由ab 112

2，且当 a b2时等号成立，a b

，得 ab

ab

故 a3b3 3 a3b342 ，且当 a b 2 时等号成立，∴a3b3的最小值为4 2.?5分（Ⅱ）由 (Ⅰ)知：2a3b2 6 ab4 3 ，

由于 43＞ 6，从而不存在a,b，使得 2a3b 6.????? 10分