勾股定理中的数学思想方法

勾股定理中的数学思想方法

勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么；

逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足

，那么这个三角形是直角三角形．

一、数形结合思想

例1．如图1是一种“羊头”形图案，其做法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形

②和②′，…，然后依次类推，若正方形1的边长为64cm ，则正方形的边长为 cm ．

二、方程思想

例2．有一直立标杆，它的上部被风吹折，杆顶着地，离杆脚20cm ，修好后又被风吹杆，因新断处比前次低了5cm ，且标杆顶着地处比前次远10cm ，求标杆的高．

析解：依题意作图如2，数形结合求解，设第一次吹折后下段AB 的长为xcm ，上段BC 的长为ycm ，第二次折后下段AD 的长为（x-5）cm ，上段DE 的长为（y+5）cm ，依题意得

?????=--+=-22222230)5()5(20x y x y

只要求出x+y 的值即求出标杆的高而不必单独求x 与y 的值． ②-①得10（x+y ）=500 ∴x+y=50

故标杆的高为50cm

三、转化思想

例3．如图3所示，有一根高为2m 的木柱，它的底面周长为0.3m ，为了营造喜庆的气氛，老师要求小明将一根彩带从柱底向柱顶均匀地缠绕7圈，一直缠到起点的正上方为止，问：小明至少需要准备多长的一根彩带？ 分析与解：（1）将一张直角三角形的纸片在铅笔上缠绕七圈，将纸片展开，发现彩带的长相当于直角三角形的斜边长（如图4），可以利用勾股定理求出彩带的长．

∵BC 为木柱的高，∴2m BC =.

又∵木柱的底面周长为0.3m ，∴AC 的长为0.37 2.1m ?=． 在Rt ACB △中，由勾股定理，得2

2

2

AB AC BC =+，

因此彩带的长为 2.9m AB =．

（2）在木柱上均匀地缠绕7圈，相当于将木柱分成相等的七段，在每一段木柱上由底向正上方缠绕一根彩带，其侧面展开图是一个矩形，对角线的长为每段彩带的长（如图5）．

∵EF 为木柱的

1

7

，∴2m 7EF =.

又∵DE 为木柱展开后的底面周长，∴0.3m DF =. 在Rt DEF ?中，得2

2

2

DE DF EF =+，∴29

m 70

DE =

，因此，彩带的长为7 2.9m DE ?=

练习：如图，有一个圆柱形无盖小杯子，杯口向上，它的高为5cm ，底面半径为

π

10

cm ．一只蚂蚁沿着表面从点A 爬到点B ，它爬过的最短路程为 ______________．

解：把圆柱的侧面展开，蚂蚁爬行的最短路线是Rt △ABC 的斜边AB （如图9），其中BC =5，错误!未找到引用源。102

1

102=??

=ππAC ，根据勾股定理可得：55125==AB 错误!未找到引用源。，所以它爬过的最短路程为55cm ．

四、分类思想

【例4】如图4，一块长、宽、高分别是6cm 、4cm 、3cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A 处，沿着长方体的表面到长方体上和A 相对的顶点B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路线的长是（ ）．

A ．()

9723+cm B ．97cm C ．85cm D ．9 cm

解：求空间几何体表面的最短距离问题，通常可将几何体表面展开，把立体何图形转化为平面图形问题．由于蚂蚁爬行的路径不同，爬行的路径的长短不一样，对此要分三种情况：

⑴经过前面和右面或经过左面和后面，这时蚂蚁爬行的最短路线是长为4+6=10（cm ），宽为3cm 的

矩形的对角线（如图5中的AB ），其长为109cm ．

⑵经过前面和上面，这时蚂蚁爬行的最短路线是长为3+6=9（cm ），宽为3cm 的矩形的对角线（如图6中的AB ），其长为97cm ．

⑶经过左面和上面，这时蚂蚁爬行的最短路线是长为3+4=7（cm ），宽为6cm 的矩形的对角线（如图7中的AB ），其长为85cm ．

比较⑴、⑵、⑶的结果，这时蚂蚁爬行的最短路线是长为85cm ．答案：应选C ．

分析：这个问题是个空间问题，应该把他平面化．所以将长方体展开是解决本题的关键． 【例3】一个直角三角形的两边分别为3cm 和4cm ，则第三条边长为________.

解析：此题可以根据斜边进行分类讨论，若第三边是斜边，则两直角边分别为3cm 和4cm ，根据勾股定理易得第三条边长为5cm ；若第三边是直角边，则另一条直角边为3cm ，斜边为4cm ，根据勾股定理易得第三条边长为7cm ；综上所述，答案为5cm 或7cm ．

五、整体思想

例6：（课本题）已知a 、b 、c 分别是Rt △ABC 的两条直角边和斜边，且a+b=14，c=10，则S △ABC = 解、由a+b=14，两边平方得：a 2+2ab+b 2=196，

所以ab=()

219622b a +- a 2+b 2=c 2 所以，ab=21962c -=2101962-=48因此S △ABC =ab 2

1=48

例7：如图10，BC 长为3厘米，AB 长为4厘米，AF 长为13厘米．求正方形CDEF 的

面积．

图43

6

A

图5A 图6

A

图7A 图8图9C B

例5.在直线l上依次摆放着七个正方形（如图）.已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3,

正放置的四个正方形的面积依次是1

S、

2

S、3S、

4

S,求4

3

2

1

S

S

S

S+

+

+

思考与分析:本题不可能具体求出1

S、

2

S、3S、

4

S的值,但我们可以利用三角形全等和勾股定理分

别求出2

1

S

S+、3

2

S

S+

、4

3

S

S+

解:易证Rt△ABC ≌ Rt△CDE∴ AB = CD

∵

2

2

2CE

DE

CD=

+∴2

2

2CE

DE

AB=

+

∵3

2S

AB=

,4

2S

DE=,3

2=

CE∴3

4

3

=

+S

S

同理可得

1

2

1

=

+S

S∴4

3

1

4

3

2

1

=

+

=

+

+

+S

S

S

S

六、等积思想

赵爽在注解《周髀算经》时给出“弦图”，其中每一个直角三角形称为“朱实”，中

间的一个正方形称为“中黄实”，以弦为边的大正方形叫“弦实”，所以，如果以a、b、c

分别表示勾、股、弦之长．因此，大正方形的面积可以表示为2c，同时，大正方形的面

积也可以表示为四个“朱实”的面积加上中间的“中黄实”的面积，即可以表示为

【例2】在甲村至乙村的公路有一块山地正在开发，现有C处需要爆破，已知点C与公

路上的停靠站A的距离为300米，与公路上的另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，

如图2所示．为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是

否有危险，是否需要暂时封锁？

分析：如图3，本题关键是要求点C到直线AB的

距离CD，等积思想就是求CD的思维方法．

解：如图3，作CD⊥AB，垂足为点D，

在Rt△ABC中，AC=300，BC=400，根据勾股定理，

500

400

3002

2

2

2=

+

=

+

=BC

AC

AB

∵BC

AC

S

ABC

?

=

?2

1

= CD

AB?

2

1

,∴240

500

400

300

=

?

=

?

=

AB

BC

AC

CD

∵250

240<

=

CD∴爆破时，公路AB段是有危险，需要暂时封锁．

【例3】如图3，在Rt△ABC中，已知BC=40，AB边上的高CD=24，求AC和AB．

解：设AC=x，∵BC

AC

S?

=

?2

1

ABC

= CD

AB?

2

1

, BC=40，CD=24，

∴

24

40x

CD

BC

AC

AB=

?

=，在Rt△ABC中，

2

2

2

24

40

40?

?

?

?

?

=

+

x

x

解得：)

(

30

30舍

或-

=

=x

x，∴50

24

30

40

24

40

=

?

=

=

x

AB．因此，AC=30，AB=50．

七、构造思想

构造思想是把问题的结论与数学定理、推论的结论结合思考，构造或建立数学定理、推论所需要的条件，

从而解决问题的一种思维方法．勾股定理教学中所谓的构造思想是指通过平移、旋转、折叠、割补等方法

来构造直角三角形，再利用勾股定理或勾股定理的逆定理来解决问题的一种思维方法．

【例5】如图10所示，在等腰△ABC，BC=AC，∠ACB=90°，D、E为斜边

AB上的点，且∠DCE=45°，求证：2

2

2BE

AD

DE+

=．

分析：问题的结论是2

2

2BE

AD

DE+

=，这与勾股定理的结论有相关的联

系，但这三条线段在同一直线上，因此可以考虑通过旋转和折叠的方法来构造

直角三角形．

证法一：如图11，因为BC=AC，∠ACB=90°，所以把△ACD绕着点C逆

时针旋转90°得到△BCF，即△ACD≌△BCF．∴CD=CF,AD=BF,∠2=∠3，∠A=∠1，

图2

乙甲

图3

乙甲

b

a

(b-a)2

中黄实

朱实

图10

C

∵BC=AC，∠ACB=90°，∴∠A=∠5=∠1=45°，∴∠EBF=∠5+∠1=90°，

连接EF，在Rt△EBF中，根据勾股定理得：2

2

2EF

BF

BE=

+．

∵∠DCE=45°∴∠2+∠4=∠4+∠3=45°，即∠DCE=∠ECF,

又∵CE=CE, ∴△CDE≌△CFE，

∴DE=EF，∴2

2

2BE

AD

DE+

=．

【例6】如图13，△ABC中，D是AB的中点，AC=12，BC=5，CD=

2

13

．求

证：△ABC为直角三角形．

证明：如图14，因为AD=BD，所以把△ACD绕着点D逆时针旋转180°

得到△BED，且点C、D、E在同一直线上，即△ACD≌△BED．

∴CD=DE=

2

13

,AC=BE=12，∠A=∠2，∴CE=CD+DE=13，

∵25

52

2=

=

BC,144

122

2=

=

BE,169

132

2=

=

CE∴2

2

2CE

BE

BC=

+

∴△BEC是直角三角形，且∠CBE=∠1+∠2=90°，

∴∠A+∠1=90°，∴∠ACB=180°-(∠A+∠1)=90°, 即△ABC为直角三角形．

八.类比思想

类比思想是数学学习的一种重要发现式和创造性思维.它是通过两个已知事物在某些方面所具有的共同属性,去推测这两个事物在其他方面也有相同或类似的属性,从而大胆猜想得到结论.

例6.（1）如图①,分别以Rt△ABC的三边为边向外作三个正方形,其面积分别用1

S、

2

S、3S表示,请说明1

3

2

S

S

S=

+

（2）如图②,分别以Rt△ABC的三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用1

S、

2

S、3S表

示,1

3

2

S

S

S=

+

仍然成立吗?请说明理由.

（3）如图③,分别以Rt△ABC的三边为边向外作三个等边三角形,其面积分别用1

S、

2

S、3S表示,请你确定1

S、

2

S、3S之间的关系并加以证明.

思考与分析:图中有直角三角形,因此从我们熟悉的勾股定理入手,解决本题的关键是能正确地用直角

三角形的三边长分别表示出1

S、

2

S、3S.

反思:本题从特殊到一般,从已知到未知,运用类比方法进行探究,其关键就在于充分理解勾股定理和准确找到所作图形的面积与直角三角形三边长的关系.当然,等到学习了相似三角形的知识后,还可以继续探究:若分别以Rt△ABC的三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用1

S、

2

S、3S表示,为使

1

S、

2

S、3

S

之间仍具有以上相同的关系,则所作的三角形应满足什么条件?本题也可以将条件与结论对调即已知1

3

2

S

S

S=

+

,求证△ABC为直角三角形,让学生继续类比探究.

5

43

2

1

图11

C

F

2

1

图14

D

C

A B

E