(2)由(1)=21
)22(2+-a
所以,当a=
2
2
时,min
=2
2
, 即M ﹑N 分别移动到AC ﹑BF 的中点时,MN 的长最小,最小值为2
2。 (3)取MN 的中点P,连结AP ﹑BP,因为AM=AN,BM=BN,
所以AP ⊥MN,BP ⊥MN,∠APB 即为二面角α的平面角。
MN 的长最小时M(21,0,21),N(21,21
,0)
由中点坐标公式P(21,41,4
1
),又A (1,0,0),B (0,0,0)
∴ =(21,-41,-41),=(-21,-41,-41
)
∴ cos ∠
APB=
=
8
3
83161
16141?++-
=-31
∴ 面MNA 与面MNB 所成二面角α的大小为π-arccos 3
1
例2、(1991年全国高考题)如图,已知ABCD 就是边长为4的正方形,E ﹑F 分别就是AB ﹑AD 的中点,GC ⊥面ABCD,且GC=2,求点B 到平面EFG 的距离。
解:建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz,
由题意 C(0,0,0),G(0,0,2),E(2,4,0),F(4,2,0),B(0,4,0)
∴ =(2,4,-2),GF =(4,2,-2),BE =(2,0,0)
设平面EFG 的法向量为=(x,y,z),则
得{
02420224=-+=-+z y x z y x ,
令z=1,得x=31,y=31
,
即n =(31
,3
1
,1),
在方向上的射影的长度为
d =BE =
19
1
913
2
++11例3、 (2000年二省一市高考题) 在直三棱柱ABC- A 1B 1C 1中CA=CB=1, ∠BCA=900,棱A A 1=2,M ﹑N 分别就是A 1B 1﹑A 1 A 的中点。
(1)求的长; (2) 求cos ><11,CB BA ;(3)求证:A 1B ⊥C 1M
解:建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz,则C(0,0,0),B(0,1,0),
N(1,0,1),A 1(1,0,2),B 1(0,1,2),C 1(0,0,2),M (21,2
1
,2)
(1)=(1,-1,1), =3;
(2)1CB =(0,1,2),1BA =(1,-1,2) ∴ cos ><11,CB BA =
CB BA
=
5
641?+-=1030 (3)A 1=(-1, 1,-2),
C 1=(21,2
1
,0)
∴ B A 1?M C 1= -1×
21+1×2
1
+(-2)×0=0 ∴ A 1B ⊥C 1M
二﹑利用图形中的对称关系建系。
有些图形虽然没有互相垂直且相交于一点的三条直线,但就是图形中有一定的
对称关系(如:正三棱锥﹑正四棱锥﹑正六棱锥等),我们可以利用图形的对称性建立空间直角坐标系来解题。
例4、 (2001年二省一市高考题)如图,以底面边长为2a 的正四棱锥V-ABCD 底面中心O 为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz,其中Ox ∥BC,Oy ∥AB,E 为VC 的中点,高OV 为h 。
(1)求cos ><,; (2)记面BCV
β的平面角,求∠BED 。 解:(1)由题意B(a,a,0),
D(-a,-a,0),E(-2a ,2a ,2h
)
∴ =(-23a ,-2a ,2h
), =(2a ,23a ,2
h )
cos >
=
4
25425443432222222h
a h a h a a +?++
--
=2
222106h a h a ++- (2) ∵ V (0,0,h),C(-a,a,0)
∴VC =(-a,a,- h)
又 ∠BED 就是二面角α-VC-β的平面角 ∴ ⊥,⊥
即 BE ·VC =232a -22a -22h = a 2-22h =0, a 2=2
2
h 代入 cos ><,=2
222106h a h a ++-=-3
1
即∠BED=π-arccos 3
1
三﹑利用面面垂直的性质建系。
有些图形没有互相垂直且相交于一点的三条直线,但就是有两个互相垂直的平面,我们可以利用面面垂直的性质定理,作出互相垂直且相交于一点的三条直线,建立空间直角坐标系。
例5、 (2000年全国高考题) 如图,正三棱柱ABC- A 1B 1C 1的底面边长为a,侧棱长为2a 。
（1） 建立适当的坐标系,并写出A ﹑B ﹑A 1﹑C 1的坐标; （2） 求 AC 1与侧面AB B 1A 1所成的角。
解:(1)如图,以点A 为坐标原点,以AB 所在直线为y 轴,以AA 1所在直线为z 轴,以经过原点且与ABB 1A 1垂直的直线为x 轴,建立如图所示的空间直角坐标系。
由已知得:A(0,0,0),B(0,a,0),A 1(0,0,2a),C 1(-a 23,2
a
,2a ) (2)取A 1B 1的中点M,于就是有M(0,2a
,2a ),连AM ﹑M C 1有
1MC =(-a 2
3
,0,0),且=(0,a,0),1AA =(0,0,2a)
由于1MC ·=0,1MC ·1AA =0,故M C 1⊥平面AB B 1A 1 。 ∴ A C 1与AM 所成的角就就是AC 1与侧面AB B 1A 1所成的角。 ∵ 1AC =(-a 23,2a ,2a ),=(0,2
a
,2a ), ∴ 1AC ·=0+42a +2a 2
=4
92a ,
1
AC =22
224
43a a a ++=3a ,
AM =22
24
a a +=23a
∴ cos >a a 2
33492
?=23 ∴ 1AC 与AM 所成的角,即AC 1与侧面AB B 1A 1所成的角为30o 。
例6、 (2002年上海高考题) 如图,三棱柱OAB- O 1A 1B 1,平面OBB 1O 1⊥平面OAB,∠O 1O B=600, ∠AOB=900,且OB= OO 1=2,OA=3。
求:(1)二面角O 1–AB –O 的大小;
(2)异面直线A 1B 与A O 1所成角的大小。(结果用反三角函数值表示) 解:(1)如图,取OB 的中点D,连接O 1D,则O 1D ⊥OB
∵ 平面OBB 1O 1⊥平面OAB, ∴ O 1D ⊥面OAB,
过D 作AB 的垂线,垂足为E,连结O 1E,
∠DE O 1为二面角O 1–AB-O 的平面角。 由题设得O 1D=3 sin ∠OBA=
2
2OB OA OA +
=
7
21
∴ DE=DBsin ∠OBA=
7
21 ∵ 在Rt ΔO 1DE 中,tan ∠DE O 1=7
∴ ∠DE O 1=arctan 7,即二面角O 1–AB –O 的大小为arctan 7。
(2)以O 为原点,分别以OA ﹑OB 所在直线为x ﹑y 轴,过点O 且与平面AOB 垂直的直线为z 轴,建立空间直角坐标系。则O(0,0,0),O 1(0,1,3), A(3,0,0), A 1(3,1,3), B(0,2,0),
则B A 1=(-3,1,-3),A O 1=(3,-1,-3) cos 〈A
1,A O 1〉=
A O
B A =
7
7313+--=-
7
1 故异面直线A 1B 与A O 1所成角的大小arccos
7
1。 姓 名: 张传法
地 址: 山东临沂市罗庄区一中 (276017) E-mail : zhangchuanfa424@sohu 、com (注:本文发表于《数学通讯》2004年第6期)
