高考数学压轴题
1.椭圆的中心是原点O
,它的短轴长为(,)0F c (0>c )的准线l 与x 轴相交于点A ,2OF FA =,过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点。 (1)求椭圆的方程;
(2)若0OP OQ ?=u u u r u u u r
,求直线PQ 的方程;
(3)设AP AQ λ=u u u r u u u r
(1λ>),过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ,
证明FM FQ λ=-u u u u r u u u r
. (14分)
(1
)解:由题意,可设椭圆的方程为(22
212x y a a +=>。
由已知得,
().
222
22a c a c c c ?-=?
?=-??
解得2a c == 所以椭圆的方程为22162
x y +=
,离心率e =
。 (2)解:由(1)可得A (3,0)。 设直线PQ 的方程为()3y k x =-。由方程组,()22
162
3x y y k x ?+
=???=-?
得()222231182760k x k x k +-+-=,依题意()212230k ?=->
,得k <<
。 设(,),(,)1122P x y Q x y ,则21221831k x x k +=+, ① 2122276
31
k x x k -=+。 ②
由直线PQ 的方程得(),()112233y k x y k x =-=-。于是
()()[()]22121212123339y y k x x k x x x x =--=-++。 ③ ∵0OP OQ ?=u u u r u u u r
,∴12120x x y y +=。 ④
由①②③④得251k =
,从而(k =。 所以直线PQ
的方程为30x -=
或30x +-=
(3,理工类考生做)证明:(,),(,)112233AP x y AQ x y =-=-u u u r u u u r
。由已知得方程组
(),,
,
.
121
22211
22
223316
216
2x x y y x y x y λλ-=-??=???+=???+=? 注意1λ>,解得251
2x λλ
-=
因(,),(,)1120F M x y -,故
(,)((),)1121231FM x y x y λ=--=-+-u u u u r (,)(,)121122y y λλλλ
--=-=-。
而(,)(,)222122FQ x y y λλ
-=-=u u u r ,所以FM FQ λ=-u u u u r u u u r 。
2. 已知函数)(x f 对任意实数x 都有1)()1(=++x f x f ,且当]2,0[∈x 时,
|1|)(-=x x f 。
(1) )](22,2[Z k k k x ∈+∈时,求)(x f 的表达式。 (2) 证明)(x f 是偶函数。 (3) 试问方程01
log )(4
=+x
x f 是否有实数根?若有实数根,指出实数根的个数;若没有实数根,请说明理由。
①f(x)=12--k x (2k ≦x ≦2k+2, k ∈Z) ②略 ⑶方程在[1,4]上有4个实根
3.(本题满分12分)如图,已知点F (0,1),直线L :y=-2,及圆C :1)3(2
2=-+y x 。 (1) 若动点M 到点F (2) 过点F 的直线g (3) 过轨迹E 上一点P 求点P 的坐标及S ①x 2
=4y ②x 1x 2=-4 ⑶
4.以椭圆2
22y a
x +=1(a >1)短轴一端点为直角顶点,作椭圆内接等腰直角三角形,
试判断并推证能作出多少个符合条件的三角形. .解:因a >1,不防设短轴一端点为B (0,1)
设BC ∶y =kx +1(k >0)
则AB ∶y =-
k
1
x +1 把BC 方程代入椭圆, 是(1+a 2k 2)x 2+2a 2kx =0
∴|BC |=2222
121k a k a k ++,同理|AB |=2
222
21a k a k ++
由|AB |=|BC |,得k 3-a 2k 2+ka 2-1=0
(k -1)[k 2+(1-a 2)k +1]=0 ∴k =1或k 2+(1-a 2)k +1=0
当k 2+(1-a 2)k +1=0时,Δ=(a 2-1)2-4
由Δ<0,得1<a <3
由Δ=0,得a =3,此时,k =1 故,由Δ≤0,即1<a ≤3时有一解 由Δ>0即a >3时有三解
5 已知,二次函数f (x )=ax 2+bx +c 及一次函数g (x )=-bx ,其中a 、b 、c ∈R ,a >b >c ,a +b +c =0.
(Ⅰ)求证:f (x )及g (x )两函数图象相交于相异两点; (Ⅱ)设f (x )、g (x )两图象交于A 、B 两点,当AB 线段在x 轴上射影为A 1B 1时,试求|A 1B 1|的取值范围.
解:依题意,知a 、b ≠0
∵a >b >c 且a +b +c =0 ∴a >0且c <0
(Ⅰ)令f (x )=g (x ), 得ax 2+2bx +c =0.(*) Δ=4(b 2-ac )
∵a >0,c <0,∴ac <0,∴Δ>0
∴f (x )、g (x )相交于相异两点 (Ⅱ)设x 1、x 2为交点A 、B 之横坐标 则|A 1B 1|2=|x 1-x 2|2,由方程(*),知
|A 1B 1|2
=2
2224)(444a ac
c a a ac b -+=-
22
2
4()a c ac a =
++ 24()1(**)c
c a
a ??=++????
∵0
20a b c a c a b
++=??+>?
>?,而a >0,∴
2c
a
>- ∵020a b c a c c b
++=??+
,∴
12
c a <- ∴122c a -<
<- ∴4[(a c )2+a
c +1]∈(3,12)
∴|A 1B 1|∈(3,23)
6 已知两点M (-2,0),N (2,0),动点P 在y 轴上的射影为H ,︱︱是2和→
→
?PN PM 的等比中项。
(1) 求动点P 的轨迹方程,并指出方程所表示的曲线; (2) 若以点M 、N 为焦点的双曲线C 过直线x+y=1上的点Q ,求实轴最长的双曲线C 的
方程。 解:(1)设动点的坐标为P (x,y ),则H (0,y ),()0,x PH -=→
,→
PM =(-2-x,-y )
→
PN =(2-x,-y )
∴→
PM ·→
PN =(-2-x,-y )
·(2-x,-y )=2
2
4y x +- x PH =→
由题意得∣PH ∣2=2·→
PM ·→
PN 即(
)2
22
42y
x x +-=
即14
82
2=+y x ,所求点P 的轨迹为椭圆 由已知求得N (2,0)关于直线x+y=1的对称点E (1,-1),则∣QE ∣=∣QN ∣ 双曲线的C 实轴长2a=10=≤-=-ME QE QM QN QM (当且仅当Q 、E 、M 共线时取“=”),此时,实轴长2a 最大为10
所以,双曲线C 的实半轴长a=2
10
又2
3,221222=-=∴==
a c
b NM
c Θ ∴双曲线C 的方程式为12
3252
2=-y x
7.已知数列{a n }满足a
a a
a b a a a a a a a n n
n n n n +-=+=>=+设,2),0(322
11 (1)求数列{b n }的通项公式;
(2)设数列{b n }的前项和为S n ,试比较S n 与8
7
的大小,并证明你的结论. (1)1
2
1-=
n n b
(2)08
12
11161
81)21212121161(81)212121(872441684=--=-+?+?+<-++++=-K K n
S
8.已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点,且两条渐近线与以点)2,0(A 为圆心,1为半径的圆相切,又知C 的一个焦点与A 关于直线x y =对称.
(Ⅰ)求双曲线C 的方程;
(Ⅱ)设直线1+=mx y 与双曲线C 的左支交于A ,B 两点,另一直线l 经过M (-2,0)及AB 的中点,求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围;
(Ⅲ)若Q 是双曲线C 上的任一点,21F F 为双曲线C 的左,右两个焦点,从1F 引
21QF F ∠的平分线的垂线,垂足为N ,试求点N 的轨迹方程.
解:(Ⅰ)设双曲线C 的渐近线方程为y=kx ,则kx-y=0
∵该直线与圆1)2(2
2
=-+y x 相切,
∴双曲线C 的两条渐近线方程为y=±x .…………………………………………2分
故设双曲线C 的方程为122
22=-a
y a x .
又双曲线C 的一个焦点为 )0,2( ∴222=a ,12=a .
∴双曲线C 的方程为12
2=-y x .………………………………………………4分
(Ⅱ)由???=-+=1
12
2y x mx y 得022)1(2
2=---mx x m . 令22)1()(2
2---=mx x m x f
直线与双曲线左支交于两点,等价于方程f(x)=0在)0,(-∞上有两个不等实根.
因此?????????
>--<->?012
01202
2
m
m m
解得21< ,1(2 2m m m --, ∴直线l 的方程为)2(221 2 +++-=x m m y .………………………………6分 令x=0,得8 17)41(22 22222+ --=++-=m m m b . ∵)2,1(∈m , ∴)1,22(8 17 )41(22+-∈+--m ∴),2()22,(+∞---∞∈Y b .………………………………………………8分 (Ⅲ)若Q 在双曲线的右支上,则延长2QF 到T ,使||||1QF QT =, 若Q 在双曲线的左支上,则在2QF 上取一点T ,使||||1QF QT =. 根据双曲线的定义2||2=TF ,所以点T 在以)0,2(2F 为圆心,2为半径的圆上,即点T 的轨迹方程是 )0(4)2(22≠=+-x y x ①…………………………………………10分 由于点N 是线段T F 1的中点,设),(y x N ,),(T T y x T . 则??? ????=-=222T T y y x x ,即???=+=y y x x T T 222. 代入①并整理得点N 的轨迹方程为12 2 =+y x .)2 2 (-≠x ………………12分 9. )(x f 对任意R x ∈都有.2 1)1()(= -+x f x f (Ⅰ)求)21 (f 和)( )1 ( )1(N n n n f n f ?-+的值. (Ⅱ)数列{}n a 满足:n a =)0(f +)1()1 ()2()1(f n n f n f n f +-+++ΛΛ,数列} {n a 是等差数列吗?请给予证明; 试比较n T 与n S 的大小. 解:(Ⅰ)因为21)21()21()211()21(=+=-+f f f f .所以4 1 )21(=f .……2分 令n x 1=,得21)11()1(=-+n f n f ,即2 1)1()1(=-+n n f n f .……………4分 (Ⅱ))1()1 ()1()0(f n n f n f f a n +-+++=Λ 又)0()1 ()1()1(f n f n n f f a n +++-+=Λ………………5分 两式相加 2 1 )]0()1([)]1()1([)]1()0([2+= +++-+++=n f f n n f n f f f a n Λ. 所以N n n a n ∈+=,4 1 ,………………7分 又41 414111=+-++=-+n n a a n n .故数列}{n a 是等差数列.………………9分 (Ⅲ)n a b n n 4 144=-= 2 2221n n b b b T +++=Λ )1 31211(16222n ++++ =Λ ]) 1(1 3212111[16-++?+?+≤n n Λ………………10分 )]1 11()3121()211(1[16n n --++-+-+=Λ………………12分 n S n n =-=-=16 32)12(16 所以n n S T ≤……………………………………………………………………14分 1、(本小题满分14分) 已知函数. (1)当时,如果函数仅有一个零点,求实数的取值范围; (2)当时,试比较与的大小; (3)求证:(). 2、设函数,其中为常数. (Ⅰ)当时,判断函数在定义域上的单调性; (Ⅱ)若函数的有极值点,求的取值范围及的极值点; (Ⅲ)当且时,求证:. 3、在平面直角坐标系中,已知椭圆.如图所示,斜率为且不过原 点的直线交椭圆于,两点,线段的中点为,射线交椭圆于点,交直 线于点. (Ⅰ)求的最小值; (Ⅱ)若?,(i)求证:直线过定点; (ii )试问点,能否关于轴对称?若能,求出 此时 的外接圆方程;若不能,请说明理由. 二、计算题 (每空? 分,共? 分) 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ,且函数为偶函数.若函数 满足下列条件:①;② 对一切实数 ,不等式恒成立. (Ⅰ)求函数的表达式; (Ⅱ)求证: . 5 、已知函数: (1 )讨论函数的单调性; (2) 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为,问:在什么范围取值 时,函数 在区间上总存在极值? (3)求证:. 6、已知函数=,. (Ⅰ)求函数在区间上的值域; (Ⅱ)是否存在实数,对任意给定的,在区间上都存在两个不同的, 使得成立.若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由; (Ⅲ)给出如下定义:对于函数图象上任意不同的两点,如果对 于函数图象上的点(其中总能使得 成立,则称函数具备性质“”,试判断函数是不是具 备性质“”,并说明理由. 7、已知函数 (Ⅰ)若函数是定义域上的单调函数,求实数的最小值; (Ⅱ)方程有两个不同的实数解,求实数的取值范围; (Ⅲ)在函数的图象上是否存在不同两点,线段的中点的横坐标 为,有成立?若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由. 8、已知函数: ⑴讨论函数的单调性; 高三理科数学限时训练 一、选择题(本大题共10小题,每题5分,共50分.每题都给出四个结论,其中有且只有一个 结论是正确的.) 1. 复数z 满足(2)z z i =+,则z =( ) A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i -- 2. 已知实数a ≠0,函数2,1()2,1x a x f x x a x +=?--≥? ,若f (1-a )=f (1+a ),则a 的值为( ) A. 23 B. 23- C. 34 D.34- 3. 曲线y =sin x sin x +cos x -12 在点M ????π4,0处的切线的斜率为 ( ) A .-12 B. 12 C .-22 D. 22 4.若,a b 为实数,则“01ab <<”是“1b a <”的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 不充分不必要条件 5. 一个空间几何体的三视图如右上图所示,则该几何体的表面积为( ) A .48 B .32+817 C .48+817 D .80 6. 设F 1,F 2分别为椭圆x 23 +y 2=1的左,右焦点,点A ,B 在椭圆上.若 F 1A →=5F 2B →,则点A 的坐标是( ) A. (0,1)± B. (0,1) C. (0,1)- D. (1,0)± 7. 若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合,则称这两个函数为“同形”函数,给出 下列三个函数:1()3x f x =,2()43x f x =?,385()log 53log 2x f x =??,则( ) A . 123(),(),()f x f x f x 为“同形”函数 B . 12(),()f x f x 为“同形”函数,且它们与3()f x 不为“同形”函数 C . 13(),()f x f x 为“同形”函数,且它们与2()f x 不为“同形”函数 D . 23(),()f x f x 为“同形”函数,且它们与1()f x 不为“同形”函数 8. 函数b x A x f +?+ω=)sin()(的图象如图,则)(x f 的解析式和 ++=)1()0(f f S )2006()2(f f +?+的值分别为( ) A .12sin 2 1)(+π=x x f , 2006=S B .12sin 21)(+π=x x f , 2 12007=S C .12sin 21)(+π=x x f , 2 12006=S D .12 sin 21)(+π=x x f , 2007=S 9. 在区间[—1,1]上任取两数a 、b ,则二次方程02=++b ax x 的两根都是正数的概率是 ( ) A. 128 B.148 C.132 D.18 高考数学压轴选择题 _________班______号姓名_________________ 一、2007年以来广东高考数学压轴选择题的基本情况 1、(2007广东8)设S 是至少含有两个元素的集合,在S 上定义了一个二元运算“*”(即对任意的a b S ∈,,对于有序元素对(a b ,),在S 中有唯一确定的元素*a b 与之对应).若 对任意的a b S ∈,,有()**a b a b =,则对任意的a b S ∈,,下列等式中不恒成立的是( ) A .()**a b a a = B .[()]()****a b a a b a = C .()**b b b b = D .()[()]****a b b a b b = 2、(2008广东8)在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于点O E ,是线段OD 的中点,AE 的延长线与CD 交于点F .若AC =a ,BD =b ,则AF =( ) A . 1142+a b B .2133+a b C .11 24 +a b D .1 233 + a b 3、(2009广东8)已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v v 乙甲和(如图2所示).那么对于图中给定的01t t 和,下列判断中一定正确的是( ) A .在1t 时刻,甲车在乙车前面 B .1t 时刻后,甲车在乙车后面 C .在0t 时刻,两车的位置相同 D .0t 时刻后,乙车在甲车前面 4、(2010广东8)为了迎接2010年广州亚运会,某大楼安装5个彩灯,它们闪亮的顺序不固定。每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色,且这5个彩灯闪亮的颜色各不相同,记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁。在每个闪烁中,每秒钟有且只有一个彩灯闪亮,而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒。如果要实现所有不同的闪烁,那么需要的时间至少是 ( ) A .1205秒 B .1200秒 C .1195秒 D .1190秒 5、(2011广东) 8.,,,,.,,.,,,,,,,.:( ) A. T,V B.T,V C. T,V S Z a b S ab S S T V Z T V Z a b c T abc T x y z V xyz V ?∈∈=?∈∈?∈∈设是整数集的非空子集如果有则称关于数的乘法是封闭的若是的两个不相交的非空子集且有有则下列结论恒成立的是中至少有一个关于乘法是封闭中至多有一个关于乘法是封闭中有且只有一个关于乘法是封闭 D.T,V 中每一个关于乘法是封闭 高考数学选择题专项训练(二) 1、函数y =cos 4x -sin 4x 图象的一条对称轴方程是( )。 (A )x =-2π (B )x =-4π (C )x =8 π (D )x =4π 2、已知l 、m 、n 为两两垂直且异面的三条直线,过l 作平面α与m 垂直,则直线n 与平面α的关系是( )。 (A )n //α (B )n //α或n ?α (C )n ?α或n 不平行于α (D )n ?α 3、已知a 、b 、c 成等比数列,a 、x 、b 和b 、y 、c 都成等差数列,且xy ≠0,那么y c x a +的值为( )。 (A )1 (B )2 (C )3 (D )4 4、如果在区间[1, 3]上,函数f (x )=x 2+px +q 与g (x )=x + 21x 在同一点取得相同的最小值,那么下列说法不对.. 的是( )。 (A )f (x )≥3 (x ∈[1, 2]) (B )f (x )≤4 (x ∈[1, 2]) (C )f (x )在x ∈[1, 2]上单调递增 (D )f (x )在x ∈[1, 2]上是减函数 5、在(2+43)100展开式中,有理数的项共有( )。 (A )4项 (B )6项 (C )25项 (D )26项 6、等比数列{a n }的公比q <0,前n 项和为S n , T n =n n a S ,则有( )。 (A )T 1 7、设集合A =ο/,集合B ={0},则下列关系中正确的是( ) (A )A =B (B )A ?B (C )A ?B (D )A ?B 8、已知直线l 过点M (-1,0),并且斜率为1,则直线l 的方程是( ) (A ) x +y +1=0 (B )x -y +1=0 (C )x +y -1=0 (D )x ―y ―1=0 9、已知集合A ={整数},B ={非负整数},f 是从集合A 到集合B 的映射,且f :x → y =x 2(x ∈A ,y ∈B ),那么在f 的作用下象是4的原象是( ) (A )16 (B )±16 (C )2 (D )±2 10、已知函数y =1 -x x ,那么( ) (A )当x ∈(-∞,1)或x ∈(1,+∞)时,函数单调递减 (B )当x ∈(-∞,1)∪(1,+∞)时,函数单调递增 (C )当x ∈(-∞,-1)∪(-1,+∞)时,函数单调递减 (D )当x ∈(-∞,-1)∪(-1,+∞)时,函数单调递增 11、在(2-x )8的展开式中,第七项是( ) (A )112x 3 (B )-112x 3 (C )16x 3x (D )-16x 3x 12、设A ={x | x 2+px +q =0},B ={x | x 2+(p -1)x +2q =0}, 若A ∩B ={1},则( )。 (A ) A ?B (B )A ?B (C )A ∪B ={1, 1, 2} (D )A ∪B =(1,-2)[数学]数学高考压轴题大全
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