(新)计算图中的最大对集的匈牙利方法
计算图中的最大对集的匈牙利方法
背景知识介绍—在一个网络中往往要求计算其中的最大对集。是由匈牙利人Egervary 于1931年发现，后被另外一个匈牙利人Edmonds 所推广（到一般图中的“开花算法”）
基本方法—利用反圈法
第一节 二部图中最大对集的有效算法
设(,,)G S T E =为一个二部图，M 是中一个对集。
S -型节点----位于S 的节点； T -型节点---位于T 中的节点； M -边----位于M 中的边；
注意：一个增广路的长度为奇数，所以这样的路的两个端点必须是同型节点。
反圈法基本原则--- （1）初始时，0,k =令(0)
{|}X
v S v =∈是关于M 的非饱和点；
（2）在Φ(k)
（X ）中选边时，必须按照以下原则： (a)如果()
k i v X
S ∈?时，则选取以i v 为端点的非M 边（即，在S -型节点处只选非M 边）；
(b)如果 ()
k i v X T ∈?，则选取以i v 为端点的M 边（即，在T -型节点处只选M 边）
（3）若在某一步，出现下述情况之一时算法要终止：
情况1。()
k X
中有非饱和的T -型节点（此时得到一条关于M 的增广路）；
情况2.。情况1不出现，且()
()k X Φ中无边可选（此时G 中不存在关于M 的增广路）。
定理1.当匈牙利算法结束时，得到一个最大对集
解答：下面我们来证明这个方法（算法）的正确性。 如果情况1发生，根据我们算法特点，每一步上()
()(,)k k X E 都是森林，其中每一个树都是
以(0)
X
中的一点为根的。根据(0)
X
的定义，每一个树以一个非饱和的S -型节点为根。按
照选边原则（2）可以看出：每一个树上，根与任意节点之间的唯一的路是交错路、。所以，当某个非饱和的T -型节点属于()
k X 时，这个树上联接根节点与它的路是一个长度为奇数
的增广路。
现在假定情况2出现。我们用*
X 表示此时的()
k X
（一定要记住：*
X 中的每一个节点都位
于一个树中）。令**,
X V X
=-记
**
12
**
34
;;
;.
A S X A T X
A S X A T X
=?=?
=?=?
其几何意义如图所示：（注意：这是其中一种结构，也是最重要的结构，即，假定对集中所有边都被包含在以(0)
X为根的树中）。
结论1.所有非饱和的S-型节点都在
1
A中（这是根据(0)
X的定义得到的。表明：每一个这样的非饱和S-型节点都是一个树的根，这个树有可能退化为一个节点！）；
结论2。所有的非饱和的T-型节点都在4A中（否则，选边原则（1）可得到增广路）；
结论3.
14
[,]
E A Aφ
=（前提是：G连通）
事实上，如果有
14
,
v A u A
∈∈使得()
uv E G
∈，则因为**
,
v X u X
∈?，知道*
();
uv X
∈Φ
如果,
uv E M
∈-则uv是可选边（事实上此时有增广路联接u与(0)
X中点），与情况2的定义相违背；如果uv M
∈，则(0)
v X
?，必然有
2
w A
∈使得vw M
∈，与M是对集相违背。
结论4.
23
[,]
E A A Mφ
?=（这个显然成立）
注意：上述图形仍有地方要知道：
1
A中含有未被饱和的非根节点（因此，
12
||||
A A
>）
注意：上述的有些东西可能描述的不太精确。我们下面详细说明。
记住当前算法执行到情况2，无法选边而且情况1不发生。可选边时有两种选法：沿着对集
M 中的边向下走，沿着非M 中边向上走。
（1）12M M M =+：将对集M 分成两类：1M 和2M ，其中1M 是以31A 中的节点为根的树中所能包含的M 边形成的子对集，而2M 则是无法被这些树所含有的子对集（可以为空集）；
（2）对集M 所能饱和的S 的节点集合为132A A +，没有被饱和的节点集合为(0)31()A X = （3）**
123313244142,;;;A S X A T X A A A A A A =?=?=+=+；
（4）42131[,]E A A A φ?=（这是由于无法选边决定的，否则，有些子树可以长大）； （5）41131[,]E A A A φ?=（理由同上）。 这样，
结论1.所有非饱和的S -型节点都在31A 中（这是根据(0)
X
的定义得到的。表明：每一个这
样的非饱和S -型节点都是一个树的根，这个树有可能退化为一个节点！）；
结论2。所有的非饱和的T -型节点都在41A 中（否则，选边原则（1）可得到增广路）； 结论3. 4131[,]E A A A φ?=； 结论4.3124132();()N A A N A A ??
结论5.3223241[,],[,]E A A E A A φφ≠≠。（这是由图的连通性决定的） 结论6. 2413[,]E A A A M φ??=；
这样一来，若G 中存在增广路，那么它的一个端点在31A 中，另外一个端点在41A 中。显然此时可以选边使得对集增大。矛盾。因此，当情况2发生时当前的对集是最大的。
注意：从上述分析中可知，我们的讨论可以假定3242A A φ==。分析中得到的结构（结论1-6）非常有用，我们可以直接利用它们来计算。
定理2.任何一个使得|()|0E G >的二部图(,,)G S T E =中一定有一个最大对集饱和所有最大次节点。
点评：如果这个结果成立，那么这个图一定是第一类的（即，边色数'()()G G χ=?。） 解答：设*
M 是这样一个最大对集，它所饱和的最大次节点最多。我们将要证明：*
M 为所
求。若不然，则存在一个最大次节点v ，没有被*M 所饱和。不妨设,v S ∈可以取*M 使得v 是唯一一个未被饱和的最大次节点。对于这个*M 执行匈牙利算法。可知情况2一定出现（即，无边可选的结构一定出现）。
注意到上述结论1-结论6暗示：12||||1A A ≥+。此时1A 一定有一个节点不是最大次的。不然，则有
1
2
12
||()()()||()u A u A A G d u d u A G ∈∈?=≤
≤?∑∑，
这与12||||1A A ≥+相悖（这里利用了性质：1A 中非根节点的领域全部被包含在2A ）。设
1i v A ∈不是最大次节点，记μ为执行匈牙利算法终止时得到的交错树里面唯一的()i v v --路。意见它的长度为偶数。令*
'()M M E μ=⊕，则'M 也是最大对集，它饱和最大节点数目比*
M 多（事实上，'M 饱和了v ，但是没有饱和i v 。这正是我们需要的；同时，前面*
M 中其他节点还是被'M 所饱和）。这与*M 定义相违背。
点评：关于这个结果有许多证明。我们将要提供另外一个富有技巧性的证明（但是说真的，我不喜欢这种过于简短的证明，因为它们往往掩盖了很多的事物真相!）。
例3. 如果二部图G 中节点次数的最大值是r ，那么可以将它的边进行着色，每一条边染这r
中颜色中的一种，使得同一个节点引出的边颜色不同。
解：如果G 是-r 正则图，则由Hall 定理知道结论成立。否则，G 不是正则图。我们可以将G 扩展成为一个-r 正则二部图'
G （即，G 是'
G 的子图）如下：增加一些节点使得G 的两部分Y X ,的节点数目相同，然后在两部分之间尽可能地连边，直到。再连一条边则最大次数就超过r 为止。这样得到的图一定是-r 正则图。理由如下：因为若有X x ∈的次数小于
r ，则总边数||||Y r X r =<，从而必有Y y ∈的次数小于r 。于是可以连边xy 而不破坏r
的最大性。根据上面所讲，可以对'
G 的边进行r 着色，使得每一种颜色的边恰好是一个完美对集。在此结构下，G 的边也相应地被染上了r 种颜色，使得每一种颜色的边形成一个对集。
点评；这个例子表明：如果一个二部图的最大次为?，则其中一定有对集饱和所有最大次节点。这个对集可以是最大的。
推论4.每一个k -正则二部图一定有1-因子。
下面要用匈牙利算法终止时得到的结构来证明著名的Konig 定理和Hall 定理。
定理5(Konig,1931) 对于任何二部图(,,)G S T E =，最小节点覆盖阶数=最大对集阶数。 证明：设M 是一个最大对集，0D 是最小覆盖集合的阶数。容易看出：
0||M D ≤
根据我们在对当前的M 执行匈牙利算法时，一开始就无边可选。于是，就有前面图形所示结构，那里有以下事实：
3232|||||()|M A N S A =+-
这里，322()N S A A -=。可以看出：322A A ?是一个覆盖，从而必有0||M D =。证明完毕。
注意到，对于任何S 的子集A ，()()N A S A ?-形成一个覆盖。
推论6.对于任何二部图(,,)G S T E =，
最小节点覆盖阶数=最大对集阶数
=(){}min |()|||||max |||()|A S
A S
N A S A S A N A ??+-=--
如果(,,)G S T E =中有对集M 饱和S 中所有节点，那么自然有（Hall 条件）
|()|||A S N A A ???≥
成立。反过来，假定上述条件成立，一定有最大对集饱和S 中所有节点。
推论7（Hall 定理1935）对于任何二部图(,,)G S T E =，存在对集饱和S 中所有节点的充分必要条件是：
|()|||A S N A A ???≥
注意：组合学中有几个著名的“max=min ”-型定理：Menger 定理，Hall 定理，Konig 定理以及Dilworth 定理。它们在本质上都是等价的，以后我们还要介绍它们之间的相互推导。
第二节 一般图中的最大对集值Edmonds 开花算法。
基本想法---将二部图中的匈牙利算法推广到一般图。
首先我们来回顾一下我们在二部图中始怎么做的。
给定一个二部图(,,)G S T E =和一个对集M ，算法开始时，令(0)
X
是所有非饱和的S -型
节点集合。一般地，设已经有()k X 。我们在()
()k X
Φ中开始选边，选边的原则是：在S -型
节点处选非M 边，在T -型节点处选M 边；把被选到的边放入到()k X 中去，得到(1)k X +。放入节点时会有两个情况发生：若有某个非饱和的T -型节点在(1)k X +中，则得到增广路；否则继续选边过程。若在某一步，没有边可以选择，则说明没有增广路，当前的M 便是最大对集。
在前一节的匈牙利算法执行过程中，所有被选边()k E 生成的子图()
()()(,)k k k G
X E =是由
(0)||X 个交错树组成的森林。每一个交错树恰好有一个非饱和节点（是S -型节点）。形象
地讲，匈牙利算法的执行过程就是以(0)X 中每一个节点为根的交错树的生长过程。扩大交错树的方式有两种：一是选入一条M 边（图（a ））；一是选入一条非M 边，而这条边在
()k V X -中始饱和的（图（b ））。在这两种情况下，我们称此时的交错树为可扩的。若被选
入的非M 边在()
k V X
-中始非饱和节点（图（c ）），这个交错树中有一个增广路，这个树称
为增广树。若增广树即不是可扩的，也不是增光的，我们就称其为匈牙利树（图(d)）。每一个匈牙利树种必有奇数个节点，其中仅有根节点为非饱和节点
下面我们来把上述算法改造一下，以便可以适用于一般图。 开始时，令(0)
X
为所有未饱和节点并且记它们为S -型节点。选边原则不变。
当选一条非M 边时，把它在()
k V X -中的端点记为T -型节点；当选一条M 边时，把它在
()k V X -中端点记为S -型节点。整个过程仍然是扩大交错树，或者得到增广树，或者得到
匈牙利树。不过要注意的是：这是的增广树除了上述所讲的一种形式以外（图(c)），还有一种可能：它可能由两个交错树“合并”而成的，即，当两个交错树的两个S -型节点之间有非M 边相连，或者两个T -型节点之间有M 边相连时，也会产生增广树（下图(a),(b)）.此时必须随时检验这种情况是否会出现。为了避免这种检验，我们可以任取一个非饱和节点作为(0)X 。当以它为根的交错树成为了匈牙利树后，再任取另外一个非饱和节点放入()k X （令它为S -型节点）。继续做下去，就是说，在执行过程中，总是某一个交错树，只是在这个树不可扩大时，即成为匈牙利树以后，才去扩大另外一个交错树。
这个原则对于下面要介绍的一般图的情况也是一样适用。
我们知道，非二部图中会有奇圈。Edmonds 在1965年对匈牙利算法做了一个十分重要的写该，从而克服了从二部图到一般图时出现的困难。
首先介绍所谓“花”的概念。
给定图(,),G V E M =是它的一个对集。若B ν是其中一个奇圈，使得B ν上恰好有
()1
||12
B ν-条M 边。因此B ν有唯一一个节点b v ，它在B ν中的两条关联边均不是M 边。设μ是一条0()b v v --交错路，其中0v 是关于M 的非饱和节点，μ是长度为偶数的路，
()(){}B b V V v v μ?=。我们称由路μ与奇圈B ν所成的子图是一个花型结构（注意：|()|
V μ可以是1，这时，b v 不是饱和节点）。
由()B V ν生成的子图，成为花苞，b v 为花托，μ是花柄，0v 是花根。
结论1。设B 是一个花型结构。显然，从B 的根到花苞上任何一点有一条长度为偶数的交错路。
Edmonds 的做法是：在执行匈牙利算法扩大交错路的过程中，一旦发现花型结构，则在图中收缩花苞，得到一个伪节点。令这个伪节点为S -型节点，然后继续扩大交错树。
结论2.若收缩图中有关于M 的可扩交错路，那么原图G 中也有关于M 的可扩交错路。
结论3.如果在收缩图中没有可扩交错路，那么M 就是最大对集。
注意：（1）在交错树中，花型结构的出现有两种可能：一是同一个交错树中，两个S 型节点之间有非M 边相连；一是同一个交错树中，两个T 型节点之间有M 边相连。所谓花型结构出现，就是针对于某一个匈牙利树，有奇长的基本圈出现。
（2）在执行过程中，可能由某个伪节点又出现在另外一个花型结构的花苞中。因而，一般地讲，说到伪节点，也包括这种包含伪节点的伪节点。
结论4.每一个伪节点对应于图G 的一个奇数阶生成子图。
下面陈述一般图中求最大对集的匈牙利算法： 任取一个非饱和节点1i v ，记1(0)
{}i X
v =。令1i v 为S 型节点（若G 中没有非饱和节点，那
么M 为最大对集）。一般地，设已有()
k X 。用反圈法在()
()k X
Φ中进行选边，
若在某一步，发现花苞，则收缩花苞。令伪节点为S 型节点，继续选边： 若在某一边，得到增广树，则得到增广路并且调节M ； 若在某一步得到匈牙利树，则再去一个非饱和节点，放入()
k X
中，继续选边；若不再有非
饱和节点，则M 是最大对集。
下面将要证明：当算法终止时，M 是最大对集。为此，考察一下算法终止时我们得到什么结构。当()
()k X
Φ中无边可选，并且所有的非饱和节点都在()k X 中时，算法终止。此时得
到的交错树都是匈牙利树。()
k X
是这些匈牙利树的节点集合，其中每一个节点或是T 型节
点，或是S 型节点（可能是伪节点），每一个树种恰好有一个节点是非饱和节点。
我们称()
k V X
-中节点生成的子图()
[]k G V X
-中的连通分支为无型分支。在每一个无型分
支中，由于不含有非饱和节点，股必有偶数个节点。
结论5.图G 的边必是下列情况之一：
（1） 在某一个伪节点所对应的奇数阶生成子图中； （2） 是某一个树上的边或是连接树内部两个节点； （3） 连接两个匈牙利树； （4） 在某个无型分之内部；
注意：在情况（2）-（3）之下，每一边的端点中有一个T -节点。
下面介绍所谓的“奇节点集合覆盖”，它是Konig 关于二部图中点覆盖概念的自然推广。
对于图(,)G V E =中的节点集合U V ?，如果||1(mod 2)U ≡，则说U 是一个奇点集合。若||1U =，则说U 覆盖了与它关联的所有边；并且定义()1c U =；如果||21(1)U m m =+≥，我们说U 覆盖了生成子图[]G U 中的所有边，并且定义().c U m = 假定
12{,,...,}s C C C =是一个图中的奇点集合族，如果G 的每一边e 至少被某一个i C 所覆
盖，则说
构成了G 的一个奇集覆盖。定义
1
()()s
i i c c C ==∑。
结论6.对于任何一个对集M 和和任何一个奇集覆盖，||()M c ≤。
现在设M 是一个对集，我们可以执行匈牙利算法，算法终止，得到一个对集*
M ，一批匈牙利树和一些无型分图，现在来制造一个奇集覆盖如下： 每一个T 型节点自然形成一个奇集合；
每一个伪节点所对应的奇数阶生成子图为一个奇点集合； 对于无型分图，取其中一个端点为一个奇集； 根据结论5，我们有下面的
结论7.上述奇集合全体是图的一个奇集覆盖*
。
在结论7基础上自然有*
*
||(
)M c =，这样，*M 就是一个最大对集。
定理（Edmonds1965）对于任何一个图G ，max |M|=
min ()M c 是奇集覆盖
是对集
注意：因为一个而部图中不含有奇圈，在二部图中执行匈牙利算法时不会有花型结构出现，并且每一个无型分图是不含非饱和节点的二部图，可以用
()1
||2
k V X -个节点去覆盖所有无型分图的节点。因此，对于二部图以及一个最大对集*M ，总可以找到一个由单元素集合形成的奇集覆盖使得*
()||c M =，这就是Konig 定理。
例。 给定如图所示，粗边表示*M 边。1v ，18v 是非饱和点。令(0)
1{}X v =，1v 为S 型节点，
在(0)
()X
Φ中选边1216,v v v v ，令(1)126{,,}X v v v =，26,v v 为T 型节点，在(1)()X Φ中选边
2367,v v v v ，令(2)1263737{,,,,},,X v v v v v v v =为S 型节点，如此等等，得到以1v 为根的匈牙
利树（下图）
现在再取节点18v 为根节点，也是S 型节点，继续选边，最终得到以18v 为根节点的匈牙利树（下图）
余下的是无型分图（下图）
算法终止时，()
1226{,,...,}k X
v v v =，()27282930{,,,}k V X v v v v -=。
选取奇集合覆盖为
246810121314151617192122232425262729{{},{},{},{},{},{},{,,,,},{},{},{,,,,},{},{}}
v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v =
满足条件*
()14||c M ==
下面要用Edmonds 的这个算法证明下面的
定理（Berge,1958）.设M 是图G 中最大对集，则非饱和节点数为
{}0()max ()||S V
G k G S S ξ?=--
从而()1
|||()|()2
M V G G ξ=
- 解答：（1）首先证明：对于任何一个集合S V ?，有
0()()||G k G S S ξ≥--。
设012,,...,k G G G 是所有G S -的奇分支，若i G 中每一个节点都被饱和，那么至少有一条边，它要连接i G 中一个节点i u 与S 中一点i v ，并且不同的i G 对应的i v 也不相同。这样，不含有非饱和节点的奇分支数目||S ≤。由于含有非饱和节点的奇分支数目(),G ξ≤
00()()
()=|S|
k G S G k G S ξ--≤--≤含有非饱和节点的奇分支数目不含有非饱和节点的奇分支数目
这样，0()()||G k G S S ξ≥--。
（2）证明：存在00,..
()()||S V s t G k G S S ξ?=-- 设M 是最大对集，若所有节点都被饱和，则()0,.G S ξφ==取以下设图中有非饱和节点。对G 执行匈牙利算法后，由于是最大对集，因而进行到某一步，算法必然终止。我们注意
到，S 型节点（包括伪节点）只与T 型节点相联；每一个无型分图中的节点也与T 型节点相连，但无型分图是偶阶的。所以，令
0{|}S v v T =是型节点，
则00()k G S -恰好是S 型节点的数目。因此每一个匈牙利树中恰好含有一个非饱和节点，并且S 型节点恰好比T 型节点多一个，故
000()-()||G S T k G S S ξ==--型节点数目型节点数目。
证明完毕。
下面我们利用这个结构性定理证明著名的Tutte 定理。
对于一个,S V ?定义0()()||S k G S S δ=--。如果()0,S δ>则称其为一个1-栅集。
Tutte 定理：图G 中有1-因子当且仅当它不含有1-栅集
证明：图G 中有1-因子当且仅当()0G ξ=当且仅当0max{()||}0k G S S --= 当且仅当对于任何0,()||0S V k G S S ?--≤ 当且仅当对于任何0,()||S V k G S S ?-≤ 当且仅当对于任何,()0S V S δ?≤
双代号网络图六个参数的两种简易计算方法及实例分析
双代号网络图计算方法是每年建造师考试中的必考题，小到选择题、大到案例分析题，笔者在此总结2种计算方法，并附实例，供大家参考学习，互相交流，考出好成绩。 双代号网络图计算方法一 一、要点： 任何一个工作总时差≥自由时差 自由时差等于各时间间隔的最小值（这点对六时参数的计算非常用用） 关键线路上相邻工作的时间间隔为零，且自由时差=总时差 最迟开始时间—最早开始时间（最小） 关键工作：总时差最小的工作 最迟完成时间—最早完成时间（最小） 在网络计划中，计算工期是根据终点节点的最早完成时间的最大值 二、双代号网络图六时参数我总结的计算步骤（比书上简单得多） ①② t过程 做题次序： 1 4 5 ES LS TF 2 3 6 FS LF FF
步骤一： 1、A 上再做A 下 2 3、起点的A 上=0，下一个的A 上 A 上 4、A 下=A 上+t 过程（时间） 步骤二： 1、 B 下再做B 上 2、 做的方向从结束点往开始点 3、 结束点B 下=T （需要的总时间=结束工作节点中最大的A 下） 结束点B 上=T-t 过程（时间） 4、B 下=前一个的B 上（这里的前一个是从终点起算的） 遇到多指出去的时，取数值小的B 上 B 上=B 下—t 过程（时间） 步骤三： 总时差=B 上—A 上=B 下—A 下 如果不相等，你就是算错了 步骤四： 自由时差=紧后工作A 上（取最小的）—本工作A 下 =紧后工作的最早开始时间—本工作的最迟开始时间 （有多个紧后工作的取最小值） 例：
双代号网络图计算方法二 一、双代号网络图6个时间参数的计算方法（图上计算法） 从左向右累加，多个紧前取大，计算最早开始结束； 从右到左累减，多个紧后取小，计算最迟结束开始。 紧后左上-自己右下=自由时差。 上方之差或下方之差是总时差。 计算某工作总时差的简单方法：①找出关键线路，计算总工期； ②找出经过该工作的所有线路，求出最长的时间 ③该工作总时差=总工期-② 二、双代号时标网络图 双代号时标网络计划是以时间坐标为尺度编制的网络计划，以实
双代号网络图解析实例.doc
一、双代号网络图6个时间参数的计算方法（图上计算法） 从左向右累加，多个紧前取大，计算最早开始结束； 从右到左累减，多个紧后取小，计算最迟结束开始。 紧后左上-自己右下=自由时差。 上方之差或下方之差是总时差。 计算某工作总时差的简单方法：①找出关键线路，计算总工期； ②找出经过该工作的所有线路，求出最长的时间 ③该工作总时差=总工期-② 二、双代号时标网络图 双代号时标网络计划是以时间坐标为尺度编制的网络计划，以实箭线表示工作，以虚箭线 表示虚工作，以波形线表示工作的自由时差。 双代号时标网络图 1、关键线路 在时标双代号网络图上逆方向看，没有出现波形线的线路为关键线路（包括虚工作）。如图中①→②→⑥→⑧ 2、时差计算 1）自由时差 双代号时标网络图自由时差的计算很简单，就是该工作箭线上波形线的长度。 如A工作的FF=0，B工作的FF=1 但是有一种特殊情况，很容易忽略。
如上图，E工作的箭线上没有波形线，但是E工作与其紧后工作之间都有时间间隔，此时E工作 的自由时差=E与其紧后工作时间间隔的最小值，即E的自由时差为1。 2）总时差。 总时差的简单计算方法： 计算哪个工作的总时差，就以哪个工作为起点工作（一定要注意，即不是从头算，也不是 从该工作的紧后算，而是从该工作开始算），寻找通过该工作的所有线路，然后计算各条线路的 波形线的长度和，该工作的总时差=波形线长度和的最小值。 还是以上面的网络图为例，计算E工作的总时差： 以E工作为起点工作，通过E工作的线路有EH和EJ，两条线路的波形线的和都是2，所以此时E 的总时差就是2。 再比如，计算C工作的总时差：通过C工作的线路有三条，CEH，波形线的和为4；CEJ，波 形线的和为4；CGJ，波形线的和为1，那么C的总时差就是1。
双代号网络图时间参数的计算
双代号网络图时间参数的计算 二、工作计算法 【例题】：根据表中逻辑关系，绘制双代号网络图，并采用工作计算法计算各工作的时间参数。
紧前- A A B B、C C D、E E、F H、G 时间 3 3 3 8 5 4 4 2 2 （一）工作的最早开始时间ES i-j --各紧前工作全部完成后，本工作可能开始的最早时刻。
3 6 14 （二）工作的最早完成时间EF i-j EF i-j= ES i-j + D i-j 1 ?计算工期T c等于一个网络计划关键线路所花的时间，即网络计划结束工作最早完成时间的最大值，即T c = max {EF i-n} 2 .当网络计划未规定要求工期T r时，T p= T c 3 .当规定了要求工期T r时，T c 2. 其他工作的最迟完成时间按逆箭头相减，箭尾相碰取小值”计算。--在不影响计划工期的前提下，该工作最迟必须完成的时刻。 （四）工作最迟开始时间LS i-j LS i-j = LF i-j —D i-j --在不影响计划工期的前提下，该工作最迟必须开始的时刻。 （五）工作的总时差TF i-j TF i-j = LS i-j —ES i-j 或TF i-j = LF i-j —EF i-j --在不影响计划工期的前提下，该工作存在的机动时间。 FF i-j = ES j-k — EF i-j 作业1 :根据表中逻辑关系，绘制双代号网络图。 工作 A B C D E F 紧前 工作 - A A B B 、 C D 、E 3 6 6 0 6 — 1 \i 3 F G(4) I 上卩1 0 0 0 3 3 6 9 3 4 14 T L8 0 z o T 5： ：1116 5 6 12 6 16 T Lfl J6 5 n N 0 0 0 3 3 0 6 9 3 4 14 5 6卩2 戶 - G(4) ：1114 L8 0 1 !0 4 :n 眇s Lfl 1(2) 11(2) 11 ■ Hl N r T 7 B(3) D(8) 6 E(5) X （六）自由时差 FF i-j --在不影响紧后工作最早开始时间的前提下, 该工作存在的机动时间。 6 k> K) ■1114 J E(5) 6 5： S F(4) D(8) 3 6 7 6 9 寄语：不管一建、二建，双代号是必考点，再复杂的网络图也能简单化， 本工作室整理了 三页纸供大家快速掌握，希望大家多学多练，掌握该知识 点，至少十分收入囊中。 双代号网络图六个参数计算的简易方法 一、非常有用的要点： 任何一个工作总时差≥自由时差 自由时差等于各时间间隔的最小值（这点对六时参数的计算非常用用） 关键线路上相邻工作的时间间隔为零，且自由时差=总时差 最迟开始时间—最早开始时间（最小） 关键工作：总时差最小的工作 最迟完成时间—最早完成时间（最小） 在网络计划中，计算工期是根据终点节点的最早完成时间的最大值 二、双代号网络图六时参数我总结的计算步骤（比书上简单得多） ① ② t 过程 做题次序： 1 4 5 ES LS TF 2 3 6 FS LF FF 步骤一： 1、A 上再做 A 下 2、 做的方向从起始工作往结束工作方向； 3、 起点的 A 上=0，下一个的 A 上=前一个的 A 下当遇到多指向时，要取数值大的 A 下 A 上 4、 A 下=A 上+t 过程（时间） 步骤二： 1、 B 下再做 B 上 2、 做的方向从结束点往开始点 3、 结束点 B 下=T （需要的总时间结束点 B 上=T-t 过程（时间） 4、 B 下=前一个的 B 上（这里的前一个是从终点起算的） 遇到多指出去的时，取数值小的 B 上 B 上=B 下—t 过程（时间） 步骤三： 总时差=B 上—A 上=B 下—A 下 如果不相等，你就是算错了 步骤四： 自由时差=紧后工作 A 上（取最小的）—本工作 A 下 =紧后工作的最早开始时间—本工作的最迟开始时间 （有多个紧后工作的取最小值） 例： 建筑工程双代号网络图是应用较为普遍的一种网络计划形式。它是以箭线及其两端节点的编号表示工作的网络图。 双代号网络图中的计算主要有六个时间参数： ES：最早开始时间，指各项工作紧前工作全部完成后，本工作最有可能开始的时刻； EF：最早完成时间，指各项紧前工作全部完成后，本工作有可能完成的最早时刻 LF：最迟完成时间，不影响整个网络计划工期完成的前提下，本工作的最迟完成时间； LS：最迟开始时间，指不影响整个网络计划工期完成的前提下，本工作最迟开始时间； TF：总时差，指不影响计划工期的前提下，本工作可以利用的机动时间； FF：自由时差，不影响紧后工作最早开始的前提下，本工作可以利用的机动时间。 双代号网络图时间参数的计算一般采用图上计算法。下面用例题进行讲解。 例题：试计算下面双代号网络图中，求工作C的总时差？ 早时间计算：ES，如果该工作与开始节点相连，最早开始时间为0，即A的最早开始时间ES=0； EF，最早结束时间等于该工作的最早开始+持续时间，即A的最早结束EF为0+5=5； 如果工作有紧前工作的时候，最早开始等于紧前工作的最早结束取大值，即B的最早开始FS=5，同理最早结束EF为5+6=11，而E 工作的最早开始ES为B、C工作最早结束（11、8）取大值为11。 最迟完成时间计算：LF，从最后节点开始算起也就是自右向左。 如果该工作与结束节点相连，最迟完成时间为计算工期23，即F的最迟结束时间LF=23； 中间工作最迟完成时间等于紧后工作的最迟完成时间减去紧后工作的持续时间。如果工作有紧后工作，最迟完成时间等于紧后工作最迟开始时间取小值。 LS，最迟开始时间等于最迟结束时间减去持续时间，即LS=LF-D； 时差计算： FF，自由时差=（紧后工作的ES-本工作的EF）； TF，总时差=（紧后工作的LS-本工作的ES）或者=（紧后工作的LF-本工作的EF）。 该题解析： 则C工作的总时差为3. 双代号网络图的绘制技巧 双代号网络图又称网络计划技术或箭条图，简称网络图。在我国随着建筑领域投资包干和招标承包制的深入贯彻执行，在施工过程中对进度管理、工期管理和成本监督方面要求愈益严格，网络计划技术在这方面将成为有效的工具。借助电子计算机，从计划的编制、优化、到执行过程中调整和控制，网络计划技术突现出它的优势，越来越被人们广泛认识、了解和使用。 1 绘图中普遍存在的问题 常听说大家对网络图的绘制比较头疼。因为在绘图时，工序与工序之间的逻辑关系难以把握、什么地方需要架设虚工序看不出来、前边工序什么时候相交、如何为后行工序做准备、网络图开始如何绘制、结尾如何收口等一系列问题都是我们绘制网络图必须遇到的问题和步骤。 如果掌握绘制技巧就能快速准确地完成绘图要求。下面我把这几年自己总结出来一套有效的方法介绍给大家。 ２网络图的绘制技巧 2.１网络图的三大要素网络图是由节点、工序和线路三大要素构成的。 ２.1.１节点 节点是用圆圈表示箭线之间的分离与交会的连接点。它由不同的代号来区，表示工序的结束与工序的开始的瞬间，具有承上启下的连接作用；它不占用时间，也不消耗资源。在网络图中结点分为开始结点、结束结点和中间结点三种。２.１.2 工序（工作） 工序是指把计划任务按实际需要的粗细程度划分成若干要消耗时间、资源、人力和材料的子项目。在网络图中用两个节点和一条箭线表示。箭线上方表示工序代号，下方表示工序作业时间。 2.１.３线路 线路是指在双代号网络图中从起点节点沿着箭线方向顺序通过一系列箭线和节点而达到终点节点的通道。一个完整的网路图有若干条线路组成，在诸多线路中作业时间相加最长的一条称为关键线路，宜用粗箭线、双箭线表示，使其一目了然。 2.２网络图的绘制技巧 要想快速准确地绘制双代号网路图，应先把工程项目的“工作明细表”分四步认真仔细的进行分析与研究。 ２.２.１网络图开头绘制技巧先从“工作明细表”中找出开始的工序。寻找的方法是：只要在“先行工序”一列中没有先行工序的工序，必定是开始的工序。这时候只需画一个 双代号网络图的绘制方法 一、根据题目要求画出工作逻辑关系矩阵表，格式如下： 二、根据工作逻辑矩阵表计算工作位置代号表，为了使双代号网络图的条理清楚，各工作的布局合理，可以先按照下列原则确定各工作的开始节点位置号和结束节点位置号，然后按各自的节点位置号绘制网络图。 位置代号计算规则： ①无紧前工作的工作（即双代号网络图开始的第一项工作），其开始节点位置号为零； ②有紧前工作的工作，其开始节点位置号等于其紧前工作的开始节点位置号的最大值加1； ③有紧后工作的工作，其结束节点位置号等于其紧后工作的开始节点位置号的最小值； ④无紧后工作的工作（即双代号网络图开始的最后一项工作），其结束节点位置号等于网络图中各工作的结束节点位置号的最大值加1。 三、绘制双代号网络进度计划表，按照下列绘图原则： 1、绘制没有紧前工作的工作箭线，使他们具有相同的开始节点，以保证网络图只有一个起点节点。 2、依次绘制其他工作箭线。这些工作箭线的绘制条件是其所有紧前工作箭线都已经绘制出来。在绘制这些工作箭线时，应按下列原则进行： ①当所要绘制的工作只有一项紧前工作时，则将该工作箭线直接绘制在其紧前工作之后即可。 ②当所要绘制的工作只有多项紧前工作时，应按以下四种情况分别予以考虑： 第一种情况：对于所要绘制的工作而言，如果在其多项紧前工作中存 在一项（且只存在一项）只作为本工作紧前工作的工作（即在紧前工作栏中，该紧前工作只出现一次），则应将本工作箭线直接画在该紧前工作箭 线之后，然后用虚箭线将其他紧前工作箭线的箭头节点与本工作的箭尾节 点分别相连，以表达它们之间的逻辑关系。 第二种情况：对于所要绘制的工作而言，如果在其紧前工作中存在多项只作为本工作紧前工作的工作，应将这些紧前工作的箭线的箭头节点合并，再从合并之后节点开始，画出本工作箭线，然后用虚箭线将其他紧前工作箭线的箭头节点与本工作的箭尾节点分别相连，以表达它们之间的逻辑关系。 第三种情况：对于所要绘制的工作而言，如果不存在第一和第二种情况时，应判断本工作的所有紧前工作是否都同时是其他工作的紧前工作（即在紧前工作栏中，这几项紧前工作是否均同时出现若干次）。如果上述条件成立，应将这些紧前工作的箭线的箭头节点合并，再从合并之后节点开始，画出本工作箭线。 第四种情况：对于所要绘制的工作而言，如果不存在第一和第二种情况，也不存在第三种情况时，则应将本工作箭线单独划在其紧前工作箭线之后的中部，然后用虚箭线将其他紧前工作箭线的箭头节点与本工作的箭尾节点分别相连，以表达它们之间的逻辑关系。 3、当各项工作箭线都绘制出来以后，应合并那些没有紧后工作的工作箭线的箭头节点，以保证网络图只有一个终点节点。 1 控制图的选择 1.1 计量值特性 凡产品的品质特性以实际量测方式取得的特性称为计量特性，例如重量、厚度等。 此类数据选用“均植和极差值X－R”控制图。 1.2 计数值特性 凡产品的品质特性不连续，不易或不能以实际量测方式取得，只能间断取值的特性，例如不合格数、不良品率等。 此类数据选用“P”控制图。 2 X-R控制图绘制步骤 2.1 决定须控制的特性。 2.2 收集25组数据。 2.3 使用MiniTab软件绘制控制图 1) 数据录入MiniTab工作表，如图1所示； 图1 MiniTab工作表 2) 选择Xbar-R菜单，如图2所示 图2 Xbar-R菜单 3) 根据会话窗口输入相应数据，如图3所示 图3 Xbar-R会话窗口 4) 绘制X-R控制图，如图4所示 S a m p l e S a m p l e M e a n 5 4 32 1 26 24 22 20 __ X=22.221 UCL=25.459 LCL=18.984 S a m p l e S a m p l e R a n g e 5 4 32 1 16 12840 _ R=6.70 UCL=13.42 LCL=01 Xbar-R Chart of C12 图4 X-R 控制图 2.4 检查是否有超出控制界限的点，如图4中第5组数据。 2.5 将超出控制界限的数据剔除并重复“2.4”。 3 生产现场X-R 控制图的使用 3.1 生产现场依据规定的抽样频率及抽样数，记录数据，所得数据录入MiniTab 工作表。 3.2 根据历史计算出的“均值”、“标准差”，绘制生产现场实时X-R 控制图。历史统计值输入窗口如图5所示。 概念部分 双代号网络图是应用较为普遍的一种网络计划形式。它是以箭线及其两端节点的编号表示工作的网络图，如图12-l所示。 图12-1 双代号网络图 双代号网络图中，每一条箭线应表示一项工作。箭线的箭尾节点表示该工作的开始，箭线的箭头节点表示该工作的结束。 工作是指计划任务按需要粗细程度划分而成的、消耗时间或同时也消耗资源的一个子项目或子任务。根据计划编制的粗细不同，工作既可以是一个建设项目、一个单项工程，也可以是一个分项工程乃至一个工序。 一般情况下，工作需要消耗时间和资源（如支模板、浇筑混凝土等），有的则仅是消耗时间而不消耗资源（如混凝土养护、抹灰干燥等技术间歇）。在双代号网络图中，有一种既不消耗时间也不消耗资源的工作——虚工作，它用虚箭线来表示，用以反映一些工作与另外一些工作之间的逻辑关系，如图12-2所示，其中2-3工作即为虚工作。 图12-2 虚工作表示法 节点是指表示工作的开始、结束或连接关系的圆圈（或其他形状的封密图形）、箭线的出发节点叫作工作的起点节点，箭头指向的节点叫作工作的终点节点。任何工作都可以用其箭线前、后的两个节点的编码来表示，起点节点编码在前，终点节点编码在后。 网络图中从起点节点开始，沿箭头方向顺序通过一系列箭线与节点，最后达到终点节点的通路称为线路。一条线路上的各项工作所持续时间的累加之和称为该线路之长，它表示完成该线路上的所有工作需花费的时间。理论部分： 一节点的时间参数 1．节点最早时间 节点最早时间计算一般从起始节点开始，顺着箭线方向依次逐项进行。 （1）起始节点 起始节点i如未规定最早时间ET i时，其值应等于零，即 （12-1） 式中——节点i的最早时间； （2）其他节点 控制图如何制作 公司标准化编码 [QQX96QT-XQQB89Q8-NQQJ6Q8-MQM9N] 控制图如何制作 控制图，是制造业实施品质管制中不可缺少的重要工具。它最早 是由美国贝尔电话实验室的休华特在1924年首先提出的，它通过设置合理的控制界限，对引起品质异常的原因进行判定和分析，使工序处于正常、稳定的状态。 控制图是按照3 Sigma 原理来设置控制限的，它将控制限设在X±3 Sigma 的位置上。在过程正常的情况下，大约有%的数据会落在 上下限之内。所以观察控制图的数据位置，就能了解过程情况有无变化。 工具/原料 电脑 待解决问题 方法/步骤 1.1 确定抽样数目，平均值—极差控制图的抽样数目通常为每组2~6个。确定抽样次数，通常惯例是每班次20~25次数，最少20组，一般25组较合适，但要确保样本总数不少于50个单位。 2.2 确定级差、均值及均值、级差控制界限（通过公式计算）。 3.3 制作Xbar--R控制图。 4.4 分析控制图并对异常原因进行调查及对策；继续对生产过程进行下一生产日的抽样并绘制控制图，以实现对工程质量的连续监控。 END 注意事项 制作Xbar--R控制图，需要明确记录抽样数据的基本条件（机种、项目、生产线、规格标准、控制界限、抽样时间及日期、抽样频次等），在控制图的上方可开辟“基本条件记录区”以记录上述条件；另外抽样的数据及计算出的X和R值记录在控制图的下方区域，形成“抽样数据区”，最下方可作为“不良原因对策区”，这样就可形成一份完整的Xbar--R控制图。 二、控制图的轮廓线 第3页/(共6页) 双代号网络图参数计算简易方法 一、非常有用的要点： 任何一个工作的总时差≥自由时差； 自由时差等于各时间间隔的最小值（这点对六时参数的计算非常用用）； 关键线路上相邻工作的时间间隔为零，且自由时差=总时差； 最迟开始时间—最早开始时间（最小） 关键工作：总时差最小的工作 最迟完成时间—最早完成时间（最小） 在网络计划中，计算工期是根据终点节点的最早完成时间的最大值。 二、双代号网络图六时参数的计算步骤（比书上简单得多） 最早开始ES 最迟开始LS 总时差TF 最早完成EF 最迟完成LF 自由时差FF 做题次序： 1 4 5 2 3 6 先求最早开始，再求最早完成，然后求最迟完成，第4步求最迟开始，第5步求总时差，第6步求自由时差。 步骤一： 1、先求最早开始，然后求最早完成； 2、做题方向：从起始工作往结束工作方向； 3、起点的最早开始= 0，下一个的最早开始=前一个的最早完成；当遇到多指向时，取数值大的最早完成。 最早完成=最早开始+持续时间 步骤二： 1、先求最迟完成，然后求最迟开始； 2、做题方向：从结束工作往开始工作方向； 3、结束点的最迟完成=工期T，（需要的总时间=结束工作节点中最大的最迟完成）， 结束点的最迟开始=工期T－持续时间； 4、最迟完成=前一个的最迟开始（这里的前一个是从终点起算的）；遇到多指向的时候，取数值小的最迟开始； 最迟开始=最迟完成－持续时间 步骤三： 总时差=最迟开始－最早开始=最迟完成－最早完成；如果不相等，你就是算错了； 步骤四： 自由时差=紧后工作最早开始(取最小的)－最早完成。 例： 总结起来四句话： 1、最早开始时间从起点开始，最早开始=紧前最早结束的max值； 2、最迟完成时间从终点开始，最迟完成=紧后最迟开始的min值； 3、总时差=最迟－最早； 4、自由时差=紧后最早开始的min值－最早完成。 注：总时差=自由时差＋紧后总时差的min值。 一、一般双代号网络图（没有时标）6个时间参数的计算方法（图上计算法） 6时间参数示意图： （左上）最早开始时间 | （右上）最迟开始时间 | 总时差 （左下）最早完成时间 | （右下）最迟完成时间 | 自由时差 计算步骤： 1、先计算“最早开始时间”和“最早完成时间”（口诀：早开加持续）： 计算方法：起始工作默认“0”为“最早开始时间”，然后从左向右累加工作持续时间，有多个紧前工作的取大值。 2、再计算“最迟开始时间”和“最迟完成时间”（口诀：迟完减持续）： 计算方法：结束工作默认“总工期”为“最迟完成时间”，然后从右到左累减工作持续时间，有多个紧后工作取小值。（一定要注意紧前工作和紧后工作的个数） 3、计算自由时差（口诀：后工作早开减本工作早完）： 计算方法：紧后工作左上（多个取小）-自己左下=自由时差。 4、计算总时差（口诀：迟开减早开或迟完减早完）： 计算方法：右上-左上=右下-左下=总时差。 计算某工作总时差的简单方法：①找出关键线路，计算总工期； ②找出经过该工作的所有线路，求出最长的时间 ③该工作总时差=总工期-② 二、双代号时标网络图（有时标，计算简便） 双代号时标网络计划是以时间坐标为尺度编制的网络计划，以实箭线表示工作，以虚箭线表示虚工作（虚工作没有持续时间，只表示工作之间的逻辑关系，即前一个工作完成后一个工作才能开始），以波形线表示该工作的自由时差。（图中所有时标单位均表示相应的持续时间，另外虚线和波形线要区分） 示例：双代号时标网络图 1、关键线路 在时标双代号网络图上逆方向看，没有出现波形线的线路为关键线路（包括虚工作）。如图中①→②→⑥→⑧ 检测质量控制图 1 质量控制样的测量及参数计算 l.1 质量控制样的选用原则和要求 l.1.1 质量控制样的选用原则 (1)质量控制样的组成应尽量与所要分析的待测样品相似。 (2)质量控制样中待测参数应尽量与待测样品相近。 (3)如待测样品中待测参数值波动不大，则可采用一个位于其间的中等参数值的质量控制样，否则，应根据参数幅度采用两种以上参数水平的质量控制样。 l.1.2 对质量控制样的要求 (1)测量方法与待测样品相同。 (2)与待测样品同时进行测量。 (3)每次至少平行测量两次，测量结果的相对偏差不得大于标准测量方法中所规定的相对标准偏差(变异系数)的两倍，否则应重做。 (4)为建立质量控制图，至少需要积累质量控制样重复实验的20个数据，此项重复测量应在短期内陆续进行，例如每天测量平行质量控制样一次，而不应将20个重复实验的测量同时进行，一次完成。 (5)如果各次测量的时间隔较长，在此期间可能由于气温波动较大而影响测定结果，必要时可对质量控制样的测定值进行温度校正。 1.2测量数值的积累及参数的计算 l.2.1 测量数值的积累 当质量控制样的测量数据积累至20个以上时，即可按下列公式计算出总均值X、标准偏差s(此值不得大于标准测量方法中规定的相应参数水平的标准偏差值)、平均极差(或差距)R 等。 式中，X i和X为平行测量控制样的测量值和平均值。 l.2.2 质量控制图的参数的计算 各种类型的质量控制图的基本参数计算公式列入表1。表中给出的是3σ控制限的计算公式，有时用2σ控制限，因此使用时应注意二者的换算。 表1 质量控制图的参数计算公式 控制图类型中心线3σ控制限 平均值±A 1 或±A 2 标准偏差B 2(下)和 B 4（上） 极差D 3（下）和 D 4（上） 般双代号网络图（没有时标）6个时间参数的计算方法（图上计算法） 6时间参数示意图: （左上）最早开始时间| （右上）最迟开始时间| 总时差 （左下）最早完成时间| （右下）最迟完成时间| 自由时差 计算步骤： 1、先计算“最早开始时间”和“最早完成时间” （口诀：早开加持续）： 计算方法：起始工作默认“ 0”为“最早开始时间”，然后从左向右累加工作持续时间，有多个紧前工作的取大值。 2、再计算“最迟开始时间”和“最迟完成时间” （口诀：迟完减持续）： 计算方法：结束工作默认“总工期”为“最迟完成时间”，然后从右到左累减工作 持续时间，有多个紧后工作取小值。（一定要注意紧前工作和紧后工作的个数） 3、计算自由时差（口诀：后工作早开减本工作早完）： 计算方法：紧后工作左上（多个取小）-自己左下=自由时差。 4、计算总时差（口诀：迟开减早开或迟完减早完）： 计算方法：右上-左上二右下-左下二总时差。 计算某工作总时差的简单方法：①找出关键线路，计算总工期; ②找出经过该工作的所有线路，求出最长的时间 ③该工作总时差=总工期-② 二、双代号时标网络图（有时标，计算简便） 双代号时标网络计划是以时间坐标为尺度编制的网络计划，以实箭线表示工作，以虚箭线表示虚工作（虚工作没有持续时间，只表示工作之间的逻辑关系，即前一个工作完成后一个工作才能开始），以波形线表示该工作的自由时差。（图中所有时标单位均表示相应的持续时间，另外虚线和波形线要区分） 示例：双代号时标网络图 双代号吋标网络图 1、关键线路 在时标双代号网络图上逆方向看，没有出现波形线的线路为关键线路（包括虚工作）如图中①一②一⑥一⑧ 2时差计算（这里只说自由时差和总时差，其余4个时差参见前面的累加和累减）1）自由 各类控制图控制限的计算公式 1． 均值-极差控制图(X-R chart) x CL x = R CL R = n d R x UCL x 2 3 += R d d UCL R )31(23 += n d R x UCL x 2 3 -= R d d UCL R )31(2 3 -= 2 ?d R =σ 2． 均值-标准差控制图(X-Sigma Chart) x CL x = s CL s = n c s x UCL x 43 += s n c UCL s )) 1(231(4-+ = n c s x UCL x 43 -= s n c UCL s )) 1(231(4-- = 4 ?c S =σ 其中3 4) 1(44--=n n C ，n 为子组样本容量 3． 单值-移动极差控制图 x CL x = R M CL R = 23d R M x UCL x += R M d d UCL R )31(2 3 += 2 3 d R M x UCL x -= R M d d UCL R )31(2 3 -= 2 ?d R M =σ 相当于n=2时的极差控制图 4． 不良率控制图（P 图） ) 1(1 3) 1(1 3P P n P LCL P P n P UCL P CL --=-+== 5． 不良数控制图（Pn 图） k k k k n n n p n p n p n p k np np np p n P n P P n P n P LCL P n P n P UCL n P CL ???+++???++= +???++=--=-+==21221121,) 1(3)1(3为平均不合格品率 为平均不合格品数，其中 6． 缺陷数控制图（C 图） 最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word文本 --------------------- 方便更改 赠人玫瑰，手留余香。 双代号网络图参数计算的简易方法 一、非常有用的要点： 任何一个工作总时差≥自由时差 自由时差等于各时间间隔的最小值（这点对六时参数的计算非常用用） 关键线路上相邻工作的时间间隔为零，且自由时差=总时差 最迟开始时间—最早开始时间（最小） 关键工作：总时差最小的工作 最迟完成时间—最早完成时间（最小） 在网络计划中，计算工期是根据终点节点的最早完成时间的最大值。 二、双代号网络图六时参数总结的计算步骤（比书上简单得多） 最早开始时间ES 最迟开始时间LS 总时差 最早完成时间EF 最迟完成时间LF 自由时差 简记为： A 上 B 上 总时差 A下 B下自由时差 ①② t过程 做题次序： 1 4 5 2 3 6 步骤一： 1、A上再做A下 2、的方向从起始工作往结束工作方向； 3、起点的A上=0，下一个的A上=前一个的A下； 当遇到多指向时，要取数值大的A 下 A上 4、A下=A上+t过程（时间） 步骤二： 1、B下再做B上 2、做的方向从结束点往开始点 3、结束点B下=T（需要的总时间=结束工作节点中最大的A下） 结束点B 上= T-t过程（时间） 4、B下=前一个的B上（这里的前一个是从终点起算的） 遇到多指出去的时，取数值小的B上 B下 t过程（时间） B上=B下—t过程（时间） 步骤三： 总时差=B 上—A 上 =B 下 —A 下 如果不相等，你就是算错了步骤四： 自由时差=紧后工作A 上（取最小的）—本工作A 下 例： 6 8 2 * 9 11 2 双代号网络图作为工程项目进度管理中，是最常用的工作进度安排方法，也是工程注册类执业考试中必考内容，对它的掌握程度，决定了实务考试的通过概率大小。 双代号网络图时间参数主要为6个时间参数（最早开始时间、最早完成时间、最迟开始时间、最迟完成时间、总时差和自由时差）的计算，按计算方法可以分为： 1、节点计算法 2、工作计算法 3、表格计算法 节点计算法最适合初学者，其计算方法简单、快速。 计算案例： 某工程项目的双代号网络见下图。（时间单位：月） [问题] 计算时间参数和判断关键线路。 [解答] 1、计算时间参数 （1）计算节点最早时间，计算方法：最早时间：从左向右累加，取最大值。 （2）计算最迟时间, 最迟时间计算方法：从右向左递减，取小值。 2、计算工作的六个时间参数 自由时差：该工作在不影响其紧后工作最早开始时间的情况下所具有的机动时间。 总时差：该工作在不影响总工期情况下所具有的机动时间。 通过前面计算节点的最早和最迟时间，可以先确定工作的最早开始时间和最迟完成时间，根据工作持续时间，计算出最早完成时间和最迟开始时间，以F工作为例，计算F工作的4个参数（以工作计算法标示）如下： 注:EF=ES+工作持续时间 LF=LS+工作持续时间 接下来计算F工作的总时差TF，在工作计算法中，总时差TF=LS-ES或LF-EF，在节点计算法，总时差TF可以紧后工作的最迟时间-本工作的最早完成时间，或者是紧后工作最迟时间-最早时间，以F工作为例计算它的TF： 接下来计算F工作的自由时差FF，根据定义：该工作在不影响其紧后工作最早开始时间的情况下所具有的机动时间，自由时差FF=紧后工作最早（或最小）开始时间-本工作最早完成时间ES，以F工作为例，F的紧后工作为G和H，G工作的最早开始时间为10（即4节点的最早时间），H工作的最早开始时间为11（即5节点的最早时间），G工作的时间最小，所以F的自由时差FF=G工作的最早开始时间ES-F工作的最早完成时间EF： 一、双代号网络图6个时间参数的计算方法（图上计算法）从左向右累加，多个紧前取大，计 算最早开始结束；从右到左累减，多个紧后取小，计算最迟结束开始。 紧后左上-自己右下=自由时差。上方之差或下方之差是总时差。 计算某工作总时差的简单方法：①找出关键线路，计算总工期； ②找出经过该工作的所有线路，求出最长的时间 ③该工作总时差=总工期-② 二、双代号时标网络图双代号时标网络计划是以时间坐标为尺度 编制的网络计划，以实箭线表示工作，以虚箭线 表示虚工作，以波形线表示工作的自由时差。 双代号时标网络图 1、关键线路 在时标双代号网络图上逆方向看，没有出现波形线的线路为关键线路（包括虚工作）如图中①一②一⑥一⑧ 2、时差计算1）自由时差 双代号时标网络图自由时差的计算很简单，就是该工作箭线上波形线的长度。 如A工作的FF=O, B工作的FF=1 但是有一种特殊情况，很容易忽略。 如上图，E工作的箭线上没有波形线，但是E工作与其紧后工作之间都有时间间隔，此时E X作的自由时差=E与其紧后工作时间间隔的最小值，即E的自由时差为1。 2）总时差。 总时差的简单计算方法： 计算哪个工作的总时差，就以哪个工作为起点工作（一定要注意，即不是从头算，也不 是 从该工作的紧后算，而是从该工作开始算），寻找通过该工作的所有线路，然后计算各 条线路的 波形线的长度和，该工作的总时差=波形线长度和的最小值。 还是以上面的网络图为例，计算E工作的总时差： 以E工作为起点工作，通过E工作的线路有EH ffi EJ,两条线路的波形线的和都是2,所以此时E 的总时差就是2。 再比如，计算C工作的总时差：通过C工作的线路有三条，CEH波形线的和为4; CEJ 波形线的和为4；CGJ波形线的和为1,那么C的总时差就是1双代号网络图六个参数计算方法(各实务专业通用)
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