(完整)2019-2020年高考数学压轴题集锦——导数及其应用(一)

2019-2020年高考数学压轴题集锦——导数及其应用（一）

1.已知函数2

()ln (R)f x x ax x a =++∈. （1）讨论函数()f x 在[1,2]上的单调性； （2）令函数12()()x g x e

x a f x -=++-，e =2.71828…是自然对数的底数，

若函数()g x 有且只有一个零点m ，判断m 与e 的大小，并说明理由.

2.已知函数3

2

()f x x ax bx c =+++在2

3

x =-与1x =时都取得极值. （1）求a ，b 的值与函数f (x )的单调区间； （2）若对[,1]x c ∈，不等式()2

c

f x <恒成立，求c 的取值范围.

3.已知函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--. （1）证明'()2f x ≥；

（2）如果()f x ax ≥对[0,1)x ∈恒成立，求a 的范围.

4.已知函数1

()x

x f x e +=

（e 为自然对数的底数）. （1）求函数()f x 的单调区间； （2）设函数1

()()'()x x xf x tf x e

?=++，存在实数1x ，2x [01]∈，，使得122()()x x ??<成立，求实数t 的取值范围.

5.已知函数()x f x kx a =-，其中k R ∈，0a >且1a ≠ .

（1）当a e =（e =2.71…为自然对数的底）时，讨论f (x )的单调性； （2）当1k =时，若函数f (x )存在最大值g (a )，求g (a )的最小值.

6.已知函数()()2

ln f x x ax x a R =-+-∈

（1）当3a =时，求函数f (x )在1,22??????

上的最大值和最小值；

（2）函数f (x )既有极大值又有极小值，求实数a 的取值范围.

7.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()3

13

f x x ax a R =

+∈，且曲线f (x )在12x =

处的切线与直线3

14

y x =--平行 （1）求a 的值及函数f (x )的解析式；

（2）若函数()y f x m =-在区间?-?上有三个零点，求实数m 的取值范围.

8.已知函数(),0ln x

f x ax a x

=

-> （1）若函数()y f x =在()1,+∞上减函数，求实数a 的最小值；

（2）若存在212,,x x e e ??∈??，使()()12f x f x a '≤+成立，求实数a 的取值范围.

9.已知函数3

2

()1f x x ax bx a b =+++∈，，R ． （1）若2

0a b +=，

①当0a >时，求函数f (x )的极值（用a 表示）；

②若f (x )有三个相异零点，问是否存在实数a 使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出a 的值；若不存在，请说明理由；

（2）函数f (x )图象上点A 处的切线1l 与f (x )的图象相交于另一点B ，在点B 处的切线为

2l ，直线12l l ，的斜率分别为12k k ，，且21=4k k ，求a ，b 满足的关系式．

10.已知函数()x x

f x e e

-=+，其中e 是自然对数的底数．

（1）若关于x 的不等式()1x

mf x e m -≤+-在(0,+∞)上恒成立，求实数m 的取值范围；

（2）已知正数a 满足：存在0[1,)x ∈+∞，使得3000()(3)f x a x x <-+成立．试比较1

a e

-与1

e a -的大小，并证明你的结论．

11.已知函数()()ln 2ax

f x e x =+（e 为自然对数的底数）.

（1）若a R ∈，()()'ax F x e f x -=，讨论()F x 的单调性； （2）若1

2

a <，函数()()1g x f x x =--在(－1,+∞)内存在零点，求实数a 的范围.

12.已知函数()(2)(1)2ln f x a x x =---（a R ∈）.

（1）若函数()()g x f x x =+上带你(1,(1))g 处的切线过点(0,2)，求函数()g x 的单调减区间；

（2）若函数()y f x =在1(0,)2

上无零点，求a 的最小值.

13.已知a R ∈，函数2

()ln f x a x x

=

+. （1）若函数()f x 在区间(0,2)内单调递减，求实数a 的取值范围； （2）当0a >时，求函数()f x 的最小值()g a 的最大值；

（3）设函数()()(2)h x f x a x =+-，[1,)x ∈+∞，求证：()2h x ≥.

14.设函数2

2

()ln ()f x a x x ax a R =-+-∈. （1）试讨论函数()f x 的单调性；

（2）设2()2()ln x x a a x ?=+-，记()()()h x f x x ?=+，当0a >时，若方程

()()h x m m R =∈有两个不相等的实根1x ，2x ，证明12

'(

)02

x x h +>.

15.已知函数()(ln 1)(0)x

f x e a x a =-+> .

（1）f (x )在区间(0,2)上的极小值等于，求；

（2）令()21

12x g x mx x =-+-，设1212,()x x x x <是函数()()()()f x f x h x g x a

'-=+

的两个极值点，若m ≥

，求12()()h x h x -的最小值.

参考答案

1.

（1）由已知0x >，且2121

()2x ax f x x a x x

++'=++=

①当280a ?=-≤时，即当a -≤≤()0f x '≥

则函数()f x 在[1,2]上单调递增…………………………………………………………1分

②当280a ?=->时，即a <-或a >2210x ax ++=有两个根，

x =

，因为0x >，所以x =

1°当14

a -≤时，令(1)30f a '=+≥，解得3a ≥-

∴

当3a -≤<-a >()f x 在[1,2]上单调递增…………………3分

2°当12<<时，令(1)30f a '=+<，9(2)02f a '=+>， 解得9

32

a -

<<-

∴当932

a -<<-时，函数()f x 在[1,4a -+上单调递减，

在2]上单调递增；…………………5分

3°2≥时，令9(2)02f a '=+≤，解得92a ≤- ∴当9

2

a ≤-时，函数()f x 在[1,2]上单调递减； ……………………………………6分

（2）函数121

()()ln x x g x e x a f x e x ax a --=++-=--+

则1

1

()()x g x e a h x x -'=--= 则1

21

()0x h x e

x

-'=+

>，所以()g x '在(0,)+∞上单调增 当0,(),,()x g x x g x →→-∞→+∞→+∞，所以()R g x '∈ 所以()g x '在(0,)+∞上有唯一零点1x

当11(0,),()0,(,),()0x x g x x x g x ''∈<∈+∞>，所以1()g x 为()g x 的最小值

由已知函数()g x 有且只有一个零点m ，则1m x =

所以()0,()0,g m g m '==则111

ln 0m m e a m e m am a --?--=??

?--+=?

…………………………………9分 则1

1111ln ()()0m m m e

m e m e m m ------

+-=，得11(2)ln 0m m m e m m

----+= 令1

1

()(2)ln (0)x x p x x e x x x

--=--+>，所以()0,p m = 则1

21

()(1)()x p x x e

x

-'=-+

，所以(0,1),()0,(1,),()0x p x x p x ''∈>∈+∞< 所以()p x 在(1,)+∞单调递减， 因为1

111

(1)10,()(2)1(2)0e e e p p e e e

e e e e

---=>=--+

=--< 所以()p x 在(1,)e 上有一个零点，在(,)e +∞无零点

所以m e < …………………………………………………………………………………12分 2.

解：（1）3

2

'

2

(),()32f x x ax bx c f x x ax b =+++=++ 由'

2

124()0393f a b -=

-+=，'(1)320f a b =++=得1

,22

a b =-=- '2()32(32)(1)f x x x x x =--=+-，

随着x 变化时，()()f x f x ’，的变化情况如下表：

所以函数()f x 的递增区间是(,)3-∞-与(1,)+∞,递减区间是(,1)3

-； （2）3

2

1()22

f x x x x c =--+， 当32-

≤c 时，由（1）知)(x f 在[]1,c 上的最大值为222

()327

f c -=

+

所以只需要222()3272c f c -=+<，得44

27

c <- 当

13

2

<<-

c 时，由（1）知)(x f 在

[]

1,c 上的最大值为

323211

()222

f c c c c c c c c =--+=--

所以只需要3

21()22c f c c c c =--<，解得3

102

c c <-<<或 所以01c <<

综上所述，c 的取值范围为()1,02744,Y ??

?

?

?-∞- 3.

解：（1）证明：()2

112

'111f x x x x =

+=

+-- 11<<-x Θ 故1102≤-

()2'≥∴x f

（2）由题意知()001f x ax x -≥≤<对恒成立， 设()(),01g x f x ax x =-≤<，则()2

2

'()'1g x f x a a x

=-=

-- ()恒成立时，当0'2≥≤x g a ，[)()0,1g x 在上单调递增

()()0g x g ≥=0,符合题意

()得

时，当0'2=>x g a a x

=-2

12

， 即

212

x a

-=a x a x 21,212-

=-=∴即

(),0'2

10<-<<∴x g a

x 时，)(x g 单调递减

()()0g x g <=0,不合题意

综上，a 的取值范围为(],2-∞

4.

解:(1)∵函数的定义域为R ，f ′(x )＝－x

e x ，

∴当x <0时，f ′(x )>0，当x >0时，f ′(x )<0，

∴f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．

(2)存在x 1，x 2∈[0,1]，使得2φ(x 1)<φ(x 2)成立， 则2[φ(x )]min <[φ(x )]max .

∵φ(x )＝xf (x )＋tf ′(x )＋e －x

＝x

e

x t x 1

)1(2+-+， ∴()()()x

x e x t x e t x t x x 1)1('2---=-++-=

?. ①当t ≥1时，φ′(x )≤0，φ(x )在[0,1]上单调递减，∴2φ(1)<φ(0)，即t >3－

2

e

>1； ②当t ≤0时，φ′(x )>0，φ(x )在[0,1]上单调递增， ∴2φ(0)<φ(1)，即t <3－2e<0； ③当00，φ(x )在(t,1)上单调递增，∴2φ(t )

1t t e +

e

-}．(*) 由(1)知，g (t )＝2·1

t t e

+在[0,1]上单调递减， 故

4e ≤2·1t t e +≤2，而2e ≤3t e -≤3e

，∴不等式(*)无解． 综上所述，存在t ∈(－∞，3－2e)∪(3－2

e

，＋∞)，使得命题成立． 5.

解：（1）由题()x f x kx e =- ()x f x k e '=- ，

①当0k ≤，当()0f x '<，()f x 在R 上是减函数；

②当0k >，当ln x k >，()0f x '<，()f x 在(ln )k +∞，上是减函数；当ln x k <，()0f x '> ，()f x 在(ln )k -∞， 上是增函数.

即当0k ≤时，()f x 在()-∞+∞，上个递减；

当0k >时，()f x 在(ln )k +∞，上递减，在(ln )k -∞，上递增. （2）当1k =，()x f x x a =-，()1ln x f x a a '=-.

①当01a <<时，0x a >，ln 0a <，则()0f x '> ，()f x 在R 上为增函数，()f x 无极大

值，也无最大值；

②当1a >，设方程()0f x '=的根为t ，得1

ln a a

'=. 即1

ln

1

ln log ln ln a a t a a

==，

所以()f x 在()t -∞，上为增函数，在()t +∞，上为减函数， 则()f x 的极大值为1

ln

1ln ()ln ln t a f t t a a a =-=-，1

0ln a

>.

令1

ln

1

ln ()ln ln a g a a a

=-，令()ln h x x x x =-，0x >.

()ln h x x '=.

当1x >时()0h x '>；当(01)x ∈，时()0h x '<，所以1x =为()h x 极小值也是最小值点. 且(1)1h =-，即()g a 的最小值为1-，此时a e =. 6.

解：（1）当3a =时，()()()22111231

23x x x x f x x x x x

---+'=-+-=-=-，

函数()f x 在区间1,22?? ???

仅有极大值点1x =，故这个极大值点也是最大值点， 故函数在1,22??????

的最大值是()12f =，

又()()15322ln 2ln 22ln 20244f f ????-=--+=-<

? ?????，故()122f f ??

< ???， 故函数()f x 在1,22

?????

?

上的最小值为()22ln 2f =-.

（2）若()f x 既有极大值又有极小值，则必须()0f x '=有两个不同正根12,x x ，

即2

210x ax -+=有两个不同正根，故a

应满足：20

80002a a a

a ?>??->???>??>>???∴函数()f x 既有极大值又有极小值，实数a

的取值范围是a >

7.

解：（1）当0x >时，()2f x x a '=+，因为曲线()f x 在1

2

x =

处的切线与直线3

14

y x =--平行，

所以11

324

4f a ??'=+=-

?

??，所以1a =-，则当0x >时，()313f x x x =-， 因为()f x 是定义在R 上的奇函数，可知()00f =， 设0x <，则0x ->，()3

13

f x x x -=-+， 所以()()3311

33

f x f x x x x x ??=--=--

+=- ???， 综上所述，函数()f x 的解析式为：()()3

13

f x x x x R =-∈. （2）由()()3

13

f x x x x R =

-∈得：()21f x x '=-，令()0f x '=得：1x =± 当31x -<<-时，()0f x '>，()f x 单调递增，当11x -<<时，()0f x '<，()f x 单调递减，

当1x <<

()0f x '>，()f x 单调递增，又()36f -=-，()213

f -=

，()2

13

f =-，0f

=

函数()y f x m =-在区间?-?

上有三个零点，

等价于()f x 在?-?

上的图像与y m =有三个公共点，结合()f x 在区间?-?

上

大致图像可知，实数m 的取值范围是3,02??

- ???

. 8.

解：因为()f x 在()1,+∞上是减函数，故()()

2

ln 1

0ln x f x a x -'=

-≤在()1,+∞上恒成立，

又()()

()

2

2

2

ln 1

1

1111ln ln 24

ln ln x f x a a a x x x x -??'=

-=-

+-=--+- ???，

故当

11ln 2x =，即2x e =时，()max 14f x a '=-，所以104a -≤，于是1

4a ≥，故a 的最小值为

1

4

. （2）命题“若212,,x x e e ???∈??，使()()12f x f x a '≤+成立” 等价于“当2

,x e e ??∈??时，有()()min max f x f x a '≤+” 由（1），当2

,x e e ??∈??时，()max 14f x a '=

-，所以()max 1

4

f x a '+=. 问题等价于：“当2,x e e ??∈??时，有()min 1

4

f x ≤

” ①当14

a ≥

时，由（1），()f x 在2

,e e ????上是减函数，则()()222min 1124f x f e e ae ==-≤，故211

24a e

≥-

②当14a <时，由于()2

111ln 24f x a x ??'=--+- ???在2

,e e ????上为增函数， 于是()f x '的值域为()()2

,f e f e ??''?

?

，即1,

4a a ??--???

?

. 01.若0a -≥，即0a ≤，()0f x '≥，在2,e e ????上恒成立，故()f x 在2,e e ????上为增函

数，

于是()()min 1

4

f x f e e ae e ==-≥>

，不合题意； 02.若0a -<，即1

04

a <<

，由()f x '的单调性和值域知，存在唯一()20,x e e ∈，使()00f x '=，且满足当()0,x e x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数，

当()

20,x x e ∈时，()0f x '>，()f x 为增函数， 所以()()()20000min 01

,,ln 4

x f x f x ax x e e x ==-≤∈， 所以2001111111ln 4ln 4244a x x e e ≥

->->-=，与1

04

a <<矛盾，不合题意； 综上：a 的取值范围为21

1,2

4e ??-+∞????

.

9.

解：（1）①由2()32f x x ax b '=++及02=+b a ， 得22()32f x x ax a '=+-， 令()0f x '=，解得3

a

x =

或a x -=. 由0>a 知，(,)()0x a f x '∈-∞->，，)(x f 单调递增，

(,)()03a x a f x '∈-<，，)(x f 单调递减，(,)()03

a

x f x '∈+∞>，，)(x f 单调递增，

因此，)(x f 的极大值为3

()1f a a -=+，)(x f 的极小值为3

5()1327

a a f =-.

② 当0a =时，0b =，此时3()1f x x =+不存在三个相异零点；

当0a <时，与①同理可得)(x f 的极小值为3()1f a a -=+，)(x f 的极大值为

3

5()1327

a a f =-

. 要使)(x f 有三个不同零点，则必须有33

5(1)(1)027

a a +-<， 即3327

15

a a <->

或. 不妨设)(x f 的三个零点为321,,x x x ，且321x x x <<， 则123()()()0f x f x f x ===，

3

221111()10f x x ax a x =+-+=， ① 3222222()10f x x ax a x =+-+=， ② 3223333()10f x x ax a x =+-+=， ③

②-①得2

22212

121212121()()()()()0x x x x x x a x x x x a x x -+++-+--=， 因为210x x ->，所以2

222

12121()0x x x x a x x a ++++-=， ④ 同理22

23

32232()0x x x x a x x a ++++-=， ⑤ ⑤-④得231313131()()()()0x x x x x x x a x x -+-++-=， 因为310x x ->，所以2310x x x a +++=， 又1322x x x +=，所以23

a

x =-

. 所以()03

a

f -=，即22239a a a +=-，即327111a =-<-，

因此，存在这样实数

a =满足条件.

（2）设A （m ，f (m )）,B (n ，f (n ))，则b am m k ++=2321，b an n k ++=2322，

又b n m a n mn m n

m n m b n m a n m n m n f m f k +++++=--+-+-=--=)()

()()()()(2222331，

由此可得b n m a n mn m b am m +++++=++)(23222，化简得m a n 2--=， 因此，b a am m b m a a m a k +++=+--+--=2222812)2(2)2(3， 所以，2221284(32)m am b a m am b +++=++， 所以b a 32=. 10.

解：（1）由条件知(1)1x

x

x m e e

e --+-≤-在(0,)+∞上恒成立，

令x

t e =（0x >），则1t >，所以211

11111

t m t t t t -≤-

=-

-+-++-对于任意1t >成立．

因为111131t t -+

+≥=-，∴1113111

t t -

≥--++-， 当且仅当2t =，即ln 2x =时等号成立． 因此实数m 的取值范围是1(,]3

-∞-． （2）令函数31()(3)x

x g x e a x x e =+--+，则2

1'()3(1)x x

g x e a x e

=-+-， 当1x ≥时，10x

x

e e

-

>，210x -≥，又0a >，故'()0g x >， 所以()g x 是[1,)+∞上的单调递增函数，

因此()g x 在[1,)+∞上的最小值是1

(1)2g e e a -=+-． 由于存在0[1,)x ∈+∞，使00

300(3)0x

x e e

a x x -+--+<成立，当且仅当最小值(1)0g <，

故1

20e e a -+-<，即1

2

e e a -+>．

1a e -与1e a -均为正数，同取自然底数的对数，

即比较(1)ln a e -与(1)ln e a -的大小，试比较

ln 1e e -与ln 1

a

a -的大小．

构造函数ln ()1

x h x x =-（1x >），则21

1ln '()(1)x

x h x x --=-，

再设1()1ln m x x x =-

-，21'()x

m x x

-=，从而()m x 在(1,)+∞上单调递减， 此时()(1)0m x m <=，故'()0h x <在(1,)+∞上恒成立，则ln ()1

x

h x x =-在(1,+)∞上单调递减．

综上所述，当1

(,)2

e e a e -+∈时，11a e e a --<； 当a e =时，1

1a e e

a --=；

当(,)a e ∈+∞时，1

1a e e a -->．

11.

（Ⅰ）(1) 当 0a ≤时，()F x 在()2,-+∞ 上单调递减； (2) 当0a >时,()F x 在 12,

2a ??-- ???上单调递减,在12,a ??

-+∞ ???

单调递增． （Ⅱ）a 的取值范围是 1(,0)0,2?

?-∞ ???

U . 解：（I ）定义域为{}|2,x x >-

()()()11'e ln 2e e ln 222ax ax ax f x a x a x x x ?

?=?++?

=++ ?++??

故()()()1e 'ln 22ax F x f x a x x -==++

+ 则 ()()()

22

121

'222a ax a F x x x x +-=-=+++ (1)若0a =，则()()'0,F x F x <在()2,-+∞ 上单调递减；…………………2分 (2)若0a ≠，令()1

'02F x x a

=?=-. ①当 0a <时，则1

22x a

=

-<-，因此在()2,-+∞ 上恒有 ()'0F x < ，即 ()F x 在()2,-+∞ 上单调递减；

②当0a >时，122x a =

->-，因而在12,2a ??-- ???上有()'0F x <，在12,a ??

-+∞ ???

上有

()'0F x >；因此 ()F x 在 12,2a ??-- ???上单调递减，在12,a ??

-+∞ ???

单调递增.

综上， (1) 当 0a ≤时，()F x 在()2,-+∞ 上单调递减； (2) 当0a >时， ()F x 在 12,2a ??-- ???上单调递减，在12,a ??

-+∞ ???

单调递增． …………………5分

（Ⅱ）设 ()()()()1ln 21,1,ax

g x f x x e x x x =--=+--∈-+∞,

()()()()1''1ln 2112ax ax

g x f x e a x e F x x ??=-=++-=- ?

+?

?，设()()()'1ax h x g x e F x ==-，

则 ()()()()()2

2241''ln 22ax

ax

ax a h x e aF x F x e a x x ??

+- ???=+=++?? ?+??

． (1) 若=0a ,

()()()()1ln 21,1,g x f x x x x x =--=+--∈-+∞

()()'1110,1,22

x g x x x x --=

-=<∈-+∞++ ()g x 在()1,x ∈-+∞单调递减，()()10g x g <-=

故此时函数()g x 无零点， =0a 不合题意. …………………7分 (2)若0a < ,

①当0x ≥时，01ax e <≤，由（1）知()ln 21x x +<+对任意()1,x ∈-+∞恒成立

()()()

ln 211)1(1()10ax ax ax g x e x x e x x x e ∴=+--<+--=+-≤，

故 ()0g x <，对任意[

)0,x ∈+∞恒成立， ②当10x -<<时,

()'1,10a g e -->-=

()1

'0ln202

g a =-

<， 因此当10x -<<时()'

g x 必有零点，记第一个零点为0x ， 当0(1,)x x ∈-时()'

g x >，

()g x 单调递增，()(1)0

g x g >-=.

由①②可知，当0a <时，()g x 必存在零点. …………………9分 (2)当1

02

a <<

，考察函数 ()'h x ，由于

()()1222

114'1e 210,'ln 20,22122a a h a h e a a a a -??

????? ?-=-<=++> ? ? ???????+ ?

????

? ()'h x ∴在 ()1,-+∞上必存在零点.设()'h x 在 ()1,-+∞的第一个零点为1x ，则当

()11,x x ∈-时， ()'0h x <，故 ()h x 在 ()11,x -上为减函数，

又 ()()e

110a

h x h -=-<-<，

所以当()11,x x ∈-时， ()'0g x <，从而 ()g x 在()11,x x ∈-上单调递减，故当

()11,x x ∈-时恒有 ()()10g x g <-=.即()10g x < ，

令'()1,()(1)ax ax

x e ax x a e ??=--=-，则()x ?在(1,0)x ∈-单调递减，在(0,)

x ∈+∞单调递增.()(0)0x ??≥=即1,ax

e

ax ≥+注意到1ax e ax ax a ≥+>+，

因此()()()()()

ln 21(1)ln 21(1)ln 21ax g x e x x a x x x x a x =+-->++--=++-，

令1

0a

x e =时，则有()1111

0(1)ln 21(1)ln 10a

a a a

g x e a e e a e ??????>++->+-= ? ? ? ?

?????

?，

由零点存在定理可知函数 ()y g x =在 1

1,a x e ??

???

上有零点，符合题意.

综上可知， a 的取值范围是 1(,0)0,

2??

-∞ ???

U . …………………12分 （Ⅱ）解法二：设()()()()1ln 21,1,ax

g x f x x e x x x =--=+--∈-+∞,

()()()()1''1ln 2112ax ax

g x f x e a x e F x x ??=-=++-=- ?+?

?，

(1) 若=0a ,

()()()()1ln 21,1,g x f x x x x x =--=+--∈-+∞

()()'1110,1,22

x g x x x x --=

-=<∈-+∞++ ()g x 在()1,x ∈-+∞单调递减，()()10g x g <-=

故此时函数()g x 无零点， =0a 不合题意. …………………7分 (2)若0a < ,当10x -<<时,()'1,10a g e -->-=()1

'0ln202

g a =-<， 因此当10x -<<时()'

g x 必有零点，记第一个零点为0x ，

当0(1,)x x ∈-时()'

0g x >，

()g x 单调递增，()0(1)0g x g >-=又 ()()001ln210,

g f =-=-<

所以，当0a <时，()g x 在0(,0)x x ∈必存在零点. …………………9分 (3)当1

02

a <<

，由于 ()ln 2100g <-< ， 令'()1,()(1)ax ax

x e ax x a e ??=--=-，则()x ?在(1,0)x ∈-单调递减，在(0,)

x ∈+∞单调递增.()(0)0x ??≥=即1,ax

e

ax ≥+注意到 1ax e ax ax a ≥+>+，

因此()()()()()

ln 21(1)ln 21(1)ln 21ax g x e x x a x x x x a x =+-->++--=++-，

令1

0a

x e =时，则有()1111

0(1)ln 21(1)ln 10a

a a a

g x e a e e a e ??????>++->+-= ? ? ? ?

?????

?， 由零点存在定理可知函数 ()y g x =在()00,x 上存在零点，符合题意. 综上可知，a 的取值范围是 1(,0)0,2??

-∞ ???

U . …………………12分 12.

（1）∵()(3)(2)2ln g x a x a x =----，∴2'()3g x a x

=--， ∴'(1)1g a =-， 又(1)1g =，∴12

1110

a --==--，解得2a =， 由22'()320x g x x x

-=--

=<，得02x <<， ∴()g x 的单调递减区间为(0,2). （2）若函数()f x 在1

(0,)2

上无零点，

则()f x 在1(0,)2

上()0f x <或()0f x >恒成立， 因为()0f x <在区间1(0,)2

上恒成立不可能，

故要使函数()f x 在1(0,)2上无零点，只要对任意的1(0,)2

x ∈，()0f x >恒成立，

即对1(0,)2x ∈，2ln 21

x

a x >--恒成立. 令2ln ()21x I x x =-

-，1

(0,)2

x ∈， 则22

22(1)2ln 2ln 2

'()(1)(1)

x x x x x I x x x --+-=-=--， 再令2()2ln 2m x x x =+-，1

(0,)2

x ∈， 则22222(1)'()0x m x x x x -=-

+=-<， 故()m x 在1(0,)2

上为减函数，于是1()()22ln 202

m x m >=->， 从而'()0I x >，于是()I x 在1(0,)2

上为增函数， 所以1()()24ln 22

I x I <=-， 故要使2ln 21x a x >-

-，1

(0,)2

x ∈恒成立，只要[24ln 2,)a ∈-+∞， 综上，若函数()f x 在1

(0,)2

上无零点，则a 的最小值为24ln 2-. 13.

（1）函数()f x 在区间(0,2)内单调递减

(0,2)x ??∈，恒有'()0f x ≤成立，

而2

2

'()0ax f x x -=

≤， 故对(0,2)x ?∈，恒有2

a x

≤成立， 而

2

1x

>，则1a ≤满足条件. 所以实数a 的取值范围为(,1]-∞. （2）当0a >时，222

'()0ax f x x x a

-=

=?=.

随x 的变化，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：

所以()f x 的最小值()ln g a f a a a a ??

==+

???

. '()ln 2ln 02g a a a =-=?=.

随x 的变化，'()g x ，()g x 的变化情况如下表：

（3）因为[1,)x ∈+∞， 所以当2a ≥时，

()()(2)h x f x a x =+-2

ln (2)a x a x x

=

++-. 因为2

2

'()20ax h x a x -=

+-≥， 所以()h x 在区间[1,)+∞内是增函数， 故()(1)2h x h a ≥=≥.

当2a <时，()()(2)h x f x a x =--2

ln (2)a x a x x

=+--， 由2

2

'()2ax h x a x

-=

-+ [(2)2](1)

0a x x x

-+-=

=，

解得2

02x a

=-

<-（舍去）或1x =. 又20a ->，故1x ≥时，'()0h x ≥， 所以()h x 在区间[1,)+∞内是增函数， 所以()(1)42h x h a ≥=->.

综上所述，对[1,)x ?∈+∞，()2h x ≥恒成立.

[数学]数学高考压轴题大全

1、（本小题满分14分） 已知函数． （1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围； （2）当时，试比较与的大小； （3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数． （Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性； （Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点； （Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原 点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直 线于点. （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点；

（ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出 此时 的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题 （每空？ 分，共？ 分） 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ，且函数为偶函数．若函数 满足下列条件：①；② 对一切实数 ，不等式恒成立． （Ⅰ）求函数的表达式； （Ⅱ）求证： ． 5 、已知函数： （1 ）讨论函数的单调性； （2） 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值 时，函数 在区间上总存在极值？ (3)求证：．

6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域； （Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的， 使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对 于函数图象上的点（其中总能使得 成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具 备性质“”，并说明理由. 7、已知函数 （Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值； （Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围； （Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标 为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性；

导数压轴题处理专题讲解

导数压轴题处理专题讲解（上） 专题一双变量同构式（含拉格朗日中值定理）..................................................... - 2 -专题二分离参数与分类讨论处理恒成立（含洛必达法则）.................................... - 4 -专题三导数与零点问题（如何取点） .................................................................. - 7 -专题四隐零点问题整体代换.............................................................................. - 13 -专题五极值点偏移 ........................................................................................... - 18 -专题六导数处理数列求和不等式....................................................................... - 25 -

专题一 双变量同构式（含拉格朗日中值定理） 例1. 已知（1）讨论的单调性 （2）设，求证：例2. 已知函数，。（1）讨论函数的单调性；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）证明：若，则对任意x ，x ，x x ，有 。 例3. 设函数. （1）当（为自然对数的底数）时，求的最小值； （2）讨论函数零点的个数； （3）若对任意恒成立，求的取值范围. ()()21ln 1f x a x ax =+++()f x 2a ≤-()()()121212 ,0,,4x x f x f x x x ?∈+∞-≥-()2 1(1)ln 2 f x x ax a x = -+-1a >()f x 5a <12∈(0,)+∞1≠21212 ()() 1f x f x x x ->--()ln ,m f x x m R x =+ ∈m e =e ()f x ()'()3 x g x f x = -()() 0, 1f b f a b a b a ->><-m

高考数学真题导数专题及答案

2017年高考真题导数专题 一．解答题（共12小题） 1．已知函数f（x）2（a﹣2）﹣x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 2．已知函数f（x）2﹣﹣，且f（x）≥0． （1）求a； （2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2． 3．已知函数f（x）﹣1﹣． （1）若f（x）≥0，求a的值； （2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值． 4．已知函数f（x）321（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：b2＞3a； （3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．5．设函数f（x）=（1﹣x2）． （1）讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≤1，求a的取值范围． 6．已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥）． （1）求f（x）的导函数； （2）求f（x）在区间[，+∞）上的取值范围． 7．已知函数f（x）2+2，g（x）（﹣2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线（x）在点（π，f（π））处的切线方程； （Ⅱ）令h（x）（x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．

） 10．已知函数f（x）3﹣2，a∈R， （1）当2时，求曲线（x）在点（3，f（3））处的切线方程； （2）设函数g（x）（x）+（x﹣a）﹣，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 11．设a，b∈R，≤1．已知函数f（x）3﹣6x2﹣3a（a﹣4），g（x）（x）． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）已知函数（x）和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线， （i）求证：f（x）在0处的导数等于0； （）若关于x的不等式g（x）≤在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围． 12．已知函数f（x）（﹣a）﹣a2x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）≥0，求a的取值范围．

高考数学导数与三角函数压轴题综合归纳总结教师版

导数与三角函数压轴题归纳总结 近几年的高考数学试题中频频出现含导数与三角函数零点问题，内容主要包括函数零点个数的确定、根据函数零点个数求参数范围、隐零点问题及零点存在性赋值理论.其形式逐渐多样化、综合化. 一、零点存在定理 例1.【2019全国Ⅰ理20】函数()sin ln(1)f x x x =-+,()f x '为()f x 的导数．证明： （1）()f x '在区间(1,)2 π -存在唯一极大值点； （2）()f x 有且仅有2个零点． 【解析】（1）设()()g x f x '=,则()()() 2 11 cos ,sin 11g x x g x x x x '=- =-+++. 当1,2x π??∈- ?? ?时,()g'x 单调递减,而()00,02g g π?? ''>< ???, 可得()g'x 在1,2π?? - ?? ?有唯一零点,设为α. 则当()1,x α∈-时,()0g x '>；当,2x πα?? ∈ ??? 时,()0g'x <. 所以()g x 在()1,α-单调递增,在,2πα?? ???单调递减,故()g x 在1,2π?? - ???存在唯一极大 值点,即()f x '在1,2π?? - ?? ?存在唯一极大值点. （2）()f x 的定义域为(1,)-+∞. （i ）由（1）知, ()f x '在()1,0-单调递增,而()00f '=,所以当(1,0)x ∈-时,()0f 'x <,故()f x 在(1,0)-单调递减,又(0)=0f ,从而0x =是()f x 在(1,0]-的唯一零点. （ii ）当0,2x π?? ∈ ???时,由（1）知,()f 'x 在(0,)α单调递增,在,2απ?? ??? 单调递减,而

历年高考数学压轴题集锦

高考数学压轴题集锦 1．椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为(,)0F c （0>c ）的准线l 与x 轴相交于点A ，2OF FA =，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点。 （1）求椭圆的方程及离心率； （2）若0OP OQ ?=，求直线PQ 的方程； （3）设AP AQ λ=（1λ>），过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证 明FM FQ λ=-. (14分) 2． 已知函数)(x f 对任意实数x 都有1)()1(=++x f x f ，且当]2,0[∈x 时，|1|)(-=x x f 。 （1） )](22,2[Z k k k x ∈+∈时，求)(x f 的表达式。 （2） 证明)(x f 是偶函数。 （3） 试问方程01 log )(4=+x x f 是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有实数根，请说明理由。 3．（本题满分12分）如图，已知点F （0，1），直线L ：y=-2，及圆C ：1)3(2 2 =-+y x 。 （1） 若动点M 到点F 的距离比它到直线L 的距离小1，求动点M 的轨迹E 的方程； （2） 过点F 的直线g （3） 过轨迹E 上一点P 点P 的坐标及S

4.以椭圆2 22y a x +＝1（a ＞1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试 判断并推证能作出多少个符合条件的三角形. 5 已知，二次函数f （x ）＝ax 2 ＋bx ＋c 及一次函数g （x ）＝－bx ，其中a 、b 、c ∈R ，a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0. （Ⅰ）求证：f （x ）及g （x ）两函数图象相交于相异两点； （Ⅱ）设f （x ）、g （x ）两图象交于A 、B 两点，当AB 线段在x 轴上射影为A 1B 1时，试求|A 1B 1|的取值范围. 6 已知过函数f （x ）=12 3++ax x 的图象上一点B （1，b ）的切线的斜率为－3。 （1） 求a 、b 的值； （2） 求A 的取值范围，使不等式f （x ）≤A －1987对于x ∈[－1，4]恒成立； （3） 令()()132 ++--=tx x x f x g 。是否存在一个实数t ，使得当]1,0(∈x 时，g （x ）有 最大值1？ 7 已知两点M （－2，0），N （2，0），动点P 在y 轴上的射影为H ，︱PH ︱是2和→ → ?PN PM 的等比中项。 （1） 求动点P 的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线； （2） 若以点M 、N 为焦点的双曲线C 过直线x+y=1上的点Q ，求实轴最长的双曲线C 的方程。 8．已知数列{a n }满足a a a a b a a a a a a a n n n n n n +-=+=>=+设,2),0(322 11 （1）求数列{b n }的通项公式； （2）设数列{b n }的前项和为S n ，试比较S n 与 8 7 的大小，并证明你的结论. 9．已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点)2,0(A 为圆心，1为半径的圆相切，又知C 的一个焦点与A 关于直线x y =对称． （Ⅰ）求双曲线C 的方程； （Ⅱ）设直线1+=mx y 与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，另一直线l 经过M （-2，0）及AB 的中点，求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围； （Ⅲ）若Q 是双曲线C 上的任一点，21F F 为双曲线C 的左，右两个焦点，从1F 引21QF F ∠的平分线的垂线，垂足为N ，试求点N 的轨迹方程． 10. )(x f 对任意R x ∈都有.2 1)1()(= -+x f x f

高三数学导数压轴题

导数压轴 一．解答题（共20小题） 1．已知函数f（x）＝e x（1+alnx），设f'（x）为f（x）的导函数． （1）设g（x）＝e﹣x f（x）+x2﹣x在区间[1，2]上单调递增，求a的取值范围； （2）若a＞2时，函数f（x）的零点为x0，函f′（x）的极小值点为x1，求证：x0＞x1． 2．设． （1）求证：当x≥1时，f（x）≥0恒成立； （2）讨论关于x的方程根的个数． 3．已知函数f（x）＝﹣x2+ax+a﹣e﹣x+1（a∈R）．

（1）当a＝1时，判断g（x）＝e x f（x）的单调性； （2）若函数f（x）无零点，求a的取值范围． 4．已知函数． （1）求函数f（x）的单调区间； （2）若存在成立，求整数a的最小值．5．已知函数f（x）＝e x﹣lnx+ax（a∈R）．

（Ⅰ）当a＝﹣e+1时，求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）当a≥﹣1时，求证：f（x）＞0． 6．已知函数f（x）＝e x﹣x2﹣ax﹣1． （Ⅰ）若f（x）在定义域内单调递增，求实数a的范围； （Ⅱ）设函数g（x）＝xf（x）﹣e x+x3+x，若g（x）至多有一个极值点，求a的取值集合．7．已知函数f（x）＝x﹣1﹣lnx﹣a（x﹣1）2（a∈R）．

（2）若对?x∈（0，+∞），f（x）≥0，求实数a的取值范围． 8．设f′（x）是函数f（x）的导函数，我们把使f′（x）＝x的实数x叫做函数y＝f（x）的好点．已知函数f（x）＝． （Ⅰ）若0是函数f（x）的好点，求a； （Ⅱ）若函数f（x）不存在好点，求a的取值范围． 9．已知函数f（x）＝lnx+ax2+（a+2）x+2（a为常数）．

高考文科数学专题复习导数训练题文

欢迎下载学习好资料 高考文科数学专题复习导数训练题（文）一、考点回顾导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容。考查方式以客观题为主，主1. 要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义。导数的应用是高中数学中的重点内容，导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工2.具，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题。选择填空题侧重于利用导不等式、解答题侧重于导数的综合应用，即与函数、数确定函数的单调性、单调区间和最值问题，数列的综合应用。3.应用导数解决实际问题，关键是建立恰当的数学模型（函数关系），如果函数在给定区间内只有一个极值点，此时函数在这点有极大（小）值，而此时不用和端点值进行比较，也可以得知这就是最大（小）值。 二、经典例题剖析 考点一：求导公式。 13f(x)?x?2x?1??ff(?1)(x)3的值是的导函数，则。例1. 是 ????2?1?2?1?f'32x??xf'解析：，所以 答案：3 点评：本题考查多项式的求导法则。 考点二：导数的几何意义。 1x?y?2(1?(1))f(x)My，f2，点则图数2. 例已知函的象程的处切线方在是 ??(1)(f1?)f。 115???fk?'1M(1，f(1))222，所的纵坐标为，所以，由切线过点，可得点M 解析：因为5???f1?????3'f1?f12以，所以3 答案： 学习好资料欢迎下载 32?3)(1，2??4x?yx?2x例3. 。在点曲线处的切线方程是 2?3)(1，4??4xy'?3x5?k?3?4?4??解析：，所以设切线方程，处切线的斜率为点?3)(1， ?3)y??5x?b(1，2b?，将点处的切线为带入切线方程可得，所以，过曲线上点5x?y?2?0方程为：5x?y?2?0答案：点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 ??23x?,y0x l:y?kx x?3x?2y?xl与曲线C且直线相切于点，，例，4.已知曲线C：直线000l的方程及切点坐标。求直线y??00k??x??0x y,x?0在曲析解：线直线过原点，C则。由点上， ??00232x?2x?3xy?x yx,y'?3x?6x?2??0在，处，。又 则00y20?x?3x?2 000000??222x?3x?2?3x?6x?22x?'6x??3xk?f?，整曲线C，的切线斜率为 0000000331y???k??x03x??2x x?00082400。所以，（舍），此时，，解得：理得：，或033??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是直线。 33??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是答案：直线点评：本小题考查导数

历届高考数学压轴题汇总及答案

历届高考数学压轴题汇总及答案 一、2019年高考数学上海卷：（本题满分18分） 已知等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合 {}*|,n S x x b n N ==∈． （1）若120,3 a d π ==，求集合S ； （2）若12 a π = ，求d 使得集合S 恰好有两个元素； （3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的 值． 二、2019年高考数学浙江卷：(本小题满分15分) 已知实数0a ≠,设函数()=ln 0.f x a x x +> (Ⅰ)当34 a =-时,求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ)对任意21[ ,)e x ∈+∞均有()2f x a ≤ 求a 的取值范围. 注： 2.71828e =为自然对数的底数.

设2 *012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=+++ +∈N .已知2 3242a a a =. （1）求n 的值； （2）设(1n a =+*,a b ∈N ，求223a b -的值. 四、2018年高考数学上海卷：(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 给定无穷数列{}n a ，若无穷数列{}n b 满足：对任意*n N ∈，都有1n n b a -≤，则称{}n b 与{}n a “接近”。 (1)设{}n a 是首项为1，公比为1 2 的等比数列，11n n b a +=+，*n N ∈，判断数列{}n b 是否与{}n a 接近，并说明理由； (2)设数列{}n a 的前四项为：12341,248a a a a ====,,，{}n b 是一个与{}n a 接近的数列，记集合1,2,|,4{3,}i M x x b i ===，求M 中元素的个数m ； (3)已知{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，且在 2132201200,,,b b b b b b ﹣﹣﹣中至少有100个为正数，求d 的取值范围．

高考题汇编2010-全国高考数学真题--第21题导数

2017-2019年全国高考数学真题--第21题导数 2018年：设函数2 ()1x f x e x ax =---。 （1）若0a =， 求()f x 的单调区间； （2）若当0x ≥时()0f x ≥， 求a 的取值范围 2019年：已知函数ln ()1a x b f x x x = ++， 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 230x y +-=． （I ）求,a b 的值； （II ）如果当0x >， 且1x ≠时， ln ()1x k f x x x >+-， 求k 的取值范围． 2019年： 已知函数)(x f 满足2 1 2 1)0()1(')(x x f e f x f x + -=-． （Ⅰ）求)(x f 的解析式及单调区间； （Ⅱ）若b ax x x f ++≥2 2 1)(， 求b a )1(+的最大值．

2019： 一卷：已知函数()f x ＝2 x ax b ++， ()g x ＝()x e cx d +， 若曲线()y f x =和 曲线()y g x =都过点P (0， 2)， 且在点P 处有相同的切线42y x =+ （Ⅰ）求a ， b ， c ， d 的值； （Ⅱ）若x ≥－2时， ()f x ≤()kg x ， 求k 的取值范围． 2019一卷：设函数1 ()ln x x be f x ae x x -=+， 曲线()y f x =在点（1， (1)f 处的切线为 (1)2y e x =-+． (Ⅰ)求,a b ； （Ⅱ）证明：()1f x >． 2015一卷：已知函数3 1 ()4 f x x ax =++ ， ()ln g x x =-． （Ⅰ）当a 为何值时， x 轴为曲线()y f x = 的切线； （Ⅱ）用min {},m n 表示m ， n 中的最小值， 设函数{}()min (),()(0)=>h x f x g x x ， 讨论()h x 零点的个数．

2019-2020年高考数学压轴题集锦——导数与其应用(五)

2019-2020 年高考数学压轴题集锦——导数及其应用（五） 46.已知函数f ( x)x2ax 4 （ aＲ）的两个零点为x1, x2 , 设 x1 x2. （Ⅰ）当 a0 时，证明：2x1 0． （Ⅱ）若函数g (x)x2| f ( x) |在区间 (, 2)和(2,) 上均单调递增，求 a 的取值范围. 47.设函数 f ( x)2 R ）．x ax ln x （a （Ⅰ）若 a 1时,求函数 f (x)的单调区间； （Ⅱ）设函数 f ( x) 在[1 , ] 有两个零点，求实数 a 的取值范围． e e 48.已知函数 f ( x) ln( ax b) x ，g (x)x2ax ln x ． （Ⅰ）若 b 1,F ( x) f ( x) g (x) ，问：是否存在这样的负实数 a ，使得 F ( x) 在x1处存在切线且该切线与直线y 1 x 1平行，若存在，求a的值；若不存在，请说明理 23 由． （Ⅱ）已知 a 0 ，若在定义域内恒有 f (x) ln( ax b) x 0 ，求 a(a b) 的最大值．

49.设函数 f ( x) x ln x b(x 1 )2(b R)，曲线y f x在1,0处的切线与直线 2 y3x 平行．证明： （Ⅰ）函数 f ( x) 在 [1,) 上单调递增； （Ⅱ）当 0 x 1 时， f x1. 50.已知 f（ x） =a（ x-ln x）+2 x 1 ， a∈ R. x 2（I ）讨论 f（ x）的单调性； （II ）当 a=1 时，证明f（ x）＞ f’（ x） + 3 对于任意的x∈ [1,2] 恒成立。 2 2 51.已知函数f（x） =x +ax﹣ lnx， a∈ R． （1）若函数f（x）在 [1， 2]上是减函数，求实数 a 的取值范围； （2）令 g（ x） =f（ x）﹣ x2，是否存在实数a，当 x∈（ 0， e] （ e 是自然常数）时，函数g （x）的最小值是 3，若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由； （3）当 x∈（ 0， e]时，证明： e2x2－5 x＞ (x+1)ln x．2

高考数学理科导数大题目专项训练及答案

高一兴趣导数大题目专项训练 班级 姓名 1.已知函数()f x 是定义在[,0)(0,]e e - 上的奇函数，当(0,]x e ∈时，有()ln f x ax x =+（其中e 为自然对数的底，a ∈R ）． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）试问：是否存在实数0a <，使得当[,0)x e ∈-，()f x 的最小值是3？如果存在，求出实数a 的值；如果不存在，请说明理由； （Ⅲ）设ln ||()||x g x x =（[,0)(0,]x e e ∈- ），求证：当1a =-时，1 |()|()2 f x g x >+； 2. 若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足： ()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”．已知 2()h x x =，()2ln x e x ?=（其中e 为自然对数的底数）． (1)求()()()F x h x x ?=-的极值； (2) 函数()h x 和()x ?是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．

3. 设关于x 的方程012 =--mx x 有两个实根α、β，且βα<。定义函数.1 2)(2+-= x m x x f （I ）求)(ααf 的值；（II ）判断),()(βα在区间x f 上单调性，并加以证明； （III ）若μλ,为正实数，①试比较)(),( ),(βμ λμβ λααf f f ++的大小； ②证明.|||)()(|βαμ λλβ μαμλμβλα-<++-++f f 4. 若函数22()()()x f x x ax b e x R -=++∈在1x =处取得极值. （I ）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()f x 的单调区间； （II ）是否存在实数m ，使得对任意(0,1)a ∈及12,[0,2]x x ∈总有12|()()|f x f x -< 21[(2)]1m a m e -+++恒成立，若存在，求出m 的范围；若不存在，请说明理由． 5．若函数()()2 ln ,f x x g x x x ==- （1）求函数()()()()x g x kf x k R ?=+∈的单调区间； （2）若对所有的[),x e ∈+∞都有()xf x ax a ≥-成立，求实数a 的取值范围.

高中数学经典高考难题集锦解析版

2015年10月18日姚杰的高中数学组卷 一．解答题（共10小题） 1．（2012?宣威市校级模拟）设点C为曲线（x＞0）上任一点，以点C为圆心的圆与x 轴交于点E、A，与y轴交于点E、B． （1）证明多边形EACB的面积是定值，并求这个定值； （2）设直线y=﹣2x+4与圆C交于点M，N，若|EM|=|EN|，求圆C的方程．2．（2010?江苏模拟）已知直线l：y=k（x+2）与圆O：x2+y2=4相交于A、B两点，O是坐标原点，三角形ABO的面积为S． （Ⅰ）试将S表示成的函数S（k），并求出它的定义域； （Ⅱ）求S的最大值，并求取得最大值时k的值． 3．（2013?越秀区校级模拟）已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线l：x﹣2y=0的距离为．求该圆的方程． 4．（2013?柯城区校级三模）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且过点（2，1）．（Ⅰ）求抛物线的标准方程； （Ⅱ）是否存在直线l：y=kx+t，与圆x2+（y+1）2=1相切且与抛物线交于不同的两点M，N，当∠MON为钝角时，有S△MON=48成立？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由． 5．（2009?福建）（1）已知矩阵M所对应的线性变换把点A（x，y）变成点A′（13，5），试求M的逆矩阵及点A的坐标． （2）已知直线l：3x+4y﹣12=0与圆C：（θ为参数）试判断他们的公共 点个数； （3）解不等式|2x﹣1|＜|x|+1． 6．（2009?东城区一模）如图，已知定圆C：x2+（y﹣3）2=4，定直线m：x+3y+6=0，过A （﹣1，0）的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，M是PQ中点．（Ⅰ）当l与m垂直时，求证：l过圆心C； （Ⅱ）当时，求直线l的方程； （Ⅲ）设t=，试问t是否为定值，若为定值，请求出t的值；若不为定值，请说明理 由． 7．（2009?天河区校级模拟）已知圆C：（x+4）2+y2=4，圆D的圆心D在y 轴上且与圆C 外切，圆D与y 轴交于A、B两点，定点P的坐标为（﹣3，0）． （1）若点D（0，3），求∠APB的正切值； （2）当点D在y轴上运动时，求∠APB的最大值； （3）在x轴上是否存在定点Q，当圆D在y轴上运动时，∠AQB是定值？如果存在，求出Q点坐标；如果不存在，说明理由． 8．（2007?海南）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2﹣12x+32=0的圆心为Q，过点P （0，2）且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B．

高考理科数学全国卷三导数压轴题解析

2018年高考理科数学全国卷三导数压轴题解析 已知函数2()(2)ln(1)2f x x ax x x =+++- （1） 若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >； （2） 若0x =是()f x 的极大值点，求a . 考点分析 综合历年试题来看，全国卷理科数学题目中，全国卷三的题目相对容易。但在2018年全国卷三的考察中，很多考生反应其中的导数压轴题并不是非常容易上手。第1小问，主要通过函数的单调性证明不等式，第2小问以函数极值点的判断为切入点，综合考察复杂含参变量函数的单调性以及零点问题，对思维能力（化归思想与分类讨论）的要求较高。 具体而言，第1问，给定参数a 的值，证明函数值与0这一特殊值的大小关系，结合函数以及其导函数的单调性，比较容易证明，这也是大多数考生拿到题目的第一思维方式，比较常规。如果能结合给定函数中20x +>这一隐藏特点，把ln(1)x +前面的系数化为1，判断ln(1)x +与2/(2)x x +之间的大小关系，仅通过一次求导即可把超越函数化为求解零点比较容易的代数函数，解法更加容易，思维比较巧妙。总体来讲，题目设置比较灵活，不同能力层次的学生皆可上手。 理解什么是函数的极值点是解决第2问的关键。极值点与导数为0点之间有什么关系：对于任意函数，在极值点，导函数一定等于0么（存在不存在）？导函数等于0的点一定是函数的极值点么？因此，任何不结合函数的单调性而去空谈函数极值点的行为都是莽撞与武断的。在本题目中，0x =是()f x 的极大值点的充要条件是存在10δ<和20δ>使得对于任意1(,0)x δ∈都满足()(0)=0f x f <( 或者()f x 单调递增)，对于任意2(0,)x δ∈都满足()(0)=0f x f <( 或者()f x 单调递减)，因此解答本题的关键是讨论函数()f x 在0x =附近的单调性或者判断()f x 与(0)f 的大小关系。题目中并没有限定参数a 的取值范围，所以要对实数范围内不同a 取值时的情况都进行分类讨论。在第1小问的基础上，可以很容易判断0a =以及0a >时并不能满足极大值点的要求，难点是在于判断0a <时的情况。官方标准答案中将问题等价转化为讨论函数2 ()ln(1)/(2)h x x x x =+++在0x =点的极值情况，非常巧妙，但是思维跨度比较大，在时间相对紧张的选拔性考试中大多数考生很难想到。需要说明的是，官方答案中的函数命题等价转化思想需要引起大家的重视，这种思想在2018年全国卷2以及2011年新课标卷1的压轴题中均有体现，这可能是今后导数压轴题型的重要命题趋势，对学生概念理解以及思维变通的能力要求更高，符合高考命题的思想。 下面就a 值变化对函数()f x 本身在0x =附近的单调性以及极值点变化情况进行详细讨论。

-2020年高考数学压轴题集锦——导数及其应用

2019-2020年高考数学压轴题集锦——导数及其应用（四） 23.已知函数()32 23log 32 a f x x x x = -+（0a >且1a ≠）． （Ⅰ）若()f x 为定义域上的增函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）令a e =，设函数()()3 24ln 63 g x f x x x x =--+，且()()120g x g x +=，求 证：122x x +≥ 24.已知函数()2x f x e x ax =--. (1)R x ∈时，证明：1->x e x ； (2)当2a =时，直线1y kx =+和曲线()y f x =切于点()(),1A m n m <，求实数k 的值； (3)当10<x f 恒成立，求实数a 的取值范围. 25.已知函数()ln a f x a x x x =-+-(a 为常数)有两个不同的极值点. (1)求实数a 的取值范围； (2)记()f x 的两个不同的极值点分别为12,x x ，若不等式()()()2 1212f x f x x x l +>+恒成立，求实数l 的取值范围.

26.已知函数()1ln f x ax x =--（a ∈R ）. （1）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； （2）若1x ?>，()2xf x ax ax a <-+恒成立，求a 的最大整数值. 27.已知函数()()()()2 21,2ln 1f x x x g x a x a R =-+=-∈. （1）求函数()()()h x f x g x =-的极值； （2）当0a >时，若存在实数,k m 使得不等式()()g x kx m f x ≤+≤恒成立，求实数a 的取值范围. 28.设()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两个相等的实根，且()22f x x '=+. （1）求()y f x =的表达式； （2）若直线()01x t t =-<<，把()y f x =的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值.

函数与导数经典例题高考压轴题含答案

函数与导数经典例题-高考压轴 1. 已知函数3 2 ()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈，其中t R ∈． （Ⅰ）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0t ≠时，求()f x 的单调区间； （Ⅲ）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点． 2. 已知函数21 ()32 f x x = +，()h x = （Ⅰ）设函数F (x )＝18f (x )－x 2[h (x )]2，求F (x )的单调区间与极值； （Ⅱ）设a ∈R ，解关于x 的方程33 lg[(1)]2lg ()2lg (4)24 f x h a x h x --=---； （Ⅲ）设*n ∈N ，证明：1 ()()[(1)(2)()]6 f n h n h h h n -+++≥L ． 3. 设函数ax x x a x f +-=2 2ln )(，0>a （Ⅰ）求)(x f 的单调区间； （Ⅱ）求所有实数a ，使2 )(1e x f e ≤≤-对],1[e x ∈恒成立． 注：e 为自然对数的底数． 4. 设2 1)(ax e x f x +=，其中a 为正实数. （Ⅰ）当3 4 = a 时，求()f x 的极值点；（Ⅱ）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围. 5. 已知a ， b 为常数，且a ≠0，函数f （x ）=-ax+b+axlnx ，f （e ）=2（e=2．71828…是自然对数 的底数）。 （I ）求实数b 的值； （II ）求函数f （x ）的单调区间； （III ）当a=1时，是否同时存在实数m 和M （m

导数文科高考数学真题

2012-2017导数专题 1．（2014大纲理）曲线1x y xe- =在点（1,1）处切线的斜率等于（ C ） A．2e B．e C．2 D．1 2.(2014新标2理) 设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a= （ D ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3.(2013浙江文) 已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如右图所示， 则该函数的图象是(B) 4．（2012陕西文）设函数f（x）= 2 x +lnx 则（ D ） A．x= 1 2 为f(x)的极大值点B．x= 1 2 为f(x)的极小值点 C．x=2为f(x)的极大值点D．x=2为f(x)的极小值点 5.(2014新标2文) 函数() f x在 x x =处导数存在，若 :()0 p f x=： :q x x =是() f x的极值点，则A．p是q的充分必要条件 B. p是q的充分条件，但不是q的必要条件 C. p是q的必要条件，但不是q的充分条件 D. p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 【答案】C 6．（2012广东理）曲线在点处的切线方程为___________________. 【答案】2x-y+1=0 7．（2013广东理）若曲线在点处的切线平行于轴，则 【答案】-1 8．（2013广东文）若曲线在点处的切线平行于轴，则． 【答案】 1 2 9．(2014广东文)曲线53 x y e =-+在点(0,2) -处的切线方程为. 【答案】5x+y+2=0 10．（2013江西文）若曲线y=xα+1（α∈R）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则α=。 33 y x x =-+() 1,3 ln y kx x =+(1,)k x k= 2ln y ax x =-(1,)a x a=

2015高考数学压轴题大全

2015年高考数学压轴题大全 高考数学压轴题大全 1.(本小题满分14分) 如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点. (1)求△APB的重心G的轨迹方程. (2)证明PFA=PFB. 解：(1)设切点A、B坐标分别为， 切线AP的方程为： 切线BP的方程为： 解得P点的坐标为： 所以△APB的重心G的坐标为， 所以，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为： (2)方法1：因为 由于P点在抛物线外，则 同理有 AFP=PFB. 方法2：①当所以P点坐标为，则P点到直线AF的距离为： 即 所以P点到直线BF的距离为： 所以d1=d2，即得AFP=PFB. ②当时，直线AF的方程：

直线BF的方程： 所以P点到直线AF的距离为： ，同理可得到P点到直线BF的距离，因此由d1=d2，可得到AFP=PFB. 2.(本小题满分12分) 设A、B是椭圆上的两点，点N(1，3)是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点. (Ⅰ)确定的取值范围，并求直线AB的方程; (Ⅱ)试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上?并说明理由. (此题不要求在答题卡上画图) 本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力. (Ⅰ)解法1：依题意，可设直线AB的方程为，整理得① 设是方程①的两个不同的根， ② 且由N(1，3)是线段AB的中点，得 解得k=-1，代入②得，的取值范围是(12，+). 于是，直线AB的方程为 解法2：设则有 依题意， ∵N(1，3)是AB的中点，

高考数学——导数大题精选

高考数学——导数大题精选 6.已知两曲线ax x y +=3和c bx x y ++=2都经过点P （1,2），且在点P 处有公切线，试求a,b,c 值。 例2 求下列函数的导数： (1)y=(2x 2-1)(3x+1) (2)x x y sin 2= (3))1ln(2x x y ++= (4)1 1-+=x x e e y (5)x x x x y sin cos ++= (6)x x x y cos sin 2cos -= 1.设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值． （Ⅰ）求a 、b 的值； （Ⅱ）若对于任意的[03]x ∈，，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围 2.设a ≥0，f (x )=x －1－ln 2 x ＋2a ln x （x >0）. （Ⅰ）令F （x ）＝xf ＇（x ），讨论F （x ）在（0.＋∞）内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当x >1时，恒有x >ln 2x －2a ln x ＋1. 3.设函数22()21(0)f x tx t x t x t =++-∈>R ，． （Ⅰ）求()f x 的最小值()h t ； （Ⅱ）若()2h t t m <-+对(02)t ∈， 恒成立，求实数m 的取值范围 4.设函数2()ln(23)f x x x =++ （Ⅰ）讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）求()f x 在区间3144??-???? ，的最大值和最小值 6.已知函数2221()()1 ax a f x x x -+=∈+R ，其中a ∈R ． （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值．

历年高考数学压轴题集锦精选

历年高考数学压轴题集锦 1．椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为(,)0F c （0>c ）的准线l 与x 轴相交于点 A ，2OF FA =，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点. （1）求椭圆的方程及离心率； （2）若0OP OQ ?=u u u r u u u r ，求直线PQ 的方程； （3）设AP AQ λ=u u u r u u u r （1λ>），过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明 FM FQ λ=-u u u u r u u u r . (14分) 2． 已知函数)(x f 对任意实数x 都有1)()1(=++x f x f ，且当]2,0[∈x 时，|1|)(-=x x f . （1） )](22,2[Z k k k x ∈+∈时，求)(x f 的表达式. （2） 证明)(x f 是偶函数. （3） 试问方程01 log )(4 =+x x f 是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有实数根，请说明理由. 3．（本题满分12分）如图，已知点F （0，1），直线L ：y=-2，及圆C ：1)3(2 2=-+y x . （1） 若动点M 到点F 的距离比它到直线L 的距离小1，求动点M 的轨迹E 的方程； （2） 过点F 的直线g 交轨迹E 于G （x 1，y 1）、H （x 2，y 2）两点，求证：x 1x 2 为定值； （3） 过轨迹E 上一点P 及S 的最小值.

4.以椭圆2 22y a x +＝1（a ＞1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试判断并推证能 作出多少个符合条件的三角形. 5 已知，二次函数f （x ）＝ax 2 ＋bx ＋c 及一次函数g （x ）＝－bx ，其中a 、b 、c ∈R ，a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0. （Ⅰ）求证：f （x ）及g （x ）两函数图象相交于相异两点； （Ⅱ）设f （x ）、g （x ）两图象交于A 、B 两点，当AB 线段在x 轴上射影为A 1B 1时，试求|A 1B 1|的取值范围. 6 已知过函数f （x ）=12 3++ax x 的图象上一点B （1，b ）的切线的斜率为－3. （1） 求a 、b 的值； （2） 求A 的取值范围，使不等式f （x ）≤A －1987对于x ∈[－1，4]恒成立； （3） 令()()132 ++--=tx x x f x g .是否存在一个实数t ，使得当]1,0(∈x 时，g （x ）有最大值1？ 7 已知两点M （－2，0），N （2，0），动点P 在y 轴上的射影为H ，︱PH ︱是2和→ →?PN PM 的等比中项. （1） 求动点P 的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线； （2） 若以点M 、N 为焦点的双曲线C 过直线x+y=1上的点Q ，求实轴最长的双曲线C 的方程. 8．已知数列{a n }满足a a a a b a a a a a a a n n n n n n +-=+=>=+设,2),0(32211 （1）求数列{b n }的通项公式；