年高考数学压轴题系列训
练含答案及解析详解一 Prepared on 24 November 2020
2009年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解一
1.(12分)已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ,它们在x 轴上有共同焦点,椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴,抛物线的顶点为坐标原点.
(Ⅰ)求这三条曲线的方程;
(Ⅱ)已知动直线l 过点()3,0P ,交抛物线于,A B 两点,是否存在垂直于x 轴的直线l '被以AP 为直径的圆截得的弦长为定值若存在,求出l '的方程;若不存在,说明理由.
解:(Ⅰ)设抛物线方程为()220y px p =>,将()1,2M 代入方程得2p =
24y x ∴= 抛物线方程为: ………………………………………………(1分)
由题意知椭圆、双曲线的焦点为()()211,0,1,0,F F -∴ c=1…………………(2分)
对于椭圆,
1222a MF MF =+=
+
(
2
2
2222211321
a a
b a
c ∴=+∴=+=+∴=-=+∴= 椭圆方程为:………………………………(4分)
对于双曲线,1222a MF MF '=-
=
2222221321
a a
b
c a '∴='∴=-'''∴=-=∴= 双曲线方程为:………………………………(6分)
(Ⅱ)设AP 的中点为C ,l '的方程为:x a =,以AP 为直径的圆交l '于
,D E 两点,DE 中点为H
令()11113,,,22x y A x y +??
∴
??
? C ………………………………………………(7分)
()111231
23
22
DC AP x CH a x a ∴=
=+=-=-+
()()(
)22
2
2
2
2111212
1132344-23246222
DH DC CH x y x a a x a a
a DH DE DH l x ????∴=-=
-+--+???
?=-+==-+=∴=='= 当时,为定值; 此时的方程为: …………(12分)
2.(14分)已知正项数列{}n a 中,16a
=,点(n n A a 在抛物线
21y x =+上;数列{}n b 中,点(),n n B n b 在过点()0,1,以方向向量为()1,2的直线上.
(Ⅰ)求数列{}{},n n a b 的通项公式;
(Ⅱ)若()()()n n
a f n
b ??=???, n 为奇数, n 为偶数,问是否存在k N ∈,使()()274f k f k +=成立,若存在,求出k 值;若不存在,说明理由; (Ⅲ)对任意正整数n
,不等式
1
120111111n n n a
b b b +-
≤??????
+++ ? ???????
??
成立,求
正数a 的取值范围.
解:(Ⅰ)将点(n n A a 代入21y x =+中得
()11111115:21,21
n n n n n n a a a a d a a n n l y x b n ++=+∴-==∴=+-?=+=+∴=+ 直线 …………………………………………(4分)
(Ⅱ)()()()
521n f n n ?+?=?
+??, n 为奇数, n 为偶数………………………………(5分) ()()
()()()()27274275421,4
2735
227145,2
4k k f k f k k k k k k k k k k ++=∴++=+∴=+∴++=+∴==当为偶数时,为奇数, 当为奇数时,为偶数,
舍去综上,存在唯一的符合条件。
……………………(8分)
(Ⅲ)由
1
120111111n n n
a b b b +≤?
?????+++
? ???????
??
()(
)()()
12121211111111111111111
11111111
24123n n
n n n a b b b
f n b b b
f n b b b b f n n f n b n ++?????+++ ????
?????
??
????=+++
?????????
???????∴+=++++ ??????
???????
+??+∴=
+== ?+??即记 ()()()()()min 1
1,4130f n f n f n f n f a =
>∴+>∴===∴<≤
即递增, ………………………………(14分)
3.(本小题满分12分)将圆O: 4y x 22=+上各点的纵坐标变为原来的一半 (横坐标不变), 得到曲线C. (1) 求C 的方程;
(2) 设O 为坐标原点, 过点)0,3(F 的直线l 与C 交于A 、B 两点, N 为线段AB 的中点,
延长线段ON 交C 于点E.
求证: ON 2OE =的充要条件是3|AB |= .
解: (1)设点)y ,x (P '' , 点M 的坐标为)y ,x ( ,由题意可知
??
?='=',
y 2y ,
x x ………………(2分)
又,4y x 2
2
='+'∴1y 4
x 4y 4x 22
2
2=+?=+. 所以, 点M 的轨迹C 的方程为1y 4
x 22
=+.………………(4分) (2)设点)y ,x (A 11 , )y ,x (B 22 , 点N 的坐标为)y ,x (00 , ㈠当直线l 与x 轴重合时, 线段AB 的中点N 就是原点O,
不合题意,舍去; ………………(5分) ㈡设直线l: ,3my x +=
由?????=++=4
y 4x 3my x 2
2消去x, 得01my 32y )4m (22=-++………………① ∴,4
m m
3y 2
0+-
=………………(6分) ∴4
m 3
44m 34m 34m m 33my x 2222200+=++++-=+=,
∴点N 的坐标为)4
m m
3,4m 34(
2
2+-+ .………………(8分) ①若OE ON 2=, 坐标为, 则点E 的为)4
m m
32,4m 38(
22+-+ , 由点E 在曲线C 上, 得1)
4m (m 12)4m (482
22
22=+++, 即,032m 4m 24=-- ∴4m (8m 22-== 舍去). 由方程①得,14
m 1
m 44m 16m 4m 12|y y |2222221=++=+++=
- 又|,)y y (m ||m y m y ||x x |212121-=-=- ∴3|y y |1m |AB |212=-+= .………………(10分)
②若3|AB |= , 由①得,34
m )1m (42
2=++∴ .8m 2
= ∴点N 的坐标为)66,33(
± , 射线ON 方程为: )0x (x 2
2y >±= , 由?????=+>±=4y 4x )0x (x 22y 22 解得???
???
?±==36
y 332x ∴点E 的坐标为),36,332(± ∴OE ON 2=.
综上, OE ON 2=的充要条件是3|AB |= .………………(12分) 4.(本小题满分14分)已知函数241
)x (f x
+=
)R x (∈. (1) 试证函数)x (f 的图象关于点)4
1
,21( 对称;
(2) 若数列}a {n 的通项公式为)m ,,2,1n ,N m ()m
n
(f a n =∈=+, 求数列
}a {n 的前m 项和;S m
(3) 设数列}b {n 满足: 3
1
b 1=
, n 2n 1n b b b +=+. 设1
b 1
1b 11b 1T n 21n ++++++=
. 若(2)中的n S 满足对任意不小于2的正整数n, n n T S <恒成立, 试求m 的最大值.
解: (1)设点)y ,x (P 000 是函数)x (f 的图象上任意一点, 其关于点)41
,21( 的对称点
为)y ,x (P .
由???????=+=+412
y y 2
1
2x x 00 得?????-=-=.y 21
y ,x 1x 00 所以, 点P 的坐标为P )y 2
1
,x 1(00-- .………………(2分)
由点)y ,x (P 000 在函数)x (f 的图象上, 得2
41
y 0x 0+=.
∵,)
24(244244241)x 1(f 0
000
x x x x x 10+=?+=+=
-- =+-=-24121y 210x 0,)24(2400
x x + ∴点P )y 2
1,x 1(00
-- 在函数)x (f 的图象上. ∴函数)x (f 的图象关于点)41
,21( 对称. ………………(4分)
(2)由(1)可知, 21)x 1(f )x (f =-+, 所以)1m k 1(2
1
)m k 1(f )m k (f -≤≤=-+ ,
即,21a a , 21)m k m (f )m k (f k m k =+∴=-+- ………………(6分)
由m 1m 321m a a a a a S +++++=- , ……………… ① 得,a a a a a S m 13m 2m 1m m +++++=--- ………………② 由①+②, 得,6
1
2m 61221m a 221)1m (S 2m m -=?+-=+?-= ∴).1m 3(121
S m -=
………………(8分) (3) ∵,31
b 1=)1b (b b b b n n n 2n 1n +=+=+, ………………③
∴对任意的0b ,N n n >∈+ . ………………④ 由③、④, 得
,1b 1b 1)1b (b 1b 1n n n n 1
n +-=+=
+即1
n n n b 1
b 11b 1+-=+.
∴1
n 1n 11n n 3221n b 1
3b 1b 1)b 1b 1()b 1b 1()b 1b 1(T +++-=-=-++-+-= .……………(10分)
∵,b b ,0b b b n 1n 2n n 1n >∴>=-++
∴数列}b {n 是单调递增数列. ∴n T 关于n 递增. 当2n ≥, 且+∈N n 时, 2n T T ≥.
∵,8152
)194(94b ,94)131(31b ,31b 321=+==+==
∴.52
75
b 13T T 12n =-
=≥………………(12分)
∴,5275S m <即,5275)1m 3(121<-∴,39
4639238m =< ∴m 的最大值为6. ……………(14分)
5.(12分)E 、F 是椭圆2224x y +=的左、右焦点,l 是椭圆的右准线,点
P l ∈,过点E 的直线交椭圆于A 、B 两点. (1) 当AE AF ⊥时,求AEF ?的面积;
(2) 当3AB =时,求AF BF +的大小; (3) 求EPF ∠的最大值.
解:(1)22
41
28
2AEF m n S mn m n ?+=??==?+=? (2)因484AE AF AB AF BF BE BF ?+=?
?++=?+=??
,
则 5.AF BF +=
(1)
设)(0)P t t > ()tan EPF tan EPM FPM ∠=∠-∠
221(
(166t t t t t t -=-÷+==≤++,
当t =
30tan EPF EPF ∠=
?∠
= 6.(14分)已知数列{}n a 中,11
3
a =,当2n ≥时,其前n 项和n S 满足
2221
n
n n S a S =
-, (2) 求n S 的表达式及2
lim
n
n n
a S →∞的值; (3) 求数列{}n a 的通项公式; (4)
设n b =
n N ∈且2n ≥时,n n a b <.
解:(1)21111
211
22(2)21n n n n n n n n n n n S a S S S S S S n S S S ----=-=?-=?-=≥-
所以1n S ??????是等差数列.则1
21n S n =+.
222
lim
lim 2212lim 1n n n n n
n n a S S S →∞→∞→∞
===---. (2)当2n ≥时,12
112
212141
n n n a S S n n n --=-=
-=+--, 综上,()()21
13
2214n n a n n ?=??=??≥?-?
.
(3
)令a b =
=2n ≥
时,有0b a <<≤ (1) 法1:等价于求证
1
1
21
21
n n ->
-+.
当2
n ≥
时,0<
≤
令()23,0f x x x x =-<≤ (
)233232(1)2(12(1022f x x x x x x x '=-=-≥-=>,
则()f
x 在
递增.
又0<
<≤
所以g g <即n n a b <. 法(2
)223311()2121n n a b b a b a n n -=
--=---+- 22()()a b a b ab a b =-++-- (2)
22()[()()]22ab ab a b a a b b =-+
-++- ()[(1)(1)]22
b a a b a a b b =-+-++- (3)
因3311111022223
a b a b a +
-<+-<-<-=-<,所以(1)(1)022b a
a a
b b +-++-<
由(1)(3)(4)知n n a b <.
法3:令()22g b a b ab a b =++--,则()12102
a
g b b a b -'=+-=?= 所以()()(){}{}220,,32g b max g g a max a a a a ≤=-- 因0,3
a <≤
则()210a a a a -=-<,2214323()3(
)0339a a a a a -=-≤-< 所以()220g b a b ab a b =++--< (5) 由(1)(2)(5)知n n a b < 7. (本小题满分14分)
设双曲线22
22b
y a x -=1( a > 0, b > 0 )的
右顶点为A ,P 是双曲线上异于顶点的一个动点,从A 引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP 分别交于Q 和R 两点.
(1) 证明:无论P 点在什么位置,总有|→
--OP
|2 = |→
-OQ
·→
--OR | ( O 为坐标原点);
(2) 若以OP 为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积,求双曲线离心率的取值范围;
解:(1) 设OP :y = k x, 又条件可设AR: y = a
b
(x – a ),
解得:→
--OR = (b ak ab --,b ak kab --), 同理可得→-OQ = (b ak ab +,b
ak kab
+),
∴|→
-OQ ·→
--OR | =|b ak ab --b ak ab ++b ak kab --b ak kab
+| =|
b k a |)k 1(b a 2
22222-+. 4分
第21题
设→
--OP = ( m, n ) , 则由双曲线方程与OP 方程联立解得:
m 2 =
22222k a b b a -, n 2 = 222222k
a b b a k -, ∴ |→
--OP
|2 = :m 2 + n 2 =
22222k a b b a -+ 2222
22k a b b a k -=2
22222k
a b )k 1(b a -+ , ∵点P 在双曲线上,∴b 2 – a 2k 2 > 0 . ∴无论P 点在什么位置,总有|→
--OP
|2 = |→-OQ ·→
--OR | . 4分
(2)由条件得:2
22222k a b )
k 1(b a -+= 4ab, 2分
即k 2 =
2
2a 4ab ab b 4+-> 0 , ∴ 4b > a, 得e > 417
2分
绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页,23小题,满分150分。考试用时120分钟。 注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将 试卷类型(B )填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 1.已知集合A ={x |x <1},B ={x |31x <},则 A .{|0}A B x x =U D .A B =?I 2.如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是 A .14 B .π8 C . 12 D . π4 3.设有下面四个命题 1p :若复数z 满足1 z ∈R ,则z ∈R ; 2p :若复数z 满足2z ∈R ,则z ∈R ; 3p :若复数12,z z 满足12z z ∈R ,则12z z =;
1、(本小题满分14分) 已知函数. (1)当时,如果函数仅有一个零点,求实数的取值范围; (2)当时,试比较与的大小; (3)求证:(). 2、设函数,其中为常数. (Ⅰ)当时,判断函数在定义域上的单调性; (Ⅱ)若函数的有极值点,求的取值范围及的极值点; (Ⅲ)当且时,求证:. 3、在平面直角坐标系中,已知椭圆.如图所示,斜率为且不过原 点的直线交椭圆于,两点,线段的中点为,射线交椭圆于点,交直 线于点. (Ⅰ)求的最小值; (Ⅱ)若?,(i)求证:直线过定点;
(ii )试问点,能否关于轴对称?若能,求出 此时 的外接圆方程;若不能,请说明理由. 二、计算题 (每空? 分,共? 分) 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ,且函数为偶函数.若函数 满足下列条件:①;② 对一切实数 ,不等式恒成立. (Ⅰ)求函数的表达式; (Ⅱ)求证: . 5 、已知函数: (1 )讨论函数的单调性; (2) 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为,问:在什么范围取值 时,函数 在区间上总存在极值? (3)求证:.
6、已知函数=,. (Ⅰ)求函数在区间上的值域; (Ⅱ)是否存在实数,对任意给定的,在区间上都存在两个不同的, 使得成立.若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由; (Ⅲ)给出如下定义:对于函数图象上任意不同的两点,如果对 于函数图象上的点(其中总能使得 成立,则称函数具备性质“”,试判断函数是不是具 备性质“”,并说明理由. 7、已知函数 (Ⅰ)若函数是定义域上的单调函数,求实数的最小值; (Ⅱ)方程有两个不同的实数解,求实数的取值范围; (Ⅲ)在函数的图象上是否存在不同两点,线段的中点的横坐标 为,有成立?若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由. 8、已知函数: ⑴讨论函数的单调性;
高考理科数学压轴题 (21)(本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点 ,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点 的距离的最大值为 3,最小值为 1. (I) 求椭圆 C 的标准方程 ; (II) 若直线l : y kx m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点(A,B 不是左右顶点 ),且以 AB 为直径的圆 过椭 圆 C 的右顶点 .求证 :直线 l 过定点 ,并求出该定点的坐标 . (22)(本小题满分 14分)设函数 f(x) x 2 bln(x 1),其中 b 0. 1 (I) 当 b 时 ,判断函数 f (x) 在定义域上的单调性 ; 2 (II)求函数 f (x)的极值点 ; 1 1 1 (III) 证明对任意的正整数 n ,不等式 ln( 1) 2 3 都成立 . n n n 22 xy (21)解: (I) 由题意设椭圆的标准方程为 2 2 1(a b 0) ab 2 a c 3,a c 1,a 2,c 1, b 2 3 22 x 2 y 2 1. 43 Q 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0), k AD k BD 1, y kx m (II)设 A(x 1, y 1),B(x 2,y 2), 由 2 x 2 y 得 1 4 3 2 2 2 (3 4k 2 )x 2 8mkx 4(m 2 3) 2 2 2 64m 2 k 2 16( 3 4k 2)( 2 m 3) 0, 22 3 4k 2 m 2 0 8mk 2 ,x 1 x 2 2 4(m 2 3) 3 4k 2 y 1 y 2 2 (kx 1 m) (kx 2 m) k x 1x 2 mk(x 1 x 2) m 2 3(m 2 4k 2) 3 4k 2