2007年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅰ)
文科数学全解全析
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(本大题共12小题,
每小题5分,共60分). 1.设
,
,则
A .
B .
C .
D .
2.
是第四象限角,,则
A .
B .
C .
D .
3.已知向量
,
,则与
A .垂直
B .不垂直也不平行
C .平行且同向
D .平行且反向 4.已知双曲线的离心率为2,焦点是
,
,则双曲线方程为
A .
B .
C .
D .
5.甲、乙、丙3位同学选修课程,从4门课程中,甲选修2门,乙、丙各选修3门,则不同的选修方案共有
A .36种
B .48种
C .96种
D .192种 6.下面给出的四个点中,位于
表示的平面区域内的点是
A .
B .
C .
D .
7.如图,正棱柱中,
,则异面直线
与
所成角的余弦值为 A . B .
C .
D . 8.设,函数在区间
上的最大值与最小值
之差为
,则
A .
B .2
C .
D .4
D
B
1
B 1
D 1
A
9.,是定义在R上的函数,,则“,均为偶函数”是“为偶函数”的
A.充要条件B.充分而不必要的条件
C.必要而不充分的条件D.既不充分也不必要的条件
10.函数的一个单调增区间是
A.B.C.D.
11.曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为
A.B.C.D.
12.抛物线的焦点为F,准线为l,经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,,垂足为K,则△AKF的面积是
A.4 B.C.D.8
二、填空题
13.从自动打包机包装的食盐中,随机抽取20袋,测得各袋的质量分别为(单位:g):492 496 494 495 498 497 501 502 504 496
497 503 506 508 507 492 496 500 501 499
根据频率分布估计总体分布的原理,该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g~501.5g之间的概率约为__________。
14.函数的图象与函数的图象关于直线对称,则____________。
15.正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为,点S、A、B、C、D都在同一个
球面上,则该球的体积为_________。
16.等比数列的前n项和为,已知,,成等差数列,则的公比为
______。
三、解答题
17.设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,
(Ⅰ)求B的大小;
(Ⅱ)若,,求b。
18.某商场经销某商品,顾客可采用一次性付款或分期付款购买。根据以往资料统计,顾客采用一次性付款的概率是0.6,经销一件该商品,若顾客采用一次性付款,商场获得利润200元;若顾客采用分期付款,商场获得利润250元。
(Ⅰ)求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率;
(Ⅱ)求3位顾客每人购买1件该商品,商场获的利润不超过650元的概率。19.四棱锥中,底面ABCD为平行四边形,侧面底面ABCD,已知
,,,
。
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)求直线SD与平面SBC所成角的
大小。
20.设函数在
及时取得极值。
(Ⅰ)求a、b的值;
(Ⅱ)若对任意的,都有成立,求c的取值范围。
21.设是等差数列,是各项都为正数的等比数列,且,,
(Ⅰ)求、的通项公式;
(Ⅱ)求数列的前n项和。
22.已知椭圆的左右焦点分别为、,过的直线交椭圆于B、D两点,过的直线交椭圆于A、C两点,且,垂足为P
(Ⅰ)设P点的坐标为,证明:;
(Ⅱ)求四边形ABCD的面积的最小值。
2007年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学试题(必修+选修1)参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D
B
A
A
C
C D
D
B
D A
C 1.设
={x| x>-},
={x| x<
},则
,选D 。
2.是第四象限角,
,则,选B 。
3.已知向量
,
,
,则与垂直,选A 。 4.已知双曲线的离心率为2,焦点是
,
,则c =4,a =2,
,双曲线方
程为,选A 。
5.甲、乙、丙3位同学选修课程,从4门课程中,甲选修2门,乙、丙各选修3门,则不同的选修方案共有
种,选C 。
6.将四个点的坐标分别代入不等式组,满足条件的是,选C 。
7.如图,连接BC 1,A 1C 1,∠A 1BC 1是异面直线与所成
的角,设AB=a ,AA 1=2a ,∴ A 1B=C 1B=a ,A 1C 1=
a ,∠A 1BC 1
的余弦值为,选D 。
8.设,函数在区间上的最大值与最小值
之分别为
,它们的差为
,∴ ,
4,选D 。 9.
,
是定义在R 上的函数,,若“
,均为偶函数”,则“
为偶函数”,而反之若“
为偶函数”,则“
,
不一定均为
偶函数”,所以“,
均为偶函数”,是“为偶函数”是充分而不必要的条
件,选B 。
D
B
A
1
B 1
D 1
A
10.函数=,它的一个单调增区间是,选D。
11.曲线在点处的切线方程是,它与坐标轴的交点是(,0),(0,-),围成的三角形面积为,选A。
A.B.C.D.
12.抛物线的焦点F(1,0),准线为l:,经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A(3,2),,垂足为K(-1,2),∴△AKF的面积是4,选C。
题号13 14 15 16
答案
13.从自动打包机包装的食盐中,随机抽取20袋,测得各袋的质量分别为(单位:g):492 496 494 495 498 497 501 502 504 496
497 503 506 508 507 492 496 500 501 499
根据频率分布估计总体分布的原理,该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g~501.5g之间的概率约为P==0.25。
14..函数的图象与函数的图象关于直线对称,则
与函数互为反函数,。
15.正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为,点S、A、B、C、D都在同一个球面上,则该球的球心恰好是底面ABCD的中心,球的半径是1,体积为。
16.等比数列的前n项和为,已知,,成等差数列,,又,即,解得的公比。
三、解答题
17.解:
(Ⅰ)由,根据正弦定理得,所以,
由为锐角三角形得.
(Ⅱ)根据余弦定理,得.
所以,.
18.解: (Ⅰ)记
表示事件:“位顾客中至少位采用一次性付款”,则表示事件:“位顾
客中无人采用一次性付款”.
,
.
(Ⅱ)记
表示事件:“位顾客每人购买件该商品,商场获得利润不超过
元”.
表示事件:“购买该商品的位顾客中无人采用分期付款”. 表示事件:“购买该商品的位顾客中恰有位采用分期付款”. 则
.
,.
.
19.解法一: (1)作,垂足为
,连结,由侧面底面,得底面
.
因为,所以,
又
,故
为等腰直角三角形,,
由三垂线定理,得.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
依题设, 故
,由
,
,
.
又,作,垂足为, 则
平面
,连结
.
为直线
与平面
所成的角.
D
B
C
A
S
E
所以,直线与平面所成的角为.
解法二: (Ⅰ)作
,垂足为,连结,由侧面底面,得平面
.
因为,所以.
又,为等腰直角三角形,.
如图,以
为坐标原点,
为轴正向,建立直角坐标系
,
因为,
,
又
,所以
,
,. ,
,
,
,所以.
(Ⅱ)
,
.
与的夹角记为,
与平面
所成的角记为
,因为
为平面
的法向
量,所以
与
互余.
,,
所以,直线与平面所成的角为.
20.解: (Ⅰ),
因为函数
在
及
取得极值,则有
,
.
D
B
C
A
S
即
解得,.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,,
.
当时,;
当时,;
当时,.
所以,当时,取得极大值,又,.则当时,的最大值为.
因为对于任意的,有恒成立,
所以,
解得或,
因此的取值范围为.
21.解:
(Ⅰ)设的公差为,的公比为,则依题意有且
解得,.
所以,
.
(Ⅱ).
,①
,②
②-①得,
.
22.证明
(Ⅰ)椭圆的半焦距,
由知点在以线段为直径的圆上,
故,
所以,.
(Ⅱ)(ⅰ)当的斜率存在且时,的方程为,代入椭圆方程,并化简得.
设,,则
,,
;
因为与相交于点,且的斜率为.
所以,.
四边形的面积
.
当时,上式取等号.
(ⅱ)当的斜率或斜率不存在时,四边形的面积.综上,四边形的面积的最小值为.