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D-S模型推导2

可变弹性的情况

根据假设直接给定效用函数10{()} (31)i i

u x v x γ

γ-=∑

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当考虑在这种情况下的需求函数时,我们可以得到如下式子:

000,1,0

01'0log u (1)log log ()

log ()log ()(1)/;()/()i i i i i i

I X P X X v X u L L X X u I X P X X X X X X p γγλλλγλγννλ=+=-+==----= =∑∑,如果表示收入关于的边际效用,则可以设拉格朗日函数:对、分别求偏导可以得到一阶条件:

当商品组的容量足够大时,我们可以认为他们对于消费的影响忽略不计,这样式子'

()/()i i X X p γν

νλ=在()X ν和λ保持不变的情况下可以定义dd 曲线的弹

性为如下:

'log () (32)log ''()i i X X P X X νν?-=-?

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在讨论不变弹性时,

log 1(1)

log (1)i i X p βρβ

?--+==

?-即为dd 曲线的需求弹性。为了分析前面所提到的dd 曲线的需求弹性与这里的dd 曲线的类同性和差异性对

()X β进行了定义,使得:'

''1()()()()

X X X X X βνβν+=,即文中的33式。显然,这里将β看成是一个与X 的大小相关的函数。

'''

1()()

(33)()()

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X X X X X βνβν+= 在文中,作者假设X i =X ,P i =P(i=1,2,3…..),然后就直接给出了DD 曲线和对计价物的需求。我们在此仔细观察可以看出它们与前面论文中出现(5)式有很相似的地方,其中()X ω部分可以看成是计价物以外的商品组生产的、与X 相关预算份

额部分。

0(), [1()] (34)I

X X X I X np

ωω=

=-

其中'()

(), ()()/() (35)[()(1)]

X X X X X X X γρωρννγργ=

=+-

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利润最大化条件[1()

/(1())]P [1()]

e e

e MR p x x c c X βββ?=-

+=?=+ 即

P [

1()] (36)e e c

X β=+

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由于零利润条件,可以将P [1()] e e c X β=+带入满足零利润条件的式子()e e p c X α-=

1

(37)1()

e e e cX cX X αβ=++

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DD 曲线()I

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X X np

ω=

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零利润条件()e e p c X α-=

从而 有()

(38)e e e

X n cX ωα=

+

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0(), [1()] (34)I

X X X I X np

ωω=

=-和零利润条件P(x)=α+c(x)的条件之下, 且其中,01[1()]()(1)x I X I

x γωγργ-=-=+-,11()(1)

n cx x γ

αγργ-=++-把这些约束条件带入

效用函数,则可以把效用函数表示成只有一个变量X 的函数:

(1)[()()/()]

(1) (39)()(1)

X X cX u X γγγρναγγγργ-+=-+-

然后利用该效用函数的一阶条件可以定义c X 可得:(这里具体推导过程不详,有待完

善)

'()()1

(40)1()()

c c c c c c c cX X X X cX X X ωραβγρ=-++

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用'()()1

(40)1()()

c c c c c c c cX X X X cX X X ωραβγρ=-++和

1 (37)1()e e e cX cX X αβ=++作比较,则只要ρ’(X )对所有X 去单一的符号时,c e X ρ> ’

若(X )<0,则X ;

c e X ρ< ’若(X )>0,则X 。故有:

()(41)c e X ρ>< ’当(X )<(>)0时,X

而如下图所示,在一条下降的平均成本线上,If X >X ,c e c e so P P >,另一种

情况恰好与之相反。故有:(),()c e c e X X P P ><<> (42)当 考虑X

e e DD X X c c c e c e

DD P P 曲线在曲线的左边,因而点(,)在(,)的左边,此时厂商数量n X c e 时的情况,从而有:

X ()c e c e X >< (43)当时,n <(>)n ,

(41)式说明两种情形都有()()c e X X ρρ<,进而由(35)公式

()

()[()(1)]

X X X γρωγργ=

+-可以得到()()c e X X ωω<。

000 [1()] (34)X c e X I X X ω=->又因为,所以 即得到 00(44)c e X X >

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'()1

()(45)()1()

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X X X X X ρρρβ=- + 其中()n X ν部分代表商品组部分,1()n cX α-+代表计价物部分,这里假设了在无约束的最优情况下存在(1-an )的补贴。

由46式可以得出两个一阶条件

[1()](1)()n cx n cx γαγα-+=-+ ① ()[1()](1)x n cx ncx γραγ-+=- ② 由两个一阶条件容易得出以下解

(47)u P c =

①/②[1()](1)()

()(48)()[1()](1)u u u

cX n cx n cx X x n cx ncx cX γαγαργραγα-+-+?

=?= -+-+

由u [1()](1)()()(1)()u n cx n cx n cx n cx γαγαγγαγα-+=-+?-+=-+ 可知u (49)()()

u

n cx cx cX γ

γγαγαα=

=

++++(1-)

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利用二阶条件可以得到:'()()0()(50)u e X X X ρ><<> 当时, 无约束最优情况下的厂商数量有c ()c c u c

X n n cX cX ωγ

αα=

<= ++

此时我们可以进行单向比较,得到:

X ,(51)u e u e X n n <> 如果则

非对称情况的公式推导

基于文中的假设条件,作者给出了能够反映除了计价物以外两组商品生产的

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效用函数

12

1122121/1/10121

1

[()()](52)n n s

s i i i i u X X X ρρρρ-===+ ∑∑

当假设i 组中的每一个厂商都有固定成本αi 和不变的边际成本c i ,并且考虑只生产第一组商品而不生产第二组商品的均衡形式时(52)效用函数型式条件下的均衡解释其实就是在讨论不变弹性情况下所得的市场均衡的产出 即1

111

X c αβ=

,而此时显然20X = 因为每个厂商实现自身利润最大化的条件是边际成本等于边际收益,而商品的需求价格弹性为(1+β1)/β1,所以对于第一组厂商而言,MR 1=p 1 [1-β1/(1+β

1

)]=c 1,对此式变形生产第一组商品的均衡价格为111(1)P c β=+。

又因为第二个均衡条件是场上自由进入,直到下一个厂商遭受损失为止。我们可以假设边际厂商的利润正好等于零, 1111()q c X α-=,根据I=1、预算份额s 的值固定不变以及式(11)和式(15),我们可以得到进入厂商数1n 满足的条件:

111111

()Is q s

X q n q n =

=

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111(1

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)P c β=+

又由(10)式可知,q pn β-=,在此可以替换一下得到:111q p n β-=,而1p 、

1n 已经得出,带入可得 11

1111111(1)(

)q p n c s

ββ

β

αββ+-==+(值得注意的是其中的

1

s

αβ在论文原文中是1s α,我们判断原文在这里存在错误,但幸运的是这里的错

误不会影响以后的分析)。

将上面的各式带入效用函数(52)可得11

1(1)s s s u s s q --=-

综上,我们可以得到如下所述(53a )的结果。

1

111

X c αβ=

1

111(1)

s n βαβ=

+1111

()q c X α-=

11

1

1211

1

11111111

11111111,0;(1);;

(1)(1)()(1)s s s

X X c s P c n q p n c s

u s s q βββαβββαβαβ+---=

= =+=

+==+=- (53a)

同理,当我们考虑生产第二组商品而不生产第一组商品时,可以同理得到如下的均衡解:

22

2

2122

2

22222212

222221

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,0;(1);;

(1

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)

(1)()(1)s s s

X X c s P c n q p n c s

u s s q βββαβββαβαβ+---=

= =+=

+==+=- (53b)

当没有厂商生产第二组商品时,均衡形式为(53a)。这是对于X 2 的需求我们可以分类讨论:

(1) 当21p q ≥,基于我们的假设,商品组二不生产,此时X 2 =0

(2) 当21p q <,生产商品组二而不生产另一组商品,此时对X 2 的需求为预算

份额s 和商品组二的价格p 2之商.

基于 X 2 的分段需求函数,我们可以得知没有厂商生产第二组商品的条件

2

22max()p p c X -<2α,换句话说,当商品组二厂商抵消可变成本的最大总收益不能

弥补固定成本时厂商退出。 而2

222222212

max()lim ()

[1(/)]q p p s

p c X p c s c q p -→-=-=-,故有 2

21

22222212

max()lim ()

[1(/)]q p p s

p c X p c s c q p -→-=-=-<α2

,对此式后半部分不

等式变形容易得到2

12

sc q s α<

-(54) 同样的道理,我们可以得出(53b )均衡形式的条件即(55)式:

1

2sc q < (55)

在考虑最优情况时,由于假设生产第i 种商品的n i 种商品,其产出均为X i , 价格均为P i , 此时的数量指数分别为:11111Y X n β+=,21222Y X n β+=,而将其代入效用函数1

2

1122121/1/10

1

21

1

[()

()](52)n n s s i i i i u X

X

X ρρρρ-===+ ∑∑可以得到(56)式,即:

1211101122()s s u X X n X n ββ++-=+ (56)

论文中给出的资源约束式子011112222()()1(57)X n c X n c X αα++++= ,在本文中经济意义可以理解为:计价物的总价格与各商品组生产的总成本之和等于

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log log i

i i

q n β?=- (58) ?的推导过程如下:由

log log log i i i i i i q p n q p n ββ-=?=-,i

log log i i

q n ββ??

=-?两边同时对求偏导。 i q 是弹性的增函数可以有以下的推导得出:首先,由(9)式可以得出,

log 1

1log i i X p β?=--?,这说明需求价格弹性和β之间是反向变动的关系,而由

log log i

i i

q n β?=- (58) ?知道β与i q 是反向变动的。由此推出:i q 是自身需求价格弹性的增函数。

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