一元函数微分学
第二章 一元函数微分学
§2.1 导数与微分 一、主要内容 ㈠导数的概念
1．导数：
)(x f y =在0x 的某个邻域内有定义，
x
x f x x f x y
x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000
0)()(lim 0x x x f x f x x --=→ 0
0)(0x x x x dx
dy x f y ===
'='
2．左导数：
00)
()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-
→- 右导数：0
00)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+
→+
定理：
)(x f 在0x 的左（或右）邻域上连续在
其内可导，且极限存在；
则：
)
(lim )(0
0x f x f x x '='-→-
（或：
)(lim )(0
0x f x f x x '='+→+）
3.函数可导的必要条件：
定理：
)(x f 在0x 处可导?)(x f 在0x 处连续
4. 函数可导的充要条件：
定
理
：
)
(00
x f y x x '='
=存在
)()(00x f x f +-'='?，
且存在。 5.导函数：
),(x f y '=' ),(b a x ∈
)(x f 在),(b a 内处处可导。 y )(0x f '
6.导数的几何性质：
y ?
)(0x f '
是曲线
)(x f y =上点 x ?
()00,y x M 处切线的斜率。 o x 0
㈡求导法则
1.基本求导公式：
2.导数的四则运算： 1o
v u v u '±'='±)（
2o
v u v u v u '?+?'='?)（
3o
2v v u v u v u '?-?'='
??
?
?? )0(≠v 3.复合函数的导数：
)]([),
(),(x f y x u u f y ??===
dx
du du dy dx dy ?=，或
)()]([})]([{x x f x f ???'?'='
☆注意
})]([{'x f ?与)]([x f ?'的区别：
})]([{'x f ?表示复合函数对自变量x 求导；
)]([x f ?'表示复合函数对中间变量)(x ?求导。
4.高阶导数：
)(),(),
()
3(x f
x f x f 或'''''
)4,3,2(,])([)()
1()
(Λ='=-n x f
x f
n n
函数的n 阶导数等于其n-1导数的导数。 ㈢微分的概念 1.微分：
)(x f 在x 的某个邻域内有定义，
)()(x o x x A y ?+??=?
其中：
)(x A 与x ?无关，)(x o ?是比x ?较高
阶的无穷小量，即：0
)(lim 0=??→?x
x o x
则称)(x f y =在x 处可微，记作：
x x A dy ?=)(
dx x A dy )(= )0(→?x
2.导数与微分的等价关系：
定理：
)(x f
在
x 处可微)(x f ?在x 处可导，
且：
)()(x A x f ='
3.微分形式不变性：
du
u f dy )('=
不论u 是自变量，还是中间变量，函数的
微分dy 都具有相同的形式。
一、
例题分析
例1.设
)(x f '存在，且1)()2(lim 000=?-?+→?x
x f x x f x ，
则
)(0x f '等于
A.1,
B.0,
C.2,
D.
2
1
. [ ]
解：x
x f x x f x ?-?+→?)()2(lim 000
1)(22)
()2(lim 200002='=?-?+=→?x f x
x f x x f x
∴
2
1
)(0='x f （应选D ）
例2．设
),()()(2
2x a x x f ?-=其中)(x ?在a x =处连
续；求
)(a f '。
解：
a
x a f x f a f a x --='→)
()(lim
)( a
x a a a x a x a x ----=→)
()()()(lim 2
2
2
2
??
)()(lim )())((lim x a x a x x a x a x a x a x ??+=-+-=→→
)(2a a ?=
误解：
)()()(2)(2
2x a x x x x f ??'-+='
∴
)(2)()()(2)(2
2a a a a a a a a f ???='-+='
结果虽然相同，但步骤是错的。因为已知条件并没说
)(x ?可导，所以)
(x ?'不一定存在。 例3．设
)(x f 在1=x 处可导，且2)1(='f ，求：
1
)1()34(lim 1---→x f x f x
解：设
)4(,343
1t x x t -=-=
当
1→x 时，1→t
1)4()1()(lim 1)1()34(lim 3
1
11---=---→→t f t f x f x f t x
6
23)1(31
)
1()(lim 31-=?-='-=---=→f t f t f t
例4．设
)(x f 是可导的奇函数，且0)(0≠=-'k x f ， 则
)(0x f '等于：
A.
k , B. k -, C.
k
1-, D.
k
1. [ ]
解：)()(x f x f -=-
])([])(['-='-x f x f
)()()(x f x x f '-='-?-' )()(x f x f '=-'
∴
k x f x f =-'=')()(00 (应选A)
（结论：可导奇函数的导数是偶函数； 可导偶函数的导数是奇函数。）
例5．设
?
?
?≥<+=1211)(2x x x x x f 在1=x 处是否可导？ 解法一：
22)1(1
===x x
f
2)1(lim )(lim 2
1
1
=+=-
-→→x x f x x
2)2(lim )(lim 1
1
==++→→x x f x x
∴
)(x f 在1=x 处连续
1
21lim 1)1()(lim )1(2
11--+=--='--
→→-x x x f x f f x x
2)1(lim 11lim 1
21=+=--=--→→x x x x x 22lim 12
2lim 1)1()(lim )1(1
11==--=--='+
++→→→+x x x x x x f x f f
∴
2)1()1()1(='='='+-f f f
∴
)(x f 在1=x 处可导。
解法二：
2
2)1(1===x x f
2
)1(lim )(lim 2
1
1
=+=--→→x x f x x
2
)2(lim )(lim 1
1
==++→→x x f x x
∴
)(x f 在1=x 处连续
当
1≠x 时，
??
?><='1212)(x x x x f
∴
2
2lim )(lim )1(1
1
=='='--→→-x x f f x x
2
2lim )(lim )1(1
1
=='='++→→+x x x f f
∴
2)1()1()1(='='='+-f f f
∴)(x f 在1=x 处可导。
例6．设
???>≤+=001)(2x ae
x bx x f x
求a,b 的值，使)(x f 处处可导。
解：)(x f 的定义域：),(+∞-∞∈x
当
0 bx x f +=1)( 是初等函数，在)0,(-∞内有定义， ∴不论a 和b 为何值，)(x f 在)0,(-∞内连续； 当0>x 时， x ae x f 2)(=是初等函数，在 ),0(+∞内有定义， ∴不论a 和b 为何值， )(x f 在),0(+∞内连续； 1)1()0(0=+==x bx f 1)1(lim )(lim 0 0=+=--→→bx x f x x a ae x f x x x ==+ +→→20 lim )(lim 只有当 1=a 时，)(x f 在0=x 处连续； ∴当1=a 时，)(x f 处处连续； 当0≠a 时， ???> ??=><='=?可导可导020020)(221x e x b x ae x b x f x x a b b x f f x x =='='--→→-0 lim )(lim )0( 22lim )(lim )0(20 =='='++→→+x x x e x f f 只有当 2=b 时，)(x f 在0=x 处可导； ∴当 2,1==b a ，)(x f 处处可导。 例7．求下列函数的导数 ⑴ )21ln(cos x y += 解： x v v u u y2 1 ln cos+ = = = dx dv dv du du dy dx dy ? ? = ) 2 1 ln( sin 2 1 2 2 1 sin x x v u+ + - = ? ? - = ⑵ ) arctan(tan2x y= 解： ]) n [arctan(ta2' ='x y ) (tan ) (tan 1 tan 2 ) (tan ) (tan 1 1 2 2 2 2 2 ' + =' + =x x x x x x x x x x x 4 4 2 2 2 cos sin 2 sin ) (tan 1 sec tan 2 + = + = ⑶ x x y2 tan 10 = 解： ) 2 tan ( 10 10 ln ) 10 (2 tan 2 tan' ? =' ='x x y x x x x ) 2 sec 2 2 (tan 10 10 ln2 2 tan x x x x x+ ? = ⑷ 2 2 2r y x= + （ r 为常数） 解法一： 2 2x r y -±= 2 2 2 22 2 2)()(x r x r x r y -'-± ='-±=' 22 x r x -=μ 解法二: )()(2 2 2 '='+r y x 022='?+y y x 2 2x r x y x y -=-='μ ⑸)cos(xy y = 解法一：)()sin(])[cos('?-='='xy xy xy y )()sin(y x y xy '+?-= ∴)sin(1)sin(xy x xy y y +-= ' 解法二:设 )cos(),(xy y y x F -= )sin(1), sin(xy x F xy y F y x +='=' )sin(1)sin(xy x xy y F F dx dy y x +-=''-= ⑹ y x x y ln ln = 解法一：)ln ()ln ('='y x x y y y x y x y y x '+=+'?ln ln 2 2 ln ln ln ln x x xy y y xy x y y y x x y --=--=' 解法二:设 y x x y y x F ln ln ),(-= y x x F y x y F y x - ='-='ln ,ln 2 2 ln ln ln ln x x xy y y xy x y F F dx dy y x x y y x --=---=''-= ⑺ 3 )2)(1(---= x x x y 解：（对数法） 3 )2)(1(ln ln ---=x x x y )] 3ln()2ln()1[ln(21---+-=x x x } )]3ln()2ln()1[ln({)(ln 21'---+-='x x x y )312111(211---+-='x x x y y ∴ 3)2)(1() 312111(21------+-='x x x x x x y ⑻ x x y = 解法一：（对数法） x x x y x ln ln ln == 1ln ln 1+=+='x x x x y y ∴)1(ln +='x x y x 解法二：（指数法） x x x x e e x y x ln ln === )ln ()(ln ln '='='x x e e y x x x x )1(ln +=x x x ⑼ x x x x y cos ) (sin 2+= 解法一：（对数法） 设 x x x y x y cos 21) (sin ,2== 21 21, y y y y y y '+'='+= x x x y x ln 2ln 2ln ln 1+== )2(ln 21ln 211+=+='x x x x x x y y ∴ ) 2(ln )2(ln 222 1 +=+='-x x x x x y x x x x y sin ln cos ln 2= x x x x x y y sin cos cos sin ln sin 122+-=' ∴ )sin ln sin cot (cos )(sin cos 2 x x x x x y x -=' 21 y y y '+'=' sin ln sin cot (cos ) (sin )1(ln cos 2 1x x x x x x x x x -++=-解法二：（指数法） x x x x e e y sin ln cos ln 2+= )sin ln (cos )ln (2sin ln cos ln ' +'=x x e x x e x x x x sin ln sin cot (cos ) (sin )1(ln cos 2 1 x x x x x x x x -++=- ⑽ y x x y = 解法一： x y y x ln ln = x y y x y y x y + '?='+ln ln ∴ 2 2 ln ln x x xy y y xy y --=' 解法二：设x y y x y x F -=),( y x y x y x x y x y y y x x y y y yx F )ln (ln ln 1 -=-=-='- x y x y y x y x y y x x x xy x x F ln (ln ln 1 --=-=-='- 2 2 ln ln )ln ()ln (x x xy y y xy x x x y F F dx dy y y x y x y y x --=--=''-= 例8．已知 x x f sin )(=，求)(x f '。 解：设 2 ,t x x t == 2 sin )(t t f = ∴ 2 sin )(x x f = ∴ 2 22cos 2)(cos )(x x x x x f ='=' 例9．求下列函数的二阶导数 ⑴ )1ln(2 x y += 解： 2 12x x y +=' 2 22 222) 1(22)1(22)1(2x x x x x x y +-=+?-+='' ⑵ ln =+y xy 解法一： 1 =' +' +y y y x y 0 2=' +' +y y xy y ∴ xy y y + - =' 1 2 2 2 ) 1( ) ( ) 1( 2 xy y x y y xy y y y + ' + + + ' - ='' 2 1 2 1 ) 1( ) ( ) 1( 22 2 xy x y y xy y xy y xy y + + + + - =+ - + - 3 2 2 3 ) 1( ] ) 1( [ ) 1( 2 xy xy xy y y xy y + - + + + = 3 4 3 ) 1( 2 3 xy xy y + + = 解法二： 1 =' +' +y y y x y 0 2=' +' +y y xy y ∴xy y y +-= '12 0)(2 =''+'+y y xy y 0)(22=''+''+'+'+'y y xy y x y y y y () xy x y xy y x y y y xy y xy y ++- =+'+'-=''+-+-131) (32 112 22 34 3 34 3 ) 1(23)1()1(3xy xy y xy xy xy y ++=+-+= 例10．设 x e x y 29+=，求： 10,, ) () 10(≥n y y n 。 解： x e x y 28 29+=' x e x y 227289+?='' x e x y 2362789+??=''' …… x x e e x y 29299 9) 9(2!921789+=+????=-Λ x e y 210 ) 10(2= 10,22) (≥=n e y x n n 结论：对于m x y =，若 m n >，则0) (=n y 例11．设 x x y ln 49 +=，求) 50(y 。 解： 1 ) 48(49-+='x x y 2 1 2) 47() 1(4849---+?=''x x y 3 13) 46(21)1(474849--?-+??='''x x y …… 50 50 1 50) 50(!49)!150() 1(----=--=x x y 例12．求下列函数的微分 ⑴ x e y x 2 sin = 解法一： x x e x e y x x cos sin 2sin 2?+=' )2sin (sin 2 x x e x += ∴ dx x x e dy x )2sin (sin 2 += 解法二： )sin (2 x e d dy x = )(sin sin )(2 2x d e x e d x x +?= )(sin sin 2sin 2x xd e xdx e x x ?+= )cos sin 2(sin 2 xdx x xdx e x += dx x x e x )2sin (sin 2 += ⑵ 12 =+y e y x 解法一： 0)()(2 ='+'y e y x 022 ='+'+y e y x xy y y e x xy y +-='2 2 ∴dx e x xy dy y +-=22 解法一： 0)()(2=+y e d y x d 022 =++dy e dy x xydx y ∴dx e x xy dy y +-=22