高中数学必修4第一章课后习题解答

新课程标准数学必修4第一章课后习题解答

第一章 三角函数 1．1任意角和弧度制 练习（P5）

1、锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角；直角不属于任何一个象限，不属于任何一个象限的角不一定是直角；钝角是第二象限角，第二象限角不一定是钝角.

2、三，三，五

说明：本题的目的是将终边相同的角的符号表示应用到其他周期性问题上. 题目联系实际，把教科书中的除数360换成每个星期的天数7，利用了“同余”（这里余数是3）来确定7k 天后、7k 天前也是星期三，这样的练习不难，可以口答. 3、（1）第一象限角； （2）第四象限角； （3）第二象限角； （4）第三象限角. 4、（1）305°42′第四象限角；（2）35°8′第一象限角；（3）249°30′第三象限角. 5、（1）{130318+360,}k k Z ββ'=???∈，49642'-?，13642'-?，22318'?； （2）{225+360,}k k Z ββ=-???∈，585-?，225-?，135?. 练习（P9）

1、（1）

8π； （2）76π-； （3）203

π

. 2、（1）15°；（2）240-?； （3）54°.

3、（1）{,}k k Z ααπ=∈； （2）{,}2

k k Z π

ααπ=

+∈.

4、（1）cos0.75cos0.75?>； （2）tan1.2tan1.2?<. 说明：体会同数值不同单位的角对应的三角函数值可能不同，并进一步认识两种单位制. 注意在用计算器求三角函数值之前，要先对计算器中角的模式进行设置. 如求cos0.75?之前，要将角模式设置为DEG （角度制）；求cos0.75之前，要将角模式设置为RAD （弧度制）.

5、

3

π

m. 6、弧度数为1.2. 习题1.1 A 组（P9） 1、（1）95°，第二象限； （2）80°，第一象限； （3）23650'?，第三象限； （4）300°，第四象限. 2、{180,}S k k Z αα==??∈.

3、（1）{60360,}k k Z ββ=?+??∈，300-?，60?； （2）{75360,}k k Z ββ=-?+??∈，75-?，285?；

（3）{82430360,}k k Z ββ'=-?+??∈，10430'-?，25530'?； （4）{75360,}k k Z ββ=-?+??∈，75-?，285?； （5）{90360,}k k Z ββ=?+??∈，270-?，90?；

（7）{180360,}k k Z ββ=?+??∈，180-?，180?； （8）{360,}k k Z ββ=??∈，360-?，0?.

说明：用集合表示法和符号语言写出与指定角终边相同的角的集合，并在给定范围内找出与指定的角终边相同的角. 4、

（2）D . 说明：因为36090360,k k k Z α??<

所以18045180,2

k k k Z α

??<

当k 为奇数时，

2α是第三象限角；当k 为偶数时，2

α

是第一象限角. 6、不等于1弧度. 这是因为等于半径长的弧所对的圆心角为1弧度，而等于半径长的弦所

对的弧比半径长.

7、（1）5π； （2）56π-； （3）7312

π

； （4）8π.

8、（1）210-?；（2）600-?；（3）80.21?；（4）38.2?. 9、64°. 10、14 cm.. 习题1.1 B 组（P10）

1、（1）略； （2）设扇子的圆心角为θ，由2122

120.6181(2)2

r S S r θπθ==-. 可得0.618(2)θπθ=-，则0.764140θπ=≈?.

说明：本题是一个数学实践活动，题目对“美观的扇子”并没有给出标准，目的是让学生先去体验，然后再运用所学知识发现，大多数扇子之所以“美观”是因为基本都满足1

2

0.618S S =

2、（1）时针转了120-?，等于23

π

-弧度；分针转了1440-?，等于8π-弧度. （2）设经过t min 分针就与时针重合，n 为两针重合的次数.

因为分针旋转的角速度为26030ππ

=

（rad ∕min ） 时针旋转的角速度为21260360

ππ

=

?（rad ∕min ） 所以()230360t n πππ-=，即72011

t n =

因为时针旋转一天所需的时间为24601440?=（min ）

所以720144011

n ≤，于是22n ≤.

故时针与分针一天内只会重合22次. 2、864°，245

π

，151.2π cm.

说明：通过齿轮的转动问题进一步地认识弧度的概念和弧长公式. 当大齿轮转动一周时，小

齿轮转动的角是4824360864205

π

??=?=rad.

由于大齿轮的转速为3 r ∕s

所以小齿轮周上一点每1 s 转过的弧长是48

3210.5151.220

ππ???= （cm ）

1．2任意角的三角函数 练习（P15）

1、71

sin

62

π=-，7cos 62π=-，7tan 63π=. 2、5sin 13θ=，12cos 13θ=-，5

tan 12θ=-. 3

45、（1）正； （2）负； （3）零； （4）负； （5）正； （6）正. 6、（1）①③或①⑤或③⑤； （2）①④或①⑥或④⑥； （3）②④或②⑤或④⑤； （4）②③或②⑥或③⑥.

7、（1）0.8746； （2； （3）0.5； （4）1.

练习（P17）

1、终边在不同位置的角对应的三角函数值的情况，包括三角函数值的符号情况，终边相同

3、解：∵sin0

θ>且sin1

θ≠

∴θ为第一或第二象限角

由22

sin cos1

θθ

+=

得222

cos1sin10.350.8775

θθ

=-=-=

（1）当θ为第一象限角

cos0.94

θ≈

sin0.35

tan0.37

cos0.94

θ

θ

θ

=≈≈

（2）当θ为第二象限角

cos0.94

θ≈-

正切线长分别为2.5cm，4.3cm，2.9cm，其中5，2.5是准确数，其余都是近似数（图略）.

3.5

sin2250.7

5

?=-=-，

3.5

c o s2250.7

5

?=-=-，t a n2251

?=；

sin3300.5

?=-，

4.3

c o s3300.86

5

?==，

2.9

t a n3300.58

5

?=-=-.

4、三角函数线是三角函数的几何表示，它直观地刻画了三角函数的概念. 与三角函数的定义结合起来，可以从数和形两方面认识三角函数的定义，并使得对三角函数的定义域、函数值符号的变化规律、公式一等的理解容易了.

4、（1）原式=sin cos sin cos θ

θθθ

?=；

（2）原式=22222222222cos (cos sin )cos sin 1(cos sin )2sin cos sin αααααααααα-+-==+--. 5、（1）左边=222222

(sin cos )(sin cos )sin cos αααααα+-=-； （2）左边=222222

sin (sin cos )cos sin cos 1αααααα++=+=.

习题1.2 A 组（P20）

1、（1）17sin()32π-

=，171cos()32π-=，17tan()3

π

-=

（2）21sin

42π=-21cos 42π=-，21tan 14π=；

（3）231

sin()62

π-

=，23cos()62π-=，23tan()63π-=；

（4）sin1500?=

1

cos15002

?=，tan1500?=2、当0a >时，4sin 5α=

，3cos 5α=，4

tan 3α=； 当0a <时，4sin 5α=-，3cos 5α=-，4

tan 3

α=.

3、（1）10-； （2）15； （3）32-； （4）9

4-.

4、（1）0； （2）2

()p q -； （3）2

()a b -； （4）0.

5、（1）2-； （2）2

6、（1）负； （2）负； （3）负； （4）正； （5）负； （6）负.

7、（1）正； （2）负； （3）负； （4）正.

8、（1）0.9659； （2）1； （3）0.7857； （4）1.045.

9、（1）先证如果角θ为第二或第三象限角，那么sin tan 0θθ?<.

当角θ为第二象限角时，sin 0θ>，tan 0θ<，则sin tan 0θθ?<； 当角θ为第三象限角时，sin 0θ<，tan 0θ>，则sin tan 0θθ?<， 所以如果角θ为第二或第三象限角，那么sin tan 0θθ?<. 再证如果sin tan 0θθ?<，那么角θ为第二或第三象限角.

因为sin tan 0θθ?<，所以sin 0θ>且tan 0θ<，或sin 0θ<且tan 0θ>，

当sin 0θ>且tan 0θ<时，角θ为第二象限角； 当sin 0θ<且tan 0θ>时，角θ为第三象限角； 所以如果sin tan 0θθ?<，那么角θ为第二或第三象限角. 综上所述，原命题成立.

（其他小题同上，略）

（1）解： 由22sin cos 1αα+=

得22

21cos 1sin 1(4

αα=-=-= ∵α为第四象限角 ∴1cos 2α=

sin tan 2cos ααα===（2）解： 由22sin cos 1αα+= 得2225144sin 1cos 1()13169αα=-=--= ∵α为第二象限角 ∴12sin 13α=

sin 121312tan ()cos 1355ααα==?-=-

（3）解：∵tan 0α< ∴α是第二或第四象限角 ∵sin 3

tan cos 4ααα==- ∴3

sin cos 4αα=- ∵22sin cos 1αα+= ∴22

9cos cos 116αα+=

∴216cos 25α=

（1）当α是第二象限角时

4

cos 5α=-

3343sin cos ()4455αα=-=-?-= （2）当α是第四象限角时

4

cos 5α=

3343

sin cos 4455αα=-=-?=-

（4）解：∵cos 0α>且cos 1α≠ ∴α是第一或第四象限角

∵22sin cos 1αα+=

∴222sin 1cos 10.680.5376αα=-=-=

（1）当α是第一象限角时

sin 0.73α=≈

sin 0.73tan 1.1cos 0.68ααα=≈≈

（2）当α是第四象限角时

sin 0.73α=≈-

sin 0.73tan 1.1cos 0.68ααα-=≈≈-

10、

11、解：∵sin 0x <且sin 1x ≠-

∴x 是第三或第四象限角 ∵22sin cos 1x x +=

∴22218cos 1sin 1()39

x x =-=--=

（1）当α是第三象限角时

cos 3x =-

sin 1tan (cos 34x x x ==-?=

（2）当α是第四象限角时

cos 3x =

sin 1tan cos 34

x x x ==-=-

13、（1）左边=2(cos sin )cos sin 1tan (cos sin )(cos sin )cos sin 1tan x x x x x

x x x x x x x

---==+-++；

（2）左边=222

22

22222

11cos sin sin (1)sin sin sin tan cos cos cos x x x x x x x x x x

--=?=?

=?； （3）左边=22

12cos cos sin 22cos ββββ-++=-；

（4）左边=2222222

(sin cos )2sin cos 12sin cos x x x x x x +-?=-?.

习题1.2 B 组（P22）

1、原式=22222

sin (1)cos cos sin 1cos α

αααα

+?=+=. 2、原式1sin 1sin cos cos αα

αα+--

. ∵α为第二象限角.

∴原式=1sin 1sin 11

tan tan 2tan cos cos cos cos ααααααααα

+--=--+-=---.

3、∵tan 2α=，∴sin cos tan 121

3sin cos tan 121αααααα+++===---.

4、又如4422sin cos 12sin cos x x x x +=-?也是22sin cos 1x x +=的一个变形；

2

11tan x =+是22sin cos 1x x +=和sin tan x x =的变形；等等.

1、（1）4cos 9π-；（2）sin1-； （3）sin 5π

-； （4）cos706'?.

2、（1）

12； （2）1

2

； （3）0.6428； （4

）2-.

3、（1）2sin cos αα-； （2）4sin α.

4、

5、（1）2tan 5π-；（2）tan7939'-?； （3）5

tan 36

π-； （4）tan3528'-?.

6、（1

）2

-（2

）2；（3）0.2116-；（4）0.7587-；（5

（6）0.6475-.

7、（1）2sin α； （2）21

cos cos αα

+. 习题1.3 A 组（P29）

1、（1）cos30-?；（2）sin8342'-?；（3）cos

6

π

；（4）sin

3

π

； （5）2cos

9

π

-；（6）cos7534'-?；（7）tan8736'-?；（8）tan 6π-.

2、（1

）

2；（2）0.7193-；（3）0.0151-；（4）0.6639；（5）0.9964-；（6

）3、（1）0； （2）2cos α-

4、（1）sin(360)sin()sin ααα?-=-=-360； （2）（3）略 习题1.3 B 组（P29）

1、（1）1； （2）0； （3）0.

2、（1）12；（2

）2

αα??-?? 当为第一象限角当为第二象限角；（3）12-；（4

）αα?? 当为第一象限角

当为第二象限角

.

1、可以用单位圆中的三角函数作出它们的图象，也可以用“五点法”作出它们的图象，还可以用图形计算器或计算机直接作出它们的图象. 两条曲线形状相同，位置不同，例如函数

sin y x =，[0,2]x π∈的图象，

可以通过将函数cos y x =，3[,]22x ππ∈-的图象向右平行移动2

π

个单位长度而得到.

2、两个函数的图象相同. 练习（P36）

1、成立. 但不能说120°是正弦函数sin y x =的一个周期，因为此等式不是对x 的一切值都成立，例如sin(20120)sin 20?+?≠?.

2、（1）

83π； （2）2

π

； （3）2π； （4）6π. 3、可以先在一个周期的区间上研究函数的其他性质，再利用函数的周期性，将所研究的性质扩展到整个定义域. 练习（P40） 1、（1）(2,2),k k k Z πππ+∈； （2）(2,2),k k k Z πππ-+∈； （3）(2,

2),22k k k Z ππ

ππ-

++∈； （4）3(2,2),22

k k k Z ππ

ππ++∈.

2、（1）不成立. 因为余弦函数的最大值是1，而3

cos 12

x =>.

（2）成立. 因为2sin 0.5x =，即s

i n 2x =±，而正弦函数的值域是[1,1]-，[1,1]2

±

∈-. 3、当{2,}2

x x x k k Z π

π∈=

+∈时，函数取得最大值2；

当{2,}2

x x x k k Z π

π∈=-

+∈时，函数取得最大值2-.

4、B .

5、（1）sin 250sin 260?>?； （2）1514cos

cos

89ππ

>； （3）cos515cos530?>?； （4）5463

sin()sin()78

ππ->-.

6、5[,],8

8

k k k Z π

π

ππ+

+

∈ 练习（P45）

1、在x 轴上任取一点1O ，以1O 为圆心，单位长为半径作圆. 作垂直于x 轴的直径，将1O 分成左右两个半圆，过右半圆与x 轴的交点作1O 的切线，然后从圆心1O 引7条射线把右半圆分成8等份，并与切线相交，得到对应于3π-

，π-，π-，0，π，π，3π等角的正切线.

相应地，再把x 轴上从2π-

到2

π

这一段分成8等份.把角x 的正切线向右平行移动，使它的起点与x 轴上的点x 重合，再把这些正切线的终点用光滑的曲线连接起来，就得到函数tan y x =，

(,)22

x ππ

∈-

的图象.

2、（1）{,}2

x k x k k Z π

ππ<<

+∈；（2）{,}x x k k Z π=∈；（3）{,}2

x k x k k Z π

ππ-

+<<∈.

3、{,}6

3k x x k Z π

π≠

+

∈ 4、（1）2

π

； （2）2π. 5、（1）不是. 例如0π<，但tan0tan 0π==.

（2）不会. 因为对于任何区间A 来说，如果A 不含有()2

k k Z π

π+∈这样的数，那么函

数tan ,y x x A =∈是增函数；如果A 至少含有一个

()2

k k Z π

π+∈这样的数，那么在直线

2

x k π

π=

+两侧的图象都是上升的（随自变量由小到大）.

6、（1）tan138tan143?

tan()tan()45

ππ-<-. 习题1.4 A 组（P46） 1、

（1）

（2）

2、（1）使y 取得最大值的集合是{63,}x x k k Z =+∈，最大值是

3

2

； 使y 取得最小值的集合是{6,}x x k k Z =∈，最小值是12

； （2）使y 取得最大值的集合是{,}8

x x k k Z π

π=

+∈，最大值是3； 3π

（3）使y 取得最大值的集合是{2(21),}3x x k k Z π

=++

∈，最大值是3

2

； 使y 取得最小值的集合是{4,}3x x k k Z π

π=

+∈，最小值是3

2-； （4）使y 取得最大值的集合是{4,}3x x k k Z π

π=

+∈，最大值是12

； 使y 取得最小值的集合是5{4,}3x x k k Z ππ=-

+∈，最小值是1

2

-. 3、（1）3π； （2）

2

π

. 4、（1）sin10315sin16430''?>?； （2）4744

cos()cos()109

ππ-

>-； （3）sin508sin144?-?. 5、（1）当[2,

2],2

2

x k k k Z π

π

ππ∈-++∈时，1sin y x =+是增函数；

当3[

2,

2],2

2

x k k k Z π

π

ππ∈++∈时，1sin y x =+是减函数. （2）当[2,2],x k k k Z πππ∈-+∈时，cos y x =-是减函数； 当[2,2],x k k k Z πππ∈+∈时，cos y x =-是增函数. 6、{,}3

x k k Z π

π≠

+∈. 7、

2

π 8、（1）13

tan()tan()57ππ->-； （2）tan1519tan1493?>?；

（3）93tan 6)tan(5)1111ππ>-； （4）7tan tan 86ππ

π<.

9、（1）{,}4

2

x k x k k Z π

π

ππ-

+≤<

+∈； （2）{,}3

2

x

k x k k Z π

π

ππ+≤<

+∈.

10、由于()f x 以2为最小正周期，所以对任意x R ∈，有(2)()f x f x +=.

于是：2

(3)(12)(1)(11)0f f f =+==-=

273331()(2)()(1)22224

f f f =+==-= 11、由正弦函数的周期性可知，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心，其对称中心坐标为(,0)k π，k Z ∈. 正弦曲线是轴对称图形，其对称轴的方程是,2

x k k Z π

π=

+∈.

由余弦函数和正切函数的周期性可知，余弦曲线的对称中心坐标为(

,0).k k Z π

π+∈，

对称轴的方程是,x k k Z π=∈；正切曲线的对称中心坐标为(,0).2

k k Z π

∈. 正切曲线不是轴对称图形.

习题1.4 B 组（P47） 1、（1）2{22,}3

3x

k x k k Z π

πππ+≤≤

+∈；（2）33{22,}44

x k x k k Z ππ

ππ-+≤≤+∈.

2、单调递减区间5(

,),8

282

k k k Z π

πππ+

+∈. 3、（1）2,[21,21],x k k k Z ∈-+∈.

1．5函数sin()y A x ω?=+的图象

练习（P55） 1、 2、（1）C ； （2）B ； （3）C .

3、2

3

A =，4T π=，14f π=

24

2

3

1s i n s i n ()s i n ()4

24

21sin(324y x y x y x y x π

π

π

π=????→=-??????→=-??????→=-向右平移

横坐标伸长到原来

的倍，纵坐标不变

个单位

纵坐标缩短到原来

的倍，横坐标不变

4、

12π. 把正弦曲线在区间[,)12π+∞的部分向左平移12

π个单位长度，就可得到函数sin(),[0,]

12

y x x π

=+∈+∞的图象. 习题1.5 A 组（P57） 1、（1）C ； （2）A ； （3）D . 2、（1） （2）

（3）

（4）

3、（1）8A =，8T π=，8

π

?=-

48

s i n s i n ()s i n ()8

48

8s i n ()8s i n ()[0,)

48

48

y x y x y x y x x y y x π

π

π

ππ

=????→=-??????→=-??????→=-????→=-∈+∞向右平移

横坐标伸长到原来

的倍，纵坐标不变

个单位

纵坐标伸长到原来把轴左侧

的8倍，横坐标不变

的部分抹去，

（2）13A =

，23T π=，7

π?=

1

73

13

sin sin(+)sin(3+)7711sin(3+)sin(3+)[0,)3737y y x y x y x y x y x x πππ

ππ=????→=??????→=??????→=????→=∈

+∞向左平移横坐标缩短到原来

个单位的倍，纵坐标不变纵坐标缩短到原来把轴左侧

的部分抹去的倍，横坐标不变，

4、（1）150T =

，50f =，5A =，3

π

?= （2）0t =时，i =

；1

600t =时，5i =；1

150

t =时，0i =； 7600t =

时，5i =-；1

60

t =时，0i =； 5、（1）2T =； （2）约24.8cm 习题1.5 B 组（P58）

1、根据已知数据作出散点图.

由散点图可知，振子的振动函数解析式为020sin(

),[0,)62

x y x t ππ

=-∈+∞ 2、函数2sin()4

h t π

=+在[0,2]π上的图象为

（1）小球在开始振动时的位置在；

（2）最高点和最低点与平衡位置的距离都是2；

（3）经过2π秒小球往复运动一次；

（4）每秒钟小球能往复振动1

2π

次.

sin(),[0,)y r t t ω?=+∈+∞； 点P 的运动周期和频率分别为

2π

ω

和

2ωπ

. 1．6三角函数模型的简单应用 练习（P65）

1、乙点的位置将移至它关于x 轴的对称点处.

2、如CCTV-1新闻联播节目播出的周期是1天.

3、可以上网下载有关人体节律的软件，利用软件就能方便地作出自己某一时间段的三条人体节律曲线，它们都是正弦型函数图象. 根据曲线不难回答题中的问题. 习题1.6 A 组（P65） 1、（1）30?或150?； （2）135?； （3）45?； （4）150?.

2、（1）43π或53π； （2）32π； （3）2π或32π； （4）4

π或54π

.

3、5.5天；约3.7等星；约4.4等星.

4、先收集每天的用电数据，然后作出用电量随时间变化的图象，根据图象制定“消峰平谷”的电价方案.

习题1.6 B 组（P66） 1、略； 2、略.

第一章 复习参考题A 组（P69）

1、（1）

79{2,},,,4

444k k Z π

πππββπ=+∈-

；（2）22410

{2,},,,3333

k k Z ββπππππ=-+∈-； （3）128212

{2,},,,5555

k k Z ββπππππ=

+∈-；（4）{2,},2,0,2k k Z ββπππ=∈-. 2、周长约44 cm ，面积约为21.110?2cm .

3、（1）负； （2）正； （3）负；

4、解：∵cos 0?>且cos 1?≠

∴?为第一或第四象限角 ∵22sin cos 1??+= ∴22

15sin 1cos 16

??=-= （1）当?为第一象限角时

6、222222224=sin (sin 1)cos sin (cos )cos cos (sin 1)

cos ααα

αααααα

-+=-+=-+=原式

222

2

2722sin 2cos 2sin cos 1sin cos 2sin 2cos 2sin cos (1sin )2cos (1sin )cos (1sin cos )αααα

αααααααααααα=-+-=++-+-=-+-+=-+=、(1)原式 右边

222222222sin (1sin )sin cos cos cos (sin cos )sin 1αββαββααβ=-++=++==(2)原式 右边

8、（1）

4sin 2cos 4tan 24325

5cos 3sin 53tan 5337

αααααα--?-===+++?；

（2）2222sin cos tan 33

sin cos sin cos tan 13110αααααααα====

+++； （3）2222

2222(sin cos )(tan 1)(31)8

(sin cos )sin cos tan 1315

αααααααα++++=

===+++. 9、（1）0； （2）1.0771.

10、（1）当α为第一象限角时，

cos(2)2πα-=，当α为第二象限角时，cos(2)2πα-=-；

（2）当α为第一象限角时，

tan(7)απ-=，当α为第二象限角时，tan(7)απ-=.

11、（1）tan11110.601?=，sin378210.315'?=，cos642.50.216?=； （2）sin(879)0.358-?=-，33tan()0.4148π-=-，13cos()0.58810π

-=-；

（3）sin30.141=，cos(sin 2)0.614=.

12、

13、（1

）因为cos x =

或cos x =

1>

,1-，所以原式不能成立. （2

）因为sin x =

1<，所以原式有可能成立.

14、（1

1

π

，此时x 的集合为{2,}2

x x k k Z π

π=

+∈.

1

π

，此时x 的集合为{2,}2

x x k k Z π

π=-

+∈.

（2）最大值为5，此时x 的集合为{2,}x x k k Z ππ=+∈. 最小值为1，此时x 的集合为{2,}x x k k Z π=∈. 15、（1）3{2}2x x ππ≤≤；（2）{}2x x ππ≤≤；（3）{0}2x x π≤≤；（4）3{}2

x x π

π≤≤.

16、

（1）

（2）

（3

） （4

）

17、（1）

（图略）

（2）由sin()sin x x π-=，可知函数sin ,[0,]y x x π=∈的图象关于直线2

x

=

对称，据此

可得函数sin ,[,]2y x x π

π=∈的图象；又由sin(2)sin x x π-=-，可知sin ,[0,2]y x x π=∈的图

象关于点(,0)π对称，据此可得出函数sin ,[,2]y x x ππ=∈的图象.

（3）先把y 轴向右（当0?>时）或向左（当0?<时）平行移动?个单位长度，再把x 轴向下（当0k >时）或向上（当0k <时）平行移动k 个单位长度，最后将图象向左或向右平行移动2π个单位长度，并擦去[0,2]π之外的部分，便得出函数sin(),[0,2]y x k x ?π=++∈的图象.

18、（1）21,,56

A T ππ

?==

=. 1

65

sin ,sin(+),sin(5+),67y x x R y x x R y x x R πππ

=∈????→=∈??????→=∈向左平移横坐标缩短到原来

个单位的倍，纵坐标不变 （2）2,12,0A T π?===.

6211sin ,sin ,2sin ,66

y x x R y x x R y x x R =∈??????→=∈??????→=∈横坐标伸长到原来纵坐标缩短到原来

的倍，纵坐标不变的倍，横坐标不变

第一章 复习参考题B 组（P71）

1、（1）

342k k παπππ+<<+，所以2

α

的终边在第二或第四象限； （2）9012030901203

k k α

?+??<

3

α

的终边在第二、第三或第四象限； （3）34244k k ππαππ+<<+,所以2α的终边在第三或第四象限,也可在y 轴的负半轴上. 2、约143?

3、解：原式1sin 1cos cos sin cos sin cos sin αααααααα

--==?+?

∵α为第二象限角

∴原式1sin 1cos cos ()sin 1sin 1cos sin cos cos sin αα

αααααααα

--=?-

+?=-++-=-. 4、（1）12

sin 2cos tan 25

315cos sin 5tan 16

5()3

αααααα-+++===----；

（2）22

2

2

221

()1

1sin cos tan 110312sin cos cos 2sin cos cos 2tan 13

2()13

αααααααααα-+++====

+++?-+. 5、左边22sin cos sin cos 2sin cos 1sin cos αααααα

αα

++++=++

2(sin cos )sin cos 1sin cos (sin cos )(sin cos 1)1sin cos sin cos αααααα

αααααα

αα+++=

+++++=

++=+=右边

. 6、将已知条件代入左边，得：左边=222222

22222

tan 1sin 1sin 1cos cos cos cos a b a b θθθ

θθθθ--=-== 7、将已知条件代入左边，得：左边=22222[(tan sin )(tan sin )]16tan sin θθθθθθ+--= 再将已知条件代入右边，得：右边=16(tan sin )(tan sin )θθθθ+-2216(tan sin )θθ=-

2222222

sin sin cos sin sin 1616cos cos θθθθθθθ-?=?=? 2216tan sin θθ=?. 所以，左边=右边

8、（1）2[

,

],63k k k Z π

πππ++∈； （2）272[,],43123

k k k Z ππππ

++∈.

9、（1）表示以原点为圆心，r 为半径的圆. （2）表示以(,)a b 为圆心，r 为半径的圆.

高中数学必修2第四章测试及答案

高二数学周测 2012-9-15 一、选择与填空题（每题6分，共60分）（请将选择和填空题答案写在以下答题卡内） 1. 圆C 1 : x 2＋y 2＋2x ＋8y －8＝0与圆C 2 : x 2＋y 2－4x ＋4y －2＝0的位置关系是（ ） A ．相交 B ．外切 C ．内切 D ．相离 2. 两圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －1＝0的公共切线有( )． A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 > 3. 若圆C 与圆(x ＋2)2＋(y －1)2＝1关于原点对称，则圆C 的方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 C ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝1 D ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝1 4. 与直线l : y ＝2x ＋3平行，且与圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0相切的直线方程是（ ） A ．x －y ±5＝0 B ．2x －y ＋5＝0 C ．2x －y －5＝0 D ．2x －y ±5＝0 5. 直线x －y ＋4＝0被圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋6＝0截得的弦长等于( ) A ．2 B ．2 C ．22 D ．42 6. 圆x2＋y2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是（ ） A ．30 B ．18 C ．62 D ．52 】 7. 若直线3x －y ＋c ＝0，向右平移1个单位长度再向下平移1个单位，平移后与圆x 2＋y 2＝10相切，则c 的值为( ) A ．14或－6 B ．12或－8 C ．8或－12 D ．6或－14 8. 若直线3x －4y ＋12＝0与两坐标轴的交点为A ，B ，则以线段AB 为直径的圆的一般方程为____________________ 9. 圆心在直线2x ＋y ＝0上，且圆与直线x ＋y －1＝0切于点M (2，－1)的圆的标准方程为__________ 10. 已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA ，PB 是圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的两

高中数学必修四第三章-三角恒等变换知识点总结

第三章 三角恒等变换 一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ --= + ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+ ⑹()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++=- ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+- 二、二倍角的正弦、余弦和正切公式： sin 22sin cos ααα =222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±? ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin α αααα=-=-=- ?2 2 1cos 2cos 1cos 2sin 2 2 α α αα+=-=， ?2 cos 21cos 2 αα+= ，2 1cos 2sin 2αα-=． ⑶22tan tan 21tan α αα =-． 三、辅助角公式： () 22sin cos sin α+=++a x b x a b x ， 2 2 2 2 cos sin a b a b a b ???= = ++其中由，决定

四、三角变换方法： （1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的 相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如： ①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4 α的二倍； ②2 304560304515o o o o o o =-=-=； ③()ααββ=+-；④ ()4 24 π π π αα+= --； ⑤2()()()()44 ππ ααβαβαα=++-=+--；等等 （2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如 在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。 （3）“1”的代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转 化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有： 221sin cos sin90tan45o o αα=+== （4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式， 一般采用降幂处理的方法。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式αcos 1+常用升幂化为有理式。 （5）三角函数式的变换通常从：“角、名、形、幂”四方面入手； 基本原则是：见切化弦，异角化同角，倍角化单角，异名化同名， 高次降低次，特殊值与特殊角的三角函数互化等。

高中数学必修四第一章知识点梳理-

高中数学必修四第一章知识点梳理 一、角的概念的推广 ●任意角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置转到另一个位置所成的图形。 ●正角、负角、零角 按逆时针方向旋转成的角叫做正角， 按顺时针方向旋转所成的角叫做负角， 一条射线没有作任何旋转所成的叫做零角。 可见，正确理解正角、负角和零角的概、关键是看射线旋转的方向是逆时针、顺时针还是没有转动。 ●象限角、轴线角 当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合时，那么角的终边在第几象限（终边的端点除外），就说这个角是第几象限角。 当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合时，终边落在坐标轴上的角叫做轴线角。 ●终边相同角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成集合S={β|β=α+k ?360°,k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。 二、弧度制 ●角度定义制 规定周角的 360 1 为一度的角，记做1°， 这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，角度制为60进制。 ●弧度制定义 1、长度等于半径的弧度所对的圆心角叫做1弧度的角。用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制。1弧度记做1rad 。 2、根据圆心角定理，对于任意一个圆心角α，它所对的弧长与半径的比与半径的大小无关，而是一个仅与角α有关的常数，故可以取为度量标准。 ●弧度数 一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是r l =||α。 α的正负由角α的终边的旋转方向决定，逆时针方向为正，顺时针方向为负。 三、任意角的三角函数 ●任意角的三角函数的定义 设α是一个任意大小的角，α的终边上任意点P 的坐标是（x,y ），它与原点的距离r （0r = >） ，那么 1、比值 y r 叫做α的正弦，记做sin α，即sin y r α=。

高中数学必修五综合测试题-含答案教学内容

绝密★启用前高中数学必修五综合考试卷 第I卷（选择题） 一、单选题 1．数列的一个通项公式是（） A．（B．（ C．（）（D．（ 2．不等式的解集是（） A．B．C．D． 3．若变量满足，则的最小值是（）A．B．C．D．4 4．在实数等比数列{a n}中，a2，a6是方程x2－34x＋64＝0的两根，则a4等于( ) A．8B．－8C．±8D．以上都不对 5．己知数列为正项等比数列，且，则（）A．1B．2C．3D．4 6．数列 1111 1,2,3,4, 24816 前n项的和为（） A． 2 1 22 n n n + +B． 2 1 1 22 n n n + -++C． 2 1 22 n n n + -+D． 2 1 1 22 n n n + - -+

的面积为（） A．B．C．D． 8．在△ABC中，已知,则B等于( ) A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120° 9．下列命题中正确的是( ) A．a＞b?ac2＞bc2B．a＞b?a2＞b2 C．a＞b?a3＞b3D．a2＞b2?a＞b 10．满足条件，的的个数是( ) A．1个B．2个C．无数个D．不存在 11．已知函数满足：则应满足（）A．B．C．D． 12．已知数列{a n}是公差为2的等差数列，且成等比数列，则为（）A．-2B．-3C．2D．3 13．等差数列的前10项和，则等于（） A．3 B．6 C．9 D．10 14．等差数列的前项和分别为，若，则的值为（）A．B．C．D． 第II卷（非选择题） 二、填空题 15．已知为等差数列，且－2＝－1,＝0,则公差=

16．在中，，，面积为，则边长=_________. 17．已知中，，，，则面积为_________. 18．若数列的前n项和，则的通项公式____________ 19．直线下方的平面区域用不等式表示为________________．20．函数的最小值是_____________． 21．已知，，且，则的最小值是______． 三、解答题 22．解一元二次不等式 （1）（2） 23．的角、、的对边分别是、、。 （1）求边上的中线的长； （2）求△的面积。 24．在中，角所对的边分别为，且.

2015高中数学必修4第三章经典习题含答案

第三章经典习题 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150 分。考试时间120分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共60分) 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的) 1．sin 2 π12－cos 2 π12的值为( ) A ．－1 2 B.1 2 C ．－3 2 D.32 [答案] C [解析] 原式＝－(cos 2 π12－sin 2 π12)＝－cos π6＝－32. 2．函数f (x )＝sin2x －cos2x 的最小正周期是( ) A.π23 B ．π C ．2π D ．4π [答案] B [解析] f (x )＝sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π4)，故T ＝2π 2＝π. 3．已知cos θ＝13，θ∈(0，π)，则cos(3π 2＋2θ)＝( ) A ．－429 B ．－79 C.429 D.79

[答案] C [解析] cos(3π2＋2θ)＝sin2θ＝2sin θcos θ＝2×223×13＝42 9. 4．若tan α＝3，tan β＝4 3，则tan(α－β)等于( ) A ．－3 B ．－1 3 C ．3 D.13 [答案] D [解析] tan(α－β)＝tan α－tan β 1＋tan αtan β＝3－43 1＋3× 43＝1 3. 5．cos 275°＋cos 215°＋cos75°·cos15°的值是( ) A.54 B.62 C.32 D ．1＋2 3 [答案] A [解析] 原式＝sin 2 15°＋cos 2 15°＋sin15°cos15°＝1＋12sin30°＝5 4. 6．y ＝cos 2x －sin 2x ＋2sin x cos x 的最小值是( ) A. 2 B ．－ 2 C ．2 D ．－2 [答案] B [解析] y ＝cos2x ＋sin2x ＝2sin(2x ＋π 4)，∴y max ＝－ 2. 7．若tan α＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)＝( )

高中数学必修4知识总结(完整版)

高中数学必修四知识点总结 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠．

高中数学必修2第四章测试及答案

高二数学周测 一、选择与填空题（每题6分，共60分）（请将选择和填空题答案写在以下答题卡内） 1. 圆C 1 : x 2＋y 2＋2x ＋8y －8＝0与圆C 2 : x 2＋y 2－4x ＋4y －2＝0的位置关系是（ ） A ．相交 B ．外切 C ．内切 D ．相离 2. 两圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －1＝0的公共切线有( )． A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 3. 若圆C 与圆(x ＋2)2＋(y －1)2＝1关于原点对称，则圆C 的方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 C ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝1 D ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝1 4. 与直线l : y ＝2x ＋3平行，且与圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0相切的直线方程是（ ） A ．x －y ±5＝0 B ．2x －y ＋5＝0 C ．2x －y －5＝0 D ．2x －y ±5＝0 5. 直线x －y ＋4＝0被圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋6＝0截得的弦长等于( ) A ．2 B ．2 C ．22 D ．42 6. 圆x2＋y2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是（ ） A ．30 B ．18 C ．62 D ．52 7. 若直线3x －y ＋c ＝0，向右平移1个单位长度再向下平移1个单位，平移后与圆x 2＋y 2＝10相切，则c 的值为( ) A ．14或－6 B ．12或－8 C ．8或－12 D ．6或－14 8. 若直线3x －4y ＋12＝0与两坐标轴的交点为A ，B ，则以线段AB 为直径的圆的一般方程为____________________ 9. 圆心在直线2x ＋y ＝0上，且圆与直线x ＋y －1＝0切于点M (2，－1)的圆的标准方程为__________ 10. 已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A ，PB 是圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，则四边形P ACB 面积的最小值为

新编人教A版高中数学必修4第三章三角恒等变换导学案

第三章 三角恒等变换 1.三角恒等变换中角的变换的技巧 三角函数是以角为自变量的函数，因此三角恒等变换离不开角之间的变换.观察条件及目标式中角度间联系，立足消除角之间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是三角恒等变换的一种常用技巧. 一、利用条件中的角表示目标中的角 例1.已知cos ? ????π6＋α＝33，求cos ? ??? ?5π6－α的值. 分析.将π6＋α看作一个整体，观察π6＋α与5π 6 －α的关系. 解.∵? ????π6＋α＋? ?? ? ?5π6－α＝π， ∴ 5π6－α＝π－? ?? ??π6 ＋α. ∴cos ? ????5π6－α＝cos ???? ? ?π－? ????π6＋α ＝－cos ? ????π6＋α＝－33，即cos ? ?? ??5π 6－α ＝－33. 二、利用目标中的角表示条件中的角 例 2.设 α 为第四象限角，若sin 3α sin α ＝13 5 ，则tan 2α＝ _______________________________. 分析.要求tan 2α的值，注意到sin 3α＝sin(2α＋α)＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α，代入到sin 3αsin α＝13 5中，首先求出cos 2α的值后，再由同角三角函数之间的关系求出tan 2α. 解析.由sin 3αsin α＝sin (2α＋α)sin α＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α sin α ＝2cos 2 α＋cos 2α＝135 . ∵2cos 2 α＋cos 2α＝1＋2cos 2α＝135.∴cos 2α＝45. ∵α为第四象限角，∴2k π＋3π 2<α<2k π＋2π(k ∈Z )， ∴4k π＋3π<2α<4k π＋4π(k ∈Z )，

高二数学必修5练习题(附答案)[1]

人教A 《必修5》综合训练 高二（ ）班 学号 姓名 一、选择题（每题4分，共40分） 1、在等差数列{a n }中，a 5＝33，a 45＝153，则201是该数列的第（ ）项 A ．60 B ．61 C ．62 D ．63 2、在100和500之间能被9整除的所有数之和为（ ） A ．12699 B ．13266 C ．13833 D ．14400 3、等比数列{a n }中，a 3，a 9是方程3x 2—11x +9=0的两个根，则a 6=（ ） A ．3 B ．6 11 C ．± 3 D ．以上皆非 4、四个不相等的正数a ,b,c,d 成等差数列，则（ ） A ．bc d a >+2 B ．bc d a <+2 C ．bc d a =+2 D ．bc d a ≤+2 5、在ABC ?中，已知?=30A ，?=45C ，2=a ，则ABC ?的面积等于（ ） A ．2 B ．13+ C ．22 D ．)13(2 1+ 6、在ABC ?中，a,b,c 分别是C B A ∠∠∠,,所对应的边，?=∠90C ，则c b a +的取值范围是（ ） A ．（1,2） B ．)2,1( C ．]2,1( D ．]2,1[ 7、不等式1213≥--x x 的解集是（ ） A ．??????≤≤243|x x B ．??????<≤243|x x C ．???? ??≤>432|x x x 或D ．{}2|

高中数学人教版必修4全套教案

第1，2课时1.1．1 任意角 教学目标 （一） 知识与技能目标 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二） 过程与能力目标 会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写． （三） 情感与态度目标 1． 提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识． 教学重点：任意角概念的理解；区间角的集合的书写． 教学难点：终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写． 教学过程 一、引入： 1．回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 二、新课： 1．角的有关概念： ①角的定义： 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ②角的名称： ③角的分类： ④注意： ⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． ⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念： ①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 始 边 终 边 顶 点 A O B 负角：按顺时针方向旋转形成的角

角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？ 例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角． ⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°； 答：分别为1、2、3、4、1、2象限角． 3．探究： 终边相同的角的表示： 所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{β|β=α+k ·360°，k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和． 注意： ⑴ k ∈Z ⑵ α是任一角； ⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差 360°的整数倍； ⑷ 角α + k ·720 °与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角． 例3．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角． ⑴－120°；⑵640 °；⑶－950°12＇． 答：⑴240°,第三象限角；⑵280°,第四象限角；⑶129°48＇,第二象限角； 例4．写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ． 解:{α | α = 90°+ n ·180°,n ∈Z}． 例5．写出终边在x y 上的角的集合S,并把S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来． 4．课堂小结 ①角的定义； ②角的分类： ⑵ B 1 y ⑴ O x 45° B 2 O x B 3 y 30° 60o

人教版数学必修二第四章 圆与方程 知识点总结

第四章 圆与方程 4．1 圆的方程 4．1.1 圆的标准方程 1．以(3，－1)为圆心，4为半径的圆的方程为( ) A ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4 B ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝16 D ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝16 2．一圆的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝8，则此圆的圆心与半径分别为( ) A ．(1,0)，4 B ．(－1,0)，2 2 C ．(0,1)，4 D ．(0，－1)，2 2 3．圆(x ＋2)2＋(y －2)2＝m 2的圆心为________，半径为________． 4．若点P (－3,4)在圆x 2＋y 2＝a 2上，则a 的值是________． 5．以点(－2,1)为圆心且与直线x ＋y ＝1相切的圆的方程是____________________． 6．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D ．x 2＋(y －3)2＝1 7．一个圆经过点A (5,0)与B (－2,1)，圆心在直线x －3y －10＝0上，求此圆的方程． 8．点P (5a ＋1,12a )在圆(x －1)2＋y 2＝1的内部，则a 的取值范围是( ) A ．|a |＜1 B ．a ＜1 13 C ．|a |＜1 5 D ．|a |＜1 13 9．圆(x －1)2＋y 2＝25上的点到点A (5,5)的最大距离是__________． 10．设直线ax －y ＋3＝0与圆(x －1)2 ＋(y －2)2 ＝4相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为

高中数学必修一、必修四、必修五知识点汇总

高中数学必修一、必修四、必修五知识点 一、知识点梳理 必修一第一单元 1.集合定义：一组对象的全体形成一个集合. 2.特征：确定性、互异性、无序性. 3.表示法：列举法{1,2,3,…}、描述法{x|P}、韦恩图、语言描述法{不是直角三角形的三角形} 4.常用的数集：自然数集N 、整数集Z 、有理数集Q 、实数集R 、正整数集N *. 5.集合的分类： (1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合 (3) 空集φ 不含任何元素的集合 例：{x|x 2 =－5｝ 5.关系：属于∈、不属于?、包含于?(或?)、真包含于、集合相等＝. 6.集合的运算 （1）交集：由所有属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合；表示为：B A ? 数学表达式：{} B x A x x B A ∈∈=?且 性质：A B B A A A A A ?=?Φ=Φ?=?,, （2）并集：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合；表示为：B A ? 数学表达式：{} B x A x x B A ∈∈=?或 性质：A B B A A A A A A ?=?=Φ?=?,, （3）补集：已知全集I ，集合I A ?，由所有属于I 且不属于A 的元素组成的集合。表示：A C I 数学表达式：{} A x I x x A C I ?∈=且 方法：韦恩示意图, 数轴分析. 注意：① 区别∈与、与?、a 与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}； ② A ?B 时，A 有两种情况：A ＝φ与A ≠φ. ③若集合A 中有n )(N n ∈个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为n 2，所有真子集的个数是n 2-1, 所有非空真子集的个数是22-n 。 ④空集是指不含任何元素的集合。}0{、φ和}{φ的区别；0与三者间的关系。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。条件为B A ?，在讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。 ⑤符号“?∈,”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现 点与直线（面）的关系 ；符号“,?”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 。 8.函数的定义：设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f （x ）和它对应，那么就称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y =f （x ），x ∈A ，其中x 叫做自变量.x 的取值围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{f （x ）|x ∈A }叫做函数的值域. ①．定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

高中数学必修一第三章知识点总结

1 第三章 函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函))((D x x f y ∈=0)(=x f x 数的零点。 ))((D x x f y ∈=2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数 )(x f y =0)(=x f 的图象与轴交点的横坐标。 )(x f y =x 即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数0)(=x f ?)(x f y =x ?有零点． )(x f y =3、函数零点的求法： （代数法）求方程的实数根；○10)(=x f （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起○2)(x f y =来，并利用函数的性质找出零点． 4、基本初等函数的零点： ①正比例函数仅有一个零点。 (0)y kx k =≠②反比例函数没有零点。(0)k y k x = ≠③一次函数仅有一个零点。 (0)y kx b k =+≠④二次函数． )0(2 ≠++=a c bx ax y （1）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有2 0(0)ax bx c a ++=≠x 两个交点，二次函数有两个零点． （2）△＝０，方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有2 0(0)ax bx c a ++=≠x 一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点． （3）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，2 0(0)ax bx c a ++=≠x 二次函数无零点． ⑤指数函数没有零点。(0,1)x y a a a =>≠且⑥对数函数仅有一个零点1. log (0,1)a y x a a =>≠且⑦幂函数，当时，仅有一个零点0，当时，没有零点。 y x α =0n >0n ≤5、非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数），函数先把转化成 ()f x ，再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数（基本初等函数） ，这另()0f x =12,y y 个函数图像的交点个数就是函数零点的个数。 ()f x 6、选择题判断区间上是否含有零点，只需满足。(),a b ()()0f a f b <7、确定零点在某区间个数是唯一的条件是:①在区间(),a b ()f x 上连续，且②在区间上单调。()()0f a f b <(),a b 8、函数零点的性质： 从“数”的角度看：即是使的实数； 0)(=x f

高中数学必修一必修四知识点总结(杠杠的)

数学知识点总结

高中数学必修1知识点 第一章集合与函数概念 〖1.1〗集合 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 表示自然数集，或表示正整数集，表示整数集，表示有理数集，表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象与集合的关系是，或者，两者必居其一. 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。 （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{|具有的性质}，其中为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集. ②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集().把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。 【1.1.2】集合间的基本关系 1、一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的 子集。记作. 2、如果集合，但存在元素，且，则称集合A是集合B的真子集.记作：A B. 3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作：.并规定：空集合是任何集合的子集. 4、如果集合A中含有n个元素，则集合A有个子集，个真子集. 5、子集、真子集、集合相等 名称记号意义性质示意图 子集（或A中的任一元素都 属于B A (1)A (2) ，则 且 若 (3) ，则 且 若 (4)或

真子集 A B （或 B A） 中 B ，且 至少有一元素不属 于A 为非空子集） A （ ） 1 （ ，则 且 若 (2) 集合相等A中的任一元素都 属于B，B中的任 一元素都属于A B (1)A A (2)B 6、已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有 非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算 1、一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集.记作：. 2、一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集.记作：. 3、全集、补集 名称记号意义性质示意图 交集且 （1） （2） （3） 并集或 （1） （2） （3） 补集 2 1 【1.2.1】函数的概念 1、函数的概念 ①设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有惟一确定的数和它对应，那么就称为集合A到集合B的一个函数，记作：. ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则． ③如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等 【1.2.2】函数的表示法 2、函数的表示方法 表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种． ①解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． ②列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．

人教版高中数学必修五课后习题答案

高中数学必修5课后习题答案 第一章 解三角形 1.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 练习（P4） 1、（1）14a ≈，19b ≈，105B =?； （2）18a ≈cm ，15b ≈cm ，75C =?. 2、（1）65A ≈?，85C ≈?，22c ≈；或115A ≈?，35C ≈?，13c ≈； （2）41B ≈?，24A ≈?，24a ≈. 练习（P8） 1、（1）39.6,58.2, 4.2 cm A B c ≈?≈?≈； （2）55.8,81.9,10.5 cm B C a ≈?≈?≈. 2、（1）43.5,100.3,36.2A B C ≈?≈?≈?； （2）24.7,44.9,110.4A B C ≈?≈?≈?. 习题1.1 A 组（P10） 1、（1）38,39,80a cm b cm B ≈≈≈?； （2）38,56,90a cm b cm C ≈≈=? 2、（1）114,43,35;20,137,13A B a cm A B a cm ≈?≈?≈≈?≈?≈ （2）35,85,17B C c cm ≈?≈?≈； （3）97,58,47;33,122,26A B a cm A B a cm ≈?≈?≈≈?≈?≈； 3、（1）49,24,62A B c cm ≈?≈?≈； （2）59,55,62A C b cm ≈?≈?≈； （3）36,38,62B C a cm ≈?≈?≈； 4、（1）36,40,104A B C ≈?≈?≈?； （2）48,93,39A B C ≈?≈?≈?； 习题1.1 A 组（P10） 1、证明：如图1，设ABC ?的外接圆的半径是R ， ①当ABC ?时直角三角形时，90C ∠=?时， ABC ?的外接圆的圆心O 在Rt ABC ?的斜边AB 上. 在Rt ABC ?中，sin BC A AB =，sin AC B AB = 即sin 2a A R =，sin 2b B R = 所以2sin a R A =，2sin b R B = 又22sin 902sin c R R R C ==??= 所以2sin , 2sin , 2sin a R A b R B c R C === ②当ABC ?时锐角三角形时，它的外接圆的圆心O 在三角形内（图2）， 作过O B 、的直径1A B ，连接1 AC ， 则1A BC ?直角三角形，190ACB ∠=?，1 BAC BAC ∠=∠. 在1Rt A BC ?中， 11sin BC BAC A B =∠， a b A O C B （第1题图1） A 1 O A

人教版数学必修二第四章 圆与方程 知识点总结

第四章圆与方程 4.1 圆得方程 4.1、1 圆得标准方程 1.以(3,－1)为圆心,4为半径得圆得方程为() A.(x＋3)2＋(y－1)2＝4 B.(x－3)2＋(y＋1)2＝4 C.(x－3)2＋(y＋1)2＝16 D.(x＋3)2＋(y－1)2＝16 2.一圆得标准方程为x2＋(y＋1)2＝8,则此圆得圆心与半径分别为() A.(1,0),4 B.(－1,0),2 2 C.(0,1),4 D.(0,－1),2 2 3.圆(x＋2)2＋(y－2)2＝m2得圆心为________,半径为________. 4.若点P(－3,4)在圆x2＋y2＝a2上,则a得值就是________. 5.以点(－2,1)为圆心且与直线x＋y＝1相切得圆得方程就是____________________. 6.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)得圆得方程为() A.x2＋(y－2)2＝1 B.x2＋(y＋2)2＝1 C.(x－1)2＋(y－3)2＝1 D.x2＋(y－3)2＝1 7.一个圆经过点A(5,0)与B(－2,1),圆心在直线x－3y－10＝0上,求此圆得方程. 8.点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1得内部,则a得取值范围就是() A.|a|＜1 B.a＜1 13 C.|a|＜1 5 D.|a|＜1 13 9.圆(x－1)2＋y2＝25上得点到点A(5,5)得最大距离就是__________. 10.设直线ax－y＋3＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A,B两点,且弦AB得长为 2 3,求a得值. 4、1、2 圆得一般方程 1.圆x2＋y2－6x＝0得圆心坐标就是________. 2.若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2,－4)为圆心,以4为半径得圆,则F＝________、 3.若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆,则k得取值范围就是() A.k>1 B.k<1 C.k≥1 D.k≤1 4.已知圆得方程就是x2＋y2－2x＋4y＋3＝0,则下列直线中通过圆心得就是() A.3x＋2y＋1＝0 B.3x＋2y＝0 C.3x－2y＝0 D.3x－2y＋1＝0 5.圆x2＋y2－6x＋4y＝0得周长就是________. 6.点(2a,2)在圆x2＋y2－2y－4＝0得内部,则a得取值范围就是()

人教版必修四第三章测试题(含答案)

第三章测试题 一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，满分48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，则（ ） A ． B ． C ． D ． 2．若均为锐角，（ ） A ． B ． C ． D ． 3．（ ） A ． B ． C ． D ． 4．（ ） A ． B ． C ． D ． 5． （ ） A ． B ． C ． 1 D ． 6．已知x 为第三象限角，化简（ ） A ． B ． C ． D ． 7． 已知等腰三角形顶角的余弦值等于 ，则这个三角形底角的正弦值为（ ） A ． B ． C ． D ． 8． 若，则（ ） )2,23(,1312cos ππαα∈= =+)4 (cos π α132513272621726 27βα,==+= ββααcos ,5 3 )(sin ,552sin 则552255225 5 2552或552-ππππ (cos sin )(cos sin )12121212 -+=23- 21-212 3 tan70tan50tan50?+??=3333 3 -3-=?+α αααcos2cos cos212sin22αtan αtan22 1=-x 2cos 1x sin 2x sin 2- x cos 2x cos 2-5 4 10101010-1010310 103-).(),sin(32cos 3sin 3ππ??-∈-=-x x x =?

A ． B ． C ． D ． 9． 已知，则（ ） A ． B ． C ． D ． 10． 已知 的值为（ ） A ． B C ． D ．1 11． 求（ ） A ． B ． C ． 1 D ． 0 12． 函数的图像的一条对称轴方程是 （ ） A ． B ． C ． D ． 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分．共16分． 13．已知为锐角， ． 14．在中，已知tan A ，tan B 是方程的两个实根，则 ． 15．若，则角的终边在 象限． 16．代数式 ． 三、解答题：本大题共5小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程． 17．（10分）△ABC 中，已知，求sin C 的值． 6 π - 6π65π6 5π-1 sin cos 3 αα+= sin 2α=8 9 -21-2189cos 2θ= 44 cos sin θθ-49π2π3π4π5π cos cos cos cos cos 1111111111 =52142 1sin 22 x x y =+11π3x = 5π3x =5π 3 x =-π3x =-βα,的值为则βαβα+= = ,5 1cos ,10 1cos ABC ?2 3720x x -+=tan C =5 4 2cos ,532sin -==αα αsin15cos75cos15sin105?+?+??=35 cos π,cos π513 A B ==

高中数学必修4知识点(完美版)

高中数学必修 4 第一章三角函数 正角: 按逆时针方向旋转形成的角 1、任意角负角: 按顺时针方向旋转形成的角 零角: 不作任何旋转形成的角 2、角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角． o o o 第一象限角的集合为k 360 k 360 90 , k o o o o 第二象限角的集合为k 360 90 k 360 180 ,k o o o o 第三象限角的集合为k 360 180 k 360 270 ,k o o o o 第四象限角的集合为k 360 270 k 360 360 ,k o 终边在x 轴上的角的集合为k 180 ,k o o 终边在 y 轴上的角的集合为k 180 90 ,k o 终边在坐标轴上的角的集合为k 90 , k 2 Ⅰ Ⅰ、Ⅲ 2 Ⅱ Ⅰ、Ⅲ 2 Ⅲ Ⅱ、Ⅳ 2 Ⅳ Ⅱ、Ⅳ 2 o 3、与角终边相同的角的集合为k 360 , k 4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度． 5、半径为r 的圆的圆心角所对弧的长为l ，则角的弧度数的绝对值是l r ． o o ， 1 180 57.3 o，1 o． 6、弧度制与角度制的换算公式： 2 360 180

7、若扇形的圆心角为为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为 C ，面积为S，则l r ，C 2r l ， 1

1 1 2 S lr r ． 2 2 8、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是x, y ，它与原点的距离是 2 2 0 r r x y ， 则sin y r ，cos x r y ，tan x 0 x ．y P T 9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正， 第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 10、三角函数线：sin ，cos ，tan ． O M x A 11 、角三角函数的基本关系： 2 2 1 sin cos 1 2 2 2 2 sin 1 cos ,cos 1 sin ； sin 2 tan cos sin tan cos ,cos s in tan ． 12、函数的诱导公式： 1 sin 2k sin ，c os 2k cos ，t an 2k tan k ． 2 sin sin ，cos cos ，t an tan ． 3 sin sin ，cos cos ，tan tan ． 4 sin sin ，cos cos ，tan tan ． 口诀：函数名称不变，符号看象限． 5 sin cos 2 ，cos sin 2 ． 6 sin cos 2 ，cos sin 2 ． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． 13、①的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数y sin x 的图象；再将函数y sin x 1 的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y sin x 的图象；再将 函数y sin x 的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数y sin x 的图象． 1 ②数y sin x 的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 倍（纵坐标不变），得到函数 y sin x 的图象；再将函数y sin x 的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数y sin x 的图象；再将函数y sin x 的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横