高考数学试题汇编解三角形

第五节 解三角形

高考试题

考点一 正弦定理与余弦定理

1.(2013年湖南卷,理3)在锐角△ABC 中,角A,B 所对的边长分别为a,b.若b,则角A 等于( ) (A)

π12

(B)

π6 (C)π4 (D)π3

解析:根据正弦定理sin B,

所以 又△ABC 为锐角三角形, 所以A=

π

3

.故选D. 答案:D

2.(2012年天津卷,理6)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c.已知8b=5c,C=2B,则cos C 等于( ) (A)

725

(B)-

725 (C)±725 (D)2425

解析:由正弦定理得sin sin C B =c b =8

5

, 则5sin C=8sin 2

C , 所以sin

2C (10cos 2

C

-8)=0. 在△ABC 中,只能有10cos 2

C

-8=0, 即cos

2C =45

, 所以cos C=2cos 2

2C -1=725

.故选A. 答案:A

3.(2012年陕西卷,理9)在△ABC 中,角A,B,C 所对边的长分别为a,b,c,若a 2

+b 2

=2c 2

,则cos C 的最小值为( )

(C)12

(D)-

1

2

解析:由余弦定理得cos C=2222a b c ab +-=22c ab ≥222

c a b +=1

2, 当且仅当a=b,即△ABC 为等腰三角形时取到等号.故选C. 答案:C

4.(2011年辽宁卷,理4)△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,asin Asin B+bcos 2

则

b

a

等于( )

解析:由正弦定理得,sin 2Asin B+sin Bcos 2

即sin B(sin 2A+cos 2

故

所以

b

a

故选D. 答案:D

5.(2011年天津卷,理6)如图所示,在△ABC 中,D 是边AC 上的点,且

BD,BC=2BD,则sin C 的值为( )

解析:设BD=a,则由题意可得

在△ABD 中,由余弦定理得,

cos A=222

2AB AD BD AB AD +-?

=222

3242a a ?-??????=13

, 所以

在△ABC 中,由正弦定理得 sin AB C =sin BC

A

,

所以2sin C

, 解得

.故选D. 答案:D

6.(2013年福建卷,理13)如图,在△ABC 中,已知点D 在BC 边上,AD ⊥AC,sin ∠

则BD 的长为 .

解析:因为AD ⊥AC, 所以∠BAD=∠BAC-90°,

所以cos ∠BAD=cos(∠BAC-90°)=sin ∠

在△ABD 中,由余弦定理得,

. 答案

7.(2012年北京卷,理11)在△ABC 中,若a=2,b+c=7,cos B=-1

4

,则b= .

解析:由余弦定理b 2

=a 2

+c 2

-2accos B,

得b 2=22+(7-b)2

-2×2×(7-b)×(-14

), 整理得15b=60,即b=4.

答案:4

8.(2012年湖北卷,理11)设△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.若(a+b-c)(a+b+c)=ab,则角C= .

解析:由已知得a 2

+b 2

-c 2

=-ab,

cos C=2222a b c ab +-=-1

2,

∴C=

2π

3. 答案:

2π3

9.(2012年重庆卷,理13)设△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且cos A=35,cos B=5

13,b=3,则c= .

解析:∵A 、B 、C 为三角形内角且cos A=35,cos B=5

13,

∴sin A=

45,sin B=12

13

. sin C=sin[π-(A+B)]

=sin(A+B)

=sin Acos B+cos Asin B =45×513+35×1213 =

5665

. 由正弦定理

sin c C =sin b

B

, 得c=b ×sin sin C B

=3×56

651213=14

5.

答案:

145

10.(2013年湖北卷,理17)在△ABC 中,角A,B,C 对应的边分别是a,b,c.已知cos 2A-3cos(B+C)=1. (1)求角A 的大小;

(2)若△ABC 的面积,b=5,求sin Bsin C 的值. 解:(1)由cos 2A-3cos(B+C)=1, 得2cos 2

A+3cos A-2=0,

即(2cos A-1)(cos A+2)=0. 解得cos A=

1

2

或cos A=-2(舍去). 因为0

π3

.

(2)由S=

12bcsin A=12bc

得bc=20. 又b=5,所以c=4.

由余弦定理,得a 2

=b 2

+c 2

-2bccos A=25+16-20=21,

故

又由正弦定理,得sin Bsin C=

b a sin A ·

c a sin A=2bc a ·sin 2

A=2021×34=57

. 11.(2011年湖北卷,理16)设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c.已知a=1,b=2,cos C=1

4

. (1)求△ABC 的周长; (2)求cos(A-C)的值.

解:(1)∵c 2

=a 2

+b 2

-2abcos C=1+4-4×1

4

=4, ∴c=2,

∴△ABC 的周长为a+b+c=1+2+2=5. (2)∵cos C=

1

4

,且0

∴,

∴sin A=sin a C c =42

∵a

∴7

8, ∴cos(A-C)=cos Acos C+sin Asin C

=78×14

=

1116

.

12.(2013年新课标全国卷Ⅰ,理17)如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,BC=1,P 为△ABC 内一点,∠BPC=90°.

(1)若PB=

1

2

,求PA; (2)若∠APB=150°,求tan ∠PBA. 解:(1)由已知得:∠PBC=60°, 所以∠PBA=30°. 在△PBA 中,由余弦定理得

PA 2

=3+

14-2×12cos 30°=74

.

故. (2)设∠PBA=α, 由已知得PB=sin α.

在△PBA 中,=()

sin sin 30α

α-,

cos α=4sin α.

所以tan α,

即tan ∠.

13.(2012年新课标全国卷,理17)已知a,b,c 分别为△ABC 三个内角A,B,C 的对边asin C-b-c=0. (1)求A;

(2)若a=2,△ABC 求b,c. 解:(1)由余弦定理知cos C=

222

2a b c ab

+-,

代入asin C-b-c=0,

得2222a b c b

+-asin C=b+c,

∴2+c 2-a 2

+2bc(*)

两边同除2bc 可得

又由正弦定理知

a c =sin sin A C

,

sin A=cos A+1

即 又sin 2

A+cos 2

A=1,

∴12.

∴A 为锐角且A=π3

.

(2)∵a=2,S △ABC =

1

2

,

∴ ∴(*)式可化为12=(b+c)2

-4, ∴b+c=4.

又由余弦定理知a 2=b 2+c 2

-2bccos A, ∴b 2

+c 2

-bc=4,

∴(b+c)2

-3bc=4,

∴bc=4, ∴b=c=2.

考点二 正弦定理、余弦定理的应用

1.(2013年陕西卷,理7)设△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC 的形状为( ) (A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)不确定

解析:由bcos C+ccos B=asin A, 得sin Bcos C+sin Ccos B=sin 2

A,

所以sin(B+C)=sin 2

A,

在△ABC 中,B+C=180°-A, 得sin A=1, 则A=

π2

. 故选B. 答案:B

2.(2013年天津卷,理6)在△ABC 中,∠ABC=

π

4

则sin ∠BAC 等于( )

解析:由题AC 2

=AB 2

+BC 2

-2AB ·BC ·cos ∠ABC

=5,

即

则

sin BC A =sin AC B ,3sin A

得sin ∠故选C. 答案:C

3.(2012年上海卷,理16)在△ABC 中,若sin 2

A+sin 2

B

C,则△ABC 的形状是( ) (A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)不能确定 解析:由正弦定理及已知得,a 2

+b 2

,

所以cos C=222

2a b c ab +-<0,

因此C 为钝角, 所以△ABC 为钝角三角形, 故选C. 答案:C

4.(2013年浙江卷,理16)在△ABC 中,∠C=90°,M 是BC 的中点,若sin ∠BAM=1

3,则sin ∠BAC= .

解析:因为sin ∠BAM=1

3

,

所以cos ∠

如图所示,在△ABM 中,利用正弦定理,得 sin BM BAM ∠=sin AM

B

,

所以

BM AM

=sin sin BAM B ∠=13sin B =1

3cos BAC ∠.

在Rt △ACM 中, 有

CM

AM

=sin ∠CAM=sin(∠BAC-∠BAM). 由题意知BM=CM, 所以

1

3cos BAC

∠=sin(∠BAC-∠BAM).

化简,得

∠BACcos ∠BAC-cos 2

∠BAC=1.

解得tan ∠

再结合sin 2

∠BAC+cos 2

∠BAC=1, ∠BAC 为锐角可解得sin ∠

. 答案

5.(2012年福建卷,理13)已知△ABC

,则其最大角的余弦值为 .

解析:设△ABC 三边长分别为

∵a>0, ∴

设最大角为α, 则由余弦定理知,

cos α

222

. 答案

6.(2013年安徽卷,理12)设△ABC 的内角A,B,C 所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sin A=5sin B,则角C= .

解析:由3sin A=5sin B 得3a=5b,又b+c=2a, 所以c=

73b,a=53

b, 所以cos C=2222a b c ab +-=2

2

25733523

b b b b b ????

+- ? ???

????

=2549

1

99

10

3

+-

=-1 2 ,

因为C∈(0,π),

所以C=2

3π.

答案:2 3π

7.(2012年安徽卷,理15)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,则下列命题正确的是(写出所有正确命题的编号).

①若ab>c2,则C<π3 ;

②若a+b>2c,则C<π3 ;

③若a3+b3=c3,则C<π2 ;

④若(a+b)c<2ab,则C>π2 ;

⑤若(a2+b2)c2<2a2b2,则C>π3 .

解析:①ab>c2?cos C=

222

2

a b c

ab

+-

>

2

2

ab ab

ab

-

=

1

2

(当且仅当a=b时取“=”)?C<

π

3

.

②a+b>2c?cos C=

222

2

a b c

ab

+-

>

()()2

22

4

8

a b a b

ab

+-+

≥

1

2

(当且仅当a=b时取“=”)?C<

π

3

.

③当C≥π

2

时,c2≥a2+b2?c3≥a2c+b2c>a3+b3与a3+b3=c3矛盾,③正确.

④取a=b=2,c=1满足(a+b)c<2ab得C<π2 .

⑤取a=b=2,c=1满足(a2+b2)c2<2a2b2得C<π3 .

答案:①②③

8.(2011年安徽卷,理14)已知△ABC的一个内角为120°,并且三边长构成公差为4的等差数列,则△ABC的面积为. 解析:由题意设△ABC三边长分别为a-4,a,a+4,

则cos 120°=

()()

()

22 244

24

a a a

a a

+--+

-

,

解得a=10或a=0(舍),

则S△ABC=1

2

×6×10×sin 120°

答案

9.(2011年上海卷,理6)在相距2千米的A、B两点处测量目标点C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,则A、C两点之间的距离为千米.

解析:∠ACB=180°-75°-60°=45°,

由正弦定理得

sin 60AC =sin 45AB =2

sin 45

,

得千米).

答案10.(2013年新课标全国卷Ⅱ,理17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知a=bcos C+csin B. (1)求B;

(2)若b=2,求△ABC 面积的最大值. 解:(1)由已知及正弦定理得

sin A=sin Bcos C+sin Csin B.①

又A=π-(B+C),

故sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C.② 由①②和C ∈(0,π)得sin B=cos B. 又B ∈(0,π),所以B=

π4

.

(2)△ABC 的面积S=

12ac. 由已知及余弦定理得4=a 2

+c 2

-2accos π

4

. 又a 2

+c 2

≥2ac,故ac

,当且仅当a=c 时,等号成立.

因此△ABC

11.(2013年山东卷,理17)设△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且a+c=6,b=2,cos B=79

. (1)求a,c 的值; (2)求sin(A-B)的值.

解:(1)由余弦定理得cos B=222

2a c b ac

+-,

即

()2

2

22a c ac b ac

+--=cos B,

得

36242ac ac --=7

9

.∴ac=9. 联立69

a c ac +=??=?得a=3,c=3.

(2)由a=3,b=2,c=3,∴cos A=2222b c a bc +-=1

3,

∴

又cos B=

79得

∴79-13. 12.(2013年江苏卷,18)如图,游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C,另一种是先从A 沿索道乘缆车到B,然后从B 沿直线步行到C.

现有甲、乙两位游客从A 处下山,甲沿AC 匀速步行,速度为50 m/min.在甲出发2 min 后,乙从A 乘缆车到B,在B 处停留1 min 后,再从B 匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min,山路AC 长为1260 m,经测量,cos A=

1213,cos C=3

5

.

(1)求索道AB 的长;

(2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?

(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内? 解:(1)在△ABC 中,因为cos A=1213,cos C=3

5

, 所以sin A=

513,sin C=45

. 从而sin B=sin[π-(A+C)]

=sin(A+C)

=sin Acos C+cos Asin C =513×35+1213×4

5

=

6365

. 由正弦定理

sin AB C =sin AC

B

, 得AB=

sin AC B ·sin C=1260

6365

×45=1040(m).

所以索道AB 的长为1040 m.

(2)假设乙出发t min 后,甲、乙两游客距离为d, 此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离A 处130t m,

所以由余弦定理得d 2

=(100+50t)2

+(130t)2

-2×130t ×(100+50t)×1213

=200(37t 2

-70t+50). 由于0≤t ≤

1040

130

, 即0≤t ≤8, 故当t=

35

37

(min)时,甲、乙两游客距离最短. (3)由正弦定理

sin BC A =sin AC

B

, 得BC=

sin AC B ·sin A=1260

6365

×513=500(m).

乙从B 出发时,甲已走了50×(2+8+1)=550(m),还需走710 m 才能到达C. 设乙步行的速度为v m/min, 由题意得-3≤500v -710

50

≤3,

解得

125043≤v ≤62514

, 所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min,乙步行的速度应控制在[125043,625

14

](单位:m/min)范围内.

13.(2013年北京卷,理15)在△ABC 中∠B=2∠A.

(1)求cos A 的值. (2)求c 的值.

解:(1)因为∠B=2∠A,

所以在△ABC 中,由正弦定理得3sin A .

所以

2sin cos sin A A A

故.

(2)由(1)知,所以

又因为∠B=2∠A,

所以cos B=2cos 2

A-1=13.

所以 在△ABC 中,

所以c=

sin sin a C

A

=5.

14.(2013年江西卷,理16)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知sin A)cos B=0. (1)求角B 的大小;

(2)若a+c=1,求b 的取值范围.

解:(1)由sin A)cos B=0得

sin Acos B=0,

即

所以 又因sin A ≠0,

所以cos B=0,

即 又因0

π3

. (2)由余弦定理得b 2

=a 2

+c 2

-2accos B, 又因cos B=cos

π3=1

2

,a+c=1, 所以b 2

=a 2

+c 2

-ac

=(a+c)2

-3ac=1-3ac.

又因ac ≤(2

a c +)2

, 即ac ≤

14

. 当且仅当a=c=

1

2

时,等号成立.

所以b 2

≥

14

, 又a+c>b,得14

≤b 2

<1, 即

1

2

≤b<1.

15.(2013年重庆卷,理20)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别是a,b,c,且a 2+b 22

.

(1)求C;

(2)设()()2cos cos cos A B ααα++=,求tan α的值.

解:(1)因为a 2+b 22

,

所以由余弦定理得cos C=2222a b c ab +-.

又C ∈(0,π), 故C=

3π

4

. (2)由题意得

()()

2

sin sin cos cos sin sin cos cos cos A A B B ααααα

--.

因此(tan αsin A-cos A)(tan αsin B-cos B)=,

tan 2

αsin Asin B-tan α,

tan 2

αsin Asin B-tan α.(*) 因为C=

3π4, 所以A+B=

π4

,

所以sin(A+B)=, 因为cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B,

,

解得-.

由(*)得tan 2

α-5tan α+4=0, 解得tan α=1或tan α=4.

模拟试题

考点一 正弦定理与余弦定理

1.(2013安徽望江四中高三月考)在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,若b-

1

2

c=acos C,则A 等于( )

(A)π6

(B)

π3

(C)

π6或5π6 (D)

π3

或

2π

3

解析:由正弦定理知,2sin B-sin C=2sin Acos C, 2sin(A+C)-2sin Acos C=sin C, 2cos Asin C=sin C,sin C ≠0, ∴cos A=

1

2

. 又0

π3

. 故选B. 答案:B

2.(2013广东江门高三一模)在△ABC 中,若∠A=512π,∠B=1

4

π

则AC 等于( )

解析:∠C=π-∠A-∠B=π-5π12-π4=π

3

. 由正弦定理

sin AB C =sin AC

B

,

sin 3=πsin 4

AC

. ∴

. 故选D. 答案:D

3.(2013浙江金丽衢十二校第一次联合考试)在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,C=π

3

,b=5,△ABC 的面积为

. (1)求a 、c 的值; (2)求sin(A+

π

6

)的值. 解:(1)∵S △ABC =1

2

, ∴a ×5×sin

π

3

得a=8,c 2

=a 2

+b 2

-2abcos C,

=7. (2)∵

sin a A =sin c

C

,

∴sin A=sin a C c =827,

cos A=2222b c a bc +-=222578257+-??=1

7,

sin(A+

π6)=sin Acos π6+cos Asin π

6

17×

12

=

13

14

. 考点二 正、余弦定理的综合应用

1.(2013广东肇庆高三一模)在△ABC 中∠B=60°,则△ABC 的面积等于 .

解析:设角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c, 由余弦定理,cos B=

2222a c b ac

+-=1

2, 即2472c c +-=1

2,

∴c 2

-2c-3=0,

∴c=3或c=-1(舍).

∴S △ABC =12acsin B=

答案2.(2012安徽淮南质检)在△ABC 中,设角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若a=(cos C,2a-c),b=(b,-cos B)且a ⊥b,则B= .

解析:由a ⊥b,得a ·b=bcos C-(2a-c)cos B=0, 利用正弦定理,可得

sin Bcos C-(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C+cos Bsin C-2sin Acos B=0, 即sin(B+C)=sin A=2sin Acos B, 因为sin A ≠0, 故cos B=

12

, 又0

. 答案:

π3

3.(2013浙江嘉兴高三测试)在△ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边,且a=1

2

c+bcos C. (1)求角B 的大小;

(2)若S △ABC ,求b 的最小值. 解:(1)由正弦定理可得sin A=1

2

sin C+sin Bcos C, 又因为A=π-(B+C), 所以sin A=sin(B+C),

可得sin Bcos C+cos Bsin C=1

2

sin C+sin Bcos C, 又sin C ≠0, 即cos B=12

, 所以B=

π3

. (2)因为S △ABC

, 所以

12acsin π

3

所以ac=4,

由余弦定理可知b 2

=a 2

+c 2

-ac ≥2ac-ac=ac,当且仅当a=c 时等号成立.

所以b 2

≥4,即b ≥2,

所以b 的最小值为2.

综合检测

1.(2012安徽合肥一模)已知△ABC 的外接圆的圆心为

则AO ·BC 等于( ) (A)-94

(B)

94

(C)-12

(D)

12

解析:因为AB 2

+AC 2

=BC 2

,

所以△ABC 为直角三角形,∠A=90°. 如图所示,外接圆的圆心为BC 的中点,

则cos ∠AOB=7744424+-?=-17. 所以

AO ·BC =|AO ||BC |·cos ∠AOB

(-17)

=-1

2

. 故选C. 答案:C

2.(2011厦门市高中毕业班质量检测)在△ABC 中,角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c,若角A 、B 、C 依次成等差数列,且

,则S △ABC 等于( )

(D)2 解析:∵A 、B 、C 成等差数列, ∴B=60°,

由于

sin b B =sin a

A

,

∴sin A=

sin a B

b

112,

由b>a 得B>A, ∴A 为锐角, ∴A=30°, ∴C=90°,

∴S △ABC =

12 故选C. 答案:C

3.(2013重庆育才中学高三上12月月考)在△ABC 中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边,若m=(sin 2

2

B C

+,1),n=(-2,cos 2A+1),且m ⊥n. (1)求角A 的度数;

(2)当且△ABC 的面积222

时,求边c 的值和△ABC 的面积.

解:(1)由于m ⊥n, 所以m ·n=-2sin

2

2

B C

++cos 2A+1 =1-2cos

2

2

A +2cos 2

A-1 =2cos 2

A-cos A-1 =(2cos A+1)(cos A-1) =0.

所以cos A=-1

2或1(舍去), 即角A 的度数为

2

3

π. (2)由222

及余弦定理得

, ∴C=

π

6

=B. 又由正弦定理

sin a A =sin c

C

得c=2,

所以△ABC 的面积S=

1

2

.

解三角形高考大题-带答案

解三角形高考大题，带答案 1. （宁夏17）（本小题满分12分） 如图，ACD △是等边三角形，ABC △是等腰直角三角形， 90ACB =∠，BD 交AC 于E ，2AB =． （Ⅰ）求cos CAE ∠的值； （Ⅱ）求AE ． 解：（Ⅰ）因为9060150BCD =+=∠， CB AC CD ==， 所以15CBE =∠． 所以6cos cos(4530)4 CBE =-=∠． ···················································· 6分 （Ⅱ）在ABE △中，2AB =， 由正弦定理 2 sin(4515)sin(9015) AE =-+． 故2sin 30 cos15 AE = 12 4 ? = =． 12分 2. （江苏17）（14分） 某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A 、B 及CD 的中点P 处，已知AB=20km ，BC=10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A 、B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO 、BO 、OP ，设排污管道的总长为ykm 。 （1）按下列要求写出函数关系式： ①设∠BAO=θ(rad )，将y 表示成θ的函数关系式； ②设OP=x (km )，将y 表示成x 的函数关系式； （2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。 【解析】：本小题考查函数的概念、 解三角形、导数等基本知识，考查数学建模能力、 抽象概括能力和解决实际问题的能力。 （1）①由条件知PQ 垂直平分AB ，若∠BAO=θ(rad )，则 cos cos OA BAO θ = =∠， 故10 cos OB θ = 又1010OP tan θ=-，所以1010 1010cos cos y OA OB OP tan θθθ =++= ++-B A C D E B

高中解三角形题型大汇总

解三角形题型总结 题型一：正选定理的应用 1. ABC ?的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a b c 、、，若,2a A B ==， 则cos _____B = B. C. D. 2. 如果111A B C ?的三个内角的余弦值分别等于222A B C ?的三个内角的正弦值，则（ ） A ．111A B C ?和222A B C ?都是锐角三角形 B ．111A B C ?和222A B C ?都是钝角三角形 C ．111A B C ?是钝角三角形，222A B C ?是锐角三角形 D ．111A B C ?是锐角三角形，222A B C ?是钝角三角形 3. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若 ( ) C a A c b cos cos 3=-，则 =A cos _________________。 4.△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B +b cos 2A =a 2，则=a b A ． B ． C D 5.ABC ?中，3 π = A ，BC ＝3，则ABC ?的周长为（ ） A ． 33sin 34+??? ? ?+πB B ． 36sin 34+??? ??+πB C ．33sin 6+??? ??+πB D ．36sin 6+??? ? ? +πB 6. 在ABC ?中，已知3,1,60===?ABC S b A o ，则=++++C B A c b a sin sin sin 7.设ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且35 cos ,cos ,3,513 A B b = ==则c =______

2020年高考数学三角函数与解三角形大题精做

2020年高考数学三角函数与解三角形大题精做 例题一：在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知(),2a c b =-m ，()cos ,cos C A =n ，且⊥m n ． （1）求角A 的大小； （2）若5b c +=，ABC △a ． 例题二：如图，在ABC △中，π 4A ∠=，4AB =，BC =点D 在AC 边上，且1cos 3 ADB ∠=-． （1）求BD 的长； （2）求BCD △的面积． 例题三： ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()2cos cos 0a c B b A ++=．

（1）求B ； （2）若3b =，ABC △的周长为3+ABC △的面积． 例题四：已知函数()22 cos cos sin f x x x x x =+-． （1）求函数()y f x =的最小正周期以及单调递增区间； （2）已知ABC △的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()1f C =，2c =，()sin sin 2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积．

例题一：【答案】（1）π3 A =；（2 ）a = 【解析】（1）由⊥m n ，可得0?=m n ，即2cos cos cos b A a C c A =+， 即2sin cos sin cos sin cos B A A C C A =+，即()2sin cos sin B A A C =+， ∵()()sin sin πsin A C B B +=-=，∴2sin cos sin B A B =，即()sin 2cos 10B A -=， ∵0πB <<，∴sin 0B ≠，∴1cos 2 A = ， ∵0πA <<，∴π3A =． （2 ）由ABC S =△ 1sin 2 ABC S bc A ==△，∴4bc =， 又5b c +=，由余弦定理得()22222cos 313a b c bc A b c bc =+-=+-=， ∴a = 例题二：【答案】（1）3；（2 ） 【解析】（1）在ABD △中，∵1cos 3 ADB ∠=-， ∴sin 3ADB ∠=， 由正弦定理sin sin BD AB BAD ADB =∠∠， ∴4sin 3sin AB BAD BD ADB ∠===∠． （2）∵πADB CDB ∠+∠=， ∴()1cos cos πcos 3 CDB ADB ADB ∠=-∠=-∠=． ∴( )sin sin πsin CDB ADB ADB ∠=-∠=∠= ，sin CDB ∠= 在BCD △中，由余弦定理2222cos BC BD CD BD CD CDB =+-??∠， 得21179233 CD CD =+-??，解得4CD =或2CD =-（舍）． ∴BCD △ 的面积11sin 3422S BD CD CDB =??∠=??=． 例题三：【答案】（1）2π3 B =；（2 ）ABC S =△ 【解析】（1）∵()2cos cos 0a c B b A ++=， ∴()sin 2sin cos sin cos 0A C B B A ++=，()sin cos sin cos 2sin cos 0A B B A C B ++=，

高中数学-解三角形知识点汇总及典型例题1

解三角形的必备知识和典型例题及详解 一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。 （1）三边之间的关系：a 2 ＋b 2 ＝c 2 。（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝ c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a 。 2．斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。 （1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 a 2＝ b 2＋ c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 3．三角形的面积公式： （1）?S ＝ 21ah a ＝21bh b ＝21 ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）?S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝2 1 ac sin B ； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型： （1）两类正弦定理解三角形的问题： 第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题： 第1、已知三边求三角.

高考解三角形大题(30道)69052

专题精选习题----解三角形 1.在ABC ?中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知b a c B C A -= -2cos cos 2cos . （1）求A C sin sin 的值； （2）若2,41 cos ==b B ，求ABC ?的面积S . 2.在ABC ?中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知 2sin 1cos sin C C C -=+. （1）求C sin 的值； （2）若8)(422-+=+b a b a ，求边c 的值. 3.在ABC ?中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,. （1）若A A cos 2)6sin(=+π ，求A 的值； （2）若c b A 3,31 cos ==，求C sin 的值.

4.ABC ?中，D 为边BC 上的一点，5 3cos ,135sin ,33=∠==ADC B BD ，求AD . 5.在ABC ?中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知41 cos ,2,1===C b a . （1）求ABC ?的周长； （2）求)cos(C A -的值. 6.在ABC ?中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,.已知)(sin sin sin R p B p C A ∈=+，且241 b a c =. （1）当1,45 ==b p 时，求c a ,的值； （2）若角B 为锐角，求p 的取值范围.

7.在ABC ?中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,.且C b c B c b A a sin )2(sin )2(sin 2+++=. （1）求A 的值； （2）求C B sin sin +的最大值. 8.在ABC ?中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知 412cos -=C . （1）求C sin 的值； （2）当C A a sin sin 2,2==时，求c b ,的长. 9.在ABC ?中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足 3,5522cos =?=A . （1）求ABC ?的面积； （2）若6=+c b ，求a 的值.

解三角形高考真题(一)

解三角形高考真题(一)

解三角形高考真题（一） 一．选择题（共9小题） 1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，a=2，c=，则C=（） A．B．C．D． 2．在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sinB （1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（） A．a=2b B．b=2a C．A=2B D．B=2A 3．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，c=2，cosA=，则b=（）A．B．C．2 D．3 4．在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，则AC=（） A．1 B．2 C．3 D．4 5．△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b=c，a2=2b2（1﹣sinA），则A=（）A． B．C．D． 6．在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则

14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b= ．15．在△ABC中，∠A=，a=c，则= ．16．在△ABC中，B=120°，AB=，A的角平分线AD=，则AC= ． 17．在△ABC中，AB=，∠A=75°，∠B=45°，则AC= ． 18．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b= ．19．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD= m． 20．若锐角△ABC的面积为，且AB=5，AC=8，则BC等于． 21．在△ABC中，a=3，b=，∠A=，则∠

高考数学三角函数与解三角形练习题

三角函数与解三角形 一、选择题 （2016·7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移 12 π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ） A ．()26k x k Z ππ =-∈ B ．()26k x k Z ππ =+∈ C ．()212 k x k Z ππ =-∈ D ．()212 k x k Z ππ =+∈ （2016·9）若3 cos( )45 π α-=，则sin 2α =（ ） A ． 725 B ．15 C ．1 5 - D ．7 25 - （2014·4）钝角三角形ABC 的面积是12 ，AB =1，BC ，则AC =（ ） A ．5 B C ．2 D ．1 （2012·9）已知0>ω，函数)4sin()(π ω+ =x x f 在),2(ππ 单调递减，则ω的取值范围是（） A. 15 [,]24 B. 13[,]24 C. 1(0,]2 D. (0,2] （2011·5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y =2x 上，则cos2θ =（ ） A ．45 - B ．35 - C ．35 D ．45 （2011·11）设函数()sin()cos()(0,||)2 f x x x π ω?ω?ω?=+++>< 的最小正周期为π，且()()f x f x -=， 则（ ） A ．()f x 在(0,)2π 单调递减 B ．()f x 在3(,)44 ππ 单调递减 C ．()f x 在(0,)2π 单调递增 D ．()f x 在3(,)44 ππ 单调递增 二、填空题 （2017·14）函数()23sin 4f x x x =- （0,2x π?? ∈???? ）的最大值是 ． （2016·13）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos 4 5 A = ，1cos 53C =，a = 1，则b = . （2014·14）函数()sin(2)2sin cos()f x x x ???=+-+的最大值为_________. （2013·15）设θ为第二象限角，若1 tan()42 πθ+=，则sin cos θθ+=_________. （2011·16）在△ABC 中，60,B AC ==o 2AB BC +的最大值为 . 三、解答题

高中数学必修五第一章解三角形知识点总结及练习题

第一章 解三角形 1、正弦定理： 在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径，则有： 2sin sin sin a b c R C ===A B ． 2、正弦定理的变形公式： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A = ，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④ sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++=== A + B +A B ． 注意：正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。 2、已知两角和一边，求其余的量。 ⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）如：在三角形ABC 中，已知a 、b 、A （A 为锐角）求B 。具体的做法是：数形结合思想 画出图：法一：把a 扰着C 当无交点则B 无解、 当有一个交点则B 有一解、 当有两个交点则B 有两个解。 法二：是算出CD=bsinA,看a 的情况： 当ab 时，B 有一解

注：当A 为钝角或是直角时以此类推既可。 3、三角形面积公式： 111 sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB =A ==B ． 4、余弦定理： 在C ?AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ， 2222cos b a c ac =+-B ， 2222cos c a b ab C =+-． 5、余弦定理的推论： 222 cos 2b c a bc +-A =， 222 cos 2a c b ac +-B =， 222 cos 2a b c C ab +-=． (余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余的量。2、已知三边求角) 6、如何判断三角形的形状： 设a 、b 、c 是C ?AB 的角A 、B 、C 的对边，则： ①若222a b c +=，则90C =； ②若222a b c +>，则90C <； ③若222a b c +<，则90C >． 7、正余弦定理的综合应用： 如图所示：隔河看两目标A 、B, C 并测得∠ACB=75O , ∠BCD=45O , ∠ADC=30O ,

解三角形高考题大全

(1)在ABC ?中，D 为边BC 上一点，BD=12 DC,ABC ∠=120°，AD=2，若ADC ?的面积为33-，则BAC ∠= . （2）△ABC 中B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC 的面积为 。 （3）（本小题满分12分） 已知△ABC 的内角A ，B 及其对边a ，b 满足a ＋b ＝a cot A ＋b cot B ，求内角C . （4）已知,,a b c 分别为ABC ?三个内角,,A B C 的对边，cos 3sin 0a C a C b c +--= （1）求A （2）若2a =，ABC ?的面积为3；求,b c 。 （5）（本小题满分12分） 已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，c = 3a sinC －c cosA (1) 求A (2) 若a =2，△ABC 的面积为3，求b ,c （6）、（本小题满分12分） 如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB= 3 ，BC=1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90° (1)若PB=12 ，求PA ； (2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA （7）已知锐角ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos cos 20A A +=，7a =，6c =，则b =（ ） （A ）10 （B ）9 （C ）8 （D ）5 （8）如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得 M 点的仰角60MAN ∠=?，C 点的仰角45CAB ∠=?以及75MAC ∠=?；从C 点测得60MCA ∠=?.已知山高100BC m =，则山高MN =________m . （9）在ABC V 中，60,3B AC ==o 2AB BC +的最大值为 。 （10）.已知,,a b c 分别为ABC ?的三个内角,,A B C 的对边，a =2，且 (2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ?面积的最大值为 . A B C P

高考文科数学真题大全解三角形高考题学生版

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8．（2012上海）在ABC ?中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ?的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定 9.（2013天津理）在△ABC 中，∠ABC ＝π 4 ，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC 等于( ) 10.(2013新标2文) △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝ π6，c ＝π 4 ，则△ABC 的面积为( ) A ．23＋2 ＋1 C ．23－2 －1 11、(2013新标1文) 已知锐角ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos cos 20A A +=，7a =，6c =，则b =（ ） （A ）10 （B ）9 （C ）8 （D ）5 12．（2013辽宁）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝1 2b ，且a ＞b ，则∠B ＝( ) 13．（2013山东文）△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( ) A ．2 3 B ．2 D ．1 14．（2013陕西）设△ABC 的内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c, 若cos cos sin b C c B a A +=, 则 △ABC 的形状为 (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定 15、（2016年新课标Ⅰ卷文）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，2c =， 2 cos 3 A = ，则b= （A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）3 16、（2016年新课标Ⅲ卷文）在ABC △中，π4B ，BC 边上的高等于1 3 BC ,则sin A （A ）3 10 （B ）1010 （C ）55 （D ）31010 17、（2016年高考山东卷文）ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知22,2(1sin )b c a b A ,则A = （A ） 3π4（B ）π3（C ）π4（D ）π6

【高中数学】解三角形基本题型

解三角形 解三角形 正弦定理的基本运用 1、 △A BC 中，sin 2A =sin 2B +sin 2C ，则△ABC 为 。 2、 在△ABC 中，b cos A =a cos B ，则三角形为 。 3、 已知△ABC 中，a =10,B =60°,C =45°，则c = 。 4、 在△ABC 中，已知150,350,30==?=c b B ，那么这个三角形是 。 5、 在ABC ?中，?===452232B b a ，，，则A 为 。 6、 在△ABC 中，A =60°，C =45°，b =2，则此三角形的最小边长为 。

余弦定理的基本运用 1、 在△ABC 中，a 2=b 2+c 2+bc ，则A 等于 。 2、 已知△ABC 的面积2,32,3===b a S ，解此三角形。 3、 在△ABC 中，1326+===c b a ，，，求A 、B 、C 。 4、 在△ABC 中，化简b cos C +c cos B = 。 5、 在△ABC 中，化简 ) cos cos cos (222c C b B a A c b a abc ++++。 正余弦定理的综合运用 1、已知在△ABC 中，c =10，A =45°，C =30°，求a 、b 和 B 。 2、在△ABC 中，c =22，tan A =3,tan B =2,试求a 、b 及此三角形的面积。 3、在△ABC 中，a =2，A =30°,C =45°，则△ABC 的面积S △ABC 等于 。

4、已知在△ABC中,sin A:sin B:sin C=3:2:4,那么cos C的值为。 5、△ABC中,A=60°,b=1,这个三角形的面积为3,则△ABC外接圆的直径 为。 6、在△ABC中，BC=3，AB=2，且 )1 6 ( 5 2 sin sin + = B C ，A=。

解三角形(历届高考题)

解三角形(历届高考题) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

历届高考中的“解三角形”试题精选（自我测试） 1．（A 等于（ ） （A ）135° (B)90° (C)45° (D)30° 2.（2007重庆理）在ABC ?中，,75,45,300===C A AB 则BC =（ ） A.33- B.2 C.2 D.33+ 3.(2006山东文、理)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、 c ,A =3 π ,a =3,b =1，则c =( ) （A ）1 （B ）2 （C ）3—1 （D ）3 4．(2008福建文)在中，角A,B,C 的对应边分别为a,b,c,若222a c b +-=，则角B 的值为（ ） Ａ．6π Ｂ．3π Ｃ．6π或56π Ｄ．3 π 或23π 5．（2005春招上海）在△ABC 中，若 C c B b A a cos cos cos = =，则△ABC 是（ ） （A ）直角三角形. （B ）等边三角形. （C ）钝角三角形. （D ）等腰直角三角形. 6.（2006全国Ⅰ卷文、理）ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若 a 、 b 、 c 成等比数列，且2c a =，则cos B =（ ） A ． 14 B ．3 4 C ．4 D ．3 7．（2005北京春招文、理）在ABC ?中，已知C B A sin cos sin 2=，那么ABC ?一定是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形 8．（2004全国Ⅳ卷文、理）△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为2 3 ，那么b =（ ） A ．2 31+ B ．31+ C ．2 32+ D ．32+ 二.填空题: （每小题5分，计30分） 9.（2007重庆文）在△ABC 中，AB =1, B C =2, B =60°，则AC ＝ 。

高中数学解三角形题型完整归纳

高中数学解三角形题型目录一．正弦定理 1.角角边 2.边边角 3.与三角公式结合 4.正弦定理与三角形增解的应对措施 5.边化角 6.正弦角化边 二．余弦定理 1.边边边 2.边角边 3.边边角 4.与三角公式结合 5.比例问题 6.余弦角化边 7.边化余弦角 三．三角形的面积公式 1.面积公式的选用 2.面积的计算 3.正、余弦定理与三角形面积的综合应用 四．射影定理 五．正弦定理与余弦定理综合应用 1.边角互化与三角公式结合 2.与平面向量结合 3.利用正弦或余弦定理判断三角形形状 4.三角形中的最值问题 (1)最大(小)角 (2)最长(短)边 (3)边长或周长的最值

(4)面积的最值 (5)有关正弦或余弦或正切角等的最值 (6)基本不等式与余弦定理交汇 (7)与二次函数交汇 六．图形问题 1.三角形内角之和和外角问题 2.三角形角平分线问题 3.三角形中线问题 4.三角形中多次使用正、余弦定理 5.四边形对角互补与余弦定理的多次使用 6.四边形与正、余弦定理 六．解三角形的实际应用 1.利用正弦定理求解实际应用问题 2.利用余弦定理求解实际应用问题 3.利用正弦和余弦定理求解实际应用问题 一．正弦定理 1.角角边 ?=?=?= 例.在中,解三角形 ABC A B a 30,45,2,. ?=?=?== 练习1.在中则 ABC A B a c ,30,45, . 练习2.在中,已知45,,求 ?=?=?= 30. ABC C A a b 2.边边角 例中，解这个三角形?===? ABC a .45,. 练习1中,则 ?==+== . 1,2,sin ABC a b A C B C 练习2.中则 ?===?= ,3,60,_____ ABC c b C A

解三角形专题练习【附答案】

解三角形专题（高考题）练习【附答案】 1、在ABC ?中，已知内角3 A π = ，边BC =设内角B x =,面积为y . (1)求函数()y f x =的解析式和定义域； (2)求y 的最大值. 8、△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且有sin2C+3cos （A+B ）=0，.当 13,4==c a ，求△ABC 的面积。 2、已知ABC ?中，1||=AC ，0120=∠ABC ， θ=∠BAC ， 记→ → ?=BC AB f )(θ， （1）求)(θf 关于θ的表达式； （2）（2）求)(θf 的值域； 3、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，且.2 1 222ac b c a =-+ （1）求B C A 2cos 2 sin 2 ++的值； （2）若b =2，求△ABC 面积的最大值． 4、在ABC ?中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量(2sin ,m B =， 2cos 2,2cos 12B n B ? ?=- ?? ?，且//m n 。 （I ）求锐角B 的大小； （II ）如果2b =，求ABC ?的面积ABC S ?的最大值。 5、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.cos cos 3cos B c B a C b -= （I ）求cos B 的值； （II ）若2=?，且22=b ，求c a 和b 的值. 6、在ABC ?中，cos 5A = ，cos 10 B =. （Ⅰ）求角 C ； （Ⅱ）设AB =，求ABC ?的面积. 7、在△ABC 中，A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知向量(1,2sin )m A =u r ，(sin ,1cos ),//,.n A A m n b c =++=r u r r 满足 （I ）求A 的大小；（II ）求)sin(6π+B 的值. 8、△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且有sin2C+3cos （A+B ）=0，.当 Ａ Ｂ Ｃ 120° θ

三角函数与解三角形大题部分-高考数学解题方法训练

专题05 三角函数与解三角形大题部分 【训练目标】 1、掌握三角函数的定义，角的推广及三角函数的符号判断； 2、熟记同角三角函数的基本关系，诱导公式，两角和差公式，二倍角公式，降幂公式，辅助角公式，并能熟练的进行恒等变形； 3、掌握正弦函数和余弦函数的图像与性质，并能正确的迁移到正弦型函数和余弦型函数； 4、掌握三角函数的图像变换的规律，并能根据图像求函数解析式； 5、熟记正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式； 6、能熟练，灵活的使用正弦定理与余弦定理来解三角形。 【温馨小提示】 此类问题在高考中属于必考题，难度中等，要想拿下，只能有一条路，多做多总结，熟能生巧。 【名校试题荟萃】 1、（浙江省诸暨中学2019届高三期中考试题文） 已知函数. （1）.求 )(x f 的最小正周期和单调递增区间； （2）.当时，求函数)(x f 的最小值和最大值 【答案】（1）π， （2） 【解析】 （1） ，π=T , 单调递增区间为； （2）

∴当时，，∴. 当时，，∴. 2、（河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试数学文）试卷）已知中，角所对的边分别是，且，其中是的面积，. （1）求的值； （2）若，求的值. 【答案】 （1）；（2）. （2），所以，得①， 由（1）得，所以. 在中，由正弦定理，得，即②， 联立①②，解得，，则，所以. 3、（湖北省武汉市部分市级示范高中2019届高三十月联考文科数学试题）已知函数f（x）=sin（ωx+）- b（ω>0，0<<π的图象的两相邻对称轴之间的距离，若将f（x）的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位，所得图象对应的函数为奇函数． （1）求f（x）的解析式并写出单增区间； （2）当x∈，f（x）+m-2<0恒成立，求m取值范围． 【答案】

【高中数学】解三角形的知识总结和题型归纳

解三角形的知识总结和题型归纳 一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a 。 2．斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 3．三角形的面积公式： （1）?S ＝ 21ah a ＝21bh b ＝21 ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）；（2）?S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝2 1 ac sin B ； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面 【高中数学】

必修五-解三角形-题型归纳

一． 构成三角形个数问题 1．在ABC ?中，已知,2,45a x b B === ，如果三角形有两解，则x 的取值范围是（ ） A ．． D.02x << 2．如果满足 60=∠ABC ，12=AC ，k BC =的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是__________． 3．在ABC ?中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ） 二． 求边长问题 4．在ABC ?中，角,,A B C 所对边,,a b c ，若03,120a C ==，ABC ?的面积则c =（ ） A ．5 B ．6 C ．7 5．在△ABC 中，01,45,2ABC a B S ?===，则b =_______________. 三． 求夹角问题 6．在ABC ?中，，则=∠BAC sin （ ） A

7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别S c b a ,,,为表示△ABC 的面积，若 ,sin cos cos C c A b B a =+ B=( ) A ．90° B ．60° C ．45° D ．30° 四． 求面积问题 8．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为c b a ,,.若2cos ,,13 a b A B c π ===，则 △ABC 的面积等于 （ ） 9．锐角ABC ?中，角C B A 、、的对边分别是c b a 、、，已知 （Ⅰ）求C sin 的值； （Ⅱ）当2=a ，C A sin sin 2=时，求b 的长及ABC ?的面积． 10．如图，在四边形ABCD 中， （1）求AD 边的长； （2）求ABC ?的面积．

解三角形高考大题-带答案

解三角形高考大题,带答案 1． (宁夏１7)(本小题满分1２分） 如图,ACD △是等边三角形，ABC △是等腰直角三角形，90ACB =∠，BD 交AC 于E ， 2AB =. （Ⅰ）求cos CAE ∠的值； (Ⅱ）求AE ． 解:(Ⅰ） 因为 9060150BCD =+=∠,CB AC CD ==, 所以15CBE =∠． 所以6cos cos(4530)4 CBE =-=∠.?6分 （Ⅱ）在ABE △中,2AB =， 由正弦定理 2 sin(4515)sin(9015) AE =-+. 故2sin 30 cos15 AE = 12 4 ? = =.?12分 ２． （江苏1７)(１4分） 某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD 的顶点A 、B 及CD 的中点P 处,已知AB=20km ，BC ＝10km ，为了处理三家工厂的污水,现要在矩形ABCD 的区域上（含边界),且A 、B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO 、ＢO 、ＯＰ,设排污管道的总长为y ｋm 。 （1)按下列要求写出函数关系式： ①设∠B ＡＯ=θ(rad ），将y 表示成θ的函数关系式; ②设O Ｐ=x (k ｍ),将y 表示成ｘ的函数关系式; (２）请你选用（１)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。 【解析】：本小题考查函数的概念、 解三角形、导数等基本知识，考查数学建模能力、 抽象概括能力和解决实际问题的能力。 (１）①由条件知P Ｑ垂直平分A Ｂ,若∠BA Ｏ=θ（rad ),则 cos cos OA BAO θ = =∠， 故10 cos OB θ = 又1010OP tan θ=-，所以1010 1010cos cos y OA OB OP tan θθθ =++= ++- B A C D E B

高中数学解三角形练习题

解三角形卷一 一．选择题 1．在△ABC 中，sin A :sin B :sin C =3:2:4，则cos C 的值为 A ．23 B ．－23 C ．14 D ．－14 2、在ABC △中，已知4,6a b ==，60B =，则sin A 的值为 A B C D 3、在ABC △中，::1:2:3A B C =，则sin :sin :sin A B C = A 、1:2:3 B 、 C 、 D 、2 4、在ABC △中，sin :sin :sin 4:3:2A B C =，那么cos C 的值为 A 、14 B 、14- C 、78 D 、1116 5、在ABC △中，13,34,7===c b a ，则最小角为 A 、3π B 、6π C 、4 π D 、12π 6、在ABC △中，60,16,A b == 面积3220=S ，则c = A 、610 B 、75 C 、55 D 、49 7、在ABC △中，()()()a c a c b b c +-=+，则A = A 、30 B 、60 C 、120 D 、150 8、在ABC △中，根据下列条件解三角形，则其中有二个解的是 A 、10,45,70b A C === B 、60,48,60a c B === C 、7,5,80a b A === D 、14,16,45a b A === 二、填空题。 9．在△ABC 中，a ，b 分别是∠A 和∠B 所对的边，若a ＝3，b ＝1，∠B ＝30°，则∠A 的值是 ． 10．在△ABC 中，已知sin B sin C ＝cos 22 A ，则此三角形是__________三角形． 11. 在△ABC 中，∠A 最大，∠C 最小，且∠A ＝2∠C ，a ＋c ＝2b ，求此三角形三边之比为 ．

解三角形练习题及答案

第一章 解三角形 一、选择题 1．己知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为( )． A ．90° B ．120° C ．135° D ．150° 2．在△ABC 中，下列等式正确的是( )． A ．a ∶b ＝∠A ∶∠B B ．a ∶b ＝sin A ∶sin B C ．a ∶b ＝sin B ∶sin A D ．a sin A ＝b sin B 3．若三角形的三个内角之比为1∶2∶3，则它们所对的边长之比为( )． A ．1∶2∶3 B ．1∶3∶2 C ．1∶4∶9 D ．1∶2∶3 4．在△ABC 中，a ＝5，b ＝15，∠A ＝30°，则c 等于( )． A ．25 B ．5 C ．25或5 D ．10或5 5．已知△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝6，b ＝4，那么满足条件的△ABC 的形状大小 ( )． A ．有一种情形 B ．有两种情形 C ．不可求出 D ．有三种以上情形 6．在△ABC 中，若a 2＋b 2－c 2＜0，则△ABC 是( )． A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．形状不能确定 7．在△ABC 中，若b ＝3，c ＝3，∠B ＝30°，则a ＝( )． A ．3 B ．23 C ．3或23 D ．2 8．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边．如果a ，b ，c 成等差数列，∠B ＝30°，△ABC 的面积为 2 3 ，那么b ＝( )． A ． 2 3 1+ B ．1＋3 C ． 2 3 2+ D ．2＋3 9．某人朝正东方向走了x km 后，向左转150°，然后朝此方向走了3 km ，结果他离出发点恰好3km ，那么x 的值是( )．

高考一轮复习解三角形最新高考真题

解三角形 1.(2016·新课标全国Ⅰ，4)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝2 3 ，则b ＝( ) A. 2 B. 3 C.2 D.3 2.(2016·山东，8)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( ) A.3π4 B.π3 C.π4 D.π6 3.(2016·湖南四校联考)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若(a 2＋b 2－c 2)tan C ＝ab ,则角C 为( ) A.π6或5π6 B.π3或2π3 C.π6 D.2π3 4.(2016·河南三市调研)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π 3，则△ABC 的面积为( ) A.3 B. 932 C.33 2 D.3 3 5.(2016·济南一中检测)在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别为a ，b ，c ，A 为锐角， lg b ＋lg ）（c 1＝lg sin A ＝－lg 2，则△ABC 为( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 6.(2015·山东省实验中学三诊)在△ABC 中，若(a 2＋b 2)·sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ，则△ABC 是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 7.(2015·湖南十二校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 若tan A ＝7tan B ，a 2－b 2 c ＝3，则c ＝( ) A.4 B.3 C.7 D.6 8．(2018·陕西宝鸡一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin(A ＋B)＝1 3 ，a ＝3，c ＝4，则sinA ＝( ) A.23 B.14 C.34 D.16 9．(2018·铜川一模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，c ＝22，且C ＝π 4 ，则△ABC 的面积为( ) A.3＋1 B.3－1 C ．4 D ．2 10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b)2－c 2，则tan C 等于( ) A.34 B.43 C ．－43 D ．－3 4 11.(2016·新课标全国Ⅱ，15)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝4 5 ，cos