2020年陕西省中考数学第二次模拟测试试卷含解析

2020年中考数学第二次模拟试卷

一、选择题

1．计算（﹣）0＝（）

A．B．﹣C．1D．﹣

2．如图是某个几何体的平面展开图，这个几何体是（）

A．长方体B．三棱柱C．三棱锥D．圆柱

3．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，则∠BCF度数为（）

A．15°B．18°C．25°D．30°

4．计算（﹣5a3）2的结果是（）

A．﹣25a5B．25a6C．10a6D．﹣10a5

5．在直角坐标系中，点M，N在同一个正比例函数图象上的是（）A．M（2，﹣3），N（﹣4，6）B．M（﹣2，3），N（4，6）

C．M（﹣2，﹣3），N（4，﹣6）D．M（2，3），N（﹣4，6）

6．如图，在△ABC中，点D为△ABC的内心，∠A＝60°，BD：CD＝2：1，BD＝4，则△DBC的面积为（）

A．3B．2C．2D．3

7．若一次函数y＝2x﹣3的图象平移后经过点（3，1），则下列叙述正确的是（）A．沿x轴向右平移3个单位长度B．沿x轴向右平移1个单位长度

C．沿x轴向左平移3个单位长度D．沿x轴向左平移1个单位长度

8．如图，在菱形ABCD中，CE⊥AD于点E，sin D＝，AE＝2，则AC的长为（）

A．8B．2C．2D．2

9．如图，已知在⊙A中，B、C、D三个点在圆上，且满足∠CBD＝2∠BDC．若∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为（）

A．68°B．88°C．90°D．112°

10．若将二次函数y＝x2﹣4x+3的图象绕着点（﹣1，0）旋转180°，得到新的二次函数y ＝ax2+bx+c（a≠0），那么c的值为（）

A．﹣15B．15C．17D．﹣17

二、填空题（共4小题）

11．在1，﹣2，0，﹣，π这五个数中，最小的数是．

12．边长为2的正六边形的边心距为．

13．如图，已知点A、B分别在反比例函数y＝（x＞0），y＝﹣（x＜0）的图象上，且OA⊥OB，则OA：OB的值为．

14．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60°，AC与BD交于点O，点N在AC上且AN＝2，点M在BC上且BM＝BC，P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为．

三、解答题（共11小题）

15．计算：×（﹣）﹣|2﹣3|+（）﹣3．

16．解方程：﹣＝1．

17．如图，在△ABC内部有一点D，利用尺规过点D作一条直线，使其平行于BC．（保留作图痕迹，不写作法）

18．如图．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线交AE于点F．BD与AE有什么样的位置关系？请说明理由．

19．为了了解市民“获取新闻的最主要途径”某市记者开展了一次抽样调查，根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图．

根据以上信息解答下列问题：

（1）这次接受调查的市民总人数是；请补全条形统计图；

（2）扇形统计图中，“电视”所对应的圆心角的度数是；

（3）若该市约有90万人，请你估计其中将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”的总人数．

20．随着天气的逐渐炎热（如图1），遮阳伞在我们的日常生活中随处可见如图2所示，遮阳伞立柱OA垂直于地面，当将遮阳伞撑开至OD位置时，测得∠ODB＝45°，当将遮阳伞撑开至OE位置时，测得∠OEC＝30°，且此时遮阳伞边沿上升的竖直高度BC为20cm，求若当遮阳伞撑开至OE位置时伞下阴凉面积最大，求此时伞下半径EC的长．（结果保留根号）

21．我国很多城市水资源缺乏，为了加强居民的节水意识，某市制定了每月用水8吨以内（包括8吨）和用水8吨以上两种收费标准（收费标准：每吨水的价格），某用户每月应交水费y（元）是用水量x（吨）的函数，其函数图象如图所示．

（1）求出自来水公司在这两个用水范围内的收费标准；

（2）若芳芳家6月份共交水费28.1元，请写出用水量超过8吨时应交水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系，并求出芳芳家6月份的用水量．

22．“学习强国”学习平台是以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容的优质平台．平台由PC端、手机客户端两大终端组成．手机客户端上主要有阅读文章、观看视频、答题活动三种学习方式．

（1）王老师从三种学习方式中随机挑选一种进行学习，恰好选中答题活动的概率是多少？

（2）王老师和李老师各自从三种学习方式中随机挑选一种进行学习，用列表或画树状图的方法列出所有等可能的结果，并求他们选中同一种学习方式的概率．

23．如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PA、PB、AB、OP，已知PB是⊙O的切线．

（1）求证：∠PBA＝∠C；

（2）若OP∥BC，且OP＝9，⊙O的半径为3，求BC的长．

24．已知抛物线L：y＝x2++c经过点M（2，0），现将抛物线L沿x轴翻折，并向左平移1个单位长度后得到抛物线L1．

（1）求抛物线L1的解析式．

（2）若抛物线L与x轴交于A，B两点（点B在点A右侧），点E在抛物线L1对称轴上一点，O为坐标原点，则抛物线L上是否存在点P，使以A，O，E，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

25．问题探究

（1）如图1．在△ABC中，BC＝8，D为BC上一点，AD＝6．则△ABC面积的最大值是．

（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝60°，AG为BC边上的高，⊙O为△ABC的外接圆，若AG＝3，试判断BC是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

问题解决：

如图3，王老先生有一块矩形地ABCD，AB＝6+12，BC＝6+6，现在他想利用这块地建一个四边形鱼塘AMFN，且满足点E在CD上，AD＝DE，点F在BC上，且CF＝6，点M在AE上，点N在AB上，∠MFN＝90°，这个四边形AMFN的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值；若不存在，请说明理由．

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分.每小题只有一个选项是符合题意的）1．计算（﹣）0＝（）

A．B．﹣C．1D．﹣

【分析】直接利用零指数幂的性质计算得出答案．

解：（﹣）0＝1．

故选：C．

2．如图是某个几何体的平面展开图，这个几何体是（）

A．长方体B．三棱柱C．三棱锥D．圆柱

【分析】侧面为三个长方形，底边为三角形，故原几何体为三棱柱．

解：观察图形可知，这个几何体是三棱柱．

故选：B．

3．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，则∠BCF度数为（）

A．15°B．18°C．25°D．30°

【分析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质即可得出∠BCF度数．

解：由题意可得：∠ABC＝30°，

∵AB∥CF，

∴∠BCF＝∠ABC＝30°，

故选：D．

4．计算（﹣5a3）2的结果是（）

A．﹣25a5B．25a6C．10a6D．﹣10a5

【分析】根据积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab）n＝a n b n （n是正整数）计算即可．

解：（﹣5a3）2＝25a6．

故选：B．

5．在直角坐标系中，点M，N在同一个正比例函数图象上的是（）A．M（2，﹣3），N（﹣4，6）B．M（﹣2，3），N（4，6）

C．M（﹣2，﹣3），N（4，﹣6）D．M（2，3），N（﹣4，6）

【分析】设正比例函数的解析式为y＝kx，根据4个选项中得点M的坐标求出k的值，再代入N点的坐标去验证点N是否在正比例函数图象上，由此即可得出结论．

解：设正比例函数的解析式为y＝kx，

A、﹣3＝2k，解得：k＝﹣，

﹣4×（﹣）＝6，6＝6，

∴点N在正比例函数y＝﹣x的图象上；

B、3＝﹣2k，解得：k＝﹣，

4×（﹣）＝﹣6，﹣6≠6，

∴点N不在正比例函数y＝﹣x的图象上；

C、﹣3＝﹣2k，解得：k＝，

4×＝6，6≠﹣6，

∴点N不在正比例函数y＝x的图象上；

D、3＝2k，解得：k＝，

﹣4×＝﹣6，﹣6≠6，

∴点N不在正比例函数y＝x的图象上．

故选：A．

6．如图，在△ABC中，点D为△ABC的内心，∠A＝60°，BD：CD＝2：1，BD＝4，则△DBC的面积为（）

A．3B．2C．2D．3

解：过点B作BH⊥CD于点H．

∵点D为△ABC的内心，∠A＝60°，

∴∠BDC＝90°+∠A＝90°+＝120°，

则∠BDH＝60°，

∵BD＝4，BD：CD＝2：1

∴DH＝2，BH＝2，CD＝2，

∴△DBC的面积为＝＝2，

故选：C．

7．若一次函数y＝2x﹣3的图象平移后经过点（3，1），则下列叙述正确的是（）A．沿x轴向右平移3个单位长度

B．沿x轴向右平移1个单位长度

C．沿x轴向左平移3个单位长度

D．沿x轴向左平移1个单位长度

【分析】设平移后的函数表达式为y＝2x+b，把（3，1）代入求出b的值即可得出结论．解：设平移后的函数表达式为y＝2x+b，将（3，1）代入，解得b＝﹣5．

∴函数解析式为y＝2x﹣5，

∵y＝2（x﹣1）﹣3，

∴一次函数y＝2x﹣3的图象沿x轴向右平移1个单位长度得到y＝2x﹣5，

故选：B．

8．如图，在菱形ABCD中，CE⊥AD于点E，sin D＝，AE＝2，则AC的长为（）

A．8B．2C．2D．2

【分析】根据三角函数和菱形的性质解答即可．

解：∵sin D＝，

设EC＝4x，CD＝5x，

由勾股定理可得：ED＝，

∵菱形ABCD，

∴AD＝CD，

即AE+ED＝CD，

可得：2+3x＝5x，

解得：x＝1，

∴AD＝DC＝5，

∴EC＝4，

由勾股定理可得：AC＝，

故选：D．

9．如图，已知在⊙A中，B、C、D三个点在圆上，且满足∠CBD＝2∠BDC．若∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为（）

A．68°B．88°C．90°D．112°

【分析】首先运用圆周角定理证明∠CAD＝2∠CBD，∠BAC＝2∠BDC，结合已知条件∠CBD＝2∠BDC，得到∠CAD＝2∠BAC，即可解决问题

解：∵∠CBD＝2∠BDC，∠CAD＝2∠CBD，∠BAC＝2∠BDC，

∴∠CAD＝2∠BAC，而∠BAC＝44°，

∴∠CAD＝88°，

故选：B．

10．若将二次函数y＝x2﹣4x+3的图象绕着点（﹣1，0）旋转180°，得到新的二次函数y ＝ax2+bx+c（a≠0），那么c的值为（）

A．﹣15B．15C．17D．﹣17

【分析】由于图象绕定点旋转180°，得到顶点坐标改变，而抛物线开口方向相反，然后根据顶点式写出解析式．

解：∵抛物线y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1的顶点坐标为（2，﹣1），

∴绕（﹣1，0）旋转180°后的抛物线的顶点坐标为（﹣4，1），

∴所得到的图象的解析式为y＝﹣（x+4）2+1＝﹣x2﹣8x﹣15．

∴c的值为﹣15．

故选：A．

二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）

11．在1，﹣2，0，﹣，π这五个数中，最小的数是﹣2．

【分析】先比较数的大小，即可得出选项．

解：﹣2＜﹣＜0＜1＜π，

∴最小的数是﹣2，

故答案为：﹣2．

12．边长为2的正六边形的边心距为．

【分析】连接OA、OB，根据正六边形的性质求出∠AOB，得出等边三角形OAB，求出OA、AM的长，根据勾股定理求出即可．

解：连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，

∵正六边形ABCDEF，

∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝∠AOF，

∴∠AOB＝360°÷6＝60°，OA＝OB，

∴△AOB是等边三角形，

∴OA＝OB＝AB＝2，

∵OM⊥AB，

∴AM＝BM＝1，

在△OAM中，由勾股定理得：OM＝＝．

故答案为：．

13．如图，已知点A、B分别在反比例函数y＝（x＞0），y＝﹣（x＜0）的图象上，且OA⊥OB，则OA：OB的值为．

【分析】过点A作AE⊥x轴于点A，过点B作BF⊥x轴于点B，则△AOE∽△OBF，根据相似三角形的性质结合反比例函数系数k的几何意义，即可得出结论．

解：过点A作AE⊥x轴于点A，过点B作BF⊥x轴于点B，如图所示．

∵∠FOB+∠AOB+∠AOE＝180°，∠AOB＝90°，∠FOB+∠OBF＝90°，

∴∠AOE＝∠OBF．

又∵∠AEO＝∠OFB＝90°，

∴△AOE∽△OBF，

∴（）2＝＝＝，

∴OA：OB的值为．

故答案为：．

14．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60°，AC与BD交于点O，点N在AC上且AN＝2，点M在BC上且BM＝BC，P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为2．

【分析】作以BD为对称轴作N的对称点N'，连接PN'，MN'，依据PM﹣PN＝PM﹣PN'≤MN'，可得当P，M，N'三点共线时，取“＝”，再根据△N'CM为等边三角形，即可得到CM＝MN'＝2．

解：如图所示，作以BD为对称轴作N的对称点N'，连接PN'，MN'，

根据轴对称性质可知，PN＝PN'，

∴PM﹣PN＝PM﹣PN'≤MN'，

当P，M，N'三点共线时，取“＝”，

∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60°，

∴AC＝6，

∵O为AC中点，

∴AO＝OC＝3，

∵AN＝2，

∴ON＝1，

∴ON'＝1，CN'＝2，

∴AN'＝4，

∵BMBM＝BC＝×6＝4，

∴CM＝AB﹣BM＝6﹣4＝2，

∴＝＝，

∴PM∥AB∥CD，∠CMN'＝60°，

∵∠N'CM＝60°，

∴△N'CM为等边三角形，

∴CM＝MN'＝2，

即PM﹣PN的最大值为2，

故答案为：2．

三、解答题（共11小题，计78分.解答应写出过程）

15．计算：×（﹣）﹣|2﹣3|+（）﹣3．

【分析】根据负整数指数幂和二次根式的乘法法则运算．

解：原式＝﹣+2﹣3+8

＝﹣4+2﹣3+8

＝1+2．

16．解方程：﹣＝1．

【分析】方程两边都乘以x（x+3）得出方程x﹣1+2x＝2，求出方程的解，再代入x（x+3）进行检验即可．

解：两边都乘以x（x+3），得：x2﹣（x+3）＝x（x+3），

解得：x＝﹣，

检验：当x＝﹣时，x（x+3）＝﹣≠0，

所以分式方程的解为x＝﹣．

17．如图，在△ABC内部有一点D，利用尺规过点D作一条直线，使其平行于BC．（保留作图痕迹，不写作法）

【分析】根据平行线的判定方法即可过点D作一条直线，使其平行于BC．

解：如图，

MN即为过点D平行于BC的直线．

18．如图．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线交AE于点F．BD与AE有什么样的位置关系？请说明理由．

【分析】先利用“HL”证明△BDC≌△AEC得出∠CBD＝∠CAE，从而得出∠BFE＝90°，即BF⊥AE．

解：BD⊥AE，理由如下：

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACE＝∠BCD＝90°．

又BC＝AC，BD＝AE，

∴Rt△BDC≌Rt△AEC（HL）．

∴∠CBD＝∠CAE．

又∴∠CAE+∠E＝90°．

∴∠EBF+∠E＝90°．

∴∠BFE＝90°，即BF⊥AE．

∴BD⊥AE．

19．为了了解市民“获取新闻的最主要途径”某市记者开展了一次抽样调查，根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图．

根据以上信息解答下列问题：

（1）这次接受调查的市民总人数是1000；请补全条形统计图；

（2）扇形统计图中，“电视”所对应的圆心角的度数是54°；

（3）若该市约有90万人，请你估计其中将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”的总人数．

【分析】（1）用电脑上网的人数除以电脑上网所占的百分比，可得样本容量，用总人数乘以“报纸”对应的百分比求得其人数，据此补全图形；

（2）根据电视所占的百分比乘以圆周角，可得答案；

（3）根据样本估计总体，可得答案．

解：（1）这次接受调查的市民总人数是260÷26%＝1000（人），

则“报纸”的人数为1000×10%＝100（人），

补全图形如下：

（2）扇形统计图中，“电视”所对应的圆心角的度数是360°×15%＝54°，

故答案为：54°．

（3）估计其中将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”的总人数为90×＝59.4（万人），

答：将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”的总人数为59.4万人．20．随着天气的逐渐炎热（如图1），遮阳伞在我们的日常生活中随处可见如图2所示，遮阳伞立柱OA垂直于地面，当将遮阳伞撑开至OD位置时，测得∠ODB＝45°，当将遮阳伞撑开至OE位置时，测得∠OEC＝30°，且此时遮阳伞边沿上升的竖直高度BC为20cm，求若当遮阳伞撑开至OE位置时伞下阴凉面积最大，求此时伞下半径EC的长．（结果保留根号）

【分析】根据题意可得OE＝OD，由三角函数得出OC＝OE，OB＝，再利用BC＝OB﹣OC解答即可．

解：由题意可得：OE＝OD，

在Rt△OEC中，∠BOE＝60°，∠OCE＝90°，

∴OC＝OE，

在Rt△OBD中，∠DOB＝45°，∠OBD＝90°，

∴OB＝OD＝OE，

∵BC＝OB﹣OC，

即，OE﹣OE＝20

解得：OE＝40（+1）cm，

∴EC＝×20（+1）＝20（+）cm．

21．我国很多城市水资源缺乏，为了加强居民的节水意识，某市制定了每月用水8吨以内（包括8吨）和用水8吨以上两种收费标准（收费标准：每吨水的价格），某用户每月应交水费y（元）是用水量x（吨）的函数，其函数图象如图所示．

（1）求出自来水公司在这两个用水范围内的收费标准；

（2）若芳芳家6月份共交水费28.1元，请写出用水量超过8吨时应交水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系，并求出芳芳家6月份的用水量．

【分析】（1）根据在不同范围内的函数的解析式可知，在0﹣8吨范围内，每吨2.2元，当x＞8时，每吨水3.5元；

（2）根据已知条件可知：该用户的交水费范围属于x＞8的范围，代入解析式即可得到答案．

解：（1）8吨以内收费标准：17.6÷8＝2.2元，

8吨以上收费标准：（31.6﹣17.6）÷（12﹣8）＝3.5元；

（2）由题意可知：

y＝3.5（x﹣8）+2.2×8

即：y＝3.5x﹣10.4

当y＝28.1时，有：3.5x﹣10.4＝28.1

∴x＝11

答：芳芳家6月份用水量为11吨．

22．“学习强国”学习平台是以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容的优质平台．平台由PC端、手机客户端两大终端组成．手机客户端上主要有阅读文章、观看视频、答题活动三种学习方式．

（1）王老师从三种学习方式中随机挑选一种进行学习，恰好选中答题活动的概率是多少？

（2）王老师和李老师各自从三种学习方式中随机挑选一种进行学习，用列表或画树状图的方法列出所有等可能的结果，并求他们选中同一种学习方式的概率．

【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；

（2）列表得出所有等可能结果，从表格中得出他们选中同一种学习方式的结果数，利用概率公式求解可得．

解：（1）王老师从三种学习方式中随机挑选一种进行学习，恰好选中答题活动的概率是；

（2）记阅读文章、观看视频、答题活动分别为A，B，C，

列表如下：

A B C

A（A，A）（B，A）（C，A）

B（A，B）（B，B）（C，B）

C（A，C）（B，C）（C，C）由表可知共有9种等可能的结果，其中他们选中同一种学习方式的有3种情况，

所以他们选中同一种学习方式的概率．

23．如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PA、PB、AB、OP，已知PB是⊙O的切线．

（1）求证：∠PBA＝∠C；

（2）若OP∥BC，且OP＝9，⊙O的半径为3，求BC的长．

【分析】（1）连接OB，根据切线的性质和圆周角定理求出∠PBO＝∠ABC＝90°，即可求出答案；

（2）求出△ABC∽△PBO，得出比例式，代入求出即可．

【解答】（1）证明：连接OB，

∵PB是⊙O的切线，

∴PB⊥OB，

∴∠PBA+∠OBA＝90°，

∵AC是⊙O的直径，

∴∠ABC＝90°，∠C+∠BAC＝90°，

∵OA＝OB，OC＝OB，

∴∠OBA＝∠BAO，∠C＝∠OBC，

∴∠PBA+∠OBA＝∠C+∠OBA，

∴∠PBA＝∠C；

（2）解：∵⊙O的半径是3，

∴OB＝3，AC＝6，

∵OP∥BC，

∴∠BOP＝∠OBC，

∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠C，