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两个常用绝对值不等式的应用

两个常用绝对值不等式的应用
两个常用绝对值不等式的应用

两个常用绝对值不等式的应用

教学目标

理解及其两个推论,并能应用它证明简单含有绝

对值不等式的证明问题。

教学重点难点

重点是理解掌握定理及等号成立的条件,绝对值不等式的证明。

难点是定理的推导过程的探索,摆脱绝对值的符号,通过定理或放缩不等式。

教学过程

一、复习引入

我们在初中学过绝对值的有关概念,请一位同学说说绝对值的定义。

当时,则有:

那么与及的大小关系怎样?

这需要讨论当

综上可知:

我们已学过积商绝对值的性质,哪位同学回答一下?

.

当时,有:或.

二、引入新课

由上可知,积的绝对值等于绝对值的积;商的绝对值等于绝对值的商。

那么和差的绝对值等于绝对值的和差吗?

1.定理探索

和差的绝对值不一定等于绝对值的和差,我们猜想

.

怎么证明你的结论呢?

用分析法,要证.

只要证

即证

即证,

而显然成立,

那么怎么证?

同样可用分析法

当时,显然成立,

当时,要证

只要证,

即证

而显然成立。

从而证得.

还有别的证法吗?(学生讨论,教师提示)

由与得.

当我们把看作一个整体时,上式逆用可得什么结

论?

能用已学过得的证明吗?

可以表示为.

即(教师有计划地板书学生分析证明的过程)

就是含有绝对值不等式的重要定理,即.

由于定理中对两个实数的绝对值,那么三个实数和的绝对值呢?

个实数和的绝对值呢?

亦成立

这就是定理的一个推论,由于定理中对没有特殊要求,如果用代换会

有什么结果?(请一名学生到黑板演)

用代得,

即。

这就是定理的推论成立的充要条件是什么?

那么成立的充要条件是什么?

.

例1求证.

证法:(直接利用性质定理)在时,显然成立.

当时,左边

.

三、随堂练习

1.求证.

答案:

与同号

四、小结

1.定理. 把、、看作是三角形三边,很象

三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,这样理解便于记忆,此定理在后面学习复数时,可以推广到比较复数的模长,并有其几何意义,有时也称其为“三角形不等式”.

2.平方法能把绝对值不等式转化为不含绝对值符号的不等式,但应注意两边非负时才可平方,有些证明并不容易去掉绝对值符号,需用定理及其

推论。

3.对要特别重视.

含绝对值的不等式

含绝对值的不等式 [学习要求] (1)理解并掌握解含绝对值的不等式的基本思路是化去绝对值符号,转化为不含绝对值符号的不等式(或不等式组)来解。 (2)弄懂去绝对值符号的理论依据,掌握去绝对值符号的主要方法,会解简单的含有绝对值的不等式。 [重点难点] 1.实数绝对值的定义: |a|= 这是去掉绝对值符号的依据,是解含绝对值符号的不等式的基础。 2.最简单的含绝对值符号的不等式的解。 若a>0时,则 |x|a x<-a或x>a。

注:这里利用实数绝对值的几何意义是很容易理解上式的,即|x|可看作是数轴上的动点P(x)到原点的距离。 3.常用的同解变形 |f(x)|g(x) f(x)<-g(x)或f(x)>g(x); |f(x)|<|g(x)| f2(x)

评注:绝对值的概念是分类定义的,因此,在解决这类问题时,必须要分类讨论。 例2:型如:|x|a,(其中a>0)不等式的解法。 探路:利用不等式的乘方法则或绝对值意义均可。 解:当a>0时, |x|a x2>a2x>a或x<-a;其几何意义为 评注: 解:型如|x|0)和|x|>a,(a>0)的不等式,可以利用平方法化为关于x的二次不等式来解;也可以利用定义法来解,均可求得它们的解集。今后,要熟记|x|0)的解集为-aa,(a>0)的解集为x>a或x<-a是十分重要的。 例3:由定理-“|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|”导出定理:“|a|-|b|≤|a-b|≤ |a|+|b|” 探路:利用“代换法” 证明:由定理一可知,|a|-|-b|≤|a+(-b)|≤|a|+|-b|,即|a|-|b|≤|a-b|≤ |a|+|b|

高考含绝对值不等式的解法

高考中常见的七种含有绝对值的不等式的解法 类型一:形如)()(,)(R a a x f a x f ∈><型不等式 解法:根据a 的符号,准确的去掉绝对值符号,再进一步求解.这也是其他类型的解题基础. 1、当0>a 时, a x f a a x f <<-?<)()( a x f a x f >?>)()(或a x f -<)( 2、当0=a a x f <)(,无解 ?>a x f )(使0)(≠x f 的解集 3、当0a x f )(使)(x f y =成立的x 的解集. 例1 (2008年四川高考文科卷)不等式22<-x x 的解集为( ) A.)2,1(- B.)1,1(- C.)1,2(- D.)2,2(- 解: 因为 22<-x x ,

所以 222<-<-x x . 即 ?????<-->+-0 20222x x x x , 解得: ? ??<<-∈21x R x , 所以 )2,1(-∈x ,故选A. 类型二:形如)0()(>><><<)()0()( 或a x f b -<<-)( 需要提醒一点的是,该类型的不等式容易错解为: b x f a a b b x f a <><<)()0()( 例2 (2004年高考全国卷)不等式311<+

含参数不等式及绝对值不等式的解法

含参数不等式及绝对值不等式的解法 例1解关于x 的不等式:2(1)0x x a a ---> 0)(3 22<++-a x a a x 01)1(2<++-x a ax 02)12(2>++-x a ax 22+≥+ a x ax 11 +>-a x x 11<-x ax ()()02 21>----x a x a 0)2(≥--x x a x 01 2≥--x ax x a x x <- 0)2)(1(1≥----x x k kx 例2: 关于x 的不等式01)1(2 <-+-+a x a ax 对于R x ∈恒成立,求a 的取值范围。

例3:若不等式210x ax ≥++对于一切1(0,)2 x ∈成立,则a 的取值范围. 例4:若对于任意a (]1,1-∈,函数()()a x a x x f 2442-+-+=的值恒大于0,求x 的 取值范围。 例5:已知19≤≤-a ,关于x 的不等式: 0452 <+-x ax 恒成立,求x 的范围。 例 6: 对于∈x (0,3)上的一切实数x,不等式()122-<-x m x 恒成立,求实数m 的 取值范围。 例7:2212<--+x x 1332+<-x x 321+<+x x x x 332≥- 例8、 若不等式a x x >-+-34,对一切实数x 恒成立,求a 的取值范围 若不等式a x x >---34,对一切实数x 恒成立,求a 的取值范围 若不等式a x x <---34有解,求a 的取值范围 若不等式a x x <---34的解集为空集,求a 的取值范围 若不等式a x x <---34解集为R ,求a 的取值范围

解含有两个绝对值单位不等式

教学设计与反思 课题 科目 数学 学校年级班级 楚雄一中高二年级9、10班 授课教师 谢祖伟 指导教师 石廷泽 课时 1课时 一、教学内容分析 《绝对值不等式》是高中数学新课改教材选修4-5第一讲第 二 节第二个小问题(第一个小问题是绝对值三角不等式)。在此之前,学生已学习了 一元一次不等式,一元二次不等式,高次不等式,分式不等式以及绝对值函数图象的画法 ,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。本节内容在高考中也占有很大分值,尤其是选做题第三题很多时候都以绝对值不等式的形式来考察学生,因此这部分知识相当重要,学生务必掌握清楚。 不等式在高中数学中不是孤立存在的,在函数、数列、解析几何、平面向量……,几乎所有的章节都有不等式的知识,可以说不等式贯穿了整个高中数学,由此可见不等式的重要性。而含有绝对值符号的不等式的问题又是不等式问题的一个难点,而含有两个绝对值得不等式的问题更是一个重点,我们必须要重视它的地位。 解含有绝对值符号的不等式的问题的基础,解题的基本思想就是去掉绝对值符号,使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式,而后,其解法就与一般不等式相同。因此,掌握用分类讨论的思想去掉绝对值符号是解含有两个绝对值的不等式的关键。这节课我们在学习了c b ax ≤+和c b ax ≥+型不等式的解法的基础上学习c b x a x ≥-+-和c b x x ≤-+-1型不等式的解法。 二、教学目标 三、学习者特征分析 鉴于我的学生存在以下几点问题:不容易找出c b x a x =-+-时的x 的值,分类讨论有些人有点模糊,在分类讨论思想的运用上还不是很娴熟,所以如何让学生把分类讨论的思想顺其自然的运用到本节课当中很重要。 四、教学策略选择与设计 以问题驱动教学,在这种教学方法下,促使学生在学法上也产生改变,他们必须掌握学习的主动, 学会体验、实践、参与、合作与交流的学习方式。这种学法,更有利于学生形成积极的情感态度,主动思维和大胆实践,提高数学思想和形成自主学习能力的过程。 五、教学重点及难点

含绝对值的不等式解法·典型例题

含绝对值的不等式解法·典型例题 能力素质 例1 不等式|8-3x|>0的解集是 [ ] A B R C {x|x } D {83 }...≠.? 83 分析∵->,∴-≠,即≠. |83x|083x 0x 83 答 选C . 例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是 [ ] A .3 B .2 C .-2 D .-5 分析 列出不等式. 解 根据题意得2<|x|≤5. 从而-5≤x <-2或2<x ≤5,其中最小整数为-5, 答 选D . 例3 不等式4<|1-3x|≤7的解集为________. 分析 利用所学知识对不等式实施同解变形. 解 原不等式可化为4<|3x -1|≤7,即4<3x -1≤7或-7 ≤-<-解之得<≤或-≤<-,即所求不等式解集为-≤<-或<≤.3x 14x 2x 1{x|2x 1x }53835383 例4 已知集合A ={x|2<|6-2x|<5,x ∈N},求A . 分析 转化为解绝对值不等式. 解 ∵2<|6-2x|<5可化为 2<|2x -6|<5 即-<-<,->或-<-, 52x 652x 622x 62??? 即<<,>或<,12x 112x 82x 4???

解之得<<或<<.4x x 211212 因为x ∈N ,所以A ={0,1,5}. 说明:注意元素的限制条件. 例5 实数a ,b 满足ab <0,那么 [ ] A .|a -b|<|a|+|b| B .|a +b|>|a -b| C .|a +b|<|a -b| D .|a -b|<||a|+|b|| 分析 根据符号法则及绝对值的意义. 解 ∵a 、b 异号, ∴ |a +b|<|a -b|. 答 选C . 例6 设不等式|x -a|<b 的解集为{x|-1<x <2},则a ,b 的值为 [ ] A .a =1,b =3 B .a =-1,b =3 C .a =-1,b =-3 D a b .=,=1232 分析 解不等式后比较区间的端点. 解 由题意知,b >0,原不等式的解集为{x|a -b <x <a +b},由于解集又为{x|-1<x <2}所以比较可得. a b 1a b 2 a b -=-+=,解之得=,=.???1232 答 选D . 说明:本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组. 例7 解关于x 的不等式|2x -1|<2m -1(m ∈R) 分析 分类讨论. 解若-≤即≤,则-<-恒不成立,此时原不等 2m 10m |2x 1|2m 112 式的解集为;? 若->即>,则--<-<-,所以-<2m 10m (2m 1)2x 12m 11m 12 x <m .

含绝对值的不等式知识点

含绝对值的不等式 x(x 0) x . x(x 0) 2.| x |v a(a>0)的解集是{x |—a v x v a}. | x |> a( a>0)的解集是{x | x v—a 或x > a}. 【思考导学】 1. I ax+ b| v b(b> 0)转化成一b v ax+ b v b的根据是什么 答:含绝对值的不等式| ax+ b| v b转化一b v ax+ b v b的根据是由绝对值的意义确定. 2. 解含有绝对值符号的不等式的基本思想是什么 答:解含有绝对值符号的不等式的基本思想是去掉绝对值符号,使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式,而后,其解法就与解一般不等式或不等式组相同. 【典例剖析】 [例1]解不等式2v| 2x — 5 | w 7. I2x 5I 2 解法一:原不等式等价于I I |2x 5| 7 2x 5|2 或2x 5 7 2x 5| 7 3 7 原不等式的解集为{x |- K x v 或—v x w 6} 2 2 解法二:原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集 (I)2x 2 5 2x 57 (n)2x50 252x7 不等式组(I )的解集为{x | - v x W 6} 2 不等式组(n)的解集是{x |- i w x v - } 2 3 7 ?原不等式的解集是{x |- 1W x v —或—v x w 6} 2 2 解法三:原不等式的解集是下面两个不等式解集的并集. (I )2 v 2x —5W 7 (n )2 v 5—2x w 7 不等式(I )的解集为{x | - v x w 6} 2 3 不等式(n )的解集是{x |—i w x v 2 3 7 ?原不等式的解集是{x |— 1 w x v 或—v x w 6}. 2 2 点评:含绝对值的双向不等式的解法,关键是去绝对值号.其方法一是转 化为单向不等式组如解法一,再就是利用绝对值的定义如解法二、解法三. [例2]解关于x的不等式: (1) | 2x + 3 | —i v a(a€ R); 1绝对值的意义是:

含绝对值不等式的解法(含答案)

含绝对值的不等式的解法 一、 基本解法与思想 解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化,即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解,常用的方法有公式法、定义法、平方法。 (一)、公式法:即利用a x >与a x <的解集求解。 主要知识: 1、绝对值的几何意义:x 是指数轴上点x 到原点的距离;21x x -是指数轴上1x ,2x 两点间的距离.。 2、a x >与a x <型的不等式的解法。 当0>a 时,不等式>x 的解集是{} a x a x x -<>或, 不等式a x <的解集是} a x a x <<-; 当0的解集是{}R x x ∈ 不等式a x <的解集是?; 3.c b ax >+与 c b ax <+型的不等式的解法。 把 b ax + 看作一个整体时,可化为a x <与a x >型的不等式来求解。 当0>c 时,不等式c b ax >+的解集是{ } c b ax c b ax x -<+>+或, 不等式c b ax <+的解集是{}c b ax c x <+<-; 当0+的解集是{}R x x ∈ 不等式c bx a <+的解集是?; 例1 解不等式32<-x 分析:这类题可直接利用上面的公式求解,这种解法还运用了整体思想,如把“2-x ” 看着一个整体。答案为{} 51<<-x x 。(解略) (二)、定义法:即利用(0),0(0),(0).a a a a a a >??==??-++。 分析:由绝对值的意义知,a a =?a ≥0,a a =-?a ≤0。 解:原不等式等价于 2 x x +<0?x(x+2)<0?-2<x <0。

解绝对值不等式的解法

解绝对值不等式题型探讨 题型一 解不等式2|55|1x x -+<. [题型1]解不等式2|55|1x x -+<. [思路]利用|f(x)|0) -a-??求解。 [解题]原不等式等价于21551x x -<-+<, 即22551(1)551 (2)x x x x ?-+-?? 由(1)得:14x <<;由(2)得:2x <或3x >, 所以,原不等式的解集为{|12x x <<或34}x <<. [收获]1)一元一次不等式、一元二次不等式的解法是我们解不等式的基础,无论是解高次不等式、绝对值不等式还是解无理根式不等式,最终是通过代数变形后,转化为一元一次不等式、一元二次不等式组来求解。 2)本题也可用数形结合法来求解。在同一坐标系中画出函数2551y x x y =-+=与的 [变题1]解下列不等式:(1)|x +1|>2-x ;(2)|2x -2x -6|<3x [思路]利用|f(x)|g(x) f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。 解:(1)原不等式等价于x +1>2-x 或x +1<-(2-x ) 解得x >12或无解,所以原不等式的解集是{x |x >1 2 } (2)原不等式等价于-3x <2x -2x -6<3x 即22 2226360(3)(2)032(1)(6)0 16263560x x x x x x x x x x x x x x x x x ??-->-+->+-><->???????????+-<-<<--<--()g x 型不等式 这类不等式的简捷解法是等价命题法,即: ①|()f x |<()g x ?-()g x <()f x <()g x ②|()f x |>()g x ?()f x >()g x 或()f x <-()g x [请你试试4—1] ???

含绝对值的不等式-公开课教案

含绝对值的不等式 教学目标 1.认知目标 (1)掌握|x|a(a>0)型的绝对值不等式的解法; (2)理解掌握绝对值的意义和利用数轴表示含绝对值的不等式的解集 2.能力目标 (1)通过用数轴来表示含绝对值不等式的解集,培养学生数形结合的能力; (2)通过将含绝对值的不等式同解变形为不含绝对值的不等式,培养学生化归的思想和转化的能力; (3)采用分析与综合的方法,培养学生逻辑思维能力; (4)通过学生练习和老师点拨,培养学生的运算能力 3.情感目标 培养学生的学习兴趣和端正的学习态度,让学生理解学习数学的重要性 4.德育教育 我们为什么而读书 教学重点:|x|a(a>0)型的不等式的解法; 教学难点:利用绝对值的意义分析、解决问题.

教学过程设计 教师活动学生活动设计意图 一、导入新课 【提问】正数的绝对值什么?负数的绝对值是什么?零的绝对值是什么?举例说明? 口答 a (a>0) |a|= 0 (a=0) -a (a<0) 绝对值的概念是解|x|>a与 |x|0)型绝对值不等 式的基础,为解这种类型的 绝对值不等式做好铺垫. 二、新课 【导入】2的绝对值等于几?-2的绝对值等于几?绝对值等于2的数有哪些?在数轴上表示出来. 【讲述】求绝对值等于2的数可以用方程|x|=2来表示,这样的方程叫做绝对值方程.显然,它有两个解一个是2,另一个是-2. 【绝对值的意义】在数轴上,表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数的绝对值. 【提问】如何解绝对值方程. 【设问】 1 解绝对值不等式|x|<2,并用数轴表示它的解集。 2 解绝对值不等式|x|>2,并用数轴表示它的解集。 【讲述】根据绝对值的意义,由右面的数轴可以看出,不等式|x|<2的解集就是表示数轴上到原点的距离小于2的点的集合;不等式|x|>2的解集就是表示数轴上到原点的距离大于2的点的集合。【巩固旧知识】 1.数轴的含义和几何意义 学生口答 归纳:数轴是一条规定了 原点、方向和单位长度的直 线。原点、方向和单位长度称 为数轴的三要素。 【笔答并点拨】 注意观察数轴上所表示的 集合,理解和区分两种情况 根据绝对值的意义自然引出 绝对值方程|x|=a(a>0)的 解法. 由浅入深,循序渐进,在 |x|=a(a>0)型绝对值方程 的基础上引出|x|0)型 绝对值方程的解法. 针对解|x|>a(a>0)绝对值不 等式学生常出现的情况,运 用数轴质疑、解惑. 落实会正确解出|x|0) 与|x|>a(a>0)绝对值不等式 的教学目标.

含绝对值的不等式解法练习题及答案

例1 不等式|8-3x|>0的解集是 [ ] A B R C {x|x } D {83 } ...≠.?8 3 分析∵->,∴-≠,即≠. |83x|083x 0x 8 3 答 选C . 例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是 [ ] A .3 B .2 C .-2 D .-5 \ 分析 列出不等式. 解 根据题意得2<|x|≤5. 从而-5≤x <-2或2<x ≤5,其中最小整数为-5, 答 选D . 例3 不等式4<|1-3x|≤7的解集为________. 分析 利用所学知识对不等式实施同解变形. 解 原不等式可化为4<|3x -1|≤7,即4<3x -1≤7或-7 ≤-<-解之得<≤或-≤<-,即所求不等式解集为 -≤<-或<≤. 3x 14x 2x 1{x|2x 1x }538 3 538 3 例4 已知集合A ={x|2<|6-2x|<5,x ∈N},求A . 分析 转化为解绝对值不等式. ' 解 ∵2<|6-2x|<5可化为 2<|2x -6|<5 即-<-<,->或-<-,52x 652x 622x 62??? 即<<,>或<,12x 112x 82x 4??? 解之得<< 或<<.4x x 21121 2 因为x ∈N ,所以A ={0,1,5}. 说明:注意元素的限制条件.

例5 实数a ,b 满足ab <0,那么 [ ] A .|a -b|<|a|+|b| · B .|a +b|>|a -b| C .|a +b|<|a -b| D .|a -b|<||a|+|b|| 分析 根据符号法则及绝对值的意义. 解 ∵a 、b 异号, ∴ |a +b|<|a -b|. 答 选C . 例6 设不等式|x -a|<b 的解集为{x|-1<x <2},则a ,b 的值为 [ ] A .a =1,b =3 : B .a =-1,b =3 C .a =-1,b =-3 D a b .=,=123 2 分析 解不等式后比较区间的端点. 解 由题意知,b >0,原不等式的解集为{x|a -b <x <a +b},由于解集又为{x|-1<x <2}所以比较可得. a b 1a b 2a b -=-+=,解之得=,=.?? ? 123 2 答 选D . 说明:本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组. 例7 解关于x 的不等式|2x -1|<2m -1(m ∈R) 分析 分类讨论. 、 解若-≤即≤,则-<-恒不成立,此时原不等 2m 10m |2x 1|2m 11 2 式的解集为;? 若->即>,则--<-<-,所以-<2m 10m (2m 1)2x 12m 11m 1 2 x <m . 综上所述得:当≤时原不等式解集为; 当>时,原不等式的解集为 m m 1 2 1 2 ? {x|1-m <x <m}. 说明:分类讨论时要预先确定分类的标准.

含绝对值不等式的解法(含答案)

含绝对值的不等式的解法 一、 基本解法与思想 解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化,即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解,常用的方法有公式法、定义法、平方法。 (一)、公式法:即利用a x >与a x <的解集求解。 主要知识: 1、绝对值的几何意义:x 是指数轴上点x 到原点的距离;21x x -是指数轴上1x ,2 x 两点间的距离.。 2、a x >与a x <型的不等式的解法。 当0>a 时,不等式>x 的解集是{} a x a x x -<>或, 不等式a x <的解集是{} a x a x <<-; 当0的解集是{} R x x ∈ 不等式a x <的解集是?; 3.c b ax >+与c b ax <+型的不等式的解法。 把 b ax + 看作一个整体时,可化为a x <与a x >型的不等式来求解。 当0>c 时,不等式c b ax >+的解集是{} c b ax c b ax x -<+>+或, 不等式c b ax <+的解集是{} c b ax c x <+<-; 当0+的解集是{} R x x ∈ 不等式c bx a <+的解集是?; 例1 解不等式32<-x 分析:这类题可直接利用上面的公式求解,这种解法还运用了整体思想,如把“2-x ” 看着一个整体。答案为{} 51<<-x x 。(解略)

(二)、定义法:即利用(0),0(0),(0).a a a a a a >?? ==??-++。 分析:由绝对值的意义知,a a =?a ≥0,a a =-?a ≤0。 解:原不等式等价于2 x x +<0?x(x+2)<0?-2<x <0。 (三)、平方法:解()()f x g x >型不等式。 例3、解不等式123x x ->-。 解:原不等式?22(1)(23)x x ->-?22(23)(1)0x x ---< ?(2x-3+x-1)(2x-3-x+1)<0?(3x-4)(x-2)<0 ? 4 23 x <<。 说明:求解中以平方后移项再用平方差公式分解因式为宜。 二、分类讨论法:即通过合理分类去绝对值后再求解。 例4 解不等式125x x -++<。 分析:由01=-x ,02=+x ,得1=x 和2=x 。2-和1把实数集合分成三个区间,即2-x ,按这三个区间可去绝对值,故可按这三个区间讨论。 解:当x <-2时,得2 (1)(2)5x x x <-??---+x 时,得1, (1)(2) 5.x x x >??-++

解绝对值不等式的方法总结

解绝对值不等式题根探讨 题根四 解不等式2|55|1x x -+<. [题根4]解不等式2 |55|1x x -+<. [思路]利用|f(x)|0) ?-a-??求解。 [解题]原不等式等价于21551x x -<-+<, 即2 2 551(1)551 (2) x x x x ?-+-?? 由(1)得:14x <<;由(2)得:2x <或3x >,所以,原不等式的解集为{|12x x <<或34}x <<. [收获]1)一元一次不等式、一元二次不等式的解法是我们解不等式的基础,无论是解高次不等式、绝对值不等式还是解无理根式不等式,最终是通过代数变形后,转化为一元一次不等式、一元二次不等式组来求解。 2)本题也可用数形结合法来求解。在同一坐标系中画出函数2551y x x y =-+=与的的图象,解方程 2551x x -+=,再对照图形写出此不等式的解集。 第1变 右边的常数变代数式 [变题1]解下列不等式:(1)|x +1|>2-x ;(2)|2x -2x -6|<3x [思路]利用|f(x)|g(x) ?f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。 解:(1)原不等式等价于x +1>2-x 或x +1<-(2-x ) 解得x > 12或无解,所以原不等式的解集是{x |x >12 } (2)原不等式等价于-3x <2x -2x -6<3x 即22 2 226360(3)(2)032(1)(6)016263560x x x x x x x x x x x x x x x x x ??-->-+->+-><->???????????+-<-<<--<--()g x 型不等式 这类不等式的简捷解法是等价命题法,即: ①|()f x |<()g x ?-()g x <()f x <()g x ②|()f x |>()g x ?()f x >()g x 或()f x <-()g x

含两个绝对值的不等式

含绝对值不等式的解法 (3) 学习目标:1. 掌握绝对值不等式的几种解法;并解决绝对值不等式的求解问题 2. 理解含绝对值不等式的三种解法思想:去掉绝对值符号,等 价转化,数形结合。 一课前准备,复习: 根据公式:|x|0)?; |f(x)|a(a>0)?; |f(x)|>g(x)?. (1)|ax+b|≤c(c>0)?_____________________________________ (2)|ax+b|≥c(c>0)?_____________________________________ 变式一:d<|ax+b|<c( 0<d<c)? 二.新课导学:含两个绝对值的不等式解法 1.|x-a|<|x-b|和|x-a|>|x-b|型不等式的解法 对于这种类型不等式的解决办法是去掉绝对值. ①|x-a|<|x-b|?; ②|x-a|>|x-b|? . 再将这个式子整理,便可化为一般的不等式求解. 试试:解不等式(1) |2||1| -<+; x x 2.|x-a|+|x-b|≤c和|x-a|+|x-b|≥c型不等式的解法 例解不等式:|x+3|+|x- 3|>8 解法一:零点分段法: 具体做法:(1) (2) (3); 解 i)当x≤-3时,原不等式可化为,即x<-4,此时,不等式的解为

x<-4. ii )当 时,原不等式可化为x+3+3-x>8,6>8矛盾,此时不等式无解。 iii )当x ≥3时,原不等式可化为 ,即x>4.此时不等式的解为x>4. 综上所述,原不等式的解集为(-∞,-4)∪(4,+∞). 解法二:利用绝对值的几何意义,借助 求解。 解 如下图,设数轴上与-3,3对应的点分别为A ,B ,那么A ,B 两点之间的距离为 ,因此区间[-3,3]上的数 不等式的解.设在A 点左侧存在一点A1,使得A1到A ,B 的距离之和为8,即|A1A|+|A1B|=8,设点A1对应的数为x ,则有 ,∴x = . 同理,设点B 的右侧存在一点B1,使|B1B|+|B1A|=8,设点B1对应的数为x ,则有 ,∴x = . 从数轴上可以看到,A1与B1之间的点到A 、B 的距离之和都 ,而点A1的左侧或点B1的右侧的任何点到A ,B 的距离之和都 8. 所以不等式的解集为(-∞,-4)∪(4,+∞). 解法三:通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.正确求出函数的________并画出函数图象(有时需要考查函数的增减性)是关键. 解 原不等式可转化为 >0, 构造函数y = ,即y =??? -2x -8 x ≤-3 ,-2 -3

专题一、含绝对值不等式的解法(含答案)

第三讲 含绝对值不等式与一元二次不等式 一、知识点回顾 1、绝对值的意义:(其几何意义是数轴的点A (a )离开原点的距离a OA =) ()()()?? ? ??<-=>=0,0,00,a a a a a a 2、含有绝对值不等式的解法:(解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号) (1)定义法; (2)零点分段法:通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式; (3)平方法:通常适用于两端均为非负实数时(比如()()x g x f <); (4)图象法或数形结合法; (5)不等式同解变形原理:即 ()a x a a a x <<-?><0 ()a x a x a a x -<>?>>或0 ()c b ax c c c b ax <+<-?><+0 ()c b ax c b ax c c b ax -<+>+?>>+或0 ()()()()()x g x f x g x g x f <<-?< ()()()()()()x g x f x g x f x g x f <>?>或 ()()()()a x f b b x f a a b b x f a -<<-<><<或0 3、不等式的解集都要用集合形式表示,不要使用不等式的形式。 4、二次函数、一元二次方程、一元两次不等式的联系。(见P8) 5、利用二次函数图象的直观性来研究一元二次方程根的性质和一元二次不等式解集及变化,以及含字母的有关问题的讨论,渗透数形结合思想。 6、解一元二次不等式的步骤: (1)将不等式化为标准形式()002≥>++c bx ax 或()002≤<++c bx ax (2)解方程02=++c bx ax (3)据二次函数c bx ax y ++=2的图象写出二次不等式的解集。 一、 基本解法与思想 解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化,即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解,常用的方法有公式法、定义法、平方法。 (一)、公式法:即利用a x >与a x <的解集求解。 主要知识: 1、绝对值的几何意义:x 是指数轴上点x 到原点的距离;21x x -是指数轴上1x ,2x 两点间的距离.。 2、a x >与a x <型的不等式的解法。 当0>a 时,不等式>x 的解集是{} a x a x x -<>或, 不等式a x <的解集是} a x a x <<-; 当0的解集是{}R x x ∈ 不等式a x <的解集是?; 3.c b ax >+与c b ax <+型的不等式的解法。

含绝对值的不等式解法练习题及答案

学习好资料欢迎下载 例 1不等式|8-3x|>0的解集是 [] A. B . R C. {x|x ≠88 }D.{ } 33 8 分析∵ |8-3x|>0,∴ 8-3x≠ 0,即x≠. 答选 C. 例 2绝对值大于 2 且不大于 5 的最小整数是 [] A . 3 B. 2 C.- 2 D.- 5 分析列出不等式. 解根据题意得2<|x|≤ 5. 从而- 5≤x<- 2 或 2< x≤ 5,其中最小整数为-5, 答选 D. 例 3 不等式4<|1-3x|≤7的解集为________. 分析利用所学知识对不等式实施同解变形. 解原不等式可化为4< |3x- 1|≤ 7,即 4<3x- 1≤7 或- 7 ≤ 3x- 1<- 4解之得5 < x≤ 8 或- 2≤ x<- 1,即所求不等式解集为33 58 . {x| - 2≤ x<- 1或< x≤} 33 例 4已知集合 A = {x|2 < |6- 2x|< 5,x∈ N} ,求 A .分析转化为解绝对值不等式. 解∵ 2<|6- 2x|< 5 可化为 2< |2x- 6|<5 -5< 2x- 6< 5, 即 2x - 6> 2或 2x - 6<- 2, 1< 2x <11, 即 2x > 8或 2x< 4, 解之得 4< x<11 或 1 < x< 2.22 因为 x∈ N,所以 A = {0 ,1, 5} . 说明:注意元素的限制条件. 例 5实数a,b满足ab<0,那么 []

A . |a-b|< |a|+ |b| B. |a+ b|> |a- b| C. |a+ b|< |a- b| D. |a-b|< ||a|+ |b|| 分析根据符号法则及绝对值的意义. 解∵ a、b 异号, ∴|a+ b|< |a-b|. 答选C. 例 6 设不等式|x-a|<b的解集为{x|-1<x<2},则a,b的值为 [] A . a=1, b= 3 B. a=- 1, b= 3 C. a=- 1, b=- 3 1 3 D . a=2, b=2 分析解不等式后比较区间的端点. 解由题意知, b> 0,原不等式的解集为{x|a - b< x< a+ b} ,由于解集又为{x| - 1<x< 2} 所以比较可得. a- b=- 11 , b=3. ,解之得 a= a+ b= 222 答选 D. 说明:本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组.例 7 解关于x的不等式|2x-1|<2m-1(m∈R) 分析分类讨论. 解若 2m- 1≤ 0即m≤1 ,则 |2x- 1|< 2m- 1恒不成立,此时原不等 2式的解集为; 若 2m- 1> 0即 m>1 ,则- (2m- 1) < 2x- 1< 2m- 1,所以 1- m< 2 x< m. 综上所述得:当m≤1 时原不等式解集为;2 当 m>1 时,原不等式的解集为2 {x|1 - m< x<m} . 说明:分类讨论时要预先确定分类的标准. 例 8 解不等式3-|x| ≥ 1 .|x|+ 2 2 分析一般地说,可以移项后变形求解,但注意到分母是正数,所以能直接去分母.

《含绝对值不等式的解法》导学案

《含绝对值不等式的解法》导学案 学习目标: 1.掌握一些简单的含绝对值的不等式的解法; 2.理解含绝对值不等式的解法思想:去掉绝对值符号,等价转化 学习重点:简单的含绝对值不等式的解法 学习难点:含参数的绝对值不等式的解法 一、课前准备(请在上课之前自主完成): 1.绝对值的定义:||a ??=??? 2. 绝对值的几何意义: (1)实数a 的绝对值||a ,表示数轴上坐标为a 的点A 到_____的距离. (2)任意的两个实数,a b ,它们在数轴上对应的点分别为,A B , 那么 || a b -的几何意义是 . 3.绝对值三角不等式: ①0a b ?>时, 如下图, 易得:||||||a b a b ++. ②0a b ?<时, 如下图, 易得:||||||a b a b ++. ③0=ab 时,易得|| |||| a b a b ++ 定理1 如果,a b R ∈, 那么b a b a ++___,当且仅当 时, 等号成立. 定理2 如果,,a b c R ∈, 那么c b b a c a -+--___,当且仅当 时,等号成立. 二、学习过程 知识点1:含绝对值不等式的解法 1.设a 为正数, 根据绝对值的意义,不等式a x <的解集是 它的几何意义就是数轴上到 的点的集合是开区间 ,如图所示. 2.设a 为正数, 根据绝对值的意义,不等式a x >的解集是 它的几何意义就是数轴上 的点的集合是开区间 ,如图所示. 3.设a 为正数, 则 (1).()f x a ? ; (3).设0b a >>, 则()a f x b ≤-213 例2:解不等式7324≤-+x x 变式演练:|2||1|x x -<+ (2)利分段讨论法(即零点分段法) 例4 解不等式512≥-+-x x 变式演练:解不等式52312≥-++x x ;

含绝对值不等式的解法

学科:数学 教学内容:含绝对值不等式的解法 【自学导引】 1.绝对值的意义是:? ? ?<-≥=)0x (x ) 0x (x x . 2.|x |<a (a >0)的解集是{x |-a <x <a }. |x |>a (a >0)的解集是{x |x <-a 或x >a }. 【思考导学】 1.|ax +b |<b (b >0)转化成-b <ax +b <b 的根据是什么? 答:含绝对值的不等式|ax +b |<b 转化-b <ax +b <b 的根据是由绝对值的意义确定. 2.解含有绝对值符号的不等式的基本思想是什么? 答:解含有绝对值符号的不等式的基本思想是去掉绝对值符号,使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式,而后,其解法就与解一般不等式或不等式组相同. 【典例剖析】 [例1]解不等式2<|2x -5|≤7. 解法一:原不等式等价于???≤->-7|52|2 |52|x x ∴???≤-≤--<--7|5272522|52x x x 或即????? ≤≤-<>6 12327x x x 或 ∴原不等式的解集为{x |-1≤x < 23或2 7 <x ≤6} 解法二:原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集 (Ⅰ)???≤-<≥-7522052x x (Ⅱ)???≤-<<-7 252052x x

不等式组(Ⅰ)的解集为{x | 2 7 <x ≤6} 不等式组(Ⅱ)的解集是{x |-1≤x <23 } ∴原不等式的解集是{x |-1≤x <23或2 7 <x ≤6} 解法三:原不等式的解集是下面两个不等式解集的并集. (Ⅰ)2<2x -5≤7 (Ⅱ)2<5-2x ≤7 不等式(Ⅰ)的解集为{x | 2 7 <x ≤6} 不等式(Ⅱ)的解集是{x |-1≤x <23 } ∴原不等式的解集是{x |-1≤x <23或2 7 <x ≤6}. 点评:含绝对值的双向不等式的解法,关键是去绝对值号.其方法一是转 化为单向不等式组如解法一,再就是利用绝对值的定义如解法二、解法三. [例2]解关于x 的不等式: (1)|2x +3|-1<a (a ∈R ); (2)|2x +1|>x +1. 解:(1)原不等式可化为|2x +3|<a +1 当a +1>0,即a >-1时,由原不等式得-(a +1)<2x +3<a +1 - 24+a <x <2 2 -a 当a +1≤0,即a ≤-1时,原不等式的解集为?, 综上,当a >-1时,原不等式的解集是{x |-24+a <x < 2 2 -a } 当a ≤-1时,原不等式的解集是?. (2)原不等式可化为下面两个不等式组来解 (Ⅰ)???+>+≥+112012x x x 或(Ⅱ)? ??+>+-<+1)12(012x x x 不等式组(Ⅰ)的解为x >0 不等式组(Ⅱ)的解为x <- 3 2 ∴原不等式的解集为{x |x <- 3 2 或x >0} 点评:由于无论x 取何值,关于x 的代数式的绝对值均大于或等于0,即不可能小于0,故|f (x )|<a (a ≤0)的解集为?. 解不等式分情况讨论时,一定要注意是对参数分类还是对变量分类,对参数分类的解集一般不合并,如(1)对变量分类,解集必须合并如(2). [例3]解不等式|x -|2x +1||>1. 解:∵由|x -|2x +1||>1等价于(x -|2x +1|)>1或x -|2x +1|<-1 (1)由x -|2x +1|>1得|2x +1|<x -1

绝对值不等式答案

1.绝对值的意义是:? ??<-≥=)0x (x )0x (x x . 2.|x |<a (a >0)的解集是{x |-a <x <a }. |x |>a (a >0)的解集是{x |x <-a 或x >a }. 【思考导学】 1.|ax +b |<b (b >0)转化成-b <ax +b <b 的根据是什么? 答:含绝对值的不等式|ax +b |<b 转化-b <ax +b <b 的根据是由绝对值的意义确定. 2.解含有绝对值符号的不等式的基本思想是什么? 答:解含有绝对值符号的不等式的基本思想是去掉绝对值符号,使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式,而后,其解法就与解一般不等式或不等式组相同. 【典例剖析】 [例1]解不等式2<|2x -5|≤7. 解法一:原不等式等价于? ??≤->-7|52|2|52|x x ∴???≤-≤--<--7|5272522|52x x x 或即?????≤≤-<>6 12327x x x 或 ∴原不等式的解集为{x |-1≤x <23或2 7<x ≤6} 解法二:原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集 (Ⅰ)? ??≤-<≥-7522052x x (Ⅱ)? ??≤-<<-7252052x x 不等式组(Ⅰ)的解集为{x | 2 7<x ≤6} 不等式组(Ⅱ)的解集是{x |-1≤x <2 3} ∴原不等式的解集是{x |-1≤x <23或27<x ≤6} 解法三:原不等式的解集是下面两个不等式解集的并集. (Ⅰ)2<2x -5≤7 (Ⅱ)2<5-2x ≤7 不等式(Ⅰ)的解集为{x | 2 7<x ≤6} 不等式(Ⅱ)的解集是{x |-1≤x <23}

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