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考研线性代数公式

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１、行列式

1. n 行列式共有2n 个元素,展开后有!n 项，可分解为2n 行列式；

2. 代数余子式的性质:

①、ij A 和ij a 的大小无关；

②、某行（列)的元素乘以其它行(列）元素的代数余子式为0； ③、某行(列)的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=-

4. 设n 行列式D :

将D 上、下翻转或左右翻转,所得行列式为1D ,则(1)2

1(1)

n n D D -=-；

将D 顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D ，则(1)2

2(1)n n D D -=-;

将D 主对角线翻转后(转置）,所得行列式为3D ，则3D D =; 将D 主副角线翻转后,所得行列式为4D ,则4D D =； 5. 行列式的重要公式：

①、主对角行列式：主对角元素的乘积;

②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2

(1)

n n -? -;

③、上、下三角行列式（ = ◥◣）:主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2

(1)n n -? -;

⑤、拉普拉斯展开式:

A O A C A

B C

B O B

==、

(1)m n C

A O

A A

B B O

B C

==-

⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积; ⑦、特征值；

6. 对于n 阶行列式A ,恒有：1(1)n

k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑,其中k S 为k 阶主子式;

7. 证明0A =的方法:

①、A A =-; ②、反证法；

③、构造齐次方程组0Ax =,证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明０是其特征值；

2、矩阵

A 是n 阶可逆矩阵:

?0A ≠(是非奇异矩阵)； ?()r A n =（是满秩矩阵) ?A 的行（列)向量组线性无关; ?齐次方程组0Ax =有非零解;

?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解; ?A 与E 等价;

?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积；

?A 的特征值全不为０； ?T A A 是正定矩阵;

?A 的行（列)向量组是n R 的一组基; ?A 是n R 中某两组基的过渡矩阵；

2. 对于n 阶矩阵A :**AA A A A E == 无条件恒成立;

1**111**()()()()()()T T T T A A A A A A ----=== ***

111()()()T T T

AB B A AB B A AB B A ---===

4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值,可求代数和；

5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆：

若12

s A A A A ?? ?

?= ? ??

,则： Ⅰ、12

s A A A A =;

Ⅱ、1111

1s A A A A ----?? ?

?= ? ? ??

； ②、1

11A O A O O B O B ---??

? ?????

；（主对角分块） ③、1

O A O B B O A O ---??

??= ? ?????

；(副对角分块) ④、11111A C A A CB O B O

B -----??

-??=

? ?????

;（拉普拉斯) ⑤、1111

1A O A O C B B CA B -----??

??= ? ?-????

;(拉普拉斯) 3、矩阵的初等变换与线性方程组

1. 一个m n ?矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯一确定的：

m n

E O

F O

O ???= ???; 等价类:所有与A 等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵；

对于同型矩阵A 、B ,若()()r A r B A B = ? ； 2. 行最简形矩阵:

①、只能通过初等行变换获得； ②、每行首个非0元素必须为1；

③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为０；

3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似,或转置后采用初等行变换） ①、若(,)(,)r

A E E X ，则A 可逆,且1X A -=;

②、对矩阵(,)A B 做初等行变化，当A 变为E 时,B 就变成1A B -,即：1(,)(,)c

A B E A B - ~ ; ③、求解线形方程组：对于n 个未知数n 个方程Ax b =，如果(,)(,)r

A b E x ,则A 可逆，且1x A b -=；

4. 初等矩阵和对角矩阵的概念:

①、初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;

②、12

n ??

?Λ= ? ??

λλλ，左乘矩阵A ，i λ乘A 的各行元素；右乘,i

λ乘A 的各列元素;

③、对调两行或两列,符号(,)E i j ，且1(,)(,)E i j E i j -=，例如:1

111111-???? ? ?

= ? ? ? ?????

；

④、倍乘某行或某列,符号(())E i k ,且11

(())(())E i k E i k

-=，例

如:11

11(0)11k k k -????

?=≠ ? ? ? ???

; ⑤、倍加某行或某列，符号(())E ij k ,且1(())(())E ij k E ij k -=-,如：

11(0)11k k k --???? ? ?

=≠ ? ? ? ?????

； 5. 矩阵秩的基本性质:

①、0()min(,)m n r A m n ?≤≤；

②、()()T r A r A =; ③、若A

B ，则()()r A r B =;

④、若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+；(※) ⑥、()()()r A B r A r B +≤+；(※) ⑦、()min((),())r AB r A r B ≤;（※)

⑧、如果A 是m n ?矩阵，B 是n s ?矩阵，且0AB =,则：（※） ?Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解（转置运算后的结论）；

Ⅱ、()()r A r B n +≤

⑨、若A 、B 均为n 阶方阵，则()()()r AB r A r B n ≥+-;

6. 三种特殊矩阵的方幂:

①、秩为１的矩阵：一定可以分解为列矩阵(向量）?行矩阵(向量)的形式,再采用结合律;

②、型如101001a c b ??

? ???

的矩阵：利用二项展开式;

二项

展

开

式:0111

1110()n

n n n m n m m

n n n n m m n m

n n n n n n m a b C a C a b C a b C a b C b C a b

-----=+=++

++=∑；注:Ⅰ、()n a b +展开后有1n +项；

Ⅱ、0(1)(1)!

1123!()!

--+==

==-m n n n n n n n m n C C C m m n m

Ⅲ、组合的性质：11

2---+-===+==∑n

n m m

m m r n

r r n

n n n

n n r C C C

C C

rC nC ；

③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵:

①、伴随矩阵的秩：*()()1

()10()1

r A n r A r A n r A n = ??

==-??<-?

; ②、伴随矩阵的特征值:

*1*(,)A

AX X A A A A X X λλ

- == ? =

；

③、*1A A A -=、1

*n A A -=

8. 关于A 矩阵秩的描述：

①、()r A n =,A 中有n 阶子式不为0,1n +阶子式全部为0;(两句话）

②、()r A n <，A 中有n 阶子式全部为０； ③、()r A n ≥，A 中有n 阶子式不为0;

9. 线性方程组:Ax b =，其中A 为m n ?矩阵，则:

①、m 与方程的个数相同，即方程组Ax b =有m 个方程；

②、n 与方程组得未知数个数相同,方程组Ax b =为n 元方程; 10. 线性方程组Ax b =的求解：

①、对增广矩阵B 进行初等行变换(只能使用初等行变换);

②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解:自由变量赋初值后求得；

11. 由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程：

①、1111221121122222

1122n n n n m m nm n n

a x a x a x

b a x a x a x b a x a x a x b +++= ??+++= ????+++=?;

②、111211121

22212

n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax b a a a x b ?????? ??? ? ??? ?

=?= ??? ?

??? ???????

(向量方程，A 为m n ?矩阵，m 个方程，n 个未知数)

③、()1212

n n x x a a a x β?? ? ?= ? ???（全部按列分块,其中12n b b b β?? ? ?= ? ???

); ④、1122n n a x a x a x β+++=（线性表出)

⑤、有解的充要条件:()(,)r A r A n β=≤(n 为未知数的个数或维数）

4、向量组的线性相关性

m 个n 维列向量所组成的向量组A :12,,

,m ααα构成n m ?矩阵12(,,,)m A =ααα;

m 个n 维行向量所组成的向量组B :12,,

,T T

m βββ构成m n ?矩阵12T T T m B βββ??

? ?= ? ? ???

；

含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应;

2. ①、向量组的线性相关、无关0Ax ?=?有、无非零解；(齐次线性方程组） ②、向量的线性表出 ?Ax b ?=是否有解；（线性方程组） ③、向量组的相互线性表示AX B ?=?是否有解；(矩阵方程）

3. 矩阵m n A ?与l n B ?行向量组等价的充分必要条件是:齐次方程组0Ax =和0Bx =同

解;(101P 例1４) 4. ()()T r A A r A =;(101P 例1５) 5.

n 维向量线性相关的几何意义： ①、α线性相关 ??0α=;

②、,αβ线性相关 ?,αβ坐标成比例或共线(平行）；

③、,,αβγ线性相关,,αβγ??共面；

6. 线性相关与无关的两套定理:

若12,,,s ααα线性相关，则121,,,,s s αααα+必线性相关;

若12,,,s ααα线性无关,则121,,,s ααα-必线性无关；(向量的个数加加减减，二者为对

偶)

若r 维向量组A 的每个向量上添上n r -个分量,构成n 维向量组B ：

若A 线性无关，则B 也线性无关；反之若B 线性相关，则A 也线性相关；(向量组的维数加加减减）

简言之:无关组延长后仍无关,反之,不确定;

7. 向量组A (个数为r ）能由向量组B （个数为s )线性表示,且A 线性无关，则r s ≤（二

版74P 定理7);

向量组A 能由向量组B 线性表示，则()()r A r B ≤;(86P 定理3）

向量组A 能由向量组B 线性表示 AX B ?=有解;

?()(,)r A r A B ?=（85P 定理２)

?向量组A 能由向量组B 等价()()(,)r A r B r A B ? ==（85P 定理2推论) 8. 方阵A 可逆?存在有限个初等矩阵12,,,l P P P ,使12

l A P P P =;

①、矩阵行等价:~r

A B PA B ?=(左乘,P 可逆)0Ax ?=与0Bx =同解 ②、矩阵列等价:~c

A B AQ B ?=（右乘，Q 可逆)； ③、矩阵等价：~A B PAQ B ?=(P 、Q 可逆)；

9. 对于矩阵m n A ?与l n B ?:

①、若A 与B 行等价,则A 与B 的行秩相等; ②、若A 与B 行等价,则0Ax =与0Bx =同解,且A 与B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；

③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩; ④、矩阵A 的行秩等于列秩；

10. 若m s s n m n A B C ???=,则:

①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示,B 为系数矩阵；

②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示,T A 为系数矩阵；（转置)

11. 齐次方程组0Bx =的解一定是0ABx =的解,考试中可以直接作为定理使用，而无需证

明；

①、0ABx = 只有零解0Bx ? =只有零解；

②、0Bx =?有非零解0ABx ? =一定存在非零解；

12. 设向量组12:,,,n r r B b b b ?可由向量组12:,,,n s s A a a a ?线性表示为：（110P 题１9结论）

1212(,,

,)(,,

,)r s b b b a a a K =(B AK =)

?其中K 为s r ?，且A 线性无关，则B 组线性无关()r K r ?=；(B 与K 的列向量组具有相同

线性相关性）

(必要性：()()(),(),()r r B r AK r K r K r r K r ==≤≤∴=；充分性:反证法) ?注：当r s =时,K 为方阵,可当作定理使用； 13. ①、对矩阵m n A ?,存在n m Q ?，m AQ E =

()r A m ?=、Q 的列向量线性无关;(87P ）

②、对矩阵m n A ?,存在n m P ?，n PA E =?()r A n ?=、P 的行向量线性无关;

14. 12,,,s ααα线性相关

?存在一组不全为0的数12,,,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++=成立;(定义)

?1212(,,

,)0s s x x

x ααα?? ? ?= ? ???

有非零解,即0Ax =有非零解;

?12(,,,)s r s ααα<，系数矩阵的秩小于未知数的个数;

15. 设m n ?的矩阵A 的秩为r ,则n 元齐次线性方程组0Ax =的解集S 的秩为:()r S n r =-; 16. 若*η为Ax b =的一个解,12,,,n r ξξξ-为0Ax =的一个基础解系,则*12,,,,n r ηξξξ-线性

无关；（111P 题33结论)

5、相似矩阵和二次型

1. 正交矩阵T A A E ?=或1T A A -=（定义)，性质: ①、A 的列向量都是单位向量,且两两正交,即1(,1,2,

T i j i j a a i j n i j

=?==?

≠?；

②、若A 为正交矩阵，则1T A A -=也为正交阵,且1A =±； ③、若A 、B 正交阵,则AB 也是正交阵; 注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化; 2. 施密特正交化:12(,,,)r a a a

11b a =；

1222111[,]

[,]

b a b a b b b =-

?121121112211[,][,]

[,]

[,][,]

[,]

r r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b ----=-

---

；

3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关;

对于实对称阵,不同特征值对应的特征向量正交; 4. ①、A 与B 等价 ?A 经过初等变换得到B ；

?=PAQ B ，P 、Q 可逆; ()()?=r A r B ,A 、B 同型;

②、A 与B 合同 ?=T C AC B ,其中可逆; ? ?T x Ax 与T x Bx 有相同的正、负惯性指数； ③、A 与B 相似;1-?=P AP B ?

5. 相似一定合同、合同未必相似；

若C 为正交矩阵,则T C AC B =?A B ，(合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）； 6. A 为对称阵，则A 为二次型矩阵； 7. n 元二次型T x Ax 为正定: A ?的正惯性指数为n ；

A ?与E 合同，即存在可逆矩阵C ,使T C AC E =; A ?的所有特征值均为正数； ?A ?的各阶顺序主子式均大于0; 0,0ii a A ?>>;(必要条件）

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