十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题07 解三角形
十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学
专题07 解三角形
一、选择题
1.(2019·全国1·文T11)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知asin A-bsin B=4csin C,cos A=-14
,则b c
=( ) A.6 B.5 C.4 D.3
【答案】A
【解析】由已知及正弦定理,得a 2
-b 2
=4c 2
,
由余弦定理的推论,得-1
4
=cos A=b 2+c 2-a 22bc
,
∴c 2-4c 22bc =-14,∴-3c 2b =-14
,
∴b c =3
2
×4=6,故选A. 2.(2018·全国2·理T6文T7)在△ABC 中,cos C 2
=√55
,BC=1,AC=5,则AB=( )
A.4√2
B.√30
C.√29
D.2√5
【答案】A
【解析】∵cos C=2cos 2C
2
-1=-3
5
,∴AB 2=BC 2+AC 2
-2BC·ACcos C=1+25+2×1×5×35
=32.
∴AB=4√2.
3.(2018·全国3·理T 9文T 11)△ABC 的内角A,B,C 的对
边分别为a,b,c.若△ABC 的面积为a 2
+b 2-c 24
,则C=( )
A.π
2 B.π
3
C.π
4 D.π
6
【答案】C
【解析】由S=a 2
+b 2-c 24=12
absin C,得c 2=a 2+b 2-2absin C.又由余弦定理c 2=a 2+b 2-2abcos C,
∴sin C=cos C,即C=π
4.
4.(2017·山东·理T9)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若△ABC 为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是( )
A.a=2b
B.b=2a
C.A=2B
D.B=2A 【答案】A
【解析】∵sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C, ∴sin B+2sin Bcos C=(sin Acos C+cos Asin C)+sin Acos C, ∴sin B+2sin Bcos C=sin B+sin Acos C, ∴2sin Bcos C=sin Acos C,
又△ABC 为锐角三角形,∴2sin B=sin A, 由正弦定理,得a=2b.故选A.
5.(2017·全国1·文T11)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=√2,则C=( ) A.π
12 B.π
6
C.π
4
D.π
3
【答案】B
【解析】由题意结合三角形的内角和,可得sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0,整理得sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,则sin C(sin A+cos A)=0,因为sin C>0,所以sin A+cos A=0,即tan A=-1,因为A ∈(0,π),所以A=3π4
.由正弦定理a
sinA =c
sinC ,得
2sin 3π4
=√2
sinC ,即sin C=12
,所以C=π6
,故选B.
6.(2016·全国3·理T8)在△ABC 中,B=π
4,BC 边上的高等于13
BC,则cos A=( ) A.
3√10
10
B.
√10
10
C.-
√10
10
D.-
3√10
10
【答案】C
【解析】设BC 边上的高为AD,则BC=3AD. 结合题意知BD=AD,DC=2AD,
所以AC=√AD 2+DC 2=√5AD,AB=√2AD.
由余弦定理,得cos A=AB 2
+AC 2-BC 22AB ·AC
=22-2
2×√2AD×√5AD =-√1010
,故选C.
7.(2016·全国3·文T9)在△ABC 中,B=π
4,BC 边上的高等于1BC,则sin A=( ) A.310
B.√10
C.√55
D.3√10
【答案】D
【解析】记角A,B,C 的对边分别为a,b,c, 则由题意,得S △ABC =12a·a 3=1
2acsin B,
∴c=√2
3
a.∴b 2
=a 2
+(
√2
3
a)2
-2a·√2a 3·√2
2=5a 2
9
,即b=
√5a
3
.由正弦定理
a
=
b
,得sin A=asinB
b
=
a×√2
2
5a
3
=3√10
10.
故选D.
8.(2016·全国1·文T4)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知a=√5,c=2,cos A=23
,则b= ( ) A.√2 B.√3
C.2
D.3
【答案】D
【解析】由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccos A, 即5=b 2
+4-4b ×2
3,即3b 2
-8b-3=0, 又b>0,解得b=3,故选D.
9.(2016·天津·理T3)在△ABC 中,若AB=√13,BC=3,∠C=120°,则AC=( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A
【解析】由余弦定理得13=9+AC 2+3AC,∴AC=1.故选A.
10.(2016·山东·文T8)△ABC 中,角A,B,C 的对边分别是a,b,c.已知b=c,a 2
=2b 2
(1-sin A),则A=( ) A.3π4
B.π
3
C.π
4
D.π
6
【答案】C
【解析】由余弦定理可得a 2
=b 2
+c 2
-2bccos A, 又因为b=c,
所以a 2=b 2+b 2-2b×b cos A=2b 2(1-cos A). 由已知a 2=2b 2(1-sin A),所以sin A=cos A. 因为A ∈(0,π),所以A=π
4.
11.(2015·广东·文T5)设△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2√3,cos A=√32且b b=( ) A.3 B.2√2 C.2 D.√3 【答案】C 【解析】由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得b2-6b+8=0,解得b=2或4.因为b 12.(2014·全国2·理T 4)钝角三角形ABC的面积是1 2 ,AB=1,BC=√2,则AC=() A.5 B.√5 C.2 D.1 【答案】B 【解析】由题意知S△ABC=1 2 AB·BC·sin B, 即1 2=1 2 ×1×√2sin B,解得sin B=√2 2 . 则B=45°或B=135°. 当B=45°时,AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B=12+(√2)2-2×1×√2×√2 2 =1, 此时AC2+AB2=BC2,△ABC为直角三角形,不符合题意; 当B=135°时,AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B=12+(√2)2-2×1×√2×(-√2 2 )=5,解得AC=√5,符合题意.故选B. 13.(2014·四川·文T8)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60 m,则河流的宽度BC等于( ) A.240(√3-1) m B.180(√2-1) m C.120(√3-1) m D.30(√3+1) m 【答案】C 【解析】如图,作AD⊥BC,垂足为D.由题意,得DC=60×tan 60°=60√3(m), DB=60×tan 15°=60×tan(45°-30°) =60×tan45°-tan30° °°=60× 1-√33 1+33 =(120-60√3) m.所以 BC=DC-DB=60√3-(120-60√3)=120√3-120=120(√3-1)(m),故选C. 14.(2013·全国1·文T10)已知锐角△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,23cos 2 A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b=( ) A.10 B.9 C.8 D.5 【答案】D 【解析】由23cos 2 A+cos 2A=0,得cos 2 A=125 . ∴cos A=±15 . ∵A ∈(0,π 2),∴cos A=15 . ∵cos A=36+b 2 -492×6b ,∴b=5 或b=-135 (舍). 15.(2013·全国2·文T 4)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=π 6,C=π 4,则△ABC 的面积为( ) A.2√3+2 B.√3+1 C.2√3-2 D.√3-1 【答案】B 【解析】A=π-(B+C)=7π12 , 由正弦定理得a sinA = b sinB , 则 a=bsinA sinB = 2sin 7π 12sin π 6 =√6+√2, ∴S △ABC =1 2absin C=1 2×2×(√6+√2)×√22=√3+1. 二、填空题 1.(2019·全国2·理T15)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=π 3,则△ABC 的面积为___________. 【答案】6√3 【解析】∵b 2=a 2+c 2-2accos B, ∴(2c)2+c 2-2×2c×c×1 2 =62, 即3c 2=36,解得c=2√3或c=-2√3(舍去). ∴a=2c=4√3. ∴S △ABC =1 2acsin B=1 2×4√3×2√3×√32 =6√3. 2.(2019·全国2·文T15)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知bsin A+acos B=0,则B= . 【答案】3π4 【解析】由正弦定理,得sin Bsin A+sin Acos B=0.∵A ∈(0,π),B ∈(0,π),∴sin A ≠0,∴sin B+cos B=0,即tan B=-1,∴B=3π 4 . 3.(2019·浙江·T14)在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D 在线段AC 上.若∠BDC=45°,则 BD= ,cos ∠ABD= . 【解析】如图所示, 设CD=x,∠DBC=α,则AD=5-x,∠ABD=π 2-α,在△BDC 中,由正弦定理得3sin π4 =x sinα=3√2?sin α=3√2.在△ABD 中,由正弦定理得5-x sin(π2-α)=4 sin 3π4 =4√2?cos -4√2由sin 2α+cos 2α=x 2 18+(5-x )2 32 =1,解得x 1=-3 5(舍 去),x 2=21 5?BD= 12√2 5 .在△ABD 中,由正弦定理得0.8 sin∠ABD =4 sin(π-π4 )?sin ∠ABD=√210?cos ∠ABD=7√2 10. 4.(2018·浙江·T13)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.若a=√7,b=2,A=60°,则sin B=___________,c=___________. 【答案】 √21 7 3 【解析】由正弦定理a sinA =b sinB , 可知sin B=√217 . ∵a=√7>b=2,∴B 为锐角. ∴cos B=√1-sin 2B = 2√7 7 . ∴cos C=-cos(A+B)=sin Asin B-cos Acos B=√7 . 由余弦定理,得c 2=a 2+b 2-2abcos C=7+4-2×2×√7×√714 =7+4-2=9.∴c=3. 5.(2018·北京·文T 14)若△ABC 的面积为√34 (a 2+c 2-b 2),且∠C 为钝角,则∠B= ________;c a 的取值范围 是 . 【答案】π (2,+∞) 【解析】由余弦定理得cos B=a 2+c 2-b 2 2ac , ∴a 2+c 2-b 2=2accos B. 又∵S=√34 (a 2+c 2-b 2),∴12 acsin B=√34 ×2accos B, ∴tan B=√3,∴∠B=π 3.又∵∠C 为钝角, ∴∠C=2π3 -∠A>π2,∴0<∠A<π 6. 由正弦定理得c a = sin(2π3-∠A) sinA = √3 2cosA+1 2sinA sinA =12+√32·1tanA . ∵0 3 ,∴ 1tanA >√3, ∴c a >12 + √3 2 ×√3=2,即c a >2. 6.(2018·全国1·文T16)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知bsin C+csin B=4asin Bsin C,b 2+c 2-a 2=8,则△ABC 的 面积为 . 【答案】2√33 【解析】∵bsin C+csin B=4asin Bsin C, ∴sin Bsin C+sin Csin B=4sin Asin Bsin C. 又sin Bsin C>0,∴sin A=1 2 . 由余弦定理得cos A=b 2+c 2-a 2 2bc =82bc =4bc >0, ∴cos A=√3,bc=4=8√3, ∴S △ABC =1 2 bcsin A=12 ×8√33 ×12 =2√33 . 7.(2017·浙江·T14)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D 为AB 延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC 的面积 是 ,cos ∠BDC= . 【解析】依题意作出图形,如图所示,则sin ∠DBC=sin ∠ABC. 由题意知AB=AC=4,BC=BD=2, 则sin ∠ABC=√154 ,cos ∠ABC=14 . 所以S △BDC =1 2BC·BD·sin ∠DBC=12 ×2×2×√154 =√152 . 因为cos ∠DBC=-cos ∠ABC=-14 =BD 2+BC 2-CD 22BD ·BC =8-CD 28 ,所以CD=√10.由余弦定理,得cos ∠BDC=-2×2×√10 = √10 4 . 8.(2017·全国3·文T15)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=√6,c=3,则A= . 【答案】75° 【解析】由正弦定理得b =c , 即 sin B=bsinC c = √6× √3 2 3 = √22 . 因为b 所以B=45°,故A=180°-B-C=75°. 9.(2017·全国2·文T 16)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,则B= . 【答案】π 3 【解析】由题意和正弦定理,可得2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A=sin(A+C)=sin B,即cos B=12 .又因为B ∈(0,π),所以B=π 3. 10.(2016·全国2·理T13文T15)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若cos A=45 ,cos C=513 ,a=1,则b=___________. 【答案】2113 【解析】因为cos A=4,cos C= 513 ,且A,C 为△ABC 的内角,所以sin A=3,sin C= 12,sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=6365 . 又因为 a sinA = b sinB ,所以b= asinB sinA = 2113 . 11.(2016·北京·文T 13)在△ABC 中,A=2π 3,a=√3c,则b c = . 【答案】1 【解析】由正弦定理知sinA sinC =a c =√3,即sin C=sin 2π 3√3 =12,又a>c,可得C=π 6, ∴B=π-2π3 ?π 6=π 6,∴b=c,即b c =1. 12.(2015·全国1·理T16)在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB的取值范围是. 【解析】如图. 作CE∥AD交AB于E,则∠CEB=75°,∠ECB=30°. 在△CBE中,由正弦定理得,EB=√6?√2. 延长CD交BA的延长线于F,则∠F=30°. 在△BCF中,由正弦定理得,BF=√6+√2, 所以AB的取值范围为(√6?√2,√6+√2). 13.(2015·重庆·理T13)在△ABC中,B=120°,AB=√2,A的角平分线AD=√3,则AC=___________. 【答案】√6 【解析】如图所示,在△ABD中,由正弦定理,得 AD sinB =AB sin∠ADB ,即√3 sin120° =√2 sin∠ADB , 所以sin∠ADB=√2 2 ,可得∠ADB=45°, 则∠BAD=∠DAC=15°. 所以∠ACB=30°,∠BAC=30°. 所以△BAC是等腰三角形,BC=AB=√2. 由余弦定理,得 AC=√AB2+BC2-2·AB·BC·cos120° =√(√2)2+(√2)2-2×√2×√2×(-1 2 )=√6. 14.(2015·湖北·理T13文T15)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD= m. 【答案】100 【解析】如图所示,由已知得∠BAC=30°,AB=600 m,∠EBC=75°,∠CBD=30°. 在△ABC中,∠ACB=∠EBC-∠BAC=45°, 由 BC sin∠BAC =AB sin∠ACB , 得 BC=AB ·sin∠BAC sin∠ACB = 600×1 2 2 2 =300√2(m). 在Rt △BCD 中,CD=BC·tan∠CBD =300√2×√33 =100√6(m). 15.(2015·福建·理T12)若锐角△ABC 的面积为10√3,且AB=5,AC=8,则BC 等于 . 【答案】7 【解析】由S △ABC =12|AB|·|AC|·sin A=1 2×5×8·sin A=10√3,得sin A=√32. ∵△ABC 为锐角三角形,∴A=60°. 由余弦定理,得BC 2=AB 2+AC 2-2·AB·AC·cos 60°=25+64-2×5×8×12 =49,∴BC=7. 16.(2015·天津·理T13)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知△ABC 的面积为3√15,b-c=2,cos A=-14 ,则a 的值为 . 【答案】8 【解析】∵S △ABC =12 bcsin A=12 bc -cos 2A =12 bc×√15=3√15,∴bc=24.又b-c=2, ∴a 2 =b 2 +c 2 -2bccos A=(b-c)2 +2bc-2bc×(-1 4)=4+2×24+12 ×24=64. ∵a 为△ABC 的边,∴a=8. 17.(2015·安徽·文T12)在△ABC 中,AB=√6,∠A=75°,∠B=45°,则AC= . 【答案】2 【解析】∠C=60°,根据正弦定理,得 AB sinC = AC sinB ,所以AC=√22× √6 √3 2 =2. 18.(2015·福建·文T14)若△ABC 中,AC=√3,A=45°,C=75°,则BC=___________. 【答案】√2 【解析】B=60°,由正弦定理,得 √3 sin60° =BC sin45° ,得BC=√2. 19.(2015·重庆·文T13)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cos C=?1 4 ,3sin A=2sin B,则c= . 【答案】4 【解析】由于3sin A=2sin B,根据正弦定理可得3a=2b, 又a=2,所以b=3. 由余弦定理可得c=√a2+b2-2abcosC=√22+32-2×2×3×(-1 4 )=4. 20.(2015·北京·理T 12)在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则sin2A sinC =. 【答案】1 【解析】在△ABC中,由正弦定理,得sin2A sinC =2sinAcosA sinC =2cos A· a c =2cos A×4 6 =4 3 cos A, 再根据余弦定理,得cos A=36+25-16 2×6×5=3 4 , 所以sin2A sinC =4 3 ×3 4 =1. 21.(2014·全国1·理T 16)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则△ABC面积的最大值为. 【答案】√3 【解析】由正弦定理,可得(2+b)(a-b)=(c-b)·c. ∵a=2,∴a2-b2=c2-bc,即b2+c2-a2=bc. 由余弦定理,得cos A=b 2+c2 -a 2 2bc =1 2 . ∴sin A=√3 2 . 由b2+c2-bc=4,得b2+c2=4+bc. ∵b2+c2≥2bc,即4+bc≥2bc,∴bc≤4. ∴S△ABC=1 2 bc·sin A≤√3,即(S△ABC)max=√3. 22.(2014·全国1·理T16)如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100 m,则山高MN=___________m. 【答案】150 【解析】在Rt △ABC 中,由于∠CAB=45°,BC=100 m, 所以AC=100√2 m.在△MAC 中,∠AMC=180°-75°-60°=45°,由正弦定理可得 AC sin∠AMC =MA sin∠MCA , 于是MA= 100√2×√3 2 √2 2 =100√3(m). 在Rt △MNA 中,∠MAN=60°,于是MN=MA·sin∠MAN=100√3× √3 2 =150(m),即山高MN=150 m. 23.(2011·全国·理T16)在△ABC 中,B=60°,AC=√3,则AB+2BC 的最大值为___________. 【答案】2√7 【解析】令AB=c,BC=a,则由正弦定理得a sinA =c sinC =AC sinB =√3 √3 2 =2,则c=2sin C,a=2sin A,且A+C=120°, AB+2BC=c+2a =2sin C+4sin A=2sin C+4sin(120°-C) =2sin C+4(√3 2cosC +1 2sinC)=4sin C+2√3cos C =2√7sin(C+φ)(其中tanφ=√3 2). 故当C+φ=90°时,AB+2BC 取最大值2√7. 24.(2011·全国·文T 15)△ABC 中,B=120°,AC=7,AB=5,则△ABC 的面积为 . 【答案】 15√3 4 【解析】在△ABC 中,由余弦定理知AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BC ·cos B,即BC 2+5BC-24=0, 解得BC=3或BC=-8(舍去). S △ABC =12 ·AB·BC·sin 120°=12 ×5×3×√32 =15√34 . 25.(2010·全国·理T16)在△ABC 中,D 为边BC 上一点,BD=1 DC,∠ADB=120°,AD=2.若△ADC 的面积为3-√3,则∠BAC= . 【答案】60° 【解析】由S △ADC =12×2×DC×√3 2=3-√3,解得DC=2(√3-1), 则BD=√3-1,BC=3(√3-1). ∵在△ABD 中,AB 2=4+(√3-1)2-2×2×(√3-1)×cos 120°=6,∴AB=√6. 在△ACD 中,AC 2 =4+[2(√3-1)]2 -2×2×2(√3-1)×cos 60°=24-12√3,∴AC=√6(√3-1). 则cos ∠BAC=AB 2 +AC 2-BC 22AB ·AC = -√3-(-√3)2×6×6×31=1 2, ∴∠BAC=60°. 26.(2010·全国·文T16)在△ABC 中,D 为BC 边上一点,BC=3BD,AD=√2,∠ADB=135°.若AC=√2AB,则BD=___________. 【答案】2+√5 【解析】依据题意作出图形,如图,设AB=a,AC=√2a,BD=k,DC=2k,在三角形ABD 与三角形ADC 中由余弦定理,有 {a 2=k 2+2+2k ,2a 2=4k 2 +2-4k , 所以k 2-4k-1=0,所以k=2+√5. 三、计算题 1.(2019·全国1·理T17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)2 =sin 2 A-sin Bsin C. (1)求A; (2)若√2a+b=2c,求sin C. 【解析】(1)由已知得sin 2 B+sin 2 C-sin 2 A=sin Bsin C, 故由正弦定理得b 2 +c 2 -a 2 =bc. 由余弦定理得 cos A=b 2 +c 2-a 2 2bc =12. 因为0° (2)由(1)知B=120°-C,由题设及正弦定理得√2sin A+sin(120°-C)=2sin C, 即 √6 2 + √3 2 cos C+12 sin C=2sin C, 可得cos(C+60°)=-√2 2 . 由于0° , 故sin C=sin(C+60°-60°) =sin(C+60°)cos 60°-cos(C+60°)sin 60° =√6+√24 . 2.(2019·全国3·T18)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知asin A+C 2 =bsin A. (1)求B; (2)若△ABC 为锐角三角形,且c=1,求△ABC 面积的取值范围. 【解析】(1)由题设及正弦定理得sin Asin A+C 2 =sin Bsin A. 因为sin A≠0,所以sin A+C 2 =sin B. 由A+B+C=180°,可得sin A+C 2=cos B 2 , 故cos B 2 =2sin B 2 cos B 2 . 因为cos B 2≠0,故sin B 2=1 2 ,因此B=60°. (2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC =√3a. 由正弦定理得a=csinA sinC =sin (120°-C )sinC = √3 2tanC +1 2 . 由于△ABC 为锐角三角形,故0° 2 . 因此,△ABC 面积的取值范围是( √3 8 ,√3 2). 3.(2019·天津·理T15文T16)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3csin B=4asin C. (1)求cos B 的值; (2)求sin （2B+π 6）的值. 【解析】(1)在△ABC 中,由正弦定理 b sinB =c sinC ,得bsin C=csin B,又由3csin B=4asin C,得3bsin C=4asin C,即3b=4a.又因为 b+c=2a,得到b=43a,c=2 3 a.由余弦定理可得 cos B=a 2+c 2-b 2 2ac = a 2+49a 2-16 9a 22·a ·2 3a =-14 . (2)由(1)可得sin B=√1-cos 2B =√154 ,从而sin 2B=2sin Bcos B=-√158 ,cos 2B=cos 2B-sin 2B=-78 ,故sin （2B+π ） =sin 2Bcos π6+cos 2Bsin π 6=-√158 ×√32 ?78 ×12 =-3√5+716 . 4.(2019·江苏·T15)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c. (1)若a=3c,b=√2,cos B=23 ,求c 的值; (2)若 sinA a = cosB 2b ,求sin (B +π 2)的值. 【解析】(1)因为a=3c,b=√2,cos B=23 , 由余弦定理cos B=a 2+c 2-b 2 2ac , 得23 = (3c )2 +c 2 -(√2) 2 2×3c×c ,即c 2=13 .所以c=√33. (2)因为 sinA =cosB , 由正弦定理a = b , 得 cosB 2b =sinB b ,所以cos B=2sin B. 从而cos 2B=(2sin B)2, 即cos 2B=4(1-cos 2B),故cos 2B=45 . 因为sin B>0,所以cos B=2sin B>0, 从而cos B=2√55 .因此sin (B +π2)=cos B=2√55 . 5.(2018·全国1·理T17)在平面四边形ABCD 中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5. (1)求cos ∠ADB; (2)若DC=2√2 ,求BC. 【解析】(1)在△ABD 中,由正弦定理得BD sin∠A =AB sin∠ADB . 由题设知, 5sin45° =2 sin∠ADB ,所以sin ∠ADB=√2 5 . 由题设知,∠ADB<90°,所以cos ∠ADB=√1-225=√235 . (2)由题设及(1)知,cos ∠BDC=sin ∠ADB=√2 5 . 在△BCD 中,由余弦定理得BC 2=BD 2+DC 2 -2·BD·DC·cos∠BDC=25+8-2×5×2√2×√2 5 =25. 所以BC=5. 6.(2018·北京·理T15)在△ABC 中,a=7,b=8,cos B=-17 . (1)求∠A; (2)求AC 边上的高. 【解析】(1)在△ABC 中,∵cos B=-17 ,∴B ∈(π 2,π), ∴sin B=√1-cos 2B = 4√3 7. 由正弦定理,得a sinA =b sinB ?7 sinA = 4√37 , ∴sin A=√3 2 . ∵B ∈(π2,π),∴A ∈(0,π2),∴A=π 3. (2)在△ABC 中,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A=√3 2×(-17)+12×4√37= 3√3 14 . 如图所示,在△ABC 中,过点B 作BD ⊥AC 于点D. ∵sin C=h BC ,∴h=BC·sin C=7×3√314 =3√3 2, ∴AC 边上的高为3√3. 7.(2018·天津·理T15文T16)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知bsin A=acos (B -π 6). (1)求角B 的大小; (2)设a=2,c=3,求b 和sin(2A-B)的值. 【解析】(1)在△ABC 中,由正弦定理 a sinA = b sinB ,可得bsin A=asin B. 又由bsin A=acos (B -π 6),得asin B=acos (B -π 6), 即sin B=cos (B -π 6),可得tan B=√3.又因为B ∈(0,π),所以B=π 3. (2)在△ABC 中,由余弦定理及a=2,c=3,B=π 3,有b 2=a 2+c 2-2accos B=7,故b=√7. 由bsin A=acos (B -π6),可得sin A=√3 √7 .因为a 4√37 ,cos 2A=2cos 2 A-1=17. 所以,sin(2A-B)=sin 2Acos B-cos 2Asin B= 4√37 ×12?17×√3 2=3√3 14. 8.(2017·天津·理T15)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知a>b,a=5,c=6,sin B=35 . (1)求b 和sin A 的值; (2)求sin (2A +π 4)的值. 【解析】(1)在△ABC 中,因为a>b, 故由sin B=35 ,可得cos B=45 . 由已知及余弦定理,有b 2=a 2+c 2-2accos B=13, 所以b=√13.由正弦定理 a sinA =b sinB ,得sin A= asinB b =3√13 13. 所以,b 的值为√13,sin A 的值为 3√13 13 . (2)由(1)及a , 所以sin 2A=2sin Acos A=12, cos 2A=1-2sin 2A=-5.故sin (2A +π 4)=sin 2Acos π 4+cos 2Asin π4 =7√226 . 9.(2017·天津·文T15)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知asin A=4bsin B,ac=√5(a 2 -b 2 -c 2 ). (1)求cos A 的值; (2)求sin(2B-A)的值. 【解析】(1)由asin A=4bsin B,及a sinA =b sinB ,得a=2b. 由ac=√5(a 2 -b 2 -c 2 ),及余弦定理,得cos A=b 2 +c 2-a 2 2bc = -√ 5 5ac ac =-√55. (2)由(1),可得sin A=2√55 , 代入asin A=4bsin B,得sin B=asinA 4b =√55 . 由(1)知,A 为钝角, 所以cos B=√1-sin 2B =2√55 . 于是sin 2B=2sin Bcos B=4 5 , cos 2B=1-2sin 2 B=35 , 故sin(2B-A)=sin 2Bcos A-cos 2Bsin A=45×(-√55)?35×2√5 5=-2√55 . 10.(2017·全国1·理T 17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知△ABC 的面积为a 2 3sinA . (1)求sin Bsin C; (2)若6cos Bcos C=1,a=3,求△ABC 的周长. 【解析】(1)由题设得12acsin B=a 23sinA ,即1 2 csin B=a 3sinA . 由正弦定理得12sin Csin B=sinA 3sinA . 故sin Bsin C=23 . (2)由题设及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=-12,即cos(B+C)=-12.所以B+C=2π3 ,故A=π . 由题设得1 2bcsin A=a 23sinA ,即bc=8. 由余弦定理得b 2+c 2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=√33. 故△ABC 的周长为3+√33. 11.(2017·全国2·理T17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知sin(A+C)=8sin 2B 2 . (1)求cos B; (2)若a+c=6,△ABC 的面积为2,求b. 【解析】(1)由题设及A+B+C=π,得sin B=8sin 2B 2 , 故sin B=4(1-cos B). 上式两边平方,整理得17cos 2 B-32cos B+15=0, 解得cos B=1(舍去),cos B=1517 . (2)由cos B=1517 得sin B=817 , 故S △ABC =12 acsin B=417ac. 又S △ABC =2,则ac=172 . 由余弦定理及a+c=6得 b 2=a 2+c 2-2accos B =(a+c)2-2ac(1+cos B) =36-2× 172×(1+1517 )=4. 所以b=2. 12.(2017·全国3·理T17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知sin A+√3cos A=0,a=2√7,b=2. (1)求c; (2)设D 为BC 边上一点,且AD ⊥AC,求△ABD 的面积. 【解析】(1)由已知可得tan A=-√3,所以A=2π3 . 在△ABC 中,由余弦定理得28=4+c 2-4ccos 2π3 , 即c 2 +2c-24=0.解得c=-6(舍去),c=4. (2)由题设可得∠CAD=π 2, 所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=π 6.故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为12AB ·AD ·sin π6 12AC · AD =1. 又△ABC 的面积为12 ×4×2sin∠BAC=2√3,所以△ABD 的面积为√3. 13.(2017·北京·理T15)在△ABC 中,∠A=60°,c=37 a. (1)求sin C 的值; (2)若a=7,求△ABC 的面积. 【解析】(1)在△ABC 中,因为∠A=60°,c=37 a, 所以由正弦定理得sin C= csinA a =37×√32=3√3 14. (2)因为a=7,所以c=3 7 ×7=3. 由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bccos A 得72=b 2+32-2b×3×1,解得b=8或b=-5(舍). 所以△ABC 的面积S=12 bcsin A=12 ×8×3×√32 =6√3. 14.(2017·山东·文T17)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知b=3,AB ????? ·AC ????? =-6,S △ABC =3,求A 和a. 【解析】因为AB ????? ·AC ????? =-6,所以bccos A=-6, 又S △ABC =3,所以bcsin A=6. 因此tan A=-1,又0 . 又b=3,所以c=2√2. 由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bccos A,得a 2=9+8-2×3×2√2×(-√2 2)=29,所以a=√29. 15.(2016·北京,理15,12分,难度)在△ABC 中,a 2 +c 2 =b 2 +√2ac. (1)求B 的大小; (2)求√2cos A+cos C 的最大值. 【解析】(1)由余弦定理及题设得cos B=a 2+c 2 -b 2 2ac =√2ac 2ac =√2 2.又因为0 4. (2)由(1)知A+C=3π4 . √2cos A+cos C=√2cos A+cos (3π -A) =√2cos A-√22 cos A+√22 sin A =√22 cos A+√2 2 sin A=cos (A -π 4).因为0 ,所以当A=π 4时,√2cos A+cos C 取得最大值1. 16.(2016·山东·理T16)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分 别为a,b,c,已知2(tan A+tan B)=tanA cosB +tanB cosA . (1)证明:a+b=2c; (2)求cos C 的最小值. 【解析】(1)证明由题意知2( sinA cosA +sinB cosB )= sinA cosAcosB +sinB cosAcosB , 化简得2(sin Acos B+sin Bcos A)=sin A+sin B, 即2sin(A+B)=sin A+sin B,因为A+B+C=π, 所以sin(A+B)=sin(π-C)=sin C. 从而sin A+sin B=2sin C.由正弦定理得a+b=2c. (2)解由(1)知 c=a+b 2 ,所以cos C=a 2+b 2 -c 22ab = a 2+ b 2 -(a+b 2) 2 2ab =38(a b +b a )?14≥1 2, 当且仅当a=b 时,等号成立.故cos C 的最小值为12 . 17.(2016·天津·文T15)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知asin 2B=√3bsin A. (1)求B; (2)若cos A=1 3,求sin C 的值. 【解析】(1)在△ABC 中,由 a sinA =b sinB ,可得asin B=bsin A, 又由asin 2B=√3bsin A,得2asin Bcos B=√3bsin A=√3asin B,所以cos B=√32 ,得B=π 6. (2)由cos A=1 3,可得sin A=2√23,则sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin (A +π 6)=√3 2sin A+1 2cos A=2√6+16 . 2013年全国高考理科数学试题分类汇编1：集合 一、选择题 1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））已知全集 {}1,2,3,4U =,集合{}=12A ，,{}=23B ，,则 ()=U A B ( ) A.{}134， ， B.{}34， C. {}3 D. {}4 【答案】D 2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知集合 {}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤=，则 A.()01， B.(]02， C.()1,2 D.(]12， 【答案】D 3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ?= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [2,2] (D) [-2,1] 【答案】D 4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））设S,T,是R 的两个非空子集,如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足:(){()|};()i T f x x S ii =∈ 对任意12,,x x S ∈当12x x <时,恒有12()()f x f x <,那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是( ) A.* ,A N B N == B.{|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或 C.{|01},A x x B R =<<= D.,A Z B Q == 【答案】D 5 ．（2013 年高考上海卷（理））设常数a R ∈,集合 {|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-,若A B R ?=,则a 的取值范围为( ) (A) (,2)-∞ (B) (,2]-∞ (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞ 【答案】B. 6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知集合 A ={0,1,2},则集合 B ={},x y x A y A -∈∈中元素的个数是 (A) 1 (B) 3 (C)5 (D)9 【答案】C 第一篇基础知识梳理 第一章数与式 §1.1实数 A组2015年全国中考题组 一、选择题 1．(2015·浙江湖州，1，3分)－5的绝对值是() A．－5 B．5 C．－1 5 D. 1 5 解析∵|－5|＝5，∴－5的绝对值是5，故选B. 答案 B 2．(2015·浙江嘉兴，1，4分)计算2－3的结果为() A．－1 B．－2 C．1 D．2 解析2－3＝－1，故选A. 答案 A 3．(2015·浙江绍兴，1，4分)计算(－1)×3的结果是() A．－3 B．－2 C．2 D．3 解析(－1)×3＝－3，故选A. 答案 A 4．(2015·浙江湖州，3，3分)4的算术平方根是() A．±2 B．2 C．－2 D. 2 解析∵4的算术平方根是2，故选B. 答案 B 5．(2015·浙江宁波，3，4分)2015年中国高端装备制造业收入将超过6万亿元，其中6万亿元用科学记数法可表示为() A．0.6×1013元B．60×1011元 C．6×1012元D．6×1013元 解析6万亿＝60 000×100 000 000＝6×104×108＝6×1012，故选C.答案 C 6．(2015·江苏南京，5，2分)估计5－1 2介于() A．0.4与0.5之间B．0.5与0.6之间C．0.6与0.7之间D．0.7与0.8之间解析∵5≈2.236，∴5－1≈1.236， ∴5－1 2≈0.618，∴ 5－1 2介于0.6与0.7之间． 答案 C 7．(2015·浙江杭州，2，3分)下列计算正确的是() A．23＋26＝29B．23－26＝2－3 C．26×23＝29D．26÷23＝22 解析只有“同底数的幂相乘，底数不变，指数相加”，“同底数幂相除，底数不变，指数相减”，故选C. 答案 C 8．★(2015·浙江杭州，6，3分)若k＜90＜k＋1(k是整数)，则k＝() A．6 B．7 C．8 D．9 解析∵81＜90＜100，∴9＜90＜100.∴k＝9. 答案 D 9．(2015·浙江金华，6，3分)如图，数轴上的A，B，C，D四点中，与表示数－3的点最接近的是 () A．点A B．点B C．点C D．点D 2015年高考数学试题分类汇编及答案解析（22个专题） 目录 专题一集合..................................................................................................................................................... 专题二函数..................................................................................................................................................... 专题三三角函数............................................................................................................................................ 专题四解三角形............................................................................................................................................ 专题五平面向量............................................................................................................................................ 专题六数列..................................................................................................................................................... 专题七不等式................................................................................................................................................. 专题八复数..................................................................................................................................................... 专题九导数及其应用................................................................................................................................... 专题十算法初步............................................................................................................................................ 专题十一常用逻辑用语 .............................................................................................................................. 专题十二推理与证明................................................................................................................................... 专题十三概率统计 ....................................................................................................................................... 专题十四空间向量、空间几何体、立体几何...................................................................................... 专题十五点、线、面的位置关系 ............................................................................................................ 专题十六平面几何初步 .............................................................................................................................. 专题十七圆锥曲线与方程.......................................................................................................................... 专题十八计数原理 ..................................................................................................................................... 专题十九几何证明选讲 ............................................................................................................................ 专题二十不等式选讲................................................................................................................................. 应用题 1.（四川理9）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和 7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z= A ．4650元 B ．4700元 C ．4900元 D ．5000元 【答案】C 【解析】由题意设派甲，乙,x y 辆，则利润450350z x y =+，得约束条件 08071210672219 x y x y x y x y ≤≤??≤≤?? +≤??+≥?+≤??画 出可行域在12219x y x y +≤??+≤?的点7 5x y =??=?代入目标函数4900z = 2.（湖北理10）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少， 这种现象称为衰变。假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克） 与时间t （单位：年）满足函数关系：30 0()2 t M t M - =，其中M 0为t=0时铯137的含量。已知t=30时，铯137含量的变化率是-10In2（太贝克／年），则M （60）= A ．5太贝克 B ．75In2太贝克 C ．150In2太贝克 D ．150太贝克 【答案】D 3.（北京理）。根据统计，一名工作组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为 ??? ??? ? ≥<=A x A c A x x c x f ,,,)(（A ，C 为常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么C 和A 的值分别是 A ．75，25 B ．75，16 C ．60，25 D ．60，16 【答案】D 4．（陕西理）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距 10米。开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）。 【答案】2000 5．（湖北理）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等 差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升。 【答案】67 66 6.（湖北理）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下，大 桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数。当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20 辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． 2008年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距 离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 4 1 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和 22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点 的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?????? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ ） A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y = +，则11 22 y x z =- +，令0Z =，作直线1 2 y x =- ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取 高考文科数学试题分类汇编1：集合 一、选择题 1 ．（2013年高考安徽（文））已知{}{}|10,2,1,0,1A x x B =+>=--,则()R C A B ?= （ ） A ．{}2,1-- B ．{}2- C ．{}1,0,1- D ．{}0,1 【答案】A 2 ．（2013年高考北京卷（文））已知集合{}1,0,1A =-,{}|11B x x =-≤<,则A B = （ ） A ．{}0 B ．{}1,0- C ．{}0,1 D ．{}1,0,1- 【答案】B 3 ．（2013年上海高考数学试题（文科））设常数a ∈R ,集合()(){} |10A x x x a =--≥,{}|1B x x a =≥-. 若A B =R ,则a 的取值范围为（ ） A ．(),2-∞ B ．(],2-∞ C ．()2,+∞ D ．[)2,+∞ 【答案】B 4 ．（2013年高考天津卷（文））已知集合A = {x ∈R| |x|≤2}, B= {x∈R | x≤1}, 则A B ?= （ ） A ．(,2]-∞ B ．[1,2] C ．[-2,2] D ．[-2,1] 【答案】D 5 ．（2013年高考四川卷（文））设集合{1,2,3}A =,集合{2,2}B =-,则A B = （ ） A ．? B ．{2} C ．{2,2}- D ．{2,1,2,3}- 【答案】B 6 ．（2013年高考山东卷（文））已知集合 B A 、均为全集}4,3,2,1{=U 的子集,且 (){4}U A B = e,{1,2}B =,则U A B = e （ ） A ．{3} B ．{4} C ．{3,4} D ．? 【答案】A 7 ．（2013年高考辽宁卷（文））已知集合{}{}1,2,3,4,|2,A B x x A B ==<= 则 （ ） A ．{}0 B ．{}0,1 C ．{}0,2 D ．{}0,1,2 【答案】B 8 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））已知集合M={x|-3 2007年高考数学试题分类汇编（导数） （福建理11文） 已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ B ） A ．()0()0f x g x ''>>， B ．()0()0f x g x ''><， C ．()0()0f x g x ''<>， D ．()0()0f x g x ''<<， （海南理10） 曲线12 e x y =在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ D ） Ａ．29 e 2 Ｂ．24e Ｃ．22e Ｄ．2e （海南文10） 曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ D ） Ａ．294e Ｂ．2 2e Ｃ．2 e Ｄ．2 2 e （江苏9） 已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥， 则(1)'(0) f f 的最小值为（ C ） A ．3 B ．52 C ．2 D ．3 2 （江西理9） 12．设2:()e ln 21x p f x x x mx =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的（ B ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 （江西理5） 5．若π 02 x <<，则下列命题中正确的是（ D ） Ａ．3sin πx x < Ｂ．3sin πx x > Ｃ．2 24sin π x x < Ｄ．2 24sin π x x > （江西文8） 若π 02x << ，则下列命题正确的是（ B ） Ａ．2sin πx x < Ｂ．2sin πx x > Ｃ．3sin πx x < Ｄ．3 sin π x x > （辽宁理12） 已知()f x 与()g x 是定义在R 上的连续函数，如果()f x 与()g x 仅当0x =时的函数值为0，且()()f x g x ≥，那么下列情形不可能．．． 出现的是（ ） A ．0是()f x 的极大值，也是()g x 的极大值 B ．0是()f x 的极小值，也是()g x 的极小值 C ．0是()f x 的极大值，但不是()g x 的极值 D ．0是()f x 的极小值，但不是()g x 的极值 （全国一文11） 曲线313y x x =+在点413?? ???，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ A ） Ａ．19 Ｂ．29 Ｃ．13 Ｄ．23 （全国二文8） 已知曲线2 4 x y =的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ A ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 （浙江理8） 设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ D ） (北京文9) ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是＿＿＿＿．3 （广东文12） 精品文档 2018 年高考数学真题分类汇编 学大教育宝鸡清姜校区高数组2018 年7 月 1.（2018 全国卷 1 理科）设Z = 1- i + 2i 则 Z 1+ i 复数 = （ ） A.0 B. 1 C.1 D. 2 2（2018 全国卷 2 理科） 1 + 2i = ( ) 1 - 2i A. - 4 - 3 i B. - 4 + 3 i C. - 3 - 4 i D. - 3 + 4 i 5 5 5 5 5 5 5 5 3（2018 全国卷 3 理科） (1 + i )(2 - i ) = （ ） A. -3 - i B. -3 + i C. 3 - i D. 3 + i 4（2018 北京卷理科）在复平面内，复数 1 1 - i 的共轭复数对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5（2018 天津卷理科） i 是虚数单位，复数 6 + 7i = . 1+ 2i 6（2018 江苏卷）若复数 z 满足i ? z = 1 + 2i ，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为 ． 7（2018 上海卷）已知复数 z 满足（1+ i )z = 1- 7i （i 是虚数单位），则∣z ∣= ． 2 集合 1.（2018 全国卷1 理科）已知集合A ={x | x2 -x - 2 > 0 }则C R A =（） A. {x | -1 2012——2014（全国卷，新课标1卷，新课标2卷）数学高考真题分类训练（二） 班级 姓名 一、三角函数 1、若函数()sin ([0,2])3 x f x ??π+=∈是偶函数，则=?（ ） （A ）2π （B ）3 2π （C ）23π （D ）35π 2、已知α为第二象限角，3sin 5 α=，则sin 2α=（ ） （A ）2524- （B ）2512- （C ）2512 （D ）2524 3、当函数sin 3cos (02)y x x x π=-≤<取得最大值时，x =___________. 4、已知ω>0，0<φ<π，直线x =π4和x =5π4 是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=（ ） （A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π4 5、设函数f (x )=(x +1)2+sin x x 2+1 的最大值为M ，最小值为m ，则M+m =____ 6、已知a 是第二象限角，5sin ,cos 13 a a ==则（ ） （A ）1213- （B ）513- （C ）513 （D ）1213 7、若函数()()sin 0=y x ω?ωω=+>的部分图像如图，则 （A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 （B ） 8、函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为（ ） 9、设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ= 10、已知sin2a 3 2=，则cos2(a+4π)=( ) （A ） （B ） （C ） （D ） 11、函数)()2cos(y π?π?<≤-+=，x 的图像向右平移 2π个单位后，与函数y=sin （2x+3 π）的图像重合，则?=___________. 12、若0tan >α，则（ ） A. 0sin >α B. 0cos >α C. 02sin >α D. 02cos >α 13、在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+ =x y ,④)42tan(π -=x y 中，最小正周期为π的所有函数为 A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③ 14、函数x x x f cos sin 2)sin()(??-+=的最大值为_________. 二、解三角形 1、已知锐角ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos cos 20A A +=，7a =，6c =，则b =（ ） （A ）10 （B ）9 （C ）8 （D ）5 2、已知锐角ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos cos 20A A +=，7a =， 6c =，则b =（ ） （A ）10 （B ）9 （C ）8 （D ）5 2、△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知b=2，B=，C=，则△ABC 的面积为 （A ）2+2 （B ） （C ）2 （D ）-1 3、如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得 M 点的仰角60MAN ∠=?，C 点的仰角45CAB ∠=?以及75MAC ∠=?；从C 点测得60MCA ∠=?.已知山高100BC m =，则山高MN =________m . 2019---2020年真题分类汇编 一、 集合(2019) 1，（全国1理1）已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2，（全国1文2）已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则U B A = A ．{}1,6 B ．{}1,7 C ．{}6,7 D ．{}1,6,7 3，（全国2理1）设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1) C ．(–3，–1) D ．(3，+∞) 4，（全国2文1）已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(-1，+∞) B ．(-∞，2) C ．(-1，2) D ．? 5，（全国3文、理1）已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤，，则A B = A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}1,1- D ．{}0,1,2 6，（北京文，1）已知集合A ={x |–1 中考数学试题分类汇编 一、选择题 1、（2007湖北宜宾）实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则化简代数式||a +b –a 的结果是（ ）D A ．2a +b B ．2a C ．a D ．b 2、（2007重庆）运算)3(623m m -÷的结果是（ ）B （A ）m 3- （B ）m 2- （C ）m 2 （D ）m 3 3、（2007广州）下列运算中，正确的是（ ）C A ．33x x x =? B ．3x x x -= C ．32x x x ÷= D ．336x x x += 4、（2007四川成都）下列运算正确的是（ ）D Ａ．321x x -= Ｂ．22122x x --=- Ｃ．236()a a a -=· Ｄ．23 6()a a -=- 4、（2007浙江嘉兴）化简：(a ＋1)2－(a －1)2＝（ ）C （A ）2 （B ）4 （C ）4a （D ）2a 2＋2 5、（2007哈尔滨）下列运算中，正确的是（ ）D A ．325a b ab += B ．44a a a =? C ．623a a a ÷= D ．3262()a b a b = 6．（2007福建晋江）关于非零实数m ，下列式子运算正确的是（ ）D A ．9 23)(m m =；B ．623m m m =?；C ．532m m m =+；D ．426m m m =÷。 7．（2007福建晋江）下列因式分解正确的是（ ）C A ．x x x x x 3)2)(2(342++-=+-； B ．)1)(4(432-+-=++-x x x x ； C ．22)21(41x x x -=+-； D ．)(232y x y xy x y x xy y x +-=+-。 8、（2007湖北恩施）下列运算正确的是（ ）D A 、623a a a =? B 、4442b b b =? C 、1055x x x =+ D 、87y y y =? 9、（2007山东淮坊）代数式2346x x -+的值为9，则2463x x - +的值为（ ）A A ．7 B ．18 C ．12 D ．9 10、（2007江西南昌）下列各式中，与2(1)a -相等的是（ ）B A ．21a - B ．221a a -+ C ．221a a -- D ．2 1a + 二、填空题 b 0a 2019年全国各地高考文科数学试题分类汇编2：函数 一、选择题 1 ．（2019年高考重庆卷（文））函数21 log (2) y x = -的定义域为 （ ） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(2,3) (3,)+∞ D ．(2,4)(4,)+∞ 【答案】C 2 ．（2019年高考重庆卷（文））已知函数3 ()sin 4(,)f x ax b x a b R =++∈,2(lg(log 10))5f =,则 (lg(lg 2))f = （ ） A ．5- B ．1- C ．3 D ．4 【答案】C 3 ．（2019年高考大纲卷（文））函数()()()-1 21log 10=f x x f x x ? ?=+ > ??? 的反函数 （ ） A ． ()1021x x >- B ．()1 021 x x ≠- C ．()21x x R -∈ D ．()210x x -> 【答案】A 4 ．（2019年高考辽宁卷（文））已知函数()) ()21ln 1931,.lg 2lg 2f x x x f f ?? =+++= ??? 则 （ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 【答案】D 5 ．（2019年高考天津卷（文））设函数22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=. 若实数a , b 满足()0,()0f a g b ==, 则 （ ） A ．()0()g a f b << B ．()0()f b g a << C ．0()()g a f b << D ．()()0f b g a << 【答案】A 6 ．（2019年高考陕西卷（文））设全集为R , 函数()1f x x =-M , 则C M R 为 （ ） A ．(-∞,1) B ．(1, + ∞) C ．(,1]-∞ D ．[1,)+∞ 【答案】B 7 ．（2019年上海高考数学试题（文科））函数 ()()211f x x x =-≥的反函数为()1f x -,则()12f -的值是 2008年高考数学试题分类汇编：集合 【考点阐述】 集合.子集.补集.交集.并集． 【考试要求】 （1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念．了解空集和全集的意义．了解属于、包含、相等关系的意义．掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． 【考题分类】 （一）选择题（共20题） 1、（安徽卷理2）集合{}|lg ,1A y R y x x =∈=>，}{2,1,1,2B =--则下列结论正确的是（ ） A ．}{2,1A B =-- B ． ()(,0)R C A B =-∞ C ．(0,)A B =+∞ D ． }{()2,1R C A B =-- 解： }{0A y R y = ∈>，R (){|0}A y y =≤e，又{2,1,1,2}B =-- ∴ }{()2,1R A B =--e，选D 。 2、（安徽卷文1）若A 为全体正实数的集合，{}2,1,1,2B =--则下列结论正确的是（ ） A ．}{2,1A B =-- B ． ()(,0)R C A B =-∞ C ．(0,)A B =+∞ D ． }{()2,1R C A B =-- 解：R A e是全体非正数的集合即负数和0，所以}{() 2,1R A B =--e 3、（北京卷理1）已知全集U =R ，集合{} |23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合A ∩（C U B ）等于（ ） A ．{}|24x x -<≤ B ．{}|34x x x 或≤≥ C ．{}|21x x -<-≤ D ．{}|13x x -≤≤ 【标准答案】: D 【试题分析】: C U B=[-1, 4]，()U A B e＝{}|13x x -≤≤ 2013年高考解析分类汇编16：选修部分 一、选择题 1 ．（2013年高考大纲卷（文4））不等式 222x -<的解集是 （ ） A ．()-1,1 B ．()-2,2 C ．()()-1,00,1U D ．()()-2,00,2U 【答案】D 2|2|2 <-x ，所以?????->-<-222222 x x ，所以402 < 2018年高考数学试题分类汇编之立体几何 一、选择题 1．（北京卷文）（6）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）。 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2．（北京卷理）（5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 3．（浙江）（3）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 4．（全国卷一文）（5）已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A ．122π B ．12π C ．82π D ．10π 5．（全国卷一文）（9）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．217 B ．25 C ．3 D ．2 6．（全国卷一文）（10）在长方体1111ABCD A B C D -中， 2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30?，则该长方体的体积为 A ．8 B ．62 C ．82 D ．83 7．（全国卷一理）（7）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．172 B ．52 C ．3 D ．2 8．（全国卷一理）（12）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方 体所得截面面积的最大值为 A ． 33 B ．23 C ．324 D ．3 9．（全国卷二文）（9）在正方体1111ABCD A B C D -中， E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角高考数学试题分类汇编集合理
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