近世代数复习提纲
群论部分
一、基本概念
1、群的定义(四个等价定义)
2、基本性质
(1)单位元的唯一性;
(2)逆元的唯一性;
(3)11111(),()ab b a a a -----==;
(4)ab ac b c =?=;
(5)1ax b x a b -=?=;1ya b y ba -=?=。
3、元素的阶
使m a e =成立的最小正整数m 叫做元素a 的阶,记作||a m =;若这样的正整数不存在,则称a 的阶是无限的,记作||a =∞。
(1)11|,||||()|||a g ag g G a a --=?∈=。
(2)若m a e =,则
①||a m ≤;
②||a m =?由n a e =可得|m n 。
(3)当群G 是有限群时,a G ?∈,有||a <∞且||||a G 。
(4)||||r n a n a d =?=
,其中(,)d r n =。 证明 设|||r a k =。因为()()n r r n d d a a e ==,所以n k d
。 另一方面,因为()r k rk a a e ==,所以n rk ,从而
n r k d d ,又(,)1r n d d =,所以
n k d ,故n k d =。
注:1? ||||||ab a b ≠,但若ab ba =,且(||,||)1a b =,则有||||||ab a b =(P70.3)。 2? ||,||G a G a <∞??∈<∞;但,||||a G a G ?∈<∞?<∞/。 例1 令{|,1}n G a C n Z a =∈?∈?=,则G 关于普通乘法作成群。显然,1是G 的单位元,所以a G ?∈,有||a <∞,但||G =∞。
二、群的几种基本类型
1、有限群:元素个数(即阶)有限的群,叫做有限群。
2、无限群:元素个数(即阶)无限的群,叫做无限群。
3、变换群:集合A 上若干一一变换关于变换乘法作成的群,叫做集合A 上的变换群。
(1)变换群的单位元是A 的恒等变换。
(2)A 的所有一一变换的集合关于变换的乘法作成A 上最大的变换群。
(3)一般地,变换群不是交换群。
(4)任一个群都与一个变换群同构。
4、置换群:有限集合A 上的一一变换叫做置换,若干置换作成的变换群叫做置换群。即有限集合上的变换群叫做置换群。
例2 设(123),(13)(24)αβ==是5S 中元素,求αβ。
解 12345123451234512345(123)(13)(24)(142)23145321451432541325αβ????????==== ????? ?????????
(1)n 元集合A 的所有置换作成的置换群,叫做n 次对称群,记作n S 。
(2)||!n S n =。
(3)每个n 元置换都可表示为若干个没有公共数字的循环置换的乘积。
(4)11221()()k k i i i i i i -=L L 。
(5)任一有限群都与一个置换群同构。
5、循环群:若群G 中存在元素a ,使得(){|}n G a a n Z ==∈,则称G 是循环群。
(1)循环群是交换群(P61.1)。
(2)素数阶群是循环群(P70.1)。
(3)循环群的子群是循环群(P65.4)。
(4)当||G =∞时,2102{,,,,,,}G Z G a a e a a a --??==L L ; 当||G n =时,021{,,,,}n n G Z G e a a a a -??==L 。
(5)||||G a =
(6)当||G =∞时,G 有且仅有两个生成元1,a a -; 当||G n =时,G 有且仅有()n ?个生成元,这里()n ?表示小于n 且与n 互素的正整数个数。且当(,)1m n =时,m a 是G 的生成元。
(7)若G 与G 同态,则
1? G 也是循环群;
2? 当()a a ?=时,()G a =;
3? G 的阶整除G 的阶。
例3(P79、3)
三、子群
1、定义:设H 是群G 的非空子集,若H 关于G 的于是也构成群,则称H 是G 的子群,记作H G ≤。
2、等价条件
(1)群G 的非空子集H 是子群?,a b H ?∈,有1,ab a H -∈ ?,a b H ?∈,有1ab H -∈
(2)群G 的非空有限子集H 是子群?,a b H ?∈,有ab H ∈。
3、运算
(1)若12,H H G ≤,则12H H G ≤I (可推广到任意多个情形)。
(2)若12,H H G ≤,则12H H U 未必是G 的子群。
(3)若12,H H G ≤,则12121122{|,}H H h h h H h H =∈∈未必是G 的子群。
(4)若12,H H G ≤,则12H H -不是G 的子群。
4、陪集
设H G ≤,则G 的子集{|}aH ah h H =∈叫做H 的包含a 的左陪集;G 的子集{|}Ha ha h H =∈叫做H 的包含a 的右陪集。
(1)一般地,aH Ha ≠。
(2)1aH bH b a H -=?∈;1Ha Hb ab H -=?∈;()aH Ha H a H =?∈。
(3)()aH Ha G a H ≤?∈。
(4)()()()[()()]aH bH Ha Hb aH bH Ha Hb φφ≠≠?==I I 。
(5){|}aH a G ∈是G 的一个分类,{|}Ha a G ∈也是G 的一个分类。即
a G
G aH ∈=U ,且()()aH bH φ=I (当aH bH ≠时)
或
a G
G Ha ∈=U ,且()()Ha Hb φ=I (当Ha Hb ≠时)
5、指数:
群G 的子群H 的左陪集(右陪集)个数叫做H 的指数,记作[:]G H 。 当||G <∞时,有||||[:]G H G H =。
6、不变子群
设H 是群G 的子群,若a G ?∈,都有aH Ha =,则称H 是G 的不变子群,记作H G <。
群G 的子群H 是不变子群?a G ?∈,有1a Ha H -= ?,a G h H ?∈?∈,有1a ha H -∈。 例4(P74、1)
例5(P74、3)
1?不变子群的交是不变子群。
2?交换群的子群是不变子群。
3?群G 的中心(){|,}C G a G x G xa ax =∈?∈=是G 的不变子群。
4?设12,H H G ≤且有一个是不变子群,则12H H G <。
7、商群 设H G <,令{|}G H aH a G =∈,,aH bH G H ?∈,定义
()()()aH bH ab H = 则它是G H 的代数运算,叫做陪集的乘法。G H 关于陪集的乘法作成群,叫做G 关于H 的商群。
当||G <∞时,有||||||
G G H H =。 四、群同态 设?是群G 到G 的同态满射,则
1、G 也是群;
2、()e e ?=;
3、11()[()]a a ??--=;
4、|()|||a a ?;
5、ker {|()}a G a e G ??=∈=<;
6、ker (:ker ())G G a a σ?σ???→;
7、()H G H G ?≤?≤;
8、()H G H G ??<<;
9、1()H G H G ?-≤?≤;
10、1()H G H G ?-?<<。 注:若H G <,则映射:()a aH a G ?→?∈是G 到G H 的同态满射,叫做自然同态。
环论部分
一、基本概念
1、环的定义