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最新近世代数复习提纲知识讲解

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近世代数复习提纲

群论部分

一、基本概念

1、群的定义(四个等价定义)

2、基本性质

(1)单位元的唯一性;

(2)逆元的唯一性;

(3)11111(),()ab b a a a -----==;

(4)ab ac b c =?=;

(5)1ax b x a b -=?=;1ya b y ba -=?=。

3、元素的阶

使m a e =成立的最小正整数m 叫做元素a 的阶,记作||a m =;若这样的正整数不存在,则称a 的阶是无限的,记作||a =∞。

(1)11|,||||()|||a g ag g G a a --=?∈=。

(2)若m a e =,则

①||a m ≤;

②||a m =?由n a e =可得|m n 。

(3)当群G 是有限群时,a G ?∈,有||a <∞且||||a G 。

(4)||||r n a n a d =?=

,其中(,)d r n =。 证明 设|||r a k =。因为()()n r r n d d a a e ==,所以n k d

。 另一方面,因为()r k rk a a e ==,所以n rk ,从而

n r k d d ,又(,)1r n d d =,所以

n k d ,故n k d =。

注:1? ||||||ab a b ≠,但若ab ba =,且(||,||)1a b =,则有||||||ab a b =(P70.3)。 2? ||,||G a G a <∞??∈<∞;但,||||a G a G ?∈<∞?<∞/。 例1 令{|,1}n G a C n Z a =∈?∈?=,则G 关于普通乘法作成群。显然,1是G 的单位元,所以a G ?∈,有||a <∞,但||G =∞。

二、群的几种基本类型

1、有限群:元素个数(即阶)有限的群,叫做有限群。

2、无限群:元素个数(即阶)无限的群,叫做无限群。

3、变换群:集合A 上若干一一变换关于变换乘法作成的群,叫做集合A 上的变换群。

(1)变换群的单位元是A 的恒等变换。

(2)A 的所有一一变换的集合关于变换的乘法作成A 上最大的变换群。

(3)一般地,变换群不是交换群。

(4)任一个群都与一个变换群同构。

4、置换群:有限集合A 上的一一变换叫做置换,若干置换作成的变换群叫做置换群。即有限集合上的变换群叫做置换群。

例2 设(123),(13)(24)αβ==是5S 中元素,求αβ。

解 12345123451234512345(123)(13)(24)(142)23145321451432541325αβ????????==== ????? ?????????

(1)n 元集合A 的所有置换作成的置换群,叫做n 次对称群,记作n S 。

(2)||!n S n =。

(3)每个n 元置换都可表示为若干个没有公共数字的循环置换的乘积。

(4)11221()()k k i i i i i i -=L L 。

(5)任一有限群都与一个置换群同构。

5、循环群:若群G 中存在元素a ,使得(){|}n G a a n Z ==∈,则称G 是循环群。

(1)循环群是交换群(P61.1)。

(2)素数阶群是循环群(P70.1)。

(3)循环群的子群是循环群(P65.4)。

(4)当||G =∞时,2102{,,,,,,}G Z G a a e a a a --??==L L ; 当||G n =时,021{,,,,}n n G Z G e a a a a -??==L 。

(5)||||G a =

(6)当||G =∞时,G 有且仅有两个生成元1,a a -; 当||G n =时,G 有且仅有()n ?个生成元,这里()n ?表示小于n 且与n 互素的正整数个数。且当(,)1m n =时,m a 是G 的生成元。

(7)若G 与G 同态,则

1? G 也是循环群;

2? 当()a a ?=时,()G a =;

3? G 的阶整除G 的阶。

例3(P79、3)

三、子群

1、定义:设H 是群G 的非空子集,若H 关于G 的于是也构成群,则称H 是G 的子群,记作H G ≤。

2、等价条件

(1)群G 的非空子集H 是子群?,a b H ?∈,有1,ab a H -∈ ?,a b H ?∈,有1ab H -∈

(2)群G 的非空有限子集H 是子群?,a b H ?∈,有ab H ∈。

3、运算

(1)若12,H H G ≤,则12H H G ≤I (可推广到任意多个情形)。

(2)若12,H H G ≤,则12H H U 未必是G 的子群。

(3)若12,H H G ≤,则12121122{|,}H H h h h H h H =∈∈未必是G 的子群。

(4)若12,H H G ≤,则12H H -不是G 的子群。

4、陪集

设H G ≤,则G 的子集{|}aH ah h H =∈叫做H 的包含a 的左陪集;G 的子集{|}Ha ha h H =∈叫做H 的包含a 的右陪集。

(1)一般地,aH Ha ≠。

(2)1aH bH b a H -=?∈;1Ha Hb ab H -=?∈;()aH Ha H a H =?∈。

(3)()aH Ha G a H ≤?∈。

(4)()()()[()()]aH bH Ha Hb aH bH Ha Hb φφ≠≠?==I I 。

(5){|}aH a G ∈是G 的一个分类,{|}Ha a G ∈也是G 的一个分类。即

a G

G aH ∈=U ,且()()aH bH φ=I (当aH bH ≠时)

a G

G Ha ∈=U ,且()()Ha Hb φ=I (当Ha Hb ≠时)

5、指数:

群G 的子群H 的左陪集(右陪集)个数叫做H 的指数,记作[:]G H 。 当||G <∞时,有||||[:]G H G H =。

6、不变子群

设H 是群G 的子群,若a G ?∈,都有aH Ha =,则称H 是G 的不变子群,记作H G <。

群G 的子群H 是不变子群?a G ?∈,有1a Ha H -= ?,a G h H ?∈?∈,有1a ha H -∈。 例4(P74、1)

例5(P74、3)

1?不变子群的交是不变子群。

2?交换群的子群是不变子群。

3?群G 的中心(){|,}C G a G x G xa ax =∈?∈=是G 的不变子群。

4?设12,H H G ≤且有一个是不变子群,则12H H G <。

7、商群 设H G <,令{|}G H aH a G =∈,,aH bH G H ?∈,定义

()()()aH bH ab H = 则它是G H 的代数运算,叫做陪集的乘法。G H 关于陪集的乘法作成群,叫做G 关于H 的商群。

当||G <∞时,有||||||

G G H H =。 四、群同态 设?是群G 到G 的同态满射,则

1、G 也是群;

2、()e e ?=;

3、11()[()]a a ??--=;

4、|()|||a a ?;

5、ker {|()}a G a e G ??=∈=<;

6、ker (:ker ())G G a a σ?σ???→;

7、()H G H G ?≤?≤;

8、()H G H G ??<<;

9、1()H G H G ?-≤?≤;

10、1()H G H G ?-?<<。 注:若H G <,则映射:()a aH a G ?→?∈是G 到G H 的同态满射,叫做自然同态。

环论部分

一、基本概念

1、环的定义

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