历年名牌大学自主招生数学考试试题及答案

上海交通大学2007年冬令营选拔测试数学试题

一、填空题（每小题5分，共50分）

1．设函数()f x 满足2(3)(23)61f x f x x +-=+，则()f x = ． 2．设,,a b c 均为实数，且364a b ==，则11a

b

-= ． 3．设0a >且1a ≠，则方程2122x a x x a +=-++的解的个数为 ．

4．设扇形的周长为6，则其面积的最大值为 ． 5．11!22!33!!n n ?+?+?++?= ．

6．设不等式(1)(1)x x y y -≤-与22x y k +≤的解集分别为M 和N ．若M N ?，则k 的最小值为 ． 7

．

设

函

数

()x

f x x

=

，则

2112()3()()n S f x f x nf x -=++++= ．

8．设0a ≥，且函数()(cos )(sin )f x a x a x =++的最大值为

25

2

，则a = ．

9．6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位，则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为 ． 10．已知函数121

()1

x f x x -=

+，对于1,2,n =，定义11()(())n n f x f f x +=，若

355()()f x f x =，则28()f x = ．

二、计算与证明题（每小题10分，共50分）

11．工件内圆弧半径测量问题．

为测量一工件的内圆弧半径R ，工人用三个半径均为r 的圆柱形量棒

123,,O O O 放在如图与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺

水平面到中间量棒2O 顶侧面的垂直深度h ，试写出R 用h 表示的函数关系式，并计算当

10,4r mm h mm ==时，R 的值．

12．设函数()sin cos f x x x =+，试讨论()f x 的性态（有界性、奇偶性、单调性和周期性），求其极值，并作出其在[]0,2π内的图像． 13．已知线段AB 长度为3，两端均在抛物线2x y =上，试求AB 的中点

M 到y 轴的最短距离和此时M 点的坐标．

参考答案：

1. 21x -

2. 1

2- 3. 2 4. 94

5. ()1!1n +-

6. 2

7. ()()()1

10211210

4

n

n n x n x ?+>???+--?

8. ± 9. 43

45 10. 2353x x -- 11.22

R r r h

=+，60R mm = 12.

??；偶函数；11,224k k πππ??

+????

()k Z ∈；1

1,

242

k k πππ+??

+??

?

?

()k Z ∈；周期为2π

13. min 54d =

；5,42M ?± ??

14.略；反证法 15. 2；3；232322n n --?+

2008年交大冬令营数学试题参考答案2008.1.1

一．填空题

1．若21()21x x f x -=+，1()()g x f x -=，则3

()_______5

g =．2

2．函数218x y x +=

+的最大值为__________．1

4

3．等差数列中，81353a a =，则前n 项和n S 取最大值时，n 的值为__________．20

4．复数||1z =,若存在负数a 使得2220z az a a -+-=，则

________a =

5．若1cos sin 2x x -=，则33cos sin ________x x -=．1116

6．数列{}n a

的通项公式为n a =，则这个数列的前99

项之和99_______S =．

910

7．2(1)(1)x x ++++……9899(1)(1)x x ++++中3x 的系数为________．4

100

C =3921225

8．数列{}n a 中，00a =，11

2a =-，26a =，334a =-，420a =，556

a =-，

642a =，77

8

a =-，872a =，此数列的通项公式为_______n a =．(1)

(1)(1)

n

n

n n --+

9．甲、乙两厂生产同一种商品．甲厂生产的此商品占市场上的80%，乙厂生产的占20%；甲厂商品的合格率为95%，乙厂商品的合格率为90%．若某人购买了此商品发现为次品，则此次品为甲厂生产的概率为__________．2

3

10．若曲线221:0C x y -= 与 222:()1C x a y -+=的图像有3个交点，则

a = ．1±

二．解答题

1．30个人排成矩形，身高各不相同．把每列最矮的人选出，这些人中最高的设为a ；把每行最高的人选出，这些人中最矮的设为b ． （１）a 是否有可能比b 高？ （２）a 和b 是否可能相等？ 1．

解：()1不可能

① 若a 、b 为同一人，有a b =； ② 若a 、b 在同一行、列，则均有a b ≤；

③ 若a 、b 不在同一行、列，同如图1以5*6的矩形为例，记a

所在列与b 所在行相交的人为x 。 因为a 为a 、x 列最矮的人，所以有a x <； 又因为b 为b x 、列最高的人，所以有b x >；

于是有a x b

<<。

综上，不可能有a b

>

()2有可能，不妨令30个人身高由矮至高分别为1,2,330

……，如图2所示：

此时有26

==．

a b

3．世界杯预选赛中，中国、澳大利亚、卡塔尔和伊拉克被分在A组，进行主客场比赛．规定每场比赛胜者得三分，平局各得一分，败者不得分．比赛结束后前两名可以晋级．

（１）由于4支队伍均为强队，每支队伍至少得3分．于是甲专家预测：中国队至少得10分才能确保出线；

乙专家预测：中国队至少得11分才能确保出线．

问：甲、乙专家哪个说的对？为什么？

（２）若不考虑()1中条件，中国队至少得多少分才能确保出线？解：()1乙专家

若中国队得10分，则可能出现其余三队12分、10分、10分的情况，以澳大利亚12分，，卡塔尔10分，伊拉克3分为例，得分情况如下表。中国队无法确保晋级，因此甲专家说的不对。

澳澳中中卡卡伊伊总分

澳 3 0 3 0 3 3 12 中 0 3

1 3 0 3 10 卡 0 3 1 0

3 3 10 伊 0 0 3 0 0 0

3

假设中国队得了11分而无法晋级，则必为第三名，而第一名、第二名均不少于11分，而第四名不少于3分。12场比赛四队总得分至多36分，所以前三名11分，第四名3分。而四队总分36分时不能出现一场平局，而11不是3的倍数，故出线平局，矛盾！ 所以中国队得11分可以确保出线。

()2若中国队得12分，则可能出线如表情况，仍无法确保晋级。

澳 澳 中 中 卡 卡 伊 伊 总分 澳

3 0 3 0 3 3 12 中 0 3

0 3 3 3 12 卡 0 3 3 0

3 3 12 伊 0 0 0 0 0 0

假设中国队得13分仍无法出线，则必为第3名，则第一名、第二名均不少于13分，总得分已经不少于39分大于36分，矛盾！ 故中国队至少得13分才可以确保出线。

4．通信工程中常用n 元数组123(,,,)n a a a a ……表示信息，其中0i a =或1，

i n N ∈、．设123(,,)n u a a a a =……，123(,,)n v b b b b =……，(,)d u v 表示u 和v 中

相对应的元素不同的个数．

（１）(0,0,0,0,0)u =问存在多少个5元数组v 使得(,)1d u v =；

（２）(1,1,1,1,1)u =问存在多少个5元数组v 使得(,)3d u v =； （３）令0

(0,0,00)n w =个……，123(,,)n u a a a a =……，123(,,)n v b b b b =……，

求证：(,)(,)(,)d u w d v w d u v +≥． 解：()15； ()23510C =；

()3记u v 、中对应项同时为0的项的个数为p ，

对应项同时为1的项的个数为q ，则对应项一个为1，一个为0的项的个数为n p q --；

()p q N p q n ∈+≤、，．

(,)d u w 即是u 中1的个数，(,)d v w 即是v 中1的个数，(,)d u v 是u v

、中对应项一个为1，一个为0的项的个数。

于是有(,)d u v n p q =--

u v 、中1一共有2()q n p q +--个，即(,)(,)d u w d v w n p q +=-+

所以有(,)(,)(,)20d u w d v w d u v q +-=≥ 于是(,)(,)(,)d u w d v w d u v +≥．

5．曲线()220y px p =>与圆22(2)3x y -+=交于A B 、两点，线段AB 的中点在y x =上，求p ． 解：设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 联立22(2)3x y -+=与22y px =， 得：22(2)10x p x +-+=． 知

12

22

x x p +=-，121x x =； 22212121212()22()y y y y y y p x x +=+-=+ 且1212y y x x +=+． 得124(2)(1)y y p p =--．

又2222121244y y p x x p ==． 所以21228124y y p p p ==-+

解得p =

p =（舍）． 2011年同济大学等九校(卓越联盟)自主招生 数学试题 一、选择题,

1.已知向量,a b 为非零向量,(2),(2),a b a b a b -⊥-⊥则,a b 夹角为( ) A. 6

π B. 3

π C. 3

2π D. 6

5π

2.已知sin 2()sin 2,r n αβ+=则tan()

tan()

αβγαβγ++=-+( )

A. 11

n n -+ B.

1n

n + C .1n n - D.11

n n +- 3.在正方体1111ABCD A B C D -中,E 为棱1AA 的中点,F 是棱11A B 上的点,且

11:1:3A F FB =,则异面直线EF 与1BC 所成角的正弦值为( )

4.i 为虚数单位,设复数z 满足||1z =,则2221z z z i

-+-+的最大值为( )

1 B. 21 D. 25.已知抛物线的顶点在原点,焦点在x 轴上,ABC ?三个顶点都在抛物线上,且ABC ?的重心为抛物线的焦点,若BC 边所在的直线方程为

4200x y +-=,则抛物线方程为( )

A.. 216y x =

B. 28y x =

C. 216y x =-

D. 28y x =- 6.在三棱柱111ABC A B C -中,底面边长与侧棱长均不等于2,且E 为1CC 的中点,则点1C 到平面1AB E 的距离为( )

B

D.

2

7.若关于x的方程2

||

4

x

kx

x

=

+

有四个不同的实数解,则k的取值范围为( )

A. (0,1)

B. 1(,1)

4

C.1(,)

4

+∞ D. (1,)

+∞

8.如图,ABC

?内接于O,过BC中点D作平行于AC的直线,l l交AB于E,交O于G F

、,交O在A点处的切线于P,若3,2,3

PE ED EF

===,则PA 的长为( )

D.

9.数列{}

k

a共有11项,111

0,4,

a a

==且1

||1,1,2,,10

k k

a a k

+

-==

满足这种条件的不同数列的个数为( )

A. 100

B. 120

C. 140

D. 160

10.设σ是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为2

7

π的旋转,

τ表示坐标平面关于y轴的镜面反射.用τσ表示变换的复合,先做τ,再做σ.用kσ表示连续k次σ的变换,则234

στστστσ是( )

A. 4σ

B. 5σ

C.2στ

D.2

τσ

二、解答题

13.已知椭圆的两个焦点为

12

(1,0),(1,0)

F F

-,且椭圆与直线y x=-相切.

(1)求椭圆的方程;

(2)过

1

F作两条互相垂直的直线12,l l,与椭圆分别交于,P Q及,M N,求四边形PMQN面积的最大值与最小值.

14.一袋中有a个白球和b个黑球.从中任取一球,如果取出白球,则把它放回袋中;如果取出黑球,则该黑球不再放回,另补一个白球放到袋

中.在重复n 次这样的操作后,记袋中白球的个数为n X . (1)求1EX ;

(2)设()n k P X a k p =+=,求1(),0,1,,;n P X a k k b +=+=

(3)证明:11

(1) 1.n n EX EX a b

+=-++ 参考答案: 一.选择题1. 2. 3. 4. 5. 6.7.8.9.10.B D B C A D C B B D

二.解答题

13.【解】设椭圆方程为22

221(0)x y a b a b

+=>>,

因为它与直线y x =只有

一个公共点,

所以方程组22

2

21,x y a

b y x ?+=???=?

只有一解,

整理得2222222()30a b x x a a b +-+-=. 所以

2222222(23)4((3)0,a a b a a b =--+-=得223a b +=.

又因为焦点为12(1,0),(1,0)F F -,所以221,a b -=联立上式解得222,1a b ==

所以椭圆方程为2

212

x y +=

.

(2)若

PQ

斜率不存在(或为0)时,则

||||

22

PMQN PQ MN S ?=

==四边形.

若PQ 斜率存在时,设为(0)k k ≠,则MN 为1k

-.

所以直线PQ 方程为y kx k =+.设PQ 与椭圆交点坐标为1122(,),(,)P x y Q x y

联立方程22

1,

2.x y y kx k ?+=???=+?

化简得2222(21)4220k x k x k +++-=.

则22121222422

,2121

k k x x x x k k --+==++

所以

12

|||

PQ x x

=-==

同理可得||

MN=

所以

2

2242

224242

1

||||(1)2112

4444()

2(2)(21)2522252 PMQN

k

PQ MN k k k

S

k k k k k k

?+++

====-

++++++四边形

2

42

2

2

111

4()4()

1

2410424410

k

k k k

k

=-=-

++++

因为2

2

1

44101018

k

k

++≥=（当且仅当21

k=时取等号）

所以,

2

2

11

(0,],

118

4410

k

k

∈

++

也所以

2

2

1116

4()[,2]

1

29

4410

k

k

-∈

++

所以综上所述,

PMQN

S

四边形

的面积的最小值为16

9

,最大值为2.

14.【解】(1)1

n=时,袋中的白球的个数可能为a个(即取出的是白球),

概率为a

a b

+

;也可能为1

a+个(即取出的是黑球),概率为

b

a b

+

,故

2

1

(1)

a b a ab b

EX a a

a b a b a b

++

=?++?=

+++

.

(2)首先,

10

(0);

n

a

P X a P

a b

+

=+=?

+

1

k≥时,第1

n+次取出来有a k+个白球的可能性有两种;

第n次袋中有a k+个白球,显然每次取出球后,球的总数保持不变,即a b+个白球(故此时黑球有b k-个),第1

n+次取出来的也是白球,这

种情况发生的概率为;

k

a k

P

a b

+

?

+

第n次袋中有1

a k

+-个白球,第1

n+次取出来的是黑球,由于每次球的总数为a b+个,故此时黑球的个数为1

b k

-+.这种情况发生的概率为1

1

(1)

k

b k

P k

a b

-

-+

?≥

+

.

故111()(1).n k k a k b k P X a k P P k a b

a b

+-+-+=+=?+?≥++

(3)第1n +次白球的个数的数学期望分为两类:

第n 次白球个数的数学期望,即n EX .由于白球和黑球的总个数为

a b +,第1n +次取出来的是白球,这种情况发生的概率是

n

EX a b

+;第1n +次取出来的是黑球,这种情况发生的概率是n

a b EX a b

+-+,此时白球的个数

是 1.n EX +

故21()(1)(1)(1)n n n n

n n n n EX a b EX EX EX EX EX EX EX a b a b a b a b ++-=+?+=+-+++++

22()())1

1(1)1n n n n n EX EX EX EX EX a b a b a b a b

=+-+-=-+++++

清华大学保送生暨自主招生北京冬令营

数学笔试试题（2009年12月30日）

1.求()x

e f x x

=的单调区间及极值.

2.设正三角形1T 边长为a ，1n T +是n T 的中点三角形，n A 为n T 除去1

n T +后剩下三个三角形内切圆面积之和.求1lim n

k n k A →∞

=∑. 3.已知某音响设备由五个部件组成，A 电视机，B 影碟机，C 线路，D 左声道和E 右声道，其中每个部件工作的概率如下图所示.能听到声音，当且仅当A 与B 中有一工作，C 工作，D 与E 中有一工作；且若D 和E 同时工作则有立体声效果.

求：（1）能听到立体声效果的概率；

（2）听不到声音的概率.

4.(1)求三直线60

x y

+=，

1

2

y x

=，0

y=所围成三角形上的整点个

数；

(2)求方程组

2

1

2

60

y x

y x

x y

<

?

??

>

?

?

+=

??

的整数解个数.

5.已知(1,1)

A--，△ABC是正三角形，且B、C在双曲线1(0)

xy x

=>一支上.

(1)求证B、C关于直线y x

=对称；

(2)求△ABC的周长.

复旦大学2010年选拔生考试数学试题

一、填空(每小题5分，共45分)

1．sin x+sin y=0，则cos2x-sin2y=___________________．

2．平面π1,π2成α的二面角，平面π1中的椭圆在平面π2中的射影是圆，那么椭圆短轴与长轴之比为__________．

3．(x2+2x+2)(y2-2y+2)＝1，则x+y=________________________．

4．电话号码0，1不能是首位，则本市电话号码从7位升到8位，使得电话号码资源增加____．

5．2002=83a 3+82a 2+8a 1+a 0，0≤a 0,a 1,a 2,a 3≤7正整数，则

a 0=______________．

6．15

(x

的常数项为_________________． 7．

n ＝__________________． 8．空间两平面α,β，是否一定存在一个平面均与平面α,β垂直？___________．

9．在△ABC 中，cos(2A -C )＝cos(2C -B )，则此三角形的形状是________________． 二、解答题(共87分)

1．求解：cos3x tan5x ＝sin7x ．

2．数列3，3-lg2，…,3-(n -1)lg2．问当n 为几时，前n 项的和最大？

3．求证：x ∈R 时，|x -1|≤4|x 3-1|． 4．a 为何值时，方程

22lg lg()

log (1)lg 2lg 2

x a x a -+=-有解？只有一解？ 5．一艘船向西以每小时10公里的速度航行，在它的西南方向有一台风中心正以每小时20公里速度向正北方向移动，船与台风中心距离300米，在台风中心周围100米处将受到影响，问此船航行受台风影响的时间段长度？

6．x 3-2y 3

＝1的所有整数解(x ,y )，试证明：1

334

|2|||

x y y -<．

1．设f (x )1，则1

0(2)f x dx =?__________． 2．设(0,)2

x π

∈，则函数(22

22

11sin )(cos )sin cos x x x x

+

+的最小值是__________．

3．方程316281536x x x ?+?=?的解x ＝__________．

4．向量2a i j =+在向量34b i j =+上的投影()b a =__________．

5．函数2y x =+的单调增加区间是__________．

6．两个等差数列200，203，206，…和50，54，58…都有100项，它们共同的项的个数是__________．

7．方程7x 2-(k +13)x +k 2-k -2＝0的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则k 的取值范围是__________．

8．将3个相同的球放到4个盒子中，假设每个盒子能容纳的球数不限，而且各种不同的放法的出现是等可能的，则事件“有3个盒子各放一个球”的概率是________．

2、选择题(本题共15分，每小题3分．在每小题给出的4个选项中，

只有一项正确，把所选项的字母填在括号内) 1．若今天是星期二，则31998天之后是

( ) A ．星期四

B ．星期三

C ．星期二

D ．星期一 2．用13个字母A ，A ，A ，C ，

E ，H ，I ，I ，M ，M ，N ，T ，T 作拼字

游戏，若字母的各种排列是随机的，恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率是 ( )

A ．

48

13!

B ．216

13!

C ．

1728

13!

D ．

813!

3．方程cos 2x -sin 2x +sin x ＝m +1有实数解，则实数m 的取值范围是 ( ) A ．18

m ≤

B ．m >-3

C ．m >-1

D ．138

m -≤≤

4．若一项数为偶数2m 的等比数列的中间两项正好是方程x 2+px +q ＝0的两个根，则此数列各项的积是

( ) A ．p m

B ．p 2m

C ．q m

D ．q 2m 5．设f ’(x 0)＝2，则000

()()

lim

h f x h f x h h

→+--

( ) A ．-2

B ．2

C ．-4

D ．4

3、证明与计算（本题61分）

1．(6分)已知正数列a 1，a 2，…，a n ，且对大于1的n 有123

2

n a a a n ++

+=

，12

1

2

n n a a a +=

． 试证：a 1，a 2，…，a n 中至少有一个小于1．

2．(10分)设3次多项式f (x )满足：f (x +2)＝-f (-x )，f (0)＝1，f (3)＝4，试求f (x )．

3．(8分)求极限112lim (0)p p p

p n n p n

+→∞+++>． 4．(10分)设2,0

(),

0x bx c x f x lx m x ?++>=?+≤?在x ＝0处可导，且原点到f (x )

中直线的距离为13

，原点到f (x )中曲线部分的最短距离为3，试求b ，c ，l ，m 的值．(b ,c >0)

5．(8分)证明不等式：34

1sin cos 2x x ≤+≤，[0,]2

x π

∈．

6．(8分)两名射手轮流向同一目标射击，射手甲和射手乙命中目标的概率都是12

．若射手甲先射，谁先命中目标谁就获胜，试求甲、乙两射手获胜的概率． 7．(11分)如图所示，设曲线1

y x

=上的点与x 轴上的点顺次构成等腰直

角三角形△OB 1A 1，△A 1B 2A 2，…，直角顶点在曲线1

y x

=上．试求A n 的坐标表达式，并说明这些三角形的面积之和是否存在．

1. 数12825N =?的位数是_______________。

2. ()()()234342423log log log log log log log log log 0x y z ===????????????求x y z ++=

_______________。

3. 8log 3p =，3log 5q =，则用,p q 表示lg 5=_______________。

4. 2sin sin cos αθθ=+，2sin sin cos βθθ=，求

cos 2cos 2α

β

=_______________。 5. 0,2x π

??∈????

，求()cos sin f x x x x =+的最小值为_______________。 6. 有一盒大小相同的球，它们既可排成正方形，又可排成一个正三角形，且正三角形每边上的球恰比每边上正方形多2个小球，球

O

y

x

B 1

A 2

A 1

B 2

数为_______________。

7. 数列1,3,2,中，21n n n a a a ++=-，求100

1i i a ==∑_______________。

8. ()4

212x x +-展开式中7x 系数为_______________。

9. 一人排版，有三角形的一个角，大小为60，角的两边一边长x ，一边长9cm ，排版时把长x 的那边错排成1x +长，但发现角和对边长度没变，则x =_______________。

10.掷三粒骰子，三个朝上点恰成等差列()1d =的概率为_______________。

11.()()112a b ++=，则arctan arctan a b +=（ ） 12.A ．2π B ．3π C ．4π D ．6

π

13.某人向正东走xkm ，再左转150朝新方向走了3km

，结果离出发点

，则x =（ ）

A

．．3 D ．不确定

14.11

1

32162121212??????+++= ???

???

????

（ ） A ．1

1321122-??- ??? B ．1

13212-??- ??? C ．1

3212- D ．1321122??- ???

15.0t ≥，()(){}

222,S x y x t y t =-+≤，则（ ）

A ．t ?，()0,0S ?

B ．S 的面积[)0,π∈

C ．对5t ?≥，S ?第一象限

D ．t ?，S 的圆心在y x =上 16.一个圆盘被2n 条等间隔半径与一条割线所分割，则不交叠区域最多有（ ）个

A ．22n +

B ．31n -

C ．3n

D ．31n +

17.()40

cos 4590k k i k =+=∑（ ）

A

．

2 B

)

2120i - D

)2120i + 18.对,x y R +∈，定义*xy

x y x y

=

+，则()*满足（ ） A ．交换律 B ．结合律 C ．都不 D ．都可 19.()6090125mod N ≡≡，则81≡（ ）()mod N

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

20.()222f x x x =++，在[],1x t t ∈+上最小值为()g t ，求()g t 。

21.x R +∈，求()()6

6633312

1x x x x f x x x x x --??+-+- ???=??+++ ??

?的最小值。

22.()121

1

x f x x -=

+，()()11n n f x f f x +=????，求()28f x 23.2226cos 9sin 8sin 9y x x t t t =--++（,t R t ∈为参数）

①求顶点轨迹，②求在12y =上截得最大弦长的抛物线及其长。 24.n a 为递增数列，11a =，24a =

，在y =

(n n P a ，以

1,n n OP OP +与曲线1n n P P +围成面积为n S ，若{}n S 为4

5

q =

的等比数列，求1

i i S ∞

=∑和lim n n a →∞

。

1．三次多项式f (x )满足f (3)＝2f (1)，且有两个相等的实数根2，则第三个根为___________．

2．用长度为12的篱笆围成四边形，一边靠墙，则所围成面积S 的最大值是_______________．

3．已知,x y R +∈，x +2y ＝1，则2

2x y

+的最小值是______________． 4．有4个数，前3个成等比数列，后3个成等差数列，首末两数和为32，中间两数和为24，则这四个数是___________________． 5．已知f (x )=ax 7+bx 5+x 2+2x -1，f (2)=-8，则f (-2)=_______________． 6．投三个骰子，出现三个点数的乘积为偶数的概率是_______________．

7．正四面体的各个面无限延伸，把空间分为________________个部分．

8．有n 个元素的集合分为两部分，空集除外，可有___________种分法．

9．有一个整数的首位是7，当7换至末位时，得到的数是原数的三分之一，则原数的最小值是___________． 10．100!末尾连续有______________个零． 二、解答题（本大题共60分，每题10分）

11．数列{a n }的a 1=1，a 2=3，3a n +2=2a n +1+a n ，求a n 和lim n n a →∞

．

12．3个自然数倒数和为1．求所有的解．

13．已知x 1000+x 999(x +1)+…+(x +1)1000，求x 50的系数．

14．化简：(1) 11!22!!n n ?+?++?； (2) 12

12k

n n n k C C C +++++

+．

15．求证：342

231

a a

a a +++为最简分式．

1．函数1

()2y f t x x

=-，当x =1时，252t y t =-+，则f (x )＝

【精品】2021年全国高校自主招生数学模拟试卷含答案15

2021年全国高校自主招生数学模拟试卷十五 含答案 一．选择题(每小题5分，共30分) 1．若M={(x ，y )| |tan πy |+sin 2πx=0}，N={(x ，y )|x 2+y 2 ≤2}，则M ∩N 的元素个数是（ ） (A )4 (B )5 (C )8 (D )9 2．已知f (x )=a sin x +b 3 x +4(a ，b 为实数)，且f (lglog 310)=5，则f (lglg3)的值是（ ） (A )-5 (B )-3 (C )3 (D )随a ，b 取不同值而取不同值 3．集合A ，B 的并集A ∪B={a 1，a 2，a 3}，当A ≠B 时，(A ，B )与(B ，A )视为不同的对，则这样的(A ，B )对的个数是（ ） （A ）8 （B ）9 （C ）26 （D ）27 4．若直线x =π 4被曲线C :(x -arcsin a )(x -arccos a )+(y -arcsin a )(y +arccos a )=0所截的 弦长为d ，当a 变化时d 的最小值是( ) (A ) π4 (B ) π3 (C ) π 2 (D )π 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，若c -a 等于AC 边上的高h ，则sin C －A 2 +cos C +A 2 的值是( ) (A )1 (B ) 12 (C ) 1 3 (D )-1 6．设m ，n 为非零实数，i 为虚数单位，z ∈C ，则方程|z +ni |+|z -mi |=n 与|z +ni |-|z -mi |=-m 在同一复平面内的图形(F 1，F 2为焦点)是( ) 二、填空题（每小题5分，共30分） 1．二次方程(1-i )x 2 +(λ+i )x +(1+i λ)=0(i 为虚数单位，λ∈R )有两个虚根的充分必要条 (A) (B) (C) (D)

初中升高中-学校自主招生选拔考试-数学试题

数学试卷 一、选择题（30分） 1．在0，-2, 1，-3这四个数中，最小的数是( ). A ．0 B ．-2 C ．1 D ．-3 2. 函数中，自变量的取值范围是( ). A ．x≥1 B ．x≤1 C ．x≥-1 D ．x≤-1 3．把不等式组 的解集表示在数轴上，下列选项正确的是( ). A ． B ． C ． D ． 4．如图，小红和小丽在操场上做游戏，她们先在地上画出一个圆圈，然后蒙上眼在一定距离外向圆圈内投小石子，则投一次就正好投到圆圈内是( ). A ．必然事件（必然发生的事件） B ．不可能事件（不可能发生的事件） C ．确定事件（必然发生或不可能发生的事件） D ．不确定事件（随机事件） 5. 若x1、x2是一元二次方程的两个根，则x12的值是( ). A.3 3 C.2 2 6．我们从不同的方向观察同一物体时，可以看到不同的平面图形，如图，从图的左面看这个几何体的左视图是( ). A ． B ． C ． D ． 7．已知 ，我们又定义 ，， ，……，根据你观察的规律可推测出＝( ). 1 0 1 0 1 0 1 0

A. B. C. D. 8．如图，在矩形中，M、N分别为边、边的中点， 将矩形沿折叠，使A点恰好落在上的点F处， 则∠的度数为( ). A．20°B．25 °C．30°D．36° 9.为了解某区九年级学生课外体育活动的情况，从该年级学生中随机 抽取了4%的学生，对其参加的体育活动项目进行了调查，将调查的数据进行统计并绘制了扇形图和条形图.下列结论：①被抽测学生中参加羽毛球项目人数为30人；②在本次调查中“其他”的扇形的圆心角的度数为36°；③估计全区九年级参加篮球项目的学生比参加足球项目的学生多20%；④全区九年级大约有1500名学生参加乒乓球项目.其中正确结论的个数是( ). A. 1个 B.2个 C. 3个 D.4个 10．如图，等腰△中，∠90°，4，⊙C的半径为1，点P在斜边上，切⊙O于点Q，则切线长长度的最小值为( ). A. B. C. 3 D.4 二、填空题（18分） 11．如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O

中学自主招生考试数学试卷试题

2010年科学素养测试 数学试题 【卷首语】亲爱的同学们，欢迎参加一六八中学自主招生考试，希望你们凝神静气，考出水平！开放的一六八中学热忱欢迎你们！本学科满分为120分，共17题；建议用时90分钟。 一、填空题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1、计算= . 2、分解因式：= . 3、函数中，自变量x的取值范围是. 4、已知样本数据x1，x2，…，x n的方差为1，则数据10x1＋5，10x2＋5，…，10x n＋5的方 差为. 5、函数的图像与坐标轴的三个交点分别为（a, 0）(b, 0)（0, c)，则a+b+c的值等 于. 6、在同一平面上，⊙、⊙的半径分别为2和1，＝5，则半径为9且与⊙、⊙都相切的圆有 个． 7、一个直角三角形斜边上的两个三等分点与直角顶点的两条连线段长分别为3 cm和4 cm， 则斜边长为cm . 8、用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案：

则第10个图案中有白色地面砖块. 9、将函数的图像平移，使平移后的图像过C（0，-2），交x轴于A、B两点，并且△ABC 的面积等于4，则平移后的图像顶点坐标是. 10、如图，平行四边形ABCD中，P点是形内一点，且△P AB的面积等于8 cm2，△P AD的 面积等于7 cm2，，△PCB的面积等于12 cm2，则△PCD的面积是cm2. （第10题图）（第11题图） 11、一个由若干个相同大小的小正方体组成的几何组合体，其主视图与左视图均为如图所 示的3 × 3的方格，问该几何组合体至少需要的小正方体个数是. 12、正△ABC内接于⊙O，D、E分别是AB、AC的中点，延长DE交⊙O与F, 连接BF交 AC于点P,则. 二、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分） 13、已知（a+b）∶(b+c)∶(c+a)=7∶14∶9 求：①a∶b∶c②

自主招生数学试卷(含答案)

中学自主招生数学试卷 一、选择题（共5小题，每题4分，满分20分） 1．（4分）下列图中阴影部分面积与算式|﹣|+（）2+2﹣1的结果相同的是（） A．B．D． 2．（4分）如图，∠ACB=60°，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（） A．2πB．4πC．2D．4 3．（4分）如果多项式x2+px+12可以分解成两个一次因式的积，那么整数p的值可取多少个（） A．4 B．5 C．6 D．8 4．（4分）小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多多少道（） A．15 B．20 C．25 D．30 5．（4分）已知BD是△ABC的中线，AC=6，且∠ADB=45°，∠C=30°，则AB=（） A．B．2C．3D．6 二、填空题（共6题，每小题5分，满分30分） 6．（5分）满足方程|x+2|+|x﹣3|=5的x的取值范围是． 7．（5分）已知三个非负实数a，b，c满足：3a+2b+c=5和2a+b﹣3c=1，若m=3a+b﹣7c，则m的最小值为． 8．（5分）如图所示，设M是△ABC的重心，过M的直线分别交边AB，AC于P，Q两

点，且=m，=n，则+=． 9．（5分）在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点（x，y）称为整点，如果 将二次函数的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色，则此红色区域内部及其边界上的整点个数有个． 10．（5分）如图所示：在平面直角坐标系中，△OCB的外接圆与y轴交于A（0，），∠OCB=60°，∠COB=45°，则OC=． 11．（5分）如图所示：两个同心圆，半径分别是和，矩形ABCD边AB，CD分别为两圆的弦，当矩形ABCD面积取最大值时，矩形ABCD的周长是． 三、简答题（共4小题，满分50分） 12．（12分）九年级（1）、（2）、（3）班各派4名代表参加射击比赛，每队每人打两枪，射中内环得50分，射中中环得35分，射中外环得25分，脱靶得0分．统计比赛结果，（1）班8枪全中，（2）班1枪脱靶，（3）班2枪脱靶，但三个班的积分完全相同，都是255分． 请将三个班分别射中内环、中环、外环的次数填入下表并简要说明理由： 班级内环中环外环

重点高中自主招生考试数学试卷集大全集)

6.如图，点A 在函数=y x 6 -)0(

则使等式{}[]4 2=-x x 成立的整数．．=x ． 16.如图，E 、F ABCD 的边AB 、CD 上 的点，AF 与DE 相交于点 P ，BF 与CE 相交于 点Q ，若S △APD 15 =2cm ，S △BQC 25=2cm ， 则阴影部分的面积为 2cm ． . 19.将背面相同，正面分别标有数字 1、2、3、4的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上. （1）从中随机抽取一张卡片，求该卡片正面上的数字是偶数的概率； （2）先从中随机抽取一张卡片（不放回．．． ），将该卡片正面上的数字作为十位上的数字；再随机抽取一张，将该卡片正面上的数字作为个位上的数字，则 组成的两位数恰好是4的倍数的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明. 20.为配合我市“创卫”工作，某中学选派部分学生到若干处公共场所参加义务劳 动．若每处安排10人，则还剩15人；若每处安排14人，则有一处的人数不足14人，但不少于10人．求这所学校选派学生的人数和学生所参加义务劳动的公共场所个数. 21.如图，四边形ABCD 是正方形，点N 是CD 的中点，M 是AD 边上不同于点A 、 D 的点， 若10 10 sin = ∠ABM ，求证:MBC NMB ∠=∠. 22.如图，抛物线的顶点坐标是?? ? ??892 5，－，且经过点) 14 , 8 (A . (1)求该抛物线的解析式； (2)设该抛物线与y 轴相交于点B ，与x 轴相交于C 、D 两点（点C 在点D 的左边）， 试求点B 、C 、D 的坐标； (3)设点P 是x 轴上的任意一点，分别连结AC 、BC ．试判断：PB PA +与BC AC +23.如图，AB 是⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线BM ，点(第21题图) N (第22题图) C D F （第16题图）

2019高中自主招生数学试题

2019数学试题 考试时间 100分钟 满分100分 说明：（1）请各位同学注意，本试卷题目有一定的难度，你要根据自己的情况量力而行，争取用最短的时间获得最多的分数，提高自己的考试效率！考试，比的不仅是知识和能力，更重要的是要有良好的心态和适合自己的期望值，争取把会做的题目都做对，祝你取得好成绩！ （2）请在背面的答题纸上作答。另外，答完题后注意保护好自己的答案，防止他人的不劳而获，要做到公平竞争！ 一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）。每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入试卷背面的表格里，不填、多填或错填都得0分。 1．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低 气温的雷达图．图中A 点表 示十月的平均最高气温约为15C o ，B 点表示四月的平均最低气温约为5C o ．下面叙述不 正确的是 A ．各月的平均最低气温都在0C o 以上 B ．七月的平均温差比一月的平均温差大 C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D ．平均气温高于20C o 的月份有5个 2．上图是二次函数2y ax bx c =++的部分图象，由图象可知不等式20ax bx c ++<的解集为 A ．1x <-或5x > B ．5x > C ．15x -<< D ．无法确定 第2题 20C o 15C o 10C o 5C o A 十月 四月 三月 二月 一月十二月 十一月 九月 八月 七月 六月 五月 B 平均最低气温 平均最高气温

3．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得密码第一位是,,M I N 中的一 个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 A ． 115 B ． 815 C ．18 D ． 130 4．在ABC ?中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．若22245b c b c +=+-且 222a b c bc =+-，则ABC ?的面积为 A B C D 5．上图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积．．． （表面面积，也叫全面积）为 A ．20π B ．24π C ．28π D ．32π 参考公式：圆锥侧面积S rl π=，圆柱侧面积2S rl π=，其中r 为底面圆的半径，l 为母线长． 6．如下图，在ABC ?中，AB AC =，D 为BC 的中点， BE AC ⊥于E ，交AD 于P ，已知3BP =，1PE =， 则AE = A B C D 7．ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知a =，2c =，2cos 3 A =，则b = A B C ．2 D ．3 8．如下图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短．．路径条数为 A ．9 B ．12 C ．18 D ．24 E G F g g g 正视图 g 侧视图 俯视图 第5题图

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷2

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷2 一．选择题（36分，每小题6分） 1、 函数f(x)=)32(log 22 1--x x 的单调递增区间是 (A) (-∞，-1) (B) (-∞，1) (C) (1，+∞) (D) (3，+∞) 解：由x 2-2x-3>0?x<-1或x>3，令f(x)=u 2 1log , u= x 2-2x-3，故选A 2、 若实数x, y 满足(x+5)2+(y -12)2=142，则x 2+y 2的最小值为 (A) 2 (B) 1 (C) 3 (D) 2 解：B 3、 函数f(x)= 22 1x x x -- (A) 是偶函数但不是奇函数 (B) 是奇函数但不是偶函数 (C) 既是奇函数又是偶函数 (D) 既不是奇函数又不是偶函数 解：A 4、 直线134=+y x 椭圆 19 162 2=+y x 相交于A ，B 两点，该圆上点P ，使得⊿PAB 面积等于3，这样的点P 共有 (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 解：设P 1(4cos α,3sin α) (0<α<2 π )，即点P 1在第一象限的椭圆上，如图，考虑四边形P 1AOB 的面积S 。 S=11 O BP O AP S S ??+=ααcos 432 1 sin 3421??+??=6(sin α+cos α)=)4sin(26πα+ ∴S max =62 ∵S ⊿OAB =6 ∴626)(max 1-=?AB P S ∵626-<3 ∴点P 不可能在直线AB 的上方，显然在直线AB 的下方有两个点P ，故选B 5、 已知两个实数集合A={a 1, a 2, … , a 100}与B={b 1, b 2, … , b 50}，若从A 到B 的映射f 使得B 中的 每一个元素都有原象，且f(a 1)≤f(a 2)≤…≤f(a 100)，则这样的映射共有 (A) 50100C (B) 5090C (C) 49100C (D) 49 99C 解：不妨设b 1

2018年上中自主招生数学试卷及答案

2018上海中学数学自主招生试卷及答案 1. 因式分解：326114x x x -++= 【答案】(1)(34)(21)x x x --+ 【解析】有理根法，有理根p c q = ，分子是常数项的因数，分母是首项系数的因数。 2. 设0a b >>，224a b ab +=，则a b a b +=- 【答案】3 【解析】左右同除以ab ，然后采用换元法；或者采用下面的方式 3. 若210x x +-=，则3223x x ++= 【答案】4 【解析】采用降幂来完成；

4. 已知21()()()4b c a b c a -=--，且0a ≠，则b c a += 【答案】2 【解析】同除以a ，然后采用换元法 ()2 2 440b c b c a a ++-+= 5. 一个袋子里装有两个红球和一个白球（仅颜色不同），第一次从中取出一个球，记下颜 色后放回，摇匀，第二次从中取出一个球，则两次都是红球的概率是 【答案】 4 9

【解析】难度简单，直接为2/3的平方 6. 直线:33l y x =-+与x 、y 轴交于点A 、B ，AOB ?关于直线AB 对称得到ACB ?， 则点C 的坐标是 【答案】33 (, )2 【解析】采用画图的方法解决 7. 一张矩形纸片ABCD ，9AD =，12AB =，将纸片折叠，使A 、C 两点重合，折痕长是 【答案】 454 【解析】

8. 任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即2 n ），如果n 是奇数，则将它乘以3 加1（即31n ），不断重复这样的运算，现在请你研究：如果对正整数n （首项）按照上 述规则施行变换（注：1可以多次出现）后的第八项为1，则n 所有可能取值为 【答案】128、2、16、20、3、21 【解析】

全国各重点大学自主招生数学试题及答案分类汇总

全国各重点大学自主招生数学试题及答案分类汇总一．集合与命题 (2) 二．不等式 (9) 三．函数 (20) 四．数列 (27) 五．矩阵、行列式、排列组合，二项式定理，概率统计 (31) 六．排列组合，二项式定理，概率统计（续）复数 (35) 七．复数 (39) 八．三角 (42)

近年来自主招生数学试卷解读 第一讲集合与命题 第一部分近年来自主招生数学试卷解读 一、各学校考试题型分析： 交大： 题型：填空题10题，每题5分；解答题5道，每题10分； 考试时间：90分钟，满分100分； 试题难度：略高于高考，比竞赛一试稍简单； 考试知识点分布：基本涵盖高中数学教材高考所有内容，如：集合、函数、不等式、数列（包括极限）、三角、复数、排列组合、向量、二项 式定理、解析几何和立体几何 复旦： 题型：试题类型全部为选择题（四选一）； 全考试时间：总的考试时间为3小时（共200道选择题，总分1000分，其中数学部分30题左右，，每题5分）； 试题难度：基本相当于高考； 考试知识点分布：除高考常规内容之外,还附加了一些内容,如：行列式、矩阵等； 考试重点：侧重于函数和方程问题、不等式、数列及排列组合等 同济： 题型：填空题8题左右，分数大约40分，解答题约5题，每题大约12分； 考试时间：90分钟，满分100分； 试题难度：基本上相当于高考； 考试知识点分布：常规高考内容 二、试题特点分析： 1. 突出对思维能力和解题技巧的考查。

关键步骤提示： 2. 注重数学知识和其它科目的整合，考查学生应用知识解决问题的能力。 关键步骤提示： ()()() 42432 22342(2)(2)(1)(2)(1) f a x x a x x x x x x a x x x =--++-=+-+++-1 1 1 (,),(,),(,)n n n i i i i i i i i i i i d u w a d v w b d u v a b a b a b ======-+≥-∑∑∑由绝对值不等式性质，

历年名牌大学自主招生数学考试试题及答案

上海交通大学2007年冬令营选拔测试数学试题 一、填空题（每小题５分，共50分) １．设函数 () f x 满足 2(3)(23)61 f x f x x +-=+,则 ()f x = . 2.设,,a b c 均为实数，且364a b ==,则11a b -= . 3.设0a >且1a ≠,则方程2122x a x x a +=-++的解的个数为 ． 4．设扇形的周长为６,则其面积的最大值为 . 5．11!22!33!!n n ?+?+?++?= . ６.设不等式(1)(1)x x y y -≤-与22x y k +≤的解集分别为M 和N ．若M N ?，则k 的最小值为 . ７ . 设 函 数 ()x f x x = ,则 2112()3()()n S f x f x nf x -=++++= ． 8．设0a ≥，且函数()(cos )(sin )f x a x a x =++的最大值为 25 2 ,则a = ． 9.6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位,则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为 ． 10.已知函数121 ()1 x f x x -= +,对于1,2,n =,定义11()(())n n f x f f x +=,若 355()()f x f x =，则28()f x = . 二、计算与证明题(每小题10分，共50分)

１1.工件内圆弧半径测量问题. 为测量一工件的内圆弧半径R ,工人用三个半径均为r 的圆柱形量棒 123,,O O O 放在如图与工件圆弧相切的位置上,通过深度卡尺测出卡尺 水平面到中间量棒2O 顶侧面的垂直深度h ，试写出R 用h 表示的函数关系式，并计算当 10,4r mm h mm ==时，R 的值． 1２.设函数()sin cos f x x x =+，试讨论()f x 的性态（有界性、奇偶性、单调性和周期性)，求其极值,并作出其在[]0,2π内的图像． １３．已知线段AB 长度为3，两端均在抛物线2x y =上,试求AB 的中点M 到y 轴的最短距离和此时M 点的坐标. 参考答案:

最新全国高校自主招生数学模拟试卷一

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷一 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1. 如图，在正四棱锥 P ?ABCD 中，∠APC =60°，则二面角A ?PB ?C 的平面角的余弦值为（ ） A. 7 1 B. 7 1- C. 2 1 D. 2 1- 2. 设实数a 使得不等式|2x ?a |+|3x ?2a |≥a 2 对任意实数x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合是（ ） A. ]3 1,31[- B. ]21,21[- C. ]3 1,41[- D. [?3，3] 3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全 相同。甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b 。则使不等式a ?2b +10>0成立的事件发生的概率等于（ ） A. 81 52 B. 81 59 C. 81 60 D. 81 61 4. 设函数f (x )=3sin x +2cos x +1。若实数a 、b 、c 使得af (x )+bf (x ?c )=1对任意实数x 恒 成立，则 a c b cos 的值等于（ ） A. 2 1- B. 21 C. ?1 D. 1 5. 设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹不可能是 （ ） 6. 已知A 与B 是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且为A ∩B 空集。若n ∈A 时总有2n +2∈B ，则集合A ∪B 的元素个数最多为（ ） A. 62 B. 66 C. 68 D. 74 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 7. 在平面直角坐标系内，有四个定点A (?3，0)，B (1，?1)，C (0，3)，D (?1，3)及一个动点P ，则|PA |+|PB |+|PC |+|PD |的最小值为__________。 8. 在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB =EF =1，BC =6， 33=CA ，若2=?+?，则与的夹角的余弦值等于________。 9. 已知正方体ABCD ?A 1B 1C 1D 1的棱长为1，以顶点A 为球心， 3 3 2为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于__________。 10. 已知等差数列{a n }的公差d 不为0，等比数列{b n }的公比q 是小于1的正有理数。若a 1=d ， b 1=d 2 ，且3 212 3 2221b b b a a a ++++是正整数，则q 等于________。 11. 已知函数)45 41(2)cos()sin()(≤≤+-= x x πx πx x f ，则f (x )的最小值为________。 12. 将2个a 和2个b 共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方 格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有________种（用数字作答）。 三、解答题（本题满分60分，每小题20分） D P

高中自主招生考试数学试卷

2017高中自主招生考试数学模拟试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）． 1．（3分）若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（） A ． m＞3 B．m≥3C．m≤3D． m＜3 2．（3分）如图，在△ABC中．∠ACB=90°，∠ABC=15°，BC=1，则AC=（） （2）（3）A．B．C．D． 3．（3分）（2011?南漳县模拟）如图，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上，下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A，B两点）上移动时，点P（） A．到CD的距离保持不变B．位置不变 C． 等分 D．随C点移动而移动 4．（3分）已知y=+（x，y均为实数），则y的最大值与最小值的差为（） A． 2﹣1 B． 4﹣2 C． 3﹣2 D． 2﹣2 5．（3分）（2010?泸州）已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（） A．B．C．D． 6．（3分）如图（6），已知一正三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍，当这个圆按箭头方向从某一位置沿正三角形的三边做无滑动的旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（）

A． 6圈B．圈C． 7圈D． 8圈 7．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图（7），则以下结论正确的有：①abc＞0； ②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1，m为实数）（） （6）（7）（8）A． 2个B． 3个C． 4个D． 5个 8．（3分）如图8，正△ABC中，P为正三角形内任意一点，过P作PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC连结AP、BP、CP，如果，那么△ABC的内切圆半径为（） A． 1 B．C． 2 D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）与是相反数，计算=_________． 10．（3分）若[x]表示不超过x的最大整数，，则[A]=_________． 11．（3分）如图，M、N分别为△ABC两边AC、BC的中点，AN与BM交于点O，则= _________． （11）（12） 12．（3分）如图，已知圆O的面积为3π，AB为直径，弧AC的度数为80°，弧BD的度数为20°，点P为直径AB上任一点，则PC+PD的最小值为_________．

高中自主招生考试数学试卷

高中自主招生考试数学试卷 亲爱的同学： 欢迎你参加萧山中学自主招生考试。萧山中学是省一级重点中学，有雄厚的师资，优秀的学生，先进的育人理念，还有美丽的校园，相信你的加盟将使她更加星光灿烂。为了你能顺利地参加本次考试，请你仔细阅读下面的话： 1、试卷分试题卷和答题卷两部分。满分为100分，考试时间为70分钟。 2、答题时，应该在答题卷密封区内写明姓名、学校和准考证号码。 3、所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，请务必注意试题序号和答题序号相对应。 一、选择题：（每个题目只有一个正确答案，每题4分，共32分） 1．计算tan602sin 452cos30?+?-?的结果是（ ） A ．2 B ．2 C ．1 D ．3 2．如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30?到正方形AB C D '''，图中阴影部分的面积为（ ） A ．313 - B ． 33 C ．314 - D ． 12 3．已知b a ,为实数，且1=ab ，设11+++= b b a a M ，1 1 11++ +=b a N ，则N M ,的大小关系是（ ） A ．N M > B ．N M = C ．N M < D ．无法确定 4. 一名考生步行前往考场， 10分钟走了总路程的 4 1 ，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了( ) A ．20分钟 Ｂ．22分钟 Ｃ．24分钟 D ．26分钟 5.二次函数1422 ++-=x x y 的图象如何移动就得到2 2x y -=的图象（ ） A. 向左移动1个单位，向上移动3个单位。 B. 向右移动1个单位，向上移动3个单位。 C. 向左移动1个单位，向下移动3个单位。 D. 向右移动1个单位，向下移动3个单位。 6．下列名人中：①比尔?盖茨 ②高斯 ③刘翔 ④诺贝尔 ⑤陈景润 ⑥陈省身 ⑦高尔基 ⑧爱因斯坦，其中是数学家的是（ ） A ．①④⑦ B ．②④⑧ C ．②⑥⑧ D ．②⑤⑥ 7．张阿姨准备在某商场购买一件衣服、一双鞋和一套化妆品，这三件物品的原价和优惠方 式如下表所示： 欲购买的 商品 原价（元） 优惠方式 A B C D B ' D C '

四川省绵阳中学自主招生考试数学试题

数学素质考查卷 一.选择题：（本大题共12个小题，每个4分，共48分，将所选答案填涂在机读卡上） 1、下列因式分解中，结果正确的是（ ） A.2322()x y y y x y -=- B.424(2)(x x x x -=+ C.21 1(1)x x x x x --=-- D.21(2)(1)(3)a a a --=-- 2、“已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，试判断a b c ++与 0的大小.”一同学是这样回答的：“由图像可知：当1x =时0y <， 所以0a b c ++<.”他这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫 做（ ） A.换元法 B.配方法 C.数形结合法 D.分类讨论法 3、已知实数x 满足22114x x x x ++-=，则1 4x - 的值是（ ） A.-2 B.1 C.-1或2 D.-2或1 4、若直线21y x =-与反比例函数k y x =的图像交于点(2,)P a ，则反比例函数k y x =的图像还必过点（ ） A. (-1,6) B.(1,-6) C.(-2,-3) D.(2,12) 5、现规定一种新的运算：“*”：*()m n m n m n -=+，那么51 *22＝（ ） A. 54 B.5 C.3 D.9 6、一副三角板，如图所示叠放在一起，则AOB COD ∠+∠＝ （ ） A.180° B.150° C.160° D.170° 7、某中学对2005年、2006年、2007年该校住校人数统计时发现，2006年比2005年增加20%，2007年比2006年减少20%，那么2007年比2005年（ ） A.不增不减 B.增加4％ C.减少4％ D.减少2％

2010年北京大学自主招生数学试题(含详细答案)

2010年北京大学、香港大学、北京航空航天大学 三校联合自主招生考试试题 （数学部分） 1．（仅文科做）02 απ<< ，求证：sin tan ααα<<．（25分） 【解析】 不妨设()sin f x x x =-，则(0)0f =，且当02 x π<< 时，()1cos 0f x x '=->．于是 ()f x 在02x π << 上单调增．∴()(0)0f x f >=．即有sin x x >． 同理可证()tan 0 g x x x =->． (0)0g =，当02 x π<< 时，2 1()10 cos g x x '= ->．于是()g x 在02 x π<< 上单调增． ∴在02 x π<< 上有()(0)0g x g >=．即tan x x >． 注记：也可用三角函数线的方法求解． 2．AB 为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB 2 （25分） 【解析】 以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面 直角坐标系． ⑴当,A B 中有一点位于P 点时，知另一点位于1R 或者2R 时有最大值为1PR ；当有一点位于O 点时，1 m ax AB O P PR =<； ⑵当,A B 均不在y 轴上时，知,A B 必在y 轴的异侧方可能取到最大值（否则取A 点关于y 轴的对称点A '，有AB A B '<）． 不妨设A 位于线段2OR 上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是合理的），则使A B 最大的B 点必位于线段PQ 上． 且当B 从P 向Q 移动时，A B 先减小后增大，于是max AB AP AQ =或； 对于线段PQ 上任意一点B ，都有2B R B A ≥．于是 22max AB R P R Q ==

小升初自主招生考试数学试题

小升初自主招生考试数学试题 一、填空。（16分，每空1分） 1、南水北调中线一期工程通水后，北京、天津、河北、河南四个省市沿线约60000000人将直接喝上水质优良的汉江水（横线上的数读作）。其中河北省年均调水量配额为三十四亿七千万立方米（横线上的数写作，省略亿位后面的尾数， 约是亿）， 2、 直线上A 点表示的数是（ ），B 点表示的数写成小数是（ ）， C 点表示的数写成分数是（ ）。 3、分数a 8 的分数单位是（ ），当a 等于（ ）时，它是最小的假分数。 4、如下图，把一个平行四边形剪成一个三角形和一个梯形。如果平行四边形的高是0.5厘米，那么三角形的面积是（ ）平方厘米，梯形的面积是（ ）平方厘米。 5、寒暑表中通常有两个刻度——摄氏度和华氏度，他们之间的换算关系是：摄 氏度×5 9 ＋32＝华氏度。当5摄氏度时，华氏度的值是（）；当摄氏度的值是 （）时，华氏度的值等于50。 6、赵明每天从家到学校上课，如果步行需要15分钟，如果骑自行车则只需要9分钟，他骑自行车的速度和步行的速度比是（ ）。 7、把一个高6.28厘米的圆柱的侧面展开得到一个正方形，这个圆柱的底面积是 （ ）平方厘米。 8、按照下面图形与数的排列规律，下一个数应是（ ），第n 个数是（ ）。

二、选择。（把正确答案的序号填在括号里）（16分、每题2分） 1、一根铁丝截成了两段，第一段长37米，第二段占全长的3 7 。两端铁丝的长度比较（ ） A 、第一段长 B 、第二段长 C 、一样长 D 、无法比较 2、数a 大于0而小于1，那么把a 、a 2、 a 1 从小到大排列正确的是（ ）。 A 、a ＜a 2＜a 1 B 、 a ＜a 1＜a 2 C 、a 1＜a ＜a 2 D 、a 2＜a ＜a 1 3、用同样大小的正方体摆成的物体，从正面看到，从上面看到， 从左面看到（ ）。 A 、 B 、 C 、 D 、无法确定 4、一次小测验，甲的成绩是85分，比乙的成绩低9分，比丙的成绩高3分。那么他们三人的平均成绩是（ ）分。 A 、91 B 、87 C 、82 D 、94 5、从2、3、5、7这四个数中任选两个数，和是（ ）的可能性最大。 A 、奇数 B 、偶数 C 、质数 D 、合数 6、观察下列图形的构成规律，按此规律，第10个图形中棋子的个数为（ ）

自主招生考试数学试卷及参考答案

第2题 自主招生考试 数学试题卷 亲爱的同学： 欢迎你参加考试！考试中请注意以下几点： 1．全卷共三大题，满分120分，考试时间为100分钟。 2．全卷由试题卷和答题卷两部分组成。试题的答案必须做在答题卷的相应位置上。做在试题卷上无效。 3．请用钢笔或圆珠笔在答题卷密封区上填写学校、姓名、试场号和准考证号，请勿遗漏。 4．答题过程不准使用计算器。 【 祝你成功! 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题的四个选项中，只有一个 符合题目要求） 1．如果一直角三角形的三边为a 、b 、c ，∠B=90°，那么关于x 的方程a(x 2-1)－2cx+b(x 2+1)=0的根的情况为 A 有两个相等的实数根 B 有两个不相等的实数根 C 没有实数根 D 无法确定根的情况 2．如图，P P P 123、、是双曲线上的三点，过这三点分别作y 轴的垂线，得三个三角形 P A O P A O P A O 112233、、，设它们的面积分别是S S S 123、、，则 A S S S 123<< B S S S 213<< $ C S S S 132<< D S S S 123== 3．如图，以BC 为直径，在半径为2圆心角为900的扇形内作半圆，交弦AB 于点D ，连接CD ，则阴影部分的面积是 A π－1 B π－2 C 121-π D 22 1 -π

… 4．由325x y a x y a x y a m -=+??+=??>??>?得a>－3,则m 的取值范围是 A m>－3 B m ≥－3 C m ≤－3 D m<－3 5．如图，矩形ABCG （AB y 2 D y 1与y 2的大小不能确定 % 二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填写在题中横线上） 7． 二次函数y ＝ax 2+(a －b ）x —b 的图象如图所示， 222|| a a b b b -+-______▲________. ] 8． 如图所示，在正方形 ABCD 中，AO ⊥BD 、OE 、FG 、HI 都垂 直于 AD ，EF 、GH 、IJ 都垂直于AO ，若已知 S ΔA JI =1， 则S 正方形ABCD = ▲ 9．将一个棱长为8、各个面上均涂有颜色的正方体，锯成64个同样大小的小正方体,其中所有恰有2面涂有颜色的小正方体表面积之和为 ▲ 10．用黑白两种颜色正方形的纸片按黑色纸片数逐渐加l 的规律拼成一列图案： （1）第4个图案中有白色纸片 ▲ 张 】 第7题 第8题

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷6

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷六 一、选择题(36分) 1．删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个数列的第2003项是 (A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049 2．设a ，b ∈R ，ab ≠0，那么直线ax －y +b=0和曲线bx 2+ay 2=ab 的图形是 y x O O x y O x y y x O A. B. C. D. 3．过抛物线y 2=8(x +2)的焦点F 作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于 A 、 B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于点P ，则线段PF 的长等于 (A) 163 (B) 8 3 (C) 16 3 3 (D) 8 3 4．若x ∈[－512 ，－3 ]，则y=tan(x +2 3 )－tan(x +6 )+cos(x +6 )的最大 值是 (A) 125 2 (B) 116 2 (C) 116 3 (D) 125 3

5．已知x ，y 都在区间(－2，2)内，且xy=－1，则函数u=44－x 2+9 9－y 2 的最小值 是 (A) 8 5 (B) 24 11 (C) 12 7 (D) 12 5 6．在四面体ABCD 中， 设AB=1，CD=3，直线AB 与CD 的距离为2，夹角 为3 ，则四面体ABCD 的体积等于 (A) 32 (B) 12 (C) 13 (D) 3 3 二．填空题(每小题9分，共54分) 7．不等式|x |3－2x 2－4|x |+3<0的解集是 ． 8．设F 1、F 2是椭圆x 29+y 2 4=1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且|PF 1|∶|PF 2|=2∶1， 则△PF 1F 2的面积等于 ． 9．已知A={x |x 2－4x +3<0，x ∈R }， B={x |21－x +a ≤0，x 2－2(a +7)x +5≤0，x ∈R } 若A B ，则实数a 的取值范围是 ． 10．已知a ，b ，c ，d 均为正整数，且log a b=3 2，log c d=5 4 ，若a －c=9，则b － d= ． 11．将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相