第一学期高二级期末教学质量监测
数 学
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页, 22小题,满分150分.考试用时120分钟. 注意事项:
1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型(A )填涂在答题卡相应位置上.
2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4. 考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将答题卡和答卷一并交回.试卷要自己保存好,以方便试卷评讲课更好开展.
参考公式:
回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为122
1?n
i i i n i
i x y nx y b
x nx
==-?=-∑∑,?a y bx =-
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一.选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分)
1、已知集合{}|10 A x x =+>, 2
{|230},B x x x =+-<则A B ?=( )
A. ()1,3-
B. ()1,1-
C. ()1,-+∞
D. ()3,1- 2、在等比数列{}n a 中,11a =,公比1q ≠±,若25k a a a =,则=k A.5 B.6 C.7 D.8 3、下列函数中,在区间[
)0,+∞上单调递增的是 A.2y x =- B.ln y x = C.1
y x x
=+
D.y =
4、为了研究某班学生的脚长x (单位:厘米)和身高y (单位:厘米)的关系,从该班随机抽 取10名学
生,根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系,设其回归直线方程为???y
bx a =+.已知
10
1
225i
i x
==∑,10
1
1600i i y ==∑,?4b
=.该班某学生的脚长为24,据此估计其身高为( ) A. 160 B. 163 C. 166 D. 170
5、执行如图所示的程序框图,若输入1x =,则输出k 的值为( )
(A )12 (
B )13
(C )14 (D )15 6、已知1
cos(
)23
π
α-=,则cos(2)πα-=( ) A. C. 79- D. 79
7、已知椭圆22
12516
x y +=上的一点p 到椭圆一个焦点的距离为3,则p 到另一个焦点
的距离为( )
A.2
B.3
C.5
D.7
8、已知命题p:0)1ln( ,0>+>?x x ;命题q :若b a >,则22b a >,下列命题为真命题的是 A. ∧p q B.?
∧
p q C. ?∧p q D. ??∧p q
9、已知直线 ()1:2110l ax a y +++=,()()2:110l a x a y ++
-=,若12l l ⊥,则a =(
) A .
13或1- B
.2或12
C .13
D .1- 10、某几何体的三视图如图所示,其中三角形的三边长与圆的直径均为,则该几何体的体积为( ) A.
43 B. 323+ C. 323 D. 43
+ 11、已知双
曲线()22
22:10,0x y C a
b a b -=>>的
两条渐近线均
与圆
22650x y x +-+=相切,则双曲线C 的离心率为( )
B. 5 D. 2
12、已知函数()212ln ,f x x x e e ??
=≤≤
???
, ()2g x mx =+,若()f x 与()g x 的图像上存在关于直线1y =对称的点,则实数m 的取值范围是( ) A. 224,3e ??--???? B. 2,2e e ??-???? C. 24,2e e ??-???? D. 24,e ??
-+∞????
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分).
13、已知向量a ()2,3=-,b (),2m =-,且a ∥b ,则=m .
14、曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与210x y -+=平行,则(1)=f ,
.
15、已知函数()2
32f x ax ax =+,若对任意的x R ∈,()1f x <恒成立,则实数a 的取值范围
为 .(写成区间的形式)
16、已知圆C 的方程为2
2
4x y +=,直线:10l x y -+=与圆C 交于,A B 两点,且M 的坐标为()2,0.现
在圆C 中随机撒一粒黄豆,那么该黄豆恰好落在ABM ?内的概率为 __________.
三.解答题(本大题共6小题,满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤). 17、(本小题满分10分)
已知a ,b ,c 分别是△ABC 内角A ,B ,C 的对边,且=1a ,2b =,1cos 4
C = (1)求△ABC 的周长; (2)求cos()A C -的值.
E D
C
B
A
P
18、(本小题满分12分)
已知等差数列{}n a 的公差为2,前n 项和为n S ,且3318a S +=. (1)求数列{}n a 的通项公式;
(2)求数列1n S ??
????
的前n 项和n T .
19、(本小题满分12分)
某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出40名学生,将其成绩(均为整数)分成六段
[40,50),[50,60)
[90,100)后画出如下部分频率分布直方图,观察图形的信息,回答下列问题:
(1)求第四小组的频率,并补全频率分布直方图;
(2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分; (3)从成绩是4050分及90100分的学生中选两人,记他们的成绩为,x y ,求满足“||10x y ->”的
概率.
20、(本小题满分12分)
如图,四棱锥-P ABCD 的底面ABCD 是平行四边形,PA ⊥平面ABCD ,点E 是PA 的中点. (1)求证:PC ∥平面BDE ; (2)若1AB =
,BC =45ABC ?∠=,2PA =,求点C 到平面BDE 的距离.
21、(本小题满分12分)
已知抛物线c 的顶点在原点,焦点在x 轴上,且抛物线上有一点(4,)P m 到焦点的距离为5. (1)求该抛物线c 的方程;
(2)已知抛物线上一点(,4)M t ,过点M 作抛物线的两条弦MD 和ME ,且M D M E ⊥,判断直线DE 是否过定点?并说明理由.
22、(本小题满分12分) 已知函数()2x
f x x e =.
(1)求()f x 的单调区间与极值;
(2)若()()1f x a x <+在()2,x ∈-+∞上有解,求a 的取值范围.
数 学参考答案
一、 选择题
二、 填空题
13.
43 14. 2 15 (3,0]- 16.三.解答题
17. 解:(I )∵c 2
=a 2
+b 2
﹣2abcosC=1+4﹣4×=4,………………………………1分 ∴c=2, …………………………2分 ∴△ABC 的周长为a+b+c=1+2+2=5. …………………………3分
(II )∵cosC=,∴sinC=
=
=
. …………4分
∴sinA===. …………5分
∵a <c ,∴A <C ,故A 为锐角.则cosA==, …………7分
∴cos (A ﹣C )=cosAcosC+sinAsinC=×+×= ………10分
18. 解:(Ⅰ)由于3318a S +=, 则1132
432182
a a ?+++
?=,…………………………………1分 解得12a =. ……………………………………………2分 所以()2212n a n n =+?-=. ……………………………………………4分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知()
21222
n n n S n n n -=+
?=+,………………………………5分
则211111
n S n n n n ==-++. ……………………………………………7分 故12111
n n
T S S S =
+++
……………………………………………………8分 1111
112231n n ??????=-+-++- ? ? ?+?
???
??
…………………………9分 1
11
n =-
+ ……………………………………
11分 1
n
n =+. …………………………………12分
19. 解:(1)由频率分布直方图可知第小组的频率分别为:,所以第
4 小
组的频率为:
.∴在频率分布直方图中第4小组的对应的矩形的高为
,对应图形如图所示:
… …………2分
(2)∵考试的及格率即60分及以上的频率 . ∴及格率为
……………4分
又由频率分布直方图有平均分为:
………6分
(3)由频率分布直方图可求得成绩在分及
分的学生人数分别为4人和2人,记在
分
数段的4人的成绩分别为,
分数段的2人的成绩分别为,则从中选两人,其成绩组合的所
有情况有:
共 15种…8分
O
E D
C
B
A
P 且每种情况的出现均等可能。若这2人成绩要满足“”,则要求一人选自分数段,另一个
选
自
分数段,有如下情况
:
,共 8
种, ……10分 所以由古典概型概率公式有
,即所取2人的成绩满足“
”的概率是. ……12分
20.
(Ⅰ)证明:连接AC 交BD 于点O ,连接EO , 因为四边形ABCD 是平行四边形,
所以点O 是AC 的中点. ………………………1分 又点E 是PA 的中点,
则EO ∥PC . ………………………2分 因为EO ?平面BDE ,PC ?平面BDE , 所以PC ∥平面BDE . ………………………3分 (Ⅱ)解:由于1AB =
,BC =
45ABC ?∠=,
则135BCD ?∠=,11
sin 22
BCD S BC CD BCD ?=
???∠=.…………………4分 又PA ⊥平面ABCD ,2PA =,点E 是PA 的中点, 则EA ⊥平面BCD ,1EA =. 所以三棱锥E BCD -的体积1111
13326
E BCD BCD V EA S ?-=??=??=. …………5分 在Rt EAB ?
中,EB ==, ………………6分
在Rt EAD ?
中,ED =, ………………7分
在BCD ?
中,BD =
=8分
因为2225EB ED BD +==,
所以90BED ?∠=,即EB ED ⊥. …………………………………………9分
所以12EBD S EB ED ?=
??=
………………………………………10分 设点C 到平面BDE 的距离为h ,
由于
1
6
C EB
D
E BCD
V V
--
==,…………………………11分
则1
3
h??
1
6
EBD
S
?
=,解得h=.
所以点C到平面BDE……………………………12分
21.(1)由题意设抛物线方程为,其准线方程为,
∵到焦点的距离等于到其准线的距离,∴,∴. ……2分
∴抛物线的方程为. ……………3分(2)由(1)可得点,可得直线的斜率不为0,
设直线的方程为:,………4分
联立,得,……5分
则①.
设,则. ……6分
∵
………8分
即,得:,
∴,即或,………9分
代人①式检验均满足,
∴直线的方程为:或.
∴直线过定点(定点不满足题意,故舍去). ……………12分
22. (1)()()
2
2x
f x x x e =+', ……………1分
令()0f x '>得2x <-或0x >;令()0f x '<得20x -<<,
∴()f x 在()2,0-上递减,在(),2-∞-和()0,+∞上递增, …………3分 ∴()f x 在2x =-处取极大值,且极大值为()24
2f e
-=
,在0x =处取极小值,且极小值为()00f =. ………5分
(2)当1x =-时,不等式()()1f x a x <+无解. …………6分 当21x -<<-时,()1
f x a x <
+,设()()()(
)()
22
22
,1
1x xe x x f x g x g x x x ++'=
=
++,
当()2,1x ∈--时,()0g x '<,∴()g x 在()2,1--上递减,∴()2
42a g e <-=-
, ……… 9分
当1x >-时,()1
f x a x >
+,令()0g x '<,得10x -<<;令()0g x '>,得0x >,
∴()()min 00g x g ==,∴0a >, ………11分 综上,a 的取值范围为()24,0,e ??
-∞-?+∞ ???
. … …12分
高二数学期末考试试卷 出题人:冯亚如 一.选择题(40分) 1.由数列1,10,100,1000,……猜测该数列的第n 项是( ) A.10n+1 B.10n C.10n-1 D. 10n 2.空间中垂直于同一条直线的两条直线( ) A.互相平行 B.互相垂直 C.异面或相交 D.平行或相交或异面 3.在正方体1111D C B A ABCD 中与直线1AC 异面的棱有( ) A.4条 B.6条 C.8条 D.10条 4.某中职学校一年级二年级各有12名女排运动员,要从中选出6人调查学习负担情况,调查应采取的抽样方法是( ) A.随机抽样 B.分层抽样 C.系统抽样 D.无法确定 5.已知点A(-3,-2),B(2,3)则直线AB 的倾斜角为( ) A.450 B.600 C.900 D.1350 6.已知12件同类产品中,有10件是正品,2件是次品,从中任意抽取3件的必然事件是 ( ) A .3件都是正品 B.至少有一件是正品 C.3件都是次品 D.至少有一件是次品 7.判断直线L 1:x+3y-4=0与L 2:3x-y+1=0的位置关系( ) A.平行 B.相交但不垂直 C.重合 D.垂直 8.在100张奖券中,有4张中奖卷,从中任取1张,中奖的概率是
( ) A. 201 B. 101 C. 251 D. 30 1 9.侧棱长时2的正三棱锥,其底面边长是1,则棱锥的高是 ( ) A. 311 B. 313 C. 339 D. 333 10.直线5x+12y-8=0与圆(x-1)2+(y+3)2=9的位置关系是( ) A.相离 B.相交 C.相切 D.直线过圆心 二.填空题(20分) 11.直线x-3y+6=0在X 、Y 轴截距分别为_______、________; 12.圆x 2+y 2+4x-2y+1=0的圆心为_______________; 13.一条直线l 与平面α平行,直线m 在面α内,则l 与m 的位置关系是_______________; 14.正三棱锥的底面边长是4cm ,高是33cm ,则此棱锥的体积为________________; 15.已知球的半径r=3,则球的表面积和体积分别为_________、___ __。 三.解答题(60分) 16.光线从点M(-2, 3)出发,射到P(1, 0),求反射直线的方程并判断点N(4,3)是否在反射光线上。(10分)
【一】选择题:本大题共12小题,每题5分,总分值60分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合要求的. 1.命题〝假设2x =,那么2 320x x -+=〞的逆否命题是〔 〕 A 、假设2x ≠,那么2320x x -+≠ B 、假设2320x x -+=,那么2x = C 、假设2320x x -+≠,那么2x ≠ D 、假设2x ≠,那么2 320x x -+= 2.〝直线l 垂直于ABC △的边AB ,AC 〞是〝直线l 垂直于ABC △的边BC 〞的 〔 〕 A 、充分非必要条件 B 、必要非充分条件 C 、充要条件 D 、既非充分也非必要条件 3 .过抛物线24y x =的焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点.假设AB 中点M 到抛物线 准线的距离为6,那么线段AB 的长为〔 ) A 、6 B 、9 C 、12 D 、无法确定 4.圆 042 2=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为 ( ) A 、023=-+y x B 、043=-+y x C 、043=+-y x D 、023=+-y x 5.圆心在抛物线x y 22=上,且与x 轴和抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 〔 〕 A 、0 122 2 =+--+y x y x B 、041 222=- --+y x y x C 、0 122 2 =+-++y x y x D 、 041222=+ --+y x y x 6.在空间直角坐标系O xyz -中,一个四面体的顶点坐标为分别为(0,0,2),(2,2,0), (0,2,0),(2,2,2).那么该四面体在xOz 平面的投影为〔 〕
高二数学上学期期末考试题 一、 选择题:(每题5分,共60分) 2、若a,b 为实数,且a+b=2,则3a +3b 的最小值为( ) (A )18, (B )6, (C )23, (D )243 3、与不等式x x --23≥0同解的不等式是 ( ) (A )(x-3)(2-x)≥0, (B)0
16、已知双曲线162x -9 2 y =1,椭圆的焦点恰好为双曲线的两个顶点,椭圆与双曲线的离心率互为倒数,则椭圆的方程为 . 三、 解答题:(74分) 17、如果a ,b +∈R ,且a ≠b ,求证: 4 22466b a b a b a +>+(12分) 19、已知一个圆的圆心为坐标原点,半径为2,从这个圆上任意一点P 向x 轴作线段PP 1,求线段PP 1中点M 的轨迹方程。(12分) 21、某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为4800m 3,深为3m ,如果池 222、131719x=x 2 000000将 x 44)1(2,2200=+==y x y y x 得代入方程 即14 22 =+y x ,所以点M 的轨迹是一个椭圆。 21、解:设水池底面一边的长度为x 米,则另一边的长度为米x 34800, 又设水池总造价为L 元,根据题意,得 答:当水池的底面是边长为40米的正方形时,水池的总造价最低,