幂函数图象及其性质
幂函数的图像与性质
1、幂函数的定义
形如y=x α
（a ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数
注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。
例题、(1). 下列函数中不是幂函数的是（ ）
A ．y =
B ．3y x =
C ．2y x =
D ．1
y x -=
答案：C
例2．已知函数()()2531m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ：
（1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数；
简解：（1）2m =或1m =-（2）1m =-（3）45m =-（4）2
5
m =-（5）1m =- 变式训练：已知函数()()
22
23
m m f x m m x
--=+，当
m 为何值时，()f x 在第一象限内它的
图像是上升曲线。
简解：220230
m m m m ?+>?
?-->??解得：()(),13,m ∈-∞-+∞
小结与拓展：要牢记幂函数的定义，列出等式或不等式求解。 2.幂函数的图像
幂函数y ＝x α的图象由于α的值不同而不同．
α的正负：α＞0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α＜0，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立；
注：在上图第一象限中如何确定y=x 3
，y=x 2
，y=x ，12
y x =，y=x -1方法：可画出x=x 0； 当x 0>1时，按交点的高低，从高到低依次为y=x 3，y=x 2， y=x ，12
y x =， y=x -1； 当0 ，12 y x = ，y=x ， y=x 2，y=x 3 。 例2．比较大小： （1）1 122 1.5,1.7 （2）33( 1.2),( 1.25)--（3）112 5.25,5.26,5.26---（4） 30.530.5,3,log 0.5 解：（1）∵1 2 y x =在[0,)+∞上是增函数，1.5 1.7<，∴1122 1.5 1.7< （2）∵3y x =在R 上是增函数， 1.2 1.25->-，∴33 ( 1.2)( 1.25)->- （3）∵1y x -=在(0,)+∞上是减函数，5.25 5.26<，∴11 5.25 5.26-->； ∵ 5.26x y =是增函数，12->-，∴12 5.26 5.26-->； 综上，112 5.25 5.26 5.26--->> （4）∵300.51<<，0.531>，3log 0.50<，∴30.53log 0.50.53<< 5.幂函数的性质及其应用 幂函数y ＝x α有下列性质：(1)单调性：当α＞0时，函数在(0，＋∞)上单调递增；当α＜0时，函数在(0，＋∞)上单调递减．(2)奇偶性：幂函数中既有奇函数，又有偶函数，也有非奇非偶函数，可以用函数奇偶性的定义进行判断． 例3．已知幂函数2 23 m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称， 求m 的值． 解：∵幂函数223 m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点， ∴2 230m m --≤，∴13m -≤≤； ∵m Z ∈，∴2 (23)m m Z --∈，又函数图象关于原点对称， ∴2 23m m --是奇数，∴0m =或2m =． 例7.已知点在幂函数()f x 的图象上，点124? ?- ?? ?，，在幂函数()g x 的图象上．问当x 为何值时有：（１）()()f x g x >；（２）()()f x g x =；（３）()()f x g x <． 变式：已知幂函数f(x)=x 3 22 --m m （m ∈Z ）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调减函数. （1）求函数f(x); （2）讨论F （x ）=a ） （）（x xf b x f -的奇偶性. 6.规律方法 （1）．幂函数y ＝x α(α＝0,1)的图象 （2）.幂函数(,,,a q q y x a p q N p p *== ∈为最简分式） 的图象 例1．概念：一般地，我们把形如 的函数称为幂函数，其中 是自变量， 是常数；注意：幂函数与指数函数的区别． 2.性质： （1）幂函数的图象都过点 ；任何幂函数都不过 象限； （2）当0a >时，幂函数在[0,)+∞上 ；当0a <时，幂函数在(0,)+∞上 ； （3）当2,2a =-时，幂函数是 ；当1 1,1,3,3 a =-时，幂函数是 ． 例1、右图为幂函数y x α=在第一象限的图 像，则,,,a b c d 的大小关系是 （ ） ()A a b c d >>> ()B b a d c >>> ()C a b d c >>> ()D a d c b >>> 解：取12 x =， 由图像可知：11112222c d b a ???????? >>> ? ? ? ????????? ， a b d c ?>>>，应选()C ． 综合训练： 1．在函数220 31,3,,y y x y x x y x x = ==-=中，幂函数的个数为 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2、幂函数的图象都经过点（ ） A ．（1，1） B ．（0，1） C ．（0，0） D ．（1，0） 3、幂函数2 5 -=x y 的定义域为（ ） A ．(0,+∞) B ．[0,+∞) C ．R D ．(-∞，0)U (0,+∞) 4．若幂函数()a f x x =在()0,+∞上是增函数，则 ( ) A ．a >0 B ．a <0 C ．a =0 D ．不能确定 6．若幂函数()1 m f x x -=在(0，+∞)上是减函数，则 ( ) A ．m >1 B ．m <1 C ．m =l D ．不能确定 9、若四个幂函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x 在同一坐标系中的图象如右图，则a 、b 、c 、 d 的 大 小 关 系 是 （ ） A 、d ＞c ＞b ＞a B 、a ＞b ＞c ＞d C 、d ＞c ＞a ＞b D 、a ＞b ＞d ＞c b c 10、当x ∈（1，＋∞）时，函数）y ＝a x 的图象恒在直线y ＝x 的下方，则a 的取值范围是 A 、a ＜1 B 、0＜a ＜1 C 、a ＞0 D 、a ＜0 二、填空题： 12、若2 1 ) 1(－＋a ＜2 1) 23(－－a ，则a 的取值范围是____； 13.函数2 3- =x y 的定义域为___________. 三、解答题： 17下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系. . 6543212 1 323 23123---======x y x y x y x y x y x y ）；（）；（）（；）；（）；（）（ （A ） （B ） （C ） （D ） （E ） （F ） 四：方向预测、胜利在望 1—5 ADDDC ； 6—10 AADDA ； 11—15 CADDB. 1．（A ）函数4 1lg )(--=x x x f 的定义域为（ ） A ．(1，4) B ．[1，4) C ．(－∞，1)∪(4，＋∞) D ．(－∞，1]∪(4，＋∞) 2.（A ）以下四个数中的最大者是（ ） (A) (ln2)2 (B) ln(ln2) (C) ln 2 (D) ln2 5.（B ）设f (x )= 12 32,2, log (1),2, x e x x x -?2的解集为（ ） (A)（1，2）?（3，+∞） (B)（10，+∞） (C)（1，2）? （10 ，+∞） (D)（1，2） 6．（A ）设2log 3P =，3log 2Q =，23log (log 2)R =，则（ ） Ａ．R Q P << Ｂ．P R Q << Ｃ．Q R P << Ｄ．R P Q << 7．(A)已知c a b 21212 1log log log <<，则( ) A ．c a b 222>> B ．c b a 222>> C ．a b c 222>> D ．b a c 222>> 9.（A ） 函数y =的定义域是：（ ） A [1,)+∞ B 23(,) +∞ C 23[,1] D 23(,1] 10.(A)已知函数kx y x y ==与4 1log 的图象有公共点A ，且点A 的横坐标为2，则k （ ） A ．41- B ．41 C ．2 1- D ．21 11．（B ）若函数的图象经过第二且)10(1)(≠>-+=a a b a x f x 、三、四象限，则一定 有（ ） A ．010><>b a 且 C ．010<< D ．01<>b a 且 14.（A ）已知x x f 26log )(=，那么)8(f 等于（ ） （A ） 3 4 （B ）8 （C ）18 （D ） 2 1 15．（B ）函数y ＝lg|x| （ ） A ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增 B ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减 C ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增 D ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减 16.（A ）函数3) 4lg(--= x x y 的定义域是 ____________________________. 18．（A ）设,0.(),0. x e x g x lnx x ?≤=?>? 则1 (())2g g =__________ 19．（B ）若函数f(x) = 1222--+a ax x 的定义域为R ，则a 的取值范围为___________. 20．(B)若函数)2(log )(2 2a a x x x f ++=是奇函数，则a = ． 16. (-∞, 3)?(3,4) 18. 21 19.[-1,0] 20. 2 2 指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质 （一）指数与指数函数 1 ．根式 （ 1 ）根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果 x n a , 那么 x 叫做 a 的 n 次方根 n 1且 n N 当 n 为奇数时 ,正数的 n 次方根是一个正数 , 负数的 n 次 n a 零的 n 次方根是零 方根是一个负数 当 n 为偶数时 , 正数的 n 次方根有两个 , 它们互为相反 n a ( a 0) 负数没有偶次方根 数 （ 2 ）．两个重要公式 a n 为奇数 ① n a n a( a 0) ； | a | 0) n 为偶数 a(a ② (n a ) n a （注意 a 必须使 n a 有意义）。 2 ．有理数指数幂 （ 1 ）幂的有关概念 m n a m (a ①正数的正分数指数幂 : a n 0, m 、 n N ,且 n 1) ; m 1 1 ②正数的负分数指数幂 : a n 0, m 、 n N , 且 n 1) m (a a n n a m ③0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 . 注： 分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （ 2 ）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、 s ∈ Q); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、 s ∈ Q); ③(ab) r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q);. 3．指数函数的图象与性质 y=a x a>10 幂函数的图像与性质 Prepared on 22 November 2020 【知识结构】 1．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂 :0,,1)m n a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂 : 10,,1)m n m n a a m n N n a -*= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q );②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 例2 （1）计算：25 .021 21 32 5.032 0625.0])32.0()02.0()008.0()94 5()833[(÷?÷+---； （2）化简：533233 23 23 3 23 134)2(248a a a a a b a a ab b b a a ??? -÷++-- 变式：（2007执信A ）化简下列各式（其中各字母均为正数）: （1） ;)(6 5 3 121211 3 2 b a b a b a ????- -（2）.)4()3(6 521 3 32121231----?÷-??b a b a b a (3) 100.2563 71.5()86-?-+（三）幂函数 1、幂函数的定义 形如y=x α（a ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数 注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。 例1.下列函数中不是幂函数的是（ ） A ．y = B ．3y x = C ．2y x = D ．1 y x -= 例2.已知函数()()2531m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ： （1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数； （3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数； 变式 已知幂函数2 223(1)m m y m m x --=--，当(0)x ∈+，∞时为减函数，则幂函数 y =_______． 2.幂函数的图像 幂函数y ＝x α的图象由于α的值不同而不同． α的正负：α＞0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升； α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立； 3、幂函数的性质 例3．比较大小： 指对幂函数图像及其性质 1. 已知函数()() 123,2,log 1,2,x e x f x x x -?）的图象如图所示，则函数()()log a g x x b =-的图象大致是（ ）. A ． B ． C ． D ． 5. e 是自然对数的底数，若() 1,1x e -∈，ln a x =，12x b ??= ???，x c e =，则（ ） A ．b c a >> B ．a b c >> C ．c b a >> D ．c a b >> 6. 已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，12 ()log f x x =，设6()5a f =，3()2b f =，5()2c f =，则,,a b c 的大小关系为（ ）. A. a b c << B. c b a << C. c a b << D. b a c << 7. 设,x y 为负实数且23x y =，则下列说法正确的是（ ） A ．32y x = B ．32y x < C ．23x y < D ．以上都不对 8. 设a ，b ，c 均为正数，且12 2log a a =，121()log 2b b =，21()log 2c c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）. A. c a b << B. c b a << C. a b c << D. b a c << 9. 若23a b =＝6，则4a -＝___；11a b +＝___ 10. 设37,52a ??∈-??? ?，则使函数a y x =的定义域为R 且为奇函数的所有α值为__________． 幂函数 分数指数幂 正分数指数幂的意义是：m n m n a a =（0a >，m 、n N ∈，且1n >） 负分数指数幂的意义是：m n n m a a - = （0a >，m 、n N ∈，且1n >） 一、幂函数的定义 一般地，形如 y x α =（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数.如 112 3 4 ,,y x y x y x -===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 二、幂函数的图像 幂函数n y x =随着n 的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握n y x =，当11 2,1,,,323 n =±±± 的图像和性质，列表如下． 从中可以归纳出以下结论： ① 它们都过点()1,1，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限． ② 11 ,,1,2,332a =时，幂函数图像过原点且在[)0,+∞上是增函数． ③ 1 ,1,22 a =---时，幂函数图像不过原点且在()0,+∞上是减函数． ④ 任何两个幂函数最多有三个公共点． 三、幂函数基本性质 （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数 （3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数. 规律总结 1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论； 2．对于幂函数y ＝αx ，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即α＜0，0＜α＜1和α＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意α＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即α＞0（α≠1）时图象是抛物线型；α＜0时图象是双曲线型；α＞1时图象是竖直抛物线型；0＜α＜1时图象是横卧抛物线型． 四、幂函数的应用 题型一.幂函数的判断 例1．在函数22031 ,3,,y y x y x x y x x ===-=中，幂函数的个数为 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 练1．下列所给出的函数中，是幂函数的是（ ） 【知识结构】 1．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂 :0,,1)m n a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂 : 1 0,,1)m n m n a a m n N n a -*==>∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q );②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 例2 （1）计算：25 .021 21325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(÷?÷+---； （2）化简：533233232332 3134)2(248a a a a a b a a ab b b a a ???-÷++-- 变式：（2007执信A ）化简下列各式（其中各字母均为正数）: （1） ;)(653 12121 132b a b a b a ????--（2）.)4()3(6521332121231----?÷-??b a b a b a (3) 1 00.256371.5()86-?-+ （三）幂函数 1、幂函数的定义 形如y=x α（a ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数 注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。 例1.下列函数中不是幂函数的是（ ） A ．y x = B ．3y x = C ．2y x = D ．1y x -= 例2.已知函数()()2531m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ： （1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数； （3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数； 变式 已知幂函数2 223(1)m m y m m x --=--，当(0)x ∈+，∞时为减函数，则幂函数y =_______． 2.幂函数的图像 幂函数y ＝x α的图象由于α的值不同而不同． α的正负：α＞0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升； α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立； 【知识结构】 1 ?有理数指数幕 （1）幕的有关概念 m ①正数的正分数指数幕：a n v'a m (a 0,m> n N ,且n 1)； （三）幕函数 1、幕函数的定义 形如y=x " （a € R ）的函数称为幕函数， m 1 1 a n m / ----- (a m n a a ②正数的负分数指数幕 0,m 、n N ,且n 1) ③0的正分数指数幕等于0,0的负分数指数幕没有意义 注:分数指数幕与根式可以互化，通常利用分数指数幕进行根式的运算 （2）有理数指数幕的性质 ①a f a s =a r+s (a>0,r 、s € Q ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s € Q)； ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r € Q);. 例2 （1）计算: 3 "3 4 o 5 [(38)3(56) . 2 1 1 (0.008) 3 (0.02) ' (0.32円 0.06250.25 4 1 a 3 8a 3b 2 2 (2)化简：4b 3 23 ab a 3 (a 3 23 b) . a 3 a 2 a 引Ja Va 变式: （1） （2007执信A ）化简下列各式（其中各字母均为正数） 2) 1 2 1 b 2 ( 3a?b 1) (4a? b 予. 其中x是自变量，a为常数 注：幕函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幕函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。 例1.下列函数中不是幕函数的是（） A. y Vx B. y X3 C y 2x D. y X1 例2.已知函数f x m2m 1 x 5m 3，当m为何值时，f x : （1）是幕函数；（2）是幕函数，且是0, 上的增函数； （3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数； 变式已知幕函数y （m2 m 1）x m 2m 3，当x （0，g）时为减函数，则幕函数 y _______ - 2. 幕函数的图像 幕函数y= x a的图象由于a的值不同而不同. a的正负：a> 0时，图象过原点和（1,1），在第一象限的图象上升； aV0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立; 幂函数的图像与性质 （三）幂函数 1、幂函数的定义 形如y=x α（a ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数 注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。 例1.下列函数中不是幂函数的是（ ） A ．y x = B ．3y x = C ．2y x = D ．1 y x -= 例2.已知函数()()2531m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ： （1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数； （3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数； 变式 已知幂函数2 223(1)m m y m m x --=--，当(0)x ∈+，∞时为减函数，则幂函数 y =_______． 2.幂函数的图像 幂函数y ＝x α的图象由于α的值不同而不同． α的正负：α＞0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升； α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立； 3、幂函数的性质 y=x y=x 2 y=x 3 12 y x = y=x -1 定义域 R R R [0，+∞） {}|0x x R x ∈≠且 值域 R [0，+∞） R [0，+∞） {}|0y y R y ∈≠且 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 x ∈[0，+∞）时，增； x ∈(,0]-∞时，减 增 增 x ∈(0,+∞)时，减； x ∈(-∞,0)时，减 定点 （1，1） 例3．比较大小： （1）112 2 1.5,1.7 （2）33( 1.2),( 1.25)--（3）112 5.25,5.26,5.26---（4）30.530.5,3,log 0.5 4.幂函数的性质及其应用 幂函数y ＝x α有下列性质： (1) 单调性：当α＞0时，函数在(0，＋∞)上单调递增； 当α＜0时，函数在(0，＋∞)上单调递减． (2)奇偶性：幂函数中既有奇函数，又有偶函数，也有非奇非偶函数，可以用函数奇偶性的定义进行判断． 例4．已知幂函数2 23 m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于 原点对称，求m 的值． 幕函数的图像与性质 1幕函数的定义 形如y=x "(a € R )的函数称为幕函数，其中 x 是自变量，a 为常数 注：幕函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同， 幕函数的自变量在底数位置， 而 指数函数的自变量在指数位置。 例题、(1).下列函数中不是幕函数的是( ) A . y 仮 B . y x 3 c . y 2x D . y x 1 答案：C 例2.已知函数f x m 2 m 1 x 5m 3，当m 为何值时，f x 图像是上升曲线。 (1)是幕函数; (2)是幕函数，且是 0, 上的增函数；(3)是正比例函数；(4)是反 比例函数; (5) 是二次函数; 简解：(1) (2) (3) m 4 (4) m 5 (5) m 1 变式训练: 已知函数f x m 2 2m m 为何值时, 在第一象限内它的 2 小 简解：m m 0 2 m 2m 3 解得：m 0 U 3, 小结与拓展：要牢记幕函数的定义，列出等式或不等式求解。 2.幕函数的图像 幕函数y = x a 的图象由于a 的值不同而不同. a 的正负：a> 0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升; 在第一象限的图象下降，反之也成立； aV 0,图象不过原点, 1 注：在上图第一象限中如何确定 y=x 3, y=x 2, y=x , y x 2 , y=x -1方法：可画出x=x o ； 当x o >l 时，按交点的高低，从高到低依次为 y=x 3, y=x 2, 当0 【课题】 幂函数的性质与图像 【执教者】：关雅南（上海师范大学附属外国语中学） 【教学目标】：知识和技能：理解幂函数的概念，掌握幂函数的性质与图像并能 简单应用。 过程和方法：通过研究性质培养学生分析归纳的思维能力，体会 从特殊到一般的研究问题的数学方法和数形结合 的数学思想。 情感、态度和价值观：培养学生积极探究、合作交流的学习品质，激发学 生的学习兴趣和探究热情。 【教学重点】：幂函数的性质与图像 【教学难点】：幂函数性质与图像特征的归纳 【教学过程】： 一． 创设情境，引入新知 回顾初中阶段所学的正比例函数如y=x,反比例函数如y=x 1即y=1-x ，二次函数如y=2x ，另外正方体的体积y 关于边长x 的函数解析式为y=3x ,正方形的边长y 关于面积x 的函数关系式为y=x 即y=21x ，分析这些函数有什么共同特征？ 解析式右边为幂的形式，底数为自变量，系数为1. 这些函数可统一写成y=k x 的形式，引出幂函数的定义。 二． 幂函数定义 一般地，函数y=k x （k 为常数，k ∈Q ）叫做幂函数（power function ） 概念巩固：判断下列函数是否为幂函数？ （1） y=x 3.0 （2）y=21 _x （3）y=3x +x (4) y=23x 三． 研究特殊的幂函数的性质与图像的方法 例题：研究函数y=21 _x 的定义域、奇偶性和单调性，并且作出它的图像。 （师生共同探究此幂函数性质，课件演示利用描点法作出的函数图像，并 观察此幂函数性质在图像上的体现）。 自主探究： 研究函数y=32x 的定义域、奇偶性、单调性和最大值或最小值。 （在课堂练习单上独立完成，投影演示，师生共同评价） 四． 合作探究一般的幂函数性质与图像特征 1.教师演示：在同一直角坐标系分别演示幂函数y=21_x 、 y=2 x 和y=31_x 的图像，认真观察图像，体会其中蕴含的函数性质。 2.小组讨论： 归纳幂函数（k 0）的性质和图像特征 （1） 在第一象限单调性如何？ （2） 有无公共点? （3） 图像与坐标轴的位置关系？ （4） 图像的象限分布有何特点？特点由什么确定？ 3.类比探究：在同一直角坐标系分别演示幂函数y=21x 、 y=32x 和y=31x 的图 像，幂函数y=23x 、 y=2x 和y=3x 的图像，类比探究当0 k 1 和k 1时幂函数性质 五． 课堂巩固、简单应用 练习：比较下列两组数的大小 ①253_________251.3 ② (-0.96) 31__________ (-0.95)31_ 六． 课堂小结 今天的学习内容和方法有哪些？你有哪些收获？ 七． 布置作业：课本81页：习题4.1 写一篇题为《幂函数研究方法初探》的数学小论文 （一）指数与指数函数 1．根式 （1）根式的概念 （2）．两个重要公式 ① ? ? ? ? ? ? ? ? < - ≥ = = )0 ( )0 ( | | a a a a a a a n n； ②a a n n= ) (（注意a必须使n a有意义）。 2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1) m n m n a a a m n N n * =>∈> 、且; ②正数的负分数指数幂: 1 0,,1) m n m n m n a a m n N n a a - * ==>∈> 、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2）有理数指数幂的性质 ①a r a s=a r+s(a>0,r、s∈Q); ②(a r)s=a rs(a>0,r、s∈Q); ③(ab)r=a r b s(a>0,b>0,r∈Q);. 3．指数函数的图象与性质 y=a x a>1 0 图象 定义域R 值域（0，+∞） 性质（1）过定点（0，1） （2）当x>0时，y>1; x<0时,0 课件6幕函数图象及性质 课件编号：AB I -2-3-1. 课件名称：幕函数图象及性质? 课件运行环境：几何画板4.0以上版本. 课件主要功能：配合教科书“ 2.3幕函数”的教学.利用几何画板绘制函数图象的功能，绘制出幕函数的图象，再利用幕函数的图象研究函数的性质. 课件制作过程： （1）新建画板窗口.单击【Graph］（图表）菜单中的【Define Coordinate System!（建立直角坐标系），建立直角坐标系.选中原点，按Ctrl + K，给原点加注标签A,并用【文本］工具把标签改为O. （2）单击【Graph］菜单的【Plot New Function］（绘制函数图象），弹出“New Function”函数式编辑器，编辑函数f （x）= x，单击【OK］后画出函数f （x） 1 , , _ 2 3 —_ 1 =x的图象.同法编辑函数g （x）= x，h （x）= x，q（x）=x2和函数r（x）二一的 x 图象.选中函数图象，单击【Display］（显示）菜单中的【Line Width］（线型）中的【Thick］（粗线）.把上述图象设置成粗线，单击【Display］（显示）菜单中的【Color］（颜色）的选择各种不同的颜色给每一个函数图象着色，如图1. 图1 （3）再选中直线f （x） = x，单击【Edit］（编辑）菜单，选择【Action Buttons］ （操作类按钮），单击【Hide/Show］（隐藏/显示），此时屏幕上出现【Hide Function Plot］（隐藏对象）按钮，选择【文本工具】，双击【Hide Function Plot】按钮， 出现对话框，将其中的【Label］（标签）改为“ f （x）= x”，再单击【确定】?此时，单击“f （x）二x”按钮就会隐藏或显示直线f （x）二x ?用同样的方法制作 1 【Hide Function Plot】按钮g （x）= x2，h（x）=x3，q（x）=x2和r（x）二-，如图 x 2. （4）单击【File】（文件）菜单的【Document Options】（文档选项）对话框，将【Page Namd （页面名称）改为“画图象”，单击【0K】. （5）单击【File】（文件）菜单的【Document Options】（文档选项）对话框， 单击【Add Page］（增加页），单击【Blank Pagd （空白页），将页面名称改为“ g 2” （X）= x ? （6）单击【Graph】菜单的【Plot New Function】（绘制函数图象），弹出 “New Function”函数式编辑器，在对话框内依次单击x，A，2，单击【OK】后画出函 指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质 (一)指数与指数函数 1.根式 (1)根式的概念 (2).两个重要公式 ①?? ??????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ; ②a a n n =)((注意a 必须使n a 有意义)。 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m n a a m n N n a - *= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义、 注:分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。 (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );、 3.指数函数的图象与性质 n 为奇数 n 为偶数 图象 定义域R 值域(0,+∞) 性质(1)过定点(0,1) (2)当x>0时,y>1; x<0时,0 【知识结构】 1．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂 :0,,1)m n a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂 : 10,,1)m n m n a a m n N n a -*= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q);②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q);. 例2 （1）计算：25 .021 21 3 2 5 .032 0625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(÷?÷+---； （2）化简：533233 23 23 3 23 134)2(248a a a a a b a a ab b b a a ??? -÷++-- 变式：（2007执信A ）化简下列各式（其中各字母均为正数）: （1） ;)(6 5 3 121211 3 2 b a b a b a ????- -（2）.)4()3(6 521 3 32121231----?÷-??b a b a b a (3) 100.2563 71.5()86-?-+- （三）幂函数 1、幂函数的定义 形如y=x α（a ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数 注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。 例1.下列函数中不是幂函数的是（ ） A ．y x = B ．3y x = C ．2y x = D ．1 y x -= 例2.已知函数()()2531m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ： （1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数； （3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数； 变式 已知幂函数2 223(1)m m y m m x --=--，当(0)x ∈+，∞时为减函数，则幂函数 y =_______． 2.幂函数的图像 幂函数y ＝x α的图象由于α的值不同而不同． α的正负：α＞0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升； α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立； 幂函数的图像与性质 1、幂函数的定义 形如y=x α （a ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数 注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。 例题、(1). 下列函数中不是幂函数的是（ ） A ．y = B ．3y x = C ．2y x = D ．1 y x -= 答案：C 例2．已知函数()()2531m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ： （1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数； 简解：（1）2m =或1m =-（2）1m =-（3）45m =-（4）2 5 m =-（5）1m =- 变式训练：已知函数()() 22 23 m m f x m m x --=+，当 m 为何值时，()f x 在第一象限内它的 图像是上升曲线。 简解：220230 m m m m ?+>? ?-->??解得：()(),13,m ∈-∞-+∞ 小结与拓展：要牢记幂函数的定义，列出等式或不等式求解。 2.幂函数的图像 幂函数y ＝x α的图象由于α的值不同而不同． α的正负：α＞0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α＜0，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立； 注：在上图第一象限中如何确定y=x 3 ，y=x 2 ，y=x ，12 y x =，y=x -1方法：可画出x=x 0； 当x 0>1时，按交点的高低，从高到低依次为y=x 3，y=x 2， y=x ，12 y x =， y=x -1； 当0 指数函数对数函数幂函数的图像和性质知识点 总结 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】 （一）指数与指数函数 1．根式 （1）根式的概念 （2）．两个重要公式 ①????????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ； ②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。 2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂:10,,1)m n m n a a m n N n a -*= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q);. 3．指数函数的图象与性质 n 为奇数 n 为偶 数 注：如图所示，是指数函数（1）y=a x ,（2）y=b x,（3）,y=c x （4）,y=d x 的图象，如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系？ 提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1>d 1>1>a 1>b 1,∴c>d>1>a>b 。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。 （二）对数与对数函数 1、对数的概念 （1）对数的定义 如果(01)x a N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作log N a x =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。 （2 2（1）对数的性质（0,1a a >≠且）：①1 log 0a =，②log 1a a =，③log N a a N =， ④log N a a N =。 （2）对数的重要公式： ①换底公式：log log (,1,0)log N N a b b a a b N =>均为大于零且不等于； ②1 log log b a a b = 。 （3）对数的运算法则： 如果0,1a a >≠且，0,0M N >>那么 ①N M MN a a a log log )(log +=； ②N M N M a a a log log log -=； ③)(log log R n M n M a n a ∈=； (一)指数与指数函数 1.根式 (1)根式的概念 (2).两个重要公式 ①?? ??????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ; ②a a n n =)((注意a 必须使n a 有意义)。 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n m n a a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m n m n a a m n N n a a - *= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义、 注:分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。 (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );、 3.指数函数的图象与性质 y=a x a>1 0 图象 定义域R 值域(0,+∞) 性质(1)过定点(0,1) (2)当x>0时,y>1; x<0时,0 (一)指数与指数函数 1．根式 （1）根式的概念 （2)．两个重要公式 ①?? ??????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ； ②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。 2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂：0,,1)m n m n a a a m n N n *=>∈>、且； ②正数的负分数指数幂： 10,,1)m n m n m n a a m n N n a a - *= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义。 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a 〉0,r 、s ∈Q ); ②（a r ）s =a rs (a 〉0,r 、s ∈Q ）； ③（ab)r =a r b s (a 〉0，b 〉0，r ∈Q )；. 3．指数函数的图象与性质 y=a x a 〉1 0 图象 定义域R 值域（0，+∞） 性质（1）过定点(0，1） （2)当x>0时，y〉1； x〈0时，0 讲义 教材与考点分析： 本节课学习的内容是了解幂函数的图像及性质，如果a取非零的有理数是比较容易理解的，不过初学者对于a取无理数，则不太容易理解，在我们的课程里，不要求掌握如何理解指数为无理数的问题，因为这涉及到实数连续统的极为深刻的知识。因此我们只要接受它作为一个已知事实即可。 幂函数 一般地，形如y=x a x（a为实数）的函数叫幂函数对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性： 首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号（x的p 次方），如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0,＋∞）。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是（－∞，0)∪(0,＋∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道： 排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数； 排除了为0这种可能，即对于x<0和x>0的所有实数，q不能是偶数； 排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。 总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数； 如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0 的所有实数。 在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。 在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。 而只有a为正数，0才进入函数的值域。 由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况. 可以看到： （1）所有的图形都通过（1，1）这点。 （2）当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。 （3）当a大于1时，幂函数图形下凹；当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。（4）当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。 （5）a大于0，函数过（0，0）；a小于0，函数不过（0，0）点。 （6）显然幂函数无界。 练习：指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质.doc
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