直角三角形的边角关系教案上课讲义

直角三角形的边角关

系教案

第一章直角三角形的边角关系

§1.1.1 从梯子的倾斜程度谈起

教学目标

1、经历探索直角三角形中边角关系的过程

2、理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义，并能够举例说明

3、能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比

4、能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算

教学重点和难点

重点：理解正切函数的定义

难点：理解正切函数的定义

教学过程设计

一、从学生原有的认知结构提出问题

直角三角形是特殊的三角形，无论是边，还是角，它都有其它三角形所没有的性质。这一章，我们继续学习直角三角形的边角关系。

二、师生共同研究形成概念

1、梯子的倾斜程度

在很多建筑物里，为了达到美观等目的，往往都有部分设计成倾斜的。这就涉及到倾斜角的问题。用倾斜角刻画倾斜程度是非常自然的。但在很多实现问题中，人们无法测得倾斜角，这时通常采用一个比值来刻画倾斜程度，这个比值就是我们这节课所要学习的——倾斜角的正切。

1）（重点讲解）如果梯子的长度不变，那么墙高与地面的比值越大，则梯子越陡；

2）如果墙的高度不变，那么底边与梯子的长度的比值越小，则梯子越陡；

3）如果底边的长度相同，那么墙的高与梯子的高的比值越大，则梯子越陡；

通过对以上问题的讨论，引导学生总结刻画梯子倾斜程度的几种方法，以便为后面引入正切、正弦、余弦的概念奠定基础。

2、想一想（比值不变）

☆想一想书本P 3 想一想

通过对前面的问题的讨论，学生已经知道可以用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度。当倾斜角确定时，其对边与邻边的比值随之确定。这一比值只与倾斜角的大小有关，

而与直角三角形的大小无关。

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3、 正切函数

（1） 明确各边的名称

（2） 的邻边的对边A A A ∠∠=tan （3） 明确要求：1）必须是直角三角形；2）是∠A 的对边与∠A 的邻边的比值。

☆ 巩固练习

a 、 如图，在△ACB 中，∠C = 90°，

1） tanA = ；tanB = ；

2） 若AC = 4，BC = 3，则tanA = ；tanB = ；

3） 若AC = 8，AB = 10，则tanA = ；tanB = ；

b 、

如图，在△ACB 中，tanA = 。（不是直角三角形）

（4） tanA 的值越大，梯子越陡

4、 讲解例题 例1 图中表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？

分析：通过计算正切值判断梯子的倾斜程度。这是上述结论的直接应用。

例2 如图，在△ACB 中，∠C = 90°，AC = 6，43tan =

B ，求B

C 、AB 的长。 分析：通过正切函数求直角三角形其它边的长。

5、 正切函数的应用

A B C A B C ∠A 的对边∠A 的邻边

斜边A B C 8m α5m 5m β13m A B C

三角形中角的关系教案

第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 §13.1 三角形中的边角关系 第2课时 三角形的内角和 授课人：王锡山 时间：2014年11月12日 教学内容：教材第69～71页 教学目标： 1、知识与技能 ①掌握三角形的内角和定理 ②能应用三角形的内角和定理解决一些简单的实际问题 2、过程与方法 经历实验探究，得出三角形的内角和定理 3、情感、态度与价值观 ①通过带领学生探究三角形的角的数量关系，引起学生的好奇心，激发学生的求知欲 ②发展学生的合情推理能力，使学生养成独立思考的习惯 教学重难点： 重点：三角形的内角和定理 难点：三角形内角和定理的探究过程 教学过程： 一、创设情境，导入新知 师：上节课我们把三角形按边进行了分类，并研究了三角形三边之间的关系，同学们还记得三角形三边之间的关系吗？ 教师指定学生回答并给予评价 师：如果按角来分呢？ 学生思考后回答，教师总结并给出定义。 锐角三角形：三角形中，三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形。 钝角三角形：三角形中，有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。 直角三角形：三角形中，有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。 在直角三角形中，夹直角的两边叫做直角边，直角相对的边叫做斜边，直角三角形ABC 可以写成“ABC Rt ?”。 三角形按角分，可分为： ?? ??????钝角三角形锐角三角形斜三角形直角三角形三角形 情境：三角形三兄弟之争（出示课件） 学生思考讨论，教师提示：三角形三个内角的度数之和叫做三角形的内角和。 （板书）三角形的内角和 二、共同探究，获取新知 活动一：①量一量上述三个三角形的三个内角的度数并标注（测量时要认真，力求准确）

北师大版初中数学九年级下册《直角三角形的边角关系》全章教材分析教案设计

九年级数学第一章直角三角形的边角关系教案 一、本章教学的指导意见： 本章内容从梯子的倾斜程度说起，引出第一个三角函数——正切。因为相比之下，正切是生活当中用得最多的三角函数概念，如刻画物体的倾斜程度、山的坡度等。正弦和余弦的概念，是在正切的基础上、利用直角三角形、通过学生的说理得到的。 接着，又从学生熟悉的三角板引入特殊角30°、45°、60°角的三角函数值的问题。 对于一般包括锐角三角函数值的计算问题，需要借助计算器。教科书仔细地介绍了如何从角得值、从值得角的方法，并且提供了相应的训练和解决问题的机会。 利用锐角三角函数解决实际问题，也是本章重要的内容之一。除“船有触礁的危险吗？”“测量物体的高度”两节外，很多实际应用问题穿插于各节内容之中。 直角三角形中边角之间的关系，是现实世界中应用最广泛的关系之一，锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用，如在测量、建筑、工程技术和物理学中，人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题，一般说来，这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边和角的关系问题。 研究图形之中各个元素之间的关系，如边和角之间的关系，把这种关系用数量的形式表示出来，即进行量化，是分析问题和解决问题过程中常用的方法，是数学中重要的思想方法。通过这一章内容的学习，学生将进一步感受数形结合的思想、体会数形结合的方法。 通过直角三角形中边角之间关系的学习，学生将进一步体会数学知识之间的联系，如比和比例、图形的相似、推理证明等。直角三角形中边角之间关系的学习，也将为一般性地学习三角函数的知识及进一步学习其它数学知识奠定基础。 （二）教学重点 1．使学生经历探索直角三角形中边角之间关系、探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，从中发展学生观察、分析、发现的能力； 2．理解锐角三角函数的概念，并能够通过实例进行说明； 3．会计算包括30°、45°、60°角的三角函数值的问题； 4．能够借助计算器由已知锐角求出它的三角函数值，或由已知三角函数值求出相应的锐角；5．能够运用三角函数，解直角三角形及解决与直角三角形有关的实际问题，培养学生分析问题和解决问题的能力； 6．体会数、形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题。 （三）教学难点 1．经历探索直角三角形中边角之间关系、探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程；

三角形中的边角关系

三角形中的边角关系 1、 A+B+C=π ， 2C = 2 π-( 2A + 2 B ) 2、 sinC=sin(A+B)， cosC=-cos(A+B) sin 2 C =cos( 2 A +2 B )， cos 2 C =sin( 2 A + 2 B )， tan 2 C =cot( 2 A + 2 B ) sin2C=-sin2(A+B)， cos2C=cos2(A+B) 3、 三角形面积公式 S ?= 12 absinC= 12 bcsinA= 12 casinB p= 12 （a+b+c ） 4、 正弦定理sin sin sin a b c A B C = = =2R sinA ?sinB ? sinC ?a = b ? c sinA= 2a R ，sinB=2b R ，sinC= 2c R a=2RsinA ， b=2RsinB ， c=2RsinC 适用类型：AAS →S ，SSA →A (2,1,0解) 5、余弦定理2222cos a b c bc A =+- 2 2 2 co s 2b c a A b c +-= 适用类型：SSS →A ，SAS →S ，AAS →S(2,1,0解) 5、 判定三角形是锐角直角钝角三角形 设c 为三角形的最大边 2c <2a +2b ??ABC 是锐角三角形 2 c =2 a +2 b ??ABC 是直角三角形 2 c >2 a +2 b ??ABC 是钝角三角形 6、 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1 tan 2 A tan 2 B +tan 2 B tan 2 C +tan 2 C tan 2 A =1 7* 、若三角形三内角成等差数列，则B=3 π 三边成等差数列，则0

直角三角形的边角关系(习题及答案)

直角三角形的边角关系（习题） ?要点回顾 1.默写特殊角的三角函数值： 2.三角函数值的大小只与角度的有关，跟所在的三角形 放缩（大小）没有关系． 3.计算一个角的三角函数值，通常把这个角放在 中研究，常利用或两种方式进行处理．?例题示范 例：如图，在△ABC 中，∠B=37°，∠C=67.5°，AB=10，求BC 的长．（结果精确到0.1，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan67.5°≈2.41） 如图，过点A 作AD⊥BC 于点D， 由题意AB=10，∠B=37°，∠C=67.5° 在Rt△ABD 中，AB=10，∠B=37°， sin B =AD ，cos B = BD AB AB ∴AD=6，BD=8 在Rt△ADC 中，AD=6，∠C=67.5°，tan C = AD CD ∴CD=2.49 ∴BC=BD+CD=8+2.49=10.49≈10.5 即BC 的长约为10.5． ①得出结论； ②解直角三角形； ③准备条件． 1

2 ?巩固练习 1.在Rt△ABC 中，如果各边长度都扩大为原来的2 倍，那么锐 角A 的正弦值（） A．扩大2 倍B．缩小2 倍C．没有变化D．不确定2.在Rt△ABC 中，若∠C=90°，AC=3，BC=5，则sin A 的值为 （） A. 3 5 B. 4 5 C． 5 34 34 D． 3 34 34 3.在△ABC 中，∠A，∠B 均为锐角，且 ?1 ?2 sin A - + - cos B ? ?? = 0 ，则这个三角形是（）A．等腰三角形B．直角三角形 C．钝角三角形D．等边三角形 4.若∠A 为锐角，且cos A 的值大于 1 ，则∠A（） 2 A．大于30°B．小于30° C．大于60°D．小于60° 5.已知β为锐角，且 3 A．30?≤β≤60? C．30?≤β< 60? ≤tan β< ，则β的取值范围是（） B．30?<β≤60? D．β< 30? 6.如图，在矩形ABCD 中，DE⊥AC，垂足为E，设∠ADE=α， 若cosα= 3 ，AB=4，则AD 的长为（） 5 A．3 B． 16 3 C． 20 3 D． 16 5 第6 题图第7 题图 7.如图，在菱形ABCD 中，DE⊥AB，若cos A = 3 ，BE=2，则 5 tan∠DBE= ． 2 3 2 3 3

三角形边角关系教案

14.1 三角形中的边角关系（1） -------边的关系 1.三角形的概念 2.三角形的表示方法及分类 3.三角形三边之间的关系 1．了解三角形的概念，掌握分类思想。 2．经历探索三角形中的三条边之间的关系，感受几何学中基本图形的内涵。 3．让学生养成有条理的思考的习惯，以及说理有据的意识，体会三角形三边关系在现实生活中的实际价值。 三教学重难点： 1.重点：了解三角形的分类，弄清三角形三边关系 2.难点：对两边之差小于第三边的领悟 四教学准备： 1.教师准备：多媒体课件 2.学生准备：四根小木条 五课时安排： 一节课 六教学过程： （一）创设情境，探究新知 1.请同学们仔细观察一组图片，找出你熟悉的图形三角形，引入课题 我们在日常生活中几乎随处可见三角形，它简单、有趣，也十分有用。三角形可以帮助我们更好地认识周围的世界，可以帮助我们解决很多实际问题……从这一节课开始我们将学习三角形。 （二）合作交流，探究新知 你能画一个三角形吗? 三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形 3.自学指导： 认真看书67页的内容。注意三角形边的表示方法。 并思考下面问题： （1）知道三角形的顶点,边,角等概念,会用几何符号表示一个三角形; （2）会把三角形按边进行分类,知道每类三角形的特征;

（3）知道等腰三角形的腰,底边,顶角,底角等概念; 依次向学生介绍有关知识 4.巩固练习（多媒体展示） 5.合作探究三角形的三边关系 有这样的四根小棒（6cm、8cm、12cm、18cm）请你任意的取其中的三根，首尾连接，摆成三角形。 （1）有哪几种取法? （2）是不是任意三根都能摆出三角形？若不是，哪些可以？哪些不可以？ （3）用三根什么样的小棒才能拼成三角形呢?你从中发现了什么？ 小组活动：学生自主探索并合作交流满足怎样的数量关系的三根小棒能组成三角形； 我们可以发现这四根小棒中，如果较短的两根的和不大于最长的第三根，就不能组成三角形。 这就是说：三角形中任何两边的和大于第三边 三角形中任意两边的差与第三边有什么关系?你能根据上面的结论,利用不等式的性质加以说明吗? 三角形中任何两边的差小于第三边 6.讲解例题 例1 ：例：一根木棒长为7，另一根木棒长为2，若要围成三角形，那么则第三根木棒长度应在什么范围呢？ 解：设第三条边长为a cm，则 7－2＜a＜7＋2 即5＜a＜9 结论：其它两边之差< 三角形的一边< 其它两边之和 例2：已知：等腰三角形周长为18cm，如果一边长等于4cm，求另两边的长？ 解（1）设等腰三角形的底边长为4 cm，则腰长为x cm。根据题意，得 x+x+4=18 解方程，得 x=7

(完整word版)沪科版八年级数学三角形中的边角关系

三角形中的边角关系 知识点 一、 边 1、基本概念（三角形的定义、 边、 顶点、 △、 Rt △） 2、按边对三角形的分类：≠?? ?????? 不等边三角形三角形腰底等腰三角形等边三角形 ☆3、三边关系： （1）任意两边之和大于第三边 （2）任意两边之差小于第三边 验证：两条较短边之和与第三边的关系 二、角 1、基本概念（ 内角、外角、∠ ） 2、按角对三角形的分类：???? ???? 锐角三角形斜三角形三角形钝角三角形直角三角形 3、三角形的内角和 （1）三角形三个内角和等于180° （2)直角三角形的两个锐角互余 （3）一个三角形最多3个锐角，最多1个钝角，最多1个直角，最少2个锐角） 三、线 1、中线 (1) 定义 （2） 重心 （3）中线是线段 （4） 表述方法 2、高线 （1）定义 （2）垂心 (3）高是线段，垂线是直线 （4）表示方法 （5）3种高的画法 3、角平分线 （1）定义 (2)外心 （3）画法 （4）表示方法 四、数三角形的个数 （1）图形的形成过程 （2）三角形的大小顺序 （3）按某一条边沿着一定的方向 （4）固定一个顶点，按照一定的顺序不断变换另外两个顶点去数 基础练习 1、图中有____个三角形；其中以AB 为边的三角形有______________；含∠ACB 的三角形有______________；在△BOC 中，OC 的对角是___________；∠OCB 的对边是___________. 2、用集合来表示“用边长把三角形分类”，下面集合正确的是（ ） A B C D 3、若三角形的三边长分别为3,4，x -1，则x 的取值范围是_________________________

(完整)直角三角形的边角关系知识点,推荐文档

直角三角形的边角关系知识考点 知识讲解: 1.锐角三角函数的概念 如图，在ABC 中，∠C 为直角，则锐角A 的各三角 函数的定义如下： (1)角A 的正弦：锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ， 即sinA ＝a c (2)角A 的余弦：锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ， 即cosA ＝b c (3)角A 的正切：锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作t an A ， 即t an A ＝a b (4)角A 的余切：锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作 c ot A ， 即c ot A ＝b a 2.直角三角形中的边角关系 (1)三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2 (2)锐角之间的关系：A ＋B ＝90° (3)边角之间的关系： sinA ＝cosB ＝a c ， cosA ＝sinB ＝b c t an A ＝c ot B ＝a b ， cot A ＝t an B ＝b a

3.三角函数的关系 (1)同角的三角函数的关系 1)平方关系：sinA 2＋cosA 2＝1 2)倒数关系：t an A·c ot A ＝1 3)商的关系：t an A ＝sinA cosA ，c ot A ＝cosA sinA (2)互为余角的函数之间的关系 sin(90°－A)＝cosA ， cos(90°－A)＝sinA t an (90°－A)＝c ot A ， cot (90°－A)＝t an A 4．一些特殊角的三角函数值 0° 30° 45° 60° 90° sin α 0 1 cos α 1 0 tan α 0 1 ----- cot α ----- 1

三角形中的边角关系命题与证明教案

第13章三角形中的边角关系、命题与证 明 13.1三角形中的边角关系 第1课时三角形中的边角关系(一) 教学目标 【知识与技能】 1.认识三角形,理解三角形的边角关系. 2.知道三角形的高、中线、角平分线等概念,并能作出三角形的一边上的高. 3.理解等腰三角形及其相关概念. 【过程与方法】 1.经历三角形边长的数量关系的探索过程,理解三角形的三边关系. 2.掌握判断三条线段能否构成一个三角形的方法,并运用此方法解决有关问题. 【情感、态度与价值观】 1.带领学生探究三角形的边角关系问题,引起学生的好奇心,激发学生的求知欲. 2.帮助学生树立几何知识源于生活并服务于生活的意识. 重点难点 【重点】 理解并掌握三角形的三边关系. 【难点】 已知三条线段能构成三角形,求表示线段长度的代数式中字母的取值范围. 教学过程 一、创设情境,导入新知 教师多媒体出示: 教师把事先收集的与三角形有关的生活图片运用多媒体播放,让学生对三角形有一个感性认识,如图所示. 教师活动:通过播放图片,引导学生认识三角形,并提出:图(b)中能找出几个三角形,这些三角形具有怎样的特性? 学生活动:回顾小学学过的三角形,与同桌交流,找出图(b)中的三角形. 教师归纳:由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形. 教师多媒体出示:

师:你能指出这个三角形的顶点有几个吗?分别是什么? 生:这个三角形的顶点有三个,分别是A、B、C. 师:这个三角形的边呢? 生:边有三条,分别是AB、BC和CA. 师:对.我们把这个三角形记作“△ABC”,读作“三角形ABC”.三角形的三边有时用它所对角的相应小写字母表示.如边AB对着∠C,记作c;边BC对着∠A,记作a;边CA对着∠B,记作b.也就是说,一边可用两个大写字母或一个小写字母表示,角可用“∠”加上一个大写字母表示. 师:按边分类时,你知道的都有哪些三角形? 生:等边三角形. 师:等边三角形是三条边都相等的三角形.如果不是三条边都相等,比如两条边相等,这类三角形叫什么三角形呢? 生:等腰三角形. 师:对,等边三角形是等腰三角形的特例.如果三条边都不相等呢? 学生思考. 师:我们把这类三角形叫做不等边三角形. 教师多媒体出示: 教师板书: 三角形(按边分) 师:在等腰三角形中,你能区分哪条边是腰,哪条边是底吗? 生:相等的两边叫做腰,第三边叫做底边. 师:对.我们现在再来认识一下顶角和底角.两腰的夹角叫做顶角,腰与底边的夹角叫做底角. 二、共同探究,获取新知 师:请大家任意画出一个三角形,用刻度尺测量一下,并说说任意两边之和与第三边的关系. 学生操作. 生:任意两边之和大于第三边. 师:对,你有没有其他的方法来证明三角形的任意两边之各大于第三边呢? 生:由所有两点之间的连线中线段最短得到. 教师板书: 三角形中任何两边的和大于第三边. 师:对.根据不等式的性质,我们能得到三角形中任意两边的差小于第三边.(教师板书)如果三条线段要构成一个三角形,它们就要满足这两个条件,但是在实际计算中,需要验证六个不等式都成立吗? 学生思考,讨论. 师:不等式a+b>c,你把a移到不等式的右边,这个不等式如何表示? 生:b>c-a. 师:对,也就是c-a

九年级数学下册 第一章 直角三角形的边角关系 1.1 锐角三角函数 第2课时 正弦与余弦教案1 北师

1.1 锐角三角函数 第2课时 正弦与余弦 1．理解正弦与余弦的概念；(重点) 2．能用正弦、余弦的知识，根据三角形中已知的边和角求出未知的边和角．(难点) 一、情境导入 如图，小明沿着某斜坡向上行走了13m ，他的相对位置升高了5m. 如果他沿着该斜坡行走了20m ，那么他的相对位置升高了多少？行走了a m 呢？ 在上述情形中，小明的位置沿水平方向又分别移动了多少？ 根据相似三角形的性质可知，当直角三角形的一个锐角的大小确定时，它的对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值也就确定了． 二、合作探究 探究点：正弦和余弦 【类型一】 直接利用定义求正弦和余弦值 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5，求sin A ，cos A . 解析：利用勾股定理求出AC ，然后根据正弦和余弦的定义计算即可． 解：由勾股定理得AC ＝AB 2－BC 2＝132－52 ＝12，sin A ＝BC AB ＝513，cos A ＝AC AB ＝1213 . 方法总结：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对 边比邻边，熟记三角函数的定义是解决问题的关键． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第1题 【类型二】 已知一个三角函数值求另一个三角函数值 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D 在BC 上，AD ＝BC ＝5，cos ∠ADC ＝3 5 ，求sin B 的值． 解析：先由AD ＝BC ＝5，cos ∠ADC ＝3 5及勾股定理求出AC 及AB 的长，再由锐角三角函 数的定义解答．

解：∵AD ＝BC ＝5，cos ∠ADC ＝3 5 ，∴CD ＝3.在Rt △ACD 中，∵AD ＝5，CD ＝3，∴AC ＝ AD 2－CD 2＝52－32＝4.在Rt △ACB 中，∵AC ＝4，BC ＝5，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝42＋52 ＝41， ∴sin B ＝AC AB ＝ 4 41 ＝44141 . 方法总结：在不同的直角三角形中，要根据三角函数的定义，分清它们的边角关系，结 合勾股定理是解答此类问题的关键． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题 【类型三】 比较三角函数的大小 sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是( ) A ．tan70°＜cos70°＜sin70° B ．cos70°＜tan70°＜sin70° C ．sin70°＜cos70°＜tan70° D ．cos70°＜sin70°＜tan70° 解析：根据锐角三角函数的概念，知sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1.又cos70°＝sin20°，锐角的正弦值随着角的增大而增大，∴sin70°＞sin20°＝co s70°.故选D. 方法总结：当角度在0°<∠A <90°间变化时，0cos A >0.当角度在45°＜∠A ＜90°间变化时，tan A ＞1. 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第10题 【类型四】 与三角函数有关的探究性问题 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 为BC 边(除端点外)上的一点，设∠ADC ＝α，∠B ＝β. (1)猜想sin α与sin β的大小关系； (2)试证明你的结论． 解析：(1)因为在△ABD 中，∠ADC 为△ABD 的外角，可知∠ADC ＞∠B ，可猜想sin α＞sin β；(2)利用三角函数的定义可求出sin α，sin β的关系式即可得出结论． 解：(1)猜想：sin α＞sin β； (2)∵∠C ＝90°，∴sin α＝ AC AD ，sin β＝AC AB .∵AD ＜AB ，∴AC AD ＞AC AB ，即sin α＞sin β. 方法总结：利用三角函数的定义把两角的正弦值表示成线段的比，然后进行比较是解题 的关键． 【类型五】 三角函数的综合应用 如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，tan B ＝cos ∠DAC . (1)求证：AC ＝BD ； (2)若sin C ＝12 13 ，BC ＝36，求AD 的长． 解析：(1)根据高的定义得到∠ADB ＝∠ADC ＝90°，再分别利用正切和余弦的定义得到

九年级数学下册第1章直角三角形的边角关系1.2304560三角函数值教案新版北师大版_

1.2 30O、45O、600三角函数值 一、教学目标 1.利用三角函数的定义求30°、45°、60°这些特殊角的三角函数值 2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值计算. 3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小. 二、课时安排 1课时 三、教学重点 利用三角函数的定义求30°、45°、60°这些特殊角的三角函数值 四、教学难点 能够进行30°、45°、60°角的三角函数值计算. 五、教学过程 （一）导入新课 在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的对边与斜边的比、邻边与斜边比、对边与邻边的比也随之确定,分别叫做∠A的正弦、余弦、正切. （二）讲授新课 活动1：小组合作 [问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度. 我们组设计的方案如下： 让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B处，使这位同学拿起三角尺，她的视线恰好和斜边重合且过树梢C点，30°的邻边和水平方向平行，用卷尺测出AB的长度，BE的长度，因为DE=AB，所以只需在Rt△CDA中求出CD的长度即可.

我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定，如果能求出30°的正切值，在上图中，tan30°= ，则CD=atan30°，岂不简单. 你能求出30°角的三个三角函数值吗? 活动2：探索30°角的三角函数值 ①观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度? ② sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流. ③cos30°等于多少?tan30°呢? 学生探讨、交流，得出 30°角的三角函数值 2．我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数值分别是多少?你是如何得到的? 活动2：探究归纳——完成下表 （1）我们观察表格中函数值的特点.先看第一列30°、45°、60°角的正弦值，你能发现什么规律呢? （2）再次观察表格，你还能发现什么？从下列两个方面考虑 a 随着角度的增加，正弦、余弦、正切值的变化情况。 b 若对于锐角α有sin α= ,则α=. （三）重难点精讲 例题1：计算： (1) sin30°+cos45°； (2) 解：sin30°+cos45°

直角三角形的边角关系专题复习

直角三角形的边角关系测试题 1、在Rt △ABC 中，∠A=90o，AB=6，AC=8，则sinB= ，cosC= 2、在△ABC 中，∠B=90o，2 1 cos =C ，则∠C= 】 3、在△ABC 中，∠C=90o，∠A=60o，AC=34，则BC= 4、在△ABC 中，∠C=90o，BC=3，AB=32，则∠A= 5、在△ABC 中，∠C=90o，若tanA= 2 1 ，则sinA= 6、在△ABC 中，若∠C=90o，∠A=45o，则tanA+sinB= 7、如图1，在△ABC 中，∠C=90o，∠B=30o，AD 是∠BAC 的平分线。已知AB=34， 那么AD= # 8、正方形ABCD 中，AM 平分∠BAC 交BC 于M ，AB=2，BM=1，则cos ∠MAC= 9、如果3)20tan(3=?+α，那么锐角α= 10、某校数学课外活动小组的同学测量英雄纪念碑的高，如图2所示，测得的数据为： BC=42m ，倾斜角o?=30α，测得测角仪高CD=1.5m ，则AB= 。（结果保留四位 有效数字） 11、在△ABC 中，∠C=90o，BC=5，AC=12，则tanA=（ ） A 、512 B 、125 C 、513 D 、13 5 12、在Rt △ABC 中，∠C=90o，5 3 cos = A ，AC=6cm ，则BC=（ ）cm A 、8 B 、 C 、 D 、 ! 13、菱形ABCD 的对角线AC=10cm ，BD=6cm ，那么=2tan A （ ） A 、53 B 、54 C 、34 343 D 、34345 14、已知：如图3，梯形ABCD 中，AD 63864238242 3 23 1,23-1,2 3 --3253500 )3sin 2(3tan 2=-+-A B 5 米 353103?+?+?-?45tan 30cos 230tan 330sin ?-?+? -? - ?60tan 45tan 30sin 160cos 45cos 2226—1为平地 上一幢建筑物与铁塔图，题6-2图为其示意图.建筑物AB 与铁塔CD 都垂直于底面，BD=30m ，在A 点测得D 点的俯角为45°，测得C 点的仰角为60°.求铁塔CD 的高度. … 图6-1 图6-2 图2 a C A E B ) 图1 B C D A 图3 图4 图5

三角形三边关系教案教学提纲

三角形三边关系教案

三角形边的关系 瓦房店中心小学 四年级 吴艳双 【教学内容】：三角形边的关系 【教材分析】 本课是在学生初步了解三角形定义的基础上，让学生进一步理解三角形的特征，即“三角形任意两边之和大于第三边”，加深学生对三角形的认识，同时也为今后学习

三角形和四边形的联系和区别打下基础。三角形边的关系的定理主要提供了判断三条线段能否组成三角形的依据，熟练灵活地运用三角形三边关系有助于提高学生全面思考问题的能力。教材积极创设了动手操作的情境，力求让学生在活动中感知、体会并进行归纳总结。同时，也让学生对演绎推理和反证法有初步的了解。 【学生分析】 对于三角形，学生并不陌生，通过前面的学习，学生已经初步认识了三角形，知道三角形有三条边、三个顶点和三个角，以及三角形稳定性的知识，这些都是学生进一步进行学习的基础。学生乐于动手，喜欢实践，并在前几年的学习中，掌握了一定的实践方法和思考方式，同时比较善于发现和总结，这也将为本节课的学习做好铺垫。 【教学目标】： 知识与技能目标：通过数学活动，使学生知道三角形任意两边的和大于第三边，能判 断给定长度的三条线段是否围成三角形，并能运用这一知识解决生活中的简单的实际问题。 过程与方法目标：在动手操作和观察、操作、分析、比较等活动中，经历三角形三边 关系的探索过程，在这一过程中提高学生观察、分析、概括的能力。 情感与态度目标：让学生在探索过程中体验数学学习的乐趣，获得成功的体验。 【教学重点】：经历三角形三边关系的探索过程，掌握“三角形任意两边之和大于第三边”的特征。 【教学难点】：通过实验发现“三角形任意两边之和大于第三边”的特征，准确理解“任意”的含义。 【教具】：准备小棒、多媒体课件 【教学流程】 一、导入 1、同学们，瞧，这是一个什么图形？（三角形） 2、你知道什么是三角形吗？（谁来说）（由三条线段围成的图形，每相邻两条线 段的端点相连，叫做三角形） 3、你会围三角形吗？（会）我们在围三角形的时候应该注意什么？（看来你一定 是个细心的好孩子）

沪科版数学八年级上册：13.1三角形中的边角关系-教案(2)

第十三章三角形中的边角关系、命题与证明 13.1 三角形中的边角关系 第1课时三角形中边的关系 一、教学目标 1. 了解三角形的概念，掌握分类思想 2. 经历探索三角形中的三条边之间的关系，感受几何学中基本图形的内涵 3. 让学生养成有条理的思考的习惯，以及说理有据的意识，体会三角形三边关系在现实生活中的实际价值 二、教学重点及难点 重点：了解三角形分类思想，弄清三角形三边关系. 难点：对两边之差小于第三边的领悟. 三、教学用具 多媒体课件、直尺． 四、相关资源 《三角形系列》图片、《三角形1》图片、《锐角、直角、钝角三角形》图片、《等腰、等边三角形》图片、《三角形2》图片、《三角形3》图片． 五、教学过程 【课堂导入】

此图片是视频缩略图，本视频资源从生活实例出发，给出物品、建筑等常见的三角形形象及设计，同时适当提出问题，激发学生的求知欲。若需使用，请插入【情景演示】认识三角形. 教师引入三角形：三角形是一种最常见的几何图形，同学们你们说说生活中的三角形有哪些？通过观察图片大家能否发现三角形有哪些特性？ 教师活动：通过播放图片，引导学生认识三角形，并提出图中能找出的几个三角形具有什么样的特性. 学生思考回答：三角尺、警示牌、旗子等等.

插入图片《三角形系列》 教师给出定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形. 插入图片《三角形1》 点A，B, C叫做这个三角形的顶点;线段AB,BC,CA叫做这个三角形的边;∠A，∠B, ∠C叫做这个三角形的内角,简称三角形的角. 我们把这个三角形记作“△ABC"，.读作“三角形ABC" .三角形的三边有时用它所对角的相应小写字母表示:如边BC对着∠A,记作a;边CA记作b;边AB记作c. 设计意图：开门见山引入课堂知识的教学． 【新知讲解】 1．三角形的识别、分类． 教师讲解： 三角形中，三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形( acute triangle)，有一个角是直角的三角形叫做直角三角形(right triangle) 、有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形( obtuse triangle) 三角形中,三条边互不相等的三角形叫做不等边三角形( scalene triangle),有两条边相等的三角形叫做等腰三角形( isosceles triangle)、三条边都相等的三角形叫做等边三角形，又叫做正三角形( equilateral triangle) . 等腰三角形中，相等的两边叫做腰，第三边叫做底边两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角. 三角形按边长划分可以分为：不等边三角形和等腰三角形（等边三角形是特殊的等腰三角形）

直角三角形的边角关系(含答案)

学生做题前请先回答以下问题 问题1：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=________，cosA=________，tanA=________． 问题2：在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角A越大，正弦sinA______，余弦cosA______，正切tanA______． 问题3：默写特殊角的三角函数值： 问题4：计算一个角的三角函数值，通常把这个角放在____________中研究，常利用_________或__________两种方式进行处理． 直角三角形的边角关系 一、单选题(共14道，每道7分) 1.式子2cos30°-tan45°-的值是( ) A. B.0 C. D.2 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：特殊角的三角函数值 2.如果△ABC中，，则下列说法正确的是( ) A.△ABC是直角三角形 B.△ABC是等腰三角形 C.△ABC是等腰直角三角形 D.△ABC是锐角三角形

答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：特殊角的三角函数值 3.已知为锐角，且，那么的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：锐角三角函数的增减性 4.如图，在Rt△ABC中，tanB=，BC=，则AC等于( )

A.3 B.4 C. D.6 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：解直角三角形 5.在平面直角坐标系中，已知点A（2，1）和点B（3，0），则sin∠AOB的值等于( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：锐角三角函数的定义 6.在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，，则斜边上的高为( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：

直角三角形的边角关系知识点

直角二角形的边角关系知识考点 知识讲解： 1.锐角三角函数的概念 如图，在ABC 中，/ C 为直角，则锐角 A 的各三角函 数的定义如下： (1)角A 的正弦：锐角A 的对边与斜边的比叫做/ A 的正弦，记作sinA , ⑵ 角A 的余弦：锐角A 的邻边与斜边的比叫做/ A 的余弦，记作 cosA , 口口 b 即 cosA = (3)角A 的正切：锐角A 的对边与邻边的比叫做/ A 的正切，记作tanA , 即 tanA =7 b (4) 角A 的余切：锐角A 的邻边与对边的比叫做/ A 的余切，记作cotA , 即 si nA

b 即cotA =- a 2.直角三角形中的边角关系

(1) 三边之间的关系：a 2 + b 2 = c 2 (2) 锐角之间的关系：A + B = 90° (3) 边角之间的关系： sinA = cosB = -, cosA = sinB =2 c c a b tanA = cotB = , cotA = tanB = 3. 三角函数的关系 (1) 同角的三角函数的关系 2) 倒数关系：tan A -c otA = 1 sinA cosA tanA = , cotA =. cosA st nA (2) 互为余角的函数之间的关系 sin(90 ° - A) = cosA , cos(90 ° - A) = sinA tan (90 ° — A) = cotA , cot (90 ° — A) = tanA 4. 一些特殊角的三角函数值 1) 平方关系：sinA 2 + cosA 2 = 1 3) 商的关系:

三角形中的边角关系教案(00001)

沪科版本数学八年级上册3.1.2三角形中的边角关系教学设计

讲授新课活动探究一：思考以下问题，做一做。（小组讨 论，3min） 1. 同学请拿出你的三角板，观察三角形的内角有 什么不同？ 2.画出三个角都是锐角的三角形 3.画出有一个角的钝角的三角形。 怎么区分以下三种三角形呢？ 三角形中，三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角 形 有一个角是直角的三角形叫做直角三角形 有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形 对于直角三角形，还有哪些要素呢？ 活动探究二：思考以下问题。（小组讨论，2min） 1三角形若按角来分类，分为哪几类？ 2三角形内角和是多少度？ 三角形按角分为 同学们，自己制作一个三角形，将这个三角形折叠 学生通过动手 画图，锻炼了 能力，学生能 够用以学习的 知识来解决， 为学生掌握三 角形之间角的 关系做铺垫． 学生回答直角 三角形中夹直 角的两边叫做 直角边，直角 相对的边叫 做，直角三角 形ABC可以写 成Rt ABC。 学生回答 三角形的内角 和等于1800 动手折叠 三角形，锻炼学 生的动手能力 巩固练习学生独

∠A=180°-54°-90°=36° 在 ABC中， ∠C=180°-∠A-（∠ABD + ∠DBC） =180°-36°-(54°+18°) =72° 变式1 下列说法正确的有( ) 1等腰三角形是等边三角形； 2三角形按边分可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形； 3等腰三角形至少有两边相等； 4三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． A. 1,2 B. 1,3,4 C. 3,4 D. 1,2,4 变式2 若三角形中的一条边是另一条边的2倍，且有一个角为30 °，则这个三角形是( ) A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上都不对 变式3：在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=2:3:4，求∠A 、∠B和∠C的度数. 拓展提高 1.如果等腰三角形的一角为100°, 则另两角分别为___________ 如果等腰三角形的一角为70°, 则另两角分别为_________________

直角三角形的边角关系(含答案)

第十四章 直角三角形的边角关系 基础知识梳理 1．锐角三角函数． 在Rt △ABC 中，∠C 是直角，如图所示． （1）正切：∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tanA= A A ∠∠的对边 的邻边 ． （2）正弦：∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sinA= A ∠的对边 邻边 ． （3）余弦：∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cosA= A ∠的邻边 邻边 ． （4）锐角三角函数：锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数． （5）锐角的正弦和余弦之间的关系． 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值． 即：如果∠A+∠B=90°，那么sinA=cos （90°-A ）=cosB ；cosA=sin （?90?°-?A ）?=sinB ． （6）一些特殊角的三角函数值（如下表）． （7）已知角度可利用科学计算器求得锐角三角函数值；同样，?已知三角函数值也可利用科学计算器求得角度的大小．

（8）三角函数值的变化规律． ①当角度在0°～90°间变化时，正弦值（正切值）随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． ②当角度在0°～90°间变化时，余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（?或增大）．（9）同角三角函数的关系． ①sin2A+cos2A=1；②tanA=sin cos A A ． 2．运用三角函数解直角三角形． 由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对 边分别为a，b，c． （1）三边之间的关系：a2+b2=c2（勾股定理）． （2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°． （3）边角之间的关系：sinA=a c ，cosA= b c ，tanA= a b ． 所以，在直角三角形中，只要知道除直角外的两个元素（其中至少有一个是边），?就可以求出其余三个未知元素． 解直角三角形的基本类型题解法如下表所示： （1）尽量使用原始数据，使计算更加准确； （2）不是解直角三角形的问题，添加合适的辅助线转化为解直角三角形的问题； （3）恰当使用方程或方程组的方法解决一些较复杂的解直角三角形的问题； （4）在选用三角函数式时，尽量做乘法，避免做除法，以使运算简便； （5）必要时画出图形，分析已知什么，求什么，它们在哪个三角形中，?应当选用什么关系式进行计算； （6）添加辅助线的过程应书写在解题过程中． 3．解直角三角形的实际问题． 解直角三角形的实际问题涉及到如下概念和术语． （1）坡度、坡角．

沪科版八年级数学上册《三角形中的边角关系》教案1

《三角形边的关系》教案1 教学内容分析 三角形是最简单的多边形，是研究其他图形的基础.本节课是在学生已学过的一些三角形基础上，进一步系统的研究它的概念、分类、性质和应用. 教学目标分析 (一)知识技能 理解三角形中三边之间的关系，并运用它解决一些简单的问题. (二)过程与方法 1、经历观察、猜想、操作、实验、验证等数学活动，感受数学活动充满着探索性和创造性，体验探究的乐趣. 2、通过对三角形三边关系的发展及应用培养学生的分类讨论思想和方程思想. (三)情感态度价值观 1、感知数学与生活的密切联系，体会生活中的数学美、图形美. 2、激发学生的勇于探究精神以及文明环保意识. 教学中的重、难点及处理 1、重点：理解三角形三边之间的关系并能灵活应用. 2、难点：探究三角形三边之间的关系. 3、处理：结合多媒体课件，揭示图形特点，通过观察、操作、合作交流，结合“两点之间，线段最短”原理，验证猜想. 教学方法 情境导入法、实验比较法. 教学准备 1、教师准备：制作多媒体课件. 2、学生准备：笔、刻度尺. 教学过程 一、情境激趣，悬念探路 1、提出问题：看NBA姚明赛场，姚明的身高是2.26米腿长约1.2米左右，他在赛场上能一步走3米吗？ 2、抽象问题：人的体型可以模拟成三角形.(投影展示生活中具有三角形状的实物.) 3、揭示问题：进入三角形的世界探究虚实，板书课题：三角形的边角关系. (设计说明：数学来源于生活，感受生活中的数学美，培养学生善于观察生活，洞悉生

活中数学常识的能力.) 二、感知实物，提升认识 在小学阶段我们学习了有关三角形的一些初步知识，现在大家观察下面的屋顶框架图，并回答以下问题： 图1 1、共性特征方面： 从图1中找出两个不同的三角形吗？与同伴交流各自找的三角形. (请同学们在纸上画出该图形然后来找，请一个同学上黑板指出三角形) 根据指出的三角形回答下列问题： (1)这些三角形有什么共同的特点？(结合小学对三角形的认识回答) (2)什么叫做三角形？(通过视频了解三角形定义) (刚才找到的三角形能说清楚吗？可能同桌的两位或前后能指着说，隔一排就恐怕不行，你说的是这个，他说的是那个，容易混淆，那么怎样就可以表示清楚呢？) (3)如何表示三角形？ (4)三角形的边可以怎么表示？ (5)如果我说三角形有三要素，你能猜出是哪三要素吗？(通过多媒体课件了解三角形的基本元素). 2、个性特征方面： 研究三角形的三条边是否相等，有多少种可能的情况？ (通过视频掌握三角形按边的分类) (1)三条边各不相等的三角形叫做不等边三角形. (2)有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角. (3)三条边都相等的三角形叫做等边三角形. 三、实践探究，形成性质 1、议一议C 观察：蚂蚁从A到B 路线1：从A到C再到B路线走 路线2：沿线段AB走 理论依据：两点之间，线段最短. A B