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高考数学题型全归纳:正弦定理典型例题(含答案)

高考数学题型全归纳:正弦定理典型例题(含答案)

正弦定理

题型一 正弦定理的简单运用

例1 已知。 解:sin sin a c A C

=,∴sin 10sin 45sin sin 30

c A a C ?===, 180()105B A C =-+=,又sin sin b c B C

=,

∴sin 10sin10520sin 7520sin sin 30c B b C ?=====+. 说明:正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题。

题型二 正弦定理的综合运用

例2 6tan tan ,4

,22=?=

>=?B A C b a c ABC 且有,中,在π,试求b a ,及此时三角形的面积。

解: 5

24sin 215

106sin sin ,558sin sin ,20.

2tan ,3tan tan tan ,6tan tan 5)61(4

tan )tan tan 1(tan )

tan tan 1)(tan(tan tan ==∴====∴<<<==∴>>=?=--=--=-+=+?C ab S C A c a C B c b A B B A B

A b a

B A B A

C B A B A B A ABC ππ又,则且又

余弦定理知识点+经典题(有答案)

余弦定理 余弦定理:三角形中任意一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍。即: 2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+- 2222cos c a b ab C =+- 2.利用余弦定理解三角形: (1)已知两边和它们所夹的角: (2)已知三边: 余弦定理 1.在△ABC 中,如果BC =6,AB =4,cos B =1 3 ,那么AC 等于( )A .6 B .2 6 C .3 6 D .4 6 3.在△ABC 中,a 2=b 2+c 2+3bc ,则∠A 等于( ) A .60° B .45° C .120° D .150° 4.在△ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ,若(a 2+c 2-b 2)tan B = 3ac , 则∠B 的值为( ) A.π6 B.π3 C.π6或5π6 D.π3或2π3 5.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为( ) A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .由增加的长度决定 6.已知锐角三角形ABC 中,|AB →|=4,|AC →|=1,△ABC 的面积为3,则AB →·AC →的值为( ) A .2 B .-2 C .4 D .-4

7.在△ABC中,b=3,c=3,B=30°,则a为( ) A. 3 B.2 3 C.3或2 3 D.2 8.已知△ABC的三个内角满足2B=A+C,且AB=1,BC=4,则边BC上的中线AD的长为________. 9.△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=(3-1)∶(3+1)∶10,求最大角的度数.10.已知a、b、c是△ABC的三边,S是△ABC的面积,若a=4,b=5,S=53,则边c 的值为________. 11.在△ABC中,a=32,cos C=1 3 ,S△ABC=43,则b=________. 12.已知△ABC的三边长分别为AB=7,BC=5,AC=6,则AB→·BC→的值为________. 13.已知△ABC的三边长分别是a、b、c,且面积S=a2+b2-c2 4 ,则角C=________. 14.(2015年广州调研)三角形的三边为连续的自然数,且最大角为钝角,则最小角的余弦值为________. 15.在△ABC中,BC=a,AC=b,a,b是方程x2-23x+2=0的两根,且2cos(A+B)=1,求AB的长.

(完整版)正弦定理练习题经典

正弦定理练习题 1.在△ABC 中,A =45°,B =60°,a =2,则b 等于( ) A.6 B. 2 C. 3 D .2 6 2.在△ABC 中,已知a =8,B =60°,C =75°,则b 等于( ) A .4 2 B .4 3 C .4 6 D.323 3.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 所对的边,若A =105°,B =45°,b =2,则c =( ) A .1 B.12 C .2 D.14 4.在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,A =60°,a =43,b =42,则角B 为( ) A .45°或135° B .135° C .45° D .以上答案都不对 5.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c =2,b =6,B =120°,则a 等于( ) A. 6 B .2 C. 3 D. 2 6.在△ABC 中,a ∶b ∶c =1∶5∶6,则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A .1∶5∶6 B .6∶5∶1 C .6∶1∶5 D .不确定 7.在△ABC 中,若cos A cos B =b a ,则△ABC 是( ) A .等腰三角形 B .等边三角形 C .直角三角形 D .等腰三角形或直角三角形 8.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若a =1,c =3,C =π3 ,则A =________. 9.在△ABC 中,已知a =433 ,b =4,A =30°,则sin B =________. 10.在△ABC 中,已知∠A =30°,∠B =120°,b =12,则a +c =________. 11.在△ABC 中,b =43,C =30°,c =2,则此三角形有________组解. 12 . 判断满足下列条件的三角形个数 (1)b=39,c=54,? =120C 有________组解 (2)a=20,b=11,?=30B 有________组解 (3)b=26,c=15,?=30C 有________组解 (4)a=2,b=6,?=30A 有________组解 正弦定理 1.在△ABC 中,∠A =45°,∠B =60°,a =2,则b 等于( ) A.6 B. 2 C. 3 D .2 6 解析:选A.应用正弦定理得:a sin A =b sin B ,求得b =a sin B sin A = 6. 2.在△ABC 中,已知a =8,B =60°,C =75°,则b 等于( ) A .4 2 B .4 3 C .4 6 D.323 解析:选C.A =45°,由正弦定理得b =a sin B sin A =4 6. 3.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 所对的边,若A =105°,B =45°,b =2,则c =( )

高考数学大题经典习题

1. 对于函数()3 2 1(2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-。 (1)若()f x 在13x x ==和处取得极值,且()f x 的图像上每一点的切线的斜率均不超过 22sin cos t t t -+t 的取值范围; (2)若()f x 为实数集R 上的单调函数,设点P 的坐标为(),a b ,试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S 。 1. (1)由()3 2 1 (2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-,则()2'(2)2(2)f x a x bx a =-+-+- 因为()13f x x x ==在和处取得极值,所以()13'0x x f x ===和是的两个根 22 1(2)121(2)02 (2)323(2)0a a b a b a b a ?=--+?-?+-=????=--+?-?+-=?? ()2 '43f x x x ∴=-+- 因为()f x 的图像上每一点的切线的斜率不超过2 2sin cos t t t -+ 所以()2 '2sin cos f x t t t x R ≤-∈恒成立, 而()()2 '21f x x =--+,其最大值为1. 故2 2sin cos 1t t t -≥ 72sin 21,3412t k t k k Z πππππ? ??-≥?+≤≤+∈ ??? (2)当2a =-时,由()f x 在R 上单调,知0b = 当2a ≠-时,由()f x 在R 上单调()'0f x ?≥恒成立,或者()'0f x ≤恒成立. ∵()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-, 2244(4)0b a ∴?=+-≤可得224a b +≤ 从而知满足条件的点(),P a b 在直角坐标平面aob 上形成的轨迹所围成的图形的面积为 4S π= 2. 函数cx bx ax x f ++=2 3 )((0>a )的图象关于原点对称,))(,(ααf A 、)) (,(ββf B 分别为函数)(x f 的极大值点和极小值点,且|AB|=2,αββα-=-)()(f f .

二项式定理知识点总结

二项式定理 一、二项式定理: ()n n n k k n k n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110(*∈N n )等号右边的多项式叫做 ()n b a +的二项展开式,其中各项的系数k n C )3,2,1,0(n k ???=叫做二项式系数。 对二项式定理的理解: (1)二项展开式有1+n 项 (2)字母a 按降幂排列,从第一项开始,次数由n 逐项减1到0;字母b 按升幂排列,从第一项开始,次数由0逐项加1到n (3)二项式定理表示一个恒等式,对于任意的实数b a ,,等式都成立,通过对b a ,取不同的特殊值,可为某些问题的解决带来方便。在定理中假设x b a ==,1,则 ()n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x +++++=+- 101(*∈N n ) (4)要注意二项式定理的双向功能:一方面可将二项式()n b a +展开,得到一个多项式; 另一方面,也可将展开式合并成二项式()n b a + 二、二项展开式的通项:k k n k n k b a C T -+=1 二项展开式的通项k k n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ???=是二项展开式的第1+k 项,它体现了 二项展开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核心,它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数等方面有广泛应用 对通项k k n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ???=的理解: (1)字母b 的次数和组合数的上标相同 (2)a 与b 的次数之和为n (3)在通项公式中共含有1,,,,+k T k n b a 这5个元素,知道4个元素便可求第5个元素 例1.n n n n n n C C C C 13 21393-++++ 等于 ( ) A .n 4 B 。n 43? C 。134-n D.3 1 4-n 例2.(1)求7 (12)x +的展开式的第四项的系数; (2)求9 1()x x -的展开式中3 x 的系数及二项式系数

《正弦定理和余弦定理》典型例题.

《正弦定理和余弦定理》典型例题透析 类型一:正弦定理的应用: 例1.已知在ABC ?中,10c =,45A = ,30C = ,解三角形. 思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上(如图),可以确定先用正弦定理求出边a ,然后用三角形内角和求出角B ,最后用正弦定理求出边b . 解析:sin sin a c A C = , ∴sin 10sin 45sin sin 30c A a C ?=== ∴ 180()105B A C =-+= , 又sin sin b c B C =, ∴sin 10sin10520sin 7520sin sin 304 c B b C ?====?= 总结升华: 1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题; 2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上,可以清楚地看出已知与求之间的关系,从而恰当地选择解答方式. 举一反三: 【变式1】在?ABC 中,已知032.0=A ,081.8=B ,42.9a cm =,解三角形。 【答案】根据三角形内角和定理,0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=; 根据正弦定理,0 sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ; 根据正弦定理,0 sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A 【变式2】在?ABC 中,已知075B =,0 60C =,5c =,求a 、A . 【答案】00000180()180(7560)45A B C =-+=-+=, 根据正弦定理5sin 45sin 60o o a =,∴a =【变式3】在?ABC 中,已知sin :sin :sin 1:2:3A B C =,求::a b c 【答案】根据正弦定理sin sin sin a b c A B C ==,得::sin :sin :sin 1:2:3a b c A B C ==. 例2.在60,1ABC b B c ?=== 中,,求:a 和A ,C . 思路点拨: 先将已知条件表示在示意图形上(如图),可以确定先用正弦定理求出角C ,然后用三角形内角和求出角A ,最后用正弦定理求出边a .

[高考数学]高考数学函数典型例题

?0x时,总有 00 ?01}的四组函数如下: ①f(x)=x2,g(x)=x;②f(x)=10-x+2,g(x)=2x-3 x;

③ f(x)= , g(x)= ; ④ f(x)= , g(x)=2(x-1-e -x ) . 年 高 考 江 苏 卷 试 题 11 ) 已 知 函 数 f ( x ) = ? x + 1, x ≥ 0 , 则 满 足 不 等 式 ) 剪成两块,其中一块是梯形,记 S = ,则 S 的最小值是____▲____。 2 x 2 +1 xlnx+1 2x 2 x lnx x+1 其中, 曲线 y=f(x) 和 y=g(x) 存在“分渐近线”的是( ) A. ①④ B. ②③ C.②④ D.③④ 33. (20XX 年 高 考 天 津 卷 理 科 16) 设 函 数 f ( x ) = x 2 - 1 , 对 任 意 3 x x ∈[ , +∞) , f ( ) - 4m 2 f ( x ) ≤ f ( x - 1) + 4 f (m ) 2 m 恒成立,则实数 m 的取值范围是 。 34 .( 20XX ? 2 ?1, x < 0 f (1- x 2 )> f ( 2x 的 x 的范围是__▲___。 35.(20XX 年高考江苏卷试题 14)将边长为 1m 正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线 (梯形的周长) 梯形的面积 36 已知函数 f ( x ) = ( x + 1)ln x - x + 1 . (Ⅰ)若 xf '(x) ≤ x 2 + ax + 1 ,求 a 的取值范围; (Ⅱ)证明: ( x - 1) f ( x ) ≥ 0 .

二项式定理知识点及典型题型总结

、基本知识点 n On 1n 1. 1 rnrr nn, 1、二项式疋理:(a b) Ca 6a b C.a b C n b (n N ) 2、几个基本概念 (1)二项展开式:右边的多项式叫做(a b)n的二项展开式 (2)项数:二项展开式中共有n 1项 (3)二项式系数:C n (r 0,1,2, ,n)叫做二项展开式中第r 1项的二项式系数 (4)通项:展开式的第r 1项,即T r 1 C;a n r b r (r 0,1, ,n) 3、展开式的特点 (1) 系数都是组合数,依次为c,,c:,c n,…,c n (2) 指数的特点①a的指数由厂0(降幕)。 ②b的指数由0 * n (升幕)。 ③a和b的指数和为n。 (3) 展开式是一个恒等式,a, b可取任意的复数,n为任意的自然数。 4、二项式系数的性质: (1)对称性: 在二项展开式中,与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等?即C m c:m (2)增减性与最值 二项式系数先增后减且在中间取得最大值 n 当n是偶数时,中间一项取得最大值c n2 n 1 n 1 当n是奇数时,中间两项相等且同时取得最大值=CF 二项式定理 c0 c1 c2 (3)二项式系数的和:Cn Cn Cn Cn C:奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和2n 即C0+Cn+L W + L =2n-1

二项式定理的常见题型 一、求二项展开式 1?“ (a b)n”型的展开式 例1?求(3 . x1 )4的展开式;a J x 2. “(a b)n”型的展开式 —1 例2?求)4的展开式; J V 3?二项式展开式的“逆用” 例3?计算 1 3C:9C2 27 C3 .... ( 1)勺匕:; 二、通项公式的应用 1.确定二项式中的有关元素 例4.已知(£.. X)9的展开式中x3的系数为9,常数a的值为_______________ x \ 2 4 2.确定二项展开式的常数项 例5. (-x 31 )10展开式中的常数项是_________________ 3' X

正弦定理、余弦定理经典练习题

学科数学版本人教版大开本、3+x 期数2339 年级高一编稿老师梁文莉审稿教师 【同步教育信息】 一. 本周教学内容: §5.9正弦定理、余弦定理 目标:使学生理解正弦定理、余弦定理的证明和推导过程,初步运用它们解斜三角形。并会利用计算器解决解斜三角形的计算问题。培养学生观察、分析、归纳等思维能力、运算能力、逻辑推理能力,渗透数形结合思想、分类思想、化归思想,以及从特殊到一般、类比等方法,进一步提高学生分析问题和解决问题的能力。 二. 重点、难点: 重点: 正弦定理、余弦定理的推导及运用。 难点: (1)正弦定理、余弦定理的推导过程; (2)应用正弦定理、余弦定理解斜三角形。 [学法指导] 学习本节知识时可采用向量法、等积法(面积相等)等不同方法来推导正弦定理,以加深对定理的理解和记忆,由于已知两边及其中一边的对角,不能唯一确定三角形,此时三角形可能出现两解、一解、无解三种情况,因此解此类三角形时,要注意讨论。 深刻领会向量的三角形法则及平面向量的数量积是用向量法推导余弦定理的关键。注意余弦定理的每一个等式中都包含四个不同的量,它们分别是三角形的三边和一个角,知道其中的三个量,便可求得第四个量。当有一个角为90°时,即为勾股定理。因此,勾股定理可看作是余弦定理的特例。 正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具,其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。一般地,利用公式a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(R 为ΔABC外接圆半径),可将边转化为角的三角函数关系,然后利用三角函数知识进行化简,其中往往用到三角形内角和定理A+B+C=π。 可将有关三角形中的角的余弦转化为边的关系,然后充分利用代数知识来解决问题。在三角形中,有一个角的余弦值为负值,该三角形为钝角三角形;有一个角的余弦值为零,便是直角三角形;三个角的余弦值都为正值,便是锐角三角形。 【例题分析】

二项式定理知识点及题型归纳总结

二项式定理知识点及题型归纳总结 知识点精讲 一、二项式定理 ()n n n r r n r n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a 01100+?++?++=+--( )* N n ∈. 展开式具有以下特点: (1)项数:共1+n 项. (2)二项式系数:依次为组合数n n n n n C C C C ,?,,,2 1 . (3)每一项的次数是一样的,都为n 次,展开式依a 的降幂、b 的升幂排列展开.特别地, ()n n n n n n x C x C x C x +?+++=+22111. 二、二项式展开式的通项(第1+r 项) 二项式展开的通项为r r n r n r b a C T -+=1().,,3,2,1,0n r ?=.其中r n C 的二项式系数.令变量(常用x )取1, 可得1+r T 的系数. 注 通项公式主要用于求二项式展开式的指数、满足条件的项数或系数、展开式的某一项或系数.在应用通项公式时要注意以下几点: ①分清r r n r n b a C -是第1+r 项,而不是第r 项; ②在通项公式r r n r n r b a C T -+=1中,含n r b a C T r n r ,,,,,1+这6个参数,只有n r b a ,,,是独立的,在未知n r ,的 情况下利用通项公式解题,一般都需要先将通项公式转化为方程组求n 和r . 三、二项式展开式中的系数 (1)二项式系数与项的系数 二项式系数仅指n n n n n C C C C ,?,,,2 1 而言,不包括字母b a ,所表示的式子中的系数.例如: ()n x +2的展开式中,含有r x 的项应该是n r n r n r x C T -+=21,其中r n C 叫做该项的二项式系数,而r x 的系数应该是 r n r n C -2(即含r x 项的系数). (2)二项式系数的性质 ①在二项式展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,即 22110,,--===n n n n n n n n n C C C C C C ,…,r n n r n C C -=. ②二项展开式中间项的二项式系数最大. 如果二项式的幂指数n 是偶数,中间项是第12+n 项,其二项式系数n n C 2 最大;如果二项式的幂指数n 是奇数,中间项有两项,即为第21+n 项和第 12 1 ++n 项,它们的二项式系数21-n n C 和21 +n n C 相等并且最大. (3)二项式系数和与系数和 ①二项式系数和 011+12n n n n n n C C C ++?+==() .

正弦定理、余弦定理综合应用典型例题

正弦定理、余弦定理综合应用 例1.设锐角三角形ABC 的内角A B C ,,的对边分别为a b c ,,,2sin a b A =. (Ⅰ)求B 的大小;(Ⅱ)求cos sin A C +的取值范围. 解:(Ⅰ)由2sin a b A =,根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =,所以1 sin 2 B = , 由ABC △为锐角三角形得π6B = . (Ⅱ)cos sin cos sin A C A A π?? +=+π-- ?6?? cos sin 6A A π??=++ ???1cos cos 2A A A =++ 3A π? ?=+ ???. 由ABC △为锐角三角形知,22A B ππ->-,2263B ππππ-=-=. 2336 A πππ <+<, 所以1sin 23A π??+< ???. 3A π??<+< ?? ? 所以,cos sin A C +的取值范围为322?? ? ?? ?,. 例2.已知ABC △1,且sin sin A B C +=. (I )求边AB 的长; (II )若ABC △的面积为1 sin 6 C ,求角C 的度数. 解:(I )由题意及正弦定理,得1AB BC AC ++=, BC AC +=, 两式相减,得1AB =. (II )由ABC △的面积11sin sin 26BC AC C C =g g ,得1 3 BC AC =g , 由余弦定理,得222cos 2AC BC AB C AC BC +-=g 22()21 22 AC BC AC BC AB AC BC +--= =g g , 所以60C =o . 例3.已知a ,b ,c 为△ABC 的三个内角A ,B ,C 的对边,向量m =(1,3-),n =(cos A ,sin A ).若m ⊥n , 且a cos B +b cos A =c sin C ,则角B = 6 π . 例4.设ABC ?的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且A =60o ,c =3b.求a c 的值; 解:由余弦定理得2222cos a b c b A =+-=2221117 ()2,3329 c c c c c +-=g g g 故3a c = 例5.在△ABC 中,三个角,,A B C 的对边边长分别为3,4,6a b c ===, 则cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为 . 61 2 例6.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若() C a A c b cos cos 3=-, 则=A cos _________________. 3 例7.(2009年广东卷文)已知ABC ?中, C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若a c ==75A ∠=o ,则b = 【解析】0000000 sin sin 75sin(3045)sin 30cos 45sin 45cos30A ==+=+=

正弦定理典型例题与知识点

正弦定理 教学重点:正弦定理 教学难点:正弦定理的正确理解和熟练运用,边角转化。多解问题 1.正弦定理:在任一个三角形中,各边和它所对角的正弦比相等, 即 A a s i n = B b sin =C c sin 2. 三角形面积公式 在任意斜△ABC 当中S △ABC =A bc B ac C ab sin 2 1sin 2 1sin 2 1== 3.正弦定理的推论: A a sin = B b sin =C c sin =2R (R 为△ABC 外接圆半径) 4.正弦定理解三角形 1)已知两角和任意一边,求其它两边和一角; 2)已知两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其它的边和角。 3)已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况:(多解情况) ○ 1若A 为锐角时: ??? ?? ? ?≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA )( bsinA a sin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a 已知边a,b 和∠A 有两个解 仅有一个解无解 CH=bsinA≤) ( b a 锐角一解无解 b a 1、已知中,,,则角等于 ( D) A . B . C . D .

2、ΔABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若sin A=,b=sin B,则a等于 ( D ) A.3B.C. D.

1. 在ABC ?中,若sin 2sin 2A B =,则ABC ?一定是( ) 3.在Rt △ABC 中,C= 2 π ,则B A sin sin 的最大值是_______________. [解析] ∵在Rt △ABC 中,C= 2 π ,∴sin sin sin sin( )2 A B A A π =-sin cos A A = 1sin 22A = ,∵0,2A π<<∴02,A π<<∴4A π=时,B A sin sin 取得最大值12 。 4. 若ABC ?中,10 10 3B cos ,21A tan == ,则角C 的大小是__________ 解析 11 tan ,cos ,sin tan 23A B O B B B π==<<∴=∴= tan tan 3tan tan()tan()1,tan tan 14 A B C A B A B O C C A B π ππ+∴=--=-+= =-<<∴=- 7.在△ABC 中,已知2a b c =+,2 sin sin sin A B C =,试判断△ABC 的形状。 解:由正弦定理 2sin sin sin a b c R A B C ===得:sin 2a A R =,sin 2b B R =, sin 2c C R = 。 所以由2sin sin sin A B C =可得:2()222a b c R R R =?,即:2 a bc =。 又已知2a b c =+,所以224()a b c =+,所以24()bc b c =+,即2()0b c -=, 因而b c =。故由2a b c =+得:22a b b b =+=,a b =。所以a b c ==,△ABC 为等边三角形。 6.在ABC ?中, b A a B sin sin <是B A >成立的 ( C ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 1.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若c =2,b =6,B =120°,则 a 等于 ( ) A.6 B.2 C.3 D.2 答案 D 3.下列判断中正确的是 ( )

高考数学大题经典习题

1. 对于函数()32 1(2)(2)3 f x a x bx a x =- +-+-。 (1)若()f x 在13x x ==和处取得极值,且()f x 的图像上每一点的切线的斜率均不超过 2 2sin cos t t t -+ t 的取值范围; (2)若()f x 为实数集R 上的单调函数,设点P 的坐标为(),a b ,试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S 。 1. (1)由()32 1(2)(2)3 f x a x bx a x =- +-+-,则 ()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+- 因为()13f x x x ==在和处取得极值,所以()13'0x x f x ===和是的两个根 22 1(2)121(2)02(2)323(2)0 a a b a b a b a ?=--+?-?+-=????=--+?-?+-=?? ()2 '43f x x x ∴=-+- 因为()f x 的图像上每一点的切线的斜率不超过2 2sin cos t t t -+ 所以()2 '2sin cos f x t t t x R ≤-+ ∈恒成立, 而()()2 '21f x x =--+,其最大值为1. 故2 2sin cos 1t t t -+ ≥ 72sin 21,3412t k t k k Z πππππ? ??-≥?+≤≤+∈ ??? (2)当2a =-时,由()f x 在R 上单调,知0b = 当2a ≠-时,由()f x 在R 上单调()'0f x ?≥恒成立,或者()'0f x ≤恒成立. ∵()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-, 2244(4)0b a ∴?=+-≤可得22 4a b +≤ 从而知满足条件的点(),P a b 在直角坐标平面aob 上形成的轨迹所围成的图形的面积为 4S π= 2. 函数cx bx ax x f ++=2 3)((0>a )的图象关于原点对称,))(,(ααf A 、)) (,(ββf B

二项式定理知识点及典型题型总结

二项式定理 一、基本知识点 1、二项式定理:)()(1110*--∈+++++=+N n b C b a C b a C a C b a n n n r r n r n n n n n n ΛΛ 2、几个基本概念 (1)二项展开式:右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式 (2)项数:二项展开式中共有1+n 项 (3)二项式系数:),,2,1,0(n r C r n Λ=叫做二项展开式中第1+r 项的二项式系数 (4)通项:展开式的第1+r 项,即),,1,0(1n r b a C T r r n r n r Λ==-+ 3、展开式的特点 (1)系数 都是组合数,依次为C 1n ,C 2n ,C n n ,…,C n n (2)指数的特点①a 的指数 由n 0( 降幂)。 ②b 的指数由0 n (升幂)。 ③a 和b 的指数和为n 。 (3)展开式是一个恒等式,a ,b 可取任意的复数,n 为任意的自然数。 4、二项式系数的性质: (1)对称性: 在二项展开式中,与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等.即 (2)增减性与最值 二项式系数先增后减且在中间取得最大值 当n 是偶数时,中间一项取得最大值2n n C 当n 是奇数时,中间两项相等且同时取得最大值21-n n C =21+n n C (3)二项式系数的和: 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和.即 m n n m n C C -=n n n k n n n n C C C C C 2 210=+???++???+++∴L L 0213n-1 n n n n C +C +=C +C +=2

二项式定理的常见题型 一、求二项展开式 1.“n b a )(+”型的展开式 例1.求4)13(x x +的展开式;a 2. “n b a )(-”型的展开式 例2.求4)13(x x -的展开式; 3.二项式展开式的“逆用” 例3.计算c C C C n n n n n n n 3)1( (279313) 2 1 -++-+-; 二、通项公式的应用 1.确定二项式中的有关元素 例4.已知9)2(x x a -的展开式中3x 的系数为4 9 ,常数a 的值为 2.确定二项展开式的常数项

余弦定理教学设计经典

1.1.2余弦定理教学设计 一、教学目标 认知目标:在创设的问题情境中,引导学生发现余弦定理的内容,推证余弦定理,并简单运用余弦定理解三角形; 能力目标:引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出余弦定理,培养学生的创新意识和观察与逻辑思维能力,能体会用向量作为数形结合的工具,将几何问题转化为代数问题;情感目标:面向全体学生,创造平等的教学氛围,通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价,调动学生的主动性和积极性,给学生成功的体验,培养学生学习数学兴趣和热爱科学、勇于创新的精神。 二、教学重难点 重点:探究和证明余弦定理的过程;理解掌握余弦定理的内容;初步对余弦定理进行应用。 难点:利用向量法证明余弦定理的思路;对余弦定理的熟练应用。 探究和证明余弦定理过程既是本节课的重点,也是本节课的难点。学生已经具备了勾股02220定理的知识,即当∠C=90时,有c=a+b。作为一般的情况,当∠C≠90时,三角形的三边满足什么关系呢?学生一时很难找到思路。最容易想到的思路就是构造直角三角形,尝试应用勾股定理去探究这个三角形的边角关系;用向量的数量积证明余弦定理更是学生想不到的,原因是学生很难将向量的知识与解三角形的知识相结合。因而教师在授课时可以适当的点拨、启发,鼓励学生大胆的探索。在教学中引导学生从不同的途径去探索余弦定理的证明,这样既能开拓学生的视野,加强学生对余弦定理的理解,又能培养学生形成良好的思维习惯,激发学生学习兴趣,这是本节课教学的重点,也是难点。 三、学情分析和教学内容分析 本节内容是人教B版普通高中课程标准实验教科书必修5第一章第一节余弦定理的第一课时。余弦定理是关于任意三角形边角之间的另一定理,是解决有关三角形问题与实际应用问题(如测量等)的重要定理,它将三角形的边和角有机的结合起来,实现了“边”和“角”的互化,从而使“三角”与“几何”有机的结合起来,为求与三角形有关的问题提供了理论依据,同时也为判断三角形的形状和证明三角形中的等式提供了重要的依据。教科书首先通过设问的方式,指出了“已知三角形的两边和夹角,无法用正弦定理去解三角形”,进而通过直角三角形中的勾股定理引导学生去探究一般三角形中的边角关系,然后通过构造直角三角形去完成对余弦定理的推证过程,教科书上还进一步的启发学生用向量的方法去证明余弦定理,最后通过3个例题巩固学生对余弦定理的应用。 在学习本节课之前,学生已经学习了正弦定理的内容,初步掌握了正弦定理的证明及应用,并明确了用正弦定理可以来解哪些类型的三角形。在此基础上,教师可以创设一个“已知三角形两边及夹角”来解三角形的实际例子,学生发现不能用上一节所学的知识来解决这一问题,从而引发学生的学习兴趣,引出这一节的内容。在对余弦定理教学中时,考虑到它比正弦定理形式上更加复杂,教师可以有目的的提供一些供研究的素材,并作必要的启发和引导,让学生进行思考,通过类比、联想、质疑、探究等步骤,辅以小组合作学习,建立猜想,获得命题,再想方设法去证明。在用两种不同的方法证明余弦定理时,学生可能会遇到证明思路上的困难,教师可以适当的点拨。

高考数学典型例题详解

高考数学典型例题详解 奇偶性与单调性 函数的单调性、奇偶性是高考的重点和热点内容之一,特别是两性质的应用更加突出.本节主要帮助考生学会怎样利用两性质解题,掌握基本方法,形成应用意识. ●难点磁场 (★★★★★)已知偶函数f (x )在(0,+∞)上为增函数,且f (2)=0,解不等式f [log 2(x 2+5x +4)]≥0. ●案例探究 [例1]已知奇函数f (x )是定义在(-3,3)上的减函数,且满足不等式f (x -3)+f (x 2-3)<0,设不等式解集为A ,B =A ∪{x |1≤x ≤5},求函数g (x )=-3x 2+3x -4(x ∈B )的最大值. 命题意图:本题属于函数性质的综合性题目,考生必须具有综合运用知识分析和解决问题的能力,属★★★★级题目. 知识依托:主要依据函数的性质去解决问题. 错解分析:题目不等式中的“f ”号如何去掉是难点,在求二次函数在给定区间上的最值问题时,学生容易漏掉定义域. 技巧与方法:借助奇偶性脱去“f ”号,转化为x cos 不等式,利用数形结合进行集合运算和求最值. 解:由? ??<<-<

∴x -3>3-x 2,即x 2+x -6>0,解得x >2或x <-3,综上得2f (0)对所有θ∈[0, 2 π ]都成立? 若存在,求出符合条件的所有实数m 的范围,若不存在,说明理由. 命题意图:本题属于探索性问题,主要考查考生的综合分析能力和逻辑思维能力以及运算能力,属★★★★★题目. 知识依托:主要依据函数的单调性和奇偶性,利用等价转化的思想方法把问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题. 错解分析:考生不易运用函数的综合性质去解决问题,特别不易考虑运用等价转化的思想方法. 技巧与方法:主要运用等价转化的思想和分类讨论的思想来解决问题. 解:∵f (x )是R 上的奇函数,且在[0,+∞)上是增函数,∴f (x )是R 上的增函数.于是不等式可等价地转化为f (cos2θ-3)>f (2m cos θ-4m ), 即cos2θ-3>2m cos θ-4m ,即cos 2θ-m cos θ+2m -2>0. 设t =cos θ,则问题等价地转化为函数g (t ) =t 2-mt +2m -2=(t - 2 m )2 -4 2 m +2m -2在[0,1]上的值恒为正,又转化为函数g (t )在[0,1]上的最小值为正. ∴当 2 m <0,即m <0时,g (0)=2m -2>0?m >1与m <0不符; 当0≤2 m ≤1时,即0≤m ≤2时,g (m )=-42m +2m -2>0 ?4-221,即m >2时,g (1)=m -1>0?m >1.∴m >2 综上,符合题目要求的m 的值存在,其取值范围是m >4-22.

(完整版)立体几何典型例题精选(含答案)

F E D C B A 立体几何专题复习 热点一:直线与平面所成的角 例1.(2014,广二模理 18) 如图,在五面体ABCDEF 中,四边形ABCD 是边长为2的正方形, EF ∥平面ABCD , 1EF =,,90FB FC BFC ?=∠=,3AE =. (1)求证:AB ⊥平面BCF ; (2)求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值. 变式1:(2013湖北8校联考)如左图,四边形ABCD 中,E 是BC 的中点,2,1,5,DB DC BC === 2.AB AD ==将左图沿直线BD 折起,使得二面角A BD C --为60,?如右图. (1)求证:AE ⊥平面;BDC (2)求直线AC 与平面ABD 所成角的余弦值. 变式2:[2014·福建卷] 在平面四边形ABCD 中,AB =BD =CD =1,AB ⊥BD ,CD ⊥BD .将△ABD 沿BD 折起,使得平面ABD ⊥平面BCD ,如图1-5所示. (1)求证:AB ⊥CD ; (2)若M 为AD 中点,求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值.

热点二:二面角 例2.[2014·广东卷] 如图1-4,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,∠DPC=30°,AF⊥PC于点F,FE∥CD,交PD于点E. (1)证明:CF⊥平面ADF;(2)求二面角D-AF-E的余弦值. 变式3:[2014·浙江卷] 如图1-5,在四棱锥A-BCDE中,平面ABC⊥平面BCDE,∠CDE=∠BED=90°,AB=CD=2,DE=BE=1,AC= 2. (1)证明:DE⊥平面ACD;(2)求二面角B-AD-E的大小. 变式4:[2014·全国19] 如图1-1所示,三棱柱ABC-A1B1C1中,点A1在平面ABC内的射影D在AC 上,∠ACB=90°,BC=1,AC=CC1=2. (1)证明:AC1⊥A1B; (2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为3,求二面角A1 -AB -C的大小.

解三角形(正弦定理余弦定理)知识点例题解析高考题汇总及答案

解三角形 【考纲说明】 1、掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题。 2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 【知识梳理】 一、正弦定理 1、正弦定理:在△ABC 中,R C c B b A a 2sin sin sin ===(R 为△AB C 外接圆半径)。 2、变形公式:(1)化边为角:2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C === (2)化角为边:sin ,sin ,sin ;222a b c A B C R R R === (3)::sin :sin :sin a b c A B C = (4)2sin sin sin sin sin sin a b c a b c R A B C A B C ++====++. 3、三角形面积公式:21111sin sin sin 2sin sin sin 22224ABC abc S ah ab C ac B bc A R A B C R ?====== 4、正弦定理可解决两类问题: (1)两角和任意一边,求其它两边和一角;(解唯一) (2)两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其它的边和角.(解可能不唯一) 二、余弦定理 1、余弦定理:A bc c b a cos 22 2 2 -+=?bc a c b A 2cos 2 2 2 -+= B ac a c b cos 22 2 2 -+=?ca b a c B 2cos 2 2 2 -+= C ab b a c cos 22 2 2 -+=?ab c b a C 2cos 2 2 2 -+= 2、余弦定理可以解决的问题: (1)已知三边,求三个角;(解唯一) (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角;(解唯一): (3)两边和其中一边对角,求另一边,进而可求其它的边和角.(解可能不唯一) 三、正、余弦定理的应用 1、仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角(如图1).

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