M p a b a s s
s ?-=-=-==91
1091)10(9110111 ,其中M >1是正整数。 由p a >1也是正整数知p s 是合数,这与题设矛盾。故s 也是一个素数。
4、证明:若2p 1是奇素数,则(p !)2
(1)p 0(mod 2p 1)。
证明:由威尔逊定理知
1
(2p )! = p !(p 1)(2p )
(1)p (p !)2(mod 2p 1),
由此得(p !)2
(1)p 0(mod 2p 1)。
5、设p 是大于5的质数,证明:p 4≡1(mod 240)。(提示:可由欧拉定理证明)
、
证明:因为240=23×3×5,所以只需证:p 4≡1(mod 8),p 4≡1(mod 3),p 4≡1(mod 5)即可。
事实上,由
(8)=4,
(3)=2,
(5)=4以及欧拉定理立得结论。
初等数论练习题三
一、单项选择题
1、若n >1,(n )=n-1是n 为质数的( C )条件。
A.必要但非充分条件
B.充分但非必要条件
C.充要条件
D.既非充分又非必要条件 2、设n 是正整数,以下各组a ,b 使a
b
为既约分数的一组数是( D )。 =n+1,b=2n-1
=2n-1,b=5n+2C.a=n+1,b=3n+1 =3n+1,b=5n+2
3、使方程6x+5y=C 无非负整数解的最大整数C 是( A )。
.24 C
4、不是同余方程28x ≡21(mod 35)的解为( D )。
"
≡2(mod 35) B. x ≡7(mod 35)C. x ≡17(mod 35) D. x ≡29(mod 35) 5、设a 是整数,(1)a ≡0(mod9)(2)a ≡2010(mod9) (3)a 的十进位表示的各位数字之和可被9整除
(4)划去a 的十进位表示中所有的数字9,所得的新数被9整除 以上各条件中,成为9|a 的充要条件的共有( C )。 个个个个 二、填空题
1、σ(2010)=_4896____;?(2010)=528。
2、数20100C 的规范分解式中,质因数7的指数是_3。
3、每个数都有一个最小质因数。所有不大于10000的合数的最小质因数中,最大者是97。
4、同余方程24x ≡6(mod34)的解是x 1≡13(mod34) x 2≡30(mod34)_。
,
5、整数n>1,且(n-1)!+1≡0(mod n),则n 为素数。
6、3103被11除所得余数是_5_。
7、??
?
??9760=_-1_。 三、计算题 1、判定(ⅰ) 2x 3
x 2 3x 1 0 (mod 5)是否有三个解;
(ⅱ) x 6
2x 5 4x 2
3 0 (mod 5)是否有六个解 解:(ⅰ) 2x 3x 2
3x 1
0 (mod 5)等价于x 3
3x 2
4x 3
0 (mod 5),又x 5
x =
(x 3
3x 2
4x 3)(x 2 3x 5) + (6x 212x 15),其中r (x ) = 6x 212x 15的系数不都是
5的倍数,故原方程没有三个解。
(ⅱ) 因为这是对模5的同余方程,故原方程不可能有六个解。
2、设n 是正整数,求1
223212C ,,C ,C -n n
n n 的最大公约数。 解:设12122321212232122C C C )C ,,C ,(C ---=+++=n n n n n n n n n d ,由知d 22n
1,
…
设2k |n 且2k+1|/n ,即2k +1||n , 则由2k +1||1
1221
1
2C 2C 2
C |--+=
i n i n k n i
n 及,i = 3, 5,, 2n 1得d = 2k + 1。
3、已知a=18,m=77,求使a x 1 (mod m)成立的最小自然数x 。 解:因为(18,77)=1,所以有欧拉定理知18(77)≡1(mod 77)。
又由于
(77)=60,所以x|60,而60的所有正因数为1,2,3,4,5,6,10,12,
15,20,30, 60。
于是x 应为其中使18x 1 (mod77)成立的最小数,经计算知:x=30。
四、证明题
1、若质数p ≥5,且2p+1是质数,证明:4p+1必是合数。
证明:因为质数p ≥5,所以(3,p )=1,可设p=3k+1或p=3k+2。 当p=3k+1时,2p+1=6k+3是合数,与题设矛盾,从而p=3k+2,
【
此时2p+1是形如6k+5的质数,而4p+1=12k+9=3(4k+3)是合数。 注:也可设p=6k+r ,r=0,1,2,3,4,5。再分类讨论。
2、设p 、q 是两个大于3的质数,证明:p 2≡q 2(mod 24)。 证明:因为24=3×8,(3,8)=1,所以只需证明:
p 2≡q 2(mod 3) p 2≡q 2(mod 8)同时成立。
事实上, 由于(p ,3)=1,(q ,3)=1,所以p 2≡1(mod 3) , q 2≡1(mod 3),
于是p 2≡q 2(mod 3),由于p ,q 都是奇数,所以p 2≡1(mod 8) , q 2≡1(mod 8),
于是p 2≡q 2(mod 8)。故p 2≡q 2(mod 24)。
3、若x ,y ∈R + , (1)证明:[xy]≥[x][y];
:
(2)试讨论{xy}与{x}{y}的大小关系。
注:我们知道,[x y ]≥[x ]+[y ],{x+y }≤{x }+{y }。此题把加法换成乘法又如何呢 证明:(1)设x=[x]+α,0≤α<1,y=[y]+β,0≤β<1。于是
xy=[x][y]+β[x]+α[y]+αβ
所以[xy]=[x][y]+[β[x]+α[y]+αβ]≥[x][y]。
(2){xy}与{x}{y}之间等于、大于、小于三种关系都有可能出现。
当x=y=
21时,{xy}={x}{y}=4
1
; 当x=23,y=21时,{xy}=43,{x}{y}=4
1
,此时{xy}>{x}{y};
当x=-21,y=-31时,{xy}=61,{x}{y}=3
1
,此时{xy}<{x}{y}。
4、证明:存在一个有理数d c ,其中d< 100,能使][d c
k =][100
73k
{
对于k=1,2,….,99均成立。
证明:由(73,100)=1以及裴蜀恒等式可知:存在整数c ,d ,使得 73d-100c=1
从而
k 10073-d kc =
d c d k 100)10073(-=d
k
100,由k< 100可知: 0<
k 10073-d kc <d
1
设][d c
k
=n ,则d kc <n+1=d d
n 1+,于是 k 10073<d kc 1+≤d d
n 1
+=n+1,
故
][100
73
k
=n=][d
c k 。 初等数论练习题四
一、单项选择题
.
1、若F n =12n
2+是合数,则最小的n 是( D )。
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
2、记号b a ‖a 表示b a |a ,但b a+1|/
a. 以下各式中错误的一个是( B )。
A. 218‖20!
B. 105‖50!
C. 119‖100!
D. 1316‖200! 3、对于任意整数n ,最大公因数(2n+1,6n-1)的所有可能值是( A )。
A. 1
B. 4
C. 1或2
D. 1,2或4 4、设a 是整数,下面同余式有可能成立的是( C )。
A. a 2≡2 (mod 4)
B. a 2≡5 (mod 7)
C. a 2≡5 (mod 11)
D. a 2≡6 (mod 13) 5、如果a ≡b(mod m),c 是任意整数,则下列错误的是( A ) A .ac ≡bc(mod mc)
B .m|a-b
C .(a ,m)=(b ,m)
D .a=b+mt ,t ∈Z
》
二、填空题
1、d(10010)=_32__,φ(10010)=_2880__。
2、对于任意一个自然数n ,为使自N 起的n 个相继自然数都是合数,可取N=(n+1)!
3、为使3n-1与5n+7的最大公因数达到最大可能值,整数n 应满足条件n=26k+9,k ∈Z 。
4、在5的倍数中,选择尽可能小的正整数来构成模12的一个简化系,则这组数是{5,25,35,55}
5、同余方程26x+1≡33 (mod 74)的解是x 1≡24(mod74) x 2≡61(mod74)_。
6、不定方程5x+9y=86的正整数解是_x=1,y=9或x=10,y=4。
7、??
?
??8954=_-1_。 三、计算题
1、设n 的十进制表示是z xy 4513,若792
n ,求x ,y ,z 。
#
解:因为792 = 8911,故792
n 8n ,9n 及11n 。
我们有8n 8z
45z = 6,以及 9n 91
3x y 45
z = 19x y 9x y 1, (1) 11
n
11z 5
4y
x 3 1 = 3
y x
113
y
x 。 (2)
由于0 x ,y 9,所以由式(1)与式(2)分别得出
x y 1 = 9或18, 3
y
x = 0或11。
这样得到四个方程组:???=+-=++b x y a
y x 31
其中a 取值9或18,b 取值0或11。在0x ,y 9的条件下解这四个方程组,
得到:x = 8,y = 0,z = 6。
~
2、求3406的末二位数。
解:∵ (3,100)=1,∴3φ(100)≡1(mod 100),而φ(100)=φ(22·52)=40,
∴ 340≡1(mod 100)∴ 3406=(340)10·36≡(32)2·32≡-19×9≡-171≡29(mod 100) ∴ 末二位数为29。
3、求(214928+40)35被73除所得余数。
解:(214928+40)35≡(3228+40)35≡[(32×32)14+40]35≡(102414+40)35≡(214+40)35≡(210×
24+40)35≡(25+40)35≡7235≡-1≡72(mod73)
四、证明题 1、设a 1, a 2,
,a m 是模m 的完全剩余系,证明:
(1)当m 为奇数时,a 1+ a 2++a m ≡0(mod m ); (2)当m 为偶数时,a 1+ a 2+
+a m ≡
2
m
(mod m )。 ^
证明:因为{1, 2,
,m }与{a 1, a 2,
,a m }都是模m 的完全剩余系,所以
∑∑==+=
≡m i m
i i m m i a 1
1
2
)
1((mod m )。 (1)当m 为奇数时,Z m ∈+21
由即得:2)1(+m m m
,故02)1(1
≡+=∑=m
i i m m a (mod m )。 (2)当m 为偶数时,由(m ,m+1)=1即得:2
2)1(1
m
m m a m
i i ≡+=
∑=(mod m )。 2、证明:若m >2,a 1, a 2,,a (m)是模m 的任一简化剩余系,则
).(mod 01
m a
m i i
∑=≡)
(?
证明:若a 1, a 2,
,a
(m)是模m 的一个简化剩余系,则m-a 1,m-a 2,
,m-a
(m)
也是模m 的一个简化剩余系,于是:
).(mod )()(11
m a m a m i i
m i i
∑∑==-≡??)
(
从而:
).)(mod (21
m m m a m i i ??∑=≡)(又由于m >2,
(m )是偶数。故:
).(mod 02
1
m m m
a m i i ≡≡∑=)
()
(??
3、设m > 0是偶数,{a 1, a 2,,a m }与{b 1,b 2,,b m }都是模m 的完全剩余系,证明:{a 1b 1,a 2
b 2,
,a m
b m }不是模m 的完全剩余系。
证明:因为{1, 2,
,m }与{a 1, a 2,
,a m }都是模m 的完全剩余系,所以
∑∑==≡+=
≡m i m
i i m
m m i a 1
1
2
2)1((mod m )。 (1) 同理∑=≡
m
i i m
b 1
2
(mod m )。 (2) [
如果{a 1
b 1,a 2
b 2,,a m b m }是模m 的完全剩余系,那么也有
∑=≡+m i i i m
b a 1
2)((mod m )。
联合上式与式(1)和式(2),得到02
22m
m m ≡+≡(mod m ), 这是不可能的,所以{a 1
b 1,a 2
b 2,,a m b m }不能是模m 的完全剩余系。
4、证明:(1)2730∣x 13-x ;(2)24∣x(x+2)(25x 2-1);
(3)504∣x 9-x 3;(4)设质数p >3,证明:6p ∣x p -x 。
证明:(1)因为2730=2×3×5×7×13,2,3,5,7,13两两互质,所以: 由x 13-x=x(x 12-1)≡0 (mod 2)知:2∣x 13-x ;13∣x 13-x ;
由x 13-x=x(x 12-1)=x(x 2-1)(x 2+1)(x 8+x 4+1)≡0 (mod 3)知:3∣x 13-x ; 由x 13-x=x(x 12-1)=x(x 4-1)(x 8+x 4+1)≡0 (mod 5)知:5∣x 13-x ;
@
由x 13-x=x(x 12-1)=x(x 6-1)(x 6+1)≡0 (mod 7)知:7∣x 13-x 。 故有2730∣x 13-x 。 同理可证(2)、(3)、(4)。
初等数论练习题五
一、单项选择题
1、设x 、y 分别通过模m 、n 的完全剩余系,若(C )通过模mn 的完全剩余系。 、n 都是质数,则my
≠n ,则my
nx
C.(m ,n )=1,则my nx
D.(m ,n )=1,则mx ny
2、1×3×5×…×2003×2005×2007×2009×2011规范分解式中11的幂指数是( A )。 .101 C
:
3、n 为正整数,若2n -1为质数,则n 是(A )。
A.质数
B.合数 (k 为正整数)
4、从100到500的自然数中,能被11整除的数的个数是(B )。 .34 C
5、模100的最小非负简化剩余系中元素的个数是(C )。
.10 C 二、填空题
1、同余方程ax +b ≡0(mod m )有解的充分必要条件是(a ,m)∣b 。
2、高斯称反转定律是数论的酵母,反转定律是指设p 与q 是不相同的两个奇质数,)()(2
121)
1(q
p p
q
q p -?--=
3、被3除所得的余数为_1__。
)
4、设n 是大于2的整数,则(-1)?(n)=__1__。
5、单位圆上的有理点的坐标是)()(2
2
2
2
222
2
222
2
2,,2b
a a
b b
a b a b
a b a b
a a
b +±
+-±
+-±
+±
或,其中a 与b 是不全为
零的整数。
6、若3258×a 恰好是一个正整数的平方,则a 的最小值为362。
7、已知2011是一素数,则??
?
??201172=_-1_。
三、计算题
1、求32008×72009×132010的个位数字。
解:32008×72009×132010≡32008×(-3)2009×32010≡-32008+2009+2010 ≡-36027 ≡-3×(32)3013≡3(mod 10)。 2、求满足(mn)=
(m )+
(n )的互质的正整数m 和n 的值。 解:由(m ,n )=1知,
(mn)=
(m )(n )。于是有:
(m )+
(n )=
(m )(n )
#
设(m )=a ,(n )=b ,即有:a+b=ab 。 显然a ∣b ,且b ∣a ,因此a=b 。
于是由2a=a 2得a=2,即
(m )=
(n )=2。故 m=3,n=4或m=4,n=3。
3、甲物每斤5元,乙物每斤3元,丙物每三斤1元,现在用100元买这三样东西共100斤,问各买几斤
解:设买甲物x 斤,乙物y 斤,丙物z 斤,则
5x 3y 3
1
z = 100, x y
z = 100。
消去z ,得到7x 4y = 100。 (1) 显然x = 0,y = 25是方程(1)的解,因此,方程(1)的一般解是
?
?
?-==t y t
x 7254 , t Z 因为x >0,y >0,所以0<t
3。
?
即t 可以取值t 1 = 1,t 2 = 2,t 3 = 3。相应的x ,y ,z 的值是
(x ,y ,z ) = (4, 18, 78),(8, 11, 81),(12, 4, 84)。
四、证明题
1、已知2011是质数,则有2011|
个
2010999???。 证明:
个
2010999???=102011-1≡0 (mod 2011)。 2、设p 是4n+1型的质数,证明若a 是p 的平方剩余,则p-a 也是p 的平方剩余。 证明:因为质数p=4n+1,a 是p 的平方剩余,所以
???? ??-p a p =???? ??-p a =???? ??-p 1???
? ??p a =2
1
)1(--p ???? ??p a =1
即:p-a 也是p 的平方剩余。
3、已知p ,q 是两个不同的质数,且a p-1≡1 (mod q),a q-1≡1 (mod p),
,
证明:a pq ≡a (mod pq)。
证明:由p ,q 是两个不同的质数知(p ,q )=1。于是由Fermat 定理 a p ≡a (mod p),
又由题设a q-1≡1 (mod p)得到:a pq ≡(a q )p ≡a p (a q-1)p ≡a p ≡a (mod p)。 同理可证:a pq ≡a (mod q)。故:a pq ≡a (mod pq)。
4、证明:若m ,n 都是正整数,则(mn)=(m ,n )([m ,n ])。
证明:易知mn 与[m ,n ]有完全相同的质因数,设它们为p i (1≤i ≤k ),则
)1
1()11)(11(21k
p p p mn mn ---
= )(? )1
1()11)(11](,[],[21k
p p p n m n m ---
= )(? 又mn=(m ,n )[m ,n ]
故]),([),()1
1()11)(11](,)[,21n m n m p p p n m n m mn k
??=---= ()
(。 |
类似的题:设m=m 1m 2,m 1与m 由相同的质因数,证明:
(m)=m 2
(m 1)。
初等数论练习题六
一、填空题
1、为了验明2011是质数,只需逐个验算质数2,3,5,…p 都不能整除2011,此时,质数p 至少是_43___。
2、最大公因数(4n+3,5n+2)的可能值是_1,7__。
3、设3α∣40!,而3α+1|/40!,即3α‖40!,则α=_18_。
4、形如3n+1的自然数中,构成模8的一个完全系的最小那些数是{1,4,7,10,13,16,19,22}。
5、不定方程x 2+y 2=z 2,2|x , (x ,y)=1, x ,y ,z>0的整数解是且仅是x = 2ab ,y = a 2b 2,z = a 2b 2,其中a >b >0,(a ,b ) = 1,a 与b 有不同的奇偶性。
6、21x ≡9 (mod 43)的解是x ≡25 (mod 43)。
7、??
?
??19973 =-1。 、
二、计算题 1、将
105
17
写成三个既约分数之和,它们的分母分别是3,5和7。 解:设
7
5310517z
y x ++=,即35x 21y 15z = 17,因(35, 21) = 7,(7, 15) = 1,117,
故有解。
分别解5x 3y = t 7t 15z = 17 得x =
t 3u ,y = 2t 5u ,u Z ,
t = 11 15v ,z = 4 7v ,v
Z ,
消去t 得x =
11
15v
3u , y = 22 30v
5u ,
z = 4 7v ,u ,v
Z 。
令u =0,v =-1得到:x =4,y =-8,z =3。即:
7
3
583410517+-+= /
2、若3是质数p 的平方剩余,问p 是什么形式的质数
解:∵由二次互反律??
? ???-=???
?
??-3)
1(32
1p p p , 注意到p >3,p 只能为p ≡±1(mod 3)且???-≡??? ??113p )
4(mod 1)
4(mod 1-≡≡p p
∴13=???
? ??p 只能下列情况???≡≡)(mod )(mod 4131p p ???-≡-≡)
4(mod 1)
3(mod 1p p ∴)(m od 121≡p 或)(m od 121-≡p 。 3、判断不定方程x 2+23y =17是否有解
解:只要判断x 2≡17(mod 23)是否有解即可。 ∵ 17≡1(mod 4)∴13231717317317217617232317-=??
?
??=??? ??=??? ??=??? ????? ??=??? ??=??? ??=???
?? ∴x 2≡17(mod 23)无解,即原方程无解。 三、论证题
"
1、试证对任何实数x ,恒有〔x 〕+〔x+2
1〕=〔2x 〕
证明:设x=[x]+α,0≤α<1
①当0≤α<2
1时, [x+2
1]=[x], [2x]=2[x]∴等式成立 ②当2
1≤α<1时, [x+2
1]=[x]+1, [2x]=2[x]+1∴等式成立 故对任何实数x ,恒有[x]+[x+2
1]=[2x]。
2、证明:(1)当n为奇数时,3∣(2n+1);
(2)当n为偶数时,3|/(2n+1)。
证明:由2n+1≡(-1)n+1(mod 3)立得结论。
3、证明:(1)当3∣n(n为正整数)时,7∣(2n-1);
(2)无论n为任何正整数,7|/(2n+1)。
)
证明:(1)设n=3m,则2n-1=8m-1≡0(mod 7),即:7∣(2n-1);
(2)由于23m≡1(mod 7)得
23m+1≡2(mod 7),23m+1 +1≡3(mod 7),23m+2 +1≡5(mod 7)。
故无论n为任何正整数,7|/(2n+1)。
4、设m>0,n>0,且m为奇数,证明:(2m-1,2n+1)=1。
证明一:由m为奇数可知:2n+1︱2mn+1,又有2m-1︱2mn-1,
于是存在整数x,y使得:(2n+1)x=2mn+1,(2m-1)y=2mn-1。
从而(2n+1)x-(2m-1)y=2。这表明:
(2m-1,2n+1)︱2
由于2n+1,2m-1均为奇数可知:(2m-1,2n+1)=1。
!
证明二:设(2m-1,2n+1)=d,则存在s,t∈Z,使得2m=sd+1,2n=td-1。由此得到:2mn=(sd+1)n,2mn=(td-1)m
于是2mn =pd+ 1=qd– 1,p,q∈Z。所以:(q-p)d =2。
从而d∣2,就有d=1或2。由因为m为奇数,所以d=1。
即(2m-1,2n+1)=1。
注:我们已证过:记M n=2n 1,对于正整数a,b,有(M a,M b)= M(a,b)。
显然当a≠b,a,b为质数时,(M a,M b)=1。
初等数论练习题七
一、单项选择题
1、设a 和b 是正整数,则)]
,[,],[(
b
b a a b a =( A ) …
A .1
B .a
C .b
D .(a ,b)
2、176至545的正整数中,13的倍数的个数是( B ) A .27
B .28
C .29
D .30
3、200!中末尾相继的0的个数是( A ) A .49 B .50C .51
D .52
4、从以下满足规定要求的整数中,能选取出模20的简化剩余系的是( B ) A .2的倍数B .3的倍数C .4的倍数D .5的倍数
5、设n 是正整数,下列选项为既约分数的是( A ) A .
314421++n n B .121-+n n C .2512+-n n D .1
31
++n n
二、填空题
<
1、314162被163除的余数是_1__。(欧拉定理)
2、同余方程3x ≡5(mod13)的解是x ≡6(mod13)。
3、)1847
365(=1。
4、[-π]=-4。
5、为使n-1与3n 的最大公因数达到最大的可能值,则整数n 应满足条件n=3k+1,k ∈Z 。
6、如果一个正整数具有21个正因数,问这个正整数最小是26×32=576。
7、同余方程x 3+x 2-x-1≡0(mod 3)的解是x ≡1,2(mod 3)。 三、计算题
1、求不定方程x 2y 3z = 41的所有正整数解。 解:分别解x 2y = t
》
t
3z = 41
得 x = t 2u y = uu Z ,
t = 41 3v z = vv
Z , 消去t 得x = 41
3v 2u
y = u z = vu ,v
Z 。 由此得原方程的全部正整数解为
(x ,y ,z ) = (41
3v
2u ,u ,v ),u > 0,v > 0,41
3v 2u > 0。
~
2、有一队士兵,若三人一组,则余1人;若五人一组,则缺2人;若十一人一组,则余3人。已知这队士兵不超过170人,问这队士兵有几人 解:设士兵有x 人,由题意得x 1 (mod 3),x
2 (mod 5),x
3 (mod 11)。
在孙子定理中,取m 1 = 3,m 2 = 5,m 3 = 11,m = 35
11 = 165,
M 1 = 55,M 2 = 33,M 3 = 15, M 1
=1,M 2 = 2,M 3
= 3,
则x 1
55
1
(-2)33
2
3153 58 (mod 165),
因此所求的整数x = 52 + 165t ,t
Z 。
由于这队士兵不超过170人,所以这队士兵有58人。
3、判断同余方程)(mod 4432862
≡x 是否有解
解:286=2×143,433是质数,(143,443)=1
¥
奇数143不是质数,但可用判定雅可比符号计算的勒让德符号
??
?
????? ??=??? ??=??? ??-?-=??
? ????? ??=??? ??-?--1437143214314143443)
1()1(44314324324432862
1
443211432
1
4432 ?
?
? ??-?-=-?--7143)
1()
1(2
1
1432178
1
14313173=??? ??=??? ??-=∴原方程有解。 四、证明题
1、设(a ,m ) = 1,d 0是使a d 1 (mod m )成立的最小正整数,则
(ⅰ) d 0
(m );
(ⅱ)对于任意的i ,j ,0 i ,j d 0 1,i j ,有a i ≡/a j (mod m )。 (1)
证明:(ⅰ) 由Euler 定理,d 0
(m ),因此,由带余数除法,有
(m ) = qd 0
r ,q Z ,q >0,0
r < d 0。
因此,由上式及d 0的定义,利用欧拉定理得到
\
1
r r qd m a a a ≡=+0)(?(mod m ),
即整数r 满足a r
1(mod m ),0 r < d 0 。
由d 0的定义可知必是r = 0,即d 0(m )。 (ⅱ) 若式(1)不成立,则存在i ,j ,0 i ,j d 0
1,i j ,使a i a j (mod m )。 不妨设i >j 。因为(a ,m ) = 1,所以a i
j
0 (mod m ),0 < i
j < d 0。
这与d 0的定义矛盾,所以式(1)必成立。
2、证明:设a ,b ,c ,m 是正整数,m >1,(b ,m ) = 1,并且
b a 1(mod m ),b c
1(mod m ) (1)
记d = (a ,c ),则b d 1 (mod m )。
证明:由裴蜀恒等式知,存在整数x ,y ,使得ax cy = d ,显然xy < 0。
|
若x >0,y <0,由式(1)知:1b ax = b d b cy = b d (b c )y b d (mod m )。 若x <0,y >0,由式(1)知:1
b cy = b d b
ax = b d (b a )
x
b d (mod m )。
3、设p 是素数,p b n 1,n N ,则下面的两个结论中至少有一个成立:
(ⅰ) p b d 1对于n 的某个因数d 若2|/n ,p >2,则(ⅱ)中的mod n 可以改为mod 2n 。 证明:记d = (n ,p 1),由b n 1,b p
1
1(mod p ),及第2题有
b d 1 (mod p )。
若d < n ,则结论(ⅰ)得证。 若d = n ,则n p 1,即p
1 (mod n ),这就是结论(ⅱ)。
!
若2|/
n ,p >2,则p 1 (mod 2)。由此及结论(ⅱ),并利用同余的基本性质,
得到p 1 (mod 2n )。
初等数论练习题八
一、单项选择题
1、设n >1,则n 为素数是(n 1)!
1(mod n )的( C )。
A.必要但非充分条件
B.充分但非必要条件
C.充要条件
D.既非充分又非必要条件
2、小于545的正整数中,15的倍数的个数是( C ) .35 C
3、500!的规范分解式中7的幂指数是( D )
;
.80 C
4、以下各组数中,成为模10的简化剩余系的是( D )
,9,-3,-1 ,-1,7,,7,11,13 D.-1,1,-3,3 5、设n 是正整数,下列选项为既约分数的是( A )
2n 51n 3++1n 21n -+2n 51n 2+-1
n 31
n ++二、填空题
1、σ(120)=360。
2、7355的个位数字是3。
3、同余方程3x ≡5(mod14)的解是x ≡11(mod14)。
4、(
23
17
)=-1。 5、[-2]=-2。
¥
6、如果一个正整数具有6个正因数,问这个正整数最小是12。
7、同余方程x 3+x 2-x-1≡0(mod 5)的解是x ≡±1(mod5)。 三、计算题
1、已知563是素数,判定方程x 2
429 (mod 563)是否有解。
解:把??
?
??563429看成Jacobi 符号,我们有
??
? ??-=??
?
????? ??=??? ??=??? ??=??? ??-=??
? ??---42967)1(429674292429134429563429563)1(5634298
14292
1
563.214292-)
??
? ??=??? ??--=??
?
??-=??? ??-=??? ??--=??
? ??-=----27672767)1(67276742967429)1(429672
1
67.21272
1
429.2167
11311327)1(27132
1
13.2127=??
?
??=??? ??-=???
??=--, 故方程x 2
429 (mod 563)有解。
2、求出模23的所有的二次剩余和二次非剩余。 解:模23的所有的二次剩余为
'
x 1,2,3,4,6,8,9,12,13,16,18 (mod 23); 模23的所有的二次非剩余为
x 5,7,10,11,14,15,17,19,20,21,22 (mod 23)。
3、试求出所有正整数n ,使得1n +2n +3n +4n 能被5整除。
解:若n 为奇数,则1n +2n +3n +4n 1n +2n +(-2)n +(-1)n 0 (mod 5); 若n=2m ,m ∈Z ,则1n +2n +3n +4n 12m +22m +(-2)2m +(-1)2m
2+2×22m =2+2×4m =2+2×(-1)m (mod 5);
当m 为奇数时,1n +2n +3n +4n 0(mod 5); 当m 为偶数时,1n +2n +3n +4n 4(mod 5)。 故当4|/n 时,5∣1n +2n +3n +4n 。
】
四、证明题
1、证明:若质数p>2,则2P -1的质因数一定是2pk+1形。
证明:设q 是2p -1的质因数,由于2p -1为奇数,∴q ≠2,(2,q )=1。
由条件q|2p -1,即2p ≡1(mod q )。
设h 是使得2x ≡1(mod q )成立最小正整数,若12、设(m ,n )=1,证明:m
(n)
+n
(m)
≡1 (mod mn)。
证明:因为(m ,n )=1,所以由欧拉定理知:n
(m)
≡1 (mod m),m
(n)
≡1 (mod n)
初等数论练习题及答案
初等数论练习题一 一、填空题 1、τ(2420)=27;?(2420)=_880_ 2、设a ,n 是大于1的整数,若a n -1是质数,则a=_2. 3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}. 4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x ≡11(mod 37)。 5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t ,y=700+18t t ∈Z 。. 6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_?(m )_。 7 8、??? ??10365 =-1。 9、若p 是素数,则同余方程x p - 1 ≡1(mod p )的解数为二、计算题 1、解同余方程:3x 2+11x -20≡0 (mod 105)。 解:因105 = 3?5?7, 同余方程3x 2+11x -20≡0 (mod 3)的解为x ≡1 (mod 3), 同余方程3x 2+11x -38 ≡0 (mod 5)的解为x ≡0,3 (mod 5), 同余方程3x 2+11x -20≡0 (mod 7)的解为x ≡2,6 (mod 7), 故原同余方程有4解。 作同余方程组:x ≡b 1 (mod 3),x ≡b 2 (mod 5),x ≡b 3 (mod 7), 其中b 1 = 1,b 2 = 0,3,b 3 = 2,6, 由孙子定理得原同余方程的解为x ≡13,55,58,100 (mod 105)。 2、判断同余方程x 2≡42(mod 107)是否有解? 11074217 271071107713231071107311072107 710731072107732107422110721721107213)(=∴-=-=-==-=-=-==??≡-?--?-)()()()(),()()()(),()())()(( )(解: 故同余方程x 2≡42(mod 107)有解。 3、求(127156+34)28除以111的最小非负余数。
4月浙江自考初等数论试题及答案解析试卷及答案解析真题
1 浙江省2018年4月高等教育自学考试 初等数论试题 课程代码:10021 一、单项选择题(本大题共5小题,每小题2分,共10分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.20被-30除的余数是( ) A .-20 B .-10 C .10 D .20 2.176至545的正整数中,13的倍数的个数是( ) A .27 B .28 C .29 D .30 3.200!中末尾相继的0的个数是( ) A .49 B .50 C .51 D .52 4.从以下满足规定要求的整数中,能选取出模20的简化剩余系的是( ) A .2的倍数 B .3的倍数 C .4的倍数 D .5的倍数 5.设n 是正整数,下列选项为既约分数的是( ) A . 3144 21++n n B . 121 -+n n C .2 512+-n n D .1 31++n n 二、填空题(本大题共10小题,每小题3分,共30分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1.d(120)=___________。 2.314162被163除的余数是___________。 3.欧拉定理是___________。 4.同余方程3x ≡5(mod13)的解是___________。 5.不定方程10x-8y=12的通解是___________。
2 6.ο ___________)1847 365 ( = 7.[-π]=___________。 8.为使n-1与3n 的最大公因数达到最大的可能值,则整数n 应满足条件___________。 9.如果一个正整数具有21个正因数,问这个正整数最小是___________。 10.同余方程x 3+x 2-x-1≡0(mod 3)的解是___________。 三、计算题(本大题共4小题,每小题10分,共40分) 1.解同余方程组 ???? ?? ?≡≡≡≡) 9(mod 4)7(mod 32)4(mod 23) 25(mod 1x x x x 2.解不定方程15x+10y+6z=19。 3.试求出所有正整数n ,使得2n -1能被7整除。 4.判断同余方程 x 2≡-1457(mod 2389) 是否有解? 四、证明题(本大题共2小题,每小题10分,共20分) 1.证明形如4n+3的素数有无穷多个。 2.证明不定方程 x 2+y 2+z 2=x 2y 2 没有正整数解。
2013年春_西南大学《初等数论》作业及答案(共4次_已整理)
2013年春西南大学《初等数论》作业及答案(共4次,已整理) 第一次作业 1、设n,m为整数,如果3整除n,3整除m,则9()mn。 A:整除 B:不整除 C:等于 D:小于 正确答案:A 得分:10 2、整数6的正约数的个数是()。 A:1 B:2 C:3 D:4 正确答案:D 得分:10 3、如果5|n ,7|n,则35()n 。 A:不整除 B:等于 C:不一定 D:整除 正确答案:D 得分:10 4、如果a|b,b|a ,则()。 A:a=b B:a=-b C:a=b或a=-b D:a,b的关系无法确定 正确答案:C 得分:10 5、360与200的最大公约数是()。 A:10 B:20 C:30 D:40 正确答案:D 得分:10 6、如果a|b,b|c,则()。 A:a=c B:a=-c C:a|c D:c|a
正确答案:C 得分:10 7、1到20之间的素数是()。 A:1,2,3,5,7,11,13,17,19 B:2,3,5,7,11,13,17,19 C:1,2,4,5,10,20 D:2,3,5,7,12,13,15,17 正确答案:B 得分:10 8、若a,b均为偶数,则a + b为()。 A:偶数 B:奇数 C:正整数 D:负整数 正确答案:A 得分:10 9、下面的()是模12的一个简化剩余系。 A:0,1,5,11 B:25,27,13,-1 C:1,5,7,11 D:1,-1,2,-2 正确答案:C 得分:10 10、下面的()是模4的一个完全剩余系。 A:9,17,-5,-1 B:25,27,13,-1 C:0,1,6,7 D:1,-1,2,-2 正确答案:C 得分:10 11、下面的()是不定方程3x + 7y = 20的一个整数解。 A:x=0,y=3 B:x=2,y=1 C:x=4,y=2 D:x=2,y=2 正确答案:D 得分:10 12、设a,b,c,d是模5的一个简化剩余系,则a+b+c+d对模5同余于()。 A:0 B:1 C:2 D:3 正确答案:A 得分:10 13、使3的n次方对模7同余于1的最小的正整数n等于()。 A:6 B:2
初等数论试卷模拟试题和答案
初等数论试卷一 一、 单项选择题:(1分/题×20题=20分) 1.设x 为实数,[]x 为x 的整数部分,则( ) A.[][]1x x x ≤<+; B.[][]1x x x <≤+; C.[][]1x x x ≤≤+; D.[][]1x x x <<+. 2.下列命题中不正确的是( ) A.整数12,,,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数; B.整数12,, ,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数 C.整数a 与它的绝对值有相同的倍数 D.整数a 与它的绝对值有相同的约数 3.设二元一次不定方程ax by c +=(其中,,a b c 是整数,且,a b 不全为零)有一整数解 ()00,,,x y d a b =,则此方程的一切解可表为( ) A.00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =- =+ =±± B.00,,0,1,2, ;a b x x t y y t t d d =+= -=±± C.00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =+= -=±± D.00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =-= -=±± 4.下列各组数中不构成勾股数的是( ) A.5,12,13; B.7,24,25; C.3,4,5; D.8,16,17 5.下列推导中不正确的是( ) A.()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡?+≡+ B.()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡?≡ C.()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡?≡ D.()()112 2 11mod mod .a b m a b m ≡?≡ 6.模10的一个简化剩余系是( ) A.0,1,2, ,9; B.1,2,3,,10;
初等数论 1 习题参考答案
附录1 习题参考答案 第一章习题一 1. (ⅰ) 由a b知b = aq,于是b = (a)(q),b = a(q)及b = (a)q,即a b,a b及a b。反之,由a b,a b及a b 也可得a b; (ⅱ) 由a b,b c知b = aq1,c = bq2,于是c = a(q1q2),即a c; (ⅲ) 由b a i知a i= bq i,于是a1x1a2x2a k x k = b(q1x1 q2x2q k x k),即b a1x1a2x2a k x k;(ⅳ) 由b a知a = bq,于是ac = bcq,即bc ac; (ⅴ) 由b a知a = bq,于是|a| = |b||q|,再由a 0得|q| 1,从而|a| |b|,后半结论由前半结论可得。 2. 由恒等式mq np= (mn pq) (m p)(n q)及条件m p mn pq可知m p mq np。 3. 在给定的连续39个自然数的前20个数中,存在两个自然数,它们的个位数字是0,其中必有一个的十位数字不是9,记这个数为a,它的数字和为s,则a, a 1, , a 9, a 19的数字和为s, s 1, , s 9, s 10,其中必有一个能被11整除。 4. 设不然,n1= n2n3,n2p,n3p,于是n = pn2n3p3,即p3n,矛盾。 5. 存在无穷多个正整数k,使得2k1是合数,对于这样的k,(k1)2
不能表示为a2p的形式,事实上,若(k 1)2= a2p,则(k 1 a)( k 1 a) = p,得k 1 a = 1,k 1 a = p,即p = 2k 1,此与p为素数矛盾。 第一章习题二 1. 验证当n =0,1,2,… ,11时,12|f(n)。 2.写a = 3q1r1,b = 3q2r2,r1, r2 = 0, 1或2,由3a2b2 = 3Q r12r22知r1 = r2 = 0,即3a且3b。 3.记n=10q+r, (r=0,1,…,9),则n k+4-n k被10除的余数和r k+4-r k=r k(r4-1)被10 除的余数相同。对r=0,1,…,9进行验证即可。 4. 对于任何整数n,m,等式n2 (n 1)2 = m2 2的左边被4除的余数为1,而右边被4除的余数为2或3,故它不可能成立。 5 因a4 3a2 9 = (a2 3a 3)( a2 3a 3),当a = 1,2时,a2 3a 3 = 1,a4 3a2 9 = a2 3a 3 = 7,13,a4 3a2 9是素数;当a 3时,a2 3a 3 > 1,a2 3a 3 > 1,a4 3a2 9是合数。 6. 设给定的n个整数为a1, a2, , a n,作 s1 = a1,s2 = a1a2,,s n = a1a2a n, 如果s i中有一个被n整除,则结论已真,否则存在s i,s j,i < j,使得s i与s j 被n除的余数相等,于是n s j s i = a i + 1a j。
初等数论第2版习题答案
第一章 §1 1 证明:n a a a ,,21 都是m 的倍数。 ∴存在n 个整数n p p p ,,21使 n n n m p a m p a m p a ===,,,222111 又n q q q ,,,21 是任意n 个整数 m p q p q q p a q a q a q n n n n )(22112211+++=+++∴ 即n n a q a q a q +++ 2211是m 的整数 2 证: )12)(1()12)(1(-+++=++n n n n n n n )1()1()2)(1(+-+++=n n n n n n )1()1/(6),2)(1(/6+-++n n n n n n )1()1()2)(1(/6+-+++∴n n n n n n 从而可知 )12)(1(/6++n n n 3 证: b a , 不全为0 ∴在整数集合{}Z y x by ax S ∈+=,|中存在正整数,因而 有形如by ax +的最小整数00by ax + Z y x ∈?,,由带余除法有00000,)(by ax r r q by ax by ax +<≤++=+ 则 S b q y y a q x x r ∈-+-=)()(00,由00by ax +是S 中的最小整数知0=r by ax by ax ++∴/00 下证8P 第二题 by ax by ax ++/00 (y x ,为任意整数) b by ax a by ax /,/0000++∴ ).,/(00b a by ax +∴ 又有b b a a b a /),(,/),( 00/),(by ax b a +∴ 故),(00b a by ax =+ 4 证:作序列 ,2 3, ,2 , 0,2 ,,2 3,b b b b b b - -- 则a 必在此序列的某两项之间
(完整word版)初等数论练习题一(含答案)
《初等数论》期末练习二 一、单项选择题 1、=),0(b ( ). A b B b - C b D 0 2、如果1),(=b a ,则),(b a ab +=( ). A a B b C 1 D b a + 3、小于30的素数的个数( ). A 10 B 9 C 8 D 7 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ B b a = C (mod )ac bc m ≡/ D b a ≠ 5、不定方程210231525=+y x ( ). A 有解 B 无解 C 有正数解 D 有负数解 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 7、如果a b ,b a ,则( ). A b a = B b a -= C b a ≥ D b a ±= 8、公因数是最大公因数的( ). A 因数 B 倍数 C 相等 D 不确定 9、大于20且小于40的素数有( ). A 4个 B 5个 C 2个 D 3个 10、模7的最小非负完全剩余系是( ). A -3,-2,-1,0,1,2,3 B -6,-5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5,6 D 0,1,2,3,4,5,6 11、因为( ),所以不定方程71512=+y x 没有解. A [12,15]不整除7 B (12,15)不整除7 C 7不整除(12,15) D 7不整除[12,15] 12、同余式)593(mod 4382≡x ( ). A 有解 B 无解 C 无法确定 D 有无限个解 二、填空题 1、有理数 b a ,0,(,)1a b a b <<=,能写成循环小数的条件是( ). 2、同余式)45(mod 01512≡+x 有解,而且解的个数为( ). 3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( ). 4、设n 是一正整数,Euler 函数)(n ?表示所有( )n ,而且与n ( )的正整数的个数. 5、设b a ,整数,则),(b a ( )=ab . 6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的( )数码的和能被3整除. 7、+=][x x ( ). 8、同余式)321(mod 75111≡x 有解,而且解的个数( ). 9、在176与545之间有( )是17的倍数.
0初等数论试卷及答案
初等数论考试试卷 一、 单项选择题:(1分/题×20题=20分) 1.设x 为实数,[]x 为x 的整数部分,则( A ) A.[][]1x x x ≤<+; B.[][]1x x x <≤+; C.[][]1x x x ≤≤+; D.[][]1x x x <<+. 2.下列命题中不正确的是( B ) A.整数12,, ,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数; < B.整数12,,,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数 【有最小的吗】 C.整数a 与它的绝对值有相同的倍数 D.整数a 与它的绝对值有相同的约数 3.设二元一次不定方程ax by c +=(其中,,a b c 是整数,且,a b 不全为零)有一整数解 ()00,,,x y d a b =,则此方程的一切解可表为( C ) A.00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =- =+=±± B.00,,0,1,2, ;a b x x t y y t t d d =+=-=±± C.00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =+=-=±± D.00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =-=-=±± ( 4.下列各组数中不构成勾股数的是( D ) A.5,12,13; B.7,24,25; C.3,4,5; D.8,16,17 5.下列推导中不正确的是( D ) A.()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡?+≡+ B.()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡?≡ C.()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡?≡
初等数论习题与答案、及测试卷
1 证明:n a a a ,,21 都是m 的倍数。 ∴存在n 个整数n p p p ,,21使 n n n m p a m p a m p a ===,,,222111 又n q q q ,,,21 是任意n 个整数 m p q p q q p a q a q a q n n n n )(22112211+++=+++∴ 即n n a q a q a q +++ 2211是m 的整数 2 证: )12)(1()12)(1(-+++=++n n n n n n n )1()1()2)(1(+-+++=n n n n n n )1()1/(6),2)(1(/6+-++n n n n n n 1()1()2)(1(/6+-+++∴n n n n n n 从而可知 12)(1(/6++n n n 3 证: b a , 不全为0 ∴在整数集合{}Z y x by ax S ∈+=,|中存在正整数,因而 有形如by ax +的最小整数00by ax + Z y x ∈?,,由带余除法有00000,)(by ax r r q by ax by ax +<≤++=+ 则b q y y a q x x r ∈-+-=)()(00,由00by ax +是S 中的最小整数知0=r ax by ax + +∴/00 下证8P 第二题 by ax by ax ++/00 (y x ,为任意整数) b by ax a by ax /,/0000++∴ ,/(00b a by ax +∴ 又有b b a a b a /),(,/),( 0/),(by ax b a +∴ 故),(00b a by ax =+ 4 证:作序列 ,2 3, ,2 , 0,2 ,,2 3,b b b b b b - -- 则a 必在此序列的某两项之间
初等数论作业(3)答案
第三次作业答案: 一、选择题 1、整数5874192能被( B )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 2、整数637693能被(C )整除. A 3 B 5 C 7 D 9 3、模5的最小非负完全剩余系是( D ). A -2,-1,0,1,2 B -5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5 D 0,1,2,3,4 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则(A ) A )(mod m bc ac ≡ B b a = C ac T )(m od m bc D b a ≠ 二、解同余式(组) (1))132(mod 2145≡x . 解 因为(45,132)=3|21,所以同余式有3个解. 将同余式化简为等价的同余方程 )44(mod 715≡x . 我们再解不定方程 74415=-y x , 得到一解(21,7). 于是定理4.1中的210=x . 因此同余式的3个解为 )132(mod 21≡x , )132(mod 65)132(mod 3 13221≡+ ≡x , )132(mod 109)132(mod 3132221≡?+≡x . (2))45(mod 01512≡+x 解 因为(12,45)=3|15,所以同余式有解,而且解的个数为3. 又同余式等价于)15(mod 054≡+x ,即y x 1554=+. 我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3), 即定理4.1中的100=x . 因此同余式的3个解为 )45(mod 10≡x ,
)45(mod 25)45(mod 3 4510≡+≡x , )45(mod 40)45(mod 3 45210≡?+≡x . (3))321 (m od 75111≡x . 解 因为(111,321)=3|75,所以同余式有3个解. 将同余式化简为等价的同余方程 )107(mod 2537≡x . 我们再解不定方程 2510737=+y x , 得到一解(-8,3). 于是定理4.1中的80-=x . 因此同余式的3个解为 )321(mod 8-≡x , )321(mod 99)321(mod 3 3218≡+-≡x , )321(mod 206)321(mod 3 32128≡?+-≡x . (4)?? ???≡≡≡)9(mod 3)8(mod 2)7(mod 1x x x . 解 因为(7,8,9)=1,所以可以利用定理5.1.我们先解同余式 )7(mod 172≡x ,)8(mod 163≡x ,)9(mod 156≡x , 得到)9(mod 4),8(mod 1),7(mod 4321-=-==x x x .于是所求的解为 ). 494(mod 478)494(mod 510 )494(mod 3)4(562)1(631472=-=?-?+?-?+??≡x (5)???????≡≡≡≡) 9(mod 5)7(mod 3)5(mod 2)2(mod 1x x x x . (参考上题)
初等数论计算题答案
初等数论第三次作业 计算题 1. 求75与105的最大公因数。 解:因为75 = 3错误!未找到引用源。52,105 = 3错误!未找到引用源。5错误!未找到引用源。7, 所以75与105的最大公因数是15。 2. 求66与121的最大公因数。 解:因为66=6×11,121=11×11, 所以66与121的最大公因数是11 3.求不定方程3x - 4y = 1的一切整数解。 答;因为(3,4)= 1,所以不定方程有整数解。 观察知x = 3,y = 2是其一个整数解。 由公式知其一切整数解为???+=+=t y t x 3243,t 为整数。 4.求不定方程7x + 2y = 1的一切整数解。 答;因为(7,2)=1,1|1,所以不定方程有解。观察知其一个整数解是 0013 x y =??=-?。 于是其一切整数解为1237x t y t =+??=--? ,t 取一切整数。 5.解同余式3x ≡ 1 (mod 7)。 答;因为(3,7)= 1,所以同余式有解且有一个解。 由3x - 7y = 1得???+=+=t y t x 3275, 所以同余式的解为)7(mod 5≡x 6.解同余式3x ≡ 8 (mod 10)。
答;因为(3,10)=1,1|8,所以同余式有解,并且只有一个解。由3108x y -=得 一个解00 61x y =??=?,所以同余式的解为6(mod10)x ≡。 7.解同余式28x ≡ 21 (mod 35)。 答:因为(28,35) = 7,而7|21,所以同余式28x ≡ 21(mod 35)有解,且有7个解。同余式28x ≡ 21(mod 35)等价于4x ≡ 3(mod 5),解4x ≡ 3(mod 5)得x ≡ 2(mod 5),故同余式28x ≡ 21(mod 35)的7个解为x ≡ 2,7,12,17,22,27,32(mod 35)。 8.解同余式组: ???≡≡) 5(mod 2)3(mod 1x x 。 答;由)3(mod 1≡x 得13+=k x ,将其代入)5(mod 2≡x 得)5(mod 213≡+k , 解得)5(mod 2≡k ,即25+=t k , 所以715+=t x ,所以解为)15(mod 7≡x 。 9. 求不定方程3x + 2y = 2的一切整数解。 解:因为(3,2) = 1,所以不定方程有整数解。 显然1,0==y x 是其一个特解, 所以不定方程的一切整数解为错误!未找到引用源。,其中t 取一切整数。 10.解同余式)5(mod 14≡x 答;因为(4,5)= 1,所以同余式有解且有一个解。 由4x - 5y = 1得???+=+=t y t x 3275, 所以同余式的解为)7(mod 5≡x
初等数论试卷和答案
初等数论试卷和答案
初等数论考试试卷1 一、单项选择题(每题3分,共18分) 1、如果a b ,b a ,则( ). A b a = B b a -= C b a ≤ D b a ±= 2、如果n 3,n 5,则15( )n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定 3、在整数中正素数的个数( ). A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ B b a = C ac T )(mod m bc D b a ≠ 5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解. A c b a ),( B ),(b a c C c a D a b a ),( 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 二、填空题(每题3分,共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是( ). 2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ). 3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为 ( ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ).
试卷1答案 一、单项选择题(每题3分,共18分) 1、D. 2、A 3、C 4、A 5、A 6、B 二、填空题(每题3分,共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是(唯一的). 2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是(b m a ),(). 3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ][b a ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( 与p 互素 ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ). 6、如果b a ,是两个正整数,则存在( 唯一 )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0. 三、计算题(每题8分,共32分) 1、 求[136,221,391]=?(8分) 解 [136,221,391] =[[136,221],391] =[391,17221136?] =[1768,391] ------------(4分) = 17391 1768?
初等数论复习题题库及答案
《初等数论》本科 一 填空题(每空2分) 1.写出30以内的所有素数 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29 . 2.,( ,)(,)(,) a b a b a b a b =设是任意两个不为零的整数,则 1 . 3.若,a b 是非零整数,则a 与b 互素的充要条件是存在整数,x y ,适1ax by += 4.写出180的标准分解式是 22235?? ,其正约数个数有 (2+1)(2+1)(1+1)=18个. 5.,1,2,,a b a b L 设与是正整数则在中能被整除的整数恰有 []a b 个. 6.设,a b 是非零整数,c 是整数,方程ax by c +=有整数解(,x y )的充要条件是 (,)|a b c 7. 若整数集合A 是模m 的完全剩余系,则A 中含有 m 个整数. 8.?(3)= 2 ;?(4)= 2 . 9.当p 素数时,(1)()p ?= 1p - ;(2)()k p ?= 1k k p p -- . 10.(),(,)1,1m m a m a ?=-≡设是正整数则 0 (mod ).m 11.,,p p a a a -≡设是素数则对于任意的整数有 0 (mod ).p 12.已知235(mod7)x +≡,则x ≡ 1 (mod7). 13.同余方程22(mod 7)x ≡的解是 4(mod7) . 14.同余方程2310120(mod 9)x x ++≡的解是 .X=6. . 15.(,)1n p =若,n p 是模的二次剩余的充要条件是 -121(mod ).p n p ≡ . 16.(,)1n p =若,n p 是模的二次非剩余的充要条件是 -12 1(mod ).p n p ≡- . 17.3()=5 -1 ; 4 ()=5 1 . 18.,p 设是奇素数则2 ()p = 218(1).p -- . 19.,p 设是奇素数则1()p = 1 ;-1 ()p = -1 2(-1).p . 20. 5()=9 1 ; 2 ()=45 -1 . 二 判断题(判断下列结论是否成立,每题2分). 1. ||,|a b a c x y Z a bx cy ?∈+且对任意的有.成立 2. (,)(,),[,][,]a b a c a b a c ==若则.不成立
自考初等数论试题及答案
初等数论考试试卷1 一、单项选择题(每题3分,共18分) 1、如果a b ,b a ,则( ). A b a = B b a -= C b a ≤ D b a ±= 2、如果n 3,n 5,则15( )n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定 3、在整数中正素数的个数( ). A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ B b a = C ac T )(mod m bc D b a ≠ 5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解. A c b a ),( B ),(b a c C c a D a b a ),( 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 二、填空题(每题3分,共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是( ). 2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ). 3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ). 6、如果b a ,是两个正整数,则存在( )整数r q ,,使r bq a +=,b r π≤0. 三、计算题(每题8分,共32分) 1、求[136,221,391]=? 2、求解不定方程144219=+y x . 3、解同余式)45(mod 01512≡+x . 4、求? ?? ??563429,其中563是素数. (8分) 四、证明题(第1小题10分,第2小题11分,第3小题11分,共32分)
自考初等数论试题及答案
初等数论考试试卷 1 一、单项选择题(每题3分,共18分) 1、 如果 ba , ab ,则(). A a b Bab C a b Dab 2、 如果 3n , 5n ,则 15 ( ) n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定 3、 在整数中正素数的个数( ). A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、 如果 a b (modm ) , c 是任意整数贝V 5、 如果(),则不定方程ax by c 有解. A (a, b)c B c(a,b) C ac D (a,b)a 6、 整数5874192能被()整除. A 3 B 3 与 9 C 9 D 3 或 9 二、填空题(每题3分,共18分) 1、 素数写成两个平方数和的方法是( )? 2、 同余式ax b 0(modm ) 有解的充分必要条件是(). 3、 如果 a,b 是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为(). 4、 如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被P 整除或者(). 5、 a,b 的公倍数是它们最小公倍数的 (). 6、如果a ,b 是两个正整数,则存在()整数q ,r ,使a bq r ,0 r b . 三、计算题(每题8分,共32分) 1、 求[136,221,391]=? 2、 求解不定方程9x 21y 144 . 3、 解同余式 12x 15 0(mod45) . 429 4、 求563 ,其中563是素数.(8 分) 四、证明题(第 1小题10分,第2小题11分,第3小题11分,共32分) 2 3 n n n 1证明对于任意整数n ,数3 2 6是整数. 2、 证明相邻两个整数的立方之差不能被 5整除. A ac bc(modm) B a b C ac bc(mod m) D ab
初等数论练习题及答案
初等数论练习题一 一、填空题 1、τ(2420)=27;?(2420)=_880_ 2、设a ,n 是大于1的整数,若a n -1是质数,则a=_2. 3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}. 4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x ≡11(mod 37)。 5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t ,y=700+18t t Z 。. 6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_(m )_。 7、18100被172除的余数是_256。 8、?? ? ??10365 =-1。 · 9、若p 是素数,则同余方程x p 1 1(mod p )的解数为p-1。 二、计算题 1、解同余方程:3x 2 11x 200 (mod 105)。 解:因105 = 357, 同余方程3x 211x 200 (mod 3)的解为x 1 (mod 3), 同余方程3x 211x 38 0 (mod 5)的解为x 0,3 (mod 5), 同余方程3x 2 11x 200 (mod 7)的解为x 2,6 (mod 7), 故原同余方程有4解。 作同余方程组:x b 1 (mod 3),x b 2 (mod 5),x b 3 (mod 7), 其中b 1 = 1,b 2 = 0,3,b 3 = 2,6, ( 由孙子定理得原同余方程的解为x 13,55,58,100 (mod 105)。 2、判断同余方程x 2≡42(mod 107)是否有解 1 107421 7271071107713231071107311072107 7107310721077 32107422 1 10721721107213)(=∴-=-=-==-=-=-==??≡-?--?-)()()()(),()()()(),()() )()(( )(解:
初等数论复习题题库及答案
初等数论复习题题库及 答案 Company Document number:WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
《初等数论》本科 一 填空题(每空2分) 1.写出30以内的所有素数 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29 . 2.,( ,)(,)(,) a b a b a b a b =设是任意两个不为零的整数,则 1 . 3.若,a b 是非零整数,则a 与b 互素的充要条件是存在整数,x y ,适1ax by += 4.写出180的标准分解式是 22235?? ,其正约数个数有 (2+1)(2+1)(1+1)=18个. 5.,1,2, ,a b a b 设与是正整数则在中能被整除的整数恰有 []a b 个. 6.设,a b 是非零整数,c 是整数,方程ax by c +=有整数解(,x y )的充要条件是 (,)|a b c 7. 若整数集合A 是模m 的完全剩余系,则A 中含有 m 个整数. 8.?(3)= 2 ;?(4)= 2 . 9.当p 素数时,(1)()p ?= 1p - ;(2)()k p ?= 1k k p p -- . 10.(),(,)1,1m m a m a ?=-≡设是正整数则 0 (mod ).m 11.,,p p a a a -≡设是素数则对于任意的整数有 0 (mod ).p 12.已知235(mod7)x +≡,则x ≡ 1 (mod7). 13.同余方程22(mod 7)x ≡的解是 4(mod7) . 14.同余方程2310120(mod 9)x x ++≡的解是 .X=6. . 15.(,)1n p =若,n p 是模的二次剩余的充要条件是 -12 1(mod ).p n p ≡ . 16.(,)1n p =若,n p 是模的二次非剩余的充要条件是 -12 1(mod ).p n p ≡- . 17.3()=5 -1 ; 4 ()=5 1 . 18.,p 设是奇素数则2() p = 21 8(1).p -- . 19.,p 设是奇素数则1()p = 1 ;-1 ()p = -1 2(-1).p .
02013自学考试初等数论模拟试题(含答案)
02013自学考试初等数论模拟试题(含答案) 一、 单项选择题:(1分/题×20题=20分) 1.设x 为实数,[]x 为x 的整数部分,则( ) A.[][]1x x x ≤<+; B.[][]1x x x <≤+; C.[][]1x x x ≤≤+; D.[][]1x x x <<+. 2.下列命题中不正确的是( ) A.整数12,,,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数; B.整数12,, ,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数 C.整数a 与它的绝对值有相同的倍数 D.整数a 与它的绝对值有相同的约数 3.设二元一次不定方程ax by c +=(其中,,a b c 是整数,且,a b 不全为零)有一整数解()00,,,x y d a b =,则此方程的一切解可表为( ) A.00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =- =+=±± B.00,,0,1,2, ;a b x x t y y t t d d =+=-=±± C.00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =+=-=±± D.00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =-=-=±± 4.下列各组数中不构成勾股数的是( ) A.5,12,13; B.7,24,25; C.3,4,5; D.8,16,17 5.下列推导中不正确的是( ) A.()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡?+≡+ B.()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡?≡ C.()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡?≡ D.()()112211mod mod .a b m a b m ≡?≡ 6.模10的一个简化剩余系是( ) A.0,1,2, ,9; B.1,2,3,,10; C.5,4,3,2,1,0,1,2,3,4;----- D.1,3,7,9.
(0346)《初等数论》网上作业题及答案
(0346)《初等数论》网上作业题及答案1:第一次作业 2:第二次作业 3:第三次作业 4:第四次作业 5:第五次作业 1:[论述题]数论第一次作业 参考答案:数论第一次作业答案 2:[单选题]如果a|b,b|c,则()。 A:a=c B:a=-c C:a|c D:c|a 参考答案:C 马克思主义哲学是我们时代的思想智慧。作为时代的思想智慧,马克思主义哲学主要具有反思功能、概括功能、批判功能和预测功能。 (1)“反思”是哲学思维的基本特征,是以思想的本身为内容,力求思想自觉其为思想。通过不断的反思,揭示自己时代的本质和规律,达到对事物本质和规律性的认识。 (2)概括是马克思主义哲学的重要功能,是马克思主义哲学把握人与世界总体性关系的基本思维方式。 (3)马克思主义哲学的批判功能主要是指对现存世界的积极否定。 (4)马克思主义哲学的预测功能在于预见现存世界的发展趋势。 3:[单选题]360与200的最大公约数是()。 A:10 B:20 C:30 D:40 参考答案:D数论第一次作业答案 4:[单选题]如果a|b,b|a ,则()。 A:a=b B:a=-b
C:a=b或a=-b D:a,b的关系无法确定 参考答案:C数论第一次作业答案 5:[单选题]-4除-39的余数是()。 A:3 B:2 C:1 D:0 参考答案:C数论第一次作业答案 6:[单选题]设n,m为整数,如果3整除n,3整除m,则9()mn。A:整除 B:不整除 C:等于 D:小于 参考答案:A数论第一次作业答案 7:[单选题]整数6的正约数的个数是()。 A:1 B:2 C:3 D:4 参考答案:D数论第一次作业答案 8:[单选题]如果5|n ,7|n,则35()n 。 A:不整除 B:等于 C:不一定 D:整除
2020年自考《初等数论》专业考试题库及答案
2020年自考《初等数论》专业考试题库及答案 一 填空题(每空2分) 1.写出30以内的所有素数 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29 . 2.,( ,)(,)(,) a b a b a b a b =设是任意两个不为零的整数,则 1 . 3.若,a b 是非零整数,则a 与b 互素的充要条件是存在整数,x y ,适1ax by += 4.写出180的标准分解式是 22235?? ,其正约数个数有 (2+1)(2+1)(1+1)=18个. 5.,1,2,,a b a b L 设与是正整数则在中能被整除的整数恰有 []a b 个. 6.设,a b 是非零整数,c 是整数,方程ax by c +=有整数解(,x y )的充要条件是 (,)|a b c 7. 若整数集合A 是模m 的完全剩余系,则A 中含有 m 个整数. 8.?(3)= 2 ;?(4)= 2 . 9.当p 素数时,(1)()p ?= 1p - ;(2)()k p ?= 1k k p p -- . 10.(),(,)1,1m m a m a ?=-≡设是正整数则 0 (mod ).m 11.,,p p a a a -≡设是素数则对于任意的整数有 0 (mod ).p 12.已知235(mod7)x +≡,则x ≡ 1 (mod 7). 13.同余方程22(mod 7)x ≡的解是 4(mod7) . 14.同余方程2310120(mod 9)x x ++≡的解是 .X=6. . 15.(,)1n p =若,n p 是模的二次剩余的充要条件是 -121(mod ).p n p ≡ . 16.(,)1n p =若,n p 是模的二次非剩余的充要条件是 -12 1(mod ).p n p ≡- . 17.3()=5 -1 ; 4 ()=5 1 . 18.,p 设是奇素数则2 ()p = 218(1).p -- . 19.,p 设是奇素数则1()p = 1 ;-1 ()p = -1 2(-1).p . 20. 5()=9 1 ; 2 ()=45 -1 . 二 判断题(判断下列结论是否成立,每题2分). 1. ||,|a b a c x y Z a bx cy ?∈+且对任意的有.成立