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架空线常用计算公式和应用举例

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架空线常用计算公式和应用举例

前言

在基层电力部门从事输电线路专业工作的技术人员,需要掌握导线的基本的计算方法。这些方法可以从教材或手册中找到。但是,教材一般从原理开始叙述,用于实际计算的公式夹在大量的文字和推导公式中,手册的计算实例较少,给应用带来一些不便。本书根据个人在实际工作中的经验,摘取了一些常用公式,并主要应用Excel工作表编制了一些例子,以供相关人员参考。

本书的基本内容主要取材于参考文献,部分取材于网络。所用参考文献如下:

1. GB50545 -2010 《110~750kV架空输电线路设计规程》。

2. GB50061-97 《66kV及以下架空电力线路设计规范》。

3. DL/T5220-2005 《10kV及以下架空配电线路设计技术规程》。

4. 邵天晓著,架空送电线路的电线力学计算,中国电力出版社,2003。

5. 刘增良、杨泽江主编,输配电线路设计, 中国水利水电出版社,2004。

6.李瑞祥编,高压输电线路设计基础,水利电力出版社,1994。

7.电机工程手册编辑委员会,电机工程手册,机械工业出版社,1982。

8.张殿生主编,电力工程高压送电线路设计手册,中国电力出版社,2003。

9.浙西电力技工学校主编,输电线路设计基础,水利电力出版社,1988。

10.建筑电气设计手册编写组,建筑电气设计手册,中国建筑工业出版社,1998。

11.许建安主编,35-110kV输电线路设计,中国水利水电出版社,2003。

由于个人水平所限,书中难免出现错误,请识者不吝指正。

四川安岳供电公司

李荣久 2015-9-16

目录

第一章电力线路的导线和设计气象条件

第一节导线和地线的型式和截面的选择

一、导线型式

二、导线截面选择与校验的方法

三、地线的选择

第二节架空电力线路的设计气象条件

一、设计气象条件的选用

二、气象条件的换算

第二章导线(地线)张力(应力)弧垂计算

第一节导线和地线的机械物理特性与单位荷载

一、导线的机械物理特性

二、导线的单位荷载

第二节导线的最大使用张力和平均运行张力

一、导线的最大使用张力

二、导线的平均运行张力

第三节导线张力弧垂的精确计算

一、导线的悬链线解析方程式

二、导线的张力、弧垂与线长

三、导线的允许档距和允许高差

四、导线悬挂点等高时的张力弧垂计算

五、架空线的等效张力(平均张力)

第四节导线张力弧垂的近似计算

一、导线的抛物线解析方程式

二、导线的张力、弧垂与线长

第五节水平档距和垂直档距

一、水平档距和水平荷载

二、垂直档距和垂直荷载

第六节导线的状态方程式

一、孤立档的状态方程式

二、连续档的状态方程式和代表档距

第七节临界档距

一、用斜抛物线状态方程式求临界档

二、用临界档距判别控制条件所控制的档距范围

第八节导线张力弧垂计算步骤

第九节导线应力弧垂分析

一、导线和地线的破坏应力与比载

二、导线的悬链线公式

三、导线应力弧垂的近似计算

四、水平档距和垂直档距

五、导线的斜抛物线状态方程式

六、临界档距

第三章特殊情况导线张力弧垂的计算

第一节档距中有一个集中荷载时导线张力弧垂的计算

一、档距中有一个集中荷载的弧垂和张力

二、导线强度及对地或交叉跨越物距离的校验

第二节孤立档导线的计算

一、耐张绝缘子串的单位荷载

二、孤立档导线的张力和弧垂

三、孤立档的临界档距

第三节导线紧线时的过牵引计算

一、紧线施工方法与过牵引长度

二、过牵引引起的伸长和变形

三、不考虑耐张绝缘子串的导线过牵引计算

四、孤立档考虑耐张绝缘子串的导线过牵引计算

第四节连续倾斜档的安装计算

一、连续倾斜档导线安装时的受力分析

二、连续倾斜档观测弧垂的确定

三、悬垂线夹安装位置的调整

四、地线的安装

第五节耐张绝缘子串倒挂的校验

第六节悬垂线夹悬垂角的计算

第四章导线和地线的防振计算

第一节防振锤和阻尼线

一、防振锤的安装

二、阻尼线的安装

第二节分裂导线的防振

第五章架空线的不平衡张力计算

第一节刚性杆塔固定横担线路不平衡张力的计算

一、线路产生不平衡张力时的几种关系

二、不均匀覆冰或不同时脱冰时的不平衡张力求解方法

三、断线张力求解方法

四、导线从悬垂线夹松落时的不平衡张力

第二节固定横担线路考虑杆塔挠度时不平衡张力的计算

一、线路产生不平衡张力时的几种关系

二、不均匀覆冰或不同时脱冰时考虑杆塔挠度的不平衡张力求解方法

三、考虑杆塔挠度时的断线张力求解方法

第三节转动型横担线路断线张力的计算

一、断线张力的求解方程

二、断线张力的计算机试凑求解方法

第四节相分裂导线不平衡张力的计算

一、计算分裂导线的不平衡张力的公式

二、计算公式中几个参数的取值与计算

三、不平衡张力的求解方法

四、用Excel工作表进行计算的方法

第五节地线支持力的计算

一、电杆的刚度和刚度系数

二、电杆的挠度

三、地线支持力的计算

四、地线支持力的计算机试凑求解方法

第六章架空线弧垂观测计算

第一节弧垂观测概述

一、观测档的选择

二、导线初伸长的处理

三、弧垂的观测方法

四、弧垂的调整与检查

五、观测弧垂时应该注意的问题

第二节均布荷载下的弧垂的观测参数计算

一、用悬链线法求弧垂观测参数

二、弧垂观测角的近似计算公式

三、用异长法和等长法观测弧垂时a、b与弧垂f的关系

第三节观测档内联有耐张绝缘子串时弧垂的观测参数计算

一、观测档弧垂的计算公式

二、用等长法和异长法观测弧垂

三、用角度法观测弧垂

架空线常用计算公式和应用举例 安岳供电公司 李荣久

第一章 电力线路的导线和设计气象条件

第一节 导线和地线的型式和截面的选择

一、导线型式

常用导线的型号和名称如表1-1-1。其中,LJ 、LGJ 、LGJF 、GJ 为GB1194-83、GB1179-83、GB1200-75和GB/T1200-1988标准的表示法,JL 、JL/G 、JFL/G 为GB/T1179-1999标准的表示法。 表1-1-1 导线型号和名称

型号 名称 举例

LJ 、JL LGJ 、JL/G LGJF 、JFL/G GJ

铝绞线 钢芯铝绞线 防腐型钢芯铝绞线 钢绞线

LJ-70表示铝绞线标称截面70 mm 2

LGJ-120/20表示钢芯铝绞线,铝股标称截面120 mm 2,钢芯标称截面20 mm 2 JFL/G-100/17,表示防腐型钢芯铝绞线,铝股截面70 mm 2,钢/铝=17%

GJ-35表示钢绞线,标称截面35 mm 2.(新标准为1×7-7.8-1270-A-GB1200-88)

在导线的型号中,其汉语拼音字母的代表意义为:L —铝,G —钢,F —防腐,J —绞线,其排列顺序和

方式因标准的颁发时间不同而有不同。

二、导线截面选择与校验的方法

(一)按经济电流密度选择导线截面,如图1-1-1所示。

图1-1-1 铝导体的经济电流密度

根据给定的线路在正常运行方式下的最大负荷电流I max 和年最大负荷利用小时数t max ,即可按经济电流密度J 计算出导线的经济截面A 为

max I

A J

(mm 2) (1-1-1)

(二)按载流量选择或校验导线截面。在不要求特别准确的情况下可以采用下列近似计算公式: 在空气中明敷设,计算环境温度 θc =40℃

裸导线 LJ 、LGJ 型 一般线路 I =16A 0.602 A =0.01 I 1.661

(θe =70℃)

大跨越线路 I =20A 0.635 A =0.009 I 1.575

(θe =90℃)

公式的误差,铝绞线不大于2%,钢芯铝绞线除个别铝股线为一层的误差较大外,其余的误差不大于5%。

架空绝缘电缆 JKV-0.6/1.0型 I =13.2A 0.675 A =0.027 I 1.45

(θe =70℃)

JKLV-0.6/1.0型 I =10.2A 0.675 A =0.039 I 1.45

(θe =70℃)

JKLHV-0.6/1.0型 I =9.4A 0.675 A =0.0435 I 1.45

(θe =70℃)

JKY-0.6/1.0型 I =13.4A 0.68 A =0.027 I 1.44

(θe =70℃)

JKLY-0.6/1.0型 I =10.4A 0.68 A =0.039 I 1.44

(θe =70℃)

JKLHY-0.6/1.0型 I =9.3A 0.686 A =0.0435 I 1.43

(θe =70℃)

JKYJ-10型 I =19.5A 0.64 A =0.012 I 1.53

(θe =90℃)

JKLYJ-10型 I =13.2A 0.675 A =0.018 I 1.53

(θe =90℃)

JKLHYJ-10型 I =11.9A 0.675 A =0.02 I 1.53

(θe =90℃)

注:由近似公式求得的是单根电缆的长期允许载流量,集束型电缆的长期允许载流量为单根电缆的70%,

相应地,载流量相同时,集束型电缆的截面积应为单根电缆的1.67倍(铝芯)或1.73倍(铜芯)。

式中 I —按发热条件计算的载流量,A ;

A —导电线芯的截面积,mm 2;

θe —导电线芯允许最高温度,℃。

导线载流量的校正。在利用导线的载流量表和上列近似计算公式时,如果计算用环境温度θc 和设计用环境温度θa 不同时,需将载流量乘以校正系数K tI ,而将截面积乘以校正系数K tA :

e a tI e c K θθθθ-=

- , 1()()d d e c tA tI e a

K k θθθθ-==- (d 即I 的指数)。 (三)按电晕校验导线。在海拔不超过1000m 的地区,所选导线的直径应不小于表1-1-2所列数值。 表1-1-2 可不验算电晕的导线最小外径(海拔不超过1000m )

标称电压(kV ) 11

220

330

500

750

导线外径(mm )

9.6

21.6

33.6 2×21.6

2×36.24 3×26.82 4×21.6

4×36.90 5×30.20 6×25.50

(四)按导线的允许电压降选择和校核导线。1kV~10kV 配电线路,自供电的变电所二次侧出口至线路

末端变压器或末端受电变电所一次侧入口的允许电压降为供电变电所二次侧额定电压的5%。1kV 以下配电线路,自配电变压器二次侧出口至线路末端(不包括接户线)的允许电压降为额定低压电压的4%。配电线路有许多分支,低压配电线路还有三相、两相和单相等配电方式,一回线路的最大电压降需要选用不同支路分段计算后进行累加和比较才能得出正确结果。

(五)按机械强度校验导线。对于跨越铁路、通航河流和运河、公路、通信线路和居民区的线路,其导线截面应不小于35mm 2。通过其它地区的线路最小允许截面,35kV 以上线路为25 mm 2,35kV 及以下线路为16 mm 2。任何线路都不允许使用单股导线。

三、地线的选择 地线与导线应按表1-1-3的规定配合。

表1-1-3 导线与地线配合表

导线型号

LGJ-185/30及以下

LGJ-185/45~LGJ-400/35

LGJ-400/50及以上

镀锌钢绞线最小 标称截面(mm )

无冰区段 35 50 80 覆冰区段

50

80

100

第二节 架空电力线路的设计气象条件

一、设计气象条件的选用

一般输电线路常用的气象条件组合有九种:最高气温、最低气温、年平均气温、基本风速、最大覆冰、操作过电压(内过电压)、雷电过电压(外过电压)、安装情况及事故断线情况。为了设计、制造上的统一和标准化,根据我国不同地区的气象情况和多年的运行经验,我国各主要地区组合后的输电线路气象条件归纳为九个典型气象区,其气象参数的组合见表1-2-1。

表1-2-1 典 型 气 象 区

气 象 区

I

II

III

IV

V

VI

VII VII

I

IX

大 气 温 度 (℃)

最高

+40

最低 -5

-10 -10 -20 -10 -20 -40 -20 -20

覆冰 -5 基本风速 +10 +10 -5 -5

+10 -5

-5

-5

-5 安装 0

-5

-10 -5

-10 -15 -10 -10

雷电过电压 +15

操作过电压、 年平均气温 +20 +15 +15 +10 +15 +10 -5 +10 +10 风 速 (m/s )

基本风速

31.5

27.0

23.5

23.5 27.0

23.5

27.0

27.0

27.0 覆冰 10*

15

安装 10

雷电过电压 15

10 操作过电压

0.5×最大风速(不低于15m/s )

覆冰厚度(mm) 0

5

5

5

10 10

10

15

20

冰的密度(g/cm 3

0.9

* 一般情况下覆冰同时风速10m/s ,当有可靠资料表明需加大风速时可取为15m/s

由于我国幅员辽阔,气象情况复杂,九个典型气象区不能完全包括,所以各大区、甚至各省区又根据本地区的气象特点,划分出本地区的典型气象区。

二、气象条件的换算

1. 覆冰厚度的换算。可用下面两种常用方法换算。

(1)测水重法。如果将试样长度为L 的冰层全部收集起来,待冰融化后称其质量为m ,则换算为标准状态的冰层厚度为

3

2

100.9m b r r L

π?=+- (1-2-1)

(2)测总重法。测出试样长度为L 的覆冰导线的总质量,换算为标准状态的冰层厚度为

3

2

21()100.9m m b r r L

π-?=+- (1-2-2)

式中 b —标准覆冰厚度,mm ; r —无冰导线的半径,mm ;

m —试样冰层融化后的质量,kg ;

m 2—覆冰导线的总质量,kg ; m 1—导线未覆冰时的质量,kg ; L —试样长度,m 。

2. 基本风速的选用。

(1)风速观测高度影响的换算。

(

)i i x x

Z V V Z α

= (1-2-3) 式中 Z i 、V i —分别为距地面以上的同一换算高度处的高度和换算风速,m 和m/s ;

Z x 、V x —分别为距地面以上的实际观测高度处的高度和观测风速,m 和m/s ;

α—与气象台、站地面粗糙度有关的系数。对近海海面、海岛、海岸、湖岸及沙漠等(A 类区)取α=0.12;对田野、乡村、丛林、丘陵以及房屋比较稀疏的乡镇和城市郊区(B 类区)取α=0.16;对有密集建筑群的城市市区(C 类区)取α=0.22;对有密集建筑群且房屋较高的城市市区(D 类区)取α=0.30。

(2)风速次时换算。我国许多气象台、站以往多采用一天定时观测4次的2min 平均风速v 2,显然会漏掉不少大风风速,因此必须进行次时换算,将其换算为连续自记10min 平均风速v 。换算公式因地区而异,如表1-2-2。

表1-2-2 自记风速v 与四次2min 风速v 2换算公式 地区 换算公式 应用范围

地区 换算公式

应用范围

华北 v =0.882

v 2+7.82

北京、天津、河北、山西、 河南、内蒙、关中、汉中

广东 v =1.03 v 2+4.15 广东、广西、

福建、台湾

东北 v =1.04 v 2+3.20 辽宁、吉林、黑龙江

湖南 v =0.68 v 2 +9.54

西北 v =1.004

v 2 +2.57

陕北、甘肃、宁夏、青海、新疆、西藏

江苏 v =0.78 v 2+8.41 上海、江苏 四川 *v =1.25 v 2

山东 v =0.855

v 2 +5.44

山东、安徽

湖北 v =0.732 v 2+7.0 湖北、江西

云贵 v =0.751

v 2+6.17

云南、贵州

*四川换算式的重现期为30年

浙江 v =1.262

v 2+0.53

浙江内陆

(3)基本风速统计值的计算。参照上述步骤和方法求得气象台、站某同一风速高度h i 下连续自记10min 平均的历年基本风速作统计样本,采用如式(1-2-2)所示的极值I 型分布函数作为风速概率统计的模型,代入线路规定的重现期,即可求得该重现期的基本风速

16

1

{0.57722ln[ln(1)]}T n v v T

σπ-=-

+--+ (1-2-4) 式中 1n σ-—统计样本标准差,21()1

i n v v n σ-∑-=

-;

v T —气象台某一高度h i 处、重现期为T 年的连续自记10min 平均最大风速,m/s ; v i —样本中的每年最大风速,m/s ; T —重现期,年;

v —样本中的历年最大风速平均值,v =∑i v /n , m/s ;

n —样本中的风速总次数或年数。

第二章 导线(地线)张力(应力)弧垂计算

第一节 导线和地线的机械物理特性与单位荷载

一、导线的机械物理特性

(一)导线的弹性系数

物体的弹性系数也称为弹性模量。

Tl T E A l A σεε===? (2-1-1)

式中 T —导线拉力,N ;

l 、Δl —导线的原长和伸长,m ;

σ—导线的应力,即单位截面的张力,σ=T/A ,N/mm 2; ε—导线的相对变形,ε=Δl/l ; A —导线的截面积,mm 2; E —导线的弹性系数,N/mm 2。

钢芯铝绞线的弹性系数按下式计算

1s Al E mE E m +=+ (2-1-2)

式中 E Al 、E s 、E —分别为铝、钢和综合弹性系数,N/mm 2,按钢芯和铝线的股数可选用下列经验数据:

钢芯n =1, E s =196000 N/mm 2, n =7, E s =186000 N/mm 2, n =19, E s =180000 N/mm 2, 铝线n =6, E Al =59000 N/mm 2,6< n ≤28, E Al =58000 N/mm 2, 28< n ≤48,E Al =55000 N/mm

2,

n >48, E Al =54000 N/mm 2;

n —钢芯和铝线的股数, m =A Al /A s —铝对钢的截面比。 (二)导线的热膨胀系数

/t αε=? (2-1-3) 式中 ε—温度变化引起的导线相对变形,ε=Δl/l ;

Δt —温度变化量,℃;

α—导线的热膨胀系数,1/℃。 钢芯铝绞线的热膨胀系数的计算式为

s s Al Al s Al E m E E mE ααα+=+ (2-1-4)

式中 αAl 、αs 、α—分别为铝、钢和综合热膨胀系数,1/℃。αAl =62310-?1/℃,αs =61210-?1/℃;

E Al 、E s —分别为铝和钢的弹性系数,N/mm 2,取E Al =59000 N/mm 2,E s =196000 N/mm 2。 m =A Al /A s —铝对钢的截面比。

二、导线的单位荷载 (一)自重单位荷载

p 1=9.80665m 0×10-3 (2-1-5)

式中 9.80665—重力加速度,m/s 2,其近似值可取9.8、9.81或10;

m 0—每千米导线的质量,kg/km ; p 1—导线的自重单位荷载,N/m 。 (二)冰重单位荷载

p 2=9.80665×0.9πb (b+d )×10-3 (2-1-6)

式中 b —覆冰厚度,mm ;

d —导线直径,mm ; p 2—导线的冰重单位荷载,N/m 。 (三)导线的自重和冰重单位总荷载

p 3 =p 1 +p 2 (2-1-7) 式中 p 3—导线自重和冰重总单位荷载,N/m 。

(四)无冰时导线风压单位荷载 基本风速情况 2

204sin 1600

sc z dV p αμμθ=

(2-1-8)

其它情况 2

41600

sc dV p αμ= (2-1-9)

式中 α—风速不均匀系数,也称档距系数,采用表2-1-1 所列数值;

表2-1-1 各种风速V 下的风速不均匀系数α

V ( m/

s)

V <20 20≤V <27

27≤V <31.5 V >31.

5 α

1.0

0.85

0.75

0.70

V 0—离地面或水面10m 处的基本风速,m/s ; V —设计风速,m/s ; d —导线直径,mm ;

μsc —风载体型系数,当导线直径d <17 mm 时、μsc =1.2, d ≥17 mm 时、μsc =1.1; μz —风压高度变化系数,按地面粗糙度类别用指数公式计算:

A 类指近海海面、海岛、海岸、湖岸及沙漠地区,μz =0.794Z 0.24

,且1.00≤μz ≤3.12;

B 类指田野、乡村、丛林、丘陵以及房屋比较稀疏的乡镇和城市郊区,μz =0. 478Z 0.32

,且1.00≤μz

≤3.12;C 类指有密集建筑群的城市市区,μz =0.2235Z 0.44

,且0.74≤μz ≤3.12;

D 类指有密集建筑群且房屋较高的城市市区,μz =0.08Z 0.60

,且0.62≤μz ≤3.12。 Z 为离地面或水面的平均高度(m):一般500~750 kV 输电线路取离地面20m ,330kV 及以下输电线路取

离地面15m ,10kV 及以下配电线路取离地面10m ;大跨越根据实际情况确定。

θ—风向与架空线轴线间的夹角,计算导线基本风速情况取90°,计算杆塔受力按规范取值; p 4—无冰时导线风压单位荷载,N/m 。 (五)覆冰时导线风压单位荷载

2sc 5(2)1600

a b d V p μ+=

(2-1-10) 式中 μsc —风载体型系数,取μsc =1.2;

p 5—覆冰时导线风压单位荷载,N/m 。

(六)无冰有风时的综合单位荷载

22

614

p p p =

+ (2-1-11) 式中 p 6—无冰有风时的综合单位荷载,N/m 。

(七)有冰有风时的综合荷载

22

735

p p p =

+ (2-1-12) 式中 p 7—有冰有风时的综合单位荷载,N/m 。

第二节 导线的最大使用张力和平均运行张力

一、导线的最大使用张力

导线机械强度允许的最大张力称为最大许用张力,用[T ]表示。架空送电线路设计技术规程规定,导线和地线的设计安全系数不应小于2.5,考虑接头等降低导线强度的因素,导线的计算最大许用张力为

0.95[] 2.5 2.5p ps

T T T ==

(2-2-1) 式中 [T ]—导线弧垂最低点的计算最大许用张力,N ;

T p —导线的计算拉断力,N ;

T ps =0.95T p —导线的设计破坏张力,N ; 2.5—导线的最小安全系数;

0.95—考虑导线接头等强度降低的因数。

设计时所取定的最大张力气象条件时导线张力的最大使用值称为最大使用张力,用T max 表示,即

max 0.95p PS

c c

T T T k k ==

(2-2-2)

式中 T max —导线最低点的最大使用张力,N ;

k c —导线强度安全系数。 三、导线的平均运行张力

为了满足耐振的要求,在年平均气温条件下,导线的张力不得大于平均运行张力。

%cp PS T T x =? (2-2-3)

式中 T cp —导线的平均运行张力,N ;

x %—根据防振措施确定的百分比,如表2-2-1。

表2-2-1 架空输电线路的导线和地线的年平均运行张力上限和防振措施

第三节 导线张力弧垂的精确计算

一、导线的悬链线解析方程式

架空线导线悬挂点A 、B 间的距离与线径之比是很大的,在正常运行时荷载也基本上是沿线分布的,其悬挂形状可以认为是一条悬链线。一般都把导线的悬链线解析方程式作为精确计算导线的弧垂和张力的基础公式。取坐标如图2-3-1,以弧垂最低点为坐标原点,在线上取长度元dL ,在dL 上作用着荷载dp =pdL (p 为单位长的荷载),在dL 的两端分别作用着张力T 1和T 0,导线处于平衡状态时,T 1和T 的水平分力T 0的代数和为0,而T 1的垂直分力T 0tan(α+d α)等于T 的垂直分力T 0 tan

α与荷载pdL 之和,如图2-3-1右图所示。 图2-3-1 导线张力弧垂计算示意图

在图2-5中,l 是相邻杆塔导线悬挂点之间的水平距离,称为档距。h 是相邻杆塔导线悬挂点之间的垂直距离,称为悬挂点高差。f x 是导线悬挂曲线上任一点至两悬点连线的铅垂距离,称为该点弧垂。常用

x f 表示。f m 是悬挂点A 、B 的连线至导线的最大铅垂距离,称为导线的最大弧垂。档距中点l /2处至悬挂点A 、B 两点连线的铅垂距离,称为档距中央弧垂,常用f 表示,其与f m 的差值很小,故一般都不计算

f m 。

通过理论分析,可得在所取坐标条件下的悬链线方程式为

111ch2(ch21)222y kx kx k k k

=-=- (2-3-1)

导线在悬挂点的悬垂角(倾斜角)

122tan [ch ()sh ]sh A kh

kl kh kl kl

θ-=-+ (2-3-2) 122tan [

ch ()sh ]sh B kh

kl kh kl kl

θ-=++ (2-3-3) 情 况 防 振 措 施

年平均运行张力上限(瞬时破坏应力%) 钢芯铝绞线

钢绞线 档距不超过500m 的开阔地区 不需要 16 12 档距不超过500m 的非开阔地区

不需要 18 18 档距不超过120m 不需要 18 18 不论档距大小 护线条

22 — 不论档距大小

防振锤(阻尼线)或另加护线

25

25

二、导线的张力、弧垂与线长 导线上任意一点的张力

00(ch21)2p T T kx T py k

=+-=+ (2-3-4)

在悬挂点A 、B 的张力T A 、T B 分别为

2

02

()[1ch ]sh A kh T T kl kh kl

=+- 2

02()[1ch ]sh B kh T T kl kh kl

=++ (2-3-5)

导线上任意一点的弧垂

2

12

11()ch2sh 1ch 22sh 2sh x h h kh kh f x kx kl l k kl kl k kl

-=--++ (2-3-6) 档距中点的弧垂

2

20222

00

1()()1(ch 1)1(ch

1)2sh 24sh 2T kh ph pl

f kl pl

k

kl p

T T T =

+-=+- (2-3-7) 导线最低点至悬挂点的高差称为水平弧垂。在悬挂点不等高时一个档距内有两个水平弧垂,如图2-3-1所示。需要特别注意的是,在高差角很大时,弧垂最低点在档距以外,甚至两个水平弧垂都大于中点弧垂。在山区有连续倾斜档时就可能出现这种情况。

2202220

01()()[11][11]2sh 22

4sh 2A T kh h ph h f f f pl k kl p T T =++--=++--

(2-3-8)

2202

220

1()()[11][11]2sh 22

4sh 2B T kh h ph h

f f f pl k kl p T T =++-+=++-+ (2-3-9) 在校验交叉跨越的垂直距离时,一般是测得交叉跨越点至杆塔的水平距离如图2-3-1中的l a 和l b ,这时导线在交叉跨越点的弧垂

22

sh ()1()1[ch ch ()][]2sh 2sh a b a b x a b l l k l l kh h f kl k l l k kl l kl --=+--+-

20

22

0000

()

sh

()2()1[ch

ch ][]2224sh sh 22a b a b a b p l l T p l l l l T ph pl

h pl pl p

T T l

T T T ---=+-+- (2-3-10) 导线的线长。导线在一个档距内的长度

222200

21sh sh 2T pl L h kl h k p T =+=+ (2-3-11)

三、导线的允许档距和允许高差

按我国现行技术规程规定,导线弧垂最低点张力设计安全系数k c 不应小于2.5和最高悬挂点的设计安全系数不应小于2.25,可以推得档距一定时的允许高差h M 和高差一定时的允许档距l M

11001[ch(2ch )][ch(ch )]2 2.25 2.25 2.25 2.25

c c c c M k k T k k pl

h kl k p T --=--=-- (2-3-12)

111[ch (2)ch ]2 2.25 2.25c c M k k l kh k --=

-+1100[()]2.25 2.25

c c T k k ph ch ch p T --=-+ (2-3-13) 四、导线悬挂点等高时的张力弧垂计算

前面就一般情况讨论了导线的张力与弧垂等问题,导线悬挂点等高是其h =0的特殊情况。

在上列各式中代入h =0,就得到这种情况下的下列相应公式。

悬挂点的悬垂角 110tan sh tan sh 2pl kl T θ--== (2-3-14)

任意一点的张力 000

ch2ch px T T kx T T == (2-3-15)

悬挂点的张力 000ch ch 2A B pl T T T kl T T === (2-3-16)

任意一点的弧垂 0001(ch ch2)(ch ch )22x T pl px f kl kx k p T T =-=- (2-3-17)

中点弧垂 001(ch 1)(ch 1)22T pl f kl k p T =-=- (2-3-18)

导线在交叉跨越点的弧垂000()1[ch ch ()][ch ch ]222a b x a b T p l l pl f kl k l l k p T T -=--=- (2-3-19)

线长 0021sh sh 2T pl L kl k p T == (2-3-20)

允许档距 11021ch 0.44ch 0.44M c c T l k k k p --== (2-3-21) 五、架空线的等效张力(平均张力)

架空线一档内各点的轴向张力T x 是不同的,因此沿档内各微段长度上的弹性应变量也不相同,全档导线各点不同张力下产生的全部弹性伸长,通常用一个产生全部弹性伸长的等效张力或平均张力T av 来计算。该张力的大小为各点张力沿线长积分被线长除后所得的平均值,其算式为

10011= [+sh2ch2sh ]22k sh L av x T kh T T dL l kl L L kl

-=

? 20

02022000

02{sh [1]}

22(sh )2(sh )

22T T pl h l T pl p T T pl h p T p T =+++ (2-3-22)

式中 p —导线的单位荷载,N/m ;

T 0—导线的水平张力,N ; T —导线各点的张力,N ;

k —导线的计算因数,1/m ,k=p /2T 0 ; l —档距,m ;

l a 、l b —交叉跨越点至前后杆塔导线悬挂点的水平距离,m ; h —悬挂点高差,m ; f —档距中点弧垂,m ; L —导线的长度,m ;

x 、y —导线各点的横坐标和纵坐标,m ; T av —导线的等效张力,N 。

第四节 导线张力弧垂的近似计算

一、导线的抛物线解析方程式

仍取坐标如图2-3-1,由悬链线法所得各式直接求得下列近似公式:

导线的抛物线解析方程式 2

21(2)1=(1)222kx y kx k k

+-= (2-4-1) 导线在悬挂点的悬垂角

110=tan ()tan ()2A h h pl kl l l T θ---=- (2-4-2)

110

=tan (+)tan (+)2A h h pl kl l l T θ--= (2-4-3) 二、导线的张力、弧垂与线长

(一) 一般情况 导线上任意一点的张力

2

00(2)[1]2

kx T T T py =+=+ (2-4-4)

导线在悬挂点的张力

2222

2000[)1(1)]2cos 8cos 2

A T h k x p l ph T T kh l T ??=++-=+-

( (2-4-5) 22222000[)1(1)+]+

2cos 8cos 2

B T h k x p l ph T T kh l T ??=++=+( (2-4-6)

导线的等效张力

2202T = {+}2av T L h l l L l +2222222

000002

01(cos )22cos cos 24T T T l L h L L L p l T T L l L l l T ???

+++=≈=≈+≈ (2-4-7) 导线上任意一点的弧垂

2

222222111(12)()1(1)2222

x h h h f x k x k l l k kl k l =-+-+++

22202001(1)8cos cos 2T pl h p h x x T p T l l

??=+---+ (2-4-8)

导线在档距中点的弧垂

22222011()1(11)224cos 8cos h kl pl f k l k l T ??

=++-==

(2-4-9) 导线的水平弧垂

2221cos 1[()11](1)222cos cos 2

A h h l h f f f k l kl ???=++--=+--

222111(1)()8cos cos 28cos 2

cos l h l h f f f f ????=+--=+-- (2-4-10)

222

21()11[11]()228cos 2

cos B kh h l h

f f f k f sh kl ??=++-+=+-- (2-4-11) 导线在交叉跨越点的弧垂

2

201cos 2cos a b a b x a b kl l pl l h f k l l T l

??=+==

(2-4-12) 导线在一个档距内的长度

23

232

01cos cos cos 6cos 24l l p l L k l T ????=+=+ (2-4-13) (二) 悬挂点等高

使一般情况的公式中的cos ?=1和0h =就得悬挂点等高的计算公式:

导线在悬挂点的张力 20014A B T T T kpl T pf ==+=+ (2-4-14)

导线上任意一点的弧垂 221()()422

x a b l l f kl kx f y k x x kl l =-=-=+-= (2-4-15)

导线在交叉跨越点的弧垂 0

2a b x a b pl l f kl l T == (2-4-16)

导线的水平弧垂即在档距中点的弧垂 2

20148A B pl f f f kl T ==== (2-4-17)

导线在一个档距内的长度 23

232

01624p l L l k l l T =+=+ (2-4-18)

将 2

8pl f T =代入式(2-4-18)还可得 283f L l l =+ (2-4-19)

式中 p —导线的单位荷载,N/m ;

T 0—导线的水平张力,N ; T —导线各点的张力,N ;

k —导线的计算因数,1/m ,k=p /2T 0; l —档距,m ;

l a 、l b —交叉跨越点至前后杆塔导线悬挂点的水平距离,m ; h —悬挂点高差,m ; f —档距中点弧垂,m ; L —导线的长度,m ;

x 、y —导线各点的横坐标和纵坐标,m ; φ—悬挂点的高差角,φ=tan -1 (h/l ) 。

第五节 水平档距和垂直档距

一、水平档距和水平荷载

如图2-5-1所示,取档距编号与右侧杆塔编号相同。则第i 基杆塔的水平档距和水平荷载为

图2-5-1 水平档距与垂直档距

水平档距 2222111()2hi i i i i l l h l h ++=+++ (2-5-1)

无冰时水平荷载 P i =p 4l h i (2-5-2) 覆冰时水平荷载 P i =p 5l h i (2-5-3) 式中p 4—无冰时导线上的风压单位荷载, N/m ;

p 5—覆冰时导线上的风压单位荷载, N/m ; l h i —杆塔的水平档距,m ;

l i 、l i +1—计算杆塔前后两侧档距,m ;

h i 、h i +1—计算杆塔导线悬挂点与前后两侧导线悬挂点间高差,m ,其值为大号侧悬挂点标高减小号侧

悬挂点标高,m 。

P i —导线传递给杆塔的风压荷载,N 。 二、垂直档距和垂直荷载

如图2-5-1所示,取档距编号与右侧杆塔编号相同。则第i 基杆塔的垂直档距和垂直荷载为

0(1)110111

1()()22i i i i i i vi hi h i i i i i i T h h h T h l l l k l k l p l l ++++++=+-=+- (2-5-4)

G i =pl vi +pl v (i +1)=p (l vi +l v (i +1))=pl vi (2-5-5)

式中 G i —导线传递给杆塔的垂直荷载,N ;

p —计算气象条件时导线的垂直单位荷载(无冰为p 1,覆冰取p 3),N/m ; l vi 、l vi+1—分别为计算杆塔的一侧垂直档距分量,m ; l vi —计算杆塔的垂直档距,m 。

T 0i 、T 0(i +1)—分别为计算杆塔两侧导线的水平张力,N ;

k i 、k i +1—分别为计算杆塔两侧导线的计算因数,k i =p /(2T 0i )、k i +1=p /(2T 0(i +1)),1/m ; 当 T 0i =T 0(i +1)=T 0时,k i =k i +1=k = p /(2T 0)。

垂直档距是随气象条件变化的,所以对同一悬点,所受垂直力的大小是变化的,甚至可能在某一气象条件受下压力作用,而当气象条件变化至另一气象条件则受上拔力作用。

第六节 导线的状态方程式

一、孤立档的状态方程式

不考虑绝缘子串的影响时,导线的斜抛物线状态方程式为

22223

322

cos cos ()cos 2424n m n m n m n m

p EAl p EAl T T EA t t T T ??α?-=--- (2-6-1) 或 2222

33232

[cos ()cos ]cos 02424m n n m n m n m

p EAl p EAl T T EA t t T T ?α??-----= (2-6-1)

令 22

32

cos ()cos 24m m n m m

p EAl a T EA t t T ?α?=---, 223cos 24n p EAl b ?=

得 T n 3-aT n 2-b =0 (2-6-3)

式(2-6-3)可以用下列公式直接求得正实数根: 令 32712b D a =+ (2-6-4)

13

11

ch 0 [12ch()]

33

0 ch ()

0, -1 {12ch[]}33cos ()0, -1 {12cos[]}33n n n n a D

a T a T b

a D a D T a D a D T ---?

>=+??

?==??-<>=-?

?

?

-<≤=-?

?

当时,当时,当且时,当且时, (2-6-5) 公式(2-6-5)有四种条件,用Excel 程序计算张力时,可以采用条件语句IF 按照式(2-6-5)输入

公式,在实际的工程计算中,不会出现a =0的情况,因此,其输入公式为

=IF(a >0,a /3*(1+2*COSH(ACOSH(D )/3)),IF(a <0, IF(D <-1,a /3*(1-2*COSH(ACOSH(-D )/3)),

IF(D >=-1,a /3*(1-2*COS(ACOS(-D )/3)))))) 悬挂点等高时,cos φ=1,由式(2-6-1)可得

2222

22

()2424n m n m n m n m

p EAl p EAl T T EA t t T T α-=--- (2-6-6) 令22

2

()24m m n m m

p EAl a T EA t t T α=---,2224n p EAl b =即可化为式(2-6-3)的形式求解。

式中 p m 、p n —分别为初始气象条件和待求气象条件下的单位荷载,N/m ;

t m 、t n —分别为初始气象条件和待求气象条件下的温度,℃; T m —在温度t m 和单位荷载p m 时的张力,N ; T n —在温度t n 和单位荷载p n 时的张力,N ;

k m —在温度t m 和单位荷载p m 时的计算因数,1/m ,k m =p m /2T m ; k n —在温度t n 和单位荷载p n 时的计算因数,1/m ,k n =p n /2T n ; α—导线的热膨胀系数,1/℃; E —导线的弹性系数,N/mm 2; A —导线的截面积,mm 2; l —档距,m ;

h —悬挂点高差,m ; φ—悬挂点的高差角,1tan h l

?-= 。

二、连续档的状态方程式和代表档距

在线路工程中,一个耐张段常包含若干档距l 1、l 2…l n ,各档距的高差角分别为?1、?2…?n 。张力与

档距大小有关,由于档距不同,当气象条件变化时,直线杆塔上的悬垂绝缘子串将向张力大的一侧档距偏斜,直到悬挂点两侧的张力相等为止。此时,其状态方程式为

22223

322

cos cos ()cos 2424n D m D n D m D n m D n m

p EAl p EAl T T EA t t T T ??α?-=--- (2-6-7) 或 2222

3

3232

[cos ()cos ]cos 02424m D n D n

m D n m D n D m

p EAl p EAl T T EA t t T T ?α??-----= (2-6-8) 式中 2

1

1cos /cos cos n

n

i i

D i i i i

l l ???===∑

∑ (2-6-9) 33/2

1

1

1cos cos (cos )

n

n

i

D i i

i i i

D l l l

??

?===

∑∑ (2-6-10)

式(2-6-7)和(2-6-8)即是一个耐张段连续档的斜抛物线状态方程式。式中l D 为该耐张段的代表档距,?D 为该耐张段的代表高差角。代表档距即是与耐张段张力变化情况等价的孤立档距。

令 22

32

cos ()cos 24m D m D n m D m

p EAl a T EA t t T ?α?=---,223cos 24n D D p EAl b ?=, 得 T n 3-a T n 2-b =0 ,其形式及解法均同式(2-6-3)。

在工程计算中,除了大档距和大高差的情况外,计算张力弧垂曲线和安装曲线中的张力时,常忽略代表高差角而用如下形式的连续档状态方程式

222222()2424n D m D n m n m n m p EAl p EAl T T EA t t T T α-=--- (2-6-11) 式中 3

1

1

cos cos n

n

i

D i i

i i i

l l l

??

===

∑∑ (2-6-12)

令22

2

()24m D m n m m

p EAl a T EA t t T α=---,2224n D p EAl b =即可化为式(2-6-3)的形式求解。 第七节 临 界 档 距

导线的张力是随档距和气象条件而变化的。在设计时,计算导线的控制张力有两个,一是在任何气象

条件下,导线的张力不得大于最大使用张力,二是为了满足耐振的要求,在年平均气温条件下,导线的张力不得大于平均运行张力。导线的控制张力和出现控制张力的气象条件总称为控制条件。控制条件随档距而变化。当大于某一档距范围时,由一种情况控制,当小于该档距范围时,则由另一种情况控制,其间就

有一个档距,两种情况都是控制条件,这一档距就称为临界档距。

计算导线张力时的控制条件一般有以下几种情况:1. 最大使用张力和最低温度时;2. 最大使用张力和最大风速时;3. 最大使用张力和覆冰时;4. 年平均运行张力和年平均气温时。

因为控制条件的p m 、p n 、T m 、T n 、t m 、t n 都是已知的,h 在施测和确定杆塔型式后成为已知条件,故可用状态方程式求临界档距l j 。

一、用斜抛物线状态方程式求临界档距

在式(2-6-1)中以m 和n 作为两种控制条件,可求出其临界档距为

22

6[cos ()]1cos ()cos n m n m j n m T T EA t t l EA k k α??

?-+-=

- (2-7-1)

当n m T T =时, 226()1cos ()

n m j n m t t l k k α?

-=

- (2-7-2) 不考虑悬挂点高差角φ的影响时,式(2-7-1)和(2-7-2)变为

22

6[()]()

n m n m j n m T T EA t t l EA k k α-+-=- (2-7-3)

当n m T T =时, 226()()

n m j n m t t l k k α-=- (2-7-4) 二、用临界档距判别控制条件所控制的档距范围 判别控制条件所控制的档距范围的程序如下: 1.计算k 值,按k 值由小到大给四种可能的控制情况以ABCD 的编号; 2. 列表如表2-7-1,计算各临界档距填入表中; 3. 从k 值最小的A 栏开始判别,若该栏有一个临界档距值为0或虚数,则该栏内无有效临界档距,即转B 栏进行判别,然后再对C 栏进行判别。若全栏无临界档距值为0或虚数,则选取该栏中最小的一个临界档距为第一个有效临界档

距,而舍弃该栏内的其他临界档距。这个临界档距就是A 条件控制档距范围的上限和第二个脚标字母代表的控制条件控制档距范围的下限。

4. 紧接着对所选得的第一个临界档距脚标第二个字母所代表的栏进行判别。如第一个有效临界档距为l AB ,则对B 栏进行判别,如第一个有效临界档距为l AC ,则对C 栏进行判别,这时B 栏被隔越,且B 栏的临界档距全部舍去。依此类推至判完C 栏。

通过上述临界档距的判断,最后得出一组有效临界档距,这些临界档距的注脚是依次连接的,将这些有效临界档距标在档距数轴上,即将数轴分成若干区间,这时可按有效临界档距注脚字母代表的控制情况确定每一个区间的控制条件。例如当有效临界档距为l AC 和l CD 时,其控制情况如图2-7-1所示。

若ABC 栏都无有效临界档距,则全以字母D 代表的条件控制。 图2-7-1

第八节 导线张力弧垂计算步骤

总结前述导线张力弧垂计算分析方法,导线张力弧垂计算的步骤大致如下: 1、查资料找出导线的相关数据,计算导线的最大使用张力和平均运行张力; 2、根据线路通过地区气象站的记录或已有资料,确定设计气象条件; 3、计算悬挂点高差;

4、计算高差角余弦、代表档距;

5、根据气象条件和导线相关数据计算单位荷载;

表2-7-1临界档距判别

表 A B C l AB l BC l CD l AC l BD l AD

6、计算控制条件的k 值并将k 值由小到大以A 、B 、C 、D 排序;

7、计算临界档距,判别控制条件和控制的档距范围;

8、计算各种气象条件下计算档距的张力和弧垂;

9、根据需要计算其它所需数据。 下面以例题说明。

【例2-8-1】某35kV 输电线路,导线为LGJ-95/20型,全国第II 气象区,地面粗糙度为B 类,安全系数k c =2.5,防振锤防振,年平均运行张力T cp =0.25T p 。线路中有一耐张段布置如图2-8-1,试求:(1)第二档中交叉跨越通信线的垂直距离能否满足要求?(2)各直线杆的最大、最小垂直档距?(3)#4杆的最大上拔力?

图2-8-1 例2-8-1耐张段布置图

解:1、查资料找出LGJ —95/20导线的相关数据, 计算导线的最大使用张力和平均运行张力: 表2-8-1 LGJ —95/20导线的物理特性和最大使用张力和平均运行张力计算表

项目

截面积

A (mm

2) 外径 d (mm)

质量 m 0 (kg/km)

拉断力

T p (N)

弹性系数

E (N/mm

2) 热膨胀系数 α(1/℃)

最大使用张力 T max (N)

平均运行张力

T cp (N)

计算公式 (查资料) (查资料) (查资料) (查资料) (查资料) (查资料) 0.95* T p /2.5

0.95* T p *0.25 数值

113.96

13.87

408.9

37200

76000

18.5*10-6

14136

8835

2、查资料找出全国第Ⅱ气象区与计算相关的数据如表2-8-2:

表2-8-2 气象条件表

气象条件

最高气温 最低气温 基本风速 年均气温 最大覆冰 气温t (℃) 40 -10 10 15 -5 风速V 0(m/s ) 0 0 27 0 10 覆冰厚度b (mm )

5

3、计算高差角余弦、代表高差角余弦、代表档距:

2-8-3 档号

1 2 3 4 5 6 ∑ l (m) 200 230 300 240 250 210 1430 h (m)

5

14

-22

16

-6

-6

cos φ

0.99969 0.99815 0.99732 0.99779 0.99971 0.99959

l 3

cos φ

7997501 12144522 26927692 13793382 15620502 9257222 85740821

l/cos

φ

200.06 230.43 300.81 240.53 250.07 210.09 1431.98

l/cos

200.13

230.85

301.61

241.07

250.14

210.17

1433.97 cos φD =∑ l/cos φ/∑l/cos φ^2

0.99861 l D (m)

=(∑l ^3*cos φ/∑l /cos φ)^0.5/ cos φD ^1.5

245.20

4、计算导线单位荷载:

表2-8-4

LGJ-95/20导线 单位荷载计算表

项目

数值 计算公式 千米质量m 0(kg/km) 408.9 (表2-20) 外径d (mm) 13.87 (表2-20) 冰厚b (mm)

5

(表2-21)

自重p1(N/m) 4.00994 =9.80665* m0/1000

冰重p2(5)(N/m) 2.61610 =9.80665*0.9*PI()*b*(b+d)/1000

自+冰p3(5)(N/m) 6.62604 =p1+ p2(5)

风压p4(27)(N/m) 6.48054 =0.75*1.2*d*0.479*15^0.32*27^2/160

风压p5(5。10)(N/m) 1.79025 =1.0*1.2*(2*b+d)*10^2/1600

综合p6(30)(N/m) 7.62083 =(p1^2+p4(30)^2)^0.5

综合p7(5,10)(N/m) 6.86363 =(p3(5)^2+p5(5,10)^2)^0.5

5、计算可能为控制条件的k值并将k值由小到大以A、B、C、D排序:

表2-8-5 可能控制条件单位荷载p(N/m)控制张力T(N)计算因数

k(1/m)

编号计算公式或来源表2-23 表2-20 p/2/T

最低气温 4.00994 14136 0.000141834 A 最大风速7.62083 14136 0.000269554 D 年均气温 4.00994 8835 0.000226935 B 最大覆冰 6.86363 14136 0.000242771 C

6、计算临界档距:

表2-8 -6

项目AB AC AD BC BD CD 计算公式A(mm2) 113.96 113.96 113.96 113.96 113.96 113.96

E(N/mm

2)

76000 76000 76000 76000 76000 76000

α(1/℃) 1.85E-05 1.85E-05 1.85E-05 1.85E-05 1.85E-05 1.85E-05

cosφD0.99861 0.99861 0.99861 0.99861 0.99861 0.99861

T a(N) 14136 14136 14136 8835 8835 14136

T b(N) 8835 14136 14136 14136 14136 14136

t a(℃)-10 -10 -10 15 15 -5

t b(℃)15 -5 10 -5 10 10

k a(1/m)

0.00014183

4

0.00014183

4

0.00014183

4

0.00022693

5

0.00022693

5

0.00024277

1

k b(1/m)

0.00022693

5

0.00024277

1

0.00026955

4

0.00024277

1

0.00026955

4

0.00026955

4

l j(m) 虚数119.73 205.84 443.27 384.68 348.83 注

注:=(6*(T a -T b–E*A*α* cosφD *(t b-t a))/(E*A* cosφD *(k a^2-k b^2)))^0.5/ cosφD

判别:因为A栏l jAB=虚数,故全栏无有效临界档距。

B栏l jBD<l jBC,故l jBD =384.68m为有效临界档距。C栏的l jCD

当l D≤384.68m时,由条件B即平均运行张力和年平均气温控制:T m= T cp =8835N,p m=4.0099N/m,t m=15℃。当l D≥384.68m时,由条件D即最大使用张力和基本风速控制:T m= T max =14136N,p m=8.0859N/m,t m=10℃。

7、用状态方程式求最大覆冰、最高气温和最低气温时的张力和计算因数k

2-8-7

项目最大覆冰最高气温最低气温计算公式l D(m)245.20 245.20 245.20

cosφD0.99861 0.99861 0.99861

A(mm2) 113.96 113.96 113.96

E(N/mm

2)

76000 76000 76000

α(1/℃) 1.85E-05 1.85E-05 1.85E-05

最新常见的勾股数组公式

常见的公法股数公式20161003整理 <一>、22n m a -=,mn b 2=,22n m c +=,)1(≥n m 证明:略 1)这是我见到的勾股数组公式中最全面的一组,但我不知道它是不是包含了所有的 勾股数组;(估计是包含了) 2)这组勾股数组经过一定的变换便可得到许多变式的勾股数组的公式; 3)此组中有不少是三个数有公约数的; 4)三个数中要么两奇数一偶数,要么三个都是偶数;(至少有一个偶数)

<二>、当第一组中的n=1时,有12-=m a ,m b 2=,12+=m c ,)1( m ,这说明它与第一组是特殊与一般的关系。 1)这组勾股数的b 是连续偶数; 2)b-a=2,即第三个数比第一个数大2; 3)此组中有不少是三个数有公约数的;

4)这组只是第一组中的n=1部分;它不包含第一组中的n=2、3、4、5……; 5) 如果我们对这一组再进行一些变形代换,还可以得到不同的勾股数组; <三>、当第一组中的n=m-1, 有1 2)1(22-=--=m m m a , m m m m b 22)1(22-=-=, 122)1(222+-=-+=m m m m c ,)1( m ,这说明它与第一组是是特殊与一般的 关系。

1)此组中的b 是4的倍数,且为4的1、3、6、……、2 ) 1(+k k 倍(k 是正整数); 2)此组中有b-c=1,即c 比b 大1; 3)此组中的a 是不小于3的连续奇数; <四>、当第一组 中的m=n+1时, 有1 2)1(22+=-+=m n n a , n n n n b 22)1(22+=+=, 122)1(222++=++=n n n n c ,)1(≥n ,这说明它与第一组是是特殊与一般的关 系。

Excel数组公式应用详解

Excel数组公式应用详解 一、什么是数组公式? 直接看微软的解释,也许并不是很容易理解,根据个人的理解,让其更直白一点,可以这样简单理解,引用了数组(可以是一个或多个数值,或是一组或多组数值),并在编辑栏可以看到以“{}”括起来的公式就是数组公式。而数组公式的作用就是对一组(单个数据可以看成是一组)、多组数据进行处理,然后得到想要的结果。 二、如何输入数组公式 既然数组公式是以“{}”括起来的,那是不是在编辑栏在公式的两端分别输入“{}”就可以了呢?答案是否定的,在Excel中要输入数组公式,必须以特定的方法来输入,算是告诉Excel,我们这里输入的是数组公式。 在某个单元格输入数组公式的方法如下: 1.在编辑栏输入完整的公式,并使编辑栏仍处在编辑状态; 2.按下Ctrl+Shift+Enter快捷键 经过以上两步操作以后,编辑栏会自动脱离编辑状态,并且选中单元格后,在编辑栏可以看到公式的两端有“{}”符号标记,而双击进入公式的编辑状态时,你会发现“{}”符号是不存在的。 三、数组公式有什么用? 这里做了一个类似微软官网上的例子,这里详细说明一下用法及好处。 以上面图片中的内容为例,假设我一共买了三支股票,其股份及买入价格分别如图中所示,现在我要计算我的总股本。

正常情况下我应该如何做?在B4输入“=B2*B3”,然后填充至D4单元格,这样B4、C4、D4就分别是每一支股票的股本了,然后在B5单元格再输入“=SUM(B4:D4)”,这样总股本就出来了。 上面的计算过程可以说一点问题没有,也绝对正确。但是试想一下,如果类似的数据有很多,如果不是计算我自己买的几支股票而是其他类似情况的数据处理的时候,采用上面的方法时,其工作量可想而知了。 我们再回到第一幅图中的公式“{=SUM(B2:D2*B3*D3}”,此公式便是一个典型的数组公式的应用,此公式的作用就是计算B2*B3、C2*C3以及D2*D3的和。而 B2:D2*B3*D3便是一个数组,其中包含三个元素,各元素的值就分别是各项的乘积。 为了更好的验证数组说法,分别在B4、C4、D4单元格中分别输入=B2*B3、=C2*C3、=D2*D3,B7、C7、D7单元格中全部输入=B2:D2*B3:D3,结果如下图所示。

贝叶斯公式的经验之谈

贝叶斯公式的经验之谈 一、综述 在日常生活中,我们会遇到许多由因求果的问题,也会遇到许多由果溯因的问题。比如某种传染疾病已经出现.寻找传染源;机械发生了故障,寻找故障源就是典型的南果溯因问题等。在一定条件下,这类由果溯因问题可通过贝叶斯公式来求解。以下从几个的例子来说明贝叶斯公式的应用。 文【1】主要应用贝叶斯公式的简单情形,从“疾病诊断”,“说谎了吗”,“企业资质评判”,“诉讼”四个方面讨论其具体应用。文【2】用市场预测的实例,介绍了贝叶斯公式在市场预测中的应用。贝叶斯市场预测能对信息的价值是否需要采集新的信息做出科学的判断。文【3】、文【4】介绍贝叶斯过滤技术的工作原理及技术原理,讨论了邮件过滤模块,通过分析研究该模块中垃圾邮件关键词的统计概率分布,提出了基于贝叶斯概率模型的邮件过滤算法,并对该算法的合理性和复杂度进行了分析。可以根据垃圾邮件内容的特征,建立贝叶斯概率模型,计算出一封邮件是垃圾邮件的概率,从而判断其是否为垃圾邮件。文【5】基于贝叶斯公式中概率统计的重要性与在日常生活中应用的广泛性,概述了贝叶斯统计的基本思想及其与其他统计学派的争论,并对作为贝叶斯统计基石的贝叶斯公式进行了归纳。 二.内容 1.疾病诊断. 资料显示, 某项艾滋病血液检测的灵敏度( 即真有病的人检查为阳性) 为95%, 而对没有得病的人,种检测的准确率( 即没有病的人检查为阴性) 为99%. 美国是一个艾滋病比较流行的国家, 估计大约有千分之一的人患有这种病. 为了能有效地控制、减缓艾滋病的传播, 几年前有人建议对申请新婚登记的新婚夫妇进行这种血液检查. 该计划提出后, 征询专家意见, 遭到专家的强烈反对, 计划

等额本息和等额本金计算公式

等额本息和等额本金计算公式 等额本金: 本金还款和利息还款: 月还款额=当月本金还款+当月利息式1 其中本金还款是真正偿还贷款的。每月还款之后,贷款的剩余本金就相应减少: 当月剩余本金=上月剩余本金-当月本金还款 直到最后一个月,全部本金偿还完毕。 利息还款是用来偿还剩余本金在本月所产生的利息的。每月还款中必须将本月本金所产生的利息付清: 当月利息=上月剩余本金×月利率式2 其中月利率=年利率÷12。据传工商银行等某些银行在进行本金等额还款的计算方法中,月利率用了一个挺孙子的算法,这里暂且不提。 由上面利息偿还公式中可见,月利息是与上月剩余本金成正比的,由于在贷款初期,剩余本金较多,所以可见,贷款初期每月的利息较多,月还款额中偿还利息的份额较重。随着还款次数的增多,剩余本金将逐渐减少,月还款的利息也相应减少,直到最后一个月,本金全部还清,利息付最后一次,下个月将既无本金又无利息,至此,全部贷款偿还完毕。 两种贷款的偿还原理就如上所述。上述两个公式是月还款的基本公式,其他公式都可由此导出。下面我们就基于这两个公式推导一下两种还款方式的具体计算公式。 1. 等额本金还款方式 等额本金还款方式比较简单。顾名思义,这种方式下,每次还款的本金还款数是一样的。因此: 当月本金还款=总贷款数÷还款次数 当月利息=上月剩余本金×月利率 =总贷款数×(1-(还款月数-1)÷还款次数)×月利率

当月月还款额=当月本金还款+当月利息 =总贷款数×(1÷还款次数+(1-(还款月数-1)÷还款次数)×月利率) 总利息=所有利息之和 =总贷款数×月利率×(还款次数-(1+2+3+。。。+还款次数-1)÷还款次数) 其中1+2+3+…+还款次数-1是一个等差数列,其和为(1+还款次数-1)×(还款次数-1)/2=还款次数×(还款次数-1)/2 :总利息=总贷款数×月利率×(还款次数+1)÷2 由于等额本金还款每个月的本金还款额是固定的,而每月的利息是递减的,因此,等额本金还款每个月的还款额是不一样的。开始还得多,而后逐月递减。 等额本息还款方式: 等额本金还款,顾名思义就是每个月的还款额是固定的。由于还款利息是逐月减少的,因此反过来说,每月还款中的本金还款额是逐月增加的。 首先,我们先进行一番设定: 设:总贷款额=A 还款次数=B 还款月利率=C 月还款额=X 当月本金还款=Yn(n=还款月数) 先说第一个月,当月本金为全部贷款额=A,因此: 第一个月的利息=A×C 第一个月的本金还款额 Y1=X-第一个月的利息

Excel数组公式实现条件统计

Excel 公式函数学习宝典 Excel数组公式实现条件统计 [文章信息] 作者: 陈秀峰原创 时间: 2004-11-30 出处: 天极网 责任编辑: Shiny [文章导读] 分男、女组统计学生每次考试成绩的最高(低)分、平均分、总分等,这种统计可以用数组公式来实现…… 前两天遇到一位教师朋友,他向我请教一个问题:学校为了研究男生和女生在学习上是否存在差别,在初二年级随机选定了100名学生(男生、女生各50名)作为研究对象,分男、女组统计他们每次考试成绩的最高(低)分、平均分、总分等,成绩表是用Excel制作的(如图1)。其实这种统计可以用数组公式来实现。 1、启动Excel2003(其他版本操作相似),打开成绩表。 2、在表格的下部,依照图2的样式,制作保存统计结果的表格。

Excel 公式函数学习宝典 3、选中D104单元格,输入公式:=MAX(IF($C$3:$C$102=$C104,D$3:D$102)),输入完成后,按下“Ctrl+Shift+Enter”组合键对公式进行确认。 注意:我们这里输入的是一个数组公式,数组公式输入完成后,不能直接按“Enter”键进行确认,必须按“Ctrl+Shift+Enter”组合键进行确认。数组公式被确认后,会在公式两端出现数组公式的标志符号——一对大括号{}(如图3)。 4、再次选中D104单元格,将鼠标移至该单元格右下角成细十字线状(填充柄)时,按住左键向下拖拉至D111单元格中。

Excel 公式函数学习宝典 5、然后将D106与D107、D108与D109、D110与D111单元格中第一个函数名称(MAX)分别修改为“MIN、AVERAGE、SUM”,每个公式修改完成后,均需要按“Ctrl+Shift+Enter”组合键进行确认。 注意:统计最高分也可以用下述数组公式:=MAX(($C$3:$C$102=$C104)*(D$3:D$102))(D104单元格); 统计总分也可以用下述数组公式:=SUM(($C$3:$C$102=$C110)*(D$3:D$102))(D110单元格),或者用非数组公式:=SUMIF($C$3:$C$102,$C111,D$3:D$102)(D111单元格)。 6、同时选中D104至D111单元格,用“填充柄”将上述公式拖拉复制至E104至K111单元 格区域中,所有统计数据即刻呈现在我们面前(参见图2)。

Excel中数组函数的运用(excel函数)

Excel中数组公式非常有用,尤其在不能使用工作表函数直接得到结果时,数组公式显得特别重要,它可建立产生多值或对一组值而不是单个值进行操作的公式。 输入数组公式首先必须选择用来存放结果的单元格区域(可以是一个单元格),在编辑栏输入公式,然后按Ctrl+Shift+Enter组合键锁定数组公式,Excel将在公式两边自动加上花括号“{}”。注意:不要自己键入花括号,否则,Excel认为输入的是一个正文标签。 编辑或删除数组公式编辑数组公式时,须选取数组区域并且激活编辑栏,公式两边的花括号将消失,然后编辑公式,最后按Ctrl+Shift+Enter键。选取数组公式所占有的区域后,按Delete键即可删除数组公式。 下面介绍几个使用数组公式的例子。 1、有如图所示的工作表,需分别计算出两个班的男女生人数。 单元格B22中的公式为:=SUM((A2:A20="一1班")*(D2:D20="男")),再按Ctrl+Shift+Enter键。这个数组公式创建了一个条件求和,若在A2:A20中出现值“一1班”,则返回一个逻辑值“true”,值为“1”,若D2:D20中出现值“男”,也返回一个逻辑值“true”,值为“1”,则数组公式将与其相对

应的值相乘并累加,若是1*1=1,则加1,若是其他就返回1*0=0或是0*1=0,则累加零。(虽然数组A2:A20和D2:D20均在工作表中,但其相乘的数组A2:A20和D2:D20不在工作表中,因此必须使用数组公式)。 求女生一1班的女生人数也是一样,把公式改为:=SUM((A2:A20="一1班")*(D2:D20="女")),当然,要是求一2班或是其它班级的男女生数也是一样的道理,请大家自己领会。 2、在统计考试成绩的时候,有可能要统计出90—100分、80—89分、70—79分等各分数段的人数,并计算出占班级人数的百分比,这时也要利用数组公式更方便。同样以下面的工作表作为例子:要求出分数在70—80分之间的人数。 在B24中输入一个数组公式:=SUM((E2:E20>=70)*(E2:E20<=80)) ,再按Ctrl+Shift+Enter键。这个数组公式也创建一个条件求和,若是E2:E20当中的成绩>=70并且E2:E20当中的成绩<=80,返回1*1=1,sum就累加1,反之1*0=0或是0*1=0,就累加0。如图:

贝叶斯公式应用案例

贝叶斯公式应用案例 贝叶斯公式的定义是: 若事件B1 ,B2 , …,Bn 是样本空间Ψ的一个划分, P(B i)>0 (i =1 ,2 , …, n ),A 是任一事件且P(A)>0 , 则有 P(B|A)= P(B j )P(A| B j ) / P(A) (j =1 ,2 , …, n ) 其中, P(A)可由全概率公式得到.即 n P(A)=∑P(B i)P(A|B i) i =1 在我们平时工作中,对于贝叶斯公式的实际运用在零件质量检测中有所体现。 假设某零件的次品率为0.1%,而现有的检测手段灵敏度为95%(即发现零件确实为次品的概率为95%),将好零件误判为次品零件的概率为1%。此时假如对零件进行随机抽样检查,检测结果显示该零件为次品。对我们来说,我们所要求的实际有用的检测结果,应当是仪器在检测次品后显示该零件为次品的几率。 现在让我们用贝叶斯公式分析一下该情况。 假设,A=【检查为次品】,B=【零件为次品】,即我们需要求得的概率为P(B|A) 则实际次品的概率P(B)=0.1%, 已知零件为次品的前提下显示该零件为次品的概率P(A|B)= 95%, P(B)=1-0.001=0.999 所以,P(A)=0.001X0.95+0.999X0.01=0.01094 P(B|A)=P(B)P(A|B)/P(A)=0.1%*95%/0.01094=0.0868 即仪器实际辨别出该次品并且实际显示该零件为次品的概率仅为8.68%。 这个数字看来非常荒谬且不切合实际,因为这样的结果告诉我们现有对于次品零件的检测手段极其不靠谱,误判的概率极大。 仔细分析,主要原因是由于实际零件的次品率很低,即实际送来的零件中绝大部分都是没有质量问题的,也就是说,1000个零件中,只有1个零件是次品,但是在检测中我们可以看到,仪器显示这1000个零件中存在着10.94个次品(1000*0.01094),结果相差了10倍。所以,这就告诉我们,在实际生产制造过程中,当一个零件被检测出是次品后,必须要通过再一次的复检,才能大概率确定该零件为次品。 假设,两次检测的准确率相同,令 A=【零件为次品】B=【第一次检测为次品】C=【第二次检测为次品】 则为了确定零件为次品,我们所需要的是P(A|BC)

房贷等额本息还款公式推导(详细)

等额本息还款公式推导 设贷款总额为A,银行月利率为β,总期数为m(个月),月还款额设为X,则各个月所欠银行贷款为: 第一个月A 第二个月A(1+β)-X 第三个月(A(1+β)-X)(1+β)-X=A(1+β)2-X[1+(1+β)]第四个月((A(1+β)-X)(1+β)-X)(1+β)-X =A(1+β)3-X[1+(1+β)+(1+β)2] … 由此可得第n个月后所欠银行贷款为 A(1+β)n –X[1+(1+β)+(1+β)2+…+(1+β)n-1]= A(1+β)n –X [(1+β)n-1]/β 由于还款总期数为m,也即第m月刚好还完银行所有贷款,因此有 A(1+β)m –X[(1+β)m-1]/β=0 由此求得

X = Aβ(1+β)m /[(1+β)m-1] ======================================================= ===== ◆关于A(1+β)n –X[1+(1+β)+(1+β)2+…+(1+β)n-1]= A(1+β)n –X[(1+β)n-1]/β的推导用了等比数列的求和公式 ◆1、(1+β)、(1+β)2、…、(1+β)n-1为等比数列 ◆关于等比数列的一些性质 (1)等比数列:An+1/An=q, n为自然数。 (2)通项公式:An=A1*q^(n-1); 推广式:An=Am·q^(n-m); (3)求和公式:Sn=nA1(q=1) Sn=[A1(1-q^n)]/(1-q) (4)性质: ①若m、n、p、q∈N,且m+n=p+q,则am·an=ap*aq; ②在等比数列中,依次每k项之和仍成等比数列. (5)“G是a、b的等比中项”“G^2=ab(G≠0)”. (6)在等比数列中,首项A1与公比q都不为零. ◆所以1+(1+β)+(1+β)2+…+(1+β)n-1 =[(1+β)n-1]/β 等额本金还款不同等额还款 问:等额本金还款是什么意思?与等额还款相比是否等额本金还款更省钱?

数组运算法则

认识一维数组和二维数组。理清概念很重要,不要混淆数组、数组公式。 第一,一维数组和二维数组的定义 单行或单列的数组,我们称为一维数组。 多行多列(含2行2列)的数组是二维数组。 第二,数组和数组公式的区别 数组,就是元素的集合,按行、列进行排列。 数组公式:就是包含有数组运算的公式。ctrl+shift+enter,三键结束,这个过程就是告诉excel请与数组运算的方式来处理本公式,反馈一个信息,就是在公式的外面添加一对花括号。 第三,一维数组和二维数组的运算规律 1、单值x与数组arry运算 执行x与arry中每一个元素分别运算并返回结果,也就是与arry本身行列、尺寸一样的结果。 比如:2*{1,2;3,4;5,6},执行2*1、2*2、2*3……2*6运算,并返回3行2列的二维数组结果{2,4;6,8;10,12},如下图所示: 数组中行和列分别用逗号、分号来间隔。逗号表示行,行之间的关系比较紧密,用逗号分割;列之间,关系相对比较疏远一点,用分号分割。 又比如:"A"&{"B","C"}返回{"AB","AC"}。"A"={"B","A","C"}返回{FALSE,TRUE,FALSE} 2、同向一维数组运算 执行arry1与arry2对应位置的元素分别运算并返回结果。要求arry1与arry2尺寸必须相同,否则多余部分返回#N/A错误。 比如: {1;2;3}*{4;5;6}返回{4;10;18}; {1,2,3,4}*{4,5,6}返回{4,10,18,#N/A},如下图所示: 3、异向一维数组运算 arry1的每一元素与arry2的每一元素分别运算并返回结果,得到两个数组的行数*列数个元素,也就是M行数组与N列数组运算结果为M*N的矩阵数组。 比如:{1;2;3}*{4,5,6,7,8},执行1*4、1*5、……1*8、2*4、2*5……3*8,返回{4,5,6,7,8;8,10,12,14,16;12,15,18,21,24}

彻底教会你使用Excel数组公式

彻底教会你使用Excel数组公式 Excel中函数、公式大家都非常熟了,但“数组公式”你是否听过、用过?什么是数组公式呢?根据微软官方给出的解释,数组公式:数组公式对一组或多组值执行多重计算,并返回一个或多个结果。 一、什么是数组公式? 直接看微软的解释,也许并不是很容易理解,根据个人的理解,让其更直白一点,可以这样简单理解,引用了数组(可以是一个或多个数值,或是一组或多组数值),并在编辑栏可以看到以“{}”括起来的公式就是数组公式。而数组公式的作用就是对一组(单个数据可以看成是一组)、多组数据进行处理,然后得到想要的结果。 二、如何输入数组公式 既然数组公式是以“{}”括起来的,那是不是在编辑栏在公式的两端分别输入“{}”就可以了呢?答案是否定的,在Excel中要输入数组公式,必须以特定的方法来输入,算是告诉Excel,我们这里输入的是数组公式。 在某个单元格输入数组公式的方法如下: 1.在编辑栏输入完整的公式,并使编辑栏仍处在编辑状态; 2.按下Ctrl+Shift+Enter快捷键 经过以上两步操作以后,编辑栏会自动脱离编辑状态,并且选中单元格后,在编辑栏可以看到公式的两端有“{}”符号标记,而双击进入公式的编辑状态时,你会发现“{}”符号是不存在的。 三、数组公式有什么用? 这里做了一个类似微软官网上的例子,这里详细说明一下用法及好处。

以上面图片中的内容为例,假设我一共买了三支股票,其股份及买入价格分别如图中所示,现在我要计算我的总股本。 正常情况下我应该如何做?在B4输入“=B2*B3”,然后填充至D4单元格,这样B4、C4、D4就分别是每一支股票的股本了,然后在B5单元格再输入“=SUM(B4:D4)”,这样总股本就出来了。 上面的计算过程可以说一点问题没有,也绝对正确。但是试想一下,如果类似的数据有很多,如果不是计算我自己买的几支股票而是其他类似情况的数据处理的时候,采用上面的方法时,其工作量可想而知了。 我们再回到第一幅图中的公式“{=SUM(B2:D2*B3*D3}”,此公式便是一个典型的数组公式的应用,此公式的作用就是计算B2*B3、C2*C3以及D2*D3的和。而 B2:D2*B3*D3便是一个数组,其中包含三个元素,各元素的值就分别是各项的乘积。 为了更好的验证数组说法,分别在B4、C4、D4单元格中分别输入=B2*B3、=C2*C3、=D2*D3,B7、C7、D7单元格中全部输入=B2:D2*B3:D3,结果如下图所示。

等额本息法及等额本金法两种计算公式.doc

精品文档 等本息法和等本金法的两种算公式 一: 按等额本金还款 法:贷款额为: a, 月利率为: i , 年利率为: I , 还款月数: n, an 第 n 个月贷款剩余本金: a1=a, a2=a-a/n, a3=a-2*a/n ...次类推 还款利息总和为Y 每月应还本金: a/n 每月应还利息: an*i 每期还款 a/n +an*i 支付利息 Y=( n+1)*a*i/2 还款总额 =( n+1)*a*i/2+a 等本金法的算等本金(减法):算公式: 每月本金=款÷期数 第一个月的月供 =每月本金+款×月利率 第二个月的月供 =每月本金+(款-已本金)×月利率 申10 万 10 年个人住房商性款,算每月的月供款?(月利率: 4.7925 ‰)算果: 每月本金: 100000÷120= 833 元 第一个月的月供:833+ 100000×4.7925 ‰=1312.3 元 第二个月的月供:833+( 100000- 833)×4.7925 ‰= 1308.3 元 如此推?? 二 : 按等本息款法:款 a,月利率 i ,年利率 I ,款月数n,每月款 b,款利息和 Y 1: I =12×i 2: Y=n×b- a 3:第一月款利息:a×i 第二月款利息:〔a-( b- a×i )〕×i =( a×i -b)×( 1+ i ) ^1 +b 第三月款利息:{ a-( b- a×i )-〔 b-( a×i - b)×( 1+ i ) ^1 -b〕}×i =( a×i -b)×( 1+i ) ^2 + b 第四月款利息:=( a×i - b)×( 1+ i ) ^3 + b 第 n 月款利息:=(a×i - b)×( 1+ i ) ^( n- 1)+ b 求以上和:Y=( a×i -b)×〔( 1+ i ) ^n- 1〕÷i + n×b 4:以上两Y 相等求得 月均款 :b = a×i ×( 1+ i ) ^n ÷〔( 1+ i )^n - 1〕 支付利息 :Y = n×a×i ×( 1+i ) ^n ÷〔( 1+ i ) ^n - 1〕- a 款 :n ×a×i ×( 1+ i )^n ÷〔( 1+ i ) ^n- 1〕 注:a^b 表示 a 的 b 次方。 等本息法的算 ----- 例如下: 如款 21 万, 20 年,月利率 3.465 ‰按照上 面的等本息公式算 月均款 :b = a×i ×( 1+ i ) ^n ÷〔( 1+ i )^n - 1〕即: =1290.11017 即每个月款1290 元。 。 1欢迎下载

贝叶斯定理及应用

贝叶斯定理及应用 中央民族大学 孙媛

一贝叶斯定理 一、贝叶斯定理 贝叶斯定理(Bayes‘ theorem)由英国数学家托马斯贝叶斯(Thomas Bayes) ·Thomas Bayes 在1763年发表的一篇论文中,首先提出了这个定理。用来描述两个条件概率之间的这个定理 关系,比如P(A|B) 和P(B|A)。

一、贝叶斯定理 一贝叶斯定理 所谓的贝叶斯定理源于他生前为解决一个“逆概”问题写的一篇文章,而这篇文章是在他死后才由他的一位朋友发表出来的。 在贝叶斯写这篇文章之前,人们已经能够计算“正向概率”,如假设袋子里面有N 个白球,M 个黑球,你伸手进去摸一如“假设袋子里面有N个白球M个黑球你伸手进去摸一把,摸出黑球的概率是多大”。而一个自然而然的问题是反过来:“如果我们事先并不知道袋子里面黑白球的比例,而是闭着眼睛摸出一个(或好几个)球,观察这些取出来的球的颜色之后,那么我们可以就此对袋子里面的黑白球的比例作出什么样的推测。这个问题,就是所谓的逆向概率问题。 样的推测”。这个问题就是所谓的逆向概率问题。

一、贝叶斯定理 一贝叶斯定理 ←实际上就是计算"条件概率"的公式。 p y, ←所谓"条件概率"(Conditional probability),就是指在事件B发生的情况下,事件A发生的概率,用P(A|B)来表示。 的先验概率之所以称为先验是因为它不考虑任何←P(A)是A的先验概率,之所以称为先验是因为它不考虑任何B 的因素。 ←P(A|B)是在B发生时A发生的条件概率,称作A的后验概率。←P(B)是B的先验概率。 ←P(B|A)是在A发生时B发生的条件概率,称作B的后验概率。

EXCEL中数组函数

EXCEL中数组函数 Excel中数组公式非常有用,尤其在不能使用工作表函数直接得到结果时,数组公式显得特别重要,它可建立产生多值或对一组值而不是单个值进行操作的公式。 输入数组公式首先必须选择用来存放结果的单元格区域(可以是一个单元格),在编辑栏输入公式,然后按Ctrl+Shift+Enter组合键锁定数组公式,Excel将在公式两边自动加上花括号“{}”。注意:不要自己键入花括号,否则,Excel认为输入的是一个正文标签。 编辑或删除数组公式编辑数组公式时,须选取数组区域并且激活编辑栏,公式两边的花括号将消失,然后编辑公式,最后按Ctrl+Shift+Enter键。选取数组公式所占有的区域后,按Delete键即可删除数组公式。下面介绍几个使用数组公式的例子。 1、有如图所示的工作表,需分别计算出两个班的男女生人数。 单元格B22中的公式为:=SUM((A2:A20="一1班")*(D2:D20="男")),再按Ctrl+Shift+Enter键。这个数组公式创建了一个条件求和,若在A2:A20中出现值“一1班”,则返回一个逻辑值“true”,值为“1”,若D2:D20中出现值“男”,也返回一个逻辑值“true”,值为“1”,则数组公式将与其相对应的值相乘并累加,若是1*1=1,则加1,若是其他就返回1*0=0或是0*1=0,则累加零。(虽然数组A2:A20和D2:D20均在工作表中,但其相乘的数组A2:A20和D2:D20不在工作表中,因此必须使用数组公式)。 求女生一1班的女生人数也是一样,把公式改为:=SUM((A2:A20="一1班")*(D2:D20="女")),当然,要是求一2班或是其它班级的男女生数也是一样的道理,请大家自己领会。

浅谈贝叶斯公式及其应用.

浅谈贝叶斯公式及其应用 摘要 贝叶斯公式是概率论中很重要的公式,在概率论的计算中起到很重要的作用。本文通过对贝叶斯公式进行分析研究,同时也探讨贝叶斯公式在医学、市场预测、信号估计、概率推理以及工厂产品检查等方面的一些实例,阐述了贝叶斯公式在医学、市场、信号估计、推理以及产品检查中的应用。为了解决更多的实际问题,我们对贝叶斯公式进行了推广,举例说明了推广后的公式在实际应用中所适用的概型比原来的公式更广。从而使我们更好地了解到贝叶斯公式存在于我们生活的各个方面、贝叶斯公式在我们的日常生活中非常重要。 关键词:贝叶斯公式应用概率推广

第一章引言 贝叶斯公式是概率论中重要的公式,主要用于计算比较复杂事件的概率,它实质上是加法公式和乘法公式的综合运用。贝叶斯公式出现于17世纪,从发现到现在,已经深入到科学与社会的许多个方面。它是在观察到事件B已发生的条件下,寻找导致B发生的每个原因的概率.贝叶斯公式在实际中生活中有广泛的应用,它可以帮助人们确定某结果(事件B)发生的最可能原因。 目前,社会在飞速发展,市场竞争日趋激烈,决策者必须综合考察已往的信息及现状从而作出综合判断,决策概率分析越来越显示其重要性。其中贝叶斯公式主要用于处理先验概率与后验概率,是进行决策的重要工具。 贝叶斯公式可以用来解决医学、市场预测、信号估计、概率推理以及产品检查等一系列不确定的问题。本文首先分析了贝叶斯公式的概念,再用贝叶斯公式来解决实际中的一些问题。然后将贝叶斯公式推广,举例说明推广后的贝叶斯公式在实际应用中所适用的概型。

第二章 叶斯公式的定义及其应用 2.1贝叶斯公式的定义 给出了事件B 随着两两互斥的事件12,,...,n A A A 中某一个出现而出现的概率。如果反 过来知道事件B 已出现,但不知道它由于12,,...,n A A A 中那一个事件出现而与之同时出现, 这样,便产生了在事件B 已经出现出现的条件下,求事件(1,2,...)i A i n =出现的条件概率的问题,解决这类问题有如下公式: 2.1.1定义 设12,...,n B B B 为Ω 的一个分割,即12,...,n B B B 互不相容,且 1n i i B ==Ω,如果 P( A ) > 0 ,()0i P B = (1,2,...,)i n = ,则1()(/) (/),1,2,...,()(/)i i i n j j j P B P A B P B A i n P B P A B ===∑。 证明 由条件概率的定义(所谓条件概率,它是指在某事件B 发生的条件下,求另一事件A 的概率,记为(/)P A B ) ()(/)() i i P AB P B A P A = 对上式的分子用乘法公式、分母用全概率公式, ()()(/)i i i P AB P B P A B = 1()()(/)n i i j P A P B P A B ==∑ 1()(/) (/),1,2,...,()(/)i i i n j j j P B P A B P B A i n P B P A B ===∑ 结论的证。

一起来认识数组公式(最基础)祥解

一起来认识数组公式(最基础) =======写在前面======= 如果你是用Excel的人,相信你对“公式”这个概念并不陌生。 可是,什么是数组公式? 如果你是初学Excel的人,如果你对数组公式还不知道是什么回事,如果你对数组公式感兴趣,那么你可以试着读一读此贴,也许对你认识什么是数组公式,并去用好它会有一点点帮助。 当然,这些只是一些最基础的知识,只是在你学习数组公式前帮助你练的一个基本功。希望对你有用,也希望大家在读贴的过程中能把自己的学习心得以及遇到的问题放出来,供大家一起学习。 第一部分:了解数组公式 在开始讲数组公式之前,我们先来认识几个必要的概念。 1、数组 什么是数组?仁者见仁,智者见智。 我个人的感觉是:数组是具有某种联系的多个元素的组合。某班级里有50个学生,这里,如果班级是数组,50个学生就是数组里的50个元素。当然,班级里的元素是可变的,可以是20个,可以是30个,也可以是60个。放到Excel里,班级就相当于工作表,而学生就相当于工作表里的单元格数值。所以,Excel 里的数组,我还把它理解是为多个单元格数值的组合。 2、公式 如果你在使用Excel,如果你说你还没听过“公式”这个名词,我只能说:“你太OUT了!” 什么是公式?我的理解是:在Excel里,凡是以半角符号“=”开始的、具有计算功能的单元格内容就是所谓的Excel公式。如:=SUM(B2:D2),=B2+C2+D2这些都是公式。 3、数组公式 数组公式是相对于普通公式而言的。普通公式(如上面的=SUM(B2:D2),=B2+C2+D2等),只占用一个单元格,只返回一个结果。 而数组公式可以占用一个单元格,也可以占用多个单元格。它对一组数或多组数进行多重计算,并返回一个或多个结果。 集合在教室外面的学生,老师把他们叫进教室。老师说:“第一组第一桌的同学进教室。”于是第一组第一桌的同学走进教室。老师接着叫:“第一组第二桌的同学进教室。”然后是第二桌的同学进教室。老师再叫:“第一组第三桌的同学进教室。”然后第三桌的同学走进教室。接着是第四桌,第五桌……,就这样一个学生一个学生的叫,这就是普通公式的做法,学生回到座位,就像数值回到工作表的单元格里,一个座位叫一次,就像一个单元格输入一个公式。 如果老师说:“第一组的全部进教室。”学生听到命令后,第一桌的同学走进去,然后是第二桌,第三桌……,老师不用再下第二个命令,这是数组公式的处理方法。 4、数组公式的标志 在Excel中数组公式的显示是用大括号对“{}”来括住以区分普通Excel公式。 如图: (1)数组公式: (2)普通公式: 输入数组公式:用Ctrl+Shift+Enter结束公式的输入。 特别提醒:这是最关键的,这相当于用户告诉Excel:“我不是一般人,爷我是数组公式,你得对我

贝叶斯公式的经验之谈

贝叶斯公式的经验之谈-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

贝叶斯公式的经验之谈 一、综述 在日常生活中,我们会遇到许多由因求果的问题,也会遇到许多由果溯因的问题。比如某种传染疾病已经出现.寻找传染源;机械发生了故障,寻找故障源就是典型的南果溯因问题等。在一定条件下,这类由果溯因问题可通过贝叶斯公式来求解。以下从几个的例子来说明贝叶斯公式的应用。 文【1】主要应用贝叶斯公式的简单情形,从“疾病诊断”,“说谎了吗”,“企业资质评判”,“诉讼”四个方面讨论其具体应用。文【2】用市场预测的实例,介绍了贝叶斯公式在市场预测中的应用。贝叶斯市场预测能对信息的价值是否需要采集新的信息做出科学的判断。文【3】、文【4】介绍贝叶斯过滤技术的工作原理及技术原理,讨论了邮件过滤模块,通过分析研究该模块中垃圾邮件关键词的统计概率分布,提出了基于贝叶斯概率模型的邮件过滤算法,并对该算法的合理性和复杂度进行了分析。可以根据垃圾邮件内容的特征,建立贝叶斯概率模型,计算出一封邮件是垃圾邮件的概率,从而判断其是否为垃圾邮件。文【5】基于贝叶斯公式中概率统计的重要性与在日常生活中应用的广泛性,概述了贝叶斯统计的基本思想及其与其他统计学派的争论,并对作为贝叶斯统计基石的贝叶斯公式进行了归纳。 二.内容 1.疾病诊断. 资料显示, 某项艾滋病血液检测的灵敏度( 即真有病的人检查为阳性) 为95%, 而对没有得病的人,种检测的准确率( 即没有病的人检查为阴性) 为99%. 美国是一个艾滋病比较流行的国家, 估计大约有千分之一的人患有这种病. 为了能有效地控制、减缓艾滋病的传播, 几年前有人建议对申请新婚登记的新婚夫妇进行这种血液检查. 该计划提出后, 征询专家意见, 遭到专家的强烈反对, 计划没有被通过.

Excel数组公式

数组公式(最基础) 如果你是用Excel的人,相信你对“公式”这个概念并不陌生。 可是,什么是数组公式? 如果你是初学Excel的人,如果你对数组公式还不知道是什么回事,如果你对数组公式感兴趣,那么你可以试着读一读此贴,也许对你认识什么是数组公式,并去用好它会有一点点帮助。 当然,这些只是一些最基础的知识,只是在你学习数组公式前帮助你练的一个基本功。希望对你有用,也希望大家在读贴的过程中能把自己的学习心得以及遇到的问题放出来,供大家一起学习。 第一部分:了解数组公式 在开始讲数组公式之前,我们先来认识几个必要的概念。 1、数组 什么是数组?仁者见仁,智者见智。我个人的感觉是:数组是具有某种联系的多个元素的组合。某班级里有50个学生,这里,如果班级是数组,50个学生就是数组里的50个元素。当然,班级里的元素是可变的,可以是20个,可以是30个,也可以是60个。放到Excel里,班级就相当于工作表,而学生就相当于工作表里的单元格数值。所以,Excel里的数组,我还把它理解是为多个单元格数值的组合。 2、公式 如果你在使用Excel,如果你说你还没听过“公式”这个名词,我只能说:“你太OUT了!” 什么是公式?我的理解是:在Excel里,凡是以半角符号“=”开始的、具有计算功能的单元格内容就是所谓的Excel公式。如:=SUM(B2:D2),=B2+C2+D2这些都是公式。 3、数组公式 数组公式是相对于普通公式而言的。普通公式(如上面的=SUM(B2:D2),=B2+C2+D2等),只占用一个单元格,只返回一个结果。而数组公式可以占用一个单元格,也可以占用多个单元格。它对一组数或多组数进行多重计算,并返回一个或多个结果。 集合在教室外面的学生,老师把他们叫进教室。老师说:“第一组第一桌的同学进教室。”于是第一组第一桌的同学走进教室。老师接着叫:“第一组第二桌的同学进教室。”然后是第二桌的同学进教室。老师再叫:“第一组第三桌的同学进教室。”然后第三桌的同学走进教室。接着是第四桌,第五桌……,就这样一个学生一个学生的叫,这就是普通公式的做法,学生回到座位,就像数值回到工作表的单元格里,一个座位叫一次,就像一个单元格输入一个公式。 如果老师说:“第一组的全部进教室。”学生听到命令后,第一桌的同学走进去,然后是第二桌,第三桌……,老师不用再下第二个命令,这是数组公式的处理方法。 4、数组公式的标志 在Excel中数组公式的显示是用大括号对“{}”来括住以区分普通Excel公式。如图: (1)数组公式: (2)普通公式:输入数组公式:用Ctrl+Shift+Enter结束公式的输入。 特别提醒:这是最关键的,这相当于用户告诉Excel:“我不是一般人,爷我是数组公式,你得对我特别关照。”于是,Excel 明白了,不能用常规的逻辑来对待这位大爷。当你按下三键后,Excel会自动给公式加上“{}”以和普通公式区别开来,不用用户输入“{}”,但如是是想在公式里直接表示一个数组,就需要输入“{}”来把数组的元素括起来。如: =IF({1,0},D2:D8,C2:C8)这个公式里的数组{1,0}的括号就是用户自己输入的。 5、数组的维数 “维数”是数组里的又一个重要概念。数组有一维数组,二维数组,三维数组,四维数组……,在公式里,我们更多接触到的只是一维数组和二维数组。一维数组我们可以简单地看成是一行的单元格数据集合,比如A1:F1。一维数组的各个元素间用英文的逗号“,”隔开(如果是单独的一列时,用英文分号“;”隔开)。

Row函数在Excel数组公式中的应用

Row函数在Excel数组公式中的应用 绝大多数excel数组公式中,都可以看到row函数的身影,那么row函数到底起到什么作用呢?我们先从它的基本用法说起。 Row函数,返回一个引用的行号。row() 返回公式所在行的行数,如:在第5行输入=row() 公式返回值 5 row(单元格地址) 返回单元格所在的行数,如:Row(b6) 返回B6单元格所在的行6row(开始行数:终止行数) 返回引用行的行数,结果是一组数。如:Row(1:3) 返回第1:3行所在的行数{1;2;3},由于在单元格中只能显示一个值,所以显示的结果是1生成这样的序号有用吗?当然有!【例1】求1+2+3+4+5 ...+100=?公式{=sum(row(1:100))} 公式说明:用row函数生成 1~100的序号,然后用sum求和. 由于是数组运算,需要在公式表达式最后按ctrl+shift+enter键确认输入。 【例2】截取字符串中最前面的数字,假设A1单元格中值为353.54优质公式: =LOOKUP(9^9,--LEFT(A1,ROW(1:99)))公式说明: row(1:99) 生成{1 ;2;3;4;5;6...99} 的序号,共99个数字 --Left(A1,ROW(1:99),分别从左边截取1个,2个,3个 (99) 个字符, 99是该字符可能的最大长度,如果字符最长20个,也可以用row(1:20)。由于截取后是文本,所以需要用--把文

本型数字转换成数值,把纯文本转换成错误值。 {3;35;353;#V ALUE!;#V ALUE!;#V.......;#V ALUE!} Loookup (9^9,) 用一个足够大的数在截取后的数字中进行查找,返回最后一个数字。由于lookup可以支持数组运算,所以公式不需要按三键输入。总结:row() 函数的主要作用是生成一组序号,在后利用这组序号对另一个或一组值进行多次处理。

Excel数组公式的神奇妙用

数组公式从入门到精通 入门篇 本主题包含三部分:入门篇、提高篇、应用篇(分中级和高级) 对于刚接触Excel数组公式的人来说,总是会感觉到它的一份神秘。又Excel的Online Help中只有很少关于它的主题,所以这种神秘感就更强了。不要紧,只要跟着我的思路走,你很快就会看清数组公式的真面目! 数组概念 对于数组概念,大家都会很熟悉,其就是一个具有维度的集合。比如:一维数组、二维数组、多维数组。数组的表示一般为“{}”所包括(一维和二维数组)。Excel中也不例外,如果你想直接表示一个数组,也必须用“{}”括起来。 数组与数组公式 在Excel中,凡是以半角符号“=”开始的单元格内容都被Excel认为是公式,其只能返回一个结果。而数组公式可以返回一个或者是多个结果,而返回的结果又可以是一维或二维的,换句话说,Excel中的数组公式返回的是一个一维或二维的数组集合。 在Excel中需要按下“Ctrl+Shift+Enter”组合键结束数组公式的输入。 为什么要用数组公式? 如果你的需要满足以下条件之一,那么采用数组公式技术可能会是你很好的选择方案。 你的运算结果会返回一个集合吗? 你是否希望用户不会有意或无意的破坏某一相关公式集合的完整性? 你的运算中是否存在着一些只有通过复杂的中间运算过程才会等到结果的运算? 看到这些另人费解的问题,你可能会摸不着头绪。不要紧,看了以下内容你也许就会明白了。 什么情况下会返回一个集合? 看一个简单的例子,选中C1:E3,输入“={"Name", "Sex", "Age"; "John", "Male", 21; "Mary", "Female", 20}”,按“Ctrl+Enter”组合键。 图1-1 (ArrayFormula_A01.bmp) 结果在C1:E3中看到的结果全是“Name”,而实际真正返回的结果应该是一个包含三行三列的二维数组,如何办?答案就是用数组公式。选中C1:E3,输入“={"Name", "Sex", "Age"; "John", "Male", 21; "Mary", "Female", 20}”,按“Ctrl+Shift+Enter”组合键。

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