高中数学 含绝对值的函数图象的画法及其应用素材
含绝对值的函数图象的画法及其应用 一、三点作图法 三点作图法是画函数)0(||≠++=ak c b ax k y 的图象的一种简捷方法（该函数图形形状似“V ”，故称V 型图）。 步骤是：①先画出V 型图顶点?? ? ?? - c a b ，； ②在顶点两侧各找出一点； ③以顶点为端点分别与另两个点画两条射线，就得到函数)0(||≠++=ak c b ax k y 的图象。 例1. 作出下列各函数的图象。 （1）1|12|--=x y ；（2）|12|1+-=x y 。 解：（1）顶点?? ? ??-12 1 ，，两点（0，0） ，（1，0）。其图象如图1所示。 图1 （2）顶点?? ? ?? - 121 ，，两点（－1，0） ，（0，0）。其图象如图2所示。 图2 注：当k>0时图象开口向上，当k<0时图象开口向下。函数图象关于直线a b x -=对称。 二、翻转作图法 翻转作图法是画函数|)(|x f y =的图象的一种简捷方法。 步骤是：①先作出)(x f y =的图象；②若)(x f y =的图象不位于x 轴下方，则函数 )(x f y =的图象就是函数|)(|x f y =的图象； ③若函数)(x f y =的图象有位于x 轴下方的，则可把x 轴下方的图象绕x 轴翻转180°到x 轴上方，就得到了函数|)(|x f y =的图象。 例2. 作出下列各函数的图象。 （1）|1|||-=x y ；（2）|32|2 --=x x y ；（3）|)3lg(|+=x y 。 解：（1）先作出1||-=x y 的图象，如图3，把图3中x 轴下方的图象翻上去，得到图4。图4就是要画的函数图象。 图3 图4
专题九函数图象及其综合应用
专题九 函数图象及综合应用 函数图象是研究函数性质、方程、不等式的重要工具，是数形结合的基础，是高考考查的热点，复习时，应重点掌握几种基本初等函数的图象，并在审题、识图上多下功夫，学会分析“数”与“形”的结合点，把几种常见题型的解法技巧理解透彻。 知识网络： 一、新课引入 在初中我们是采用什么方法来画出函数的图象？描点法作图。 描点法作图的步骤有哪些？ 描点法作图的基本步骤是：列表、描点、连线。 基本函数的图象要熟记：一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数、幂函数。 二、新课讲解 1、函数图象的基本作法有两种: ① 描点法②图象变换法 2、画函数图象时有时也可利用函数的性质如单调性、奇偶性、对称性、周期性等，以及图象上的特殊点、线（如对称轴、渐近线等）。 3、图象的变换是指一个函数的图象经过适当的变换，得到另一个与之有关的函数图 象。 . 在高考中要求学生掌握的三种变换是：平移变换、对称变换、伸缩变换、翻折变换。 4、常用函数图象变换的规律。 (1)平移变换 ①水平平移：y ＝f(x±a)(a＞0)的图象，可由y ＝f(x)的图象向左(＋)或向右(－)平移a 个单位而得到。 ②竖直平移：y ＝f(x)±b(b＞0)的图象，可由y ＝f(x)的图象向上(＋)或向下(－)平移b 个单位而得到。 (2)对称变换 ①y ＝f(－x)与y ＝f(x)的图象关于y 轴对称。 ②y ＝－f(x)与y ＝f(x)的图象关于x 轴对称。 ③y ＝－f(－x)与y ＝f(x)的图象关于原点对称。 (3)伸缩变换 ①y ＝af(x)(a ＞0)的图象，可将y ＝f(x)图象上每点的纵坐标伸(a ＞1时)或缩(a ＜1时)到原来的a 倍，横坐标不变。 ②y ＝f(ax)(a ＞0)的图象，可将y ＝f(x)的图象上每点的横坐标伸(a ＜1时)或缩(a ＞1时)到原来的1a 倍，纵坐标不变。 (4)翻折变换 ①作为y ＝f(x)的图象，将图象位于x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变，得到y ＝|f(x)|的图象。
高中数学中的函数图象变换及练习题
高中数学中的函数图象变换及练习题 ①平移变换： Ⅰ、水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左 (0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到； 1）y =f (x )h 左移→y =f (x +h)；2）y =f (x ) h 右移→y =f (x -h)； Ⅱ、竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上 (0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到； 1）y =f (x ) h 上移→y =f (x )+h ；2）y =f (x ) h 下移→y =f (x )-h 。 ②对称变换： Ⅰ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到； y =f (x ) 轴 y →y =f (-x ) Ⅱ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到； y =f (x ) 轴 x →y = -f (x ) Ⅲ、函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到； y =f (x ) 原点 →y = -f (-x ) Ⅳ、函数)(y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到。 y =f (x ) x y =→直线x =f (y ) Ⅴ、函数)2(x a f y -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线a x =对称即可得到 ③翻折变换： Ⅰ、函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到； Ⅱ、函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原 y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到 ④伸缩变换： Ⅰ、函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐 标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；y =f (x )a y ?→y =af (x ) Ⅱ、函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐 标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的1a 倍得到。f (x )y =f (x )a x ?→y =f (ax ) 1.画出下列函数的图像 （1）)(log 2 1 x y -= （2）x y )21(-= （3）x y 2 log = （4）12-=x y （5）要得到)3lg(x y -=的图像，只需作x y lg =关于_____轴对称的图像，再向____平移 3个单位而得到。 （6）当1>a 时，在同一坐标系中函数x a y -=与x y a log =的图像（ ）
对数函数的图象变换及在实际中的应用苏教版
对数函数的图象变换及在实际中的应用 对数函数图象是对数函数的一种表达形式， 形象显示了函数的性质。为研究它的数量关 系提供了“形”的直观性，它是探求解题途径、获得问题结果的重要途径。 一. 利用对数函数图象的变换研究复杂函数图象的性质 (一) 图象的平移变换 y log 2(x 2)的图象 主：图象的平移变换： 1.水平平移：函数y f (x b) , (a 0)的图像，可由y f (x)的 2.竖直平移：函数y f (x) b , (b 0)的图像，可由y f (x)的图像向上(+)或向下 平移b 个单位而得到. (二) 图像的对称变换 例2.画出函数y log 2 x 2的图像，并根据图像指出它的单调区间 ? 解：当 x 0 时，函数 y log 2 x 2 满足 f ( x) log 2( x)2 log 2 x 2 f (x)，所以 2 2 y log 2 x 是偶函数，它的图象关于 y 轴对称。当x 0时，y log 2 x 2 log 2 x 。因 此先画出y 2 log 2 x ,( x 0)的图象为s ，再作出&关于 y 轴对称C 2, c i 与C 2构成函数y 由图象可以知道函数 y log 2 x 2 调增区间是(0,) 例1. 画出 函数 y log 2 (x 2) 与 y log 2(x 2)的图像，并指出两个图像 之间的关系? 解：函数y log 2 x 的图象如果向右平移 到y Iog 2(x 2)的图像；如果向左平移 /pl y i. J - ■- .— w ■■ *-------- 1 ------ ~ / - 1 ] ''5 / 3 = / ' 到y log 2(x 2)的图像，所以把y log 2(x 2) 图像向左(+)或向右 平移a 个单位而得到 2个单位就得 2个单位就得 的图象向右平移4个单位得到
函数图像的四种变换形式
函数图像的四种变换 1．平移变换 左加右减，上加下减 ) ( ) (a x f y x f y+ = ?→ ? =沿x轴左移a个单位； ) ( ) (a x f y x f y- = ?→ ? =沿x轴右移a个单位； a x f y x f y+ = ?→ ? =) ( ) (沿y轴上移a个单位； a x f y x f y- = ?→ ? =) ( ) (沿y轴下移a个单位。 2.对称变换 同一个函数求对称轴或对称中心，则求中点或中心。 两个函数求对称轴或对称中心，则求交点。 （1）对称变换 ①函数) (x f y=与函数) (x f y- =的图像关于直线x=0(y轴)对称。 ②函数) (x f y=与函数) (x f y- =的图像关于直线y=0(x轴)对称。 ③函数) (a x f y+ =与) (x b f y- =的图像关于直线 2a b x - =对称 （2）中心对称 ①函数) (x f y=与函数) (x f y- - =的图像关于坐标原点对称 ②函数) (x f y=与函数) 2( 2x a f y b- = -的图像关于点（a,b）对称。 3伸缩变换 （1）) (x af y=的图像，可以将) (x f y=的图像纵坐标伸长（a>1）或缩短（a<1）到原来的a倍，横坐标不变。 （2）) (ax f y=（a>0）的图像，可以将) (x f y=的横坐标伸长（01）到原来的1/a倍，纵坐标不变。
4．翻折变换 （1）形如)(x f y =，将函数)(x f 的图像在x 轴下方的部分翻到x 轴上方，去掉原来x 轴下方的部分，保留原来在x 轴上方的部分。 （2）形如)(y x f =，将函数)(x f 在y 轴右边的部分沿y 轴翻到y 轴左边并替代原来y 轴左边部分，并保留)(x f y 轴左边部分，为)(y x f =的图像。 习题：①做出32y 2++=）（x 的图像 ②做出3+=x y 的图像
二次函数图像性质及应用
.. 二次函数图象性质及应用 一选择题 1.已知抛物线y=﹣x2+2x﹣3，下列判断正确的是（） A.开口方向向上，y 有最小值是﹣2 B.抛物线与x轴有两个交点 C.顶点坐标是（﹣1，﹣2） D.当x＜1 时，y 随x增大而增大 2.若二次函数y=x2+bx+5 配方后为y=（x-2）2+k，则b、k 的值分别为（） A.0、5 B.0、1 C.﹣4、5 D.﹣4、1 3.将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是 A. B. 3 y2- - )2 y2- =x + (5 =x D.3 (52+ )2 (5 - =x )2 y C. 3 4.把抛物线y=﹣2x2+4x+1 图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位,所得的抛物线函数关系式是（） A.y=﹣2(x-1)2+6 B.y=﹣2(x-1)2﹣6 C.y=﹣2(x+1)2+6 D.y=-2(x+1)2-6 5.函数y=ax+b 和y=ax2+bx+c 在同一直角坐标系内的图象大致是（） A. B. C. D. 6.二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图,则a bc，b2﹣4ac，2a+b，a+b+c 这四个式子中，值为正数的有（） A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 第6题图第8题图 7.二次函数y=ax2+bx+c 对于x的任何值都恒为负值的条件是（） A.a＞0，△＞0 B.a＞0，△＜0 C.a＜0，△＞0 D.a＜0，△＜0 8.抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（） A.y=x2-x-2 B.y=﹣x2﹣x+2 C.y=﹣x2﹣x+1 D.y=﹣x2+x+2
函数图象及其应用
函数图象及其应用 武安市第十中学李冉 一．教学内容分析： 本堂课安排在人教版必修1第二章结束之后，第三章教学之前，对所学常见函数模型及其图像进行归纳总结，使学生对函数图像有个系统的认识，在此基础上，一方面加强学生的看图识图能力，探究函数模型的广泛应用，另一方面，着重探讨函数图像与方程的联系，渗透函数与方程的思想及数形结合思想，为第三章作了很好的铺垫，承上启下，衔接自然，水到渠成。 学生对函数与方程的关系有一个逐步认识的过程，应遵循由浅入深、循序渐进的原则．从学生认为较简单的问题入手，由具体到一般，建立方程的根与函数图像的联系。另外，函数与方程相比较,一个“动”，一个“静”；一个“整体”，一个“局部”，用函数的观点研究方程，本质上就是将局部的问题放在整体中研究，将静态的结果放在动态的过程中研究，这为今后进一步学习函数与不等式等其它知识的联系奠定了坚实的基础。 二．学生学习情况分析： 学生在学完了第一章《集合与函数概念》、第二章《基本初等函数》后，对函数的性质和基本初等函数及其图像有了一定的了解和把握，但学生素质参差不齐，又存在能力差异，导致不同学生对知识的领悟与掌握能力的差距很大。因此进行本堂课的教学，应首先有意识地让学生归纳总结旧知识，提高综合能力，对新知识的传授，即如何利用函数图像解决方程的根的问题，则应给足学生思考的空间和时间，充分化解学生的认知冲突，化难为易，化繁为简，突破难点。 高中数学与初中数学相比，数学语言在抽象程度上突变，思维方法向理性层次跃迁，知识内容的整体数量剧增，以上这三点在函数这一章中得到了充分的体现，本章的特点是具有高度的抽象性、逻辑性和广泛的适用性，对能力要求较高。因此，在教学中应多考虑初高中的衔接，更好地帮助学生借由形象的手段理解抽象的概念，在函数这一章，函数的图像就显得尤其重要而且直观。 三．设计思想：
5函数图象及其应用
6、函数图象及其应用 一．教学内容分析： 本堂课安排在人教版必修1第二章结束之后，第三章教学之前，对所学常见函数模型及其图像进行归纳总结，使学生对函数图像有个系统的认识，在此基础上，一方面加强学生的看图识图能力，探究函数模型的广泛应用，另一方面，着重探讨函数图像与方程的联系，渗透函数与方程的思想及数形结合思想，为第三章作了很好的铺垫，承上启下，衔接自然，水到渠成。 学生对函数与方程的关系有一个逐步认识的过程，应遵循由浅入深、循序渐进的原则．从学生认为较简单的问题入手，由具体到一般，建立方程的根与函数图像的联系。另外，函数与方程相比较,一个“动”，一个“静”；一个“整体”，一个“局部”，用函数的观点研究方程，本质上就是将局部的问题放在整体中研究，将静态的结果放在动态的过程中研究，这为今后进一步学习函数与不等式等其它知识的联系奠定了坚实的基础。 二．学生学习情况分析： 学生在学完了第一章《集合与函数概念》、第二章《基本初等函数》后，对函数的性质和基本初等函数及其图像有了一定的了解和把握，但学生素质参差不齐，又存在能力差异，导致不同学生对知识的领悟与掌握能力的差距很大。因此进行本堂课的教学，应首先有意识地让学生归纳总结旧知识，提高综合能力，对新知识的传授，即如何利用函数图像解决方程的根的问题，则应给足学生思考的空间和时间，充分化解学生的认知冲突，化难为易，化繁为简，突破难点。 高中数学与初中数学相比，数学语言在抽象程度上突变，思维方法向理性层次跃迁，知识内容的整体数量剧增，以上这三点在函数这一章中得到了充分的体现，本章的特点是具有高度的抽象性、逻辑性和广泛的适用性，对能力要求较高。因此，在教学中应多考虑初高中的衔接，更好地帮助学生借由形象的手段理解抽象的概念，在函数这一章，函数的图像就显得尤其重要而且直观。 三．设计思想： 1．尽管我们的教材为学生提供了精心选择的课程资源，但教材仅是教师在教学设计时所思考的依据，在具体实施中，我们需要根据自己学生数学学习的特点，联系学生的学习实际，对教材内容进行灵活处理，比如调整教学进度、整合教学内容等，本节课是必修1第二章与第三章的过渡课，既巩固了第二章所学知识，又为第三章学习埋下伏笔，对教材做了一次成功的加工整合，正所谓磨刀不误砍材功。 2．树立以学生为主体的意识，实现有效教学。现代教学论认为，学生的数学学习过程是一个学生已有的知识和经验为基础的主动建构的过程，只有学生主动参与到学习活动中，才是有效的教学。在本节课的设计中，首先设计一些能够启发学生思维的活动，学生通过观察、试验、思考、表述，体现学生的自主性和活动性；其次，设计一些问题情境，而解决问题所需要的信息均来自学生的真实水平，要么定位在学生已有的知识基础，要么定位在一些学生很容易掌握的知识上，保证课堂上大部分学生都能够轻松地解决问题。随着学生的知识和信息不断
几种特殊函数的图象及应用
几种特殊函数の图象及应用 函数学习中，除了二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等常见函数外，还有一类分式函数、绝对值函数也常常出现．这类函数问题，虽说借助于导数等工具也能解决，但如果能够掌握这类函数の基本图象特征，便能起到事半功倍の效果．本文介绍四个最常见の函数模型及其图象特征，并在实际问题中借助于换元、分离变量等手段将函数表达式转化为这几个函数模型之一，根据函数图象，迅速找到解决问题の切入点和解题思路． 先了解这四个基本函数： ①函数1y x =（图1）；②函数1y x x =+（图2）； ③函数1 y x x =-（图3）；④函数y x =（图4）． 从函数の图象很容易看出函数の对称性、单调性、值域等性质，下面看它们各自の应用． 一、形如()0c y a c x b =+ ≠-の函数可利用函数1y x =（或1 y x =-）の性质．当0c >时，函数c y a x b =+-の图象可看成由函数c y x =の图象左右、上下平移得到，在区间(,)b -∞、(,)b +∞上 分别递减；当0c <时，函数c y a x b =+-の图象可看成由函数c y x =の图象左右、上下平移得到， 在区间(,)b -∞、(,)b +∞上分别递增． 例1 函数())0(11 lg >--=k x kx x f 在[)+∞,10上单调递增，求实数k の取值范围． 解析：令11,lg )(--==x kx t t x f ，由复合函数单调性及题意可得:1 1 --=x kx t 需满足两个条件：① t 在[)+∞∈,10x 上单调递增；②0>t 在[)+∞∈,10x 上恒成立． 考虑)1(1 1 11≠--+=--= x x k k x kx t 当1=k 时，0)(=x f 不合题意，舍去； 当1>k 时，t 在()()+∞∞-,1,1,上均递减，不合题意，舍去； 当10<高中数学必修一函数的图像、性质及其应用
第1页共7页函数)0(a x a x y 的图像、性质及其应用 在高中数学中，我们常常会碰到形如“ )0(a x a x y ”的函数，我们称这样的函数为“双勾函数”。“双勾函数”是重要的函数之一，它的性质及图象有十分鲜明的特征和规律性，在实际问题中有着广泛的应用。 考虑到上海版高一数学新教材对这类函数的图像与性质的处理比较零星分散，为了帮助学生较系统地掌握这个知识点，同时进一步巩固学生研究 函数的方法，提高学生自主探究数学问题的能力， 故设计并实施了本节课教学的进程， 提出了本课例的教学反思. 一、案例背景：本节课安排在《函数》一章中，前有《二次函数在给定区间上的最值问题》作知识准备，后为学习《幂、指、对函数的图象和性质》作铺垫，有承上启下的作用。本节课的教学目标是掌握函数)0(a x a x y 的图像和性质；初步应用函数) 0(a x a x y 的图像和性质解决函数的最值；并在师生共同运用已学知识研究新知识的过程中， 有机渗透数形结合、分类讨论、转化的数学思想，培养学生探究数学问题的意识与能力 . 二、教学设计思路： 三、教学过程： （一）知识引入阶段 师：前段时间，我们学习了函数的概念、性质，并研究了“二次函数在给定区间上的最值问题”。今天，我们将研究一类新的函数。现在，先请大家解决下面这个问题 . 问题：求函数)0(1 x x x y 的最值；若求它在3,2x 上的最值呢？ 生1：由基本不等式求得函数的最小值是2，无最大值. 研究 x x y 1 的图像性质应用) 0(a x a x y 的图像性质求最值 归纳)0(a x a x y 的图像性质拓展 ) 0,0(b a x b ax y 的图像性质
函数图像的变换及其应用.
函数图像的变换及其应用 执教：嘉定区教师进修学院张桂明 教学目标： 1．熟练掌握常见函数图像的画法，记住它们的大致形状和准确位置．2．掌握函数图像的几种类型的变换，能用图像变换法解决一些有关的函数问题． 3．通过对函数图像变换与应用问题的探究及解决，提高分析问题和解决问题的能力，体会数形结合的思想方法在解决函数与方程问题中的重要作用并能初步加以应用．教学重点： 1．常见函数的图像及其画法． 2．函数图像的变换及变换后的对称性、单调性的变化．教学难点： 应用数形结合的思想方法对问题进行分析思考，寻求解题策略．教学过程： 一、引入课题 问题：设定义域为R 的函数f (x) |lg|x 1||,x 1，则关于x 的方程 0 , x 1 f 2(x) bf (x) c 0有7 个不同实数解的充要条件是( ) (A) b 0 且c 0 (B) b 0 且c 0 (C) b 0 且c 0 (D) b 0 且c 0 二、知识回顾 1．函数图像的作法，你有哪些常用的方法？ 2．请说出常见函数图像的形状、位置，作出它们的草图． 3．你会用哪些函数图像的变换方法来作函数的图像？在这些变换中，如果原来的函数图像具有某种对称性，那么变换后它们的对称性有什么变化？函数的单调性在变换后又有什么变化？ 4.函数f(x)的图像关于直线x a成轴对称图形的充要条件是什么？函数f(X)的图像关于点(a , b)成中心对称图形的充要条件双是什么？ 三、问题探究 2, x R.
1 .若函数y x * 2 (a 2)x 3, x [a,b]的图像关于直线 x 1对称，则 b . 2.已知函数f (x) |2x 11的图像与直线y a 有且仅有一个公共点，则实数 a 的取值范围是 3. 已知函数f(x) (1) 求证：函数f(x)的图像关于点A(-,-)对称; 2 2 1 (2) 不使用计算器，试求f (丄)f 10 4. 讨论方程| x 2 4|x| 3| a 的实数解的情况. 四、方法小结 五、练习与作业 2x .2 f(-) f 10 的值 .
函数图象的三种变换
函数图象的三种变换 函数的图象变换是高考中的考查热点之一，常见变换有以下3种： 一、平移变换 例1 设f(x)＝x2，在同一坐标系中画出： (1)y＝f(x)，y＝f(x＋1)和y＝f(x－1)的图象，并观察三个函数图象的关系； (2)y＝f(x)，y＝f(x)＋1和y＝f(x)－1的图象，并观察三个函数图象的关系． 解(1)如图 (2)如图 点评观察图象得：y＝f(x＋1)的图象可由y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度得到； y＝f(x－1)的图象可由y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度得到； y＝f(x)＋1的图象可由y＝f(x)的图象向上平移1个单位长度得到； y＝f(x)－1的图象可由y＝f(x)的图象向下平移1个单位长度得到． 小结： 二、对称变换 例2设f(x)＝x＋1，在同一坐标系中画出y＝f(x)和y＝f(－x)的图象，并观察两个函数图象的关系． 解画出y＝f(x)＝x＋1与y＝f(－x)＝－x＋1的图象如图所示． 由图象可得函数y＝x＋1与y＝－x＋1的图象关于y轴对称． 点评函数y＝f(x)的图象与y＝f(－x)的图象关于y轴对称； 函数y＝f(x)的图象与y＝－f(x)的图象关于x轴对称； 函数y＝f(x)的图象与y＝－f(－x)的图象关于原点对称．
三、翻折变换 例3 设f (x )＝x ＋1，在不同的坐标系中画出y ＝f (x )和y ＝|f (x )|的图象，并观察两个函数图象的关系． 解 y ＝f (x )的图象如图1所示，y ＝|f (x )|的图象如图2所示． 点评 要得到y ＝|f (x )|的图象，把y ＝f (x )的图象中x 轴下方图象翻折到x 轴上方，其余部分不变． 例4 设f (x )＝x ＋1，在不同的坐标系中画出y ＝f (x )和y ＝f (|x |)的图象，并观察两个函数图象的关系． 解 如下图所示． 点评 要得到y ＝f (|x |)的图象，先把y ＝f (x )图象在y 轴左方的部分去掉，然后把y 轴右边的对称图象补到左方即可． 小结： ()x x y f x =???????→保留轴上方图象 将轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|. ()y y y f x =????????→保留轴右侧图象 并作其关于轴对称的图象 y ＝f (|x |). 如图： 四 函数图象自身的对称性 1.函数()y f x =的图象关于直2 a b x += 对称()()f a x f b x ?+=-()()f a b x f x ?+-= 2.函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称2()(2)b f x f a x ?-=- ()2(2)f x b f a x ?=--?b x a f x a f 2)()(=-++ 3.若()()f x f x =-- ，则()f x 的图象关于原点对称，若()()f x f x =- ，则()f x 的图象关于y 轴对称。
函数的图像及其变换(完整版)
函数的图像及变换 一、函数图像的变换对称变换(||)翻折翻折变换|()|翻折 左右平移平移变换上下平移横坐标不变，纵坐标伸缩伸缩变换纵坐标不变，横坐标伸缩y f x y f x ?? ?=???=?? ??? ?? ?? ??????? 关于x 轴对称：(,)(,)x y x y →- 关于y 轴对称：(,)(,)x y x y →- 关于原点对称：(,)(,)x y x y →-- 关于y x =对称：(,)(,)x y y x → 关于y x =-对称：(,)(,)x y y x →-- 关于直线x a =对称：(,)(2,)x y a x y →-（轴对称） 关于y x b =+对称：(,)(,)x y y b x b →-+ 关于y x b =-+对称：(,)(,)x y b y x b →--+ 关于点(,)P a b 对称：(,)(2,2)x y a x b y →--（点对称） 例1：已知2 ()2f x x x =-，且()g x 与()f x 关于点(1,2)对称，求()g x 的解析式.（相关点法） 例2：已知函数()y f x =的图像关于直线1x =-对称，且当(0,)x ∈+∞时，有1 ()f x x = ，则当 (,2)x ∈-∞-时，()f x 的解析式是（ ）. A. 1x - B. 12x + C.12x -+ D. 12x - 例3：下列函数中，同时满足两个条件“①x R ?∈， ()()01212f x f x ππ++-=；②当6 π-”的一个函数是（ ） A.()sin(2)6 f x x π =+ B. ()cos(2)3 f x x π =+ C. ()sin(2)6 f x x π =- D. ()cos(2)6 f x x π =-
三角函数图象变换训练
函数sin()y A x k ω?=++（其中,,,A k ω?都是常数）的图象 1、 函数sin()y A x k ω?=++（其中,,,A k ω?都是常数）的图象获取方法 （1）原始法：列表、描点、连线；（2）几何法： （4）图象变换法： 函数sin y x =的图象经变换得到sin()y A x k ω?=++的图象的步骤如下： 方法一： 1 1 sin() sin() sin y x y x y x ω ω ??ω??ω?ω?<=+=+=???????→???????????→??????????→左右平移变换 横向伸缩变换(周期变换) 纵向伸缩变换(振幅变换) >0时向左平移个单位 A>1时横坐标不变纵坐标伸长为原来的A 倍 >1时纵坐标不变横坐标缩短为原来的 倍 <0时向右平移||个单位 00时向上平移个k 单位 k<0时向下平移个|k|单位 sin() sin(2) 3sin(2)3sin(2)2 sin 3 3 3 3 y x y x y x y x y x π π π π =- =- =- =- +=??????→??????????→?????????→???????→左右平移变换 横向伸缩变换(周期变换) 纵向伸缩变换(振幅变换) 上下平移变换 1 1 () () ()y f x y f x y Af y f x ω ω ??ω??ω?ω?<=+=+==???????→???????????→??????????→左右平移变换 横向伸缩变换(周期变换) 纵向伸缩变换(振幅变换) >0时向左平移个单位 A>1时横坐标不变纵坐标伸长为原来的A 倍 >1时纵坐标不变横坐标缩短为原来的 倍 <0时向右平移||个单位 00时向上平移个k 单位 k<0时向下平移个|k|单位 方法二： 1 1 sin[(] sin sin())sin x y x y x y x ? ω ω ?ω ω ω?ω?ωωω??ω <+ ==+= =???????????→???????→| 横向伸缩变换(周期变换) 左右平移变换 纵向伸缩变换(振幅变换) A>1时横坐标不变纵坐标伸长为原来的A 倍 >1时纵坐标不变横坐标缩短为原来的倍 >0时向左平移个单位 00时向上平移个k 单位 倍 k<0时向下平移个|k|单位 sin(2) sin(2)sin[2(]3sin(2) 3sin(2)2 sin )3 6 3 3 y x y x x y x y x y x π π π π ==- =- =- =- +=?????????→?????????→?????????→???????→横向伸缩变换(周期变换) 左右平移变换 纵向伸缩变换(振幅变换) 上下平移变换 1 1 () ()[()]()y f x y f x f x y f x ω ω ω?ω?? ω ? ω ωω?ω?ω<==+=+ =???????????→???????→??→横向伸缩变换(周期变换) 左右平移变换 纵向伸缩变换(振幅变换) A>1时横坐标不变纵坐标伸长为原来的A 倍>1时纵坐标不变横坐标缩短为原来的倍 >0时向左平移个 单位 00时向上平移个k 单位 k<0时向下平移个|k|单位
高中数学函数图象以及其变换专题.doc
专题 函数图象及其变换 考点精要 1．理解指数函数的概念、图象及性质． 2．理解对数函数的概念图象和性质． 1 3．理解幂函数 y=x ， y=x 2，y=x 3 ， y 1 ， y x 2 的图象及其性质． x 4．掌握一次函数、正比例函数、二次函数、反比例函数的图象及其性质． 5．理解图象的平移变换、伸缩变换、对称变换． 热点分析 函数的图象是函数的一种重要表示方法， 利用函数的图像可以帮助我们更好地理解函数的重要性质 . 基本初等函数的图像及其变换，是考查的热点；利用变换作图，也是考查的重点，利用形数结合的数学思想解题，看图想性质，数形转化灵活解题． 知识梳理 函数的图象及其变换 基础知识： 1．图象法： 就是用函数图象表示两个变量之间的关系 优点：能直观形象地表示出函数的变化情况． 体现：映射与反演、形数结合的数学思想． 2．基本初等函数图象 y=x n y=a x y=log a x y=sin x y=cosx y=tan x 初等函数图像： 2 k b y=kx y=kx+b y=ax +bx+c y y ax x x
3．作图基本方法 （1）利用描点法作图： ①确定函数的定义域：图象沿x 轴展布范围及渐近线； ②化简函数解析式：等价变形； ③讨论函数的性质： 奇偶性：关于图象对称性 单调性：关于图象升降性 周期性：关于图象重要性 极值、最值：关于图象最高点、最低点 截距：与 x 轴、 y 轴交点坐标 ④画出函数的图象 （2）利用基本初等函数的图象的变换作图： ①平移变换 y f (x) h 0, 右移 h y=f （ x h） h 0, 左移 |h | y f ( x) k 0, 上移 k y=f （x）+k k 0, 下移 | k | ②伸（放）缩变换： 沿 x 轴：y f ( x) 0 沿 y 轴： y = A f （ x）（A>0） ③对称变换： y=f （x）y= f （ x） y=f （x）y= f （x） y=f （x）y=f （ 2a x）
