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(完整版)近世代数复习

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世代数模拟试题一

一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)

1、设A =B =R(实数集),如果A 到B 的映射?:x →x +2,?x ∈R ,则?是从A 到B 的( )

A 、满射而非单射

B 、单射而非满射

C 、一一映射

D 、既非单射也非满射

2、设集合A 中含有5个元素,集合B 中含有2个元素,那么,A 与B 的积集合A ×B 中含有( )个元素。

A 、2

B 、5

C 、7

D 、10

3、在群G 中方程ax=b ,ya=b , a,b ∈G 都有解,这个解是( )乘法来说

A 、不是唯一

B 、唯一的

C 、不一定唯一的

D 、相同的(两方程解一样)

4、当G 为有限群,子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数( )

A 、不相等

B 、0

C 、相等

D 、不一定相等。

5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的( )

A 、倍数

B 、次数

C 、约数

D 、指数

二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)

1、设集合{}1,0,1A =-;{}1,2B =,则有B A ?= 。

2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ,都有ae=ea=a ,则e 称为环R 的 。

3、环的乘法一般不交换。如果环R 的乘法交换,则称R 是一个 。

4、偶数环是 的子环。

5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个 。

6、每一个有限群都有与一个置换群 。

7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群,则这个群的单位元是 ,元a 的逆元是 。

8、设I 和S 是环R 的理想且I S R ??,如果I 是R 的最大理想,那么 。

9、一个除环的中心是一个 。

三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)

1、设置换σ和τ分别为:1234567864173528σ??=?

???,1234567823187654τ??=????

,判断σ和τ的奇偶性,并把σ和τ写成对换的乘积。

2、证明:任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。

3、设集合{0,1,2,,1,}(1)m M m m m =??->,定义m M 中运算“m +”为a m +b=(a+b)(modm),则(m M ,m +)是不是群,为什么?

四、证明题(本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分)

1、设G 是群。证明:如果对任意的x G ∈,有2x e =,则G 是交换群。

2、假定R 是一个有两个以上的元的环,F 是一个包含R 的域,那么F 包含R 的一个商域。

近世代数模拟试题一 参考答案

一、单项选择题

1、C ;

2、D ;

3、B ;

4、C ;

5、D ;

二、填空题

1、()()()()()(){}1,1,1,0,1,12,1,2,0,2,1--;

2、单位元;

3、交换环;

4、整数环;

5、变换群;

6、同构;

7、1、1a

;8、S=I 或S=R ;9、域; 三、解答题

1、解:把σ和τ写成不相杂轮换的乘积:(1653)(247)(8)σ= (123)(48)(57)(6)τ= 可知σ为奇置换,τ为偶置换。 σ和τ可以写成如下对换的乘积:

)27)(24)(16)(15)(13(=σ )57)(48)(12)(13(=τ

2、解:设A 是任意方阵,令1()2B A A '=

+, 1()2

C A A '=-,则B 是对称矩阵,而C 是反对称矩阵,且A B C =+。若令有11A B C =+,这里1B 和1C 分别为对称矩阵和反对称矩阵,则11B B C C -=-,而等式左边是对称矩阵,右边是反对称矩阵,于是两边必须都等于0,即:1B B =,1C C =,所以,表示法唯一。

3、答:(m M ,m +)不是群,因为m M 中有两个不同的单位元素0和m 。 四、证明题

1、证:对于G 中任意元x ,y ,由于2()xy e =,所以111()

xy xy y x yx ---===(对每个x ,从2x e =可得1x x -=)。

2、证:在F 里11(,,0)a ab

b a a b R b b --==∈≠有意义, 作F 的子集(,,0)a Q a b R b b -?

?

=∈≠???

?所有 Q -

显然是R 的一个商域,证毕。

近世代数模拟试题二

一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)

1、设G 有6个元素的循环群,a 是生成元,则G 的子集( )是子群。

A 、{}a

B 、{},a e

C 、{}3,e a

D 、{}3,,e a a

2、下面的代数系统(G ,*)中,( )不是群

A 、G 为整数集合,*为加法

B 、G 为偶数集合,*为加法

C 、G 为有理数集合,*为加法

D 、G 为有理数集合,*为乘法

3、在自然数集N 上,下列哪种运算是可结合的?( )

A 、a*b=a-b

B 、a*b=max{a,b}

C 、 a*b=a+2b

D 、a*b=|a-b|

4、设1σ、2σ、3σ是三个置换,其中1σ=(12)(23)(13),2σ=(24)(14),3σ=(1324),则3σ=( )

A 、2

1σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ

5、任意一个具有2个或以上元的半群,它( )。

A 、不可能是群

B 、不一定是群

C 、一定是群

D 、 是交换群

二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)

1、凯莱定理说:任一个子群都同一个 同构。

2、一个有单位元的无零因子 称为整环。

3、已知群G 中的元素a 的阶等于50,则4a 的阶等于 。

4、a 的阶若是一个有限整数n ,那么G 与 同构。

5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B= 。

6、若映射φ既是单射又是满射,则称φ为 。

7、α叫做域F 的一个代数元,如果存在F 的 01,,,n a a a L 使得010n n a a a αα+++=L 。

8、a 是代数系统(,0)A 的元素,对任何x A ∈均成立x a x =o ,则称a 为 。

9、有限群的另一定义:一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群,如果满足G 对于乘法封闭;结合律成立、 。

10、一个环R 对于加法来作成一个循环群,则P 是 。

三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)

1、设集合A={1,2,3}G 是A 上的置换群,H 是G 的子群,H={I,(1 2)},写出H 的所有陪集。

2、设E 是所有偶数做成的集合,“?”是数的乘法,则“?”是E 中的运算,(E ,?)是一个代数系统,问(E ,?)是不是群,为什么?

3、a=493, b=391, 求(a,b), [a,b] 和p, q 。

四、证明题(本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分)

1、若是群,则对于任意的a 、b ∈G ,必有惟一的x ∈G 使得a*x =b 。

2、设m 是一个正整数,利用m 定义整数集Z 上的二元关系:a ?b 当且仅当m ︱a –b 。

近世代数模拟试题二 参考答案

一、单项选择题

1、C ;

2、D ;

3、B ;

4、B ;

5、A ;

二、填空题

1、变换群;

2、交换环;

3、25;

4、模n 乘余类加群;

5、{2};

6、一一映射;

7、不都等于零的元;8、右单位元;9、消去律成立;10、交换环;

三、解答题

1、解:H 的3个右陪集为:{I,(1 2)},{(1 2 3 ),(1 3)},{(1 3 2 ),(2 3 )} H 的3个左陪集为:{I,(1 2)} ,{(1 2 3 ),(2 3)},{(1 3 2 ),(1 3 )}

2、答:(E ,?)不是群,因为(E ,?)中无单位元。

3、解:辗转相除法。列以下算式:

a=b+102 b=3×102+85 102=1×85+17

由此得到 (a,b)=17, [a,b]=a ×b/17=11339。

然后回代:17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b.

所以 p=4, q=-5.

四、证明题

1、证:设e 是群的幺元。令x =a -1*b ,则a*x =a*(a -1*b)=(a*a -1)*b =e*b =b 。所以,x =a -1*b 是a*x =b 的解。

若x '∈G 也是a*x =b 的解,则x '=e*x '=(a -1*a)*x '=a -1*(a*x ')=a -1*b =x 。所以,x =a -1*b 是a*x =b 的惟一解。

2、证:容易证明这样的关系是Z 上的一个等价关系,把这样定义的等价类集合Z 记为Zm ,每个整数a 所在的等价类记为[a]={x ∈Z ;m ︱x –a }或者也可记为a ,称之为模m 剩余类。 若m ︱a –b 也记为a ≡b(m)。

当m=2时,Z2仅含2个元:[0]与[1]。

近世代数模拟试题三

一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)

1、6阶有限群的任何子群一定不是( )。

A 、2阶

B 、3 阶

C 、4 阶

D 、 6 阶

2、设G 是群,G 有( )个元素,则不能肯定G 是交换群。

A 、4个

B 、5个

C 、6个

D 、7个

3、有限布尔代数的元素的个数一定等于( )。

A 、偶数

B 、奇数

C 、4的倍数

D 、2的正整数次幂

4、下列哪个偏序集构成有界格( )

A 、(N,≤)

B 、(Z,≥)

C 、({2,3,4,6,12},|(整除关系))

D 、 (P(A),?)

5、设S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)},那么,在S3中可以与(123)交换的所有元素有( )

A 、(1),(123),(132)

B 、12),(13),(23)

C 、(1),(123)

D 、S3中的所有元素

二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)

1、群的单位元是 的,每个元素的逆元素是 的。

2、如果f 是A 与A 间的一一映射,a 是A 的一个元,则()1f f a -=???? 。

3、区间[1,2]上的运算},{min b a b a =ο的单位元是 。

4、可换群G 中|a|=6,|x|=8,则|ax|= 。

5、环Z 8的零因子有 。

6、一个子群H 的右、左陪集的个数 。

7、从同构的观点,每个群只能同构于他/它自己的 。

8、无零因子环R 中所有非零元的共同的加法阶数称为R 的 。

9、设群G 中元素a 的阶为m ,如果n

a e =,那么m 与n 存在整除关系为 。

三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)

1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链,问可做出多少种不同的项链?

2、S 1,S 2是A 的子环,则S 1∩S 2也是子环,S 1+S 2也是子环吗?

3、设有置换(1345)(1245)σ=,6(234)(456)S τ=∈。

1.求στ和1τσ-;

2.确定置换στ和1τσ-的奇偶性。

四、证明题(本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分)

1、一个除环R 只有两个理想就是零理想和单位理想。

2、M 为含幺半群,证明b =a -1的充分必要条件是aba =a 和ab 2a =e 。

近世代数模拟试题三 参考答案

一、单项选择题

1、C ;

2、C ;

3、D ;

4、D ;

5、A ;

二、填空题

1、唯一、唯一;

2、a ;

3、2;

4、24;

5、;

6、相等;

7、商群;

8、特征;

9、m n ;

三、解答题

1、解:在学群论前我们没有一般的方法,只能用枚举法。用笔在纸上画一下,用黑白两种珠子,分类进行计算:例如,全白只1种,四白一黑1种,三白二黑2种,…等等,可得总共8种。

2、证:由上题子环的充分必要条件,要证对任意a,b ∈S1∩S2 有a-b, ab ∈S1∩S2: 因为S1,S2是A 的子环,故a-b, ab ∈S1和a-b, ab ∈S2 ,

因而a-b, ab ∈S1∩S2 ,所以S1∩S2是子环。

S1+S2不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例:

3、解: 1.(1243)(56)στ=,1

(16524)τσ-=;2.两个都是偶置换。

四、证明题 1、证:假定μ是R 的一个理想而μ不是零理想,那么a 0≠∈μ,

由理想的定义11a a μ-=∈,因而R 的任意元1b b μ=?∈,这就是说μ=R ,证毕。

2、证:必要性:将b 代入即可得。

充分性:利用结合律作以下运算:ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e ,

ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e ,所以b=a-1。

近世代数模拟试题四(无参考答案)

一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)

1.设集合A 中含有5个元素,集合B 中含有2个元素,那么,A 与B 的积集合A ×B 中含有( )个元素。

A.2

B.5

C.7

D.10

2.设A=B=R(实数集),如果A到B的映射?:x→x+2,?x∈R,

则?是从A到B的()

A.满射而非单射

B.单射而非满射

C.一一映射

D.既非单射也非满射

3.设S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)},那么,在S3中可以与(123)交换的所有元素有()

A.(1),(123),(132)

B.(12),(13),(23)

C.(1),(123)

D.S3中的所有元素

4.设Z15是以15为模的剩余类加群,那么,Z15的子群共有()个。

A.2

B.4

C.6

D.8

5.下列集合关于所给的运算不作成环的是()

A.整系数多项式全体Z[x]关于多项式的加法与乘法

B.有理数域Q上的n级矩阵全体M n(Q)关于矩阵的加法与乘法

C.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“ο”:?m, n∈Z, mοn=0

D.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“ο”:?m, n∈Z, mοn=1

二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)

6.设“~”是集合A的一个关系,如果“~”满足___________,则称“~”是A的一个等价关系。

7.设(G,·)是一个群,那么,对于?a,b∈G,则ab∈G也是G中的可逆元,而且(ab)-1=___________。

8.设σ=(23)(35),τ=(1243)(235)∈S5,那么στ=___________(表示成若干个没有公共数字的循环置换之积)。

9.如果G是一个含有15个元素的群,那么,根据Lagrange定理知,对于?a∈G,则元素a 的阶只可能是_ ___5,15,1,3,_______。

10.在3次对称群S3中,设H={(1),(123),(132)}是S3的一个不变子群,则商群G/H中的元素(12)H=___________。

11.设Z6={[0],[1],[2],[3],[4],[5]}是以6为模的剩余类环,则Z6中的所有零因子是 2,3,4________。

12.设R是一个无零因子的环,其特征n是一个有限数,那么,n是___________。

13.设Z[x]是整系数多项式环,(x)是由多项式x生成的主理想,则(x)=_____________。

14.设高斯整数环Z[i]={a+bi|a,b∈Z},其中i2=-1,则Z[i]中的所有单位是______________________。

15.有理数域Q上的代数元2+3在Q上的极小多项式是___________。

三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)

16.设Z为整数加群,Z m为以m为模的剩余类加群,?是Z到Z m的一个映射,其中

?:k→[k],?k∈Z,

验证:?是Z到Z m的一个同态满射,并求?的同态核Ker?。

17.求以6为模的剩余类环Z6={[0],[1],[2],[3],[4],[5]}的所有子环,并说明这些子环都是Z6的理想。

18.试说明唯一分解环、主理想环、欧氏环三者之间的关系,并举例说明唯一分解环未必是主理想环。

四、证明题(本大题共3小题,第19、20小题各10分,第21小题5分,共25分)

19.设G={a,b,c},G的代数运算“ο”

由右边的运算表给出,证明:(G,ο)作成一个群。

ο a b c

a a

b c

b b

c a

c c a b

20.设 0,,,,,,0a b a R a b c d Z I a c Z c d c ????????=∈=∈???? ? ?????????

已知R 关于矩阵的加法和乘法作成一个环。证明:I 是R 的一个子环,但不是理想。

21.设(R ,+,·)是一个环,如果(R ,+)是一个循环群,证明:R 是一个交换环。

近世代数试卷(选择题有误,已经删去)

一、判断题(每小题1分,共10分)

1、设A 与B 都是非空集合,那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。 ( )

2、设A 、B 、D 都是非空集合,则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。( )

3、只要f 是A 到A 的一一映射,那么必有唯一的逆映射1-f 。 ( )

4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的,则G 与整数加群同构。 ( )

5、如果群G 的子群H 是循环群,那么G 也是循环群。 ( )

6、群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。 ( )

7、如果环R 的阶2≥,那么R 的单位元01≠。 ( )

8、若环R 满足左消去律,那么R 必定没有右零因子。 ( )

9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。 ( )

10、若域E 的特征是无限大,那么E 含有一个与()p Z 同构的子域,这里Z 是整数环,()p 是由素数p 生成的主理想。 ( )

二、填空题(每空2分,共20分)

1、设集合{}1,0,1-=A ;{

}2,1=B ,则有=?A B 。 2、如果f 是A 与A 间的一一映射,a 是A 的一个元,则()[]=-a f f 1 。

3、设集合A 有一个分类,其中i A 与j A 是A 的两个类,如果j i A A ≠,那么=j i A A I 。

4、设群G 中元素a 的阶为m ,如果e a n =,那么m 与n 存在整除关系为 。

5、凯莱定理说:任一个子群都同一个 同构。

6、给出一个5-循环置换)31425(=π,那么=-1π 。

7、若I 是有单位元的环R 的由a 生成的主理想,那么I 中的元素可以表达为 。

8、若R 是一个有单位元的交换环,I 是R 的一个理想,那么I R 是一个域当且仅当I 是 。

9、整环I 的一个元p 叫做一个素元,如果 。

10、若域F 的一个扩域E 叫做F 的一个代数扩域,如果 。

三、改错题(每小题3分,共15分)

1、如果一个集合A 的代数运算ο同时适合消去律和分配律,那么在n a a a οΛοο21里,元的次序可以掉换。

2、有限群的另一定义:一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群,如果满足G 对于乘法封闭;结合律成立、交换律成立。

3、设I 和S 是环R 的理想且R S I ??,如果I 是R 的最大理想,那么0≠S 。

4、唯一分解环I 的两个元a 和b 不一定会有最大公因子,若d 和'

d 都是a 和b 的最大公因子,那么必有'd d =。

5、α叫做域F 的一个代数元,如果存在F 的都不等于零的元n a a a ,,,10Λ使得010=+++n n a a a ααΛ。

四、计算题(共15分)

1、给出下列四个四元置换

???

? ??=???? ??=???? ??=???? ??=34124321,43124321,34214321,432143214321ππππ 组成的群G ,试写出G 的乘法表,并且求出G 的单位元及14

131211,,,----ππππ和G 的所有子群。

2、设[][][][][][]{}5,4,3,2,1,06=Z 是模6的剩余类环,且[]x Z x g x f 6)(),(∈。如果[][][]253)(3++=x x x f 、[][][]354)(2++=x x x g ,计算)()(x g x f +、)()(x g x f -和)()(x g x f 以及它们的次数。

五、证明题(每小题10分,共40分)

1、设a 和b 是一个群G 的两个元且ba ab =,又设a 的阶m a =,b 的阶n b =,并且1),(=n m ,证明:ab 的阶mn ab =。

2、设R 为实数集,0,,≠∈?a R b a ,令R x b ax x R R f b a ∈?+→,,:),(α,将R 的所有这样的变换构成一个集合{}0,,),(≠∈?=a R b a f G b a ,试证明:对于变换普通的乘法,G 作成一个群。

3、设1I 和2I 为环R 的两个理想,试证21I I I 和{}2121,I b I a b a I I ∈∈+=+都是R 的理想。

4、设R 是有限可交换的环且含有单位元1,证明:R 中的非零元不是可逆元就是零因子。

近世代数试卷参考解答

一、判断题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

× × √ √ × √ √ √ × ×

二、填空题

1、()()()()()(){}1,2,0,2,1,21,1,0,1,1,1--。

2、a 。

3、φ。

4、n m 。

5、变换群。

6、()13524。

7、R y x ay x i i i i ∈∑,,。

8、一个最大理想。

9、p 既不是零元,也不是单位,且q 只有平凡因子。

10、E 的每一个元都是F 上的一个代数元。

三、改错题

1、如果一个集合A 的代数运算ο同时适合消去律和分配律,那么在n a a a οΛοο21里,元的次序可以掉换。 结合律与交换律

2、有限群的另一定义:一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群,如果满足G 对于乘法封闭;结合律成立、交换律成立。消去律成立

3、设I 和S 是环R 的理想且R S I ??,如果I 是R 的最大理想,那么0S ≠。S=I 或S=R

4、唯一分解环I 的两个元a 和b 不一定会有最大公因子,若d 和'd 都是a 和b 的最大公因子,那么必有d=d ′。一定有最大公因子;d 和d ′只能差一个单位因子

5、α叫做域F 的一个代数元,如果存在F 的都不等于零的元n a a a ,,,10Λ使得010=+++n n a a a ααΛ。不都等于零的元

四、计算题:五、证明题(略)

基础测试题

一、填空题(42分)

1、设集合M 与M 分别有代数运算ο与ο,且M M ~,则当ο 满足结合律 时,ο也满足结合律;当ο 满足交换律 时,ο也满足交换律。

2、对群中任意元素1)(,,-ab b a 有= ;

3、设群G 中元素a 的阶是n ,n|m 则m a = ;

4、设a 是任意一个循环群,若∞=||a ,则a 与 同构;若n a =||, 则a 与 同构;

5、设G=a 为6阶循环群,则G 的生成元有 ;子群有 ;

6、n 次对称群n S 的阶是 ;置换)24)(1378(=τ的阶是 ;

7、设???

? ??=???? ??=2314432114324321βα,,则=αβ ; 8、设)25)(136()235)(14(==τσ,,则=-1στσ ;

9、设H 是有限群G 的一个子群,则|G|= ;

10、任意一个群都同一个 同构。

二、证明题(24)

1、设G 为n 阶有限群,证明:G 中每个元素都满足方程e x n

=。

2、叙述群G 的一个非空子集H 作成子群的充要条件,并证明群G 的任意两个子群H 与K 的交K H I 仍然是G 的一个子群。

3、证明:如果群G 中每个元素都满足方程e x =2,则G 必为交换群。

三、解答题(34)

1、 叙述群的定义并按群的定义验证整数集Z 对运算4++=b a b a ο作成群。

2、写出三次对称群3S 的所有子群并写出3S 关于子群H={(1),(23)}的所有左陪集和所有右陪集。

基础测试参考答案

一、填空题

1、满足结合律; 满足交换律;

2、11--a b ;

3、e ;

4、整数加群;n 次单位根群;

5、5,a a ;{}{}{}{}5432423,,,,,,,,,,,a a a a a e a a e a e e ;

6、n!;4

7、???

? ??23144321 8、(456)(32) 9、|H|:(G:H) 10、(双射)变换群;

二、证明题

1、已知||n G =,|a|=k,则k|n ,令n=kq,则e a a

a q k kq n ===)( 即G 中每个元素都满足方程e x n =

2、充要条件:H a H a H ab H b a ∈?∈∈?∈-1;,,;

证明:已知H 、K 为G 的子群,令Q 为H 与K 的交

设H b a ∈,,则K b a H b a ∈∈,,,

H 是G 的子群,有H ab ∈

K 是G 的子群,有K ab ∈

Q ab ∈∴

11a H a H a K a H -?∈∈∈∈,则且,由定理,可知

综上所述,H 也是G 的子群。

3、证:

ba

a b ab ab a a a a a a a G

ab G b a =====?=?∈∈?-----1111

2

1)(;

,由消元法得

G 是交换群。

三、解答题

1、解:设G 是一个非空集合,ο是它的一个代数运算,如果满足以下条件:

(1)结合律成立,即对G 中任意元素,,()()a b c a b c a b c =o o o o ,有

(2)G 中有元素e ,它对G 中每个元素a a e a =ο,都有

(3)对G 中每个元素11,a G a a a e --=o 在中有元素,使

则G 对代数运算ο作成一个群。

对任意整数a,b ,显然a+b+4由a,b 唯一确定,故ο为G 的代数运算。 (a οb )οc=(a+b+4) οc=(a+b+4)+c+4=a+b+c+8

a ο (

b οc)=a+b+c+8

即(a οb )οc= a ο (b οc)满足结合律 ?a 均有(-4)οa=-4+a+4=a

故-4为G 的左单位元。

(-8-a )οa=-8-a+a+4=-4

故-8-a 是a 的左逆元。

2、解:6||3=S 其子群的阶数只能是1,2,3,6 1阶子群{(1)}

2阶子群{(1)(12)}{(1)(13)}{(1)(23)} 3阶子群{(1)(123)(132)}

6阶子群3S

左陪集:(1)H={(1)(23)}=(23)H

(12)H={(12)(123)}=(123)H

(13)H={(13)(132)}=(132)H

右陪集:H (1)={(1)(23)}=H (23) H (13)={(13)(23)}=H (123)

H (12)={(12)(132)}=H (132)

近世代数期末考试试卷与答案

一、单项选择题 ( 本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设 G 有 6 个元素的循环群, a 是生成元,则 G 的子集()是子群。 A、a B、 a , e 33 C、 e, a D、 e, a , a 2、下面的代数系统( G, * )中,()不是群 A、G为整数集合, * 为加法 B、G为偶数集合, * 为加法 C、G为有理数集合, * 为加法 D、G为有理数集合, * 为乘法 3、在自然数集 N 上,下列哪种运算是可结合的?() A、a*b=a-b B、a*b=max{a,b} C、 a*b=a+2b D、a*b=|a-b| 4、设 1 、 2 、 3 是三个置换,其中 1 =(12)(23)(13),2 =(24)(14),3=( 1324),则3=() A、2 B 、12 D 、2 1 12C 、2 5、任意一个具有 2 个或以上元的半群,它()。 A、不可能是群 B、不一定是群 C、一定是群 D、是交换群 二、填空题 ( 本大题共 10 小题,每空 3 分,共 30 分) 请在每小题的空格中填上正 确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子 ----- 称为整环。 4 3、已知群G中的元素a的阶等于 50,则a的阶等于 ------。 4、a 的阶若是一个有限整数n,那么 G与-------同构。 5、A={1.2.3}B={2.5.6}那么 A∩B=----- 。 6、若映射既是单射又是满射,则称为-----------------。 7 、叫做域F的一个代数元,如果存在F的----- a 0 , a1 , , a n使得 n a 0 a 1 a n0 。

近世代数期末考试试卷及答案Word版

一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群,a 是生成元,则G 的子集( )是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、 {}3,,a a e 2、下面的代数系统(G ,*)中,( )不是群 A 、G 为整数集合,*为加法 B 、G 为偶数集合,*为加法 C 、G 为有理数集合,*为加法 D 、G 为有理数集合,*为乘法 3、在自然数集N 上,下列哪种运算是可结合的?( ) A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、3σ是三个置换,其中1σ=(12)(23)(13),2σ=(24)(14),3σ= (1324),则 3σ=( ) A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群,它( )。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群 二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50,则4 a 的阶等于------。 4、a 的阶若是一个有限整数n ,那么G 与-------同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。 6、若映射?既是单射又是满射,则称?为-----------------。 7、α叫做域F 的一个代数元,如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得

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多所高校近世代数题库 一、(2011年近世代数)判断题(下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”,错的打“×”;每小题1分,共10分) 1、设A 与B 都是非空集合,那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。 ( ) 2、设A 、B 、D 都是非空集合,则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。( ) 3、只要f 是A 到A 的一一映射,那么必有唯一的逆映射1-f 。 ( ) 4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的,则G 与整数加群同构。 ( ) 5、如果群G 的子群H 是循环群,那么G 也是循环群。 ( ) 6、近世代数中,群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。 ( ) 7、如果环R 的阶2≥,那么R 的单位元01≠。 ( ) 8、若环R 满足左消去律,那么R 必定没有右零因子。 ( ) 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。 ( ) 10、若域E 的特征是无限大,那么E 含有一个与()p Z 同构的子域,这里Z 是整数环,()p 是由素数p 生成的主理想。 ( ) 二、(2011年近世代数)单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者,该题无分。每小题1分,共10分) 1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合,而f 是n A A A ??? 21到D 的一个映射,那么( ) ①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同;②n A A A ,,,21 的次序不能调换; ③n A A A ??? 21中不同的元对应的象必不相同; ④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算是二元运算( ) ①在整数集Z 上,ab b a b a += ; ②在有理数集Q 上,ab b a = ; ③在正实数集+R 上,b a b a ln = ;④在集合{}0≥∈n Z n 上,b a b a -= 。 3、设 是整数集Z 上的二元运算,其中{}b a b a ,max = (即取a 与b 中的最大者),那么 在Z 中( )

[精华版]近世代数期末考试试卷及答案

[精华版]近世代数期末考试试卷及答案 一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群,a是生成元,则G的子集( )是子群。 33,,,,aa,e,,e,a,,e,a,aA、 B、 C、 D、 2、下面的代数系统(G,*)中,( )不是群 A、G为整数集合,*为加法 B、G为偶数集合,*为加法 C、G为有理数集合,*为加法 D、G为有理数集合,*为乘法 3、在自然数集N上,下列哪种运算是可结合的,( ) A、a*b=a-b,,,B、 a*b=max{a,b} C、 a*b=a+2b D、a*b=|a-b| ,,,,,,3322114、设、、是三个置换,其中=(12)(23)(13),=(24)(14),= ,3(1324),则=( ) 22,,,,,,122121A、 B、 C、 D、 5、任意一个具有2个或以上元的半群,它( )。 A、不可能是群,,,B、不一定是群 C、一定是群 D、是交换群 二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 4Gaa3、已知群中的元素的阶等于50,则的阶等于------。 4、a的阶若是一个有限整数n,那么G与-------同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A?B=-----。 6、若映射既是单射又是满射,则称为-----------------。,,

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近世代数模拟试题一 一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出得四个备选项中只有一个就就是符合题目要求得,请将其代码填写在题后得括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设A=B=R(实数集),如果A到B得映射:x→x+2,x∈R,则就就是从A到B得( )A、满射而非单射?B、单射而非满射 C、一一映射??? D、既非单射也非满射 2、设集合A中含有5个元素,集合B中含有2个元素,那么,A与B得积集合A×B中含有( )个元素。 A、2 ??? B、5 C、7????D、10 3、在群G中方程ax=b,ya=b, a,b∈G都有解,这个解就就是( )乘法来说 A、不就就是唯一 B、唯一得 C、不一定唯一得D、相同得(两方程解一样) 4、当G为有限群,子群H所含元得个数与任一左陪集aH所含元得个数( ) A、不相等B、0 C、相等 D、不一定相等。 5、n阶有限群G得子群H得阶必须就就是n得( ) A、倍数 B、次数C、约数 D、指数 二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题得空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、设集合;,则有---------。 2、若有元素e∈R使每a∈A,都有ae=ea=a,则e称为环R得--------。 3、环得乘法一般不交换。如果环R得乘法交换,则称R就就是一个------。 4、偶数环就就是---------得子环。 5、一个集合A得若干个--变换得乘法作成得群叫做A得一个--------。 6、每一个有限群都有与一个置换群--------。 7、全体不等于0得有理数对于普通乘法来说作成一个群,则这个群得单位元就就是---,元a得逆元就就是-------。 8、设与就就是环得理想且,如果就就是得最大理想,那么---------。 9、一个除环得中心就就是一个-------。 三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分) 1、设置换与分别为:,,判断与得奇偶性,并把与写成对换得乘积。 2、证明:任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之与。 3、设集合,定义中运算“”为ab=(a+b)(modm),则(,)就就是不就就是群,为什么? 四、证明题(本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分) 1、设就就是群。证明:如果对任意得,有,则就就是交换群。 2、假定R就就是一个有两个以上得元得环,F就就是一个包含R得域,那么F包含R得一个商域。 近世代数模拟试题二 一、单项选择题 二、1、设G有6个元素得循环群,a就就是生成元,则G得子集( )就就是子群。 A、 B、 C、 D、 2、下面得代数系统(G,*)中,( )不就就是群 A、G为整数集合,*为加法 B、G为偶数集合,*为加法

近世代数期末试题

近 世 代 数 试 卷 一、判断题(下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”,错的打“×”;每小题1分,共10分) 1、设A 与B 都是非空集合,那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。 ( ) 2、设A 、B 、D 都是非空集合,则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。( ) 3、只要f 是A 到A 的一一映射,那么必有唯一的逆映射1 -f 。 ( ) 4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的,则G 与整数加群同构。 ( ) 5、如果群G 的子群H 是循环群,那么G 也是循环群。 ( ) 6、群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。 ( ) 7、如果环R 的阶2≥,那么R 的单位元01≠。 ( ) 8、若环R 满足左消去律,那么R 必定没有右零因子。 ( ) 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。 ( ) 10、若域E 的特征是无限大,那么E 含有一个与()p Z 同构的子域,这里Z 是整 数环,()p 是由素数p 生成的主理想。 ( ) 二、单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者,该题无分。每小题1分,共10分) 1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合,而f 是n A A A ??? 21到D 的一个映射,那么( ) ①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同;②n A A A ,,,21 的次序不能调换; ③n A A A ??? 21中不同的元对应的象必不相同; ④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算是二元运算( ) ①在整数集Z 上,ab b a b a += ; ②在有理数集Q 上,ab b a = ; ③在正实数集+R 上,b a b a ln = ;④在集合{}0≥∈n Z n 上,b a b a -= 。 3、设 是整数集Z 上的二元运算,其中{}b a b a ,max = (即取a 与b 中的最大者),那么 在Z 中( ) ①不适合交换律;②不适合结合律;③存在单位元;④每个元都有逆元。

近世代数期末考试试卷

近世代数模拟试题二 一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群,a 是生成元,则G 的子集( )是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、 {}3,,a a e 2、下面的代数系统(G ,*)中,( )不是群 A 、G 为整数集合,*为加法 B 、G 为偶数集合,*为加法 C 、G 为有理数集合,*为加法 D 、G 为有理数集合,*为乘法 3、在自然数集N 上,下列哪种运算是可结合的?( ) A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、3σ是三个置换,其中1σ=(12)(23)(13),2σ=(24)(14),3σ=(1324),则3σ=( ) A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群,它( )。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群 二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50,则4a 的阶等于------。 4、a 的阶若是一个有限整数n ,那么G 与-------同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。 6、若映射?既是单射又是满射,则称?为-----------------。 7、α叫做域F 的一个代数元,如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。

近世代数复习试题2010级

《近世代数》复习试题 一 填空题 1.12,,n A A A 是集合A 的子集,如果(1) ,(2) , 则称12,,n A A A 为A 的一个分类. 2.设},{21A =,},,,,{e d c b a B =,则有____个A 到B 的映射,_____个A 到B 的单射. 3. 设G 是一个群,G a ∈,且21||=a ,则=||6a __________. 4. 设G 是群,,,G b a ∈若1),(,||,||===n m n b m a ,而且ba ab =,则=||ab ______. 5. 在3S 中,)23()12)(123(1-= . 6. 模6的剩余类环6Z 的所有可逆元: . 7. 模6的剩余类环6Z 的所有零因子: . 8. R 是一个有单位元交换环,R a ∈,则由a 生成的主理想=)(a . 9. 设群G 的阶是45, a 是群G 中的一个元素,则a 的阶只可能是____________. 10. 高斯整环][i Z 的单位群])[(i Z U 的全部元素:____________________________. 二 解答、证明题 1.设Z 是全体整数的集合,在Z 中规定: .,,2Z b a b a b a ∈?-+= 证明:),( Z 是一个交换群. 2.证明:群G 不能表示成两个真子群的并. 3.证明:r-循环为偶置换的充要条件是r 为奇数. 4.设p 为素数,||G =n p ,证明:G 一定有一个p 阶子群. 5.设G 是一个群,,,G K G H ≤≤证明:KH HK G HK =?≤. 6.设H G ≤,N G ,证明:HN G ≤. 7.设H G ≤,且2]:[=H G ,证明:.G H 8.证明:每个素数阶的群都是循环群. 9.设N 是群G 的子群,N 的阶是r (1)证明1()gNg g G -∈也是G 的一个子群.

近世代数期末考试试卷及答案

一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群,a 是生成元,则G 的子集( c )是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、{} 3 ,,a a e 2、下面的代数系统(G ,*)中,( D )不是群 A 、G 为整数集合,*为加法 B 、G 为偶数集合,*为加法 C 、G 为有理数集合,*为加法 D 、G 为有理数集合,*为乘法 3、在自然数集N 上,下列哪种运算是可结合的?( B ) A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、3σ是三个置换,其中1σ=(12)(23)(13),2σ=(24)(14),3σ=(1324),则3σ=( B ) A 、1 2σ B 、1σ2σ C 、2 2 σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群,它( A )。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群 二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----变换群------同构。 2、一个有单位元的无零因子-交换环----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50,则4 a 的阶等于----25--。 4、a 的阶若是一个有限整数n ,那么G 与---模n 剩余类加群----同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=---{2}--。 6、若映射?既是单射又是满射,则称?为----双射-------------。

《近世代数》模拟试题1及答案

近世代数模拟试题 一. 单项选择题(每题5分,共25分) 1、在整数加群(Z,+)中,下列那个是单位元(). A. 0 B. 1 C. -1 D. 1/n,n是整数 2、下列说法不正确的是(). A . G只包含一个元g,乘法是gg=g。G对这个乘法来说作成一个群; B . G是全体整数的集合,G对普通加法来说作成一个群; C . G是全体有理数的集合,G对普通加法来说作成一个群; D. G是全体自然数的集合,G对普通加法来说作成一个群. 3. 如果集合M的一个关系是等价关系,则不一定具备的是( ). A . 反身性 B. 对称性 C. 传递性 D. 封闭性 4. 对整数加群Z来说,下列不正确的是(). A. Z没有生成元. B. 1是其生成元. C. -1是其生成元. D. Z是无限循环群. 5. 下列叙述正确的是()。 A. 群G是指一个集合. B. 环R是指一个集合. C. 群G是指一个非空集合和一个代数运算,满足结合律,并且单位元, 逆元存在. D. 环R是指一个非空集合和一个代数运算,满足结合律,并且单位元,

逆元存在. 二. 计算题(每题10分,共30分) 1. 设G 是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成 的群,试求中G 中下列各个元素1213,,0101c d cd ???? == ? ?-????, 的阶. 2. 试求出三次对称群 {}3(1),(12),(13),(23),(123),(132)S = 的所有子群.

3. 若e是环R的惟一左单位元,那么e是R的单位元吗?若是,请给予证明. 三. 证明题(第1小题10分,第2小题15分,第3小题20分,共45分). 1. 证明: 在群中只有单位元满足方程

近世代数期末试题

近 世 代 数 试 卷 一、判断题(下列命题您认为正确的在题后括号内打“√”,错的打“×”;每小题1分,共10分) 1、设A 与B 都就是非空集合,那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。 ( ) 2、设A 、B 、D 都就是非空集合,则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。( ) 3、只要f 就是A 到A 的一一映射,那么必有唯一的逆映射1-f 。 ( ) 4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶就是无限的,则G 与整数加群同构。 ( ) 5、如果群G 的子群H 就是循环群,那么G 也就是循环群。 ( ) 6、群G 的子群H 就是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。 ( ) 7、如果环R 的阶2≥,那么R 的单位元01≠。 ( ) 8、若环R 满足左消去律,那么R 必定没有右零因子。 ( ) 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。 ( ) 10、若域E 的特征就是无限大,那么E 含有一个与()p Z 同构的子域,这里Z 就是整数环,()p 就是由素数p 生成的主理想。 ( ) 二、单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者,该题无分。每小题1分,共10分) 1、设n A A A ,,,21Λ与D 都就是非空集合,而f 就是n A A A ???Λ21到D 的一个映射,那么( ) ①集合D A A A n ,,,,21Λ中两两都不相同;②n A A A ,,,21Λ的次序不能调换; ③n A A A ???Λ21中不同的元对应的象必不相同; ④一个元()n a a a ,,,21Λ的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算就是二元运算( ) ①在整数集Z 上,ab b a b a +=ο; ②在有理数集Q 上,ab b a =ο; ③在正实数集+R 上,b a b a ln =ο;④在集合{}0≥∈n Z n 上,b a b a -=ο。 3、设ο就是整数集Z 上的二元运算,其中{}b a b a ,m ax =ο(即取a 与b 中的最大者),那么ο在Z 中( ) ①不适合交换律;②不适合结合律;③存在单位元;④每个元都有逆元。 4、设()ο,G 为群,其中G 就是实数集,而乘法k b a b a ++=οο:,这里k 为G 中固定

近世代数期末考试题库45962

近世代数模拟试题一 一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设A =B =R(实数集),如果A 到B 的映射?:x →x +2,?x ∈R ,则?是从A 到B 的( ) A 、满射而非单射 B 、单射而非满射 C 、一一映射 D 、既非单射也非满射 2、设集合A 中含有5个元素,集合B 中含有2个元素,那么,A 与B 的积集合A ×B 中含有( )个元素。 A 、2 B 、5 C 、7 D 、10 3、在群G 中方程ax=b ,ya=b , a,b ∈G 都有解,这个解是( )乘法来说 A 、不是唯一 B 、唯一的 C 、不一定唯一的 D 、相同的(两方程解一样) 4、当G 为有限群,子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数( ) A 、不相等 B 、0 C 、相等 D 、不一定相等。 5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的( ) A 、倍数 B 、次数 C 、约数 D 、指数 二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、设集合{}1,0,1-=A ;{}2,1=B ,则有=?A B ---------。 2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ,都有ae=ea=a ,则e 称为环R 的--------。 3、环的乘法一般不交换。如果环R 的乘法交换,则称R 是一个------。 4、偶数环是---------的子环。 5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个--------。 6、每一个有限群都有与一个置换群--------。 7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群,则这个群的单位元是---,元a 的逆元是-------。 8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ??,如果I 是R 的最大理想,那么---------。 9、一个除环的中心是一个-------。 三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分) 1、设置换σ和τ分别为:??? ???=6417352812345678σ,? ? ? ???=2318765412345678τ,判断σ和τ的奇偶性,并把σ和τ写成对换的乘积。 2、证明:任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。

近世代数期末考试试卷及答案

一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个就是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群,a 就是生成元,则G 的子集( )就是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、 {}3,,a a e 2、下面的代数系统(G,*)中,( )不就是群 A 、G 为整数集合,*为加法 B 、G 为偶数集合,*为加法 C 、G 为有理数集合,*为加法 D 、G 为有理数集合,*为乘法 3、在自然数集N 上,下列哪种运算就是可结合的?( ) A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、 2σ、3σ就是三个置换,其中1σ=(12)(23)(13),2σ=(24)(14),3σ=(1324),则3σ=( ) A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群,它( )。 A 、不可能就是群 B 、不一定就是群 C 、一定就是群 D 、 就是交换群 二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50,则4a 的阶等于------。 4、a 的阶若就是一个有限整数n,那么G 与-------同构。 5、A={1、2、3} B={2、5、6} 那么A ∩B=-----。 6、若映射?既就是单射又就是满射,则称?为-----------------。 7、α叫做域F 的一个代数元,如果存在F 的-----n a a a ,,,10Λ使得 010=+++n n a a a ααΛ。 8、a 就是代数系统)0,(A 的元素,对任何A x ∈均成立x a x =ο,则称a 为

近世代数期末考试真题

近世代数期末练习题 一、判断题(在括号里打上 √ 或 ? ) 1、一个阶是11的群只有两个子群。( ) 2、循环群的子群是循环子群。( ) 3、在一个环中,若右消去律成立,则左消去律成立。( ) 4、消去律在无零因子环中一定成立。( ) 5、在环中,逆元一定不是零因子。( ) 6、在一个域中一定不存在零因子。( ) 7、模99的剩余类环99Z 是一个域。( ) 8、模19的剩余类环19Z 是一个整环。( ) 9、整除关系是整数集Z 的元素间的一个等价关系。( ) 10、同余关系是整数集Z 的元素间的一个等价关系。( ) 11、群G 的两个子群的交还是子群。( ) 12、环R 的一个子环和一个理想的交一定是R 的子环。( ) 13、群G 的不变子群也是G 的子群,环R 的理想也是R 的子环。( ) 14、设群G 与群G'同态,则G 的不变子群的同态像是G'的不变子群。 ( ) 15、一个域一定是一个整环。( ) 二、填空题 1、在3次对称群3S 中,元素(123)的阶为 ,(123)的逆元为 ,(123) 所生成的子群在3S 中的指数为 ,该子群是否3S 的不变子群? 。 2、环Z 6的全部零因子是 ,全部可逆元是 。 3、在环Z 10中,[6]+[7]= ,[6][7]= ,[6]-[7]= ,[6]3= , [7]-1= 。 三、证明:(1)若群G 的元a 的阶为2, 则a – 1 = a . (2)若群G 的元 a 的阶大于2, 则a – 1 ≠ a . (3)在群G 中, 元 a 与逆元a –1有相同的阶. 四、证明:设群G 中元a 的阶为n . 证明a s = a t ? n | ( s – t ) . 五、设R 是一个环,证明R 是交换环当且仅当(a+b) 2=a 2+2ab+b 2。 六、设G 是一个群,证明G 是交换群当且仅当(ab) -1=a -1b -1。

近世代数期末考试题库

世代数模拟试题一 一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设A=B=R(实数集),如果A到B的映射:x→x+2,x∈R,则是从A到B的( c ) A、满射而非单射 B、单射而非满射 C、一一映射 D、既非单射也非满射 2、设集合A中含有5个元素,集合B中含有2个元素,那么,A与B的积集合A×B中含有( d )个元素。 A、2 B、5 C、7 D、10 3、在群G中方程ax=b,ya=b, a,b∈G都有解,这个解是(b )乘法来说 A、不是唯一 B、唯一的 C、不一定唯一的 D、相同的(两方程解一样) 4、当G为有限群,子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数(c ) A、不相等 B、0 C、相等 D、不一定相等。 5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的(d ) A、倍数 B、次数 C、约数 D、指数 二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、设集合;,则有。 2、若有元素e∈R使每a∈A,都有ae=ea=a,则e称为环R的单位元。 3、环的乘法一般不交换。如果环R的乘法交换,则称R是一个交换环。 4、偶数环是整数环的子环。 5、一个集合A的若干个--变换的乘法作成的群叫做A的一个变换全。 6、每一个有限群都有与一个置换群同构。 7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群,则这个群的单位元是1,元a的逆元是a-1。 8、设和是环的理想且,如果是的最大理想,那么---------。 9、一个除环的中心是一个-域-----。 三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分) 1、设置换和分别为:,,判断和的奇偶性,并把和写成对换的乘积。 2、证明:任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。奇1、解:把和写成不相杂轮换的乘积: 可知为奇置换,为偶置换。和可以写成如下对换的乘积: 2解:设A是任意方阵,令,,则B是对称矩阵,而C是反对称矩阵,且。若令有,这里和分别为对称矩阵和反对称矩阵,则,而等式左边是对称矩阵,右边是反对称矩阵,于是两边必须都等于0,即:,,所以,表示法唯一。 3、设集合,定义中运算“”为ab=(a+b)(modm),则(,)是不是群,为什么? 四、证明题(本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分) 1、设是群。证明:如果对任意的,有,则是交换群。 2、假定R是一个有两个以上的元的环,F是一个包含R的域,那么F包含R的一个商域。 1、对于G中任意元x,y,由于,所以(对每个x,从可得)。 2、证明在F里 有意义,作F的子集 显然是R的一个商域证毕。 近世代数模拟试题二 一、单项选择题 二、1、设G 有6个元素的循环群,a是生成元,则G的子集(c )是子群。 A、B、C、D、 2、下面的代数系统(G,*)中,(d )不是群 A、G为整数集合,*为加法 B、G为偶数集合,*为加法 C、G为有理数集合,*为加法 D、G为有理数集合,*为乘法 3、在自然数集N上,下列哪种运算是可结合的?( b ) A、a*b=a-b B、a*b=max{a,b} C、a*b=a+2b D、a*b=|a-b| 4、设、、是三个置换,其中=(12)(23)(13),=(24)(14),=(1324),则=(b )

近世代数期末复习

m m m m m 1、模m 的剩余类环的理想都是主理想。 证明,首先是循环环,则的理想就是的子加群。而的子加群都是循环群,是一个元素生成的。所以也是主理想。 0||,,0,0.I a I a I I a I a b I q r b qa r r a I r b qa I a r b qa I I a I a >∈?<> =<>?∈∈=+≤<=-∈==∈?<>=<> 2、证明:是主理想整环。 显然,是整环。所以我们只证的理想都是主理想。 设,则存在,使得是中元素最小的。显然我们证明,,事实上,对。 由带余除法,存在使得因为是理想,则但根据的选取,必有则所以,则,即的任何理想都是主理想。 22112211221212121212112212121203|,,,|000(1)(2)(1)-0000000a b x R a b c I x c R I R a b a b a b a b a a b b R R c c c c c c a b a b a a a b c c ?????????=∈=∈???????????????? --???????????∈=∈??????????-??????? ???????=???????? 、设证明是的子环是的理想 证:对,,则121222000000(2),-0000000000000000000000000000b c R c c R x y x y x y I I a b x a b x ax R I I c c x a b cx I c I R ?+??∈??? ?-???????????∈=∈???????????????????? ???????????∈?∈=∈???????????????????? ??????=∈???????????? 则是的子环。,对,,则是的加法子群,I R 且是左理想和又理想。故是的理想。 4R R I R I I R I R I R I I ?、证明:是主理想整环,是的一个理想,则是域当且仅当是由素元生成的主理想。 证明:是域是的极大理想。而在主理想整环中,极大理想和素元生成的主理想是等价的。 则是域当且仅当是由素元生成的主理想

近世代数期末考试题库包括模拟卷和1套完整题

多所高校近世代数题库 一、(2011年近世代数)判断题(下列命题你认为正确的在题后括号内打,错的打“X” ;每小题1分,共10 分) 1、设A与B都是非空集合,那么A_. B」xx?A且B:。() 2、设A、B、D都是非空集合,则A B到D的每个映射都叫作二元运算。() 3、只要f是A到A的一一映射,那么必有唯一的逆映射f」。() 4、如果循环群G = a中生成元a的阶是无限的,贝U G与整数加群同构。() 5、如果群G的子群H是循环群,那么G也是循环群。() 6、近世代数中,群G的子群H是不变子群的充要条件为-g ? G,-h? H;g'Hg H 。() 7、如果环R的阶_2,那么R的单位元1-0。 () 8若环R满足左消去律,那么R必定没有右零因子。() 9、F(x)中满足条件p(「)=0的多项式叫做元[在域F上的极小多项式。() 10、若域E的特征是无限大,那么E含有一个与%p)同构的子域,这里Z是整数环,(p )是由素数p生成的主理想。() 二、(2011年近世代数)单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,并将其号码写在题干后面的括号 内。答案选错或未作选择者,该题无分。每小题1分,共10分) 1、设A,A2,…,A n和D都是非空集合,而f是A1 A2… A n到D的一个映射,那么() ①集合A,A2,…,A n,D中两两都不相同;② A1,A2/ , A n的次序不能调换; ③A1A2A n中不同的元对应的象必不相同; ④一个元a1,a2,…,a n的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算是二元运算() ①在整数集Z上,a °b = —b;②在有理数集Q上,a°b = Jab ; ab 、 ③在正实数集R*上,a ^b=alnb:④在集合{n^Zn^。}上,a"b=a — b。 3、设是整数集Z上的二元运算,其中a ^max:a,b?(即取a与b中的最大者),那么?在Z中() ①不适合交换律;②不适合结合律;③存在单位元;④每个元都有逆元。 4、设G,为群,其中G是实数集,而乘法:a ^a b k,这里k为G中固定的常数。那么群G/中的单位元e和元x的逆元分别是() ①0和-x ;②1和0 ;③k和x-2k ;④-k和-(x 2k)。 5、设a,b,c和x都是群G中的元素且x2a =bxc」,acx =xac,那么x=() ① bc J a 4;② c °a ';③ a J bc J;④ b 'ca。 6、设H是群G的子群,且G有左陪集分类 5 , aH ,bH ,cH }。如果6,那么G的阶G =() ①6;②24;③10 ;④12。 7、设f :G1 > G2是一个群同态映射,那么下列错误的命题是() ①f的同态核是G1的不变子群;②G2的不变子群的逆象是G1的不变子群;③G1的子群的象是G2的子群;④G1的不变子群的象是G2的不变子群。 8设f :尺> R2是环同态满射,f(a)二b,那么下列错误的结论为() ①若a是零元,则b是零元;②若a是单位元,则b是单位元; ③若a不是零因子,则b不是零因子;④若R2是不交换的,则R1不交换。 9、下列正确的命题是() ①欧氏环一定是唯一分解环;②主理想环必是欧氏环; ③唯一分解环必是主理想环;④唯一分解环必是欧氏环。 10、若I是域F的有限扩域,E是I的有限扩域,那么() ①E:I = E:I I :F ;② F:E=I:FE:I ; ③ I:…E:FF:I ;④ E:…E:II:F。

近世代数期末考试试卷与答案

一、单项选择题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共15 分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G有6个元素的循环群,a是生成元,则G的子集()是子群 3、在自然数集N 上,下列哪种运算是可结合的?() 3 =(1324 ),则3 =() A 、 2 1 B、 1 2 C、2 2 D 、 2 1 5 、 任意一个具有 2 个或以上元的半群,它() A 、 不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、是交换群 二、填空题(本大题共10 小题,每空3分,共30 分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1 、凯莱定理说:任一个子群都同一个 ------ 同构 2、一个有单位元的无零因子称为整环。 4 3、已知群G中的元素a 的阶等于50,则 a 的阶等于 A、a B 、 a,e C、3 e,a 3 D 、 e,a,a 2、下面的代数系统(G,*)中,( A、G 为整数集合,*为加法 C、G 为有理数集合,* 为加法)不是群 B 、G 为偶数集合,*为加法D 、G 为有理数集合,*为乘法 A、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1 、 2 、3是三个置换,其中1=(12)(23)(13),2=(24)(14),

4、 a 的阶若是一个有限整数n ,那么G 与—— 同构。 5、 A={1.2.3} B={2.5.6} 那么 A A B=-----。 6 、若映射 既是单射又是满射,则称 为 --------------- 7、 叫做域 F 的一个代数元, 如果存在 F 的 --------------- a0,a1, ,an 使得 a 0 a 1 8、a 是代数系统(A,0)的元素,对任何x A 均成立x a x ,则称a 为 ---------- 对于乘法封闭;结合律成立、 ------ 。 10 、一个环 R 对于加法来作成一个循环群,则 P 是 ------- 三、解答题(本大题共 3小题,每小题 10 分,共 30分) 1、 设集合A={1,2,3}G 是A 上的置换群,H 是G 的子群,H={l,(1 2)},写出H 的所有陪集。 2、 设E 是所有偶数做成的集合,“ ? ”是数的乘法,则“ ? ”是E 中的运算,(E ,?)是 一个代数系统,问( E , ? )是不是群,为什么? 3 、 a=493, b=391, 求 (a,b ), [a,b] 和 p, q 。 四、证明题(本大题共 2小题,第 1 题10 分,第 2小题15 分,共 25 分) 1、 若<G ,*>是群,则对于任意的a 、b € G ,必有惟一的x € G 使得a*x = b 。 2、 设 m 是一个正整数,利用 m 定义整数集 Z 上的二元关系: a ? b 当且仅当a n n 9、有限群的另一定义:一个有乘法的有限非空集合 G 作成一个群,如果满足 G

北航2012抽象代数试卷与答案

班号学号姓名成绩 《抽象代数》期末考试卷 注意事项: 1、请大家仔细审题 2、千万不能违反考场纪律 题目: 一、判断题(每小题2分,共20分)(?) 1、设* 是集合X上的二元运算,若a∈ X是可约的,则a是可逆的。(√) 2、任何阶大于1的群没有零元。 (√) 3、任何群都与一个变换群同构。 (√) 4、奇数阶的有限群中必存在偶数个阶为2的元素。 (√) 5、素数阶群必为循环群。 (?) 6、x 2 + 5 是GF (7) 上的不可约多项式。 (√) 7、环的理想构成其子环。 (?) 8、有补格中任何元素必有唯一的补元。 (?) 9、格保序映射必为格同态映射。 (√) 10、设A?S,则< P(A),? > 是格< P (S),? > 的子格。 二、填空题(10分) 1、设〈G,*〉为群,a,b∈G且a的阶为n,则b-1a b的阶为__n______。 2、设〈G,*〉为群且a∈G。若k∈I且a的阶为n,则a k 的阶为_n/(n,k) _; 并且 a k = e 当且仅当__n | k 3、域的特征为___0或素数___________ ;有限域的阶必为___素数的幂______。 4、GF(3)上的二次不可约首1多项式有_x2+1,x2+x+2,x2+2x+2 5、设D 是I+ 上的整除关系,即对任意的a,b∈I+ ,a D b 当且仅当a | b。 对任意a,b∈I+ ,则a * b = __(a, b)__, a ⊕b = __[a, b]__。 三、计算题(40分,每小题8分) 1、试求群< N11—{0},·11 > 的所有子群。 解: 所有子群是: <{1}, ?11 > <{1, 3, 4, 5, 9}, ?11 > <{1, 10}, ?11 > < N11—{0},?11 >

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