从中国机电产品的进出口来分析李嘉图模型和赫克歇尔-俄林模型的差异

从中国机电产品的进出口来分析李嘉图模型和赫克歇尔-俄林模型的

差异

从商务数据中心重点商品进出口统计可以看到，主要进口产品统计中机电产品占据61992289万美元，主要出口产品统计中机电产品占据88245276万美元，同样高居榜首。本文就从机电产品来试着分析下李嘉图模型与赫克歇尔-俄林模型的差异。

首先,来了解以下这两个模型，李嘉图模型：李嘉图模型的基本思想是，一个国家两个部门的劳动生产率即使都比另一个国家高，或者都比另一个国家低，只要有一个部门的劳动生产率相对较高，该部门就是具有比较优势的部门，这就好比，发达国家的劳动生产率比发展中国家要高，但是他们更愿意让发展中国家生产初级制成品，而他们自己生产高级制成品，比如，美国更愿意从其他国家进口汽车配件，而在本国生产汽车。

赫克歇尔-俄林模型：基本思想有两条：第一，不同的产品是用不同的比列的生产要素生产的：第二，不同的国家具有不用比例的要素禀赋。由此可以判断，一个某种要素相对丰裕的国家在生产中使用该要素比列较高的产品方面具有比较优势。同样的道理，不一样的思考角度，前面论述的是因为劳动生产率的相对比较优势，导致美国更愿意让发展中国家生产初级制成品，而他们自己生产高级制成品，现在换个角度，因为中国的劳动力价格比较低，拥有劳动力的要素禀赋，所以美国才更愿意从中国进口初级制成品的机电配件，而自己附加本国具有的科技和技术要素禀赋，来完成最终的制成品。

分析完了两个模型，再来考擦下中国在出口大量机电产品的同时又在大量的进口机电产品那，宏观经济源于微观，但又高于微观，在我们周围，喜爱用国产手机的，相信不会占很多，但是国产手机依然有强大的出口，长虹，美的，海尔也有着大量的出口，但是同时，又在大量的进口苹果，索尼，诺基亚，奔驰等等，从个体来看，注重的是品位，是享受，因为内在的科技含量和技术水平比较高，那么我们出口的机电产品为什么又能吸引消费者的爱好那，我觉得应该是价格，最关键的就是价格。

因为劳动力的廉价，造成了价格优势，根据李嘉图模型来说，贸易双方都会得益，因为都是在生产各自具有劳动率相对比较优势的产品，而根据赫克歇尔-俄林模型来说，进出口贸易会引起商品价格的变动，而商品价格和要素价格之间有一一对应的关系，因此商品价格的变动也会引起要素价格的变动，这就是说国际贸易会产生收入分配影响，一般来说，一国

丰裕要素的所有者会从贸易中得益，而稀缺要素的所有者会因为贸易而受损。

了解了赫克歇尔-俄林模型，又具有什么样的意义哪？

根据赫克歇尔-俄林模型会得出要素价格均等化，但这在现实中是无法实现的，要素价格均等化只是一种趋势而不可能实现，这是因为，作为一种现实的要素价格的均等化需要满足很多条件，比如：规模收益不变：要素在生产中的可替代性：没有要素密集程度的转变等，所有以上这些条件是现实生活中显然是难以得到全部满足的，因此，要素价格的均等化只是一种趋势。但是了解这种趋势仍然十分重要，因为只要这种趋势确实存在，那么不管一个大国的要素禀赋是怎么样的，只要其实行对外开放的经济政策，积极开展对外贸易，就可以利用这一趋势来增加本国丰裕要素的收益，这从我国改革开放以来，劳动力收入的提高可以很好的得到体现。

参考文献：

1. 商务数据网站

2.《国际经济与贸易第三版》尹翔硕复旦大学出版社

3.《国际经济学》华民复旦大学出版社

第一节 赫克歇尔-俄林模型的假定和相关概念

第一节赫克歇尔-俄林模型的假定和相关概念 一、赫克歇尔-俄林模型的假定 赫克歇尔-俄林模型建立在以下严格的假定基础之上： 1. 世界经济中只有两个国家(A和B)，使用两种生产要素(资本和劳动)生产两种产品(X 和Y)，即两国两要素两商品模型(2×2×2模型)。 2. 生产要素在世界各国是同质的；并且，各国拥有的生产要素的初始水平是既定的，彼此各不相同。生产要素在国内可在产业间自由流动，在国家之间不能流动。 3. 关于生产函数的假定，有三个方面： 第一，生产函数是线性的，且为不变的规模收益(constant return to scale)；生产要素边际生产率为正数但递减。 第二，各国相同产品的生产函数相同，没有技术的差距。 第三，没有要素密集度逆转(factor-intensity reversal)，即不同的产品以不同的要素组合生产，相同产品的要素组合总是相同的。各种产品的要素密集度不随要素相对价格变化而变化。 4. 两国对两种产品的需求形态(demand pattern)相同，各种商品消费比例取决于价格而非收入，即收入水平和偏好不决定贸易类型(pattern of trade)。 5. 没有完全的专业化分工现象，即假定两国在自由贸易下均生产两种产品。 6. 没有运输成本和贸易障碍，商品和要素市场是完全竞争市场。 在各项假定中，与李嘉图模型假定不同且特别关键的假定是：各国要素禀赋不同；产品的要素密集度不随要素相对价格变化而变化。 二、要素价格与要素比率 当假定了两国生产函数相同且均是固定规模收益时，生产要素的物质边际产品(physical marginal products) ——即在其他条件不变时每增加一个单位投入要素所增加的产量——就决定于生产要素的比例。 要素市场竞争和使成本最小化的行为，将确保使生产要素比率与根据生产要素价格得出的生产要素边际替代率(the marginal rate of substitution between factors)相等，作为结果，要素价格与各产业的要素比例将存在一种稳定的(monotonic)关系：一种要素的相对价格上升会伴随着其他相关生产要素使用的增加。 图4-1 生产要素的比例

第十一讲 一线三角模型

相似三角形的基本模型 一、相似三角形判定的基本模型认识 （一）A字型、反A字型（斜A字型） （平行） （不平行） （二）8字型、反8字型 B C B C （蝴蝶型） （平行）（不平行） （三）母子型 B （四）一线三等角型： 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：

一线三等角的变形： 一线三直角的变形： （六）双垂型： 二、相似三角形判定的变化模型 旋转型：由A 字型旋转得到 8字型拓展 专题练习： 1.（2011）如图，等边三角形ABC 的边长为3，点P 为BC 边上一点，且BP =1，点D 为AC 边上一点，若∠APD =60°，则CD 的长为 .

2.（2011）如图，四边形ABCD ，M 为BC 边的中点．若∠B =∠AMD = ∠C =45°，AB =8，CD =9，则AD 的长为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 3.（2011荆州）如图，P 为线段AB 上一点，AD 与BC 交干E ，∠CPD =∠A =∠B ，BC 交PD 于F ，AD 交PC 于G ，则图中相似三角形有（ ） A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对 4. 在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB=90°，点M 是AC 上的一点，点N 是BC 上的一点，沿着直线MN 折叠，使得点C 恰好落在边AB 上的P 点， 求证：MC ：NC =AP ：PB ． 5.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ． 求证：OE OA OC ?=2 ．

一线三角模型及例题

相似三角形判定的复习： 1.相似三角形的预备定理： 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。 2.相似三角形的判定定理： (1)两角对应相等两三角形相似。 (2)两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。 (3)三边对应成比例，两个三角形相似。 3.直角三角形相似的判定定理： (1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。 (2)一直角三角形的斜边和一条直角边与另一直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两三角形相似。 相似三角形的性质： 要点1：相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例 要点2：相似三角形的性质定理： 相似三角形的性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 相似三角形的性质定理2：相似三角形的周长的比等于相似比 相似三角形的性质定理3：相似三角形的面积的比等于相似比的平方 要点3：知识架构图 1、如图，锐角?ABC的高CD和BE相交于点O，图中相似三角形有多少对？请分别写出. 2、如图，在锐角?ABC中，∠ADE=∠ACB，图中相似三角形有多少对？请分别写出.

3、如图已知∠BAC=∠BDC=90°，8,16==??ADE EBC S S . 问：∠BEC 的大小确定吗？若确定，求期度数；若不确定，请说明理由. 4、如图，在ABC △中，90BAC ∠=o ，AD 是BC 边上的高，点E 在线段DC 上，EF AB ⊥，EG AC ⊥，垂足分别为F G ，．求证： （1） EG CG AD CD = ； （2）FD ⊥DG ． G F E D C B A 5、如图，四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点E ，AC ⊥AB ,BD ⊥CD. S ?EBC =16，S ?AED =8. (1)求 AD BC 的值； （2）问：∠BEC 是不是定角？如果是，把它求出来；如果不是，请说明理由. 5、如图，在△ABC 中，角ACB 为直角，CD⊥AB 于点D ，又△ACE 与△BCF 都是等边三角形，连结DE 、DF ； 求证:DE⊥DF E A D C F B A B C D E

一线三等角典型例题

“　 一线三等角”模型在初中数学中的应用 一、“一线三等角”模型的提炼 例1、（2015 年山东·德州卷） (1)问题：如图1，在四边形ABCD 中，点P 为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°.求证：AD·BC=AP·BP. (2)探究：如图2，在四边形ABCD 中，点P 为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由. (3)应用：请利用(1)、(2)获得的经验解决问题：如图3，在△ABD 中，AB=6，AD=BD=5.点P 以每秒1 个单位长度的速度，由点 A 出发，沿边AB 向点B 运动，且满足∠DPC=∠A.设点P 的运动时间为t（秒），当以D 为圆心，以DC 为半径的圆与A B相切，求t 的值. 变式1 ( 2012 年烟台) ( 1) 问题探究 如图6，分别以△ABC 的边AC 与边BC 为边，向△ABC 外作正方形ACD1E1 和正方形BCD2E2，过点C作直线KH 交直线AB 于点H，使∠AHK = ∠ACD1．作 D1M ⊥KH，D2N ⊥KH，垂足分别为点M、N．试探究线段D1M 与线段D2N 的数量关系，并加以证明． ( 2) 拓展延伸 1如图7，若将“问题探究”中的正方形改为正三角形，过点 C 作直线K1H1 ，K2H2，分别交直线AB 于点H1、H2，使∠AH1K1 = ∠BH2K2 = ∠ACD1．作D1M ⊥K1H1，D2N⊥K2H2，垂足分别为点M、N． D1M = D2N 是否仍成立? 若成立，给出证明; 若不成立，说明理由． 2如图8，若将①　中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变．D1M = D2N 是否仍成立? ( 要求:在图8 中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明)

第四章 新古典国际贸易理论的基本模型：赫克歇尔——俄林模型

第四章新古典国际贸易理论的基本模型：赫克歇尔——俄林模型 【教学目的和要求】 本章包括三大内容：一是要素禀赋的理论—H-O理论；二是要素价格均等与收入分配；三是里昂惕夫之谜。H-O理论是国际贸易的基本理论之一。李嘉图揭示了比较优势是产生价格差异的原因，从而为有利可图的国际贸易奠定了基础；而H-O理论则进一步揭示了比较优势产生的原因是由于不同国家有不同的要素禀赋，因此使得同一产品在不同的国家有的不同的比较成本，这是形成国际贸易的根本原因。要使学生从理论与实际的结合上理解我国要素禀赋的基本状况、比较优势的基本特点，在对外开放过程中发挥比较优势的必然性和重大意义，掌握比较优势动态变化的规律，使我国在改革开放过程中进一步提高国际竞争力。【教学重点、难点和建议】 1.理解H-O理论的假定条件。在以后章节中，随着假定条件的变化，该理论的结论会出现 某些变化，更加接近现实世界的客观实际。 2.理解两个重要概念：要素密集度和要素充裕度。结合实际理解这是相对的概念，与绝对 量无关。 3.首先，理解H-O 定理认为成本差异的原因是：不同的国家有不同的要素禀赋；生产不同 的商品需要不同的要素密度。其次，理解H-O 定理的结论，一个国家应该出口那些密集地使用其供应充裕和价格低廉的要素生产的商品，进口那些密集地使用其供应稀缺和价格昂贵的要素生产的商品，才能从贸易中获利。 4.理论联系实际的分析我国比较优势的现状和特点，以启发和培养学生分析问题的习惯和 能力。如：我国农业生产的要素禀赋状况和按照比较优势调整农业产业结构的重要意义； 分析我国工业品出口结构，理解我国的比较优势；分析发达国家的比较优势，理解我国对外贸易的互利性和互补性；联系珠三角加工贸易的发展过程以及产业结构调整的必要性，等等。 5.要素价格均等与收入分配部分是本章比较抽象的内容和难点，需要认真讲解。 6.国际贸易对要素价格的影响是本章难点之一。需要教育学生区分为短期影响和长期影 响。在短期内，收益与受损将以产出部门而划分：所有与上升的产出部门有关的集团将受益，而所有与衰落的产出部门有关的集团将受损。长期影响则大不相同，贸易将在各参与国中，使一部分人的经济状况绝对改善，而使另一部分人的经济状况绝对恶化。由此产生了斯托尔珀—萨缪尔森定理：在上述假设条件下，从没有贸易到自由贸易的转变毫无疑问地提高了价格上升产业所密集使用的要素（土地）的收益，降低了价格下降产业所密集使用的要素（劳动）的收益，无论两种要素供应者倾向于消费哪种商品。（在一系列严格的假定条件下，国际贸易可以导致国家之间要素价格的均等化，这称为要素价格均等化的理论，equalization of factor prices, 是H-O 理论的延伸。） 7.里昂惕夫之谜是本章的另一重点，要求学生分析和比较经济学家对此的不同解释，最后

相似三角形典型模型及例题

1：相似三角形模型 一：相似三角形判定的基本模型 （一）A 字型、反A 字型（斜A 字型） A B C D E C B A D E （平行） （不平行） （二）8字型、反8字型 J O A D B C A B C D （蝴蝶型） （平行） （不平行） （三）母子型 A B C D C A D （四）一线三等角型： 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：

（五）一线三直角型： 三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下： 当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。 （六）双垂型： C A D 二：相似三角形判定的变化模型 旋转型：由A字型旋转得到8字型拓展 C B E D A 共享性 一线三等角的变形 G A B C E F

一线三直角的变形 2：相似三角形典型例题 （1）母子型相似三角形 例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ． 求证：OE OA OC ?=2 ． 例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠． 求证：（1）DA DE DB ?=2 ； （2）DAC DCE ∠=∠． 例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ． 求证：EG EF BE ?=2 ． 1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ?=2 ． 2、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延 A C D E B

一线三等角典型例题

“ 一线三等角”模型在初中数学中的应用 一、“一线三等角”模型的提炼 例1、（2015 年·卷） (1)问题：如图1，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°.求证：AD·BC=AP·BP. (2)探究：如图2，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由. (3)应用：请利用(1)、(2)获得的经验解决问题：如图3，在△ABD 中，AB=6，AD=BD=5.点P 以每秒1 个单位长度的速度，由点 A 出发，沿边AB 向点 B 运动，且满足∠DPC=∠A.设点P 的运动时间为t （秒），当以D 为圆心，以DC 为半径的圆与A B 相切，求t 的值. 变式1 ( 2012 年) ( 1) 问题探究 如图6，分别以△ABC 的边AC 与边BC 为边，向△ABC 外作正方形ACD 1E 1 和正方形BCD 2E 2，过点C 作直线KH 交直线AB 于点H ，使∠AHK = ∠ACD 1 ． 作 D 1M ⊥ KH，D 2N ⊥ KH，垂足分别为点M 、N ． 试探究线段D 1M 与线段D 2N 的数量关系，并加以证明． ( 2) 拓展延伸 1 如图7，若将“问题探究”中的正方形改为正三角形，过点C 作直线K 1H 1 ，K 2H 2，分别交直线AB 于点H 1、H 2，使∠AH 1K 1 = ∠BH 2K 2 = ∠ACD 1 ． 作D 1M ⊥K 1H 1，D 2N⊥K 2H 2，垂足分别为点M 、N ． D 1M = D 2N 是否仍成立? 若成立，给出证明; 若不成立，说明理由． 2 如图8，若将① 中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变． D 1M = D 2N 是否仍成立? ( 要求: 在图8 中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明)

第二章绝对优势和比较优势理论 习题

第二章古典贸易理论 1．根据下面两个表中的数据，确定（1）贸易前的相对价格；（2）比较优势型态。 表1 X、Y的单位产出所需的劳动投入 A B X Y 6 2 15 12 表2 X、Y的单位产出所需的劳动投入 A B X Y 10 4 5 5 答案提示：首先将劳动投入转化为劳动生产率，然后应用与本章正文中一样的方法进行比较。 2．假设A、B两国的生产技术条件如下所示，那么两国还有进行贸易的动机吗？ 解释原因。 表3 X、Y的单位产出所需的劳动投入 A B X Y 4 2 8 4 答案提示：从绝对优势来看，两国当中A国在两种产品中都有绝对优势；从比较优势来看，两国不存在相对技术差异。所以，两国没有进行国际贸易的动机。

3．证明即使一国在某一商品上具有绝对优势，也未必具有比较优势。 答案提示：如果a x>b x，则称A国在X生产上具有绝对优势；如果a x/a y>b x/b y，则称A国在X生产上具有比较优势。当a y=b y或者a yb x可以推出a x/a y>b x/b y，但是，当a y>b y的时候，a x>b x不能保证。所以，即使一国在某一商品上具有绝对优势，也未必具有比较优势。 4．根据书中第二个例子的做法，如果按照比较劣势的原则进行国际分工，那么会对世界生产带来什么净影响？ 答案提示：略 5．假设某一国家拥有20，000万单位的劳动，X、Y的单位产出所要求的劳动投入分别为5个单位和4个单位，试确定生产可能性边界方程。 答案提示： 6．根据上一题的条件，再加上以下几个条件，试确定该国的出口量，并在图中画出贸易三角形。 （1） X的国际相对价格为2； （2）进口为2，000个单位。

一线三等角模型综合题解

【例1】已知正方形ABCD和等腰Rt△BEF，BE=EF，∠BEF=90°，按图①放置，使点F在BC上，取DF的中点G，连接EG、CG． （1）探索EG、CG的数量关系和位置关系并证明； （2）将图①中△BEF绕B点顺时针旋转45°，再连接DF，取DF中点G（如图②），问（1）中的结论是否仍然成立．证明你的结论； （3）将图①中△BEF绕B点转动任意角度（旋转角在0°到90°之间），再连接DF，取DF的中点G（如图③），问（1）中的结论是否仍然成立，证明你的结论．

【例2】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=BC=6，AD=3．点M为边BC的中点，以M为顶点作∠EMF=∠B，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，连接EF． （1）求证：△MEF∽△BEM； （2）若△BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长； （3）若EF⊥CD，求BE的长．

【例3】如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，AD=6cm，CD=4cm，BC=BD=10cm，点P 由B 出发沿 BD 方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF 由DC 出发沿DA 方向匀速运动，速度为1cm/s，交BD 于Q，连接PE．若设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题： （1）当t 为何值时，PE∥AB； （2）设△PEQ 的面积为y（cm 2），求y 与t 之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使S△PEQ=25 2S△BCD？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由；(4)连接PF，在上述运动过程中，五边形PFCDE 的面积是否发生变化？说明理由．

中考数学压轴题专项汇编专题一线三等角模型

专题17 一线三等角模型 破解策略 在直线AB 上有一点P ，以A ，B ，P 为顶点的∠1，∠2，∠3相等，∠1，∠2的一条边在直线AB 上，另一条边在AB 同侧，∠3两边所在的直线分别交∠1，∠2非公共边所在的直线于点C ，D ． 1．当点P 在线段AB 上，且∠3两边在AB 同侧时． （1）如图，若∠1为直角，则有△ACP ∽△BP D ． 321D B P A C （2）如图，若∠1为锐角，则有△ACP ∽△BP D ． 3 C D P A 证明：∵∠DPB ＝180°－∠3－∠CPA ，∠C ＝180°－∠1－∠CPA ，而∠1＝∠3 ∴∠C ＝∠DPB ， ∵∠1＝∠2，∴△ACP ∽△BPD （3）如图，若∠1为钝角，则有△ACP ∽△BP D ． 231D B P A C 2．当点P 在AB 或BA 的延长线上，且∠3两边在AB 同侧时． 如图，则有△ACP ∽△BP D ． 32 1C P D B A 证明：∵∠DPB ＝180°－∠3－∠CPA ，∠C ＝180°－∠1－∠CPA ，而∠1＝∠3 ∴∠C ＝∠DPB ， ∵∠1＝∠2＝∠PBD ，∴△ACP ∽△BPD 3．当点P 在AB 或BA 的延长线上，且∠3两边在AB 异侧时． 如图，则有△ACP ∽△BP D ．

32 1C D B A P 证明：∵∠C ＝∠1－∠CPB ，∠BPD ＝∠3－∠CPB ，而∠1＝∠3 ∴∠C ＝∠BP D ． ∵∠1＝∠2，∴∠PAC ＝∠DBP ．∴△ACP ∽△BP D ． 例题讲解 例1：已知：∠EDF 的顶点D 在△ABC 的边AB 所在直线上（不与点A ，B 重合）．DE 交AC 所在直线于点M ，DF 交BC 所在直线于点N ．记△ADM 的面积为S 1，△BND 的面积为S 2． （1）如图1，当△ABC 是等边三角形，∠EDF ＝∠A 时，若AB ＝6，AD ＝4，求S 1S 2的值； （2）当△ABC 是等腰三角形时，设∠B ＝∠A ＝∠EDF ＝α． ①如图2，当点D 在线段AB 上运动时，设AD ＝a ，BD ＝b ，求S 1S 2的表达式（结果用a ，b 和a 的三角函数表示）． ②如图3，当点D 在BA 的延长线上运动时，设AD ＝a ，BD ＝b ，直接写出S 1S 2的表达式． N F C M E B D A F N M E B D A C F N D A B E M C 图1 图2 图3 解：（1）如图4，分别过点M ，N 作AB 的垂线，垂足分别为G ，H ． H G A D B E M C F N 则S 1S 2＝ 1 2 MG AD 12 NH BD ＝ 14 AD AM sin A BD BN sinB ． 由题意可知∠A ＝∠B ＝60o，所以sin A ＝sin B ＝32 ． 由“一线三等角模型”可知△AMD ∽△BDN ． ∴ AM AD BD BN ，从而AM BN ＝AD BD ＝8，∴S 1S 2＝12． （2）①如图5，分别过点M ，N 作AB 的垂线，垂足分别为G ，H ．

相似三角形典型模型及例题

1:相似三角形模型一：相似三角形判定的基本模型 (一)A字型、反Ａ字型(斜A字型） B ?（平行）(不平行) （二）8字型、反8字型 B C B C（蝴蝶型） (平行） (不平行) (三)母子型 B (四）一线三等角型： 三等角型相似三角形是以等腰三角形(等腰梯形）或者等边三角形为背景,一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示:

(五）一线三直角型： 三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例,三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景,或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角,几种常见的基本图形如下: 当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似, 这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。 ( 六）双垂型： C A D 二:相似三角形判定的变化模型 旋转型：由Ａ字型旋转得到8字型拓展 C B E D A 共享性 一线三等角的变形 G A B C E F

一线三直角的变形 ２:相似三角形典型例题 (１）母子型相似三角形 例１：如图,梯形AＢCD中,AD∥ＢC，对角线AC、BＤ交于点O，BE∥CD交ＣA延长线于E．求证：OE OA OC? = 2． 例２：已知：如图,△ABC中,点E在中线AD上, ABC DEB∠ = ∠. 求证:（1)DA DE DB? = 2; （2)DAC DCE∠ = ∠. 例３：已知:如图,等腰△ＡBC中，AB＝AＣ,AＤ⊥ＢC于Ｄ，CＧ∥AＢ,BG分别交AＤ、AＣ于E、Ｆ. 求证：EG EF BE? = 2． １、如图,已知ＡD为△AＢC的角平分线，EF为ＡD的垂直平分线．求证:FC FB FD? = 2. A C D E B

朱俊辉相似三角形模型讲解-一线三等角问题讲义

个性化讲义编号： hy05 第一部分相似三角形模型分析 一、相似三角形判定的基本模型认识 （一）A字型、反A字型（斜A字型） B （平行） B （不平行） （二）8字型、反8字型 B C B C （蝴蝶型）（平行）（不平行）

（三）母子型 B （四）一线三等角型： 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景 （五）一线三直角型： （六）双垂型：

二、相似三角形判定的变化模型 旋转型：由A 字型旋转得到。 8字型拓展 C B E D A 共享性 G A B E F 一线三等角的变形 一线三直角的变形

第二部分 相似三角形典型例题讲解 母子型相似三角形 例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ． 求证：OE OA OC ?=2 ． 例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠． 求证：（1）DA DE DB ?=2 ； （2）DAC DCE ∠=∠． 例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ． 求证：EG EF BE ?=2 ． 相关练习： 1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ?=2 ． A C D E B

2、已知：AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C=90°，EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。 求证：(1)△AME∽△NMD; (2)ND2=NC·NB 3、已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一点，CF⊥BE于F。 求证：EB·DF=AE·DB 4.在?ABC中，AB=AC，高AD与BE交于H，EF BC ⊥，垂足为F，延长AD到G，使DG=EF，M是AH的中点。 求证：∠=? GBM90 5．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分） 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC 于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD=∠A．设 A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y． （1）求证：AE=2PE； （2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积． A B P D E （第25题图） G M F E H D C A

中考数学专题复习一线三角三等角型

“一线三等角”基本图形解决问题 三角形相似在整个初中数学中有着重要的地位，在学习三角形相似形时，我们从复杂图形中分离出基本数学模型，对分析问题、解决问题有化繁为简的效果。在近几年的中考题中，经常可以看到“一线三等角”的数学模型，所谓“一线三等角”是指在一条直线上出现了三个角相等。所以，只要见到一条直线上出现了三个等角，往往都存在这样的模型，也会存在相似三角形，当出现了有相等边的条件之后，相似就转化为全等了，综合性题目往往就会把相似和全等的转化，作为出题的一种形式，需要大家注意。本文将重点对这一基本图形进行探讨。通过对题目的有效分解，打破同学们对综合题的畏惧心理，让同学们加深对于题目条件的使用：条件用完，即使题目没有求解完毕，也得到相应的分数，提高问题解决的能力，在这个师生共同探讨的过程中鼓励学生尝试解题，并加强题后反思，培养他们解题的能力。 一、知识梳理： （1）四边形ABCD是矩形，三角板的直角顶点M在BC边上运动，直角边分别与射线BA、射线CD交于E、F，在运动过程中，△EBM∽△MCF. （2）如图1：已知三角形ABC中，AB=AC,∠ADE=∠B,那么一定存在的相似三角形有 △ABD∽△DEC. 如图2：已知三角形ABC中，AB=AC,∠DEF=∠B,那么一定存在的相似三角形有△DBE∽△ECF. （图1）（图2） 二、【例题解析】 【例1】(2014四川自贡）阅读理解： 如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB 上的强相似点．解决问题： （1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由； （2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD 的边AB上的一个强相似点E； 拓展探究： （3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．

一线三角-一线三直角

一线三角-一线三直角

变式：如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 是BC 上一点，且BP =2，将一个大小与∠B 相等的角的顶 点放在P 点，然后将这个角绕P 点转动，使角的两边始终分别与AB 、AC 相交，交点为D 、E 。 （1）求证△BPD ∽△CEP （2）是否存在这样的位置，△PDE 为直角三角形？若存在，求出BD 的长；若不存在，说明理由。 -------------压轴题突破---一线三角 例1：在ABC D 中，5AB AC ==，8BC =，点P 、Q 分别在射线CB 、AC 上（点 P 不与点C 、点B 重合），且保持APQ ABC ??. ①若点P 在线段CB 上（如图），且6BP =，求线段CQ 的长； ②若BP x =，CQ y =，求y 与x 之间的函数关系式，并写出函数的 定义域； C P E A B D A C

1.与等腰三角形底角相等的角的顶点不仅在线段上还可以运动至线段的延长线上，这类变式问题是上海中考中最常见的，虽然图形改变，但是方法不变，依旧是原来的两个三角形相似列出比例式后求解。当等腰三角形变式为正方形时，依然沿用刚才的方法便可破解此类问题。 2.此题是典型的图形变式题，记住口诀：“图形改变，方法不变”。动点在线段上时，通过哪两个三角形相似求解，当动点在线段的延长线上时，还是找原来的两个三角形，多数情况下这两个三角形还是相似的，还是可以沿用原来的方法求解。 变式：正方形ABCD 的边长为5（如图），点P 、Q 分别在直线．．CB 、DC 上（点P 不与点C 、点B 重合）， 且保持90APQ ??.当1CQ =时，写出线段BP 的长（不需要计算过程，请直接写出 结果）. 例2：已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且AD ＝5，AB ＝DC ＝2． （1）如图，P 为AD 上的一点，满足∠BPC ＝∠A ． ①求证；△ABP ∽△DPC ②求AP 的长． （2）如果点P 在AD 边上移动（点P 与点A 、D 不重合），且满足∠BPE ＝∠A ，PE 交直线BC 于点E ，同时交直线DC 于点Q ，那么 ①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设AP ＝x ，CQ ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； ②当CE ＝1时，写出AP 的长（不必写出解题过程）． A B C D C B

赫克歇尔-俄林模型(H-O MODEL)

赫克歇尔－俄林模型 (重定向自赫克谢尔-俄林要素禀赋学说) 赫克歇尔－俄林模型(Heckscher–Ohlin model)又称资源禀赋理论，简称：H－O理论、H－O模型。 李嘉图的相对优势模型表明当劳动力是唯一的生产要素时，生产技术水平（生产效率）的差异使各国在不同的商品生产上具有相对优势。当生产中投入劳动力和资本等多种生产要素时，国家间要素禀赋差异将使各国在不同的商品生产上具有相对优势。赫克歇尔－俄林模型将考察这一命题。瑞典经济学家赫克歇尔（ELI.Heckscher）和其学生俄林（Bertil Ohlin）所提出的资源禀赋理论（Factor Endowments Theory），又叫H－O理论、H－O模型，它建立在对现实经济简单化、抽象化的严格模型设定基础上。 H－O模型假定只有两种生产要素劳动力和资本。假定只有两种商品X、Y，且X商品是劳动密集型商品，Y商品是资本密集型商品。要素密集是通过对两种商品生产中投入的资本－劳动比率进行比较而确定的，资本－劳动比率（K/L）高的为资本密集型商品，资本－劳动比率低的为劳动密集型商品。还假定只有两个国家A、B，且B国资本充裕，A国劳动力充裕。要素充裕是通过对两国生产要素相对价格或生产要素总量相对比例进行比较而确定的，B国的资本价格与劳动力价格之比小于A国，则B国资本充裕，A国劳动力充裕；或者B国的资本总量与劳动力总量之比大于A国，则B国资本充裕，A国劳动力充裕。两国具有相同的偏好，有同一组社会无差异曲线。H－O定理表明资本充裕的国家在资本密集型商品上具有相对优势，劳动力充裕的国家在劳动力密集型商品上具有相对优势，一个国家在进行国际贸易时出口密集使用其相对充裕和便宜的生产要素的商品，而进口密集使用其相对缺乏和昂贵的生产要素的商品。下面对此进行说明。 图1表示两国国际贸易前的均衡，图中，横轴表示X商品的数量，纵轴表示Y商品的数量，曲线Ⅰ、Ⅱ是社会无差异曲线，社会无差异曲线是能带来一国相同效用满足程度的两种商品不同数量组合的点的连线。它是由个人无差异曲线合成而来，且具有与个人无差异曲线性质相同的特点，例如在一个平面上有无数条社会无差异曲线，离原点越远的表明整个国家效用满足程度越高。由于两国具有相同的偏好，图中只有一组社会无差异曲线。图中曲线PPFA、PPFB分别是国家A、B的生产可能性边界（production possibility frontier），由于国家A劳动力充裕、国家B资本充裕；X商品劳动密集，Y商品资本密集，国家A生产的X 相对较多、国家B生产的Y相对较多，这样曲线PPFA平而宽，曲线PPFB陡而窄。 图中，社会无差异曲线I与PPFA、PPFB分别相切于A、A＇点。A、A＇所表示X和Y商品的数量组合分别是国际贸易前国家A、B的X和Y商品的生产量和消费量，A、A＇分别是国家A、B生产点和消费点。过A点的PPFA切线斜率为PA，它是国家A的X商品相对价格（PX/PY）或机会成本。过A＇点的PPFB切线斜率为PA＇，它是国家B的X商品相对价格。图中显示过A点的切线比过A＇点的切线平坦，这意味着PA

相似三角形模型讲解-一线三等角问题

第一部分 相似三角形模型分析 一、相似三角形判定的基本模型认识 （一）A 字型、反A 字型（斜A 字型） B （平行） B （不平行） （二）8字型、反8字型 B C B C （蝴蝶型） （平行） （不平行） （三）母子型 B （四）一线三等角型： 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景

二、相似三角形判定的变化模型 旋转型：由A 字型旋转得到。8字型拓展 C B E D A 共享性 G A B C E F 一线三等角的变形 一线三直角的变形

第二部分 相似三角形典型例题 讲解 母子型相似三角形 例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ． 求证：OE OA OC ?=2 ． 例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上,ABC DEB ∠=∠． 求证：（1）DA DE DB ?=2 ； （2）DAC DCE ∠=∠． 例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ． 求证：EG EF BE ?=2 ． 相关练习： 1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ?=2 ． 2、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N 。 求证：(1)△AME ∽△NMD; (2)ND 2 =NC ·NB 3、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 上一点，CF ⊥BE 于F 。 求证：EB ·DF=AE ·DB 4.在?ABC 中，AB=AC ，高AD 与BE 交于H ，EF BC ⊥，垂足为F ，延长AD 到G ，使DG=EF ，M 是AH 的中点。 求证：∠=?GBM 90 5．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分） 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =2，AC =4，P 是斜边AB 上的一个动点，PD ⊥AB ，交边AC 于点D （点D 与点A 、C 都不重合），E 是射线DC 上一点，且∠EPD =∠A ．设 A 、P 两点的距离为x ，△BEP 的面积为y ． A C D E B B G M F E H D C A

相似三角形模型讲解-一线三等角问题讲义

个性化讲义编号：hy05 第一部分相似三角形模型分析一、相似三角形判定的基本模型认识 （一）A字型、反A字型（斜A字型） B （平行） B （不平行）（二）8字型、反8字型

B C B C （蝴蝶型）（平行） （不平行） （三）母子型 B （四）一线三等角型： 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型： （六）双垂型：

二、相似三角形判定的变化模型 旋转型：由A 字型旋转得到。 8字型拓展 C B E D A 共享性 G A B C E F 一线三等角的变形 一线三直角的变形

第二部分 相似三角形典型例题讲解 母子型相似三角形 例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ． 求证：OE OA OC ?=2 ． 例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠． 求证：（1）DA DE DB ?=2 ； （2）DAC DCE ∠=∠． 例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ． 求证：EG EF BE ?=2 ． 相关练习： 1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ?=2 ． A C D E B

2、已知：AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C=90°，EF 是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一 点N。 求证：(1)△AME∽△NMD; (2)ND2=NC·NB 3、已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一点，CF⊥BE于F。 求证：EB·DF=AE· DB 4.在?ABC中，AB=AC，高AD与BE交于H，EF BC ⊥，垂足为F，延 长AD到G，使DG=EF，M是AH的中点。 求证：∠=? GBM90 5．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分） 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB， 交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且 ∠EPD=∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y． （1）求证：AE=2PE； （2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； A B P D E G M F E H D C A

一线三角模型及例题

一线三角模型及例题 相似三角形判定的复习： 1.相似三角形的预备定理： 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截成的三角形与原三角形相似。 2.相似三角形的判定定理： (1)两角对应相等两三角形相似。(2)两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。 (3)三边对应成比例，两个三角形相似。 3.直角三角形相似的判定定理： (1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。 (2)一直角三角形的斜边和一条直角边与另一直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两三角形相似。 相似三角形的性质： 要点1：相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例要点2：相似三角形的性质定理： 相似三角形的性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比相似三角形的性质定理2：相似三角形的周长的比等于相似比相似三角形的性质定理3：相似三角形的面积的比等于相似比的平方要点3：知识架构图 对应角相等、对应边成比例对应高之比、对应中线之比、对应角平分线之比都等于相似比．周长之比等于相似

比面积之比等于相似比的平方相似三角形的性质 1、如图，锐角?ABC的高CD和BE相交于点O，图中相似三角形有多少对？请分别写出. ADOBEC 2、如图，在锐角?ABC中，∠ADE=∠ACB，图中相似三角形有多少对？请分别写出. ADOBEC 1 3、如图已知∠BAC=∠BDC=90°，S?EBC?16,S?ADE?8. 问：∠BEC的大小确定吗？若确定，求期度数；若不确定，请说明理. A D E B C ?4、如图，在△ABC中，?BAC?90，AD是BC边上的高，点E在线段DC上，EF?AB，EG?AC， 垂足分别为F，G．求证： EGCG?； ADCDFD⊥DG． AGFBDEC 5、如图，四边形ABCD中，AC与BD交于点E，AC⊥AB,BD ⊥CD. S?EBC=16，S?AED=8.

一线三角模型及例题

相似三角形判定的复习： 1.相似三角形的预备定理： 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。 2.相似三角形的判定定理： (1)两角对应相等两三角形相似。 (2)两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。 (3)三边对应成比例，两个三角形相似。 3.直角三角形相似的判定定理： (1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。 (2)一直角三角形的斜边和一条直角边与另一直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两三角形相似。 相似三角形的性质： 要点1：相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例 要点2：相似三角形的性质定理： 相似三角形的性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 相似三角形的性质定理2：相似三角形的周长的比等于相似比 相似三角形的性质定理3：相似三角形的面积的比等于相似比的平方 要点3：知识架构图 1、如图，锐角?ABC 的高CD 和BE 相交于点O ，图中相似三角形有多少对？请分别写出. A B C D E O 2、如图，在锐角?ABC 中，∠ADE=∠ACB ，图中相似三角形有多少对？请分别写出. A B C D E O 周长之比等于相似比 相似三角形的性质 对应角相等、对应边成比例 面积之比等于相似比的平方 对应高之比、对应中线之比、对应角平分线之比都等于相似比．

3、如图已知∠BAC=∠BDC=90°，8,16==??ADE EBC S S . 问：∠BEC 的大小确定吗？若确定，求期度数；若不确定，请说明理由. 4、如图，在ABC △中，90BAC ∠=，AD 是BC 边上的高，点E 在线段DC 上，EF AB ⊥，EG AC ⊥，垂足分别为F G ，．求证： （1） EG CG AD CD = ； （2）FD ⊥DG ． G F E D C B A 5、如图，四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点E ，AC ⊥AB,BD ⊥CD. S ?EBC =16，S ?AED =8. (1)求 AD BC 的值； （2）问：∠BEC 是不是定角？如果是，把它求出来；如果不是，请说明理由. A B C D E 5、如图，在△ABC 中，角ACB 为直角，CD ⊥AB 于点D ，又△ACE 与△BCF 都是等边三角形，连结DE 、DF ； 求证:DE ⊥DF E A D C F B A B C D E