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高考数学压轴题100道汇编(附详解)

高考数学100道压轴题汇编附详解

1．设函数

()1,121,23

x f x x x ≤≤?=?

-<≤?， ()()[],1,3g x f x ax x =-∈，

其中a R ∈，记函数()g x 的最大值与最小值的差为()h a 。（I ）求函数()h a 的解析式；（II ）画出函数

()y h x =的图象并指出()h x 的最小值。

2．已知函数()()ln 1f x x x =-+,数列{}n

a 满足1

01a

<<, ()1n n a f a +=; 数列{}n b 满

足1111,(1)22

n n b b n b +=≥+, *n N ∈.求证:（Ⅰ）101;n n a a +<<<（Ⅱ）2

1;2n n a a +<（Ⅲ）若12,

a =

则当n ≥2时,!n

n b

a n >?.

3．已知定义在R 上的函数f (x ) 同时满足：（1）

()()2()cos24sin f x x f x x f x x a x ++-=+（12

,x x ∈R ，

a 为常数）；（2）(0)()14

f f π==；（3）当0,4

x π∈［］

时，()

f x ≤2 求：（Ⅰ）函数()f x 的解析式；（Ⅱ）

常数a 的取值范围．

4．设)0(1),(),,(22222211>>=+b a b

x x y y x B y x A 是椭圆上的两点，满足0),(),(2211=?a y b x a y b x ，

椭圆的离心率,

e 短轴长为2，0为坐标原点. （1）求椭圆的

方程；（2）若直线AB 过椭圆的焦点F （0，c ），（c 为半焦距），求直线AB 的斜率k 的值；（3）试问：△AOB

的面积是否为定值？如

个个

果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.

5．已知数列{}n

a 中各项为：

12、1122、111222、 (111)

??????222n

?????? …… （1）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积. （2）求这个数列前n 项之和S n .

6、设1F 、2F 分别是椭圆22

154

x y +=的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆

上的一个动点，求2

PF PF ?的最大值和最小值；（Ⅱ）是否存在过

点A （5，0）的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，使得|F 2C|=|F 2D|？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由.

7、已知动圆过定点P （1，0），且与定直线L:x=-1相切，点C 在l 上. (1)求动圆圆心的轨迹M 的方程；

B ,A M 3,P )2(两点相交于的直线与曲线且斜率为设过点-

（i ）问：△ABC 能否为正三角形？若能，求点C 的坐标；若不能，说明理由

（ii ）当△ABC 为钝角三角形时，求这种点C 的纵坐标的取值范围. 8、定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)，

（1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0；（3）证明：f(x)是R 上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x 2)>1，求x 的取值范围。

9、已知二次函数

)

,(2)(2R c b c bx x x f ∈++=满足0)1(=f ，且关于x 的方程

0)(=++b x x f 的两实数根分别在区间（-3，-2），（0，1）内。（1）

求实数b 的取值范围；（2）若函数)(log )(x f x F b

=在区间（-1-c ，1-c ）

上具有单调性，求实数C 的取值范围

10、已知函数

1)2

(,)1,1()(-=-f x f 上有意义在且任意的

、

)

1,1(-∈y 都有

)()(xy

y x f y f x f ++=+ （1）若数列).(),(12,21}{*

211

n n

n n n

x f N n x x x x

x 求满足∈+==

（2）求)

21()1

31(

)111()5

1(12+++++++n f n n f f f 的值.

11.在直角坐标平面中，△ABC 的两个顶点为 A （0，－1），B （0,

1）平面内两点G 、M 同时满足①0GA GB GC ++= , ②||MA = ||MB =

||MC ③GM

∥AB （1）求顶点C 的轨迹E 的方程（2）设P 、

Q 、R 、N 都在曲线E 上，定点F 的坐标为（2,

0），已知PF ∥FQ , RF ∥FN 且PF ·RF = 0.求四边形PRQN 面积S 的最大值

和最小值.

12．已知α为锐角，且12tan -=α，函数)4

2sin(2tan )(2π

αα+

?+=x x x f ，数列

{a n }的首项)(,2

n n a f a a

+. ⑴ 求函数)(x f 的表达式； ⑵ 求证：n n a a >+1；

⑶ 求证：),2(211

11111*21N n n a a a n

∈≥<++++++<

13．（本小题满分14分）已知数列{}n

a 满足()1

11,21n n a

a a n N *+==+∈

（Ⅰ）求数列{}n

a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n

b 满足n

n b n

b b b b a )1(44441

321+=---- ，证明：{}n

a 是等差数列；

（Ⅲ）证明：()2

111

3n n N a a a *++

<∈

14．已知函数()(),02

3232

≠++-=a cx x a x a x g （I ）当1=a 时，若函数()x g 在区间()1,1-上是增函数，求实数c 的取值范围；

（II ）当2

≥a 时，（1）求证：对任意的[]1,0∈x ，()1/≤x g 的充要条件是4

3≤c ；（3）若关于x 的实系数方程()0/=x g 有两个实根βα,，求证：,1≤α且1≤β的充要条件

是.

a a

c -≤≤-

15．已知数列{a n }前n 项的和为S n ，

前n 项的积为n

T ，且满足(1)2n n n

T -=。

①求1

a ；②求证：数列{a n }是等比数列；③是否存在常数a ，使得()()()

12n n n S a S a S a ++-=--对n N +∈都成立？若存在，求出a ，若不

存在，说明理由。

16、已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，其图像均在x 轴的上方，对任意的[0,)m n ∈+∞、，都有()[()]n

f m n f m =，且(2)4f =，又当0x ≥时，

其导函数'

()0f

x >恒成立。

（Ⅰ）求(0)(1)F f -、的值；（Ⅱ）解关于x 的不

等式：2

2()224kx f x ??+≥??+??

，其中(1,1).k ∈-

17、一个函数()f x ，如果对任意一个三角形，只要它的三边长,,a b c 都在()f x 的定义域内，就有()()(),,f a f b f c 也是某个三角形的三边长，则称()f x 为“保三角形函数”．

（I ）判断()1f x x =，()2

f x x =，()2

f x x =中，哪些

是“保三角形函数”，哪些不是，并说明理由；（II ）如果()g x 是定义在R 上的周期函数，

且值域为()0,+∞，证明()g x 不是“保三角形函数”；（III ）若函数()sin F x x =，x ∈()0,A 是“保三角形函数”，求A 的最大值．（可以利用公式sin sin 2sin cos 2

x y x y x y +-+=）

18、已知数列{}n

a 的前n 项和n

S 满足：(1)1

n a

a a =

--（a 为常数，且

0,1

a a ≠≠）．（Ⅰ）求{}n

a 的通项公式；

（Ⅱ）设21=

S b

a ，若数列{}n

b 为等比数列，求a 的值；（Ⅲ）在满足

条件（Ⅱ）的情形下，设1

11n

n n c a a +=

+-，数列{}n

c 的前n 项和为T n .求

证：1

n >-

．

19、数列{}n a 中，1

=，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =，，，

），且1

a a a ，，成

公比不为1的等比数列。

（I ）求c 的值；（II ）求{}n

a 的通项公式。（III ）由数列{}n

a 中的第1、3、

9、27、……项构成一个新的数列{b n

}，求n

n n b b 1

lim +∞

→的值。

20、已知圆M

P N y x M 为圆点定点),0,5(,36)5(:22=++

上的动点，点Q 在NP

上，点G 在MP 上，且满足0,2=?=NP GQ NQ NP . （I ）求点G 的轨迹C 的方程；（II ）过点（2，0）作直线l ，与曲线C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，设,OB OA OS += 是否存在这样的直线l ，使四边形OASB 的对角线相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，试说明理由.

21．飞船返回仓顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回仓预计到达区域安排三个救援中心（记为A ，B ，C ），B

在A 的正东方向，相距6km,C 在B 的北偏东300，相距4km,P 为航天员着陆点，某一时刻A 接到P 的求救信号，由于B 、C 两地比A 距P 远，因此4s 后，B 、C 两个救援中心才同时接收到这一信号，已知该信号的传播速度为1km/s.

（1）求A 、C 两个救援中心的距离；（2）求在A 处发现P 的方向角；

（3）若信号从P 点的正上方Q 点处发出，则A 、B 收到信号的时间差变大还是变小，并证明你的结论.

22．已知函数||1y x =+，222y x x t

=-++，11()2

t y x x

-=+(0)x > 的最小值恰好

是方程3

20x

ax bx c +++=的三个根，

其中01t <<．（Ⅰ）求证：223a b =+；（Ⅱ）设1

(,)x M ，2

(,)x N 是函数3

2()f x x

ax bx c =+++的两个极值点．①若122||3

x x -=

，

求函数()f x 的解析式；②求||M N -的取值范围．

于23．如图，已知直线l 与抛物线y x

=相切

点P (2，1)，且与x 轴交于点A ，O 为坐标原点，定点B 的坐标为（2，0）. 求

（I ）若动点M 满足0||2=+

?AM BM AB ，

点M 的轨迹C ；

（II ）若过点B 的直线l ′（斜率不等于零）与（I ）中的轨迹C

交于不同的两点E 、F （E 在B 、F 之间），试求△OBE 与△OBF 面积之比的取值范围.

24．设.2)(,ln )(),(2)(--==--=e

p qe e g x x f x f x

q px x g 且其中（e 为自然对数的底数）

（I ）求p 与q 的关系；（II ）若)(x g 在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围；（III ）证明： ①

)1()1(->≤+x x x f ；②)1(412ln 33ln 22ln 2

222+--<

+++n n n n

n （n ∈N ，n ≥2）.

25．已知数列{}n

a 的前n 项和n

S 满足：(1)1

n a

a a =

--（a 为常数，且0,1

a a ≠≠）．（Ⅰ）求{}n

a 的通项公式；（Ⅱ）设0

21n

S b

a =

+，若数列{}n

b 为等

比数列，求a 的值；（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，设1

11n

n n c a a +=

+-，

数列{}n

c 的前n 项和为T n ，求证：123

n >-

．

26、对于函数()f x ，若存在0

x R ∈，使00()f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动

点．如果函数

2()(,*)x a f x b c N bx c +=∈-有且仅有两个不动点0、2，且1(2)2

f -<-．

（Ⅰ）试求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）已知各项不为零的数列{}n

a 满

足14(

)1n

n S

f a =，求证：1111

ln n n

n a n a ++-<<-；（Ⅲ）设1

a =-

，n

T 为数列{}n

b 的

前n 项和，求证：2008

2007

1ln 2008T T -<<．

27、已知函数f （x ）的定义域为{x | x ≠ kπ，k ∈ Z }，且对于定义域内的任何x 、y ，有f （x - y ） = f (x )·f (y )＋1

f (y )－f (x )成立，且f （a ） = 1（a 为

正常数），当0 < x < 2a 时，f （x ） > 0．（I ）判断f （x ）奇偶性；（II ）证明f （x ）为周期函数；（III ）求f （x ）在[2a ，3a ] 上的最小值和最大值．

28、已知点R （－3,0）,点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上 ,且满足230PM MQ +=，0RP PM ?=.

（Ⅰ）⑴当点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设1

(,) (,)A x y B x y 、为轨迹C 上两点，且1

1, 0x y >>，N(1,0)，求实数λ，使

AB AN

λ=，且163

AB ||=

29、已知椭圆W 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为

，两条

准线间的距离为6. 椭圆W 的左焦点为F ，过左准线与x 轴的交点M 任作一条斜率不为零的直线l 与椭圆W 交于不同的两点A 、B ，点A 关于x 轴的对称点为C .

（Ⅰ）求椭圆W 的方程；（Ⅱ）求证：CF FB λ= (λ∈R )；（Ⅲ）求MBC ?面积S 的最大值.

30、已知抛物线2

:ax y C =，点P （1，－1）在抛物线C 上，过点P 作

斜率为k 1、k 2的两条直线，分别交抛物线C 于异于点P 的两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），且满足k 1+k 2=0. （I ）求抛物线C 的焦点坐标；（II ）若点M 满足MA BM =，求点M 的轨迹方程.

31．设函数3

21()()3

f x ax

bx cx a b c =++<<，其图象在点(1,(1)),

(,())

A f

B m f m 处的切线

的斜率分别为0,

-．

（Ⅰ）求证：01b a

<≤；（Ⅱ）若函数()f x 的递增区间为[,]s t ，求||

s t -的取值范围；（Ⅲ）若当x k ≥时（k 是与,,a b c 无关的常数），恒有

1()0

f x a -+<，试求k 的最小值．

32．如图，转盘游戏．转盘被分成8个均匀的扇形区域．游戏规则：用力旋转转盘，转盘停止时箭头A 所指区域的数字就是游戏所得的点数（转盘停留的位置是随机的）．假设箭头指到区域分界

线的概率为01.，同时规定所得点数为0．某同学进行了一次游戏，记所得点数为ξ．求ξ的分布列及数学期望．（数学期望结果保留两位有效数字） 33．设

F ，

F 分别是椭圆

：

2222

162x y m m

+=(0)m >的左，右焦点．（1）当P C ∈，且2

0P F P F

=，

12||||8PF PF ?=时，求椭圆C 的左，右焦点1

F 、2

F ．（2）1

F 、

2F 是（1）中的椭圆的左，右焦点，已

Q （x ，y ）

F 1

F 2

知

2F 的半径是

1，过动点Q 的作

2F 切线QM

，使得1

2QF

=（M 是

切点），如下图．求动点Q 的轨迹方程．

34．已知数列{}n

a 满足1

=, 25a =，116(2)n n n a a a n +-=+≥．

（1）求证：{}12n n a a ++是等比数列；（2）求数列{}n

a 的通项公式；（3）设3(3)n

n n

n b

n a =-，且

12n b b b m +++<对于n N *∈恒成立，求m 的取值范围。

35．已知集合{}1

212()00D x x x

x x x k

=>>+=，，，（其中k 为正常数）

．（1）设12u x x =，

求u 的取值范围；（2）求证：当1k ≥时不等式21212112

()()()2k x x x x k

--≤-对任意1

(,)x x D ∈恒成立；（3）求使不等式2

112()()()2k x x x x k

--≥-对任意

12(,)x x D ∈恒成立的2k 的范围．

36、已知椭圆

C ：22

x ＋22b

y ＝1（a ＞b ＞0）的离心率为

6，过右焦点

F 且斜率为1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，N 为弦AB 的中点。（1）求直线ON （O 为坐标原点）的斜率K ON ；（2）对于椭圆C 上任意一点M ，试证：总存在角θ（θ∈R ）使等式：OM ＝cos θOA ＋sin θOB 成立。

37、已知曲线C 上任意一点M 到点F （0，1）的距离比它到直线2:-=y l 的距离小1。（1）求曲线C 的方程；（2）过点

.,,)2,2(PB AP B A C m P λ=设两点交于与曲线的直线

①当m 求直线时,1=λ的方程；②当

△AOB 的面积为24时（O 为坐标原点），求λ的值。

38、已知数列}{n

a 的前n 项和为n

S ，对一切正整数n ，点),(n

n S n P 都在函

数x x

x f 2)(2

+=的图像上，且过点),(n n S n P 的切线的斜率为n k ．

（1）求

数列}{n

a 的通项公式．（2）若n k n

a b n 2=，求数列}{n b 的前n 项和

n T ．

（3）设},2{},,{**∈==∈==N n a x x R N n k

x x Q n n

，等差数列}{n c 的任一

项R Q c

?∈，其中1c 是R Q ?中的最小数，11511010<

39、已知n

S 是数列{}n

a 的前n 项和，123,

a a ==，且113210n n n S S S +--++=，其

中*2,n n N ≥∈.

(1)求数列{}n

a 的通项公式n a ；(2)(理科)计算lim n n n

S n

a →∞

-的值. ( 文科) 求

n S .

40、)函数)(x f 对任意x ∈R 都有f(x)＋f(1－x)＝1

. （1）求

))(1()1()21(N n n

n f n f f ∈-+和的值；（2）数列

}{),1()1()2()1()0(}{n n n a f n

n f n f n f f a a 求数列满足+-++++= 的通项公式。

（3）令n

S b b b b T a b n n n n n

1632,,1

442

232221-

=++++=-=

试比较

T n 与S n 的大小。

41．已知数列{}n a 的首项1

a =+（a 是常数，且1a ≠-），2

4221+-+=-n n a a

n n

（2n ≥），数列{}n

b 的首项1

a =，2n a

b n n +=（2n ≥）

。（1）证明：{}n b 从第2项起是以2为公比的等比数列；（2）设n

S 为数列{}n

b 的前n 项和，且{}n

S 是等比数列，求实数a 的值；（3）当a>0时，求数列{}n

a 的最小

项。

42．已知抛物线C ：2

2(0)y

px p =>上任意一点到焦点F 的距离比到y 轴

的距离大1。

（1）求抛物线C 的方程；

（2）若过焦点F 的直线交抛物线于M 、N 两点，M 在第一象限，

且|MF|=2|NF|，求直线MN 的方程；

（3）求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提

出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题．

例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，求

该正四棱锥

的体积”．求出体积163

后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱

锥底面边长为4，体积为163

，求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥

的体积为163

，求所有侧面面积之和的最小值”．

现有正确命题：过点(,0)2

p A -的直线交抛物线C ：2

2(0)y

px p =>于P 、

Q 两点，设点P 关于x 轴的对称点为R ，则直线RQ 必过焦点F 。试给出上述命题的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题。

43．已知函数f(x)=52168x x

+-，设正项数列{}n

a 满足1

a =l ，()1

n n a

f a +=．

(I)写出2

a ，3

a 的值; (Ⅱ)试比较n

a 与54

的大小，并说明理由； (Ⅲ)设

数列{}n b 满足n

b =54

－n a ，记S n =1

i b =∑．证明：当n ≥2时,S n ＜14

(2n －1)．

44．已知函数f(x)=x 3

－3ax(a ∈R)． (I)当a=l 时，求f(x)的极小值； (Ⅱ)若直线菇x+y+m=0对任意的m ∈R 都不是曲线y=f(x)的切线，求a 的取值范围； (Ⅲ)设g(x)=|f(x)|，x ∈[－l ，1]，求g(x)的最大值F(a)的解析式．

45．在平面直角坐标系中，已知三个点列{A n }，{B n }，{C n }，其中

),(),,(n n n n b n B a n A )0,1(-n C n ，满足向量1+n n A A 与向量n n C B 共线，且点（B ，n ）

在方向向量为（1，6）的线上.,11

a b a a -==

（1）试用a 与n 表示)2(≥n a

；

（2）若a 6与a 7两项中至少有一项是a n 的最小值，试求a 的取值范

围。

46．已知2

||||),0,2(),0,2(2

=--PF

PF P F F 满足点，记点P 的轨迹为E .

（1）求轨迹E 的方程；

（2）若直线l 过点F 2且与轨迹E 交于P 、Q 两点.

（i ）无论直线l 绕点F 2怎样转动，在x 轴上总存在定点)0,(m M ，

使MQ MP ⊥恒成立，求实数m 的值.

（ii ）过P 、Q 作直线2

1=x 的垂线PA 、OB ，垂足分别为A 、B ，

记|

|||||AB QB PA +=λ，求λ的取值范围.

47．设x 1、)

0()()(22321

>-+=≠a x a bx ax x f x x

x 是函数的两个极值点.

（1）若2

,121

=-=x x

，求函数f (x )的解析式；（2）若b

x x

求,22||||21

=+的最大值；

（3）若)()()(,,1221

x x a x f x g a x x x x --'==<<函数且，求证：.)23(12

|)(|2+≤

a a x g

．

已

知

}

{),10(log )(n a a a x x f <<=，若数列{a n }

*)(42),(,),(),(),(,2321N n n a f a f a f a f n ∈+ 使得成等差数列.

（1）求{a n }的通项

a n ; （2）设

(n n n a f a b ?= 若{b n }的前n 项和是S n ，且

.312:,1122

224<-+<-+a na S a a n n 求证

49．点P

在以21,F F 为焦点的双曲线1:22

22=-b

y a x E )0,0(>>b a 上，已知21PF PF ⊥，||2||21PF PF =，O

为坐标原点．（Ⅰ）求双曲线的离心率e ；（Ⅱ）过点P

作直线分别与双曲线渐近线相交于2

,P P 两点，且4

272

=?OP

OP ，

221=+PP PP ，求双曲线E 的方程；（Ⅲ）若过点)0,(m Q （m 为非零常数）

的直线l 与（2）中双曲线E 相交于不同于双曲线顶点的两点M 、N ，且QN MQ λ=（λ为非零常数），问在x 轴上是否存在定点G ，使

)(21GN GM F F λ-⊥？若存在，求出所有这种定点

G 的坐标；若不存在，

请说明理由．

50.已知函数1163)(23

--+=ax x ax

x f ，1263)(2++=x x x g ，和直线9:+=kx y m ，又

0)1(=-'f ．

（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）是否存在k 的值，使直线m 既是曲线)(x f y =的切线，又是)(x g y =的切线；如果存在，求出k 的值；如果不存在,说明理由．

（Ⅲ）如果对于所有2-≥x 的x ,都有)(9)(x g kx x f ≤+≤成立，求k 的取值范

围．

51．已知二次函数),,(,)(2

R c b a c bx ax

x f ∈++=满足：对任意实数x ，都有

x x f ≥)(，

且当∈x （1，3）时，有2)2(81)(+≤x x f 成立。（1）证明：2)2(=f 。（2）若)(,0)2(x f f =-的表达式。（3）设x m x f x g 2

)()(-= ),0[+∞∈x ，若)

(x g 图上的点都位于直线4

1=y 的上方，求实数m 的取值范围。

52．（1）数列{a n }和{b n }满足)(121n n

b b b n

+++=

（n=1，2，3…）

，求证{b n }为等差数列的充要条件是{a n }为等差数列。（2）数列{a n }和{c n }满足*)(21N n a a c n n n

∈+=+，探究}{n a 为等差数列的

充分必要条件，需说明理由。[提示：设数列{b n }为)3,2,1(2 =-=+n a a b

n n n

53．某次象棋比赛的决赛在甲乙两名棋手之间举行，比赛采用积分制，比赛规则规定赢一局得2分，平一局得1分，输一局得0分；比赛共进行五局，积分有超过5分者比赛结束，否则继续进行. 根据以往经验，每局甲赢的概率为2

1，乙赢的概率为3

1，且每局比赛输

赢互不受影响. 若甲第n 局赢、平、输的得分分别记为2=n

a 、1=n a 、

0=n a ,51,*≤≤∈n N n 令n n a a a S +++= 21 .(Ⅰ)求53=S 的概率；

（Ⅱ）若随机变量ξ满足7=ξ

（ξ表示局数）

，求ξ的分布列和数学期望.

54．如图，已知直线l 与抛物线y x 42

=相切于点P(2,

1)，且与x 轴交于点A ，定点B 的坐标为(2, 0) .

（I ）若动点M 满足02=+?AM BM AB ，求点

M 的轨

迹C ；

（II ）若过点B 的直线l '（斜率不等于零）与（I ）中的轨迹C 交于不同的两点E 、F （E 在B 、F 之间），试求?OBE 与?OBF 面积之比的取值范围.

55,,,已知A 、B 是椭圆

)0(12

2>>=+b a b y a x 的一条弦，M (2，

1)是AB 中点，以M 为焦点，以椭圆的右准线为相应准线的双曲线与直线AB 交于N (4，—1).

(1)设双曲线的离心率e ，试

将e 表示为椭圆的半长轴长的函数.(2)当椭圆的离心率是双曲线的离心率的倒数时，求椭圆的方程.(3)求出椭圆长轴长的取值范围.

56已知：)1,(,}{,14)(1

+-+

=n n n n n a a P S n a x x f 点项和为的前数列在曲线 x

M A B N

B C

A 1

B 1

C 1

.0,1),()(1*>=∈=n a a N n x f y 且上

（1）求数列{a n }的通项公式；（2）数列

{b n }的前n 项和为T n ，且满足381622

--+=

++n n a T a

n n

n ，设定b 1的值，使得

数列{b n }是等差数列；（3）求证：*,11421

N n n S n

∈-+>

57、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，并且满足a 1＝2,na n ＋1＝S n ＋n(n ＋1). （1）求数列n

a a 的通项公式}{；（2）设.

,}2

{n n

T n a

T 求项和的前为数列

58、已知向量a ax x f a a a m -=>=22

)()0( )21,

1(，将函数的图象按向量m 平移后

得到函数)(x g 的图象。

（Ⅰ）求函数)(x g 的表达式；（Ⅱ）若函数]2,2[

)(在x g 上的最小

值为)()(a h a h ，求的最大值。

59、已知斜三棱柱1

C B A ABC -的各棱长均为2，侧棱1

BB 与底面ABC 所

成角为3

π，

且侧面⊥1

A AB

B 底面AB

C .

（1）证明：点1

B 在平面AB

C 上的射影O 为AB

的中点；（2）求二面角B AB C --1的大小

；（3）求点1

C 到平面A CB 1

的距离.

60、如图，已知四棱锥S ABCD -中，SAD ?是边长为a 的正三角形，平面SAD ⊥平面ABCD ，

四边

形ABCD 为菱形，60DAB ∠=，P 为AD 的中点，Q 为SB 的中点. （Ⅰ）求证：//PQ 平面SCD ；（Ⅱ）求二面角B PC Q --的大小．

61．设集合W 是满足下列两个条件的无穷数列{a n }的集合： ①;2

++≤+n n n

a a a

②,.*N n M a n ∈≤其中M 是与n 无关的常数. （1）若

{a n }是等差数列，S n 是其前n 项的和，a 3=4，S 3=18，证明：{S n }∈W 。（2）设数列{b n }的通项为W b n b n n n

∈-=}{,25且，求

M 的取值范

围；（3）设数列{c n }的各项均为正整数，且1.}{+≤∈n n

c c

W c 证明：

62．数列{}n

a 和数列{}n

b （n ∈+N ）由下列条件确定：（1）1

<，1

0b >；（2）

当2k ≥时，k

a 与k

b 满足如下条件：当1

k k a

b --+≥时，1

k a

a -=，11

k k k

a b b

--+=

；当

k k a b --+<时，11

k k k

a b a

--+=

，1

k b

b -=.

解答下列问题：（Ⅰ）证明数列{}

k a

b -是等比数列；（Ⅱ）记数列{}

()k

n n b

a -的前n 项和为n

S ，若已知当1a >时，lim 0

n n

→∞

=，求l im n

n S →∞

.（Ⅲ）(2)n n ≥是满足

12n

b b b >>

>的最大整数时，用1

a ，1

b 表示n 满足的条件.

63. 已知函数()()1ln ,0,f x x ax x x

=++∈+∞ (a 为实常数)． (1) 当a = 0

时，求()f x 的最小值； (2)若()f x 在[2,)+∞上是单调函数，求a 的取值范围； (3)设各项为正的无穷数列}{n

x 满足()*

1ln 1,n

n x n N x ++<∈

证明：n

x ≤1(n ∈N *

)．

64.设函数3

2()f x x

ax bx =++(0)x >的图象与直线4y =相切于(1,4)M ．

（Ⅰ）求32()f x x ax bx =++在区间(0,4]上的最大值与最小值；（Ⅱ）是否存在两个不等正数,s t ()s t <，当[,]x s t ∈时，函数3

2()f x x

ax bx =++的值域也是[,]s t ，若存

在，求出所有这样的正数,s t ；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设存在两个不等正数,s t ()s t <，当[,]x s t ∈时，函数3

2()f x x ax bx =++的值域是[,]ks kt ，

求正数k 的取值范围．

65. 已知数列{}n a 中，1

=，(

1122(...)n n na a a a n N +=+++∈．

（1）求2

,,a a a ；（2）求数列{}n

a 的通项n

a ；（3）设数列{}n

b 满足2

11,2n n n k

b b b a +==+，求证：1()n

b n k <≤

66、设函数()()

()

x x x f +-+=1ln 212

.(1)求()x f 的单调区间;(2)若当

???--∈1,11e e x 时,(其中 718.2=e )不等式()m x f <恒成立,求实数m 的取值范围;(3)试讨论关于x 的方程:()a x x

x f ++=2

在区间[]2,0上的根的个数.

67、已知2

()(2,)f x x ax a a x R =++≤∈，()x

g x e -=，()()()x f x g x Φ=?.（1）当1a =时，求()x Φ的单调区间；（2）求()g x 在点(0,1)处的切线与直线1x =及曲线()g x 所围成的封闭图形的面积；（3）是否存在实数a ，使()x Φ的极大值为3？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由.

68、已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b

y a x C 的离心率为33

，直线l ：y=x+2与以

原点为圆心、椭圆C 1的短半轴长为半径的圆O 相切。（1）求椭圆C 1的方程；（2）设椭圆C 1的左焦点为F 1，右焦点为F 2，直线l 1过点F 1，且垂直于椭圆的长轴，动直线l 2垂直于l 1，垂足为点

P ，线段PF 2的垂直平分线交l 2于点M ，求点M 的轨迹C 2的方程；（3）设C 2与x 轴交于点Q ，不同的两点R 、S 在C 2上，且满足

0=?RS QR ，

求||QS 的取值范围。

69、已知F 1,F 2是椭圆C: 22221x y a b

+=（a>b>0）的左、右焦点，点P (2,1)

在椭圆上，线段PF 2与y 轴的交点M 满足2

0PM F M +=。（1）求椭圆C

的方程。（2）椭圆C 上任一动点M 0

(,)x y 关于直线y=2x 的对称点为M 1

（x 1,y 1）,求3x 1-4y 1的取值范围。

70、已知C B A ,,均在椭圆)1(1:222>=+a y a

x M 上，直线AB 、AC 分别过椭圆的左右焦点1

F 、2

F ，当12

0AC F F

?=时，有2

9AF AF

AF =?.(Ⅰ)求椭圆M 的方

程;(Ⅱ)设P 是椭圆M 上的任一点，EF 为圆()12:2

=-+y x N 的任一条直

径，求PF PE ?的最大值.

71.如图，

(,3)A m m 和(,3)B n n -两点分别在射

线OS 、OT 上移动，且12

OA OB ?=-，O 为坐标

原点，动点P 满足OP OA OB =+. （Ⅰ）求m n ?的值；

（Ⅱ）求P 点的轨迹C 的方程，并说明它

表示怎样的曲线？

（Ⅲ）若直线l 过点E （2，0）交（Ⅱ）中曲线C 于M 、N 两

点，且3ME EN =，求l 的方程.

[数学]数学高考压轴题大全

1、（本小题满分14分）已知函数．（1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；（2）当时，试比较与的大小；（3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数．（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；（Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点；（Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点. （Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点；

（ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题（每空？分，共？分） 4 、设函数的图象在点处的切线的斜率为，且函数为偶函数．若函数满足下列条件：①；② 对一切实数，不等式恒成立．（Ⅰ）求函数的表达式；（Ⅱ）求证：． 5 、已知函数：（1 ）讨论函数的单调性；（2）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时，函数在区间上总存在极值？ (3)求证：．

6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域；（Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的，使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对于函数图象上的点（其中总能使得成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具备性质“”，并说明理由. 7、已知函数（Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值；（Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围；（Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性；

全国名校高考数学经典复习题汇编(附详解)专题：可行域

全国名校高考数学经典复习题汇编（附详解）专题：可行域 1．(全国名校·沈阳四校联考)下列各点中，与点(1，2)位于直线x ＋y －1＝0的同一侧的是( ) A ．(0，0) B ．(－1，1) C ．(－1，3) D ．(2，－3) 答案 C 解析点(1，2)使x ＋y －1>0，点(－1，3)使x ＋y －1>0，所以此两点位于x ＋y －1＝0的同一侧．故选C. 2．不等式(x ＋2y ＋1)(x －y ＋4)≤0表示的平面区域为( ) 答案 B 解析方法一：可转化为①?????x ＋2y ＋1≥0，x －y ＋4≤0或②? ????x ＋2y ＋1≤0，x －y ＋4≥0. 由于(－2，0)满足②，所以排除A ，C ，D 选项．方法二：原不等式可转化为③?????x ＋2y ＋1≥0，－x ＋y －4≥0或④? ??? ?x ＋2y ＋1≤0，－x ＋y －4≤0. 两条直线相交产生四个区域，分别为上下左右区域，③表示上面的区域，④表示下面的区域，故选B. 3．(全国名校·天津，理)设变量x ，y 满足约束条件?????2x ＋y ≥0， x ＋2y －2≥0， x ≤0，y ≤3，则目标函数z ＝x ＋y 的最大值为( ) A.2 3 B ．1

C.32 D ．3 答案 D 解析作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋y 得y ＝－x ＋z ，作出直线y ＝－x ，平移使之经过可行域，观察可知，最大值在B(0，3)处取得，故z max ＝0＋3＝3，选项D 符合． 4．设关于x ，y 的不等式组???? ?2x －y ＋1>0，x ＋m<0，y －m>0，表示的平面区域内存在点P(x 0，y 0)，满足x 0－2y 0 ＝2，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，4 3) B ．(－∞，1 3) C ．(－∞，－2 3) D ．(－∞，－5 3 ) 答案 C 解析作出可行域如图．图中阴影部分表示可行域，要求可行域包含y ＝1 2x －1的上的点，只需要可行域的边界点(－ m ，m)在y ＝12x －1下方，也就是m<－12m －1，即m<－2 3 . 5．(全国名校·北京，理)若x ，y 满足???? ?2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( ) A ．0 B ．3 C ．4 D ．5 答案 C