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配套K12考点17 正、余弦定理及解三角形-高考全攻略之备战2019年高考数学(理)考点一遍过

考点17 正、余弦定理及解三角形

1．正弦定理和余弦定理

掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 2．应用

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.

一、正弦定理 1．正弦定理

在ABC △中，若角A ，B ，C 对应的三边分别是a ，b ，c ，则各边和它所对角的正弦的比相等，即

sin sin sin a b c ==A B C

.正弦定理对任意三角形都成立． 2．常见变形（1）

sin sin sin ,,,sin sin ,sin sin ,sin sin ;sin sin sin A a C c B b

a B

b A a C

c A b C c B B b A a C c

====== （2）

;sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin a b c a b a c b c a b c

A B C A B A C B C A B C

+++++======+++++ （3）::sin :sin :sin ;a b c A B C = （4）正弦定理的推广：===2sin sin sin a b c R A B C

，其中R 为ABC △的外接圆的半径. 3．解决的问题

（1）已知两角和任意一边，求其他的边和角；（2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角． 4．在ABC △中，已知a ，b 和A 时，三角形解的情况

二、余弦定理 1．余弦定理

三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即

2222222222cos ,2cos 2cos .

a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+-， 2．余弦定理的推论

从余弦定理，可以得到它的推论：

222222222

cos ,cos ,cos 222b c a c a b a b c A B C bc ca ab

+-+-+-===

. 3．解决的问题

（1）已知三边，求三个角；

（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角． 4．利用余弦定理解三角形的步骤

三、解三角形的实际应用

1．三角形的面积公式

设ABC

△的三边为a，b，c，对应的三个角分别为A，B，C，其面积为S.

（1）

S ah

= (h为BC边上的高)；

（2）

111

sin sin sin 222

S bc A ac B ab C ===；

（3）

()

S r a b c

=++(r为三角形的内切圆半径)．

2．三角形的高的公式

h A=b sin C=c sin B，h B=c sin A=a sin C，h C=a sin B=b sin A．

3．测量中的术语

（1）仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．

（2）方位角

从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．

（3）方向角

相对于某一正方向的水平角.

①北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)；

②北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向；

③南偏西等其他方向角类似．

（4）坡角与坡度

①坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)；

②坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i 为坡度)．坡度又称为坡比． 4．解三角形实际应用题的步骤

考向一利用正、余弦定理解三角形

利用正、余弦定理求边和角的方法：

（1）根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置．

（2）选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.

（3）在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用．常见结论：

（1）三角形的内角和定理：在ABC △中，π A B C ++=，其变式有：πA B C +=-，π222

A B C

+=-等．

（2）三角形中的三角函数关系：

i in(s n s )A B C =+； ()s os co c A B C =-+；

sin

cos 22A B C +=； cos sin 22

A B C

+=.

典例1 在ABC △中，内角

所对的边分别为，若，，则

的值为

A．1 B．

C D

【答案】D

△的内角的对边分别为,且. 典例2 已知ABC

(1)求；

(2)若,线段的垂直平分线交于点,求的长.

【解析】(1)因为,所以.

由余弦定理得，

又，所以.

（2）由（1）知,

根据余弦定理可得，

所以.

由正弦定理得=，解得.

B=.

从而cos

设的中垂线交于点,

因为在Rt BDE △中,

，所以cos BE BD B =

，因为为线段的中垂线，所以

1．在ABC △中，a ,b ,c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2sin sin cos sin cos C B a B

B b A -=

，则A = A

2．在ABC △中，边上一点满足，

（1）若，求边的长；

（2）若

，求

考向二三角形形状的判断

利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思路：

（1）“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.

（2）“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角间的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用πA B C ++=这个结论．提醒：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免造成漏解

典例3 在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，满足3

cos cos sin sin cos 2

A C A C

B ++=

，且,,a b c 成等比数列.

（1）求角B 的大小；（2）若

2,2tan tan tan a c b

a A C B

+==,试判断三角形的形状.

（2）由

2tan tan tan a c b

A C B

,利用正弦定理可得cos cos 2cos 1A C B +==,

所以ABC △是等边三角形.

3．在ABC △中，，，分别为角，，所对的边，若，则ABC △

A ．一定是锐角三角形

B ．一定是钝角三角形

C ．一定是斜三角形

D ．一定是直角三角形

考向三与面积、范围有关的问题

（1）求三角形面积的方法

①若三角形中已知一个角(角的大小，或该角的正、余弦值)，结合题意求夹这个角的两边或该两边之积，套公式求解．

②若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．

（2）三角形中，已知面积求边、角的方法

三角形面积公式中含有两边及其夹角，故根据题目的特点，若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．

典例4 在ABC △中，角的对边分别为

，且

．

（1）求角；

（2）若

，求ABC △面积的最大值．

【解析】（1）由已知和正弦定理得

，

，解得

．

（2）由余弦定理得：，即

，

整理得：．

∵

（当且仅当

取等号），∴

，即

，

故ABC △面积的最大值为

．

【名师点睛】在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.

典例5 在ABC △中，，是

边上的一点.

（1）若，求

的长；

（2）若

，求ABC △周长的取值范围.

【解析】（1）在ADC △中，AD ＝1，，

所以

＝

cos ∠DAC ＝1×2

×cos∠DAC ＝3,

所以cos ∠DAC ＝

由余弦定理得2

2cos CD AC AD AC AD DAC =+∠-??＝12＋1－2×2×1×＝7，

所以CD ＝

（2）在ABC △

中，由正弦定理得

4sin sin sin sin 3

AB BC AC C A B ====，

，

ππ0,sin 33A A ??

?<<∴+∈? ?????

，故ABC △周长的取值范围为

4．在ABC △中，内角所对的边分别是

，已知

（1）求；（2）当

时，求

的取值范围． 5．在ABC △中，内角，，所对的边分别为，，，且ABC △的面积.

（1）求；

（2）若、、成等差数列，ABC △的面积为，求.

考向四三角形中的几何计算

几何中的长度、角度的计算通常转化为三角形中边长和角的计算，这样就可以利用正、余弦定理解决问题.解决此类问题的关键是构造三角形，把已知和所求的量尽量放在同一个三角形中

典例6 如图，在ABC △中，D 为AB 边上一点，且DA DC =，已知π

B =

，1BC =

（1）若ABC △

是锐角三角形，DC =，求角A 的大小；（2）若BCD △的面积为

，求AB 的长. 【解析】（1）在BCD △中，π

B =

，1BC =

，DC =，

由正弦定理得

sin sin BC CD

BDC B

∠

，解得1sin 3

BDC ?

∠==，

所以π3BDC ∠=

或2π3

. 因为ABC △是锐角三角形，所以2π

BDC ∠=. 又DA DC =，所以π3

A =

（2）由题意可得1π1

sin 246

BCD S BC BD =

???=△，解得3BD =，

由余弦定理得222π

2cos

CD BC BD BC BD =+-??=2512199+-?=，解得CD =，

则AB AD BD CD BD =+=+=

所以AB 的长为

6．如图，在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(sin cos )a b C C =+.

（1）求角B 的大小；

（2D 为ABC △外一点，2DB =，1DC =，求四边形ABCD 面积的最大值. 考向五解三角形的实际应用

解三角形应用题的两种情形：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．

研究测量距离问题是高考中的常考内容，既有选择题、填空题，也有解答题，难度一般适中，属中档题.解题时要选取合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦

定理求解.

典例7 如图，一条巡逻船由南向北行驶，在A 处测得山顶P 在北偏东()1515BAC ?∠=?方向上，匀速向北航行20分钟到达B 处，测得山顶P 位于北偏东60?方向上，此时测得山顶P 的仰角为60?，若山高为

（1）船的航行速度是每小时多少千米？

（2）若该船继续航行10分钟到达D 处，问此时山顶位于D 处的南偏东什么方向？

（2）在BCD △中，由余弦定理得CD =

在BCD △中，由正弦定理得

所以山顶位于D 处南偏东45?方向.

7．某新建的信号发射塔的高度为AB ，且设计要求为：29米AB <<29.5米.为测量塔高是否符合要求，

先取与发射塔底部B 在同一水平面内的两个观测点,C D ，测得60BDC ∠=?， 75BCD ∠=?，

40CD =米，并在点C 处的正上方E 处观测发射塔顶部A 的仰角为30°，且1CE =米，则发射塔高

AB =

A ．()1米

B ．()1米

C ．()1米

D ．()1米

考向六三角形中的综合问题

1．解三角形的应用中要注意与基本不等式的结合，以此考查三角形中有关边、角的范围问题.利用正弦定理、余弦定理与三角形的面积公式，建立如“2

,,a b ab a b ++”之间的等量关系与不等关系，通过基本不等式考查相关范围问题.

2．注意与三角函数的图象与性质的综合考查，将两者结合起来，既考查解三角形问题，也注重对三角函数的化简、计算及考查相关性质等.

3．正、余弦定理也可能结合平面向量及不等式考查面积的最值或求面积，此时注意应用平面向量的数量积或基本不等式进行求解.

典例8 在ABC △，向量(sin ,1)A =m ，(1,cos )B =n ，且⊥m n . （1）求A 的值；

（2）若点D 在边BC 上，且3BD BC =uu u r uu u r

ABC △的面积．

【解析】（1）由题意知sin cos 0A B +=?=m n ，πA B C ++=，所以5π

sin cos(

)06

A A +-=，

πsin()06A -=.

ππ2π(,)663A -∈-，所以π06A -=，即π

6A =.

（2）设||BD x =，由3BD BC =uu u r uu u r ，得||3BC x =uu u r ，由（1）知πA C ==，所以||3BA x =uu r

在ABD △1x =，所以3AB BC ==，

典例9 ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .

（1）若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )；（2）若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．【解析】（1）因为a ，b ，c 成等差数列，所以a ＋c ＝2b . 由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . 因为sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )，所以sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．

（2）因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2

＝ac .

由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12

，

当且仅当a ＝c 时等号成立．所以cos B 的最小值为

8．已知函数（）的图象上相邻的最高点间的距离是.

（1）求函数

的解析式；

（2）在锐角ABC △中，内角

满足，求的取值范围.

1．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，若a b ＝3，B ＝60°，则A = A ．45°

B ．45°或135

C ．135°

D ．60°或120°

2．在△ABC 中，若tan A ·tan B ＜1，则该三角形一定是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．以上都有可能

3．在ABC △中，，

，则角的取值范围是

A ．

B ．

C ．

D ．

4．ABC △中，2AB =，BC =1

cos 4

A =

，则AB 边上的高等于

A B ．

C ．2

D ．3

5．已知ABC △的面积为，，则

的最小值为

A ．

B ．

C ．

D ．

6．设ABC △的三个内角所对的边分别为，如果

，且

，那

么ABC △外接圆的半径为 A ．2 B ．4 C ．

D ．1

7．已知ABC △的内角的对边分别为

，若

，

，则

A ．2

B ．

C ．

D ．

8．若ABC △的三个内角所对的边分别是

，，且

，则

A ．10

B ．8

C ．7

D ．4

9．已知ABC △的面积为，三个内角，，的对边分别为，，，若，

，则

A ．2

B ．4

C ．

D ．

10．在ABC △中，D 为BC 边上一点，若ABD △是等边三角形，且AC =ADC △的面积的最大

值为 .

11．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向

上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD =___________m.

12．在ABC △中，角，，的对边分别为，，，已知

，

．

（1）求；（2）求的值．

13．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，，(cos ,sin )B A =n ，

且∥m n ．

（1）求角B 的大小；

（2）若2b =，ABC △的面积为a c +的值．

14．如图所示，在ABC △中, 点D 为BC 边上一点，且1BD =,E 为AC 的中点7B =

2π

ADB ∠=

（1）求AD 的长；（2）求ADE △的面积.

15．在ABC △中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列．（1）求B 的值；

（2）求()2

2sin cos A A C +-的范围．

16．已知函数

（1）当

时，求

的值域；

（2）在ABC △中，若求ABC △的面积.

1．（2017山东理科）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC △为锐角三角形，且满

足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是 A ．2a b = B ．2b a = C ．2A B = D ．2B A =

2．（2018新课标全国Ⅱ理科）在ABC △中，cos 2C 1BC =，5AC =，则AB =

A ． B

D ．3．（2018新课标全国Ⅲ理科）ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为

222

4a b c +-，则C = A ．π2

B ．π3

C ．π4

D ．

π6

4．（2017浙江）已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2．点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面

积是______，cos ∠BDC =_______．

5．（2018新课标全国Ⅰ理科）在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=，45A ∠=，2AB =，5BD =. （1）求cos ADB ∠；

（2）若DC =，求BC .

6．（2017新课标全国Ⅰ理科）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为2

3sin a A

（1）求sin B sin C ;

（2）若6cos B cos C =1，a =3，求ABC △的周长.

7．（2017新课标全国Ⅱ理科）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2

sin 8sin 2

B A

C +=．（1）求cos B ；

（2）若6a c +=，ABC △的面积为2，求b ．

8．（2018北京理科）在△ABC 中，a =7，b =8，cos B =–17

．（Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．

9．（2017天津理科）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知a b >，

5,6a c ==，3

sin 5

B =．（1）求b 和sin A 的值；（2）求πsin(2)4

A +的值．

1．【答案】C

2．【解析】（1）∵，∴在Rt ABD △中，

，∴

，

在ABC △中，，

由余弦定理可得，，

所以

（2）在ACD △中，由正弦定理可得，

∵，∴，

∵，∴，∴，

∵，∴，

∴，∴，

化简得，即，

∵，∴.

3．【答案】D

【解析】已知，利用正弦定理化简得：，整理得：，

，，即.

△为直角三角形.故选D．

则ABC

4．【解析】（1）由正弦定理可得：，

又，

所以，

则，

因为，所以，

因为，所以.

5．【解析】（1）∵，∴，即，

解三角形题型5正、余弦定理判断三角形形状(供参考)(新)

解三角形题型5：正、余弦定理判断三角形形状 1、（2013·陕西高考文科·Ｔ9）设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a, b, c , 若 cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为 ( ) A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 2、（2010上海文数）18.若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则△ABC （A ）一定是锐角三角形. （B ）一定是直角三角形. （C ）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 3、如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度决定 4、在△ABC 中，已知2a b c =+，2 sin sin sin A B C =，试判断△ABC 的形状。 5、在△ABC 中，已知C B A sin cos sin 2=,那么△ABC 一定是 ( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形 6、A 为ΔABC 的一个内角,且sinA+cosA= 12 7 , 则ΔABC 是______三角形. 7、在△ABC 中，若c C b B a A sin cos cos = =，则△ABC 是（） A ．有一内角为30°的直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．有一内角为30°的等腰三角形 D ．等边三角形 8、若(a+b+c)(b+c －a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC 是（） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形 9、（2010辽宁文数17）在ABC ?中，a b c 、、分别为内角A B C 、、的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++ （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若sin sin 1B C +=，试判断ABC ?的形状. 10、在ABC ?中，已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B +?-=-?+,判断该三角形的形状。 11、在ΔABC 中,求分别满足下列条件的三角形形状： ①B=60°,b 2=ac ； ②b 2tanA=a 2tanB ； ③sinC= B A B A cos cos sin sin ++④ (a 2－b 2)sin(A+B)=(a 2+b 2)sin(A －B).

正弦定理和余弦定理

正弦定理和余弦定理高考风向 1.考查正弦定理、余弦定理的推导；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查．学习要领 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合． 1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝ c 2R 等形式，解决不同的三角形问题． 2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形： cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab . 3． S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1 2 (a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、 r . 4．在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下： [1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A >B ?a >b ?sin A >sin B ；tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC ；在锐角三角形中，cos A

高中数学必备知识点正弦与余弦定理和公式

三角函数正弦与余弦的学习，在数学中只要记住相关的公式即可。日常考试正弦和余弦的相关题目一般不会很难，是很多数学基础不是很牢的同学拿分的好题目。但对于有些同学来说还是很难拿分，那是为什么呢？首先，我们要了解下正弦定理的应用领域在解三角形中，有以下的应用领域：（1）已知三角形的两角与一边，解三角形（2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形（3）运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦正弦定理在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（其中R为三角形外接圆的半径）其次，余弦的应用领域余弦定理余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。正弦定理的变形公式 (1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC; (2) sinA : sinB : sinC = a : b : c; 在一个三角形中，各边与其所对角的正弦的比相等，且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是确定的，利用正弦定理解三角形时，其解是唯一的；已知三角形的两边和其中一边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解不确定，可结合平面几何作图的方法及“大边对大角，大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题 (3)相关结论： a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC) c/sinC=c/sinD=BD=2R（R为外接圆半径）（4）设R为三角外接圆半径，公式可扩展为：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即当一内角为90°时，所对的边为外接圆的直径。灵活运用正弦定理，还需要知道它的几个变形sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA （5）a=bsinA/sinB sinB=bsinA/a 正弦、余弦典型例题 1．在△ABC中，∠C=90°，a=1，c=4，则sinA 的值为 2．已知α为锐角，且，则α的度数是（） A．30° B．45° C．60° D．90° 3．在△ABC中，若，∠A，∠B为锐角，则∠C的度数是（） A．75° B．90° C．105° D．120° 4．若∠A为锐角，且，则A=（） A．15° B．30° C．45° D．60° 5.在△ABC中，AB＝AC＝2，AD⊥BC，垂足为D，且AD＝，E是AC中点， EF⊥BC，垂足为F，求sin∠EBF的值。

三角函数正弦定理和余弦定理

(文）已知ΔABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量(,)m a b =， (sin ,sin )n B A =，(2,2)p b a =-- . (1)若m //n ，求证：ΔABC 为等腰三角形； (2)若m ⊥p ，边长c = 2，角ΔABC 的面积 . 答案：证明：（1）//,sin sin ,m n a A b B ∴=u v v Q 即22a b a b R R ? =? ，其中R 是三角形ABC 外接圆半径，a b =. ABC ∴?为等腰三角形（2）由题意可知//0,(2)(2)0m p a b b a =-+-=u v u v 即 a b ab ∴+= 由余弦定理可知， 2 2 2 4()3a b ab a b ab =+-=+- 2()340ab ab --=即4(1)ab ab ∴==-舍去. 11 sin 4sin 223 S ab C π ∴==??= 来源：09年高考上海卷题型：解答题，难度：中档

(文）在ABC ?中，A C AC BC sin 2sin ,3,5=== （Ⅰ）求AB 的值。（Ⅱ）求)4 2sin(π - A 的值。答案：（1）解：在ABC ? 中，根据正弦定理， A BC C AB sin sin = ，于是522sin sin ===BC A BC C AB （2）解：在ABC ? 中，根据余弦定理，得AC AB BC AC AB A ?-+=2cos 2 22 于是A A 2cos 1sin -== 5 5，从而5 3sin cos 2cos ,54cos sin 22sin 22=-== =A A A A A A 10 2 4 sin 2cos 4 cos 2sin )4 2sin(= -=- π π π A A A 来源：09年高考江西卷题型：解答题，难度：容易在⊿ABC 中，,A B 为锐角，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且

2020年高考数学复习利用正余弦定理破解解三角形问题专题突破

2020 年高考数学复习利用正余弦定理破解解三角形问题专题突破考纲要求: 1. 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题 1 2.会利用三角形的面积公式解决几何计算问题S ab sin C . 2 基础知识回顾: a b c 1. ＝＝＝2R，其中R 是三角形外接圆的半径． sin A sin B sin C 由正弦定理可以变形：(1) a∶b ∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(2) a＝2 Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. 2 ．余弦定理：a2＝b 2＋c2－2 bccos A，b 2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C． b 2＋c2－a2a2＋c2－b2a2＋b 2－c2 变形：cos A ＝，cos B＝，cos C＝ 2bc 2ac 2ab 4. 三角形常用的面积公式 1 1 1 1 abc (1)S＝a·h a(h a表示a边上的高)．(2) S＝absinC ＝acsinB ＝bcsinA ＝ 2 2 2 2 4R

1 （3）S＝2r（a＋b＋c）（r 为内切圆半径）．应用举例: 类型一、利用正（余）弦定理解三角形【例1】已知中，，点在边上，且．（1 ）若，求；（2 ）求的周长的取值范围．【答案】（1 ）；（2 ）. 所以：中，利用正弦定理得：

由于：则：，，由于：，则：，得到：，所以的周长的范围是：. 【点睛】本题考查了用正弦定理、余弦定理解三角形，尤其在求三角形周长时解题方法是利用正弦定理将边长转化为角的问题，然后利用辅助角公式进行化简，求出范围，一定要掌握解题方法。【例2】已知在中，所对的边分别为，. （1 ）求的大小；（2）若，求的值. 【答案】（1 ）或（2）1

正余弦定理与解三角形整理(有答案)

正余弦定理考点梳理： 1. 直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2。（勾股定理） A （2）锐角之间的关系：A＋B＝90°； c （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） b sin A＝cos B＝a c ，cos A＝sin B＝ b c ，tan A＝ a b 。 C B 2. 2．斜三角形中各元素间的关系： a 如图6-29 ，在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c 分别表示A、B、C的对边。（1）三角形内角和：A＋B＋C＝_____ （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。 3. 正弦定理： a b c 2R 。（R为外接圆半径）sin A sin B sin C a b c ＝＝＝2R的常见变形： sin A sin B sin C (1)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c； (2) a b ＝＝ sin A sin B c ＝ sin C a＋b＋c ＝2R； sin A＋sin B＋sin C (3) a＝2R sin_ A，b＝2R sin_ B，c＝2R sin_ C； a b c (4)sin A＝，sin B＝，sin C＝. 2R 2R 2R 4. 三角形面积公式：S＝1 2 ab sin C＝ 1 1 bc sin A＝ca sin B. 2 2 5. 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 2 2 2 a b c 2bccos A 2 2 2 b a c 2accosB 2 2 2 c b a 2ba cosC 或 cos A cos B cos C 2 2 2 b c a 2bc 2 2 2 a c b 2ac 2 2 2 b a c 2ab 余弦定理的公式：. 6. （1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.

三角函数之正余弦定理

教师寄语：天才=1％的灵感+99％的血汗 1 戴氏教育中高考名校冲刺教育中心【我生命中最最最重要的朋友们，请你们认真听老师讲并且跟着老师的思维走。学业的成功重在于考点的不断过滤，相信我赠予你们的是你们学业成功的过滤器。谢谢使用！！！】主管签字：________ §3.6 正弦定理和余弦定理一、考点、热点回顾 2014会这样考 1.考查正弦定理、余弦定理的推导；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查．复习备考要这样做 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合．基础知识.自主学习 1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R 等形式，以解决不同的三角形问题． 2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab . 3． S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1 2 (a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、r . 4．在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下： A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式 a ＝b sin A b sin A b 解的个数一解两解一解一解