解三角形(正弦定理余弦定理)知识点例题解析高考题汇总及答案

解三角形

【考纲说明】

1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 【知识梳理】 一、正弦定理

1、正弦定理：在△ABC 中，R C

c

B b A a 2sin sin sin ===（R 为△AB

C 外接圆半径）。 2、变形公式：（1）化边为角：2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C ===

（2）化角为边：sin ,sin ,sin ;222a b c

A B C R R R

=== （3）::sin :sin :sin a b c A B C =

（4）2sin sin sin sin sin sin a b c a b c

R A B C A B C

++====++.

3、三角形面积公式：21111sin sin sin 2sin sin sin 22224ABC

abc S ah ab C ac B bc A R A B C R

?====== 4、正弦定理可解决两类问题：

（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（解唯一）

（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角.（解可能不唯一） 二、余弦定理

1、余弦定理：A bc c b a cos 22

2

2

-+=?bc

a

c b A 2cos 2

2

2

-+=

B ac a c b cos 22

2

2

-+=?ca

b a

c B 2cos 2

2

2

-+=

C ab b a c cos 22

2

2

-+=?ab

c b a C 2cos 2

2

2

-+=

2、余弦定理可以解决的问题： （1）已知三边，求三个角；（解唯一）

（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（解唯一）：

（3）两边和其中一边对角，求另一边，进而可求其它的边和角.（解可能不唯一） 三、正、余弦定理的应用 1、仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图1）.

α

北

东

h i l

=

θ

图1 图2 图3 图4

2、方位角

从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α（如图2）. 3、方向角

相对于某一正方向的水平角（如图3）.

4、坡角：坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角（如图4）. 坡度：坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做坡度（或坡比） 【经典例题】

1、（2012天津理）在ABC ?中,内角A ,B ,C 所对的边分别是,,a b c ,已知8=5b c ,=2C B ,则cos C =（ ）

A ．

7

25

B ．725

-

C ．725

±

D ．

2425

【答案】A 【解析】

85,b c =由正弦定理得8sin 5sin B C =，又2C B =，8sin 5sin 2B B ∴=，

所以8sin 10sin cos B B B =，易知247

sin 0,cos ,cos cos 22cos 1525

B B

C B B ≠∴=

==-=

. 2、（2009广东文）已知ABC ?中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若62a c ==75A ∠=，则b =

( )

A ．2

B ．4＋23

C ．4—23

D 62【答案】 A

【解析】0

26

sin sin 75sin(3045)sin 30cos 45sin 45cos304

A ==+=+= 由62a c ==

可知,075C ∠=,所以030B ∠=,1sin 2

B =

由正弦定理得261

sin 2sin 226a

b B A

+=

?==+,故选A

α 北

东

南

西 B

目标

l

h

3、（2011浙江）在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=( )

A ．-

12B ．1

2

C ． -1

D ． 1 【答案】D

【解析】∵B b A a sin cos =，∴B A A 2

sin cos sin =，

∴1cos sin cos cos sin 2

2

2

=+=+B B B A A .

4、（2012福建文）在ABC ?中,

已知60,45,BAC ABC BC ∠=?∠=?=则AC =_______.

【解析】由正弦定理得

sin 45AC AC =?=?5、（2011北京）在ABC 中，若1

5,,sin 43

b B A π

=∠=

=，则a =. 【答案】

3

2

5 【解析】：由正弦定理得

sin sin a b A B =

又1

5,,sin 43b B A π=∠==

所以5,13sin 34

a a π==6、（2012重庆理）设ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a

b

c ,且35

cos ,cos ,3,513

A B b ===则c =______ 【答案】14

5

c =

【解析】由35412cos ,cos sin ,sin 513513

A B A B =

=?==, 由正弦定理sin sin a b A B

=

得43sin 13512sin 513

b A a B ?

===, 由余弦定理2222142cos 25905605

a c

b b

c A c c c =+-?-+=?=

7、（2011全国）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.

己知sin csin sin sin a A C C b B +=. （I ）求B ；（Ⅱ）若0

75,2,A b ==a c 求，. 【解析】（I

）由正弦定理得2

2

2

a c

b +=

由余弦定理得222

2cos b a c ac B =+-. 故2

cos 2

B =

，因此45B = （II ）sin sin(30

45)A =+sin30cos 45cos30sin 45=+26

+=

故sin 26

13sin 2

A a b

B +=?

==+ sin sin 6026sin sin 45

C c b B =?

=?=. 8、（2012江西文）△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知3cos(B-C)-1=6cosBcosC.

（1）求cosA;

（2）若a=3,△ABC 的面积为22,求b,c.

【解析】（1）3(cos cos sin sin )16cos cos 3cos cos 3sin sin 13cos()1

1cos()3B C B C B C B C B C B C A π+-=??-=-??

+=-??

?-=-

??

则1cos 3A =. （2）由（1）得22

sin 3

A =

,由面积可得bc=6①,则根据余弦定理 2222291

cos 2123b c a b c A bc +-+-===则2213b c +=②,

①②两式联立可得32b a =???=??或3

2

a b =???=??.

9、（2011安徽）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a=3，b=2，12cos()0B C ++=，求边BC 上的高.

【解析】：∵A ＋B ＋C ＝180°，所以B ＋C ＝A ， 又12cos()0B C ++=，∴12cos(180)0A +-=，

即12cos 0A -=，1cos 2

A =

， 又0°

在△ABC 中，由正弦定理

sin sin a b A B

=

得sin 2sin 2b A B a ===， 又∵b a <，所以B ＜A ，B ＝45°，C ＝75°，

∴BC 边上的高AD ＝AC·sinC 752sin(4530)=

+

45cos30cos 45sin 30)=+

1

)2==. 10、（2012辽宁理）在ABC ?中,角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c .角A ,B ,C 成等差数列.

（I ）求cos B 的值;

（Ⅱ）边a ,b ,c 成等比数列,求sin sin A C 的值. 【解析】（I ）由已知1

2,,,cos 3

2

B A

C A B C B B π

π=+++=∴=

=

（Ⅱ）解法一：2

b a

c =，由正弦定理得2

3sin sin sin 4

A C

B ==

， 解法二：222222

1,cos 222a c b a c ac b ac B ac ac

+-+-====，由此得22

a b ac ac +-=，得a c =

所以3

,sin sin 3

4

A B C A C π

===

=

【课堂练习】

1、（2012广东文）在ABC ?中,若60A ∠=?,45B ∠=?,BC =,则AC =（ ）

A ．

B ．

C

D 2、（2011四川）在△ABC 中，222

sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（ ）

A ．(0,]6π

B ．[,)6ππ

C ．(0,]3π

D ．[,)3

ππ

3、（2012陕西理）在ABC ?中,角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ,若2222a b c +=,则cos C 的最小值为（ ）

A B C ．12D ．12

-

4、（2012陕西）在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若222

2c b a =+，则C cos 的最小

值为（） A ．

2

3

B ．22

C ．

21 D ．2

1

- 5、（2011天津）如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且,23,2AB CD AB BD BC BD ===则sin C 的值为()

A ．

3

B ．

3C ．6 D ．6 6、（2011辽宁）△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B +b cos 2A =a 2，则=a

b

（ ）

A ．23

B ．22

C ．3

D ．2

7、（2012湖北文）设ABC ?的内角,,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若三边的长为连续的三个正整数,且

A B C >>,320cos b a A =,则sin :sin :sin A B C 为（ ）

A ．4∶3∶2

B ．5∶6∶7

C ．5∶4∶3

D ．6∶5∶4

8、（2011上海）在相距2千米的A ．B 两点处测量目标C ，若0

75,60CAB CBA ∠=∠=，则A C 两点之间的距离是千米。

9、（2012重庆文）设△ABC 的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、,且1

cos 4

a b C ==1，=2，,则sin B =____ 10、（2012北京文）在△ABC 中,若3a =,3b =,3

A π

∠=

,则C ∠的大小为___________.

11、（2012陕西文）在三角形ABC 中,角A,B,C 所对应的长分别为a,b,c,若a=2 ,B=6

π

,c=23,则b=______

12、（2012北京理）在△ABC 中,若2a =,7b c +=,1

cos 4

B =-

,则b =___________. 13、已知△ABC 得三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为_________. 14、如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？

15、（2009安徽理）在?ABC 中，sin()1C A -=, sinB=

1

3

. （I ）求sinA 的值；

（II ）设6，求?ABC 的面积.

16、（2012安徽文）设ABC ?的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ,且有2sin cos sin cos cos sin B A A C A C =+

（Ⅰ）求角A 的大小;

（II ）若2b =,1c =,D 为BC 的中点,求AD 的长.

17、（2011江苏）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边为c b a ,, （1）若,cos 2)6

sin(A A =+

π

求A 的值；

（2）若c b A 3,3

1

cos ==，求C sin 的值.

18、（2012天津文）在ABC ?中,内角,,A B C 所对的分别是,,a b c .已知2

2,2,cos a c A ===. （I ）求sin C 和b 的值; （II ）求cos(2)3

A π

+

的值.

19、（2010陕西）如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距(533海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距3C 点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？

20、我炮兵阵地位于地面A 处，两观察所分别位于地面点C 和D 处，已知

6000CD =米，45ACD ∠=?，75ADC ∠=?，目标出现于地面点B 处时，测

得30BCD ∠=?，15BDC ∠=?（如图），求炮兵阵地到目标的距离（结果保留根号）.

【课后作业】

1、（2009全国卷Ⅱ文）已知△ABC 中，12

cot 5

A =-

，则cos A =( ) A ．1213 B ．513 C ．513- D ．1213

-

2、（2009全国卷Ⅱ理）已知ABC ?中，12

cot 5

A =-，则cos A = ( )

A. 1213

B.513

C.513-

D. 1213

-

3、（2012湖南文）在△ABC 中7,BC=2,B =60°,则BC 边上的高等于（）

30? 45? 75?

A

C D 15?

A ．

32

B ．

33

2

C ．

36

2

+ D ．

339

4

+ 4、在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B ·sin C ，则角A 等于（） A ．π3

B ．2π3

C ．3π4

D ．5π6

5、在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ，则△ABC 的形状是（） A ．等腰三角形B ．直角三角形

C ．等腰直角三角形

D ．等腰三角形或直角三角形

6、在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于()

A ．1∶5∶6

B ．6∶5∶1

C ．6∶1∶5

D ．不确定 7、（2009湖南文）在锐角ABC ?中，1,2,BC B A ==则

cos AC

A

的值等于，AC 的取值范围为. 8、（2012湖北理）设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c . 若()()a b c a b c ab +-++=,则角C =_________. 9、在△ABC 中，已知c ＝10 2 ，C ＝60°，a ＝2033，则∠A ＝.

10、在△ABC 中，已知三边满足（a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，则∠C 等于. 11、在△ABC 中，若a 2b 2 ＝tan A

tan B

，则△ABC 是.

12、在△ABC 中，已知B ＝135°，C ＝15°，a ＝5，那么此三角形的最大边的长是. 13、在△ABC 中，已知sin 2B －sin 2C －sin 2A ＝ 3 sin A sin C ，求B 的度数.

14、如图，在△ABC 中，已知角B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，求AB .

15、（2009全国卷Ⅰ理）在ABC ?中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知2

2

2a c b -=，且

sin cos 3cos sin ,A C A C =求b.

16、（2009浙江理）在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足25

cos 25

A =，3A

B A

C ?=． （I ）求ABC ?的面积；（II ）若6b c +=，求a 的值．

17、已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 依次成等差数列，又三边a 、b 、c 依次成等比数列，求证：该三角形为正三

角形. 18、（2011山东）在ABC ?中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知

cos 2cos 2cos A C c a

B b

--=，

（Ⅰ）求

sin sin C A 的值；（Ⅱ）若1

cos ,24

B b ==，求AB

C ?的面积S 。 19、某观测站C 在目标A 南偏西25?方向，从A 出发有一条南偏东35?走向的公路，在C 处测得公路上与C 相距31千米的B 处有一人正沿此公路向A 走去，

走20千米到达D ，此时测得CD 距离为21千米，求此人所在D 处距A 还有多少千米？

20、飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔20250m ，速度为180km/h ，飞行员先看到山

顶的俯角为'

1830?，经过120秒后又看到山顶的俯角为81?，求山顶的海拔高度（精确到1m ）.

【参考答案】

【课堂练习】 1-7、BCCCD DD

A

C

D

31

21

20 35?

25?

东

北

A B D

M

8

9、4

10、

2

π 11、2 12、4

13、 14、10 2 km

15、sin 3A =

，

ABC

S =

16、,3

A AD π

==

17、1

,sin 33

A C π

=

=

18、sin C ，1b =cos(2)3A π+=19、需要1小时

20、 【课后作业】

1-6、DDBBDA 7、2，)3,2( 8、

23

π 9、45° 10、60°

11、等腰或直角三角形 12、5 2 13、B ＝150° 14、562

15、40(b b ==或舍）

16、1

sin 22ABC S bc A ?∴=

=，

a ∴=

17、证法一：∵A 、B 、C 成等差数列，则2B ＝A ＋C ，

又A ＋B ＋C ＝180°，∴3B ＝180°，∴B ＝60°， 再由a 、b 、c 成等比数列，可得b 2＝ac ， 因此用余弦定理

b 2＝a 2＋

c 2－2ac cos B ，∴ac ＝a 2＋c 2－2ac ·1

2 ，

即（a －c ）2＝0，∴a ＝c ，A ＝C 又B ＝60°，∴△ABC 为正三角形.

18、

sin 2sin C

A

=，S =19、15千米

20、18130m

(完整版)必修五正余弦定理习题练习

必修五正余弦定理习题练习 一．选择题（共5小题） 1．（2015?秦安县一模）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（） A．B．C．D． 2．（2016?太原校级二模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为（） A．B．C． D． 3．（2016?大连一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足acosA=bcosB，那么△ABC的形状一定是（） A．等腰三角形B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 4．（2016?宝鸡一模）在△ABC，a=，b=，B=，则A等于（）A．B．C． D．或 5．（2014?新课标II）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5 B．C．2 D．1 二．填空题（共6小题） 6．（2015?天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣，则a的值为______． 7．（2015?重庆）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，cosC=﹣，3sinA=2sinB，则c=______． 8．（2015?广东）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b=______． 9．（2015?北京）在△ABC中，a=3，b=，∠A=，则∠B=______．10．（2015?安徽）在△ABC中，AB=，∠A=75°，∠B=45°，则AC=______．11．（2013?福建）如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=，AB=3，AD=3，则BD的长为______．

高中数学必备知识点 正弦与余弦定理和公式

三角函数正弦与余弦的学习，在数学中只要记住相关的公式即可。日常考试 正弦和余弦的相关题目一般不会很难，是很多数学基础不是很牢的同学拿分的好题目。但对于有些同学来说还是很难拿分，那是为什么呢？ 首先，我们要了解下正弦定理的应用领域 在解三角形中，有以下的应用领域： （1）已知三角形的两角与一边，解三角形 （2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形 （3）运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系 直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦 正弦定理 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（其中R为三角形外接圆的半径） 其次，余弦的应用领域 余弦定理 余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。 正弦定理的变形公式 (1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC; (2) sinA : sinB : sinC = a : b : c; 在一个三角形中，各边与其所对角的正弦的比相等，且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是确定的，利用正弦定理解三角形时，其解是唯一的；已知三角形的两边和其中一边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解不确定，可结合平面几何作图的方法及“大边对大角，大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题 (3)相关结论： a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC) c/sinC=c/sinD=BD=2R（R为外接圆半径） （4）设R为三角外接圆半径，公式可扩展为：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即当一内角为90°时，所对的边为外接圆的直径。灵活运用正弦定理，还需要知道它的几个变形sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA （5）a=bsinA/sinB sinB=bsinA/a 正弦、余弦典型例题 1．在△ABC中，∠C=90°，a=1，c=4，则sinA 的值为 2．已知α为锐角，且，则α的度数是（） A．30° B．45° C．60° D．90° 3．在△ABC中，若，∠A，∠B为锐角，则∠C的度数是（） A．75° B．90° C．105° D．120° 4．若∠A为锐角，且，则A=（） A．15° B．30° C．45° D．60° 5.在△ABC中，AB＝AC＝2，AD⊥BC，垂足为D，且AD＝，E是AC中点， EF⊥BC，垂足为F，求sin∠EBF的值。

解三角形(1)---正弦定理

解三角形(1)---正弦定理 【定理推导】 如图1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。思考： （1）∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ （2）显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大，能否用一个 等式把这种关系精确地表示出来？ 如图1-2，在Rt ?ABC 中，设BC=a 、AC=b 、AB=c ，根据锐角三角函数 中正弦函数的定义，有a sinA c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==, 则a b c c sinA sinB sinC ===，从而在直角三角形ABC 中， sin sin sin a b c A B C ==。 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（分为锐角三角形和钝角三角形两种情况） 如图1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =，则：sin sin a b A B = ， 同理可得 sin sin c b C B = ，从而 sin sin a b A B = sin c C = 思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 证法二：（向量法）过点A 作j AC ⊥ ，由向量的加法可得AB AC CB =+ 则 ()j AB j AC CB ?=?+ ∴j AB j AC j CB ?=?+? ()()0 0cos 900cos 90-=+- j AB A j CB C ∴sin sin =c A a C ，即 sin sin = a c A C 证明三：（外接圆法）如图所示，∠A ＝∠D ，∴ 2sin sin a a CD R A D ===， 同理：sin b B =2R ，sin c C ＝2R 同理，过点C 作⊥ j BC ，可得sin sin =b c B C ，从而a b c sinA sinB sinC == 类推：当?ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。 从上面的探究过程，可得以下定理： c b a C B A (图1-2) c b a C B A (图1-3) c b a C B A j C B A (图1-1) a b c O B C A D

2021年高考数学一轮复习题型归纳与高效训练试题：4.5 正弦定理和余弦定理(原卷版)文

『高考复习·精推资源』『题型归纳·高效训练』

高考复习·归纳训练

2021年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破 专题4.5 正弦定理和余弦定理 目录 一、题型全归纳 (1) 题型一利用正、余弦定理解三角形 (1) 类型一用正弦定理解三角形 (2) 类型二用余弦定理解三角形 (2) 类型三综合利用正、余弦定理解三角形 (3) 题型二利用正、余弦定理边角互化 (5) 题型三与三角形面积有关的问题 (7) 二、高效训练突破 (10) 一、题型全归纳 题型一利用正、余弦定理解三角形 【题型要点】解三角形的常见题型及求解方法 (1)已知两角A，B与一边a，由A＋B＋C＝π及a sin A＝ b sin B＝ c sin C，可先求出角C及b，再求出c. (2)已知两边b，c及其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bc cos A，先求出a，再求出角B，C. (3)已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C. (4)已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理a sin A＝b sin B可求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)， 可求出角C，再由a sin A＝c sin C可求出c，而通过a sin A＝ b sin B求角B时，可能有一解或两解或无解的情况．

类型一 用正弦定理解三角形 【例1】．(2020·北京朝阳区模拟)在△ABC 中，B ＝π6，c ＝4，cos C ＝53 ，则b ＝( ) A ．3 3 B ．3 C.32 D.43 【例2】．(2020·丹东模拟)在△ABC 中，C ＝60°，AC ＝2，AB ＝3，则A ＝( ) A ．15° B ．45° C ．75° D ．105° 类型二 用余弦定理解三角形 【例3】(2020·贵阳模拟)平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，AC ＝4，则BD ＝( ) A ．4 B.10 C.19 D.7 【例4】．在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝7，BC 边上中线AD ＝72 ，则BC ＝________． 类型三 综合利用正、余弦定理解三角形 【例5】(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sin B sin C. △求A ； △若2a ＋b ＝2c ，求sin C. 【例6】在△ABC 中，a ＝3，b －c ＝2，cos B ＝－12 .

正余弦定理练习题(答案)

1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) D ．26 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．4 6 3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( ) A ．45°或135° B ．135° C ．45° D ．以上答案都不对 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．1∶5∶6 B ．6∶5∶1 C ．6∶1∶5 D ．不确定 解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6. 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( ) A ．1 C ．2 6．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( ) 或 3 或3 2 8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( ) B ．2 C. 3 9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π 3，则A ＝________. 10．在△ABC 中，已知a ＝43 3，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 11．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________. 12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________． 13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝________，c ＝________. 14．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝________. 15．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝1 3，S △ABC ＝43，则b ＝________. 16．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解． 17．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°， 航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少 18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A 2，求A 、B 及b 、c . 19．(2009年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值． 20．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．

三角函数正弦定理和余弦定理

(文） 已知ΔABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量(,)m a b =， (sin ,sin )n B A =，(2,2)p b a =-- . (1)若m //n ，求证：ΔABC 为等腰三角形； (2)若m ⊥p ，边长c = 2，角ΔABC 的面积 . 答案： 证明：（1）//,sin sin ,m n a A b B ∴=u v v Q 即22a b a b R R ? =? ，其中R 是三角形ABC 外接圆半径，a b =. ABC ∴?为等腰三角形 （2）由题意可知//0,(2)(2)0m p a b b a =-+-=u v u v 即 a b ab ∴+= 由余弦定理可知， 2 2 2 4()3a b ab a b ab =+-=+- 2()340ab ab --=即4(1)ab ab ∴==-舍去. 11 sin 4sin 223 S ab C π ∴==??= 来源：09年高考上海卷 题型：解答题，难度：中档

(文）在ABC ?中，A C AC BC sin 2sin ,3,5=== （Ⅰ）求AB 的值。（Ⅱ）求)4 2sin(π - A 的值。 答案： （1）解：在ABC ? 中，根据正弦定理， A BC C AB sin sin = ，于是522sin sin ===BC A BC C AB （2）解：在ABC ? 中，根据余弦定理，得AC AB BC AC AB A ?-+=2cos 2 22 于是A A 2cos 1sin -== 5 5， 从而5 3sin cos 2cos ,54cos sin 22sin 22=-== =A A A A A A 10 2 4 sin 2cos 4 cos 2sin )4 2sin(= -=- π π π A A A 来源：09年高考江西卷 题型：解答题，难度：容易 在⊿ABC 中，,A B 为锐角，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且

正余弦定理练习题(答案)

正弦定理 1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) A. 6 B. 2 C. 3 D ．2 6 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．4 6 D.32 3 3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( ) A ．45°或135° B．135° C．45° D．以上答案都不对 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．1∶5∶6 B ．6∶5∶1 C ．6∶1∶5 D ．不确定 解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6. 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( ) A ．1 B.12 C ．2 D.1 4 6．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( ) A.32 B.34 C.32或 3 D.34或32 8．△ABC 的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( ) A. 6 B ．2 C. 3 D. 2 9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π 3，则A ＝________. 10．在△ABC 中，已知a ＝43 3 ，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 11．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________. 12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________． 13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝________，c ＝________. 14．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝________. 15．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝1 3，S △ABC ＝43，则b ＝________. 16．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解． 17．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为 110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？ 18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A 2 ，求A 、B 及b 、c . 19．(2009年高考卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A ＝3 5， sin B ＝ 10 10 .(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值．

三角函数之正余弦定理

教师寄语：天才=1％的灵感+99％的血汗 1 戴氏教育中高考名校冲刺教育中心 【我生命中最最最重要的朋友们，请你们认真听老师讲并且跟着老师的思维走。学业的成功重在于考点的不断过滤，相信我赠予你们的是你们学业成功的过滤器。谢谢使用！！！】 主管签字：________ §3.6 正弦定理和余弦定理 一、考点、热点回顾 2014会这样考 1.考查正弦定理、余弦定理的推导；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查． 复习备考要这样做 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合． 基础知识.自主学习 1． 正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以 变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R 等形式，以解决不同的三角形问题． 2． 余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余 弦定理可以变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab . 3． S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1 2 (a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并 可由此计算R 、r . 4． 在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下： A 为锐角 A 为钝角或直角 图形 关系式 a ＝b sin A b sin A b 解的个数 一解 两解 一解 一解

必修五解三角形正弦定理和余弦定理

学案正弦定理和余弦定理 导学目标： 1.利用正弦定理、余弦定理进行边角转化，进而进行恒等变换解决问题.2.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题． 自主梳理 1．三角形的有关性质 (1)在△ABC中，A＋B＋C＝________； (2)a＋b____c，a－bb?sin A____sin B?A____B； (4)三角形面积公式：S△ABC＝1 2ah＝ 1 2ab sin C＝ 1 2ac sin B＝_________________； (5)在三角形中有：sin 2A＝sin 2B?A＝B或________________?三角形为等腰或直角三角形； sin(A＋B)＝sin C，sin A＋B 2＝cos C 2. 自我检测 1．(2010·上海)若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，则△ABC() A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 2．(2010·天津)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sin C＝23sin B，则A等于() A．30°B．60°C．120°D．150° 3．(2011·烟台模拟)在△ABC中，A＝60°，b＝1，△ABC的面积为3，则边a的值为() A．27 B.21 C.13 D．3

4．(2010·山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2， sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________． 5．(2010·北京)在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3 ，则a ＝________. 探究点一 正弦定理的应用 例1 (1)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求角A 、C 和边c ； (2)在△ABC 中，a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，求边b 和c . 变式迁移1 (1)在△ABC 中，若tan A ＝13 ，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________； (2)在△ABC 中，若a ＝50，b ＝256，A ＝45°，则B ＝________. 探究点二 余弦定理的应用 例2 (2011·咸宁月考)已知a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边，且a 2＋c 2－ b 2＝a c . (1)求角B 的大小； (2)若c ＝3a ，求tan A 的值． 变式迁移2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，B ＝2π3 ，b ＝13，a ＋c ＝4，求a . 探究点三 正、余弦定理的综合应用 例3 在△ABC 中，a 、b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，试判断该三角形的形状． 变式迁移3 (2010·天津)在△ABC 中，AC AB ＝cos B cos C . (1)证明：B ＝C ； (2)若cos A ＝－13 ，求sin ????4B ＋π3的值． 1．解斜三角形可以看成是三角变换的延续和应用，用到三角变换的基本方法，同时它 是对正、余弦定理，三角形面积公式等的综合应用． 2．在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求

高考正弦定理和余弦定理练习题及答案精选.

高考正弦定理和余弦定理练习题及答案 一、选择题 1. 已知△ABC 中，a ＝c ＝2，A ＝30°，则b ＝( ) A. 3 B. 2 3 C. 3 3 D. 3＋1 答案：B 解析：∵a ＝c ＝2，∴A ＝C ＝30°，∴B ＝120°. 由余弦定理可得b ＝2 3. 2. △ABC 中，a ＝5，b ＝3，sin B ＝ 22，则符合条件的三角形有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个 答案：B 解析：∵a sin B ＝102， ∴a sin B b B ．a

C ．a ＝b D ．a 与b 的大小关系不能确定 答案：A 解析：由正弦定理，得c sin120°＝a sin A ， ∴sin A ＝a ·3 22a ＝64>1 2. ∴A >30°.∴B ＝180°－120°－A <30°.∴a >b . 5. 如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( ) A. 5 18 B. 3 4 C. 3 2 D. 7 8 答案：D 解析：方法一：设三角形的底边长为a ，则周长为5a ， ∴腰长为2a ，由余弦定理知cos α＝(2a )2＋(2a )2－a 22×2a ×2a ＝7 8. 方法二：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ， 则AC ＝2a ，CD ＝a 2，∴sin α2＝1 4， ∴cos α＝1－2sin 2α 2 ＝1－2×116＝7 8. 6. (2010·泉州模拟)△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积等于( ) A. 3 2 B. 3 4 C. 3 2或 3 D. 32或3 4 答案：D 解析：∵sin C 3＝sin B 1， ∴sin C ＝3·sin30°＝3 2.

正弦余弦定理测试题

正弦余弦定理测试题 1、在ABC ?中。若1b =，3c =，23 c π ∠= ，则a= 。 2、已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a =1，b =3，A +C =2B ，则sin A = . 3、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为,,a b c ，若∠C=120°，c=2a ，则 A. a b > B. a b < C. a b = D. a 与b 的大小关系不能确定 4、在ABC ?中，角A B C 、、所对的边分别为a 、b 、c .若,2,2== b a 2cos sin =+B B ,，则 角A 的大小为____________________. 5、若△ABC 的三个内角满足sinA ：sinB ：sinC=5：11：13．则△ABC( ) (A)一定是锐角三角形． (B)一定是直角三角形． (C)一定是钝角三角形． （D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 6、在ABC V 中，D 为BC 边上一点， 3BC BD =,2AD =,135ADB ο∠=.若2AC AB =,则 BD=_____ 7、（本小题满分12分） 在△ABC 中，a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边，且2a sin A =(2b +c )sin B +(2c +b )sin C . (Ⅰ)求A 的大小； （Ⅱ）若sin B +sin C =1,试判断△ABC 的形状. 8、（本小题满分12分） 在△ABC 中，已知B=45°,D 是BC 边上的一点， AD=10,AC=14,DC=6，求AB 的长. 9、（本题满分13分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，满足 S ＝ 34 （a 2＋b 2－c 2 ）. （Ⅰ）求角C 的大小; （Ⅱ）求sin A ＋sin B 的最大值.

高中数学：三角函数与正余弦定理专题

高三文科数学：三角函数与正余弦定理专题 一、选择题： 1．sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为( ) A ．－2 2 B.22 C.3 2 D ．1 2．(2013·江西高考)若sin α 2＝3 3，则cos α＝( ) A ．－2 3 B ．－1 3 C.1 3 D.2 3 3．已知tan ????α－π 6＝3 7，tan ????π 6＋β＝2 5，则tan(α＋β)的值为( ) A.29 41 B.1 29 C.1 41 D ．1 4．把y ＝sin 1 2x 的图像上点的横坐标变为原来的2倍得到y ＝sin ωx 的图像，则ω的值为( ) A ．1 B ．4 C.1 4 D ．2 5．要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图像，只要将函数y ＝cos 2x 的图像( ) A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位 C ．向左平移1 2个单位 D ．向右平移1 2个单位 6.若sin α<0且tan α>0，则α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 二、填空题： 7．已知角α的终边经过点(3，－1)，则sin α＝________. 8.已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角为________． 9．函数y ＝cos ????2x ＋π 6的单调递增区间为________． 10．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ， 则角C ＝________.

三、解答题： 11. (2015·山东高考)设2()sin cos cos ()4f x x x x π =-+ （1）求()f x 的单调区间 （2）在锐角ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若()02A f =，1a =， 求ABC ?面积的最大值 12.已知2tan =θ， 求（Ⅰ）θ θθθsin cos sin cos -+；（Ⅱ）θθθθ22cos 2cos .sin sin +-的值.

考点17 正弦定理和余弦定理【2019年高考数学真题分类】

温馨提示： 此题库为Word版, 请按住Ctrl, 滑动鼠标滚轴, 调节合适的观看比例, 关闭Word文档返回原板块。 考点17 正弦定理和余弦定理 一、选择题 1.(2019·全国卷Ⅰ文科·T11)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a sin A-b sin B=4c sin C,cos A=-1 4,则b b = () A.6 B.5 C.4 D.3 【命题意图】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用. 【解题指南】利用余弦定理推论得出a,b,c的关系,再结合正弦定理边角互换列出方程,解出结果. 【解析】选A.由已知及正弦定理可得a2-b2=4c2,由余弦定理推论可得-1 4=cos A=b2+b2-b2 2bb ,所以b2-4b2 2bb =-1 4 ,所以3b 2b =1 4 ,所以 b b =3 2 ×4=6,故选A. 二、填空题 2.(2019·全国卷Ⅱ理科·T15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=π 3 ,则△ABC的面积为. 【命题意图】考查余弦定理以及三角形面积公式的应用. 【解析】因为cos B=b2+b2-b2 2bb , 又因为b=6,a=2c,B=π 3 ,可得c2=12, 1

解得c=2√3,a=4√3, 则△ABC的面积S=1 2×4√3×2√3×√3 2 =6√3. 答案:6√3 3.(2019·全国卷Ⅱ文科·T15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b sin A+a cos B=0,则B=. 【命题意图】考查正弦定理、同角三角函数基本关系的运用. 【解析】已知b sin A+a cos B=0,由正弦定理可得sin B sin A+sin A cos B=0,即sin B=-cos B, 又因为sin2B+cos2B=1,解得sin B=√2 2,cos B=-√2 2 ,故B=3π 4 . 答案:3π 4 4.(2019·浙江高考·T14)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D在线段AC上,若∠BDC=45°,则BD=,cos∠ABD= . 【命题意图】本题主要考查解三角形问题,即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想. 【解析】在△ABD中,由正弦定理有:bb sin∠bbb =bb sin∠bbb , 而AB=4,∠ADB=3π 4 ,AC=√bb2+bb2=5, sin∠BAC=bb bb =3 5 ,cos∠BAC=bb bb =4 5 ,所以BD=12√2 5 . cos∠ABD=cos(∠BDC-∠BAC) =cosπ 4cos∠BAC+sinπ 4 sin∠BAC=7√2 10 . 2

(完整版)正弦定理与余弦定理练习题

正弦定理与余弦定理 1．已知△ABC 中，a=4，ο 30,34==A b ，则B 等于（ ） A ．30° B．30° 或150° C．60° D．60°或120° 2．已知锐角△ABC 的面积为33，BC=4，CA=3，则角C 的大小为（ ） A ．75° B．60° C．45° D．30° 3．已知ABC ?中，c b a ,,分别是角C B A ,,所对的边，若0cos cos )2(=++C b B c a ，则角B 的大小为（ ） A ． 6 π B ． 3 π C ． 32π D ．6 5π 4．在?ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边.若 sin sin C A =2，ac a b 322=-，则B ∠=( ) A. 030 B. 060 C. 0120 D. 0150 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知a=5，c=10，A=30°，则B 等于（ ） A ．105° B．60° C．15° D．105° 或 15° 6．已知ABC ?中，75 6,8,cos 96 BC AC C ===，则ABC ?的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．钝角三角形 7．在ABC ?中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2B C =，2cos 2cos b C c B a -=，则角A 的大小为（ ） A ． 2π B ．3π C ．4π D ．6 π 8．在△ABC 中，若sin 2 A ＋sin 2 B ＜sin 2 C ，则△ABC 的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定 9．在ABC ?中，sin :sin :sin 3:2:4A B C =，那么cos C =（ ） A. 14 B.23 C.23- D.14 - 10．在ABC ?中，a b c ，，分别为角A B C ，，所对边，若2cos a b C =，则此三角形一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰或直角三角形 11．在△ABC 中，cos 2 =，则△ABC 为（ ）三角形． A ．正 B ．直角 C ．等腰直角 D ．等腰 12．在△ABC 中，A=60°，a=4，b=4 ，则B 等于（ ） A ．B=45°或135° B ．B=135° C ．B=45° D ．以上答案都不对 13．在ABC ?,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1 sin cos sin cos ,2 a B C c B A b += 且a b >,则B ∠=（ ）

2019-2020年高三数学一轮复习第四章三角函数解三角形第七节正弦定理和余弦定理夯基提能作业本文

2019-2020年高三数学一轮复习第四章三角函数解三角形第七节正弦定理和余弦定 理夯基提能作业本文 1.在△ABC中,若=,则B的值为( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 2.(xx广东,5,5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2,cos A=且bc.已知·=2,cos B=,b=3.求: (1)a和c的值; (2)cos(B-C)的值.

正弦定理解三角形

利用正弦定理解三角形 利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形问题： 1、已知三角形的两角和任意一边，求三角形其他两边与角。 2、已知三角形的两边和其中一边的对角，求三角形其他边与角。 例题设计一： 已知△ABC，根据下列条件，求相应的三角形中其他边和角的大小（保留根号或精确到0.1）。 （1）∠A＝60°∠B=45° a＝10 （2）∠A＝45°∠B＝105° c＝10 （1）属于已知三角形的两角和其中一角的对边，先由三角形内角和定理知∠C＝180°-∠A-∠B＝75°，然后由正弦定理直接得：b＝＝＝≈8.2，c==≈11.2 （2）为已知两角和另一角的对边，这时先利用∠A+∠B+∠C＝π，求出另一角∠C＝30°，然后由正弦定理得：a=== b=== 这两道例题均选自教材，使学生明确在三角形中已知两角和任意一边时，这样的三角形是唯一确定的。学会用方程思想分析正弦定理解决问题。 习题设计一： 设计意图：巩固当堂内容 已知在△ABC中,c=10, ∠A=45°,∠C=30°,求a、b和∠B.

解：∵，∴a＝，∠B＝180°- （∠A+∠C）＝180°-（45°+30°）＝105°，∵，∴ b ＝＝20sin75°=20×=5+5. 例题设计二： 已知△ABC中，根据下列条件，求相应的三角形中其他边和角的大小（保留根号或精确到0.1） （1） a=3 b=4 ∠A＝30° （2） a=b＝6 ∠A＝120° （3） a=2 b=3 ∠A＝45° （1）由正弦定理得sinB＝＝＝，再由三角形内角和定理 知∠B的范围为：0°＜B＜150°，∴∠B≈41.8°或∠B≈138.2°，再根据“三角形中大边对大角”知 b=4＞a＝3，∴∠B＞∠A， ∴∠B≈41.8°或∠B≈138.2°； 当∠B≈41.8°时，∠C≈180°-30°-41.8°＝108.2°， c＝＝≈5.7； 当∠B≈138.2°时，∠C≈180°-30°-138.2°≈11.8°，

正弦余弦历年高考题及详细答案

正 余 弦 定 理 1．在 ABC ?中，A B >是sin sin A B >的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 2、已知关于x 的方程2 2 cos cos 2sin 02 C x x A B -?+=的两根之和等于两根之积的一半，则ABC ?一定是 （ ） （A ）直角三角形（B ）钝角三角形（C ）等腰三角形（D ）等边三角形. 3、 已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若a=1,b=3, A+C=2B,则sinC= . 4、如图，在△ABC 中，若b = 1，c =3，23 C π ∠=，则a= 。 5、在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2a =，2b =， sin cos 2B B +=，则角A 的大小为 ． 6、在?ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且2 7 4sin cos 222 B C A +-= （1）求A ∠的度数 （2）若3a =，3b c +=，求b 和c 的值 7、 在△ABC 中已知acosB=bcosA,试判断△ABC 的形状. 8、如图，在△ABC 中，已知3=a ，2=b ，B=45? 求A 、C 及c . A B 3 23 π

1、解：在ABC A B ?>中，2sin 2sin sin sin a b R A R B A B ?>?>?>，因此，选C ． 2、【答案】由题意可知：211cos cos cos 2sin 222 C C A B -= ??= ，从而2cos cos 1cos()1cos cos sin sin A B A B A B A B =++=+- cos cos sin sin 1A B A B +=，cos()1A B -=又因为A B ππ-<-<所以0A B -=， 所以ABC ?一定是等腰三角形选C 3、【命题立意】本题考察正弦定理在解三角形中的应用. 【思路点拨】由已知条件求出B 、A 的大小，求出C ，从而求出sin .C 【规范解答】由A+C=2B 及180A B C ++=得60B =，由正弦定理得 1sin 60 A =得1 sin 2 A = ，由a b <知60A B <=，所以30A =，180C A B =-- 90=，所以sin sin 90 1.C == 4、【命题立意】本题考查解三角形中的余弦定理。 【思路点拨】对C ∠利用余弦定理，通过解方程可解出a 。 【规范解答】由余弦定理得，222121cos 33 a a π +-???=，即220a a +-=，解得1a =或2-（舍）。【答案】1 【方法技巧】已知两边及一角求另一边时，用余弦定理比较好。 5、【命题立意】本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求解以及正弦定理，考查了考生的推理论证能力和运算求解能力。 【思路点拨】先根据sin cos B B +=B ，再利用正弦定理求出sin A ，最后求出A. 【规范解答】由sin cos B B += 12sin cos 2B B +=，即sin 2B 1=，因为0