三角函数图像与性质课件

sin y x =，x R ∈

π

π- 2π- cos y x =，x R ∈

2

π

32

π

2

π-

32

π

-

1.3.2 三角函数的图像与性质

1．利用单位圆中正弦线作正弦函数图象作法：（几何作法） （1）在直角坐标系的x 轴上任取一点O 1，以

O 1为圆心作单位圆，从⊙O 1与x 轴的交点A 起，把⊙O 1分成12等份，过⊙O 1上各点作x 轴的垂线，可得对应

于0,

,,,,2632

πππ

πL 等角的正弦线； （2）把x 轴上0~2π这一段分成12等份，

把角x 的正弦线向右平行移动，使正弦线的起点与x 轴上的点x 重合；

（3）用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数sin y x =，[0,2]x π∈的图象。

因为终边相同的角的函数值相同，所以，函数sin y x =，[2,2(1)]x k k ππ∈+（k Z ∈）且0k ≠的图象与函数

sin y x =，[0,2]x π∈的图象的形状完全相同，只是位置不同，于是只要将函数sin y x =，[0,2]x π∈的图象向左、

右平移，就可得到函数sin y x =，x R ∈的图象。 2．余弦函数的图象

由于cos cos()sin[()]sin()22y x x x x ππ==-=--=+，所以余弦函数cos y x =，x R ∈与函数sin()2y x π=+,x R ∈

是同一个函数；这样，余弦函数的图象可由：正弦曲线向左平移2

π个单位得到，即：

3．五点法作图

（1）sin y x =，[0,2]x π∈；

自变量 x

2

π π

32π 2π

函数值

y

1

－1

（2）sin 1y x =+，[0,2]x π∈． 自变量

x

0 2

π π 32

π 2π sin x

1

1-

函数值

y

1

2

1

1

4．正弦、余弦函数的定义域、值域 函 数 sin y x =

cos y x = 函 数 sin y x = cos y x =

定义域

x R ∈

x R ∈

值 域

[1,1]-

[1,1]-

y

x O 32

π

1

2π 2

π

向左平移

2

π

个单位 32

π

2

π

π

2π

5．正切函数tan y x =的定义域是什么？ ?

??

?

??∈+≠z k k x x ,2|ππ

6．正切函数是不是周期函数？

()tan tan ,,2x x x R x k k z π

ππ?

?+=∈≠+

∈ ??

?Q 且， ∴π是tan ,,2y x x R x k k z ππ??

=∈≠+∈ ???

且的一个周期。 π是不是正切函数的最小正周期？下面作出正切函数图象来判断。 7．作tan y x =，x ∈?

?

?-

,ππ的图象

说明：

（1（2）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数R x x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠

ππ

2

的

图象，称“正切曲线”。

（3）由图象可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线()2

x k k Z π

π=+

∈所隔开的无穷多支曲线组成的。

8（1）定义域：?

??

?

??∈+≠z k k x x ,2|ππ

； （2）值域：R

观察：当x 从小于()z k k ∈+

2

π

π，2

π+π?→?k x 时，tan x ??

→+∞

当x 从大于

()z k k ∈+ππ

2

，ππ

k x +?→?

2

时，-∞?→?

x tan 。 （3）周期性：π=T ；

（4）奇偶性：由()x x tan tan -=-知，正切函数是奇函数；

（5）单调性：在开区间z k k k ∈??

? ??++-ππππ2,2内，函数单调递增。 例1：求下列函数的定义域：

（1）cos()3

y x π

=+

； （2）sin y x = （3）225lgsin y x x =-+

例2：求使下列函数取得最大值的自变量x 的集合，并说出最大值是什么？ （1）cos 1y x =+，x R ∈； （2）sin 2y x =，x R ∈． 例3：求下列函数的值域： （1）21sin 1y x =

+； （2）sin sin 2

x

y x =

+． 例4：求函数sin cos y x x =+的值域。 例5：求函数3cos sin y x x =-的值域。

例6：求函数234sin 4y x cos x =--的最大值和最小值，并写出函数取最值时对应的x 的值。 例7：求函数sin cos sin cos y x x x x =++?的值域。

例8：如图，有一快以点O 为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD 辟为绿地，使其一边AD 落在半圆的直径上，另两点B 、C 落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为a ，如何选择关于点O 对称的点A 、D 的位置，可以使矩形ABCD 的面积最大？ 例9：已知函数cos3y a b x =-（0b >）的最大值为

32，最小值为1

2

-，求函数4sin3y a bx =-? 的最大值和最小值。 例10：已知函数22sin cos 2y a x a x a b =-++的定义域是[0,]2

π

，值域是[5,1]-，求常数,a b ．

例11：求下列函数的周期：（1）3tan 5y x π??

=+

??

?

（2）tan 36y x π?

?

=-

??

?

例12：求函数??

?

?

?-

=33tan πx y 的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性，并说明它的图象可以由正切曲线如何变换得到。 例13：用图象求函数tan 3y x =

-的定义域。

例14．“tan 0x >”是“0x >”的 条件。 例15．与函数tan 24y x π??

=+ ??

?

的图象不相交的一条直线是（ ） ()2

A x π

=

()2

B x π

=-

()4

C x π

=

()8

D x π

=

例16．函数1tan y x =-的定义域是（ ）．

A

D

O

C

B

θ

例17．函数2

tan tan 1,2y x x x k k Z π

π??

=++≠+

∈ ??

?

的值域是（ ）． 例18．函数tan cot y x x =-的奇偶性是（ ），周期是（ ）．

1.3.3 函数sin()y A x ω?=

+的图象

1．sin y A x =型函数的图象

一般地，函数sin y A x =，x R ∈(0,1)A A >≠的图象可看作把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长（1A >时）或缩短（1A <时）到原来的A 倍（横坐标不变的情况下）而得到，因此，sin y A x =，x R ∈的值域是[,]A A -，最大值为A ，最小值为A -．

2．sin y x ω=型函数的图象

一般地，函数sin y x ω=，x R ∈（0,1ωω>≠）的图象可以看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短（1ω>时）或伸长（01ω<<时）到原来的

1

ω

倍（纵坐标不变的情况下）而得到的。 3．sin()y x ?=+型的函数图象

一般地，函数sin()y x ?=+（0?≠），x R ∈的图象，可看作把正弦曲线上所有点向左（0?>时）或向右（0?<时）平行移动||?个单位而得到。 4．,,A ω?的物理意义

当sin()y A x ω?=+，[0,)x ∈+∞（其中0A >，0ω>）表示一个振动量时，A 表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅，往复振动一次需要的时间2T π

ω

=称为这个振动的周期，单位时间内往复振动的

次数12f T ω

π

=

=

，称为振动的频率。x ω?+称为相位，0x =时的相位?称为初相。 5．图象的变换

一般地，函数sin()y A x ω?=+，x R ∈的图象（其中0A >，0ω>）的图象，可看作由下面的方法得到： ①把正弦曲线上所有点向左（当0?>时）或向右（当0?<时）平行移动||?个单位长度；

②再把所得各点横坐标缩短（当1ω>时）或伸长（当01ω<<时）到原来的1

ω

倍（纵坐标不变）； ③再把所得各点的纵坐标伸长（当1A >时）或缩短（当01A <<时）到原来的A 倍（横坐标不变）。

即先作相位变换，再作周期变换，再作振幅变换。

例1 画出函数2sin y x =，x R ∈，1

sin 2y x =

，x R ∈，的简图。 例2 画出函数sin 2y x =，x R ∈，1

sin 2

y x =，x R ∈的函数简图。

例3 画出函数sin()3y x π

=+

，x R ∈，sin()4

y x π

=-，x R ∈的简图。 例4 画出函数3sin(2)3

y x π

=+

的简图。

1.3.4 函数sin()y A x ω?=

+的解析式

1．根据函数图象求解析式

例1：已知函数sin()y A x ω?=+（0A >，0ω>）一个周期内的函数图象，如下图所示，求函数的一个解析式。

2．由已知条件求解析式

例2： 已知函数cos()y A x ω?=+（0A >，0ω>，0?π<<）的最小值是5-，图象上相邻两个最高点与最

低点的横坐标相差4

π

，且图象经过点5(0,)2-，求这个函数的解析式。

例3：已知函数sin()y A x B ω?=++（0A >，0ω>，||?π<）的最大值为22，最小值为2-，周期为

23

π

，且图象过点2

(0,)-，求这个函数的解析式。

x

3

3

π

56

π

3

O

例1解： （1）

3

x R π

+∈， ∴x R ∈； （2）sin 0x ≥， ∴[2,2]x k k πππ∈+()k Z ∈；

（3）2250sin 0

x x ?-≥?>? ∴5522()

x k x k k Z πππ-≤≤??

<<+∈? ∴ [5,)[0,)x ππ∈--U ．

例2解：（1）使函数cos 1y x =+，x R ∈取得最大值的x 的集合，就是使函数cos y x =，x R ∈ 取得最大值的x 的集合{|2,}x x k k Z π=∈，所以，函数cos 1y x =+，x R ∈的最大值是112+=．

（2）令2z x =，那么x R ∈必须并且只需z R ∈，且使函数sin y z =，z R ∈取得最大值的z 的集合是

{|2,}2

z z k k Z π

π=

+∈，由222

x z k π

π==

+，得4

x k π

π=

+，即：使函数sin 2y x =，x R ∈取得最大值的x

的集合是{|,}4

x x k k Z π

π=

+∈，函数的最大值是1． 例3解：（1）∵2

0sin 1x ≤≤，∴2

1sin 12x ≤+≤， ∴

112y ≤≤所以，值域为1

{|1}2

y y ≤≤． （2）2sin 1y x y =

-， ∴1sin 1x -≤≤， ∴2111y y -≤≤-，解得113y -≤≤， 所以，值域为1{|1}3

y y -≤≤．

例4解：sin cos y x x =+)4

x π

=

+，

∵1sin()14x π

-≤+

≤，∴)4

x π

≤+≤sin cos y x x =+的值域是[．

例5解：1sin sin )2y x x x x =-=- 2sin()3

x π

=--

∵1sin()14x π-≤-

≤，∴22sin()24

x π

-≤--≤，所以，函数sin y x x =-的值域为[2,2]-．

例6解： 234sin 4y x cos x =--2

4sin 4sin 1x x =--214(sin )22

x =--

令sin t x =，则11t -≤≤，∴2

14()22

y t =--（11t -≤≤），

∴当12t =，即26x k ππ=+或526

x k π

π=

+（k Z ∈）时，min 2y =-， 当1t =-，即322

x k π

π=+（k Z ∈）时，max 7y =． 例7解：令sin cos x x t +=，则21

sin cos 2

t x x -?=，

又∵sin cos )4

t x x x π

=+=+

，∴t ≤

当1t =-时，min

1y =-

，当t =

时，2max 111

222

y =?=

所以，函数sin cos sin cos y x x x x =++?

的值域为[1,2-．

例8解：设AOB θ∠=，则sin AB a θ=，cos OA a θ=，∴sin 2cos S a a θθ=?22sin cos a θθ=??2

sin 2a θ=?， ∴当sin 2θ取得最大值1时，S 取得最大值2

a ，此时，4π

θ=

，OA OD ==，

答：A 、D 应该选在离O

处，才能使矩形ABCD 的面积最大，最大面积为2

a ．

例9解：cos3y a b x =-（0b >） 当cos31x =-时，max 32y a b =+=

， ① 当cos31x =时，min 1

2

y a b =-=-， ② 由①②得12

1

a b ?

=?

??=?，∴14sin 32sin 32y x x =-??=-，所以，当sin31x =-时，2max y =，当sin31x =时，min 2y =-． 例10解： 2

2sin cos 2y a x a x a b =-++(1cos 2)cos 2a x a x a b =--++22cos2a a x b =-+

∵[0,

]2

x π

∈，∴2[0,]x π∈， ∴1cos21x -≤≤，

若0a >，则当cos21x =-时函数取得最大值1，当cos21x =时函数取得最小值5-，

∴415a b b +=??=-?，解得：325

a b ?

=???=-?，

若0a <时，则当cos21x =时函数取得最大值1，当cos21x =-时函数取得最小值5-，

∴145b a b =??+=-?，解得：321a b ?=-???=?， 所以，325a b ?=???=-?或321

a b ?

=-?

??=?． 例11（1） 答：T π=。（2）答：3

T π

=

。()()tan 0,0y A x A ω?ω=+≠≠的周期T π

ω

=

． 例12解：由2

3

3π

ππ

+≠-

k x 得18

53ππ+≠

k x ， ∴所求定义域为?

??

?

??∈+≠

∈z k k x R x x ,1853,|ππ且，值域为R ，周期3π=T ，是非奇非偶函数，在区间()z k k k ∈??

? ??+-1853,183ππππ上是增函数。将tan y x =图象向右平移3π个单位，得到tan 3y x π?

?=- ???的图象；再将

tan 3y x π?

?=- ???的图象上所有点的横坐标变为原来的13倍（纵坐标不变），就得到函数??

? ??-=33tan πx y 的图象。

例13解：由tan 30x -≥ 得 tan 3x ≥，利用图象知，所求定义域为(),32k k k Z ππππ?

?++∈???

?，亦可利用单位

圆求解。

例14既不充分也不必要

例15 D 例16 (),2

4k k k Z π

πππ?

?

-

+

∈ ??

?

例17 3,4?

?

+∞??

??

例18奇函数2π

例1解：先画出它们在[0,2]π上的图象，再向左右扩展，

x

0 2π π 32π 2π

sin x 0

1 0 1- 0 2sin x 0

2 0 2- 0 1

sin 2

x 0

12

12

- 0

由图可知，对于同一个x ，2sin y x =，[0,2]x π∈的图象上的点的纵坐标等于sin y x =，[0,2]x π∈的图象上

的点的纵坐标的2倍，因此，2sin y x =，x R ∈的图象可以看作正弦曲线上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变的情况下）而得到的。1sin 2y x =

，x R ∈的图象的情况也类似：纵坐标变为原来的1

2

（横坐标不变情况下）

。 例2解：先画出它们在一个周期内的图象，再向左、右扩展，

例3解：由函数图象的平移知：

x 0 4π 2

π

34π π 2x 0 2π π 32π 2π sin 2x

1

1-

x 0

π 2π

3π 4π

12x 0 2π π 32

π 2π 1sin 2

x

1

1-

y

x

T

A 3

2

π

0 y

x

3π 3

x

y

O

–

–

π

32

π 2π 2π 2sin y x =

sin y x =

1

sin 2

y x =

x

y

O

π 2π

4π

2

π

1 1- –

–

x

y

O π 2π 94

π

53

π

76

π

4π 3π- 54

π

sin()3y x π=+，x R ∈的图象可看作sin y x =，x R ∈的图象向左平移3π

个单位得到；

sin()4y x π=-，x R ∈的图象可看作sin y x =，x R ∈的图象向右平移4

π

个单位得到。可得图象如下：

例4解：函数的周期为22

T π

π=

=，先画出它在长度为一个周期内的闭区间上的简图，再左右拓展即可，先用五点法画图：

x

6π-

12

π

3π 712π 56

π 23

x π+

2π π 32

π 2π

3sin(2)3

x π

+

3

3- 0

函数3sin(2)3

y x =+的图象可看作由下面的方法得到的：

①sin y x =图象上所有点向左平移

3

π

个单位，得到sin()3y x π=+的图象上；②再把图象上所点的横坐标缩

短到原来的12，得到sin(2)3y x π=+的图象；③再把图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，得到3sin(2)

3

y x π

=+的图象。

问题：以上步骤能否变换次序？

∵3sin(2)3sin 2()36y x x ππ=+

=+，所以，函数3sin(2)3

y x π

=+的图象还可看作由下面的方法得到的： ①sin y x =图象上所点的横坐标缩短到原来的1

2，得到函数sin 2y x =的图象；②再把函数sin 2y x =图象

上所有点向左平移6

π个单位，得到函数sin 2()6y x π=+的图象；③再把函数sin 2()6y x π

=+的图象上所有点的纵坐标伸

长到原来的3倍，得到3sin 2()6

y x π

=+的图象。

例1解：由图知：函数最大值为3，最小值为3-，又∵0A >，∴3A =

，

由图知

52632T πππ=-=∴2T ππω==，∴2ω=，又∵157()23612πππ

+=

， ∴图象上最高点为7(,3)12π，∴733sin(2)12π?=?+，即7sin()16π?+=，可取23

π

?=-

， 所以，函数的一个解析式为23sin(2)3

y x π

=-．

例2解：由题意：5A =，24T π=， ∴22T ππ

ω==，∴4ω=， ∴5cos(4)y x ?=+，

又∵图象经过点5(0,)2-， ∴55cos 2?-=， 即1

cos 2

?=-，

又∵0?π<<， ∴23π?=，所以，函数的解析式为25cos(4)3

y x π

=+．

x y

O π

3

π-

6

π- 53

π

2π

sin()3

y x π

=+

sin(2)3

y x π

=+

sin y x = 3sin(2)3

y x π

=+

例3

解：

A B

A B

?+=

?

?

-+=

?

?

2

A

B

?

=

??

??

?=

??

，又∵

22

3

T

ππ

ω

==，∴3

ω=

，∴)

y x?

=++，

又∵图象过点(0,)

4

-

，∴sin

422

?

-=+，∴

1

sin

2

?=-，

又∵||

?π

<，∴

6

π

?=-或

5

6

π

?=-，所以，函数解析式

为sin(3)

262

y x

π

=-+

或

5

)

6

y x

π

=-+

一般的最常用公式有:

Sin(A+B)=SinA*CosB+SinB*CosA

Sin(A-B)=SinA*CosB-SinB*CosA

Cos(A+B)=CosA*CosB-SinA*SinB

Cos(A-B)=CosA*CosB+SinA*SinB

Tan(A+B)=(TanA+TanB)/(1-TanA*TanB)

Tan(A-B)=(TanA-TanB)/(1+TanA*TanB)

三角函数的图像与性质

三角函数的图像与性质 1．三角函数中的值域及最值问题 a ．正弦(余弦、正切)型函数在给定区间上的最值问题 (1)(经典题，5分)函数f (x )＝sin ????2x －π4在区间????0，π 2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－ 22 C.22 D ．0 答案：B 解析：∵x ∈????0，π2，∴－π4≤2x －π4≤3π 4，∴函数f (x )＝sin ????2x －π4在区间????0，π2上先增后减．∵f (0)＝sin ????－π4＝－22， f ????π2＝sin ????3π4＝2 2， f (0)

三角函数图像与性质知识点总结

三角函数图像与性质知识 点总结 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020

函数图像与性质知识点总结 一、三角函数图象的性质 1．“五点法”描图 (1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,0) ? ?? ?? ?π2，1 (π，0) ? ?? ??? 32π，－1 (2π，0) (2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1)，? ?????π2，0，(π，－1)，? ???? ? 3π2，0，(2π，1) 2.三角函数的图象和性质 函数 性质 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x 定义域 R R {x |x ≠k π＋π 2 ，k ∈Z} 图象 值域 [－1,1] [－1,1] R 对称性 对称轴： x ＝k π＋ π2(k ∈Z)； 对称轴： x ＝k π(k ∈Z) 对称中心： 对称中心：? ?? ?? ?k π2，0 (k ∈Z)

3.一般地对于函数()，如果存在一个非零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期) 4.求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x、cos x的有界性； 关于正、余弦函数的有界性 由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于?x∈R，恒有－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1，所以1叫做y＝sin x，y＝cos x的上确界，－1叫做y＝sin x，y＝cos x的下确界.

三角函数的图像与性质题型归纳总结

三角函数的图像与性质题型归纳总结 题型归纳及思路提示 题型1 已知函数解析式确定函数性质 【思路提示】一般所给函数为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)，A>0,ω>0,要根据 y ＝sin x ，y ＝cos x 的整体性质求解。 一、函数的奇偶性 例1 f (x )＝sin ()x ?+（0≤?<π）是R 上的偶函数，则?等于（ ） A.0 B ． 4πC ．2 π D ．π 【评注】由sin y x =是奇函数，cos y x =是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：sin()(); y A x k k Z ??π=+=∈(1)若是奇函数，则 sin()+ (); 2 y A x k k Z π ??π=+=∈(2)若是偶函数，则 cos()(); 2 y A x k k Z π ??π=+=+ ∈(3)若是奇函数，则 cos()(); y A x k k Z ??π=+=∈(4)若是偶函数，则 tan()().2k y A x k Z π ??=+= ∈(5)若是奇函数，则 .()sin ||a R f x x a a ∈=-变式1已知，函数为奇函数，则等于（ ） A.0 B ．1 C ．1-D ．1 ± 2.0()cos()()R f x x x R ???∈==+∈变式设，则“”是“为偶函数”的（ ） A 充分不必要条件 B ．必要不充分条 C ．充要条件 D ．无关条件 3.()sin()0()f x x f x ω?ω=+>变式设，其中，则是偶函数的充要条件是（ ） A.(0)1f =B ．(0)0f =C ．'(0)1f =D ．'(0)0 f = 2.()sin(2)()()2f x x x R f x π =-∈例设，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数B ．π最小正周期为的偶函数 C ．2π 最小正周期为 的奇函数D ．2π 最小正周期为的偶函数 2()sin 1()()f x x x R f x =-∈变式1.若，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．π最小正周期为2的奇函数D ．π最小正周期为2的偶函数

三角函数的图像与性质

一、选择题 1．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( ) A ．[－1,1] B ．[－5 4，－1] C ．[－5 4，1] D ．[－1，5 4 ] [答案] C [解析] 本题考查了换元法，一元二次函数闭区间上的最值问题，通过sin x ＝t 换元转化为t 的二次函数的最值问题，体现了换元思想和转化的思想，令t ＝sin x ∈[－1,1]，y ＝t 2 ＋t －1，(－1≤t ≤1)，显然－5 4 ≤y ≤1，选C. 2．(2011·山东理，6)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间[0，π 3]上单调递增， 在区间[π3，π 2 ]上单调递减，则ω＝( ) A ．3 B ．2 C.32 D.2 3 [答案] C [解析] 本题主要考查正弦型函数y ＝sin ωx 的单调性 依题意y ＝sin ωx 的周期T ＝4×π3＝43π，又T ＝2π ω， ∴2πω＝43π，∴ω＝32 .

故选C(亦利用y ＝sin x 的单调区间来求解) 3．(文)函数f (x )＝2sin x cos x 是( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数 [答案] C [解析] 本题考查三角函数的最小正周期和奇偶性． f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，最小正周期T ＝2π 2＝π， 且f (x )是奇函数． (理)对于函数f (x )＝2sin x cos x ，下列选项中正确的是( ) A ．f (x )在(π4，π 2)上是递增的 B ．f (x )的图像关于原点对称 C ．f (x )的最小正周期为2π D ．f (x )的最大值为2 [答案] B [解析] 本题考查三角函数的性质．f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，周期为π，最大值为1，故C 、D 错；f (－x )＝sin(－2x )＝－2sin x ，为奇函数，其图像关 于原点对称，B 正确；函数的递增区间为???? ??k π－π4，k π＋π4，(k ∈Z)排除A. 4．函数y ＝sin2x ＋a cos2x 的图像关于直线x ＝－π 8对称，则a 的值为 ( )

三角函数图象和性质(总结的很全面,不看后悔)

三角函数专题辅导 课程安排 制作者：程国辉

专题辅导一 三角函数的基本性质及解题思路 课时：4-5学时 学习目标： 1. 掌握常用公式的变换。 2. 明确一般三角函数化简求值的思路。 第一部分 三角函数公式 1、两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cos α·cos β-sin α·sin β cos(α-β)=cos α·cos β+sin α·sin β sin(α±β)=sin α·cos β±cos α·sin β tan(α+β)=(tan α+tan β)/(1-tan α·tan β) tan(α-β)=(tan α-tan β)/(1+tan α·tan β 2、倍角公式： sin(2α)=2sin α·cos α=2/(tan α+cot α) cos(2α)=(cos α)^2-(sin α)^2=2(cos α)^2-1=1-2(sin α)^2 tan(2α)=2tan α/(1-tan^2α) cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cot α) 3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： ()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβ αβαβαβααα=±=±???→= ()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2 1cos2sin 2 2tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααα αααβα αβααβα αα αα=±=???→=-↓=-=-±±=?-↓= - 4、同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系：2 2 2 2 2 2 sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= （2）倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, （3）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα αααα = =

三角函数图像与性质测试

三角函数的性质与图像（学案） 一、 学习目标 1、“五点法”画函数sin()y A x ω?=+的图像. 2、图像变换规律. 3、由函数图像或性质求解析式. 重点：围绕三角函数图像变换、五点作图求函数解析式. 难点：图像变换中的左右平移变换中平移量的确定. 二、 学习过程 1、高考考点分析 2、知识梳理： （1）用“五点法”画sin()y A x ω?=+一个周期的简图时，要找出

五个关键点。 填写表格： （2）三角函数图像的变化规律： （3）函数sin()y A x ω?=+的物理意义：

（4）由函数sin()y A x k ω?=++图像求函数解析式的步骤和方法： ①A 的确定： ②k 的确定： ③ω的确定： ④?的确定： 三、基础训练 1、函数sin(2)3 y x π =+的最小正周期为（ ） A. 4π B. 2π C. π D. 2 π 2、将函数2sin(2)6 y x π =+的图像向右平移14 个周期后，所得图像 对应的函数为（ ） A. 2sin(2)6 y x π=+ B. 2sin(2)3 y x π =+ C. 2sin(2)4 y x π=- D. 2sin(2)3 y x π =- 3、为了得到sin()3 y x π =+的图像，只需把函数sin y x =的图像上所 有的点（ ） A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向上平移3π个单位 D ．向下平移3 π 个单位 4、函数2cos2y x x +的最小正周期为（ ） A ． 2 π B .23π C. π D. 2π

四、范例导航 题型一：三角函数的图象 例1．（2000全国，5）函数y ＝－xc os x 的部分图象是（ ） 变式练习．（2002上海，15）函数y =x +sin|x |，x ∈［－π，π］的大致图象是（ ） 题型二：函数sin()y A x ω?=+图像及变换 例2、已知函数2sin(2)3 y x π =+ （1）求它的振幅、周期、初相。 （2）用五点作图法作它在一个周期内的图像。 （3）试说明2sin(2)3 y x π =+的图像可由sin y x =的图像经过 怎样的变换得到？ 列表：

三角函数图像及其性质

【本讲教育信息】 一.教学内容： 三角函数的图象与性质 二.教学目的： 了解三角函数的周期性，知道三角函数y＝A sin（ωx＋φ），y＝A cos（ωx ＋φ）的周期为。 能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，并能根据图象理解正弦函 数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（－，）上的性质（如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等）。 了解三角函数y＝A sin（ωx+φ）的实际意义及其参数A，ω，φ对函数图象变化的影响；会画出y＝A sin（ωx+φ）的简图，能由正弦曲线y＝sin x通过平移、伸缩变换得到y＝A sin（ωx+φ）的图象。 会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。 三.教学重点：三角函数的性质与运用 教学难点：三角函数的性质与运用。 四.知识归纳 1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 2.三角函数的单调区间： 的递增区间是， 递减区间是； 的递增区间是，

递减区间是， 的递增区间是， 3.函数 最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象 与直线的交点都是该图象的对称中心。 4.由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换 利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现.无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少. 途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将y＝sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的图象。 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0),再沿x轴向左(＞0)或向右(＜0＝平移个单位，便得y＝sin(ωx＋)的图象。 5.由y＝Asin(ωx＋)的图象求其函数式： 给出图象确定解析式y=Asin（ωx+）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置. 6.对称轴与对称中心： 的对称轴为，对称中心为； 的对称轴为，对称中心为； 对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。 7.求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、的正负。利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间； 8.求三角函数周期的常用方法： 经过恒等变形化成“、”的形式，再利用周期公式，另外还有图像法和定义法。 9.五点法作y=Asin（ωx+）的简图： 五点取法是设x=ωx+，由x取0、、π、、2π来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。

三角函数正余弦函数的图像及性质复习汇总

课题三角函数的图像及性质 1.借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式( π2/±α , π的±正α弦、余弦、正切) 教学目标 2.利用单位圆中的三角函数线作出y sin x,x R的图象，明确图象的形状； 3.根据关系cosx sin(x ) ，作出y cosx,x R的图象； 2 4.用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图，并利用图象解决一些有关问题； 重点、难点 1、正确地用三角函数线表示任意角的三角函数值 2、作余弦函数的图象。 教学内容 、正弦函数和余弦函数的图象： -1 正弦函数y sin x 和余弦函数y cos x图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，, ,3 ,2 22 的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。 二、正弦函数y sin x(x R) 、余弦函数y cosx(x R) 的性质： ( 1)定义域：都是R。 (2)值域： 1、都是1,1 ， 2、y sinx ，当x 2k k 2 3、y cosx ，当x 2k k Z 例： ( 1)若函数y a bsin(3 x Z 时，y 取最大值1 ；当x 时，y 取最大值1，当x 2k ) 的最大值为3，最小值为 62 3 2k 3 k Z 时，y 取最小值－1； 2 k Z 时，y 取最小值－ 1 。 1，则 a __， b ＿ 2 3 y -2 1 y=cosx -3 -5 -32 -4 -7 -2 -3 22

1 答： a 1 2,b 1或b 1)； ⑵ 函数 y=-2sinx+10 取最小值时，自变量 x 的集合是 3）周期性 ： （正（余）弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于 x 轴的直线，对称中心为图象与 x 轴的交 点）。 5）单调性 ： 别忘了 k Z ！ ⑴函数 y=sin2x 的单调减区间是（ ① y sin x 、 y cos x 的最小正周期都是 2 ； ② f ( x) A sin( x )和 f (x) Acos( 2 x ） 的最小正周期都是 T 2 sin 3x ，则 f （1） f （2） ⑵．下列函数中，最小正周期为 例： (1)若 f (x) f (3) L 的是（ A. y cos 4x B. y sin 2x C.y f (2003) ＝ 答： 0）； x sin 2 D.y x cos 4 （ 4）奇偶性与对称性 ： 1、正弦函数 y sin x （ x R ） 是奇函 数， 对称中心是 k ,0 k Z ，对称轴是直线 x k k Z ； 2 2、余弦函数 y cosx （x R ） 是偶函数， 对称中心是 k 2 ,0 k Z ，对称轴是直线 x k k Z 5 例：（1） 函数 y sin 5 2 2x 的奇偶性是 答：偶函数）； 2）已知函数 f （ x ） a x bsin 3 x 1( a,b 为常数)， 且 f (5 ) 7， 则 f ( 5) 答：－ 5）； y sin x 在 2k , 2k 2 k Z 上单调递增，在 2k , 2k 2 3 k Z 单调递减； 2 y cosx 在 2k ,2 k Z 上单调递减，在 2k ,2k k Z 上单调递增。 特别提醒 ，

三角函数的图象与性质知识点汇总

三角函数的图象与性质 、知识网络 基弃变换 三、知识要点 （一）三角函数的性质 1、定义域与值域 2、奇偶性 （1）基本函数的奇偶性奇函数：y = sinx , y = tanx ; 偶函数：y= cosx. （2） -'’ 一 -‘：型三角函数的奇偶性 (i)g (x)=* (x€ R) g (x )为偶函数 ' 二二—「二： O卫址1(徴 + ? =/win(-徴+@)(x亡卫)U sin ocrcos(p= 0(x白应) cos (p二 0 o(p= jt/r-hy e 7) 由此得 同理，旨（对二話乞山（伽+洌0€丘）为奇函数O 寻炉=七兀3€2）. （ii）u'■■ ' '''「：；：：「' ■?■. 八为偶函数' ..为奇函数

O S (<3X + 炉)+丘 的周期为 竺 kl 7T y = / tan (阪 + + 上丿=/cot (血+饲 + 上 的周期为 (2)认知 -I ' ' ： " '型函数的周期 7T -；1 1 - - ■ : - 1 的周期为 门； 71 均同它们不加绝对值时的周期相同，即对 J 的解析式施加绝对值后, y = sin z|+|co3J ： 的最小正周期为

三角函数的图像和性质知识点及例题讲解

三角函数的图像和性质 1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）： 正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (π,0) (2 3π ,-1) (2π,0) 余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的图像中，五个关键点是：(0,1) (2π,0) (π,-1) (2 3π,0) (2π,1) 2 sin y x = cos y x = tan y x = 图 象 定义域 R R ,2x x k k ππ??≠+∈Z ???? 值域 []1,1- []1,1- R 最 值 当 22 x k π π=+ 时， max 1y =；当22x k ππ=- 时，min 1y =-． 当2x k π=时， max 1y =；当2x k ππ=+ 时，min 1y =-． 既无最大值也无最小值 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单 调 性 在2,22 2k k π πππ?? - + ??? ? 上是增函数； 在32,22 2k k ππππ? ?++??? ? 上是减函数． 在[]2,2k k πππ-上是增函 数； 在[]2,2k k πππ+上是减函数． 在,2 2k k π πππ? ? - + ?? ? 上是增函数． 对称 性 对称中心(),0k π 对称轴2 x k π π=+ 对称中心,02k π π??+ ?? ? 对称轴x k π= 对称中心,02k π?? ??? 无对称轴 函 数 性 质

例作下列函数的简图 (1)y=|sinx|，x ∈[0，2π]， (2)y=-cosx ，x ∈[0，2π] 例利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x 的集合： 21sin )1(≥ x 21 cos )2(≤ x 3、周期函数定义：对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有：()()f x T f x +=，那么函数()y f x =就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。 注意： 周期T 往往是多值的（如sin y x = 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做 ()y f x =的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）sin y x =, cos y x =的最小正周期为2π （一 般称为周期） 正弦函数、余弦函数：ωπ= 2T 。正切函数：π ω 例求下列三角函数的周期： 1? y=sin(x+3 π ) 2? y=cos2x 3? y=3sin(2x +5π) 4? y=tan3x 例求下列函数的定义域和值域： （1）2sin y x =- （2）y =（3）lgcos y x =

三角函数图像及其性质带答案

三角函数图像及其性质复习题 1.将函数x y 2sin =的图象向右平移4 π 个单位，再向上平移1个单位，所得函数图象对应的解析式为 A.1)4 2sin(+- =π x y B.x y 2cos 2= C.x y 2 sin 2= D.x y 2cos -= 【答案】C 2.函数()()sin 0,2f x x πω?ω??? =+>< ?? ? 的最小正周期是π，若其图像向右平移 3 π 个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图像 A.关于点,012π?? ??? 对称 B.关于直线12 x π = 对称 C.关于点5,012π?? ??? 对称 D.关于直线512 x π = 对称 【答案】D 3 函数 ()()b x A x f ++=?ωsin 的图象如下，则 ()()()201110f f f S +???++=等于 A.0 B.503 C.1006 D.2012 【答案】D 4关于函数()x x x f 2cos 2sin -=有下列命题：①函数()x f y =的周期为π；②直线4 π=x 是()x f y =的一条对称轴；③点?? ? ??0,8π是()x f y =的图象的一个对称中心；④将()x f y =的图象向左平移4 π 个单位，可得到x y 2sin 2=的图象.其中真命题的序号是______. 【答案】①③ 5函数()sin(2)3 f x x π =- (x ∈R)的图象为C,以下结论中: ①图象C 关于直线1112x π= 对称;②图象C 关于点2( ,0)3 π 对称;③函数f(x)在区间5(,)1212ππ-内是增函数;④由3sin 2y x =的图象向右平移3 π 个单位长度可以得到图象C. 则正确的是 .(写出所有正确结论的编号)

三角恒等变换及三角函数图象性质

三角恒等变换及三角函数图象性质 一例题讲解 1．快速写出下列各式的值： （1）? ? ? ? -43cos 13sin 13cos 43sin （2）? ? ? ? -26cos 56sin 64cos 56cos （3）2sin15cos15??=_________； （4）2 2 cos 15sin 15?-?=_________； （5）2 2sin 151?-=_________； （6）2 2 sin 15cos 15?+?=________ （7）) 15tan(1195tan 1?? -++ （8） 2cos 6sin x x -=________ 2化简：（1）4221 2cos 2cos 22tan()sin ()44x x x x ππ-+ -+；（2）(1sin cos )(sin cos )22(0)22cos θθθθθπθ++-<<+．3 设4cos()5αβ-=-，12cos()13αβ+=，且(,)2παβπ-∈，3(,2)2 π αβπ+∈，求c o s 2α，cos 2β． 4若3cos()45x π +=，177124x ππ<<，求2sin 22sin 1tan x x x +-的值． 5已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =+． （Ⅰ）用五点法画出函数在区间,22ππ??-???? 上的图象，长度为一个周期； （Ⅱ）说明()2sin (sin cos )f x x x x =+的图像可由sin y x =的图像经过怎样变换而得到． 6为得到)6 2sin(π - =x y 的图象，可以将x y 2cos =的图象向右平移____个单位长度． 7已知正弦函数sin()y A x ω?=+(0,0)A ω>>的图像如右图所示． （1）求此函数的解析式1()f x ； （2）求与1()f x 图像关于直线8x =对称的曲线的解析式2()f x ； －2 2 2 x =8 x y O

必修4三角函数的图像与性质

§1.4.1正弦函数、余弦函数的图象 学习目标：1.能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象. 2.能熟练运用“五点法”作图. 学习重点：运用“五点法”作图 学习难点：借助于三角函数线画y=sinx的图象 学习过程： 一、情境设置 遇到一个新的函数，画出它的图象，通过观察图象获得对它的性质的直观认识是研究函数的基本方法，那么，一般采用什么方法画图象？ 二、探究研究 问题1. 在直角坐标系内把单位圆十二等分，分别画出对应角的正弦线. 问题2. 在相应坐标系内，在x轴表示12个角（实数表示），把单位圆中12个角的正弦线进行右移. 问题 3. 通过刚才描点（x0,sinx0）,把一系列点用光滑曲线连结起来，能得到什么？ 问题4. 观察所得函数的图象，五个点在确定形状是起关键作用，哪五个点？ 问题5. 如何作y=sinx,x∈R的图象（即正弦曲线）？ 问题6. 用诱导公式cosx=________（用正弦式表示），y=cosx的图象（即余弦曲线）怎样得到？问题7. 关键五个点.三、例题精讲 例1：用“五点法”画下列函数的简图 (1)y=1+sinx ，x∈[]π2,0 (2) y=-cosx， x∈[]π2,0 思考：（1）从函数图象变换的角度出发，由y=sinx,x∈[]π2,0的图象怎样得到y=1+sinx ，x∈[]π2,0的图像？由y=cosx,x∈[]π2,0的图象怎样得到y=-cosx，，x∈[]π2,0的图像？ 四、巩固练习 1、在[0,2π]上,满足 1 sin 2 x≥的x取值范围是( ). A. 0, 6 π ?? ?? ?? B.5, 66 ππ ?? ?? ?? C.2, 63 ππ ?? ?? ?? D.5, 6 π π ?? ?? ?? 2、用五点法作) y=1-cosx， x∈[]π2,0的图象. 3、结合图象，判断方程x sinx=的实数解的个数. 五、课堂小结 在区间] 2,0 [π上正、余弦函数图象上起关键作用的五个点分别是它的最值点及其与坐标轴的交点（平衡点）.函数的图象可通过描述、平移、对称等手段得到. 六、当堂检测 1、观察正弦函数的图象，以下4个命题： （1）关于原点对称（2）关于x轴对称（3）关于y轴对称（4）有无数条对称轴其中正确的是 A、（1）、（2） B、（1）、（3） C、（1）、（4） D、（2）、（3）（）

最全三角函数的图像与性质知识点总结

三角函数的图像与性质 一、 正弦函数、余弦函数的图像与性质 二、正切函数的图象与性质 定义域 {|,}2 x x k k Z π π≠ +∈ 函数 y ＝sin x y ＝cos x 图 象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] 单调性 递增区间：2,2() 2 2k k k Z ππππ??-+∈??? ? 递减区间：32,2()2 2k k k Z ππππ??++∈??? ? 递增区间：[2k π－π，2k π] (k ∈Z ) 递减区间：[2k π，2k π＋π] (k ∈Z ) 最 值 x ＝2k π＋π 2(k ∈Z )时，y max ＝1； x ＝2k π－π 2(k ∈Z )时，y min ＝－1 x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1； x ＝2k π＋π(k ∈Z ) 时，y min ＝－1 奇偶性 奇函数 偶函数 对称性 对称中心：(k π，0)(k ∈Z )（含原点） 对称轴：x ＝k π＋π 2，k ∈Z 对称中心：(k π＋π 2，0)(k ∈Z ) 对称轴：x ＝k π，k ∈Z （含y 轴） 最小正周期 2π 2π

三、三角函数图像的平移变换和伸缩变换 1. 由x y sin =的图象得到)sin(?ω+=x A y (0,0A ω>>)的图象 注意：定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误。 2. )sin(?ω+=x A y (0,0A ω>>)的性质 （1）定义域、值域、单调性、最值、对称性： 将?ω+x 看作一个整体，与相应的简单三角函数比较得出； （2）奇偶性：只有当?取特殊值时，这些复合函数才具备奇偶性： )sin(?ω+=x A y ，当π?k =时为奇函数，当2 ππ?±=k 时为偶函数； （3）最小正周期：ω π2=T

高中 三角函数的图像和性质

1—6-1 — 三角函数的图像和性质 知识要点： 1.正弦、余弦、正切函数的图像和性质 定义域 R R 值域 ]1,1[+- ]1,1[+- R 周期性 π2 π2 π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 ] 22 , 22 [ππππk k ++- 上为增 函数；]22 3,22 [ππ ππ k k ++上 为减函数（Z k ∈） ()] 2,12[ππk k -；上为增 函数 ()] 12, 2[ππ+k k 上为减函数 （Z k ∈） ?? ? ??++-ππππk k 2,2上为增函数 （Z k ∈） 1-1 y=sinx -3π2 -5π2-7π2 7π25π2 3π2π2 -π2 -4π-3π -2π4π 3π2ππ-πo y x 1-1y=cosx -3π 2 -5π2 -7π2 7π2 5π2 3π2 π2 -π2-4π-3π-2π4π 3π2ππ-πo y x y=tanx 3π2 π π2 - 3π2 -π- π2 o y x 2.sin()(0,0)y A x A ω?ω=+>>的图像和性质 ? ?? ???∈+≠∈Z k k x R x x ,21|ππ且x y tan =x y cos =x y sin =x y

2—6-2 — （1）定义域 （2）值域 （3）周期性 （4）奇偶性 （5）单调性 练习： 1.将函数sin (0)y x ωω=>的图象向左平移 6 π个单位，平移后的图象 如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ C ） A ．sin()6y x π =+ B ．sin()6 y x π =- C ．sin(2)3y x π=+ D ．sin(2)3 y x π =- 2.设0a >，对于函数()sin (0)sin x a f x x x π+=<<，下列结论正确的是( B ) A ．有最大值而无最小值 B ．有最小值而无最大值 C ．有最大值且有最小值 D ．既无最大值又无最小值 3.函数y =1+cos x 的图象B （A ）关于x 轴对称 （B ）关于y 轴对称 （C ）关于原点对称 （D ）关于直线x = 2 π 对称 4.已知R a ∈，函数R x a x x f ∈-=|,|sin )(为奇函数，则a ＝( A ) （A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）±1 5.为了得到函数R x x y ∈+=),6 3 sin(2π 的图像，只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点( A ) （A ）向左平移 6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31 倍（纵坐标不变） （B ）向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31 倍（纵坐标不变） （C ）向左平移6π 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） （D ）向右平移6 π 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） 6.函数1 |sin( 3)|2 y x =+的最小正周期是（ C ） Ａ． π2 Ｂ．π Ｃ．2π Ｄ．4π

三角函数图像与性质(余)

1．与图中曲线对应的函数是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝sin|x | C ．y ＝－sin|x | D ．y ＝－|sin x | 2．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各 点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( ) A ．y ＝sin(2x －π10) B ．y ＝sin(2x －π5) C ．y ＝sin(12x －π10) D ．y ＝sin(12x －π20) 3．方程sin πx ＝14x 的解的个数是( )A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 4．设ω＞0，函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合， 则ω的最小值是( ) A.23 B.43 C.32 D ．3 5．为了得到函数y ＝sin (2x －π3)的图像，只需把函数y ＝sin (2x ＋π6)的图像( ) A ．向左平移π4个长度单位 B ．向右平移π4个长度单位 C ．向左平移π2个长度单位 D ．向右平移π2个长度单位 6．要得到函数y ＝2cos x 的图象，只需将函数y ＝2sin(2x ＋π4)的图象上所有的 点的( ) A ．横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再向左平行移动π8个单位长度 B ．横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再向右平行移动π4个单位长度 C ．横坐标缩短到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动π4个单位长度 D ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动π8个单位长度 7．将函数y ＝sin(－2x )的图象向右平移π3个单位，所得函数图象的解析式为 ________． 8．已知f (x )＝cos(ωx ＋π3 )的图象与y ＝1的图象的两相邻交点间的距离为π，要得到y ＝f (x )的图象，只需把y ＝sin ωx 的图象向左平移________个单位． 9．已知将函数f (x )＝2sin π3x 的图象向左平移1个单位，然后向上平移2个单位后 得到的图象与函数y ＝g (x )的图象关于直线x ＝1对称，则函数g (x )＝______________. 10．函数y ＝sin2x 的图象向右平移φ(φ>0)个单位，得到的图象恰好关于直线x ＝π6对称，则φ的最小值是________． 11．y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是____．

三角函数图像与性质

三角函数的图像与性质 sin y x = cos y x = tan y x = 图象 定义域 R R ,2x x k k ππ??≠+∈Z ???? 值域 []1,1- []1,1- R 最 值 22 x k π π=+ ()k ∈Z 时， max 1y =；当22 x k ππ=- ()k ∈Z 时，min 1y =-． 当()2x k k π=∈Z 时， max 1y =；当2x k ππ=+ ()k ∈Z 时，min 1y =-． 既无最大值也无最小值 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调 性 在2,22 2k k π πππ?? - + ??? ? ()k ∈Z 上是增函数；在 32,22 2k k ππππ??++??? ? ()k ∈Z 上是减函数． 在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数． 在,2 2k k π πππ? ? - + ?? ? ()k ∈Z 上是增函数． 对称性 对称中心()(),0k k π∈Z 对称 轴()2 x k k π π=+ ∈Z 对称中心(),02k k ππ? ?+∈Z ??? 对称轴()x k k π=∈Z 对称中心 (),02k k π??∈Z ??? 无对称轴 三角函数的伸缩、平移变换 函 数 性 质

1、图象上所有点向左（右）平移?个单位长度，得到函数()sin y x ?=+的图象；再将函数()sin y x ?=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 1 ω 倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ω?=+的图象；再将函数()sin y x ω?=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ω?=A +的图象． 2、sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 1 ω 倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移 ? ω 个单位长度，得到函数()sin y x ω?=+的图象；再将函数()sin y x ω?=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ω?=A +的图象． 3、函数()()sin 0,0y x ω?ω=A +A >>的性质： ①振幅：A ；②周期：2π ω T = ；③频率：12f ω π = = T ；④相位：x ω?+；⑤初相：?． 函数()sin y x ω?=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则 ()max min 12y y A = -，()max min 12y y B =+，()21122 x x x x T =-<． 例题讲解： 1.若函数cos()3 y x π ω=+ (0)ω>的图象相邻两条对称轴间距离为 2 π ，则ω等于 ． A ． 12 B ．12 C ．2 D ．4 2．函数y ＝sin x (x ∈R )图象的一条对称轴是( ) A ．x 轴 B ．y 轴 C ．直线y ＝x D ．直线x ＝π 2 3．函数y ＝x sin x 的部分图象是( ) 4．在[0,2π]上sin x ≥1 2 的x 的取值范围是( )

三角函数的图像和性质知识点与例题讲解

三角函数的图像和性质1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）： 正弦函数y=sinx ，x∈[0 ，2π] 的图象中，五个关键点是：(0,0) ( 2 ,1) ( ,0) ( 3 ,-1) (2 ,0) 2 余弦函数y=cosx x [0,2 ] 的图像中，五个关键点是：(0,1) ( ,0) ( ,-1) ( 2、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： 2 3,0) (2 ,1) 2 性 函 质 数y x y cosx y tan x sin 图象 定 义域R R , x x k k 2 值 域 1,1 1,1 R 最值当 2 x k 时， 2 y 1 x 2k ；当 max 2 当x 2k 时， y max 1； 当 x 2k 时， y min 1． 既无最大值也无最小 值 时，y． min 1 周 期 2 2 性 奇 偶奇函数偶函数奇函数性 在 2 ,2 k k 2 2 在2k ,2k 上是增函 单 调 上是增函数；数；在, k k 2 2 性 在 3 2k ,2k 2 2 在2k ,2k上是减函 数． 上是增函数．

上是减函数． 对称对称中心 k,0 对称中心 ,0 k 2 k 对称中心 ,0 2 对称轴x k 性 对称轴 x k 无对称轴 2 - 1 -

例作下列函数的简 图 (1)y=|sinx| ，x∈[0，2π]，(2)y=-cosx ，x∈[0，2π] 例利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x 的集合： (1) sin x 1 2 (2) cos x 1 2 3、周期函数定义：对于函数y f (x) ，如果存在一个非零常数T，使得当x 取定义域内的每一个值时， 都有： f (x T) f (x) ，那么函数y f (x) 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。 注意：周期T 往往是多值的（如y sin x 2 ,4 , , ,-2 ,-4 , , 都是周期）周期T 中最小的正数叫做y f (x) 的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）y sin x , y cosx的最小正周期为 2 （一般称为周期） 正弦函数、余弦函数： 2 T 。正切函数： 例求下列三角函数的周期： 1 y=sin(x+ ) 2 y=cos2x 3 y=3sin( 3 x 2 + 5 ) 4 y=tan3x 例求下列函数的定义域和值域： （1）y 2 sin x （2）y 3sin x （3）y lg cos x 例5 求函数sin(2 )