2008年全国高中数学联赛试题及答案
2008年全国高中数学联赛
受中国数学会委托，2008年全国高中数学联赛由重庆市数学会承办。中国数学会普及工作委员会和重庆市数学会负责命题工作。
2008年全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。全卷包括6道选择题、6道填空题和3道大题，满分150分。答卷时间为100分钟。
全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些竞赛教学大纲的内容。全卷包括3道大题，其中一道平面几何题，试卷满分150分。答卷时问为120分钟。
一 试
一、选择题（每小题6分，共36分）
1．函数2
54()2x x f x x
-+=-在(,2)-∞上的最小值是 （ ）。
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 2．设[2,4)A =-，2{40}B x x ax =--≤，若B A ?，则实数a 的取值范围为（ ）。 （A ）[1,2)- （B ）[1,2]- （C ）[0,3] （D ）[0,3) 3．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为
2
3
，乙在每局中获胜的概率为1
3
，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E ξ为 （ ）。 （A ）24181 （B ）26681 （C ）274
81
（D ） 670243
4．若三个棱长均为整数（单位：cm ）的正方体的表面积之和为564 cm 2，则这三个正方体的体积之和为 （ ）。
（A ）764 cm 3或586 cm 3 （B ） 764 cm 3 （C ）586 cm 3或564 cm 3 （D ） 586 cm 3
5．方程组0,
0,
0x y z xyz z xy yz xz y ++=??+=??+++=?
的有理数解(,,)x y z 的个数为 （ ）。 （A ） 1 （B ） 2 （C ） 3 （D ） 4 6．设ABC ?的内角A B C 、、所对的边a b c 、、成等比数列，则
sin cot cos sin cot cos A C A
B C B
++的取值范围是（ ）。
（A ）(0,)+∞ （B ）
（C
） （D
）)+∞
二、填空题（每小题9分，共54分）
7．设()f x ax b =+，其中,a b 为实数，1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x +=，1,2,3,
n =，若
7()128381f x x =+，则a b += .
8．设()cos 22(1cos )f x x a x =-+的最小值为1
2
-，则a = .
第15题
9．将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有 种．
10．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：1
(1)
n n n S a n n -+=
+，1,2,
n =，则通项n a = ．
11．设()f x 是定义在R 上的函数，若(0)2008f = ，且对任意x ∈R ，满足 (2)()32x f x f x +-≤?，(6)()632x f x f x +-≥?，则)2008(f = .
12．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为46则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 . 三、解答题（每小题20分，共60分）
13．已知函数|sin |)(x x f =的图像与直线y kx = )0(>k 有且仅有三个交点，交点的横坐标
的最大值为α，求证：
2
cos 1sin sin 34ααααα
+=
+． 14．解不等式
121086422log (3531)1log (1)x x x x x ++++<++．
15．如图，P 是抛物线22y x =上的动点，点B C 、在y 轴上，圆22(1)1x y -+=内切于PBC ?，求PBC ?面积的最小值．
解 答
1. 当2x <时，20x ->，因此21(44)1()(2)22x x f x x x x
+-+==+---1
2(2)2x x ≥?--
2=，当且仅当122x x
=--时取等号．而此方程有解1(,2)x =∈-∞，因此()f x 在(,2)-∞上
的最小值为2．故选C.
2. 因为2
40x ax --=有两个实根 12a x =，22a x =B A ?等价于
12x ≥-且24x <，即22a -且42a ，解之得03a ≤<．故选D 。
3.方法一： 依题意知，ξ的所有可能值为2、4、6. 设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比
赛停止的概率为22215
()()339
+=．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得
一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有5
(2)9
P ξ==
， 4520(4)()()9981P ξ===
，2416(6)()981P ξ===，故52016266
2469818181
E ξ=?+?+?=．故选B 。 方法二： 依题意知，ξ的所有可能值为2、4、6.令k A 表示甲在第k 局比赛中获胜，则k A 表示乙在第k 局比赛中获胜．由独立性与互不相容性得
12125
(2)()()9
P P A A P A A ξ==+=
， 1234123412341234(4)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++
33211220
2[()()()()]333381
=+=，
1234123412341234(6)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++
222116
4()()3381
==，
因此52016266
2469818181
E ξ=?+?+?=．故选B 。
4. 设这三个正方体的棱长分别为a b c 、、，则有()
2226564a b c ++=，即22294a b c ++=。不妨设110a b c ≤≤≤<，从而2
2
2
2
394c a b c ≥++=，2
31c >．故610c ≤<，c 只能取9、8、7、6 ．
若9c =，则22294913a b +=-=，易知2a =，3b =，得一组解(,,)(2,3,9)a b c =． 若8c =， 则22946430a b +=-=，5b ≤．但2
230b ≥，即4b ≥，从而4b =或5．若
5b =，则25a =无解；若4b =，则2
14a =无解．因此c=8时无解．
若7c =，则22944945a b +=-=，有唯一解3a =，6b =．
若6c =，则22943658a b +=-=，此时2
258b ≥，即2
29b ≥。故6b ≥，但6b c ≤=，所以6b =，此时2
583622a =-=无解．
综上，共有两组解(,,)(2,3,9)a b c =或(,,)(3,6,7)a b c =，体积为
3331239764V =++=（cm 3）或3332367586V =++=（cm 3）。故选A 。
5. 若0z =，则00.
x y xy y +=??+=?，解得00x y =??=?，或11.x y =-??=?，
若0z ≠，则由0xyz z +=得1xy =-． ① 由0x y z ++=得z x y =--． ② 将②式代入0xy yz xz y +++=得220x y xy y ++-=． ③ 由①式得1
x y
=-
，代入③式化简得3(1)(1)0y y y ---=.易知310y y --=无有理数根，故1y =，由①式得1x =-，由②式得0z =，与0z ≠矛盾，故该方程组共有两组有理数解
0,0,0x y z =??=??=?或1,1,0.x y z =-??
=??=?
故选B 。 6.设a b c 、、的公比为q ，则2,b aq c aq ==，而
sin cot cos sin cos cos sin sin cot cos sin cos cos sin A C A A C A C
B C B B C B C
++=
++ sin()sin()sin sin()sin()sin A C B B b
q B C A A a
ππ+-=
====+-．
因此，只需求q 的取值范围．因为a b c 、、成等比数列，最大边只能是a 或c ，因此a b c
、、要构成三角形的三边，必须且只需a b c +>且b c a +>．即有不等式组2
2
,
a aq aq aq aq a
?+>??+>??即22
10,10.q q q q ?--??
解得q q q <
从而1122q <<，因此所求的取
值范围是．故选C 。 7. 由题意知1
2
()(1)n
n n n f x a x a
a
a b --=+++
++1
1
n n
a a x
b a -=+?-，由7()128381f x x =+得
7
128a =，71
3811
a b a -?=-，因此2a =，3b =，5a b +=．
8. 2()2cos 122cos f x x a a x =---221
2(cos )2122
a x a a =----，
(1) 2a >时，()f x 当cos 1x =时取最小值14a -； (2) 2a <-时，()f x 当cos 1x =-时取最小值1；
(3) 22a -≤≤时，()f x 当cos 2a x =
时取最小值21
212
a a ---． 又2a >或2a <-时，()f x 的c 不能为1
2
-，
故211
2122
a a ---=-，解得2a =-+2a =-舍去)．
9. 方法一：用4条棍子间的空隙代表3个学校，而用*表示名额．如
||||********
表示第一、二、三个学校分别有4，18，2个名额．若把每个“*”与每个“|”都视为一个位置，由于左右两端必须是“｜”，故不同的分配方法相当于24226+=(个)位置（两端不在内）被2个“｜”占领的一种“占位法”．“每校至少有一个名额的分法”相当于在24个“*”之间的23个空隙中选出2个空隙插入“｜”，故有223C 253=(种)．又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222(种)．
方法二：设分配给3个学校的名额数分别为123x x x 、、，则每校至少有一个名额的分法数为不定方程12324x x x ++=的正整数解的个数，即方程12321x x x ++=的非负整数解的个
数，它等于3个不同元素中取21个元素的可重组合：21212
32323H C C 253
===．又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222（种）． 10. 1111
(1)(2)(1)
n n n n n n n a S S a a n n n n +++-=-=
--++++，
即 2n n a n n n n n n a ++++-++-+=+)1(1
11)2)(1(221
=
)
1(1
)2)(1(2++
+++-n n a n n n ， 由此得 2)
1(1
))2)(1(1(1++
=++++n n a n n a n n ． 令1
(1)
n n b a n n =+
+，111122b a =+= (10a =)，有112n n b b +=，故12n n b =，所以
)1(1
2
1+-=
n n a n
n ． 11. 方法一：由题设条件知
(2)()((4)(2))((6)(4))((6)())f x f x f x f x f x f x f x f x +-=-+-+-+-+++-
24323263232x x x x ++≥-?-?+?=?， 因此有(2)()32x f x f x +-=?，故
（第12题图1）
第12题图2） (2008)(2008)(2006)(2006)(2004)(2)(0)(0)f f f f f f f f =-+-+
+-+
2006200423(2221)(0)f =?++
+++
1003141
3(0)41
f +-=?+-
200822007=+． 方法二： 令()()2x g x f x =-，则
2(2)()(2)()2232320x x x x g x g x f x f x ++-=+--+≤?-?=，
6(6)()(6)()226326320x x x x g x g x f x f x ++-=+--+≥?-?=，
即(2)(),(6)()g x g x g x g x +≤+≥，故()(6)(4)(2)()g x g x g x g x g x ≤+≤+≤+≤，得()g x 是周期为2的周期函数，所以200820082008(2008)(2008)2(0)222007f g g =+=+=+． 12. 如图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为r ，作平面111A B C //平面ABC ，与小球相切于点D ，则小球球心O 为正四面体111P A B C -的中心，111PO A B C ⊥面，垂足D 为
111A B C 的中心．因1111111
3
P A B C A B C V S PD -?=?1114O A B C V -=?111143A B C S OD ?=???，
故44PD OD r ==，从而43PO PD OD r r r =-=-=． 记此时小球与面PAB 的切点为1P ，连接1OP ，则
2222
11(3)22PP PO OP r r r
=--=．
考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为PAB )相切时的情况，易知小球在面PAB 上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为1P EF ，如图2．记正四面体的棱长为a ，过1P 作1PM PA ⊥于
M ．因
16
MPP π
∠=
，有
113
cos 226PM PP MPP r r =?==，故小三角形的边长1
226PE PA PM a r =-=-．小球与面PAB 不能接触到的部分的面积为（如图2中阴影部分）
1PAB P EF
S S ??-22
3(26))a a r =--23263ar r =-．
（第13题）
又1r =，46a =124363183PAB PEF S S ??-==4个
面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为723
13. ()f x 的图象与直线y kx = )0(>k 的三个交点如答13图所示，且在3(,)2
ππ内相切，其切点为(,sin )A αα-，3(,
)2
παπ∈． 由于()cos f x x '=-，3
(,)2
x ππ∈，所
以sin cos ααα
-=-，即
tan αα=．因此
cos cos sin sin 32sin 2cos αααααα=+1
4sin cos αα
=
22cos sin 4sin cos αααα+= 21tan 4tan αα+=214αα+=． 14. 方法一：由44221log (1)log (22)x x ++=+，且2log y 在(0,)+∞上为增函数，故原不等式等价于
1210864353122x x x x x ++++<+．
即 1210864353210x x x x x +++--<． 分组分解 12108x x x +- 1086222x x x ++- 864444x x x ++- 642x x x ++- 4210x x ++-<，
864242(241)(1)0x x x x x x +++++-<，
所以4210x x +->，2
21515
(0x x ---+-
<。所以215x -+<，即1515
22
x -+-+-
<<
51
51
(,)2
2
---． 方法二： 由44221log (1)log (22)x x ++=+，且2log y 在(0,)+∞上为增函数，故原不等式等价于
1210864353122x x x x x ++++<+．
即
64222322621
33122(1)2(1)x x x x x x x x
+>+++++=+++， 32322211
(
)2()(1)2(1)x x x x
+>+++，
令3()2g t t t =+，则不等式为221()(1)g g x x
>+， 显然3
()2g t t t =+在R 上为增函数，由此上面不等式等价于
2
2
11x x
>+，即222()10x x +-<
，解得2x <
，故原不等式解集为(． 15. 设00(,),(0,),(0,)P x y B b C c ，不妨设b c >．直线PB 的方程:00
y b
y b x x --=
，化简得 000()0y b x x y x b --+=．又圆心(1,0)到PB 的距离为1
，
1= ，故
22222
000000()()2()y b x y b x b y b x b
-+=-+-+，易知
02
x >，上式化简得
2000(2)20x b y b x -+-=，
同理有2000(2)20x c y c x -+-=． 所以0
022
y b c x -+=-，002x bc x -=-，
则222
00020448()(2)x y x b c x +--=-．因00(,)P x y 是抛物线上的点，有2002y x =，则2
202
04()(2)
x b c x -=-，
0022x b c x -=
-． 所以00000014()(2)4222
PBC x S b c x x x x x ?=-?=?=-++-
-48≥=．当20(2)4x -=
时，上式取等号，此时004,x y ==±
因此PBC S ?的最小值为8．
加 试
一、（本题满分50分）
如图，给定凸四边形ABCD ，180B D ∠+∠<，P 是平面上的动点，令()f P PA BC PD CA PC AB =?+?+?．
（1）求证：当()f P 达到最小值时，P A B C 、、、四点共圆； （2）设E 是ABC ?外接圆O 的AB 上一点，满足：
3
AE AB =
，31BC EC =-，1
2
ECB ECA ∠=∠，又,DA DC 是O 的切线，2AC =，求()f P 的最小值．
二、（本题满分50分）
设()f x 是周期函数，T 和1是()f x 的周期且01T <<．证明： （1）若T 为有理数，则存在素数p ，使
1
p
是()f x 的周期； （2）若T 为无理数，则存在各项均为无理数的数列{}n a 满足110n n a a +>>>
(1,2,)n =???，且每个(1,2,)n
a n =???都是()f x 的周期．
三、（本题满分50分）
设0k a >，1,2,
,2008k =．证明：当且仅当2008
1
1k k a =>∑时，存在数列{}n x 满足以下条件：
（1）010n n x x x +=<<，1,2,3,n =；
（2）lim n n x →∞
存在；
（3）20082007
111
n n k n k k n k k k x x a x a x -+++==-=-∑∑，1,2,3,
n =．
解 答
一、方法一：（1）如答一图1，由托勒密不等式，对平面上的任意点P ，有 PA BC PC AB PB AC ?+?≥?．因此
()f P PA BC PC AB PD CA =?+?+?PB CA PD CA ≥?+?()PB PD CA =+?．
因为上面不等式当且仅当P A B C 、、、顺次共圆时取等号，因此当且仅当P 在ABC ?的外接圆且在AC 上时，
答一图1
第1题图
()()f P PB PD CA =+?． 又因PB PD BD +≥，此不等式当且仅当,,B P D 共线且P 在BD
上时取等号．因此当且仅当P 为ABC ?的外接圆与BD 的交点时，()f P 取最小值
min ()f P AC BD =?．故当()f P 达最小值时，P A B C 、、、四点共圆．
（2）记ECB α∠=，则2ECA α∠=，由正弦定理有
sin 23
sin 3AE AB αα==
，从而3sin 32sin 2αα=，即33(3sin 4sin )4sin cos αααα-=，所以
23343(1cos )4cos 0αα---=，整理得243cos 4cos 30αα--=， 解得3cos α=
或cos 23
α=-（舍去），故30α=，60ACE ∠=． 由已知31
BC
EC
=-=(
)
sin 30sin EAC EAC ∠-∠,有sin(30)(31)sin EAC EAC ∠-=-∠，即31sin cos (31)sin 2EAC EAC EAC ∠-∠=-∠，整理得231sin cos 2
EAC EAC -∠=∠，故tan 2323
EAC ∠==+-，可得75EAC ∠=，从而45E ∠=，
45DAC DCA E ∠=∠=∠=，?为等腰直角三角形．因2AC =，则1CD =．又ABC 也是等腰直角三角形，故2BC =，212212cos1355BD =+-??=，5BD =．故min ()5210f P BD AC =?=?=．
方法二：（1）如图2，连接BD 交ABC ?的外接圆O 于0P 点（因为D 在O 外，故0P 在BD 上）． 过,,A C D 分别作000,,P A P C P D 的垂线，两两相交得111A B C ?，易知0P 在ACD ?内，从而在111A B C ?内，记
ABC ?之三内角分别为x y z ，，，则
0180AP C y z x ∠=?-=+，又因110B C P A ⊥，110B A P C ⊥，得1B y ∠=，同理有1A x ∠=，1C z ∠=，
所以111A B C ?∽ABC ?．设11B C BC λ=，11C A CA λ=，11A B AB λ=，则对平面上任意点M ，有
0000()()f P P A BC P D CA P C AB λλ=?+?+? 011011011P A B C P D C A P C A B =?+?+? 1112A B C S ?=
111111MA B C MD C A MC A B ≤?+?+? ()MA BC MD CA MC AB λ=?+?+? ()f M λ=，
从而 0()()f P f M ≤．由M 点的任意性，知0P 点是使()f P 达最小值的点．由点0P 在O 上，
（第1题图2）
故0P A B C 、、、四点共圆．
（2）由（1），()f P 的最小值 11102
()A B C f P S λ
?=2ABC S λ?=，记ECB α∠=，则2ECA α∠=，
由正弦定理有
sin 2sin 3AE AB αα==，
从而
32sin 2αα
=，即
34sin )4sin cos αααα-=，所以2cos )4cos 0αα--=，整理得
24cos 0αα-=， 解得cos
α=
或cos α=（舍去），故30α=，
60ACE ∠=．由已知
1BC
EC
==
()0sin 30sin EAC EAC
∠-∠,有
sin(30)(1)sin EAC EAC ∠-=∠1
cos 1)sin 2
EAC EAC EAC ∠-∠=∠，
1cos
2EAC EAC ∠=∠，故tan 2EAC ∠==，可得75EAC ∠=，
所以45E ∠=?，ABC ?为等腰直角三角形，AC =1ABC S ?=，因为145AB C ∠=?，1B 点
在O 上，190AB B ∠=?，所以11B BDC 为矩形，11B C BD ==
故λ=min ()21f P ==
方法三：（1）引进复平面，仍用,,A B C 等代表,,A B C 所对应的复数．由三角形不等式，对于复数12,z z ，有 1212z z z z +≥+，当且仅当1z 与2z （复向量）同向时取等号．
有 PA BC PC AB PA BC PC AB ?+?≥?+?， 所以 ()()()()A P C B C P B A --+--
()()()()A P C B C P B A ≥--+-- ① P C A B C B P A =-?-?+?+? ()()B P C A PB AC =--=?，
从而 PA BC PC AB PD CA ?+?+?PB AC PD AC ≥?+?
()PB PD AC =+?
BD AC ≥?． ②
①式取等号的条件是复数 ()()A P C B --与()()C P B A --同向，故存在实数0λ>，使得
()()()()A P C B C P B A λ--=--，
A P
B A
C P C B λ--=--，所以 arg()arg()A P B A
C P C B
--=--，
向量PC 旋转到PA 所成的角等于BC 旋转到AB 所成的角，从而P A B C 、、、四点共圆． ②式取等号的条件显然为,,B P D 共线且P 在BD 上．故当()f P 达最小值时P 点在ABC ?之外接圆上，P A B C 、、、四点共圆．
（2）由（1）知min ()f P BD AC =?．以下同方法一． 二、（1）若T 是有理数，则存在正整数,m n 使得n
T m
=且(,)1m n =，从而存在整数,a b ，使得 1ma nb +=．于是
11ma nb a bT a b T m m
+==+=?+?是()f x 的周期．又因01T <<，从而2m ≥．设p 是m 的素因子，则m pm '=，m *'∈N ，从而
11
m p m
'=?是()f x 的周期． （2）若T 是无理数，令 11
1a T T ??=-????
，则101a <<，且1a 是无理数，令
21111a a a ??
=-????， 111n n n a a a +??=-????
， 由数学归纳法易知n a 均为无理数且01n a <<．又
111n n a a ??
-
．因此{}n a 是递减数列． 最后证：每个n a 是()f x 的周期．事实上，因1和T 是()f x 的周期，故11
1a T T ??=-????
亦是
()f x 的周期．假设k a 是()f x 的周期，则111k k
k a a a +??=-????
也是()f x 的周期．由数学归纳法，已证得n a 均是()f x 的周期．
三、必要性：假设存在{}n x 满足（1），（2），（3）．注意到（3）中式子可化为
2008
111()n n k n k n k k x x a x x -++-=-=-∑，n ∈*N ，
其中00x =．将上式从第
1
项加到第n 项，并注意到00x =得
111222200820082008()()()n n n n x a x x a x x a x x +++=-+-++-． 由（ⅱ）可设lim n n b x →∞
=，将上式
取极限得
112220082008()()()b a b x a b x a b x =-+-++-
2008
1122200820081()k k b a a x a x a x ==?-++
+∑
2008
1
k k b a =
因此20081
1k k a =>∑．
充分性：假设2008
11k k a =>∑．定义多项式函数如下：20081
()1k k k f s a s ==-+∑，[0,1]s ∈，则()
f s 在[0,1]上是递增函数，且(0)10f =-<，2008
1
(1)10k k f a ==-+>∑．因此方程()0f s =在[0,1]内
有唯一的根0s s =，且001s <<，即0()0f s =．
下取数列{}n x 为01n
k
n k x s ==∑，1,2,
n =，则明显地{}n x 满足题设条件（ⅰ），且
1000
101n n
k
n k s s x s s +=-==-∑．因001s <<，故10lim 0n n s +→∞=，因此1
0000
0lim lim 11n n n n s s s x s s +→∞→∞-==--，即{}
n x 的极限存在，满足（2）． 最后验证{}n x 满足（3），因0()0f s =，即2008
01
1k
k k a s ==∑，从而
2008200820081000011
1
1
()()n k n n k n n k k k n k n k k k k x x s a s s a s a x x +-++-===-====-∑∑∑．
综上，存在数列{}n x 满足（1）.