搜档网
当前位置:搜档网 › 北师大版-----三角形

北师大版-----三角形

北师大版-----三角形
北师大版-----三角形

B

三角形

一、基础 (一)、认识三角形

1、按角分类:① ,② ,③ 。

2、对于直角三角形几点说明:如图, ①可表示:

②把AC 、BC 称为 ,AB 称为 ③A ∠与B ∠ ,既

3、在下列图形中,按要求作图,并填空 ①作出AB 边上的中线CD ,则 = =

1

2 ;三条中线会交于一点,称为 心。 ②作出ABC ?的角平分线CE ,则 = =1

2

;三条角平分线线会交于一点,称为 心。

③作出AB 边上的高CF ,则 = =0

90;三条高会交于一点,称为 心。 ④这三种线都是

(3)

(2)

(1)

A

B

A

B

B

(二)全等图形

1、 ,称为全等图形;全等图形的 相同, 相等。 为对应顶点,

为对应角,对应角会 , 为对应边,对应边会 。

2、 ,称为全等三角形;全等三角形的 相等, 相等。 (三)证明几个三角形全等的方法

1、 ,简写成 ;

2、 ,简写成 ;

3、 ,简写成 ;

4、 ,简写成 ; 说明:书写格式:①证足条件

②在?---与?---中

-----??

-----??-----?

∴?---≌?---(注意对应顶点要写在对应位置)

③?线段相等 或?线段角相等?角平分线或高等等

(四)尺规作图作三角形:①先在草稿上画一个三角形,标上字母,标上需满足的条件

②按草稿依次尺规作图,作出三个顶点, ③∴?---就是所求作的三角形

E C B

(五)证明几个直角三角形全等的方法

123451 2345678A.9E

10、已知:如图:AB=CD , BE=CF , AF=DE .求证:BE ∥CF

11、已知:如图,∠1=∠2,BD=CD,求证:①AE 是ABC ?的角平分线;②AE 是ABC ?的高。

12、已知:如图:AB∥CD , BE∥CF , AF=DE.求证:AB=CD

13、已知:如图,AD是ABC

?的中线,且DF=DE.求证:BE∥CF.

14、如图点A、B、C、D在同一直线上,AD

AE⊥,AD

FD⊥,垂足分别为A、D,BE=CF,AC=BD,求证:BE∥CF。

于D,DE⊥AB于E,求∠A DE

,连结DE,已知DE=2cm,BD=3cm,求线段BC

a

c

β

α

18、已知:如图 , AB=DC ,AD=BC , O 是BD 中点 ,过O 的直线分别与DA

、BC 的延长线交于E 、F .求证:OE=OF

19、如图,ΔABC 的两条高AD 、BE 相交于H ,且AD=BD ,试说明下列结论成立的理由。 (1)∠DBH=∠DAC ; (2)ΔBDH ≌ΔADC 。

D C

20、尺规作图,请作出满足下列条件的ABC ? 已知:线段a 、b 、c ,α∠,β∠,

①AB a =,BC b =,AC c = ②AB a =,BC b =,B β∠=∠

③,A α∠=∠,AB a =,B β∠=∠ ④0

90A ∠=,AB a =,BC c =(在下图中作)

(新整理)最新北师大版九年级上相似三角形讲解学习

(新整理)最新北师大版九年级上相似三角 形

①、反身性:对于任一ABC ?有ABC ?∽ABC ?. ②、对称性:若ABC ?∽'''C B A ?,则'''C B A ?∽ABC ?. ③、传递性:若ABC ?∽C B A '?'',且C B A '?''∽C B A ''''''?,则ABC ?∽C B A ''''''? (2) 、三角形相似的判定定理的预备定理:平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似. 定理的基本图形: 用数学语言表述是:BC DE //Θ, ∴ ADE ?∽ABC ?. 知识点7 、三角形相似的判定方法 1、定义法:三个对应角相等,三条对应边成比例的两个三角形相似. 2、平行法:平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角 形与原三角形相似. 3、判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两 个三角形相似.简述为:两角对应相等,两三角形相似. 4、判定定理2:如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹 角相等,那么这两个三角形相似.简述为:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似. 5、判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这 两个三角形相似.简述为:三边对应成比例,两三角形相似. 6、判定直角三角形相似的方法: (1)、以上各种判定均适用. (2)、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边 对应成比例,那么这两个直角三角形相似. (3)、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似. 知识点8 、相似三角形常见的图形 (1) E A B C D (3) D B C A E (2) C D E A B

北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明及详细答案

北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明一.选择题(共12小题) 1.(2014遂宁)如图,AD是△ABC中∠BAC的角平分线,DE⊥AB于点E,S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC长是() A.3B.4C.6D.5 2.(2014台湾)如图,锐角三角形ABC中,直线L为BC的中垂线,直线M为∠ABC的角平分线,L与M相交于P 点.若∠A=60°,∠ACP=24°,则∠ABP的度数为何() A.24B.30C.32D.36 3.(2014安顺)已知等腰三角形的两边长分别为a、b,且a、b满足+(2a+3b﹣13)2=0,则此等腰三 角形的周长为() A.7或8B.6或1O C.6或7D.7或10 4.(2014宁波)如图,正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=1,CE=3,H是AF的中点,那么CH的长是() A.B.C.D.2 5.(2014甘井子区一模)如图,△ABC中,DE是AC的垂直平分线,AE=4cm,△ABD的周长为14cm,则△ABC的周长为()

6.(2014本溪一模)如图,在△ABC,∠C=90°,∠B=15°,AB的中垂线DE交BC于D,E为垂足,若BD=10cm,则AC等于() A.10cm B.8cm C.5cm D. 7.(2013西宁)如图,已知OP平分∠AOB,∠AOB=60°,CP=2,CP∥OA,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E.如果点M是OP的中点,则DM的长是() A.2B.C.D. 8.(2013滨城区二模)如图,△ABC中,∠B=40°,AC的垂直平分线交AC于D,交BC于E,且∠EAB:∠CAE=3:1,则∠C等于() A.28°B.25°C.°D.20° 9.(2013澄江县一模)若一个等腰三角形至少有一个内角是88°,则它的顶角是() A.88°或2°B.4°或86°C.88°或4°D.4°或46° 10.(2012泰安)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O,连接CE,则CE的长为() A.3B.C.D. 11.(2011成华区二模)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=30°,CD=4,BD平分∠ABC,交AC于点D,则点D到BC的距离是()

三角形的证明测试题(新北师大版)

第一章 三角形的证明 检测题A 数学八年级下册(北师大最新版本) 第Ⅰ卷(选择题,共36分) 一、选择题(每小题4分,共36分) 1、等腰三角形的两边长分别为4厘米和9厘米,则这个三角形的周长为( ) A 、22厘米 B 、17厘米 C 、13厘米 D 、17厘米或22厘米 2、下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是( ) A 、等腰三角形的两底角相等 B 、等腰三角形是轴对称图形 C 、 等腰三角形是轴对称图形 D 、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合 3、如图1-Z-1所示,在△ABC 中,AC=DC=DB ,∠ACD=100°则∠B 等于( ) A 、50° B 、40° C 、 25° D 、 20 ° 4、如图1-Z-2所示,在△ABC 与△DEF 中,已有条件AB=DE ,还需要添加两个条件才能使△ABC ≌△DEF , 不能添加的条件是( ) A 、∠B=∠E ,BC=EF B 、BC=EF ,AC=DF C 、∠A=∠ D ,∠B= ∠E , D 、 ∠A=∠D ,BC=EF 5、已知:如图1-Z-3所示,m ∥n ,等边三角形ABC 的顶点B 在直线m 上,边BC 与直线m 所夹的锐角为 20°则∠a 的度数是( ) A 、60° B 、30° C 、40 ° D 、45° 6、如图1-Z-4所示,在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E ,过点E 作MN ∥BC 交AB 于M ,交AC 于N ,若BM+CN=9,则线段MN 的长为( ) A 、6 B 、7 C 、8 D 、9 7、如图1-Z-5所示,在△ABC 中,CD 平分∠ABC ,∠A=80°,∠ACB=60°,那么∠BDC =( ) A 、80° B 、90° C 、100° D 、110° 8、如图1-Z-6所示,在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠CAB=60°,AD 平分∠CAB ,点D 到AB 的距离 DE=3.8cm ,则线段BC 的长为( ) A 、3.8cm B 、7.6cm C 、11.4cm D 、11.2cm 9、如图1-Z-7所示,在平面直角坐标系中,点A 在第一象限,点P 在x 轴上,若以P 、O 、A 为顶点的三角形是等腰三角形,则满足条件的点P 共有( ) A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 二、填空题(每小题4分,共20分) 10、 如图1-Z-8所示,已知△ABC 是等边三角形, AD ∥BC ,CD ⊥AD ,垂足为D ,E 为AC 的中点,则∠ACD= °, AC= cm , ∠DAC= °,△ADE 是 三角形 D E B A 图1-Z-2 C C B A 图1-Z-4 B 图1-Z-5 A 图1-Z-6 x 图1-Z-8

北师大版四年级下册数学认识三角形重点题型练习

认识三角形专项复习 一、图形的分类 1、平面图形:() 立体图形:() 线段围成的平面图形:() 曲线围成的平面图形:() 2、三角形具有()性,四边形具有()性。 3、我们学过的图形可以分为()图形和()图形。 4、三条线段首尾相接围成的图形叫();四条线段首尾相接围成的图形叫()。 二、三角形的分类 1、三角形按边分可以分为()三角形、()三角形。 2、三角形按角分可以分为()三角形、()三角形、()三角形。 3、()三角形是特殊的等腰三角形 4、如果一个三角形的最大的角是80°,那么这个三角形可能是()。 A. 直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.无法确定 5、一个三角形中有一个角是45°,另一个角是它的2倍,第三个角是(),这是一个()三角形。 6、所有的等边三角形都是()三角形。 A、钝角 B、锐角 C、直角 7、一个三角形有一个角是78°,这个三角形可能是()三角形。

∠1= ∠1= 8、一个三角形中最大的角是78°,这个三角形是()三角形。 三、三角形内角和 1、把两个一样大的小三角形拼成一个大三角形,拼成的大三角形的内角和是()。 2、用两个一样大的小三角形拼成一个四边形,拼成的四边形的内角和是()。 3、五边形可以分成()个三角形,所以内角和是();八边形的内角和是()。 4、如果一个三角形的两个内角和等于第三个内角,那么这个三角形一定是()三角形。 5、列式计算。 6、一个等腰三角形,如果一个底角是36°,它的顶角是();如果一个顶角是36°,它的底角是()。 7、三角形的两个内角之和是88°,这个三角形是()三角形,另一个角是()度。 8、一个三角形其中两个锐角之和是70度,这个三角形一定是()三角形 9、如果其中两个锐角之和大于90°,那么这个三角形一定是()三角形。 10、这是三块被打碎的玻璃,你知道它们原来是什么三角形么? ()三角形()三角形()三角形

北师大版八年级下册《三角形的证明》培优提高

三角形的证明单元检测卷 1.(4分)(2013?钦州)等腰三角形的一个角是80°,则它顶角的度数是 () A.80°B.80°或20°C.80°或50°D.20° 2.(4分)下列命题的逆命题是真命题的是() A.如果a>0,b>0,则a+b>0 B.直角都相等C.两直线平行,同位角相等D.若a=6,则|a|=|b| 3.△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,最小边BC=4 cm,最长边AB的长是 A.5cm B.6cm C.7cm D.8cm 4.(4分)如图,已知AE=CF,∠AFD=∠CEB,那么添加 下列一个条件后,仍无法判定△ADF≌△CBE的是() A.∠A=∠C B.AD=CB C.B E=DF D.A D∥BC 5.(4分)如图,在△ABC中,∠B=30°,BC的垂直平 分线交AB于E,垂足为D.若ED=5,则CE的长为 () A.10 B . 8 C.5D.2.5 6.如图,D为△ABC内一点,CD平分∠ACB, BE⊥CD,垂足为D,交AC于点E, ∠A=∠ABE.若AC=5,BC=3,则BD的长为 () A.2.5 B.1.5 C.2D.1 7.(4分)如图,AB=AC,BE⊥AC于点E,CF⊥AB 于点F,BE、CF相交于点D,则①△ABE≌△ACF; ②△BDF≌△CDE;③点D在∠BAC的平分线上.以 上结论正确的是()A.①B.②C.①②D.①②③8.(4分)如图所示,AB⊥BC,DC⊥BC,E是BC上一点, ∠BAE=∠DEC=60°,AB=3,CE=4,则AD等于() A.10 B.12 C.24 D.48 9.如图所示,在△ABC中,AB=AC,D、E是△ABC内两点,AD平分 ∠BAC.∠EBC=∠E=60°,若BE=6,DE=2,则BC的长度是()A. 6 B.8 C.9 D.10 10.(4分)(2013?遂宁)如图,在△ABC中,∠C=90°, ∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB、AC于 点M和N,再分别以M、N 为圆心,大于MN的长为半径画 弧,两弧交于点P,连结AP并延长交BC于点D,则下列说 法中正确的个数是() ①AD是∠BAC的平分线;②∠ADC=60°;③点D在AB的 中垂线上;④S△DAC:S△ABC=1:3. A.1B.2C.3D.4 12.(4分)如图,在平面直角坐标系xOy中,A(0, 2),B(0,6),动点C在直线y=x上.若以A、B、C三 点为顶点的三角形是等腰三角形,则点C的个数是 () A.2B.3C.4D.5 13.(4分)如图,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,F是AB边上的中点,点D,E分别在AC,BC边上运动,且保持AD=CE.连接DE,DF,EF.在此运动变化的过程中,下列结论: ①△DFE是等腰直角三角形; ②四边形CDFE不可能为正方形, ③DE长度的最小值为4;

北师大版九年级数学上 相似三角形

一对一教案 学生 学 校 年 级 九年级 教师 授课日期 授课时段 课题 相似三角形 重点 难点 重点:掌握相似多边形和相似三角形的性质,运用相似三角形的判定解决问题。 难点:运用相似三角形的判定解决问题。 教学步骤及教学内容 一、课前检测: 1.已知:如图,在梯形ABCD 中,AD//BC ,E 是CD 的中点, EF//BC 交AB 于F ,FG// BD 交AD 于G 。 求证:AG = DG 。 2.如图,在△ABC 中,D 是AB 的中点,DE//BC 交AC 于E ,EF//AB 交BC 于F 。 (1)求证:BF=CF ; (2)图中与DE 相等的线段有 ; (3)图中与EF 相等的线段有 ; (4)连结DF ,则DF 与AC 的位置关系是 ,数量关系是 。 3.如图,在梯形ABCD 中,AB CD ∥, 129AB CD ==,,过对角线交点O 作 EF CD ∥交AD BC ,于E F ,,求EF 的长。 O F E D C B A A B C D F E A B C D G F E

三、主要练习: 【知识点】: 相似多边形定义:各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。 相似多边形可以用符号“∽”表示,读作“相似于”。在记两个多边形相似时,要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 相似多边形对应边的比叫做相似比。 【例题】: 1.以下五个命题:①所有的正方形都相似;②所有的矩形都相似;③所有的三角形都相似;④所有的等腰直角三角形都相似;⑤所有的正五边形都相似.其中正确的命题有_______. 2、若五边形ABCDE∽五边形MNOPQ ,且AB=12,MN=6,AE=7,则MQ= . 3、矩形ABCD 与矩形EFGH 中,AB=4,BC=2,EF=2,FG=1,则矩形ABCD 与矩形EFGH 相似(填“一定”或“不一定”) 4、如图,在□ABCD 中,AB//EF ,若AB = 1,AD = 2,AE= 2 1 AB ,则□ABFE 与□BCDA 相似吗?说明理由. 【课堂练习】: 1.下面图形是相似形的为 ( ) A .所有矩形 B .所有正方形 C .所有菱形 D .所有平行四边形 2.下列说法正确的是 ( ) A . 对应边成比例的多边形都相似 B . 四个角对应相等的梯形都相似 C . 有一个角相等的两个菱形相似 D . 有一个锐角相等的两个等腰三角形相似 3.□ABCD 与□ EFGH 中,AB = 4,BC = 2,EF = 2,FG=1,则□ABCD 与□ EFGH 相似(填“一定”或“不一定”) 4.如图,等腰梯形ABCD 与等腰梯形A′B′C′D′相似,∠A′=65°,A′B′=6 cm, AB=8 cm , AD=5 cm ,试求梯形ABCD 的各角的度数与A′D′, B′C′的长. F E D C B A

(完整word)新北师大版八年级下册《三角形的证明》

三角形的证明 【知识点一:全等三角形的判定与性质】 1.判定和性质 一般三角形 直角三角形 判定 边角边(SAS )、角边角(ASA ) 角角边(AAS )、边边边(SSS ) 具备一般三角形的判定方法 斜边和一条直角边对应相等(HL ) 性质 对应边相等,对应角相等 对应中线相等,对应高相等,对应角平分线相等 2.证题的思路: ? ? ? ?? ??? ???? ? ???????? ?????????????? ??)找任意一边()找两角的夹边(已知两角)找夹已知边的另一角() 找已知边的对角()找已知角的另一边(边为角的邻边)任意角(若边为角的对边,则找已知一边一角)找第三边() 找直角()找夹角(已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 【典型例题】 1.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示,则能说明∠AOC =∠BOC 的依据是( ) A .SSS B .ASA C .AAS D .角平分线上的点到角两边距离相等 2.下列说法中,正确的是( ) A .两腰对应相等的两个等腰三角形全等 B .两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 C .两锐角对应相等的两个直角三角形全等 D .面积相等的两个三角形全等 3.如图,△ABC ≌ΔAD E ,若∠B =80°,∠C =30°,∠DAC =35°, 则∠EAC 的度数为( ) A .40° B .35° C .30° D .25° 4.已知:如图,在△MPN 中,H 是高MQ 和NR 的交点,且MQ =NQ .求证:HN =PM .

5.用三角板可按下面方法画角平分线:在已知∠AOB的两边上,分别取OM=ON(如图5-7),再分别过点M、N 作OA、OB的垂线,交点为P,画射线OP,则OP平分∠AOB,请你说出其中的道理. 图5-7 【巩固练习】 1.下列说法正确的是() A.一直角边对应相等的两个直角三角形全等B.斜边相等的两个直角三角形全等 C.斜边相等的两个等腰直角三角形全等D.一边长相等的两等腰直角三角形全等 2.如图,在△ABC中,D、E分别是边AC、BC上的点,若△ADB≌ △EDB≌△EDC,则∠C的度数为() A.15°B.20°C.25°D.30° 3.如图,已知△ABC的六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中,和△ABC全等的图形是() A.甲和乙B.乙和丙C.只有乙D.只有丙 4.如图4-9,已知ΔABC≌ΔA'B'C',AD、A'D'分别是ΔABC和ΔA'B'C'的角平分线. (1)请证明AD=A'D'; (2)把上述结论用文字叙述出来; (3)你还能得出其他类似的结论吗? 图4-9

北师大版《认识三角形》优质教案

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 北师大版《认识三角形》优质教案《认识三角形》教学内容: (西南师大版)四年级(下)认识三角形教学目标: 1 通过观察、折、画等操作活动,认识三角形的特征和特性。 能指出三角形的边、角、顶点, 3 会辨认出三角形的底与高。 理解三角形的特性,把生活经验数学化。 教学重点: 认识三角形的特征和特性指出三角形的底和高。 教学难点: 认识三角形的特征和特性教具准备: 学生准备: 三角板,直尺一张白纸教师准备: 课件三角板大三角形和平行四边形教学过程: (见下页)教学过程: 教学步骤与时量(一)导入,初步回忆三角形( 3分钟)程序与内容教师行为学生行为预设设计意图教学方法教具媒体与板书图片导入,在书本图片中找出三角形。 同学们,你们认识三角形吗?那么请从这幅图片中找找三角形找出图片中的三角形让学生脑海中重现三角形的形象多媒体演示法课件展示: 图片同学们,你们知道我们身边还有哪些三角形吗?红领巾、三角板联系学生生活,激发学生兴趣,引出 1 / 4

课题谈话法板书: 认识三角形二、探究三角形特征(10分钟)描绘三角形自画三角形 1 翻到数学书第 52 页,观察最上面的四幅图。 请同学们用一支铅笔沿着你看到的三角形的边缘勾画出来吧。 2 比着图大家会画三角形了,如果给你们一张白纸,你能在上面画一个你心目中的三角形吗? 1 找出三角形,并描绘出来 2. 画出形状各异的三角形让学生感受三角形的画法,找出形状各异的三角形,稍后加以对比自主操作法学习法板书: (三角形) 1 在展示台上展示不同的三角形,和自己画的比较 2 知道他们都有角、顶点和边。 三角形有几条边?几个顶点?几个呢? 3 小结什么样的图形叫三角形呢?角1、虽然他们的大小、形状不完全相同,但是他们有什么共同的特征吗? 2、请同学们再观察一下,三角形有几条边?几个顶点?几个角呢? 3 经过观察你们能用自己的话说说怎样的图形叫做三角形吗?学生回答: 1、有角、顶点边。 2、抽学生到黑板上标出边 ----顶点----角,三角形有 3 条边,3 个顶点,3个呢,。

北师大版初三上数学相似三角形(一)

相似三角形 【知识要点】 1 .对应角相等,对应边成比例的三角形叫做相似三角形。 2.相似三角形的判定:①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。 ②如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似。 ③如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似。 3.相似三角形具有下述性质: ①相似三角形对应角相等、对应边成比例; ②相似三角形对应高、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比; ③相似三角形周长的比等于相似比; ④相似三角形面积的比等于相似比的平方。 4.熟悉如图中形如“A”型,“X”型,“子母型”等相似三角形。 【典型例题】 例1.在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC,BD相交于O,BM∥CD交CA的延长线于M,求证:OC2 =OA·OM

B G D 例2 . 如图,三个正方形组成一个矩形,AB=AG=GH=HD=a ,求证:∠AFB+∠ACB=45°。 例3 . 已知CD 是直角三角形ABC 斜边AB 上的高,E 是CD 的中点,AE 的延长线交BC 于F , AB FG ⊥,垂足是G ,求证:FB FC FG ?=2 A B C D E G H

例4.如图,已知△ABC 中,点D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 上的点,DE ∥BC ,EF ∥AB 。 (1)求证:△ADE ∽△EFC 。 (2)如果△ADE 和△EFC 的面积分别是20和45,求四边形BFED 的面积。 例5. 如图所示,△ABC 中AB=AC ,D 为CB 的延长线上一点,E 为BC 延长线上一点,满足AB 2=DB ·CE 。 (1)求证:△ADB ∽△EAC ; (2)若∠BAC=40°,求∠EAD 的大小 例6.已知:如图,在△ABC 中,AD ⊥BC 于D ,DE ⊥AB 于E ,DF ⊥AC 于F 求证:△AEF ∽△ACB A D B C E

北师大版三角形的证明(全章节复习题)

等腰三角形(基础)知识讲解 【学习目标】 1. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性; 2. 掌握等腰三角形、等边三角形的性质,会利用这些性质进行简单的推理、证明、计算和作图. 3. 理解并掌握等腰三角形、等边三角形的判定方法及其证明过程. 通过定理的证明和应用,初步了解转化思想,并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力. 4. 理解反证法并能用反证法推理证明简单几何题. 【要点梳理】 要点一、等腰三角形的定义 1.等腰三角形 有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形,其中相等的两条边叫做腰,另一边叫做底,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示,在△ABC中,AB=AC,△ABC是等腰三角形,其中AB、AC为腰,BC为底边,∠A是顶角,∠B、∠C是底角. 2.等腰三角形的作法 已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a. 作法:1.作线段BC=a; 2.分别以B,C为圆心,以b为半径画弧,两弧 相交于点A; 3.连接AB,AC. △ABC为所求作的等腰三角形 3.等腰三角形的对称性 (1)等腰三角形是轴对称图形; (2)∠B=∠C; (3)BD=CD,AD为底边上的中线.

(4)∠ADB=∠ADC=90°,AD为底边上的高线. 结论:等腰三角形是轴对称图形,顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴. 4.等边三角形 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形,有三条对称轴,每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. 要点诠释:(1)等腰三角形的底角只能为锐角,不能为钝角(或直角),但顶角可为钝 角(或直角).∠A=180°-2∠B,∠B=∠C=180 2 A ?-∠ . (2)等边三角形与等腰三角形的关系:等边三角形是特殊的等腰三角形,等腰三角形不一定是等边三角形. 要点二、等腰三角形的性质 1.等腰三角形的性质 性质1:等腰三角形的两个底角相等,简称“在同一个三角形中,等边对等角”. 推论:等边三角形的三个内角都相等,并且每个内角都等于60°. 性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”. 2.等腰三角形中重要线段的性质 等腰三角形的两底角的平分线(两腰上的高、两腰上的中线)相等. 要点诠释:这条性质,还可以推广到一下结论: (1)等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。 (2)等腰三角形两底边上的中点到两腰的距离相等. (3)等腰三角形两底角平分线,两腰上的中线,两腰上的高的交点到两腰的距离相等,到底边两端上的距离相等. (4)等腰三角形顶点到两腰上的高、中线、角平分线的距离相等. 要点三、等腰三角形的判定定理 1.等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成:在一个三角形中,等角对等边. 要点诠释:(1)要弄清判定定理的条件和结论,不要与性质定理混淆.判定定理得到的结论是等腰三角形,性质定理是已知三角形是等腰三角形,得到边和角关系. (2)不能说“一个三角形两底角相等,那么两腰边相等”,因为还未判定它是一个等腰三角形. 2.等边三角形的判定定理 三个角相等的三角形是等边三角形. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 3. 含有30°角的直角三角形

北师大版2021年中考数学总复习《三角形的证明》(含答案)

北师大版2021年中考数学总复习 《三角形的证明》 一、选择题 1.如图,已知AD∥BC,AP平分∠DAB,BP平分∠ABC,点P恰好在CD上,则PD与PC的大小关 系是() A.PD>PC B.PD=PC C.PD<PC D.无法判断 2.如图,已知点P到AE、AD、BC的距离相等 下列说法: ①点P在∠BAC的平分线上; ②点P在∠CBE的平分线上; ③点P在∠BCD的平分线上; ④点P在∠BAC,∠CBE,∠BCD的平分线的交点上. 其中正确的是( ) A.①②③④ B.①②③ C.④ D.②③ 3.如图,△ABC的三边AB,BC,CA长分别是20,30,40,其三条角平分线将△ABC分为三个三 角形,则S△ABO:S△BCO:S△CAO等于() A.1:1:1 B.1:2:3 C.2:3:4 D.3:4:5 4.如图,已知AB=AC,∠A=36°,AC的垂直平分线MN交AB于D,AC于M.以下结论: ①△BCD是等腰三角形;②射线CD是△ACB的角平分线;

③△BCD的周长C△BCD=AB+BC;④△ADM≌△BCD. 正确的有() A.①② B.①③ C.②③ D.③④ 5.在Rt△ABC中,∠A=40°,∠B=90°,AC的垂直平分线MN分别与AB,AC交于点D,E,则∠ BCD的度数为() A.10° B.15° C.40° D.50° 6.一个等腰三角形的一边长是7cm,另一边长为5cm,那么这个等腰三角形的周长是() A.12cm B.17cm C.19cm D.17cm或19cm 7.如图,点P是∠AOB内任意一点,OP=5cm,点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点,△ PMN周长的最小值是5cm,则∠AOB的度数是() A.25° B.30° C.35° D.40° 8.如图,已知下列三角形中,AB=AC,则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分 成两个小等腰三角形的是() A.①③④ B.①②③④ C.①②④ D.①③ 二、填空题 9.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D.若BD:DC=3:2,点D到AB的距 离为6,则BC的长是.

数学北师大版七年级下册认识三角形(第2课时)

第四章三角形 1认识三角形(第2课时) 一.学生起点分析 学生的知识技能基础:学生在上节已经学习了有关三角形的一些初步知识,能在生活中抽象出三角形的几何图形,并能明确给出三角形的概念及三角形内角和为180°. 学生活动经验基础:学生在以前的几何学习过程中,已对图形的概念、线段及角的表示法、线段的测量及三角形概念、表示法、内角和有了初步认识.同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程,具有了一定的合作学习的经验,具备了一定的合作与交流的能力。 二. 教学任务分析 本节课基于学生在上一节中学习了有关三角形的一些初步知识,并对三角形的角关系也能很好理解.教学中注重三角形三边关系在生活中的应用,渗透数学来源于实践又能应用于实践的思想,在解题中培养学生的合作交流意识,逐步达成学生的有关情感态度目标.因此,本节课设计了如下的教学目标: (1)知识与技能:让学生认识等腰三角形,会按边对三角形分类并掌握三边关系,并能运用三边关系解决生活中的实际问题. 结合具体实例,进一步掌握三角形三条边的关系. (2)过程与方法:通过观察、操作、想象、推理、交流等活动,发展空间观念,推理能力和有条理地表达能力. (3)情感与态度:学生通过观察、操作、交流和反思,获得必需的数学知识,激发学生的学习兴趣. 三. 教学设计分析

本节课设计了七个环节:现实情境引入、认识等腰三角形及按边对三角形分类、探索三角形三边关系、基础巩固、课堂小结、布置作业、自我检测。 第一环节现实情境引入 活动内容: 活动一 (1)观察下面的三角形,并把它们的标号填入相应的椭圆框内: 锐角三角形直角三角形 钝角三角形 (2 )在上面的三角形中各自的边长有什么关系?有等腰三角形吗? 活动目的: 本活动在于渗透分类的数学思想,使学生在操作的过程中感悟分类的方法,做到不重复不遗漏. 实际教学效果: 学生能够根据上节课的内容,将所给的三角形按角进行分类,在复习上节课知识的基础上,类比想到第二问,体会如何按边来分类,教学过程中渗透类比的数学思想。 ⑦ ⑥ ⑤ ④ ③ ② ①

北师大版八年级下册数学第一章三角形测试题

第1题 第2题 第3题 启用前绝密 2017—2018学年度第二学期阶段性测试题 八年级下册数学(第一章) 出题人:分数: 注意事项 1. 本试卷满分150分,考试时间120分钟。 2. 请将密封线内的项目填写清楚。 一、选择题(每小题3分,共36分) 1、如图,在△ABC 和△DEF 中,已知AC=DF ,BC=EF ,要使△ABC ≌△ DEF ,还需要的条件是( ) A.∠A=∠D B.∠ACB=∠F C.∠B=∠DEF D.∠ACB=∠D 2、如图,△ABC 中,AB=AC ,点D 在AC 边上,且BD=BC=AD ,则∠A 的度数为( ) A.30° B.36° C.45° D.70° 3、如图,△ABC ≌△AEF ,AB =AE ,∠B =∠E ,则对于结论 ①AC =AF ;②∠FAB =∠EAB ;③EF =BC ;④∠EAB =∠FAC ,其中正确结论的个数是() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4、已知等腰三角形的两边长分别为5㎝、2㎝,则该等腰三角形 的周长是( ) A .7㎝ B .9㎝ C .12㎝或者9㎝ D .12㎝ 5、一个等腰三角形的顶角是40°,则它的底角是() A .40° B .50° C .60° D .70° 6、到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形( )的交点. A.三个内角平分线 B.三边垂直平分线 C.三条中线 D.三条高

第6题图 7、△ABC 中,AB = AC ,BD 平分∠ABC 交AC 边于点D ,∠BDC = 75°,则∠A 的度数为( ) A 35° B 40° C 70° D 110° 8、如图,已知在△ABC 中,AB=AC ,D 为BC 上的一点BE=CD ,CF=BD ,那么∠EDF 等于( ) A. 90°-∠A B.90°-2 1 ∠A C.45°-2 1∠A D.180°-∠A 9、如图,等边△ABC 中,BD=CE ,AD 与BE 相交于点P ,则∠APE 的度数是( ) A 45° B 55° C 60° D 75° 10、如图,AB=CD ,AE ⊥BD 于E ,CF ⊥BD 于F ,AE=CF ,则下列结论错 误的是() A. BC=AD 且BC ∥AD B. AB ∥CD C.AB=DE D. △ABD≌△CDB 11、如图,AB ∥CD ,AD ⊥CD 于D ,AE ⊥BC 于E ,∠DAC=35°,AD=AE , 则∠B=() A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 12、如图,等边△ABC 中,BD=CE ,AD 与BE 度数是( ) A 45° B 55° C 60° D 75° 二、填空题。(每小题3分,共24分) 13、在△ABC 中,AB =AC ,∠BAC =120°,延长BC 到D ,使CD =AC ,

新北师大版八年级下数学第一章三角形的证明.

1 八年级下第一章三角形的证明 【基础知识】 1、全等三角形 (1)定义: 能够完全 的三角形是全等三角形。 (2)性质:全等三角形的 、 相等。 (3)判定:“SAS ”、 、 、 、 。 三边 :边边边(SSS ) 两边: 边角边(SAS ) 一边 边角边(ASA ) 角角边(AAS ) ※※注:SSA,AAA 不能作为判定三角形全等的方法,判定两个三角形全等时,必 须有边的参与,若有两边一角相等时,角必须是两边的夹角 ※※证题的思路: ? ? ? ?? ??? ???? ? ? ???????????????? ???????)找任意一边()找两角的夹边(已知两角)找夹已知边的另一角()找已知边的对角( )找已知角的另一边(边为角的邻边)任意角(若边为角的对边,则找已知一边一角)找第三边()找直角() 找夹角(已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 注意:公共边、公共角、对顶角、最长的边(或最大的角)、最短的边(或最小的 角) 2、等腰三角形 (1)定义:有两条 的三角形是等腰三角形。 (2)性质:①等腰三角形的 相等。(“等边对等角”) ②等腰三角形的顶角平分线、 、 互相重合。 (3)判定:①定义 ②“ ” 3、等边三角形 (1) 定义: 的三角形是等边三角形。 (2)性质:①三角都等于 ②具有等腰三角形的一切性质。 (3)判定:①定义 ②三个角都相等的三角形是等边三角形 ③有一个角 是等边三角形。 4、直角三角形 (1)定理:在直角三角形中,如果一个锐角是30度,那么它所对的直角边等于斜边的一半。 (2)勾股定理及其逆定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形 (3)“斜边、直角边”或“HL ” 直角三角形全等的判定定理:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 定理的作用:判定两个直角三角形全等

新北师大版七年级数学下册《认识三角形(1

新北师大版七年级数学下册《认识三角形(1)》教案

第四章三角形 4.1.1 三角形的内角和 〖教学目标〗 1.了解三角形的概念。 2.掌握一类图形中的三角形计数方法,渗透分类思想。 3.掌握三角形的内角和规律及其应用。 4.培养分析、归纳问题和逻辑推理能力,激发学生的创造思维和探索精神。 〖教材分析〗 教材从观察小木屋屋顶框架图入手,要求学生找出四个不同的三角形,并说明这些图形有什么共同点。考虑到学生的认知水平,设计用动画“画”三角形,学生“观察”,总结、归纳出三角形定义。 本课时内容是在学生已了解三角形内角和知识的基础上学习的,主要引导学生参与探索发现三角形的内角和规律,为灵活运用三角形内角和规律打下坚实的基础。 整个教学内容力图让学生通过“感知―概括―应用”的思维过程去发现知识、掌握规律,并通过师生间和生生间的多层次、多通道的主体信息交流,发展学生的逻辑推理能力。 〖教学设计〗 三角形是生活中常见的几何图形,学生都认识,但是对定义的理解不够准确。为加深学生的理解,教学中让学生从自己的认识出发,教师给予引导、明晰,再得到定义。 “三角形的计数”是本节难点,为让每个学生都得到经历数学思考的体验,采用小组活动的方式,使每个学生都得到训练,发展个性化的学习。同时,结合学生的认知水平,制作课件,生动、形象地帮助学生学习,降低学习难度。 (一)创设情境,引入新课 师:同学们认识三角形吗? 生:认识。 师:在生活中见过应用三角形的例子吗? 生:见过。 师:哪一位同学能举一些例子? 生1:三角形的屋顶。 生2:自行车的三角架。

师:很好。老师也给同学们准备了一些生活中应用三角形的例子,我们一起来看看。 (屏幕显示自拍照片:学校篮球架,建筑工地塔式吊车,加油站大跨度屋顶等。) 师:这些例子说明了三角形在我们的生活中随处可见。为什么三角形具有这么多应用呢?等我们学完这一章后,同学们就会有更深的理解。下面我们一起来认识三角形。 (二)得出三角形定义 师:请同学们观察屏幕上动画画三角形的过程,然后用自己的语言来描述怎么样的图形叫做三角形。 屏幕显示三角形: 图1 师:哪一位同学能根据自己的观察说一下什么样的图形叫三角形? 生3:由三条线段组成的图形叫三角形。 教师按照学生描述画出如下图形: 图2 师:这是由三条线段组成的图形吗? 生:是。 师:是三角形吗? 生:不是。 师:×××同学,你要对刚才的发言做修正吗? 生3:不在同一直线上的三条线段组成三角形。 教师按照学生描述画出如下图形:

北师大版八年级数学下册 特殊的三角形 专题(附答案)

综合滚动练习:特殊的三角形 时间:45分钟分数:100分得分:________ 一、选择题(每小题4分,共32分) 1.已知一个等腰三角形底角的度数为80°,则这个等腰三角形顶角的度数为() A.20°B.70°C.80°D.100° 2.已知等腰三角形的一边长为6,一个内角为60°,则它的周长是() A.12 B.15 C.18 D.20 3.如图,要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是() A.AC=A′C′,BC=B′C′ B.∠A=∠A′,AB=A′B′ C.AC=A′C′,AB=A′B′ D.∠B=∠B′,BC=B′C′ 第3题图第4题图4.如图,△ABC是等边三角形,P为BC上一点,在AC上取一点D,使AD=AP,且∠APD=70°,则∠P AB的度数是() A.10°B.15°C.20°D.25° 5.如图,AD⊥BC,D是BC的中点,那么下列结论错误的是() A.△ABD≌△ACD B.∠B=∠C C.△ABC是等腰三角形 D.△ABC是等边三角形 第5题图第6题图 6.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,E为BC延长线上一点,∠ABC与∠ACE 的平分线相交于点D,则∠D的度数为() A.15°B.17.5°C.20°D.22.5° 7.(2017·滨州中考)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,且DA=DC,BD =BA,则∠B的大小为【方法1②】() A.40°B.36°C.30°D.25°

第7题图第8题图 8.★如图,∠AOB=120°,OP平分∠AOB,且OP=2.若点M,N分别在OA,OB上,且△PMN为等边三角形,则满足上述条件的△PMN有() A.1个 B.2个 C.3个 D.3个以上 二、填空题(每小题4分,共24分) 9.如图,已知∠B=∠C,从①BE=CE,②AB=DC,③∠BAE=∠CDE这三个等式中选出一个作为条件,可以推出△AED是等腰三角形的有________(填序号). 第9题图第11题图 10.若△ABC的三边a,b,c满足条件:a-3+b-4+c-5=0,则△ABC是________三角形. 11.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,则∠DAC+∠C=________°. 12.如图,在三角形纸片ABC中,∠C=90°,∠B=30°.折叠该纸片,使点C落在点E 处,折痕为AD.若CD=3cm,则BD的长为________cm. 第12题图第13题图 13.如图,已知∠AOB=60°,点P在OA上,OP=8,点M、N在边OB上,PM=PN.若MN=2,则OM=________. 14.(2017·淄博中考)如图,在边长为4的等边三角形ABC中,D为BC边上的任意一点,过点D分别作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,则DE+DF=________. 三、解答题(共44分)

北师大版九年级数学上相似三角形

一对一教案

三、主要练习: 【知识点】: 相似多边形定义:各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。 相似多边形可以用符号“∽”表示,读作“相似于”。在记两个多边形相似时,要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 相似多边形对应边的比叫做相似比。 【例题】: 1.以下五个命题:①所有的正方形都相似;②所有的矩形都相似;③所有的三角形都相似;④所有的等腰直角三角形都相似;⑤所有的正五边形都相似.其中正确的命题有_______. 2、若五边形ABCDE∽五边形MNOPQ ,且AB=12,MN=6,AE=7,则MQ= . 3、矩形ABCD 与矩形EFGH 中,AB=4,BC=2,EF=2,FG=1,则矩形ABCD 与矩形EFGH 相似(填“一定”或“不一定”) 4、如图,在□ABCD 中,AB//EF ,若AB = 1,AD = 2,AE= 2 1 AB ,则□ABFE 与□BCDA 相似吗?说明理由. 【课堂练习】: 1.下面图形是相似形的为 ( ) A .所有矩形 B .所有正方形 C .所有菱形 D .所有平行四边形 2.下列说法正确的是 ( ) A . 对应边成比例的多边形都相似 B . 四个角对应相等的梯形都相似 C . 有一个角相等的两个菱形相似 D . 有一个锐角相等的两个等腰三角形相似 3.□ABCD 与□ EFGH 中,AB = 4,BC = 2,EF = 2,FG=1,则□ABCD 与□ EFGH 相似(填“一定”或“不一定”) 4.如图,等腰梯形ABCD 与等腰梯形A′B′C′D′相似,∠A′=65°,A′B′=6 cm, AB=8 cm , AD=5 cm ,试求梯形ABCD 的各角的度数与A′D′, B′C′的长. F E D C B A

北师大版 八年级下第一章 三角形的证明 综合题专题训练

三角形证明 【命题趋势】 常考的知识点包括:全等三角形的判定与性质、线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的三线合一的性质、直角三角形斜边上的中线的性质、含30°的角的直角三角形的性质等,在中考时,灵活的掌握相应辅助线方法是解决问题的关键.在中考中将会加大对三角形有关证明的考察,而三角形全等是证明的基础.题型主要是以解答题的形式呈现,难度属于中等难度. 线段的和差是中考中常见的考试类型,能较好的考察学生的推理和证明能力,同时能把三角形全等有机的结合起来,因此在最近几年的重庆中考试题中时常出现.针对此类中考热点问题,本专题主要探讨此类问题的解决方法—取长补短法. 三角形证明(一) 【经典专题突破】 例1.如图,等边ABC △中,AO 是BAC ∠的角平分线,D 为AO 上一点,以CD 为一边 且在CD 下方作等边CDE △,连结BE . (1)求证:ACD BCE △≌△; (2)延长BE 至Q , P 为BQ 上一点,连结CP 、QC 使5CP CQ ==, 若8BC =时,求PQ 的长. 例2.如图,在Rt ABC △中,90ACB ∠=o ,AC BC <,D 为AB 的中点,DE 交AC 于 点E ,DF 交BC 于点F ,且DE DF ⊥,过A 作AG ∥BC 交FD 的延长线于点G . (1)求证:AG BF =; (2)若9AE =,18BF =,求线段EF 的长.

例3:如图1,在Rt ABC △中,90ACB ∠=o ,CD AB ⊥,作ABC ∠的平分线交AC 、CD 于点E 、F . (1)求证:CE CF =; (2)如图2,过点F 作FG ∥AB 交AC 于点G ,若10AC =,4EG =,求CE 的长度. 【仿真题型演练】 1. 如图,在等腰Rt ABC △中,90ACB ∠=o ,AC CB =,F 是AB 边上的中点,点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动,且始终保持AD CE =.连接DE 、DF 、 EF . (1)求证:DF =EF ; (2)试证明△DEF 是等腰直角三角形. 2. 已知等腰Rt ABC △中,90ACB ∠=o ,AC BC =,点G 在上,连接,过作⊥,垂足为点,过点作⊥于点,点是的中点,连接、. (1)若30CAG ∠=o ,=1,求的长; (2)求证:∠=∠ 3. 如图1,已知点D 为等腰直角ABC △内一点,90ACB ∠=o ,

相关主题