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线性代数性质公式

线性代数 第一章行列式 一、相关概念 1.行列式——n阶行列式是所有取自不同行不同列的n个元素的乘积 的代数和,这里是1,2,···n的一个排列。当是偶排列时,该项的前面带正号;当是奇排列时,该项的前面带负号,即 (1.1) 这里表示对所有n阶排列求和。式(1.1)称为n阶行列式的完全展开式。 2.逆序与逆序数——一个排列中,如果一个大的数排列在小的数之前,就称这两个数构成一个逆序。一个排列的逆序总是称为这个排列的逆序数。用表示排列的逆序数。 3.偶排列与奇排列——如果一个排列的逆序数是偶数,则称这个排列为偶排列,否则称为奇排列。 4.2阶与3阶行列式的展开——, 5.余子式与代数余子式——在n阶行列式中划去所在的第i行,第j列的元素,剩下的元素按原来的位置排法构成的一个n-1阶的行列式 称为的余子式,记为;称为的代数余子式,记为,即。

6.伴随矩阵——由矩阵A的行列式|A|所有的代数余子式所构成的形如,称为A的伴随矩阵,记作。 二、行列式的性质 1.经过转置行列式的值不变,即→行列式行的性质与列的性质是对等的。 2.两行互换位置,行列式的值变号。特别地,两行相同(或两行成比例),行列式的值为0. 3.某行如有公因子k,则可把k提出行列式记号外。 4.如果行列式某行(或列)是两个元素之和,则可把行列式拆成两个行列式之和: 5.把某行的k倍加到另一行,行列式的值不变: 6.代数余子式的性质——行列式任一行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和为0 三、行列式展开公式 n阶行列式的值等于它的任何一行(列)元素,与其对应的代数余子式乘积之和,即 |A|按i行展开的展开式 |A|按j列展开的展开式 四、行列式的公式 1.上(下)三角形行列式的值等于主对角线元素的乘积; 2.关于副对角线的n阶行列式的值 3.两个特殊的拉普拉斯展开式:如果A和B分别是m阶和n阶矩阵,则 4.范德蒙行列式 5.抽象n阶方阵行列式公式(矩阵) 若A、B都是n阶矩阵,是A的伴随矩阵,若A可逆,是A的特征值:

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线性代数公式大全——最新修订 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素,展开后有!n 项,可分解为2n 行列式; 2. 代数余子式的性质: ①、ij A 和ij a 的大小无关; ②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0; ③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为A ; 3. 代数余子式和余子式的关系:(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D : 将D 上、下翻转或左右翻转,所得行列式为1D ,则(1)2 1(1) n n D D -=-; 将D 顺时针或逆时针旋转90o ,所得行列式为2D ,则(1)2 2(1)n n D D -=-; 将D 主对角线翻转后(转置),所得行列式为3D ,则3D D =; 将D 主副角线翻转后,所得行列式为4D ,则4D D =; 5. 行列式的重要公式: ①、主对角行列式:主对角元素的乘积; ②、副对角行列式:副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -; ③、上、下三角行列式( = ◥◣):主对角元素的乘积; ④、 ◤和 ◢:副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -; ⑤、拉普拉斯展开式: A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==-g ⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积; ⑦、特征值; 6. 对于n 阶行列式A ,恒有:1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑,其中k S 为k 阶主子式; 7. 证明0A =的方法: ①、A A =-; ②、反证法; ③、构造齐次方程组0Ax =,证明其有非零解; ④、利用秩,证明()r A n <; ⑤、证明0是其特征值; 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵: ?0A ≠(是非奇异矩阵); ?()r A n =(是满秩矩阵) ?A 的行(列)向量组线性无关; ?齐次方程组0Ax =有非零解; ?n b R ?∈,Ax b =总有唯一解; ?A 与E 等价; ?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积;

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概念、性质、定理、公式必须清楚,解法必须熟练,计算必须准确 (),n T A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E οοοββ==??≠≠≠??∈=?可逆 的列(行)向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 , 0总有唯一解 是正定矩阵 R 12,s i A p p p p n B AB E AB E ?? ??? ????? ?? ??=????==?? 是初等阵 存在阶矩阵使得 或 ○ 注:全体n 维实向量构成的集合n R 叫做n 维向量空间. ()A r A n A A A Ax A ολ<=?==不可逆 0的列(行)向量线性相关 0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的?? ?? ?????特征向量 ○ 注 ()()a b r aE bA n aE bA aE bA x οολ+

12121211 12121222()121 2()n n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ= = -∑ 1 √ 行列式的计算: ①行列式按行(列)展开定理:行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论:行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. ②若A B 与都是方阵(不必同阶),则 == ()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O *= =* * =-1(拉普拉斯展开式) ③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④关于副对角线: (1)2 1121 21 1211 1 ()n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* ==- 1 (即:所有取自不同行不 同列的n 个元素的乘积的代数和) ⑤范德蒙德行列式:()1 2 2 22 1211 1112n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏ 111 由m n ?个数排成的m 行n 列的表11 12121 2221 2 n n m m mn a a a a a a A a a a ?? ? ? = ? ? ?? 称为m n ?矩阵.记作:()ij m n A a ?=或m n A ? () 1121112222* 12n T n ij n n nn A A A A A A A A A A A ?? ? ? == ? ? ?? ,ij A 为A 中各个元素的代数余子式. √ 逆矩阵的求法: ① 1 A A A *-= ○注: 1 a b d b c d c a ad bc --????= ? ? --???? 1 主换位副变号

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②、1 11A O A O O B O B ---?? ?? = ? ?????;(主对角分块) ③、1 11O A O B B O A O ---?? ?? = ? ? ???? ;(副对角分块) ④、11111A C A A CB O B O B -----?? -??= ? ????? ;(拉普拉斯) ⑤、 11111A O A O C B B CA B -----???? = ? ?-???? ;(拉普拉斯) 3、矩阵的初等变换与线性方程组 1. 一个m n ?矩阵A ,总可经过初等变换化为标准形,其标准形就是唯 一确定的:r m n E O F O O ??? = ???; 等价类:所有与A 等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵; 对于同型矩阵A 、B ,若()()r A r B A B = ? :; 2. 行最简形矩阵: ①、只能通过初等行变换获得; ②、每行首个非0元素必须为1; ③、每行首个非0元素所在列的其她元素必须为0; 3. 初等行变换的应用:(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换) ①、 若(,)(,)r A E E X :,则A 可逆,且1 X A -=; ②、对矩阵(,)A B 做初等行变化,当A 变为E 时,B 就变成1 A B -, 即:1 (,)(,) c A B E A B - ~ ; ③、求解线形方程组:对于n 个未知数n 个方程Ax b =,如果(,)(,)r A b E x :,则A 可逆,且1 x A b -=; 4. 初等矩阵与对角矩阵的概念: ①、初等矩阵就是行变换还就是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;

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1、行列式 1. n 行列式共有2 n 个元素,展开后有!n 项,可分解为2n 行列式; 2. 代数余子式的性质: ①、ij A 和ij a 的大小无关; ②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0; ③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为A ; 3. 代数余子式和余子式的关系:(1) (1) i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D : 将D 上、下翻转或左右翻转,所得行列式为1D ,则(1) 2 1 (1) n n D D -=-;(1) 2 2 (1) n n D D -=- 将D 顺时针或逆时针旋转90 ,所得行列式为2D ,则; 将D 主对角线翻转后(转置),所得行列式为3D ,则3D D =; 将D 主副角线翻转后,所得行列式为4D ,则4 D D =; 5. 行列式的重要公式: ①、主对角行列式:主对角元素的乘积; ②、副对角行列式:副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -; ③、上、下三角行列式( = ◥◣):主对角元素的乘积; ④、 ◤和 ◢:副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -; ⑤、拉普拉斯展开式: A O A C A B C B O B ==、 (1) m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积; ⑦、特征值; 6. 对于n 阶行列式A ,恒有:1 (1) n n k n k k k E A S λλλ -=-=+ -∑,其中k S 为k 阶主子式; 7. 证明 A =的方法: ①、 A A =-; ②、反证法; ③、构造齐次方程组0Ax =,证明其有非零解; ④、利用秩,证明()r A n <; ⑤、证明0是其特征值; 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵: ?0A ≠(是非奇异矩阵); ?()r A n =(是满秩矩阵) ?A 的行(列)向量组线性无关; ? 齐次方程组0 Ax =有非零解; ?n b R ?∈,Ax b =总有唯一解; ?A 与E 等价; ?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积;

线性代数公式大全——最新修订(突击必备)

线性代数公式大全 1、行列式 1. n 行列式共有2 n 个元素,展开后有!n 项,可分解为2n 行列式; 2. 代数余子式的性质: ①、ij A 和ij a 的大小无关; ②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0; ③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为A ; 3. 代数余子式和余子式的关系:(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 行列式的重要公式: ①、主对角行列式:主对角元素的乘积; ②、副对角行列式:副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -; ③、上、下三角行列式( = ◥◣):主对角元素的乘积; ④、 ◤和 ◢:副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -; ⑤、拉普拉斯展开式:A O A C A B C B O B ==、(1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积; ⑦、特征值; 5. 对于n 阶行列式A ,恒有:1(1) n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑,其中k S 为k 阶主子式; 6. 证明0A =的方法: ①、A A =-; ②、反证法; ③、构造齐次方程组0Ax =,证明其有非零解; ④、利用秩,证明()r A n <; ⑤、证明0是其特征值; 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵: ?0A ≠(是非奇异矩阵); ?()r A n =(是满秩矩阵) ?A 的行(列)向量组线性无关; ?齐次方程组0Ax =有非零解; ?n b R ?∈,Ax b =总有唯一解;

?A 与E 等价; ?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积; ?A 的特征值全不为0; ?T A A 是正定矩阵; ?A 的行(列)向量组是n R 的一组基; ?A 是n R 中某两组基的过渡矩阵; 2. 对于n 阶矩阵A :* * AA A A A E == 无条件恒成立; 3. 1* *1 11**()()()()()()T T T T A A A A A A ----=== * * * 1 1 1 ()()()T T T AB B A AB B A AB B A ---=== 4. 矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数和; 5. 关于分块矩阵的重要结论,其中均A 、B 可逆: 若12 s A A A A ?? ? ?= ? ?? ? ,则: Ⅰ、12s A A A A = ; Ⅱ、1 1112 1s A A A A ----?? ? ?= ? ? ?? ? ; ②、1 11A O A O O B O B ---?? ?? = ? ????? ;(主对角分块) ③、1 11O A O B B O A O ---?? ??= ? ? ???? ;(副对角分块) ④、1 1111A C A A CB O B O B -----?? -?? = ? ????? ;(拉普拉斯) ⑤、1 111 1A O A O C B B CA B -----?? ?? = ? ?-???? ;(拉普拉斯) 3、矩阵的初等变换与线性方程组 1. 一个m n ?矩阵A ,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯一确定的:r m n E O F O O ???= ???; 等价类:所有与A 等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵; 对于同型矩阵A 、B ,若()()r A r B A B = ? ; 2. 行最简形矩阵:

最全线性代数公式笔记

线性代数公式必记 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素,展开后有!n 项,可分解为2n 行列式; 2. 代数余子式的性质: ①、ij A 和ij a 的大小无关; ②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0; ③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为A ; 3. 代数余子式和余子式的关系:(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D : 将D 上、下翻转或左右翻转,所得行列式为1D ,则(1)2 1(1) n n D D -=-; 将D 顺时针或逆时针旋转90 ,所得行列式为2D ,则(1)2 2(1)n n D D -=-; 将D 主对角线翻转后(转置),所得行列式为3D ,则3D D =; 将D 主副角线翻转后,所得行列式为4D ,则4D D =; 5. 行列式的重要公式: ①、主对角行列式:主对角元素的乘积; ②、副对角行列式:副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -; ③、上、下三角行列式( = ◥◣):主对角元素的乘积; ④、 ◤和 ◢:副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -; ⑤、拉普拉斯展开式: A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积; ⑦、特征值; 6. 对于n 阶行列式A ,恒有:1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑,其中k S 为k 阶主子式; 7. 证明0A =的方法: ①、A A =-; ②、反证法; ③、构造齐次方程组0Ax =,证明其有非零解; ④、利用秩,证明()r A n <; ⑤、证明0是其特征值; 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵: ?0A ≠(是非奇异矩阵); ?()r A n =(是满秩矩阵) ?A 的行(列)向量组线性无关; ?齐次方程组0Ax =有非零解; ?n b R ?∈,Ax b =总有唯一解;

2020考研 线性代数_常用公式

考研数学线性代数常用公式 数学考研考前必背常考公式集锦。希望对考生在暑期的复习中有所帮助。本文内容为线性代数的常考公式汇总。 1、行列式的展开定理 行列式的值等于其任何一行(或列)所有元素与其对应的代数余子式乘积之 和,即 C 的 3、设A 为n 阶方阵,*A 为它的伴随矩阵则有**==AA A A A E . 设A 为n 阶方阵,那么当AB =E 或BA =E 时,有1-B =A 4、 对单位矩阵实施一次初等变换得到的矩阵称之为初等矩阵.由于初等变换有三种,初等矩阵也就有三种: 第一种:交换单位矩阵的第i 行和第j 行得到的初等矩阵记作ij E ,该矩阵也

可以看做交换单位矩阵的第i 列和第j 列得到的.如1,3001010100?? ?= ? ?? ?E . 第二种:将一个非零数k 乘到单位矩阵的第i 行得到的初等矩阵记作()i k E ;该矩阵也可以看做将单位矩阵第i 列乘以非零数k 得到的.如 2100(5)050001?? ?-=- ? ?? ?E . 第三种:将单位矩阵的第i 行的k 倍加到第j 行上得到的初等矩阵记作()ij k E ;该矩阵也可以看做将单位矩阵的第j 列的k 倍加到第i 列上得到的.如 3,2100(2)012001?? ?-=- ? ??? E . 注: 1)初等矩阵都只能是单位矩阵一次初等变换之后得到的. 2)对每个初等矩阵,都要从行和列的两个角度来理解它,这在上面的定义中已经说明了.尤其需要注意初等矩阵()ij k E 看做列变换是将单位矩阵第j 列的k 倍加到第i 列,这一点考生比较容易犯错. 5、矩阵A 最高阶非零子式的阶数称之为矩阵A 的秩,记为()r A . 1)()()(),0r r r k k ==≠T A A A ; 2)()1r ≠?≥A O A ; 3)()1r =?≠A A O 且A 各行元素成比例; 4)设A 为n 阶矩阵,则()0r n =?≠A A . 6、线性表出 设12,,...,m ααα是m 个n 维向量,12,,...m k k k 是m 个常数,则称1122...m m k k k ααα+++为向量组12,,...,m ααα的一个线性组合. 设12,,...,m ααα是m 个n 维向量,β是一个n 维向量,如果β为向量组

线性代数性质公式整理教学文案

线性代数性质公式整

的乘积 的代数和,这里帘汀?是1, 2,?n ?的一个排列。当? 是偶排列时,该项的 前面带正号;当 是奇排列时,该项的前面带负号,即 | 釦1 a l2 V 这里. 表示对所有n 阶排列求和。式(1.1)称为n 阶行列式的完全展开式 2. 逆序与逆序数 ——一个排列中,如果一个大的数排列在小的数之前,就称这 两个数构成一个逆序。一个排列的逆序总是称为这个排列的逆序数。用 表示排列 '的逆序数。 3. 偶排列与奇排列一一如果一个排列的逆序数是偶数,则称这个排列为偶排 列,否则称为奇排列 忖h 4.2阶与3阶行列式的展开一 |匚d =ad - he a 21 a 22 也 3 对1 日32 ^33 =^^22333 + ^12a 23^31 + a 13a 21a 32 _ a 13a 22a 31 ~ 312^21^33 _ a ll a 23 a 32 、相关概念 1?行列式 线性代数 第一章行列式 町1 31? a 22 … di ?1!| ? |i gi f di f ■ ■1 P ? a n i 鈿.2 a t]n 是所有取自不同行不同列的 n 阶行列式 n 个元素

行,第j 列的元素,剩下的元素按原来的位置排法构成的一个 n-1阶的行列式 6.伴随矩阵一一由矩阵A 的行列式|A|所有的代数余子式所构成的形如 、行列式的性质 1. 经过转置行列式的值不变,即I :l A l'k 行列式行的性质与列的性质是对等 的。 2. 两行互换位置,行列式的值变号。特别地,两行相同 (或两行成比例),行列式 的值为0. 3. 某行如有公因子k ,则可把k 提出行列式记号外。 4. 如果行列式某行(或列)是两个元素之和,则可把行列式拆成两个行列式之和: 5.把某行的k 倍加到另一行,行列式的值不变: pi 岂为 a l 旳 b ]帕 b :t =b t + 斶 b? + kaj b$ + 1“巳5 1 c i “ 卬 6.代数余子式的性质一一行列式任一行元素与另一行元素的代数余子式乘积 5.余子式与代数余子式——在n 阶行列式 日12… ^22 … 屯】】 4)-| * || || * 甲章■ ■1 p III 釘2 … a t ]n an - 日]』1 1 … … … … a i - 14 …a i -1J- 1 邳Li 丰 a i + u …+ i,j -1 a i + 1.| + *** *** … 2[订 … ^ll,j -1 a IIJ +1 (-1)2叫为%的代数余子式,记为 ?1 - Ln + Im Aij 称为呦的余子式,记为 ,即A 产(-1严叫 ii ;称 A 】 】 A12 A21 … A 22 ...A (2) A lllv ,称为A 的伴随矩阵,记作… 中划去所在的第i

线性代数重要公式定理大全

1、行列式 1. n行列式共有n2个元素,展开后有n!项,可分解为2n行列式; 2. 代数余子式的性质: ①、A j和a^的大小无关; ②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0; ③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为 A ; 3. 代数余子式和余子式的关系:M ij ( 1)i j A ij A ij ( 1)i j M ij 4. 设n行列式D : n(n 1)n(n 1)将D上、下翻转或左右翻转,所得行列式为D!,则U ( 1)F D;D2 ( 1L D 将D顺时针或逆时针旋转90o,所得行列式为D2,贝U; 将D主对角线翻转后(转置),所得行列式为D3,则D3 D ; 将D主副角线翻转后,所得行列式为D4,则D4 D ; 5. 行列式的重要公式: ①、主对角行列式:主对角元素的乘积; n(n 1) ②、副对角行列式:副对角元素的乘积(1)h ; ③、上、下三角行列式(、i ):主对角元素的乘积; n (n 1) ④、匚和丄:副对角元素的乘积(1)F ; ⑤、拉普拉斯展开式: A||B、(1)mgn A B ⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积; ⑦、特征值; n 6. 对于n阶行列式A,恒有:E A n(1)W nk,其中S k为k阶主子式; k 1 7. 证明A 0的方法: ①、A A ; ②、反证法; ③、构造齐次方程组Ax 0,证明其有非零解; ④、利用秩,证明r(A) n ; ⑤、证明0是其特征值; 2、矩阵 1. A是n阶可逆矩阵: A 0 (是非奇异矩阵); r(A) n (是满秩矩阵) A的行(列)向量组线性无关; 齐次方程组Ax 0有非零解; b R n,Ax b总有唯一解;

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概率论公式大全(2010版) 1.随机事件及其概率 吸收律:A AB A A A A =?=??Ω=Ω?)( A B A A A A A =???=??=Ω?)( )(AB A B A B A -==- 反演律:B A B A =? B A AB ?= n i i n i i A A 11=== n i i n i i A A 11=== 2.概率的定义及其计算 )(1)(A P A P -= 若B A ? )()()(A P B P A B P -=-? 对任意两个事件A , B , 有 )()()(AB P B P A B P -=- 加法公式:对任意两个事件A , B , 有 )()()()(AB P B P A P B A P -+=? )()()(B P A P B A P +≤? )()1()()()()(2111111n n n n k j i k j i n j i j i n i i n i i A A A P A A A P A A P A P A P -≤<<≤≤<≤==-+++- =∑∑∑ 3.条件概率 ()=A B P ) ()(A P AB P 乘法公式 ())0)(()()(>=A P A B P A P AB P

()() ) 0)(()()(12112112121>=--n n n n A A A P A A A A P A A P A P A A A P 全概率公式 ∑==n i i AB P A P 1)()( )()(1i n i i B A P B P ?=∑= Bayes 公式 )(A B P k )()(A P AB P k = ∑==n i i i k k B A P B P B A P B P 1 ) ()()()( 4.随机变量及其分布 分布函数计算 ) ()()()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤< 5.离散型随机变量 (1) 0 – 1 分布 1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k (2) 二项分布 ),(p n B 若P ( A ) = p n k p p C k X P k n k k n ,,1,0,)1()( =-==- *Possion 定理 0lim >=∞ →λn n np 有 ,2,1,0!)1(l i m ==---∞→k k e p p C k k n n k n k n n λλ (3) Poisson 分布 )(λP ,2,1,0,!)(===-k k e k X P k λλ

线性代数重要公式模板.

线性代数重点公式

目录 1 行列式 (1) 2 矩阵 (2) 3 矩阵的初等变换与线性方程组 (3) 4 向量组的线性相关性 (6) 5 相似矩阵和二次型 (9)

1 行列式 1. n 行列式共有2n 个元素,展开后有!n 项,可分解为2n 行列式; 2. 代数余子式的性质: ①、ij A 和ij a 的大小无关; ②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0; ③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为A ; 3. 代数余子式和余子式的关系:(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D : 将D 上、下翻转或左右翻转,所得行列式为1D ,则(1)2 1(1) n n D D -=-; 将D 顺时针或逆时针旋转90,所得行列式为2D ,则(1)2 2(1) n n D D -=-; 将D 主对角线翻转后(转置),所得行列式为3D ,则3D D =; 将D 主副角线翻转后,所得行列式为4D ,则4D D =; 5. 行列式的重要公式: ①、主对角行列式:主对角元素的乘积; ②、副对角行列式:副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -; ③、上、下三角行列式( = ◥◣):主对角元素的乘积; ④、 ◤和 ◢:副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -; ⑤、拉普拉斯展开式: A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积; ⑦、特征值; 6. 对于n 阶行列式A ,恒有:1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑,其中k S 为k 阶主子式;

考研线性代数公式

考研线性代数公式

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1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素,展开后有!n 项,可分解为2n 行列式; 2. 代数余子式的性质: ①、ij A 和ij a 的大小无关; ②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0; ③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为A ; 3. 代数余子式和余子式的关系:(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D : 将D 上、下翻转或左右翻转,所得行列式为1D ,则(1)2 1(1) n n D D -=-; 将D 顺时针或逆时针旋转90,所得行列式为2D ,则(1)2 2(1)n n D D -=-; 将D 主对角线翻转后(转置),所得行列式为3D ,则3D D =; 将D 主副角线翻转后,所得行列式为4D ,则4D D =; 5. 行列式的重要公式: ①、主对角行列式:主对角元素的乘积; ②、副对角行列式:副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -; ③、上、下三角行列式( = ◥◣):主对角元素的乘积; ④、 ◤和 ◢:副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -; ⑤、拉普拉斯展开式: A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积; ⑦、特征值; 6. 对于n 阶行列式A ,恒有:1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑,其中k S 为k 阶主子式; 7. 证明0A =的方法: ①、A A =-; ②、反证法; ③、构造齐次方程组0Ax =,证明其有非零解; ④、利用秩,证明()r A n <; ⑤、证明0是其特征值; 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵: ?0A ≠(是非奇异矩阵); ?()r A n =(是满秩矩阵) ?A 的行(列)向量组线性无关; ?齐次方程组0Ax =有非零解;

线性代数重要公式

主对角线翻转后(转置),所得行列式为 n A B

s A ?? 2 s A A ;12 A -

②、1 11A O A O O B O B ---?? ?? = ? ?????;(主对角分块) ③、1 11O A O B B O A O ---?? ?? = ? ? ???? ;(副对角分块) ④、11111A C A A CB O B O B -----?? -??= ? ????? ;(拉普拉斯) ⑤、 11111A O A O C B B CA B -----???? = ? ?-???? ;(拉普拉斯) 3、矩阵的初等变换与线性方程组 1. 一个m n ?矩阵A ,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯一 确定的:r m n E O F O O ??? = ???; 等价类:所有与A 等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵; 对于同型矩阵A 、B ,若()()r A r B A B = ? ; 2. 行最简形矩阵: ①、只能通过初等行变换获得; ②、每行首个非0元素必须为1; ③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0; 3. 初等行变换的应用:(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换) ①、 若(,)(,)r A E E X ,则A 可逆,且1 X A -=; ②、对矩阵(,)A B 做初等行变化,当A 变为E 时,B 就变成1 A B -,即: 1(,)(,) c A B E A B - ~ ; ③、求解线形方程组:对于n 个未知数n 个方程Ax b =,如果(,)(,) r A b E x , 则A 可逆,且1 x A b -=; 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念: ①、初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;

线性代数公式必记

1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素,展开后有!n 项,可分解为2n 行列式; 2. 代数余子式的性质: ①、ij A 和ij a 的大小无关; ②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0; ③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为A ; 3. 代数余子式和余子式的关系:(1)(1) i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D : 将D 上、下翻转或左右翻转,所得行列式为1D ,则(1) 2 1(1)n n D D -=-; 将D 顺时针或逆时针旋转90 ,所得行列式为2D ,则(1) 2 2(1) n n D D -=-; 将D 主对角线翻转后(转置),所得行列式为3D ,则3D D =; 将D 主副角线翻转后,所得行列式为4D ,则4D D =; 5. 行列式的重要公式: ①、主对角行列式:主对角元素的乘积; ②、副对角行列式:副对角元素的乘积(1) 2 (1) n n -? -; ③、上、下三角行列式( = ◥◣):主对角元素的乘积; ④、 ◤和 ◢:副对角元素的乘积(1) 2 (1)n n -? -; ⑤、拉普拉斯展开式: A O A C A B C B O B ==、 (1) m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积; ⑦、特征值; 6. 对于n 阶行列式A ,恒有:1 (1) n n k n k k k E A S λλλ -=-=+ -∑,其中k S 为k 阶主子式; 7. 证明0A =的方法: ①、A A =-; ②、反证法; ③、构造齐次方程组0 Ax =,证明其有非零解; ④、利用秩,证明()r A n <; ⑤、证明0是其特征值; 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵: ?0A ≠(是非奇异矩阵); ?()r A n =(是满秩矩阵) ?A 的行(列)向量组线性无关; ? 齐次方程组0 Ax =有非零解; ?n b R ?∈,Ax b =总有唯一解; ?A 与E 等价; ?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积; ?A 的特征值全不为0;

线性代数公式精简版

1、行列式 1. 代数余子式和余子式的关系:(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 逆序数计算 2. 行列式的重要公式: (1)、主对角行列式:主对角元素的乘积; (2)、上、下三角行列式( = ◥◣):主对角元素的乘积; 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵: ?0A ≠(是非奇异矩阵); ?()r A n =(是满秩矩阵) ?A 的行(列)向量组线性无关; ?齐次方程组0Ax =有非零解; ?n b R ?∈,Ax b =总有唯一解; ?A 与E 等价; 2. 对于n 阶矩阵A :**AA A A A E == 无条件恒成立; 3. 1**111**()()()()()()----===T T T T A A A A A A *** 111()()()T T T AB B A AB B A AB B A ---=== 4. 矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数和; 5. 方阵行列式性质。(1)||||;(2)||||;(3)|||||===T n A A A A AB A B λλ 注意:矩阵乘法不满足交换律。 3、矩阵的初等变换与线性方程组 1. 一个m n ?矩阵A ,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯一确定的:r m n E O F O O ??? = ???; 等价类:所有与A 等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵; 对于同型矩阵A 、B ,若()()r A r B A B = ? ; 2. 行最简形矩阵: ①、只能通过初等行变换获得; ②、每行首个非0元素必须为1; ③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0; 3. 初等行变换的应用:(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换) ①、若(,)(,)r A E E X ,则A 可逆,且1X A -=; ②、对矩阵(,)A B 做初等行变化,当A 变为E 时,B 就变成1A B -,即:1(,)(,)c A B E A B - ~ ; ③、求解线形方程组:对于n 个未知数n 个方程Ax b =,如果(,)(,)r A b E x ,则A 可逆,且1x A b -=; 4. 矩阵秩的基本性质: ①、0()min(,)m n r A m n ?≤≤; ②、()()T r A r A =; ③、若A B ,则()()r A r B =; ④、若P 、Q 可逆,则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===;(可逆矩阵不影响矩阵的秩) ⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+; ⑥、()()()r A B r A r B +≤+; ⑦、()min((),())r AB r A r B ≤;

线性代数公式总结大全

线性代数公式 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素,展开后有!n 项,可分解为2n 行列式; 2. 代数余子式的性质: ①、ij A 和ij a 的大小无关; ②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0; ③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为A ; 3. 代数余子式和余子式的关系:(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D : 将D 上、下翻转或左右翻转,所得行列式为1D ,则(1)2 1(1) n n D D -=-; 将D 顺时针或逆时针旋转90,所得行列式为2D ,则(1)2 2(1) n n D D -=-; 将D 主对角线翻转后(转置),所得行列式为3D ,则3D D =; 将D 主副角线翻转后,所得行列式为4D ,则4D D =; 5. 行列式的重要公式: ①、主对角行列式:主对角元素的乘积; ②、副对角行列式:副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -; ③、上、下三角行列式( = ◥◣):主对角元素的乘积; ④、 ◤和 ◢:副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -; ⑤、拉普拉斯展开式: A O A C A B C B O B ==、(1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积; ⑦、特征值; 6. 对于n 阶行列式A ,恒有:1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑,其中k S 为k 阶主子式; 7. 证明0A =的方法: ①、A A =-; ②、反证法; ③、构造齐次方程组0Ax =,证明其有非零解; ④、利用秩,证明()r A n <; ⑤、证明0是其特征值; 2、矩阵 8. A 是n 阶可逆矩阵: ?0A ≠(是非奇异矩阵);

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1. n 行列式共有2 n 个元素,展开后有!n 项,可分解为2n 行列式; 2. 代数余子式的性质: ①、ij A 和ij a 的大小无关; ②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0; ③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为A ; 3. 代数余子式和余子式的关系:(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D : 将D 上、下翻转或左右翻转,所得行列式为1D ,则(1)2 1 (1) n n D D -=-; 将D 顺时针或逆时针旋转90o ,所得行列式为2 D ,则(1)2 2 (1) n n D D -=-; 将D 主对角线翻转后(转置),所得行列式为3 D ,则3 D D =; 将D 主副角线翻转后,所得行列式为4 D ,则4 D D =; 5. 行列式的重要公式: ①、主对角行列式:主对角元素的乘积; ②、副对角行列式:副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -; ③、上、下三角行列式( = ◥◣):主对角元素的乘积; ④、 ◤和 ◢:副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -; ⑤、拉普拉斯展开式 : A O A C A B C B O B = =、 (1)m n C A O A A B B O B C = =-g ⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积; ⑦、特征值; 6. 对于n 阶行列式A ,恒有:1 (1) n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑,其中k S 为k 阶主子 式; 7. 证明0A =的方法: ①、A A =-;

②、反证法; ③、构造齐次方程组0Ax =,证明其有非零解; ④、利用秩,证明()r A n <; ⑤、证明0是其特征值; 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵: ?0A ≠(是非奇异矩阵); ?()r A n =(是满秩矩阵) ?A 的行(列)向量组线性无关; ? 齐次方程组0Ax =有非零解; ?n b R ?∈,Ax b =总有唯一解; ?A 与E 等价; ?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积; ?A 的特征值全不为0; ?T A A 是正定矩阵; ?A 的行(列)向量组是n R 的一组基; ?A 是n R 中某两组基的过渡矩阵; 2. 对于n 阶矩阵A :* * AA A A A E == 无条件恒成立; 3. 1* *1 11 ** ()()()()()()T T T T A A A A A A ----=== * * * 1 1 1 ()()()T T T AB B A AB B A AB B A ---=== 4. 矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数和; 5. 关于分块矩阵的重要结论,其中均A 、B 可逆: 若 12 s A A A A ?? ? ?= ? ?? ? O ,则: Ⅰ、1 2s A A A A =L ;

线性代数重要公式

0; 【线性代数重要公式】 1、行列式 1. n 行列式共有n 2 个元素,展开后有n !项,可分解为2n 行列式; 2. 代数余子式的性质: ① 、A j 和a j 的大小无关; ② 、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为 ③ 、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为 I A ; 代数余子式和余子式的关系:M ij= (-1)i j A ij A ij =(J )i j M ij 设n 行列式D : 将D 上、下翻转或左右翻转,所得行列式为 D ,则D i =(_1) (J D ; 将D 顺 时针或逆时针旋转90 ,所得行列式为D 2 ,则D 2= (-1)"TD ; 将D 主对角线翻转 后(转置),所得行列式为 D 3 ,则DD ; 将D 主副角线翻转后,所得行 列式为D 4 ,则D" D ; 行列式的重要公式: ① 、主对角行列式:主对角元素的乘积; ② 、副对角行列式:副对角元素的乘积 (-1) "("■I ) ; ③ 、上、下三角行列式(、二X ):主对角元素的乘积; ④、匚和丄:副对角元素的乘积(一1)"( T ; ⑥ 、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积; ⑦ 、特征值; 6. 对于n 阶行列式A ,恒有:-A Z 」(-1)k S k'njc ,其中S k 为k 阶主子式; k=t 7 7. 证明A =0的方法: ①、A=-A ; ② 、反证法; ③ 、构造齐次方程组Ax=O ,证明其有非零解; 3. 4. 5. ⑤、拉普拉斯展开式: =AB 、 = ^1)m - A B

④、利用秩,证明r (A):n ; 0;

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