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高考数学一轮复习解三角形题型归纳教案

高考数学一轮复习解三角形题型归纳教案
高考数学一轮复习解三角形题型归纳教案

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学科数学年级高三教材版本人教A版

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课题名称解三角形题型归纳总结复习课时计划 2 上课时间教学目标

同步教学知识内容

个性化学习问题解决

教学重点

教学难点

教学过程

教师活动

一、知识点复习

1、正弦定理及其变形

2(

sin sin sin

a b c

R R

A B C

===为三角形外接圆半径)

12sin,2sin,2sin

a R A

b R B

c R C

===

()(边化角公式)

2sin,sin,sin

222

a b c

A B C

R R R

===

()(角化边公式)

3::sin:sin:sin

a b c A B C

=

()

sin sin sin

(4),,

sin sin sin

a A a A

b B

b B

c C c C

===

2、正弦定理适用情况:

(1)已知两角及任一边

(2)已知两边和一边的对角(需要判断三角形解的情况)

已知a,b和A,求B时的解的情况:

如果sin A≥sin B,则B有唯一解;如果sin A1,则B无解.

3、余弦定理及其推论

222

222

222

2cos

2cos

2cos

a b c bc A

b a

c ac B

c a b ab C

=+-

=+-

=+-

222

222

222

cos

2

cos

2

cos

2

b c a

A

bc

a c b

B

ac

a b c

C

ab

+-

=

+-

=

+-

=

4、余弦定理适用情况: (1)已知两边及夹角; (2)已知三边。

5、常用的三角形面积公式 (1)高底??=?21

ABC S ; (2)B ca A bc C ab S ABC

sin 2

1

sin 21sin 21===?(两边夹一角)

6、三角形中常用结论

(1),,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边,两边之差小于第三边)

(2)sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中,即大边对大角,大角对大边) (3)在△ABC 中,A+B+C=π,所以sin(A+B)=sinC ;cos(A+B)=-cosC ;tan(A+B)=-tanC 。

2sin 2cos ,2cos 2sin C B A C B A =+=+

7、两角和与差公式、二倍角公式(略)

8、实际问题中的常用角

(1)仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下文的叫俯角(如图①)

(2)方位角

从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B 点的方位角为α(如图②)

注:仰角、俯角、方位角的区别是:三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的,而方位角是相对于正北方向而言的。

(3)方向角:相对于某一正方向的水平角(如图③) ①北偏东α即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向; ②北偏本α即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向;

③南偏本等其他方向角类似。

(4)坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④,角θ为坡角) 坡比:坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④,i 为坡比)

9、ΔABC 的面积公式

(1)

1

()2a a S a h h a =

表示边上的高;

(2)

111sin sin sin ()2224abc S ab C ac B bc A R R =

===为外接圆半径; (3)1

()()2S r a b c r =

++为内切圆半径。

二、典型例题

题型1 边角互化

[例1 ]在ABC ?中,若7:5:3sin :sin :sin =C B A ,则角C 的度数为 【解析】由正弦定理可得a:b:c=3:5:7,,令a 、b 、c 依次为3、5、7,则

cosC=2222a b c ab +-=222357235+-??=1

2

-

因为0C π,所以C=2

3

π

在△ABC 中,222

sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-,则A 的取值范围是

(A )(0,]6π

(B )[,)6π

π

(C )(0,]

(D )[,)3π

π

[例2 ] 若a 、b 、c 是ABC ?的三边,222222)()(c x a c b x b x f +-++=,则函数)(x f 的图象与x 轴【 】

A 、有两个交点

B 、有一个交点

C 、没有交点

D 、至少有一个交点 【解析】由余弦定理得2222cos b c a bc A +-=,所以

222()2cos f x b x bc A x c =++=2222(cos )cos bx c A c c A ++-,因为2cos A

1,所以

222cos c c A -0,因此()f x 0恒成立,所以其图像与X 轴没有交点。

题型2 三角形解的个数

[例3]在ABC ?中,分别根据下列条件解三角形,其中有两解的是【 】

A 、7=a ,14=b ,?=30A ;

B 、25=b ,30=c ,?=150

C ; C 、4=b ,5=c ,?=30B ;

D 、6=a ,3=b ,?=60B 。

题型3 面积问题

[例4] ABC ?的一个内角为120°,并且三边构成公差为4的等差数列,则ABC ?的面积为

【解析】设△ABC 的三边分别:x -4、x 、x +4,

∠C=120°,∴由余弦定理得:﹙x +4﹚2=﹙x -4﹚2+x2-2×﹙x -4﹚×x×cos120°,解得:

x=10

∴△ABC 三边分别为6、10、14。

113

sin 610153222

ABC

S

ab C ∴=

=???=

题型4 判断三角形形状

[例5] 在ABC ?中,已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B +?-=-?+,判断该三角形的形状。 【解析】把已知等式都化为角的等式或都化为边的等式。 方法一:22[sin()sin()][sin()sin()]a A B A B b A B A B --+=-+--

222cos sin 2cos sin a A B b B A ∴=

由正弦定理,即知22sin cos sin sin cos sin A A B B B A =

sin sin (sin cos sin cos )0A B A A B B ∴-=

sin 2sin 2A B ∴= 由0

2,22A B

π,得22A B =或22A B π=-

即ABC ?为等腰三角形或直角三角形

方法二:同上可得222cos sin 2cos sin a A B b B A =

由正、余弦定理,即得:2222222222b c a a c b a b b a bc ac

+-+-=

22222222()()a b c a b a c b ∴+-=+-

即22222()()0a b c a b ---=

a b ∴=或222c a b =+

即ABC ?为等腰三角形或直角三角形

【点拨】判断三角形形状问题,一是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为边与边之间的关系,通过因式分解等方法化简得到边与边关系式,从而判断出三角形的形状;(角化边)

二是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为角与角之间三角函数的关系,通过三角恒等变形以及三角形内角和定理得到内角之间的关系,从而判断出三角形的形状。(边化角)

1在△ABC 中,bCosA=acosB ,则三角形为( ) A 直角三角形 B C D 等边三角形

2在△ABC 中,若a2>b2+c2,则△ABC 为 ;若a2=b2+c2,则△ABC 为 ;若a2<b2+c2且b2<a2+c2且c2<a2+b2,则△ABC 为

3在△ABC 中,sinA=2cosBsinC ,则三角形为

题型5 正弦定理、余弦定理的综合运用

[例6]在ABC ?中,,,a b c 分别为角A ,B ,C 的对边,且sin sin sin ()A C p B p R +=∈且21

4

ac b =

(1)当5

,14

p b ==时,求,a c 的值;

(2)若角B 为锐角,求p 的取值范围。

【解析】(1)由题设并由正弦定理,得51,44a c ac +==,解得,11,4a c ==或1

,14

a c ==

(2)由余弦定理,

2222cos b a c ac B =+-=2222211

()22cos cos 22

a c ac ac B p

b b b B +--=--

即231cos 22p B =+,因为0cos 1B ,所以23

(,2)2p ∈,由题设知0p ,所以

6

22

p

题型6、解三角形的实际应用

如图,甲船以每小时302海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于1A 处时,乙船位于甲船的北偏西105方向的1B 处,此时两船相距20海里,当甲船航行20分钟到达2A 处时,乙船航行到甲船的北偏西120方向的2B 处,此时两船相距

102海里,问乙船每小时航行多少海里?

【解题思路】解决测量问题的过程先要正确作出图形,把实际问题中的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角.本题应先利用S vt =求出边长,再进行进一步分析.

[解析]如图,连结11A B ,由已知22102A B =,

1220

30210260A A =?=,

1221A A A B ∴=,

又12218012060A A B =-=∠,

122A A B ∴△是等边三角形,

1212102A B A A ∴==,

由已知,1120A B =,1121056045B A B =-=∠,

在121A B B △中,由余弦定理,222

12111212122cos 45B B A B A B A B A B =+-

222

20(102)2201022

=+-???

200=.12102B B ∴=. 因此,乙船的速度的大小为

102

6030220

?=(海里/小时). 答:乙船每小时航行302海里.

【点拨】解三角形时,通常会遇到两种情况:①已知量与未知量全部集中在一个三角形中,此时应直接利用正弦定理或余弦定理;②已知量与未知量涉及两个或几个三角形,这时需要选择条件足够的三角形优先研究,再逐步在其余的三角形中求出问题的解.

1B

2B 1A

2

A

120 105

三、课堂练习:

1、满足?=45A ,c=6,a=2的ABC ?的个数为m ,则m a 为

2、已知a=5,b=35,?=30A ,解三角形。

3、在ABC ?中,已知4=a cm ,x b =cm ,?=60A ,如果利用正弦定理解三角形有两解,则x 的取值范围是【 】 A 、4>x B 、x <0≤4

C 、4≤x ≤

3

3

8 D 、3

3

84<

4、在ABC ?中,若),(4

1222c b a S -+=则角C=

5、设R 是ABC ?外接圆的半径,且B b a C A R sin )2()sin (sin 222-=-,试求ABC ?面积的最大值。

6、在ABC ?中,D 为边BC 上一点,BD=33,135sin =B ,5

3

cos =∠ADC ,求AD 。

7、在ABC ?中,已知,,a b c 分别为角A ,B ,C 的对边,若

cos cos a B

b A

=

,试确定ABC ?形状。

8、在ABC ?中,,,a b c 分别为角A ,B ,C 的对边,已知

cos 2cos 2cos A C c a

B b

--=

(1)求

sin sin C

A

; (2)若1

cos ,2,4

B b ==求AB

C ?的面积。

课后作业

课后作业

1、在ABC ?中,若bc a c b c b a 3))((=-+++,且C B A cos sin 2sin =,则ABC ?是 A 、等边三角形

B 、钝角三角形

C 、直角三角形

D 、等腰直角三角形

2、△ABC 中若面积S=)(4

1

222c b a -+则角C=

3、清源山是国家级风景名胜区,山顶有一铁塔AB ,在塔顶A 处测得山下水平面上一点C 的俯角为α,在塔底B 处测得点C 的俯角为β,若铁塔的高为h m ,则清源山的高度为

m 。

A 、)

sin(cos sin βαβ

α-h

B 、)

sin(sin cos βαβ

α-h

C 、

)sin(sin sin βαβ

α-h

D 、

)

sin(cos cos βαβ

α-h

4、ABC ?的三个内角为A B C 、、,求当A 为何值时,cos 2cos 2

B C

A ++取得最大值,并求出这个最大值。

5、在ABC ?中,,,a b c 分别为角A ,B ,C 的对边,且满足sin cos c A a C = (1)求角C 的大小

(2)求3sin cos()4

A B π

-+的最大值,并求取得最大值时角A 、B 的大小。

课后记本节课教学计划完成情况:照常完成□提前完成□延后完成□_____________________________

学生的接受程度:完全能接受□部分能接受□不能接受□________________________________

学生的课堂表现:很积极□比较积极□一般□不积极□________________________________

学生上次作业完成情况:数量____% 完成质量____分存在问题 ______________________________ 配合需求:家长___________________________________________________________________________ 学管师_________________________________________________________________________ 备

提交时间教研组长审批家长签名

第十一章三角形全章教学设计

三角形的边

检测练习一、如图,在三角形ABC中, (1)AB+BC AC AC+BC AB AB+AC BC (2)假设一只小虫从点B出发,沿三角形的边爬到点C, 有路线。路线最近,根据是:, 于是有:(得出的结 论)。 (3)下列下列长度的三条线段能否构成三角形,为什么? ①3、4、8 ②5、6、11 ③5、6、10 研读三、认真阅读课本认真看课本( P64例题,时间:5分钟) 要求:(1)、注意例题的格式和步骤,思考(2)中为什么要分情况讨论。 (2)、对这例题的解法你还有哪些不理解的? (3)、一边阅读例题一边完成检测练习三。 检测练习二 9、一个等腰三角形的周长为28cm.①已知腰长是底边长的3倍,求各边的长; ②已知其中一边的长为6cm,求其它两边的长.(要有完整的过程啊!) 解: (三)在研读的过程中,你认为有哪些不懂的问题? 四、归纳小结 (一)这节课我们学到了什么?(二)你认为应该注意什么问题? 五、强化训练 【A】组 1、下列说法正确的是 (1)等边三角形是等腰三角形 (2)三角形按边分类课分为等腰三角形、等边三角形、不等边三角形 (3)三角形的两边之差大于第三边 (4)三角形按角分类应分锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 其中正确的是() A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 2、一个不等边三角形有两边分别是 3、5另一边可能是() A、1 B、2 C、3 D、4 3、下列长度的各边能组成三角形的是() A、3cm、12cm、8cm B、6cm、8cm、15cm 、3cm、5cm D、6.3cm、6.3cm、12cm 【B】组 4、已知等腰三角形的一边长等于4,另一边长等于9,求这个三角形的周长。 5、已知三角形的一边长为5cm,另一边长为3cm.则第三边的长取值范围是多少? 【C】组(共小1-2题) 6、已知三角形的一边长为5cm,另一边长为3cm.则第三边的长取值范围是。 小方有两根长度分别为5cm、8cm的游戏棒,他想再找一根,使这三根游戏棒首尾相连能搭成一个三角形. (1)你能帮小方想出第三根游戏棒的长度吗?(长度为正整数) (2)想一想:如果已知两边,则构成三角形的第三边的条件是什么?

(完整版)解三角形专题题型归纳

《解三角形》知识点、题型与方法归纳 一、知识点归纳(★☆注重细节,熟记考点☆★) 1.正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径) 变式:12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===()(边化角公式) 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===()(角化边公式) 3::sin :sin :sin a b c A B C =() sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2.正弦定理适用情况: (1)已知两角及任一边; (2)已知两边和一边的对角(需要判断三角形解的情况). 3.余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222 222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-= +-=+-= 4.余弦定理适用情况: (1)已知两边及夹角; (2)已知三边. 注.解三角形或判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用),统一成边的形式或角的形式. 5.常用的三角形面积公式 (1)高底??= ?2 1ABC S ; (2)()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 (两边夹一角); 6.三角形中常用结论 (1),,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边,两边之差小于第三边) (2)sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中,即大边对大角,大角对大边) (3)在ABC ?中,A B C π++=,所以 ①()sin sin A B C +=;②()cos cos A B C +=-; ③()tan tan A B C +=-;④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22 A B C += 7.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角

解三角形全章教案(整理)

数学5 第一章 解三角形 第1课时 课题: §1.1.1 正弦定理 ●教学目标 知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法;会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作。 ●教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 如图1.1-1,固定?ABC 的边CB 及∠B ,使边AC 绕着顶点C 转动。 A 思考:∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系? 显然,边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来? B C Ⅱ.讲授新课 [探索研究] (图1.1-1) 在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角与边的等式关系。如图1.1-2,在Rt ?ABC 中,设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的 定 义 , 有 sin a A =, sin b B =,又s i n 1c C == , A 则sin sin sin a b c c A B C = = = b c 从而在直角三角形ABC 中, sin sin sin a b c = = C a B (图1.1-2) 思考:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立? (由学生讨论、分析) 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况: 如图1.1-3,当?ABC 是锐角三角形时,设边AB 上的高是CD ,根据任意角三角函数的定义,有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a b A B = , C 同理可得sin sin c b C B = , b a 从而 sin sin a b A B = sin c C = A c B

解三角形专题题型归纳

解三角形专题题型归纳

《解三角形》知识点、题型与方法归纳 一、知识点归纳(★☆注重细节,熟记考点☆★) 1.正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径) 变式:12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===()(边化角公式) 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===()(角化边公式) 3::sin :sin :sin a b c A B C =() sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2.正弦定理适用情况: (1)已知两角及任一边; (2)已知两边和一边的对角(需要判断三角形解的情况). 3.余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-=+-=+-= 4.余弦定理适用情况: (1)已知两边及夹角; (2)已知三边. 注.解三角形或判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用),统一成边的形式或角的形式. 5.常用的三角形面积公式 (1)高底??=?2 1ABC S ; (2)()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 (两边夹一角); 6.三角形中常用结论 (1),,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边,两边之差小于第三边) (2)sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中,即大边对大角,大角对大边) (3)在ABC ?中,A B C π++=,所以 ①()sin sin A B C +=;②()cos cos A B C +=-; ③()tan tan A B C +=-;④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22 A B C += 7.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角

解三角形题型总结原创

解三角形题型总结 ABC ?中的常见结论和定理: 一、 内角和定理及诱导公式: 1.因为A B C π++=, 所以sin()sin ,cos()cos , tan()tan A B C A B C A B C +=+=-+=-; sin()sin ,cos()cos ,tan()tan A C B A C B A C B +=+=-+=-; sin()sin ,cos()cos ,tan()tan B C A B C A B C A +=+=-+=- 因为,22A B C π++= 所以sin cos 22A B C +=,cos sin 22 A B C +=,………… 2.大边对大角 3.在△ABC 中,熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC; (2)A 、B 、C 成等差数列的充要条件是B=60°; (3)△ABC 是正三角形的充要条件是A 、B 、C 成等差数列且a 、b 、c 成等比数列.

四、面积公式: (1)12a S ah = (2)1()2 S r a b c =++(其中r 为三角形内切圆半径) (3)111sin sin sin 222 S ab C bc A ac B === 五、 常见三角形的基本类型及解法: (1)已知两角和一边(如已知,,A B 边c ) 解法:根据内角和求出角)(B A C +-=π; 根据正弦定理 R C c B b A a 2sin sin sin ===求出其余两边,a b (2)已知两边和夹角(如已知C b a ,,) 解法:根据余弦定理2 2 2 2cos c a b ab C =+-求出边c ; 根据余弦定理的变形bc a c b A 2cos 2 22-+=求A ; 根据内角和定理求角)(C A B +-=π. (3)已知三边(如:c b a ,,) 解法:根据余弦定理的变形bc a c b A 2cos 2 22-+=求A ; 根据余弦定理的变形ac b c a B 2cos 2 22-+=求角B ; 根据内角和定理求角)(B A C +-=π (4)已知两边和其中一边对角(如:A b a ,,)(注意讨论解的情况) 解法1:若只求第三边,用余弦定理:222 2cos c a b ab C =+-; 解法2:若不是只求第三边,先用正弦定理R C c B b A a 2sin sin sin ===求B (可能出现一解,两解或无解的情况,见题型一); 再根据内角和定理求角)(B A C +-=π;. 先看一道例题: 例:在ABC ?中,已知0 30,32,6===B c b ,求角C 。(答案:045=C 或0135)

高中数学必修5第一章解三角形全章教案整理

课题: §1.1.1正弦定理 如图1.1-1,固定?ABC 的边CB 及∠B ,使边AC 绕着顶点C 转动。 思考:∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系? 在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中, 角与边的等式关系。 从而在直角三角形ABC 中,sin sin sin a b c A B C == 思考:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立? 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况: 如图1.1-3,当?ABC 是锐角三角形时,设边AB 上的高是CD ,根据任意角三角函数的定义,有CD=sin sin a B b A =,则 sin sin a b A B =, C 同理可得 sin sin c b C B =, b a 从而sin sin a b A B =sin c C = A c B 从上面的研探过程,可得以下定理 正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即 sin sin a b A B =sin c C = [理解定理] (1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即存在正数k 使sin a k A =,sin b k B =,sin c k C =; (2)sin sin a b A B =sin c C =等价于sin sin a b A B =,sin sin c b C B =,sin a A =sin c C 从而知正弦定理的基本作用为: ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如sin sin b A a B =; ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如sin sin a A B b =。 一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形。 例1.在?ABC 中,已知045A =,075B =,40a =cm ,解三角形。 例2.在?ABC 中,已知20=a cm ,202b =cm ,045A =,解三角形。

解三角形题型汇总.docx

《解三角形》知识点归纳及题型汇总 1、①三角形三角关系: A+B+C=180°; C=180°— (A+B); ② . 角平分线性质 : 角平分线分对边所得两段线段的比等于角两边之比. ③ . 锐角三角形性质:若A>B>C则60 A 90 ,0 C 60 . 2、三角形三边关系: a+b>c; a-b

的外接圆的半径,则有 a b c 2R .sin sin sin C 5、正弦定理的变形公式: ①化角为边: a2Rsin, b2Rsin, c2Rsin C ; ②化边为角: sin a, sin b, sin C c ; 2R2R2R ③ a : b : c sin:sin:sin C ; ④a b c a b c=2R sin sin sin C sin sin sin C 6、两类正弦定理解三角形的问题: ①已知两角和任意一边,求其他的两边及一角. ②已知两角和其中一边的对角,求其他边角. 7、三角形面积公式: S C1 bc sin1 ab sin C1 ac sin.=2RsinAsinBsinC=abc 2 2224R = r (a b c) =p( p a)( p b)( p c) ( 海伦公式 ) 2 8、余弦定理:在 C 中, a2b2c22bc cos,b2a2c22ac cos , c2a2b22ab cosC .9、余弦定理的推论: cos b2c2 a 2, cos a2c2b2, cosC a2b2c2. 2bc2ac2ab 10、余弦定理主要解决的问题: ①已知两边和夹角,求其余的量. ②已知三边求角

高中数学解三角形题型完整归纳

高中数学解三角形题型目录一.正弦定理 1.角角边 2.边边角 3.与三角公式结合 4.正弦定理与三角形增解的应对措施 5.边化角 6.正弦角化边 二.余弦定理 1.边边边 2.边角边 3.边边角 4.与三角公式结合 5.比例问题 6.余弦角化边 7.边化余弦角 三.三角形的面积公式 1.面积公式的选用 2.面积的计算 3.正、余弦定理与三角形面积的综合应用 四.射影定理 五.正弦定理与余弦定理综合应用 1.边角互化与三角公式结合 2.与平面向量结合 3.利用正弦或余弦定理判断三角形形状 4.三角形中的最值问题 (1)最大(小)角 (2)最长(短)边 (3)边长或周长的最值

(4)面积的最值 (5)有关正弦或余弦或正切角等的最值 (6)基本不等式与余弦定理交汇 (7)与二次函数交汇 六.图形问题 1.三角形内角之和和外角问题 2.三角形角平分线问题 3.三角形中线问题 4.三角形中多次使用正、余弦定理 5.四边形对角互补与余弦定理的多次使用 6.四边形与正、余弦定理 六.解三角形的实际应用 1.利用正弦定理求解实际应用问题 2.利用余弦定理求解实际应用问题 3.利用正弦和余弦定理求解实际应用问题 一.正弦定理 1.角角边 ?=?=?= 例.在中,解三角形 ABC A B a 30,45,2,. ?=?=?== 练习1.在中则 ABC A B a c ,30,45, . 练习2.在中,已知45,,求 ?=?=?= 30. ABC C A a b 2.边边角 例中,解这个三角形?===? ABC a .45,. 练习1中,则 ?==+== . 1,2,sin ABC a b A C B C 练习2.中则 ?===?= ,3,60,_____ ABC c b C A

解三角形(复习课)教学设计

解三角形(专题课)教学设计 一、教材分析 本节课是高中数学课本必修5第一章《解三角形》,而在本章中,学生应该在已有的知识基础上,通过对任意三角形的边角关系的探究,发现并掌握三角形中的边长与角度之间的关系数量关系,并认识到运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。本章知识是初中解直角三角形的继续,通过本章内容的学习,学生能够系统地掌握解任意三角形的完整实施。可以从数量的角度认识三角形,使三角形成为研究几何问题的重要工具。是中学许多数学知识的交汇点,如向量、平面几何、三角函数、解析几何、立体几何等。 二、学情分析 学生已经学习并掌握了任意角及任意角的三角函数,诱导公式、三角恒等变换、正余弦定理等相关的知识。学习本节内容是对以上知识内容的综合应用,尤其是对正弦定理与余弦定理的熟练运用。通过解三角形的方法解决有关的实际问题,可以培养学生的数学应用意识,提高学生运用数学知识解决实际问题的能力,使学生逐渐形成数学的思维方式去解决问题、认识世界的意识。 三、教学目标 知识与技能:引导学生准确理解正弦定理、余弦定理、三角形面积公式,会对正余弦定理会进行简单的变形;引导学生通过观察,推导,比较等出一些结论,如射影定理,三角形边角之间的关系;会运用所学知识解三角形以及与三角形有关的实际问题。 过程与方法:引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一半归纳出正余弦定理以及三角形面积公式等结论。培养学生的创新意识,观察能力,总结归纳的逻辑思维能力。让学生通过学习能体会用向量作为数形结合的工具,将几何问题转化为代数问题的数学思想方法。 情感态度与价值观:面向全体学生,创造平等的教学氛围,进行高效课堂教学,激情教育,通过学生之间,师生之间的交流与讨论、合作与评价,调动学生的主动性和积极性,让学生体验学习数学的的乐趣,感受成功的喜悦,增强学生学好数学的信心,激发学生学习的兴趣。 四、教学重难点 重点:正弦定理、余弦定理的内容及基本应用。 难点:正弦定理、余弦定理的内容及基本应用;正余弦定理的变形应用;用所学知识解决解三角形问题的题型归纳总结。 五、课堂结构设计 根据教材的内容和编排的特点,为更好有效地突出重点,攻破难点,以学生的发展为本,遵照学生的认知规律,本节主要以教师为主导,学生为主体,交流讨论,互助学习为主线的指导思想,采用“6+1”高效课堂教学模式,在教师的启发引导下,学生通过独立自主思考探究、同学之间相互交流讨论合作学习为前提,以“熟练运用正余弦定理解三角形”为基本

解三角形专题题型归纳

《解三角形》知识点、题型与方法归纳 1.正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径) 变式:12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===()(边化角公式) 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===()(角化边公式) 3::sin :sin :sin a b c A B C =() sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2.正弦定理适用情况: (1)已知两角及任一边; (2)已知两边和一边的对角(需要判断三角形解的情况). 3.余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222 222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-= +-=+-= 4.余弦定理适用情况: (1)已知两边及夹角; (2)已知三边. 注.解三角形或判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用),统一成边的形式或角的形式. 5.常用的三角形面积公式 (1)高底??= ?2 1ABC S ; (2)()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 (两边夹一角); 6.三角形中常用结论 (1),,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边,两边之差小于第三边) (2)sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中,即大边对大角,大角对大边) (3)在ABC ?中,A B C π++=,所以 ①()sin sin A B C +=;②()cos cos A B C +=-; ③()tan tan A B C +=-;④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22A B C += 解三角形有用的结论

必修5第一章《解三角形》全章教案

数学5 第一章 解三角形 课题: §1.1.1 正弦定理 授课类型:新授课 ●教学目标 知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法;会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作。 情感态度与价值观:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力;培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力,通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 如图1.1-1,固定?ABC 的边CB 及∠B ,使边AC 绕着顶点C 转动。 A 思考:∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系? 显然,边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来? C B Ⅱ.讲授新课 [探索研究] (图1.1-1) 在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角与边的等式关系。如图1.1-2,在Rt ?ABC 中,设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义,有sin a A c =,sin b B c =,又sin 1c C c ==, A 则 sin sin sin a b c c A B C = = = b c 从而在直角三角形ABC 中, sin sin sin a b c A B C = = C a B (图1.1-2) 思考:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立? (由学生讨论、分析) 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况: 如图1.1-3,当?ABC 是锐角三角形时,设边AB 上的高是CD ,根据任意角三角函数的定义,有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a b A B = , C 同理可得 sin sin c b C B = , b a

【高中数学】解三角形的知识总结和题型归纳

解三角形的知识总结和题型归纳 一、知识必备: 1.直角三角形中各元素间的关系: 在△ABC 中,C =90°,AB =c ,AC =b ,BC =a 。(1)三边之间的关系:a 2+b 2=c 2。(勾股定理)(2)锐角之间的关系:A +B =90°;(3)边角之间的关系:(锐角三角函数定义) sin A =cos B =c a ,cos A =sin B =c b ,tan A =b a 。 2.斜三角形中各元素间的关系: 在△ABC 中,A 、B 、C 为其内角,a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。(1)三角形内角和:A +B +C =π。 (2)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===(R 为外接圆半径)(3)余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2=b 2+c 2-2bc cos A ;b 2=c 2+a 2-2ca cos B ;c 2=a 2+b 2-2ab cos C 。 3.三角形的面积公式: (1)?S = 21ah a =21bh b =21 ch c (h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高);(2)?S =21ab sin C =21bc sin A =2 1 ac sin B ; 4.解三角形:由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少有一个是边)求其他未知元素的问题叫做解三角形.广义地,这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面 【高中数学】

高考中《解三角形》题型归纳

1 《解三角形》题型归纳 【题型归纳】 题型一正弦定理、余弦定理的直接应用 例1ABC ?的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2sin()8sin 2B A C +=. (1)求cos B (2)若6a c +=,ABC ?面积为2,求b . 【答案】(1)15 cos 17B =(2)2b =. 【解析】由题设及A B C π++=得2sin 8sin 2B B =,故sin 4(1cos )B B =-. 上式两边平方,整理得217cos 32cos 150B B -+=, 解得cos 1B =(舍去),15 cos 17B =. (2)由15cos 17B =得8sin 17B =,故1 4 sin 217ABC S ac B ac ?==. 又2ABC S ?=,则17 2ac =. 由余弦定理及6a c +=得22222cos ()2(1cos ) b a c ac B a c ac B =+-=+-+17 15 362(14217=-??+=. 所以2b =. 【易错点】二倍角公式的应用不熟练,正余弦定理不确定何时运用 【思维点拨】利用正弦定理列出等式直接求出 例2ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos b B a C c A =+,则B =.【答案】π3【解析】1 π 2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23B B A C C A A C B B B =+=+=?=?= .

2【易错点】不会把边角互换,尤其三角恒等变化时,注意符号。 【思维点拨】边角互换时,一般遵循求角时,把边换成角;求边时,把角转换成边。 例3在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,若b =1,c =3,C =23 π,则S △ABC =________.【答案】34 【解析】因为c >b ,所以B <C ,所以由正弦定理得b sin B =c sin C ,即1sin B =3sin 2π3=2,即sin B =12,所以B =π6,所以A =π-π6-2π3=π6.所以S △ABC =12bc sin A =12×3×12=34 .【易错点】大边对大角,应注意角的取值范围 【思维点拨】求面积选取公式时注意,一般选取已知角的公式,然后再求取边长。题型二利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状 例1在ABC ?中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且,,A B C 成等差数列 (1)若2b c ==,求ABC ?的面积 (2)若sin ,sin ,sin A B C 成等比数列,试判断ABC ?的形状 【答案】(1)32(2)等边三角形 【解析】(1)由A ,B ,C 成等差数列,有2B =A +C (1) 因为A ,B ,C 为△ABC 的内角,所以A +B +C =π.(2) 得B =3π, b 2=a 2+ c 2-2accosB (3)所以3 cos 44)32(22πa a -+=解得4=a 或2-=a (舍去)所以323 sin 2421sin 21=??==?πB ac s ABC (2)由a ,b ,c 成等比数列,有b 2=ac (4) 由余弦定理及(3),可得b 2=a 2+c 2-2accosB =a 2+c 2-ac 再由(4),得a 2+c 2-ac =ac ,即(a -c )2=0。因此a =c 从而A =C (5) 由(2)(3)(5),得A =B = C =3 π

第11章三角形全章教案资料

第十一章三角形 教材内容 本章主要内容有三角形的有关线段、角,多边形及内角和,镶嵌等。 三角形的高、中线和角平分线是三角形中的主要线段,与三角形有关的角有内角、外角。教材通过实验让学生了解三角形的稳定性,在知道三角形的内角和等于1800的基础上,进行推理论证,从而得出三角形外角的性质。接着由推广三角形的有关概念,介绍了多边形的有关概念,利用三角形的有关性质研究了多边形的内角和、外角和公式。这些知识加深了学生对三角形的认识,既是学习特殊三角形的基础,也是研究其它图形的基础。最后结合实例研究了镶嵌的有关问题,体现了多边形内角和公式在实际生活中的应用. 教学目标 〔知识与技能〕 1、理解三角形及有关概念,会画任意三角形的高、中线、角平分线; 2、了解三角形的稳定性,理解三角形两边的和大于第三边,会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形; 3、会证明三角形内角和等于1800,了解三角形外角的性质。 4、了解多边形的有关概念,会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题。 5、理解平面镶嵌,知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面,并能运用它们进行简单的平面镶嵌设计。 〔过程与方法〕 1、在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展学生的合情推理能力,逐步养成数学推理的习惯; 2、在灵活运用知识解决有关问题的过程中,体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法,进一步培说理和进行简单推理的能力。 〔情感、态度与价值观〕 1、体会数学与现实生活的联系,增强克服困难的勇气和信心; 2、会应用数学知识解决一些简单的实际问题,增强应用意识; 3、使学生进一步形成数学来源于实践,反过来又服务于实践的辩证唯物主义观点。 重点难点 三角形三边关系、内角和,多边形的外角和与内角和公式,镶嵌是重点;三角形内角和等于1800的证明,根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形及简单的平面镶嵌设计是难点。 课时分配 11.1与三角形有关的线段……………………………………… 2课时 11.2 与三角形有关的角………………………………………… 2课时 11.3多边形及其内角和………………………………………… 2课时 本章小结………………………………………………………… 2课时

必修五解三角形题型归纳

一. 构成三角形个数问题 1在ABC中,已知a x,b 2,B 45°,如果三角形有两解,则x的取值范围是( ) A. 2 x 2 2 B. x 2,2 C . 2 x 2 D. 0x2 2 ?如果满足ABC 60 , AC 12 , BC k的厶ABC恰有一个,那么k的取值范围是 3.在ABC中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是() A* CJ =S J =J = 45=B. a = 60 ;b -= 81; B = = 60°+J C” a —7 > b —5j八眇 D ?。二14 , b - 20, "4亍二. 求边长问题 4.在ABC 中,角A, B,C所对边a,b,c,若a 3,C1200,ABC的面积S 15血4 则c() A. 5 B .6 C . V39D7 5.在△ ABC 中,a1,B 450,S ABC 2,则b = 三. 求夹角冋题 6.在ABC中,ABC -,AB4V2, BC 3,则sin BAC( ) v'10V103^10<5 A. 10 B5 C . 10D5

7 .在厶ABC 中,角A , B , C 所对的边分别a,b,C,S 为表示△ ABC 的面积,若 1 2 2 2 bcosA csinC, S (b c a ),则/ B=( 4 B . 60° C . 45° D . 30° 四. 求面积问题 &已知△ ABC 中,内角A , B, C 所对的边长分别为 a,b,c .若 a ZbcosAB -, c 1 ,则 △ ABC 的面积等于 ( ) g 6 4 2 9.锐角 ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、 1 c ,已知 cos2C - 4 ([)求 sinC 的值; (□)当 a 2, 2si nA si nC 时,求 b 的长及 ABC 的面积. 10?如图,在四边形 ABCD 中,AB 3,BC 7.3,CD 14, BD 7, BAD 120 a cosB A. 90° (1 )求AD 边的长; (2)求ABC 的面积.

(完整版)解三角形教案(精简版)

高一数学必修5第一章解三角形教学设计 ●教学过程 [理解定理] 正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即 sin sin a b A B =sin c C = (1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即存在正数k 使sin a k A =,sin b k B =,sin c k C =; (2)sin sin a b A B =sin c C =等价于sin sin a b A B =,sin sin c b C B =,sin a A =sin c C 从而知正弦定理的基本作用为: ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如sin sin b A a B =; ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如sin sin a A B b = 。 一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形。 [例题分析] 例题 .在ABC ?中,已知3=a , 2=b , B=450.求A 、C 和c. 解:004590B =++; 或sin a k A =,sin b k B =,sin c k C =(0)k > (2)正弦定理的应用范围: ①已知两角和任一边,求其它两边及一角; ②已知两边和其中一边对角,求另一边的对角。

解三角形常见题型归纳

解三角形常见题型归纳 正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具,其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。 题型之一:求解斜三角形中的基本元素 指已知两边一角(或二角一边或三边),求其它三个元素问题,进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题. 1. 在ABC ?中,AB=3,AC=2,BC=10,则AB AC ?=u u u r u u u r ( ) A .23- B .32- C .32 D .2 3 【答案】D 2.(1)在?ABC 中,已知032.0=A ,081.8=B ,42.9=a cm ,解三角形; (2)在?ABC 中,已知20=a cm ,28=b cm ,040=A ,解三角形(角度精确到01,边长精确到1cm )。 3.(1)在?ABC 中,已知=a c 060=B ,求b 及A ; (2)在?ABC 中,已知134.6=a cm ,87.8=b cm ,161.7=c cm ,解三角形 4(2005年全国高考江苏卷) ABC ?中,3 π = A ,BC =3,则ABC ?的周长为( ) A .33sin 34+??? ? ? + πB B .36sin 34+??? ? ? +πB C .33sin 6+??? ? ? + πB D .36sin 6+??? ? ? +πB 分析:由正弦定理,求出b 及c ,或整体求出b +c ,则周长为3+b +c 而得到结果.选(D). 5 (2005年全国高考湖北卷) 在ΔABC 中,已知6 6 cos ,364== B AB ,A C 边上的中线B D =5,求sin A 的值. 分析:本题关键是利用余弦定理,求出AC 及BC ,再由正弦定理,即得sin A . 解:设E 为BC 的中点,连接DE ,则DE //AB ,且3 6221== AB DE ,设BE =x 在ΔBDE 中利用余弦定理可得:BED ED BE ED BE BD cos 22 2 2 ?-+=, x x 6636223852??++ =,解得1=x ,3 7 -=x (舍去) 故BC =2,从而3 28 cos 2222= ?-+=B BC AB BC AB AC ,即3212=AC 又630sin =B ,

《解三角形》常见题型总结

《解三角形》常见题型总结 1、1正弦定理和余弦定理 1、1、1正弦定理 【典型题剖析】 考察点1:利用正弦定理解三角形例1 在ABC中,已知 A:B:C=1:2:3,求a :b :c、 【点拨】 本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化,利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。解: 【解题策略】 要牢记正弦定理极其变形形式,要做到灵活应用。例2在ABC 中,已知c=+,C=30,求a+b的取值范围。 【点拨】 此题可先运用正弦定理将a+b表示为某个角的三角函数,然后再求解。解:∵C=30,c=+,∴由正弦定理得:∴ a=2(+)sinA,b=2(+)sinB=2(+)sin(150-A)、 ∴a+b=2(+)[sinA+sin(150-A)]=2(+)2sin75cos(75-A)= cos(75-A)① 当75-A=0,即A=75时,a+b取得最大值=8+4;② ∵A=180-(C+B)=150-B,∴A<150,∴0<A<150,∴-75<75-A<75, ∴cos75<cos(75-A)≤1,∴> cos75==+、综合①②可得a+b的

取值范围为(+,8+4>考察点2:利用正弦定理判断三角形形状例3在△ABC中,tanB=tanA,判断三角形ABC的形状。 【点拨】 通过正弦定理把边的关系转化为角的关系,利用角的关系判断△ABC的形状。解:由正弦定理变式a=2RsinA,b=2RsinB得:,即,,、∴为等腰三角形或直角三角形。 【解题策略】 “在△ABC中,由得∠A=∠B”是常犯的错误,应认真体会上述解答过程中“∠A=∠B或∠A+∠B=”的导出过程。例4在△ABC 中,如果,并且B为锐角,试判断此三角形的形状。 【点拨】 通过正弦定理把边的形式转化为角的形式,利用两角差的正弦公式来判断△ABC的形状。解:、又∵B为锐角,∴B= 45、由由正弦定理,得,∵代入上式得:考察点3:利用正弦定理证明三角恒等式例5在△ABC中,求证、 【点拨】 观察等式的特点,有边有角要把边角统一,为此利用正弦定理将转化为、证明:由正弦定理的变式得:同理 【解题策略】 在三角形中,解决含边角关系的问题时,常运用正弦定理进行边角互化,然后利用三角知识去解决,要注意体会其中的转化

高中数学必修解三角形教案

高中数学必修解三角形 教案 WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】

第2章 解三角形 正弦定理 教学要求:通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法;会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题. 教学重点:正弦定理的探索和证明及其基本应用. 教学难点:已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数. 教学过程: 一、复习准备: 1. 讨论:在直角三角形中,边角关系有哪些?(三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数)如何解直角三角形?那么斜三角形怎么办? 2. 由已知的边和角求出未知的边和角,称为解三角形. 已学习过任意三角形的哪些边角关系?(内角和、大边对大角) 是否可以把边、角关系准确量化? →引入课题:正弦定理 二、讲授新课: 1. 教学正弦定理的推导: ①特殊情况:直角三角形中的正弦定理: sin A =c a sin B =c b sin C =1 即c = sin sin sin a b c A B C == . ② 能否推广到斜三角形? (先研究锐角三角形,再探究钝角三角形) 当?ABC 是锐角三角形时,设边AB 上的高是CD ,根据三角函数的定义,有sin sin CD a B b A ==,则sin sin a b A B =. 同理,sin sin a c A C = (思考如何作高?),从而 sin sin sin a b c A B C == . ③*其它证法:证明一:(等积法)在任意斜△ABC 当中S △ ABC = 111 sin sin sin 222 ab C ac B bc A ==.

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