等差数列和等比数列应用题

等差数列和等比数列应用题

学习目标：1.能在具体情境中，发现等差或等比关系，能用相关知识解决问题。

2.培养学生分析问题和解决问题的能力。

一．问题情境：

n :

n n n 1.等差数列的前项和S

等比数列的前项和S ：

2.21一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面一层扑了片瓦片，往下面每一层多一片，斜面上共铺了19层瓦片，共扑了______片瓦.

3.2381_______.

一个七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的倍，一共

有盏灯，则底层的灯的盏数是 二．例题精讲. 例1.用分期付款的方式购买家电一件，价为1150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%，若交付150元后的每一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家用电器实际花费多少钱？

例2.某地区荒山2200亩，从1995年开始每年春季在荒山植树造林，第一年植树100亩，以后每一年比上一年多植树50亩.

（1）若所植树全部都成活，则到哪一年可将荒山全部绿化?

（2）若每亩所植树苗的木材量为2立方米，每年树木木材量的自然增长率为20%，那么全部绿化后的那一年年底，该山木材总量为S ，求S 的表达式.

（3）若1.28≈4.3，计算S (精确到1立方米).

例题3.某地今年年初有居民住房面积为a m2，其中需要拆除的旧房面积占了一半.当地有关部门决定以当年年初住房面积的10%的住房增长率建设新住房，同时每年拆除x m2的旧住房，又知该地区的人口年增长率为4.9‰.

(1)如果10年后该地的人均住房面积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房面积x

是多少？

(2)依照（1）的拆房速度，共需多少年才能拆除所有需要拆除的旧住房？

1.一个热气球在第一分钟上升了25m的高度，在以后，它每分钟上升的高度是它前一分钟上升高度的80%，这个热气球上升的高度能超过125m吗？说明理由.

2.某人年初向银行贷款10万元用于购房.

（Ⅰ）如果他向建设银行贷款，年利率为5%，且这笔款分10次等额归还（不计复利），每年一次，并从借后次年年初开始归还，问每年应付多少元？

（Ⅱ）如果他向工商银行贷款，年利率为4%，要按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息），仍分10次等额归还，每年一次，每年应还多少元？

四．拓展题.有一则趣题：一牧羊人赶着一群羊通过36关口，每过一个关口，守关人将拿走当时羊的一半，然后退还一只，过完这些关口后，牧羊人只剩2只羊，问牧羊人原来赶了多少只羊？

等差数列和等比数列的总结与联系

等差数列和等比数列的综合及其联系 课题设计背景： 数列是反映自然规律的基本数学模型之一。而等差数列和等比数列是学生必须掌握的两种基本数学模型，研究等差数列的通项、性质以及求和公式，并用类比的方法对等比数列进行研究是课程标准的教学要求。 课题设计目标： （1）掌握等差数列的通项公式及其前n项和公式； （2）掌握等差数列的通项公式及其前n项和公式；体验用类比的思想方法对等差数列和等比数列进行研究的活动。

例题分析： 1、已知(), f x = 利用课本推导等差数列前n 项和的公式的方法，求和： (5)(4)(3)...(5)f f f f f -+-+-+++的值 2、已知公差不为零的等差数列{n a }中，236,,a a a 组成等比数列的连续三项，求公比q 3、已知等差数列{}n a 的公差和等比数列{}n b 的公比都是11441010,1,,,;d d a b a b a b ≠=== （1）求1a 和d 的值；（2）16b 是不是数列{}n a 中的项，为什么？ （二）等差数列和等比数列之间的转化 结论： （1）{}n a 成等差数列，则{}(0,1)n a c c c >≠成等比数列； （2）正项数列{}n a 成等比数列，则{}log (0,1)c n a c c >≠成等差数列。类比可结合上述结论将等比数列转化为等差数列，再还原成等比数列写出有关结论。 例题分析： 1、 已知数列)}({* N n a n ∈是一个以(0)q q >为公比，以11(0)a a >为首项的等比数列，求 12lg lg ...lg n a a a +++ 2、 若数列)}({* N n a n ∈是等差数列，则有数列*123......,()n n a a a a b n N n ++++= ∈ 也是等差数列；类比上述性质，相应地：若数列)}({* N n c n ∈是等比数列，且0>n c ，则 有数列*_________________,()n d n N =∈也是等比数列。 3、 设)}({* N n a n ∈是等差数列，12n a n b ?? = ? ?? ，已知123123211 ,,88 b b b b b b ++= =求数列)}({*N n a n ∈的通项公式。 （三）学法总结： （四）课后反思：

14等差与等比数列综合

江苏省2014届一轮复习数学试题选编14：等差与等比数列综合 填空题 1 ．数列{}n a 中,12a =,1n n a a cn +=+(c 是常数,123n =，，，),且123a a a ，，成公比不为1的等比数列, 则{}n a 的通项公式是______. 【答案】2 2n a n n =-+ 2 ．已知数列{}n a 满足143a =,()* 11226n n a n N a +-=∈+,则11n i i a =∑=______. 【答案】232 4 n n ?-- 3 ．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n , 若a 3=18,S 3=26,则{a n }的公比q =________. 【答案】3 4 ．设数列{a n }满足:()()*3118220()n n n n a a a a a n ++=---=∈N ，,则a 1的值大于20的概率为____. 【答案】14 5 ．已知数列 }{n a 满足1 22n n a qa q +=+-（q 为常数，||1q <），若3456,,,a a a a ∈}{18,6,2,6,30---， 则1a = ． 【答案】2-或 126 6 ．观察下列等式: 31×2×12=1-122, 31×2×12+42×3×122=1-13×22, 31×2×12+42×3×122+53×4×123=1-1 4×2 3,,由以上等式推测到一个一般的结论:对于n ∈N * , 31×2×12+42×3×122++n ＋2n n ＋1×1 2 n =______. 【答案】()n n 211 1?+- 7 ．已知等比数列{}n a 的首项是1,公比为2,等差数列{}n b 的首项是1,公差为1,把{}n b 中的各项按照如 下规则依次插入到{}n a 的每相邻两项之间,构成新数列}{n c :1122334,,,,,,,a b a b b a b 564,,b b a ,,即在 n a 和1n a +两项之间依次插入{}n b 中n 个项,则2013c =____. 【答案】1951 8 ．若数列 {}n a 是各项均为正数的等比数列,则当12n n n b a a a =?? ?时,数列{}n b 也是等比数列;类比上

等差、等比数列公式总结

一、等差数列 1.定义：)(1常数d a a n n =-+ 2.通项公式：d n a )1(a 1n -+= 3.变式：d m n a m n )(a -+= m n a a d m n --= 4.前n 项和：2 )(1n a a S n n += 或 d n n n a S n 2)1(1-+= 5.几何意义： ①d dn a d n a a n -+=-+=11)1(即q pn a n += 类似 q px y += ②n d a n d S n )2 (212-+= 即 Bn An S n +=2 类似 Bx Ax y +=2 6.}{n a 等差d a a a a a Bn An S q pn a n n n n n n n =-?+= ?+=?+=?++-11122 7.性质 ① q p n m +=+则 q p n m a a a a +=+ ② p n m 2=+ 则 p n m a a a 2=+ ③ =+=+=+--23121n n n a a a a a a ④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等差 ⑤ }{n a 等差,有12+n 项,则 n S S 1n +=偶奇 ⑥ 1212-= -n S a n n 二、等比数列 1.定义：常数）(a 1q a n n =+ 2.通项公式：11a -=n n q a 3.变式： m n m n q a -=a m n m n q a a -= 4. ?????≠--==)1( 1)1()1( 11q q q a q na S n n

前n 项和：n a S n 1= )1(=q 或 q q a S n n --=11() 1 )1(≠q 5.变式：m n m n q q S S --=11 )1(≠q 6.性质： ① r p n m +=+则 r p n m a a a a ?=? ② p n m 2=+ 则 2 p n m a a a =? ③ =?=?=?--23121n n n a a a a a a ④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等比 ⑤ }{n a 等比,有12+n 项 偶奇qS a a a a q a a a a S n n +=++++=++++=+1242112531)(a 三、等差与等比的类比 {}n a 等差 {}n b 等差 和 积 差 商 系数 指数 “0” “1” 四、数列求和 1.分组求和 本数列的和公式求和．进行拆分，分别利用基，则可或等比数列的和的形式数列，但通项是由等差通项虽不是等差或等比 项的和： 前如求n n n )}1({+ )2)(1(3 1 )1(21)12)(1(61 )321()321( ) ()22()11(] )1(22222222++=++++=++++++++=++++++=∴+=+n n n n n n n n n n n n S n n n n n 2．裂项相消法． ).11(11}{1 1 11+++-=??n n n n n n n a a d a a a n a a 为等差数列，项和，其中的前项为用于通 从而计算和的方法，适别裂开后，消去一部分把数列和式中的各项分

等差数列与等比数列综合问题(3)

等差数列与等比数列综合问题（3）教学目标 1.熟练运用等差、等比数列的概念、通项公式、前n 项和式以及有关性质，分析和解决等差、等比数列的综合问题． 2.突出方程思想的应用，引导学生选择简捷合理的运算途径，提高运算速度和运算能力．3.用类比思想加深对等差数列与等比数列概念和性质的理解.教学重点与难点 1.用方程的观点认识等差、等比数列的基础知识，从本质上掌握公式． 2.等差数列与等比数列的综合应用.例1已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11…都有100项，问它们有多少公共项.例2 已知数列{an}的前n 项和，求数列{|an|}的前n项和tn.例3已知公差不为零的等差数列｛an｝和等比数例｛bn｝中，a1＝b1＝1，a2＝b2，a8＝b3，试问：是否存在常数a，b，使得对于一切自然数n，都有an＝logabn+b成立．若存在，求出a，b的值，若不存在，请说明理由．例4已知数列｛an｝是公差不为零的等差数列，数列｛akn｝是公比为q的等比数列，且k1＝1，k2＝5，k3＝17，求k1+k2+k3+…+kn的值．例5、已知函数f(x)=2x-2-x ,数列{an}满足f( )= -2n (1)求{an}的通项公式。(2)证明{an}是递减数列。例6、在数列{an}中,an>0，= an+1 (n n)求sn和an的表达式。例7.已1 ————来源网络整理，仅供供参考

知数列{an}的通项公式为an= .求证：对于任意的正整数n，均有a2n ─1,a2n,a2n+1成等比数列，而a2n,a2n+1,a2n+2成等差数列。例8．项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求该数列的中间项及项数。作业1 公差不为零的等差数列的第2，第3，第6项依次成等比数列，则公比是（）．（a）1 （b）2 （c）3 （d）4 2 若等差数列｛an｝的首项为a1＝1，等比数列｛bn｝，把这两个数列对应项相加所得的新数列｛an+bn｝的前三项为3，12，33，则｛an｝的公差为｛bn｝的公比之和为（）．（a）－5 （b）7 （c）9 （d）14 3 已知等差数列｛an｝的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则的值是． 4 在等差数列｛an｝中，a1，a4，a25依次成等比数列，且a1+a4+a25＝114，求成等比数列的这三个数．5 设数列｛an｝是首项为1的等差数列，数列｛bn｝是首项为1的等比数列，又cn ＝an－bn（n∈n+），已知试求数列｛cn｝的通项公式与前n项和公式． ————来源网络整理，仅供供参考 2

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【最新整理，下载后即可编辑】 等差数列与等比数列的综合问题 【知识要点】 （一）等差、等比数列的性质 1.等差数列{a n }的性质 （1）a m =a k +（m －k ）d ，d =k m a a k m --. （2）若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列{λa n +b }（λ、b 为常数）是公差为λd 的等差数列；若{b n }也是公差为d 的等差数列，则{λ1a n +λ2b n }（λ1、λ2为常数）也是等差数列且公差为λ1d +λ2d . （3）下标成等差数列且公差为m 的项a k ，a k +m ，a k +2m ，…组成的数列仍为等差数列，公差为md . （4）若m 、n 、l 、k ∈N *，且m +n =k +l ，则a m +a n =a k +a l ，反之不成立. （5）设A =a 1+a 2+a 3+…+a n ，B =a n +1+a n +2+a n +3+…+a 2n ，C =a 2n +1+a 2n +2+a 2n +3+…+a 3n ，则A 、B 、C 成等差数列. （6）若数列{a n }的项数为2n （n ∈N *），则S 偶－S 奇=nd ， 奇 偶S S = n n a a 1+， S 2n =n （a n +a n +1）（a n 、a n +1为中间两项）； 若数列{a n }的项数为2n －1（n ∈N *），则S 奇－S 偶=a n ， 奇 偶S S =n n 1-，S 2n － 1 =（2n －1）a n （a n 为中间项）. 2.等比数列{a n }的性质 （1）a m =a k ·q m －k . （2）若数列{a n }是等比数列，则数列{λ1a n }（λ1为常数）是公比为q 的等比数列；若{b n }也是公比为q 2的等比数列，则{λ1a n ·λ2b n }（λ1、λ2为常数）也是等比数列，公比为q ·q 2. （3）下标成等差数列且公差为m 的项a k ，a k +m ，a k +2m ，…组成的数列仍为等比数列，公比为q m . （4）若m 、n 、l 、k ∈N *，且m +n =k +l ，则a m ·a n =a k ·a l ，反之不成立. （5）设A =a 1+a 2+a 3+…+a n ，B =a n +1+a n +2+a n +3+…+a 2n ，C =a 2n +1+a 2n +2+a 2n +3+…+a 3n ，则A 、B 、C 成等比数列，设M =a 1·a 2·…·a n ，N =a n +1·a n +2·…·a 2n ，P =a 2n +1·a 2n +2·…·a 3n ，则M 、N 、P 也成等比数列. （二）对于等差、等比数列注意以下设法：

等差数列与等比数列练习和解析(高考真题)

1．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A ．a n ＝2n －5 B ．a n ＝3n －10 C ．S n ＝2n 2 －8n D ．S n ＝12 n 2 －2n 2．(2019·长郡中学联考)已知数列{a n }满足，a n ＋1＋2a n ＝0，且a 2 ＝2，则{a n }前10项的和等于( ) A.1－2103 B ．－1－210 3 C ．210－1 D ．1－210 3．已知等比数列{a n }的首项为1，公比q ≠－1，且a 5＋a 4＝3(a 3 ＋a 2)，则 9 a 1a 2a 3…a 9等于( ) A ．－9 B ．9 C ．－81 D ．81 4．(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( ) A ．－12 B ．－10 C ．10 D ．12 5．(2019·山东省实验中学联考)已知等差数列{a n }的公差不为零，S n 为其前n 项和，S 3＝9，且a 2－1，a 3－1，a 5－1构成等比数列，则S 5＝( ) A ．15 B ．－15 C ．30 D ．25 二、填空题 6．(2019·北京卷)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 2＝－3，S 5＝－10，则a 5＝________，S n 的最小值为________． 7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：“有一个人走378里路，

等差数列与等比数列的综合运用

等差数列与等比数列的综合运用 班别： 坐号： 姓名： 1．在直角三形中，三条边的长成等差数列的充要条件是它们的比等于 。 2． 成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上1，3，9后又成等比数列， 则这三个数分别是 。 3． 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和是37，第二个数与第三个数的和是36，则这四个数分别是 。 4． 已知数列{}n a 的前n 项的和1(0n n S a a =-是不为的常数），则{}n a （ ） A,一定是等差数列 B,或者是等差数列，或者是等比数列 C, 一定是等比数列 D,不是等差数列，也不是等比数列 5． a ,b,c 成等比数列，那么关于x 的方程20ax bx c ++= （ ） A ，一定有两个不相等的实数根 B ，一定有两个相等的实数根 C, 一定没有实数根 D ，以上均有可能 6． 已知数列{}n a 是等差数列，12a =，且存在数列{}n b ，使得121 1 1 44 4 (1) n n a a a a n b ---=+ ， 则数列{}n b 的前n 项和n S = 。 7． 如果b 是a 与c 的等差中项，y 是x 与z 的等比中项，且,,y x z 都是正数，则 ()log ()log ()log m m m b c x c a y a b z -+-+-= （0,1m m >≠） 8． 如果等差数列{}n a 的项数是奇数，11a =，{}n a 的奇数项的和是175，偶数项的和是150， 则这个等差数列的公差为 。 9． 在数列{}n a 中，11a =，13(1),n n a S n +=≥证明：23,,,n a a a 是等比数列。 10 求和：（1）21 123n n S x x nx -=++++ （2）23123n n S x x x nx =+++++

等差数列与等比数列的基本运算

一．课题：等差数列与等比数列的基本运算 二．教学目标：掌握等差数列和等比数列的定义，通项公式和前n 项和的公式，并能利用这些知识 解决有关问题，培养学生的化归能力． 三．教学重点：对等差数列和等比数列的判断，通项公式和前n 项和的公式的应用． 四．教学过程： （一）主要知识： 1．等差数列的概念及其通项公式，等差数列前n 项和公式； 2．等比数列的概念及其通项公式，等比数列前n 项和公式； 3．等差中项和等比中项的概念． （二）主要方法： 1．涉及等差（比）数列的基本概念的问题，常用基本量1,()a d q 来处理； 2．使用等比数列前n 项和公式时，必须弄清公比q 是否可能等于1还是必不等于1，如果不能确定则需要讨论； 3．若奇数个成等差数列且和为定值时，可设中间三项为,,a d a a d -+；若偶数个成等差数列且和为定值时，可设中间两项为,a d a d -+，其余各项再根据等差数列的定义进行对称设元．若干个数个成等比数列且积为定值时，设元方法与等差数列类似． 4．在求解数列问题时要注意运用函数思想，方程思想和整体消元思想，设而不求． （三）例题分析： 例1．（1）设数列{}n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项为 2 ． （2）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且139,,a a a 成等比数列，则1392410a a a a a a ++++=1316 ． 例2．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个书的和是12，求这四个数． 解：设这四个数为：2 (),,,a d a d a a d a +-+，则2 ()16212a d a d a a d ?+-+=???+=? 解得：48a d =??=?或96a d =??=-?，所以所求的四个数为：4,4,12,36-；或15,9,3,1． 例3．由正数组成的等比数列{}n a ，若前2n 项之和等于它前2n 项中的偶数项之和的11倍，第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列{}n a 的通项公式． 解：当1q =时，得11211na na =不成立，∴1q ≠， ∴221122331111 (1)11(1)1111n n a q a q q q q a q a q a q a q ?--=?--??+=?? 由①得110 q =，代入②得110a =， ∴21()10 n n a -=． 说明：用等比数列前n 项和公式时，一定要注意讨论公比是否为1． 例4．已知等差数列110,116,122,， ① ②

等差等比数列综合题

高二数学必修五数列单元综合练习题 一、选择题: 1.在等差数列｛a n ｝中，若4612a a +=，n S 是数列｛a n ｝的前n 项和，9S 则的值为 （A ）48 (B)54 (C)60 (D)66 2．在等比数列{}n a 中，若0n a >且3764a a =，5a 的值为 （A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8 3．设{}n a 是等差数列，1359a a a ++=，69a =，则这个数列的前6项和等于（ ） Ａ．12 Ｂ．24 Ｃ．36 Ｄ．48 ４．在等差数列{}n a 中，若34567a +a +a +a +a =450,则28a +a =( ) ５．在等比数列{}n a 中，如果69a =6,a =9,那么3a 为（ ） (A )4 (B)23 (C)9 16 (D)2 ６.数列{}n a 中，123,6,a a ==且12n n n a a a ++=+，则2004a =（ ） B.－3 C.－6 ７．数列n {a }中，对任意自然数n ，n 12n a +a ++a =21???-，则22212n a +a ++a ???等于（ ） A.()2n 2-1 B. ()2n 12-13 C.n 4-1 D. ()n 14-13 ８．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 5·a 6=9，则log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 10= ( ) A ．12 B ．10 C ．8 D ．2+log 35 ９．已知数列{a n }是等比数列，其前n 项和为S n =5n +k ，则常数k= ( ) A ． 1 B ．1 C ．0 D ．以上都不对 １０．数列 的前n 项和为 ( ) A ． B ． C ． D ． １１．对于数列{a n }，满足 ，则该数列前100项中的最大项和最小项分别是 ( ) A ．a 1，a 50 B ．a 1，a 44 C ．a 45，a 44 D ．a 45，a 50 １２．已知一等差数列的前四项的和为124，后四项的和为156，又各项和为210，则此等差数列共有（ ） A 、8项 B 、7项 C 、6项 D 、5项 二、填空题： }232{3--n n 22124---n n 22724--+n n 22236-+-n n 32128-+-n n 20052004--=n n a n

等差等比数列练习题(含答案)

一、选择题 1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列 （ ） （A ）为常数数列 （B ）为非零的常数数列 （C ）存在且唯一 （D ）不存在 2.、在等差数列 {}n a 中，41=a ,且1a ,5a ,13a 成等比数列，则{}n a 的通项公式为 （ ） （A ）13+=n a n （B ）3+=n a n （C ）13+=n a n 或4=n a （D ）3+=n a n 或4=n a 3、已知c b a ,,成等比数列，且y x ,分别为a 与b 、b 与c 的等差中项，则 y c x a +的值为 （ ） （A ） 2 1 （B ）2- （C ）2 （D ） 不确定 4、互不相等的三个正数c b a ,,成等差数列，x 是a ,b 的等比中项， y 是b ,c 的等比中项，那么2x ，2b ，2y 三个数（ ） （A ）成等差数列不成等比数列 （B ）成等比数列不成等差数列 （C ）既成等差数列又成等比数列 （D ）既不成等差数列，又不成等比数列 5、已知数列 {}n a 的前n 项和为n S ,n n S n 24212+=+,则此数列的通项公式为 （ ） （A ）22-=n a n （B ）28-=n a n （C ）12-=n n a （D ）n n a n -=2 6、已知))((4)(2z y y x x z --=-，则 （ ） （A ）z y x ,,成等差数列 （B ）z y x ,,成等比数列 （C ） z y x 1,1,1成等差数列 （D ）z y x 1 ,1,1成等比数列 7、数列 {}n a 的前n 项和1-=n n a S ，则关于数列{}n a 的下列说法中，正确的个数有 （ ） ①一定是等比数列，但不可能是等差数列 ②一定是等差数列，但不可能是等比数列 ③可能是等比数列，也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列，又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列，又是等比数列 （A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1 8、数列1 ?,16 1 7,815,413,21,前n 项和为 （ ） （A ）1212+-n n （B ）212112+-+n n （C ）1212+--n n n （D ）212 112 +--+n n n 9、若两个等差数列 {}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，且满足 5 524-+= n n B A n n ，则 13 5135b b a a ++的值为 （ ） （A ） 9 7 （B ） 7 8 （C ） 2019 （D ）8 7 10、已知数列 {}n a 的前n 项和为252+-=n n S n ,则数列{}n a 的前10项和为 （ ） （A ）56 （B ）58 （C ）62 （D ）60 11、已知数列 {}n a 的通项公式5+=n a n 为, 从{}n a 中依次取出第3，9，27，…3n , …项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列 的前n 项和为 （ ）

等差数列与等比数列十大例题

等差数列与等比数列十大例题 例1、已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令b n = 2 1 1 n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有 11 27 21026a d a d +=?? +=?，解得13,2a d ==， 所以321)=2n+1n a n =+-（；n S =n(n-1) 3n+22 ?=2n +2n 。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知2n+1n a =，所以b n = 2 1 1n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)?=111(-)4n n+1 ?， 所以n T = 111111(1-+++-)4223n n+1?- =11(1-)=4n+1?n 4(n+1) ， 即数列{}n b 的前n 项和n T = n 4(n+1) 。 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。 例2、 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，2n S kn n =+，* n N ∈，其中k 是常数． （I ） 求1a 及n a ； （II ）若对于任意的* m N ∈，m a ，2m a ，4m a 成等比数列，求k 的值． 解（Ⅰ）当1,111+===k S a n ， 12)]1()1([,2221+-=-+--+=-=≥-k kn n n k n kn S S a n n n n （*） 经验，,1=n （*）式成立， 12+-=∴k kn a n （Ⅱ）m m m a a a 42,, 成等比数列，m m m a a a 42 2.=∴， 即)18)(12()14(2 +-+-=+-k km k km k km ，整理得：0)1(=-k mk ，

等差数列与等比数列

等差数列与等比数列 一.选择题 (1)在等差数列｛a n ｝中, a 7=9, a 13=-2, 则a 25= ( ) A -22 B -24 C 60 D 64 (2) 在等比数列｛a n ｝中, 存在正整数m, 有a m =3, a m+5=24, 则, a m+15= ( ) A 864 B 1176 C 1440 D 1536 (3)已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a = ( ) A –4 B –6 C –8 D –10 (4)设数列{}n a 是等差数列，且n S a a ,6,682=-=是数列{}n a 的前n 项和，则 ( ) A S 4+><，则使前n 项和0n S >成 立的最大自然数n 是： （ ） A ．4005 B ．4006 C ．4007 D ．4008 (7) 数列｛a n ｝的前n 项和S n =3n -c, 则c=1是数列｛a n ｝为等比数列的 ( ) A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充分必要条件 D 既非充分又非必要条件 (8) 在等比数列｛a n ｝中, a 1<0, 若对正整数n 都有a n 1 B 0

等差、等比数列的综合问题

专 题2 数列 知识网络图解 一、数列的概念、性质 例①若数到{αn }满足αn+1 = 若α1=67 则α2009的值为（ ） A. 67 B.57 C. 37 D.1 7 ②αn 则数列{αn }最大项为（ ） A. α1 B. α45 C. α44 D. α2007 ③通项为αn =n 2 －α n+1的数列{αn }是递增数列，则实数α的取值范围为_________ 二、等差数列、等比数列 知识整合 2αn ， 0≤αn ＜1 2 1 2 ≤αn ＜1 2αn －1，

要点 热点 探究 例1（1）已知两个等差数列{αn }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且 n n A B =7453 n n ++，则使得 n n a b 为整数的正整数n 的个数是( ) （2）已知等差数列{αn }的前n 项和为S n ，若OB=α6O A ＋α195OC ，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过点O ），则S 200等于（ ） （3）与差数列{αn }中，S 6=36，S n =324，S n －6=144，则n =___________ （4）等差数列{αn }共有2n ＋1次，其中奇数项之和为319，偶数次之和为290则其中间项的值为 （ ） A. α9=10 B. α10 =16 C. α11 =29 D. α12=39 ()121 2112121*(21) 7(21)45122172131 (21)21,2,3,5,11 n n n n n n n n a a n a A n b b b B n n n a z n N n b ----+?--+ ====+ +-++?- ∈ ∈ ∴=Q 解 ()619512006195200 21 1 200200200100 222 A C a a a a a a s ,B,∴+=++=?=?=?=Q 三点共线

等差数列与等比数列的类比练习题(带答案)

等差数列与等比数列的类比 一、选择题（本大题共1小题，共5.0分） 1.记等差数列{a n}的前n项和为S n，利用倒序求和的方法得S n=n(a1+a n) 2 ； 类似地，记等比数列{b n}的前n项积为T n，且b n>0(n∈N?)，类比等差数列求和的方法，可将T n表示成关于首项b1，末项b n与项数n的关系式为( ) A. (b1b n)n B. nb1b n 2C. nb1b n D. nb1b n 2 1. A 二、填空题（本大题共9小题，共45.0分） 2.在公差为d的等差数列{a n}中有：a n=a m+(n?m)d(m、n∈N+)， 类比到公比为q的等比数列{b n}中有：______ ． 2. b n=b m?q n?m(m，n∈N?) 3.数列{a n}是正项等差数列，若b n=a1+2a2+3a3+?+na n 1+2+3+?+n ，则数列{b n}也为等差数列，类比上述结论，写出正项等比数列{c n}，若d n=______ 则数列{d n}也为等比数列． 3. (c 1 c22c33…c n n)1 4.等差数列{a n}中，有a1+a2+?+a2n+1=(2n+1)a n+1，类比以上性 质，在等比数列{b n}中，有等式______ 成立． 4. b1b2…b2n+1=b n+1 2n+1 5.若等比数列{a n}的前n项之积为T n，则有T3n=(T2n T n )3；类比可得到以下正确结论：若等差数列的前n项之和为S n，则有______ ． 5. S3n=3(S2n?S n) 6.已知在等差数列{a n}中，a11+a12+?+a20 10=a1+a2+?a30 30 ，则在等比数列{b n} 中，类似的结论为______ 10b11?b12?…?b20=30b1?b2?b3?…?b30 7.在等比数列{a n}中，若a9=1，则有a1?a2…a n=a1?a2…a17?n(n< 17，且n∈N?)成立，类比上述性质，在等差数列{b n}中，若b7=0，则有______ ． b1+b2+?+b n=b1+b2+?+b13?n(n<13，且n∈N?)

(完整word版)等差等比数列综合练习题

等差数列等比数列综合练习题 一．选择题 1. 已知031=--+n n a a ，则数列{}n a 是 （ ） A. 递增数列 B. 递减数列 C. 常数列 D. 摆动数列 2.等比数列}{n a 中，首项81=a ，公比2 1 =q ，那么它的前5项的和5S 的值是（ ） A ． 231 B ．233 C ．235 D ．2 37 3. 设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若S 7=35，则a 4=( ) A. 8 B.7 C.6 D.5 4. 等差数列}{n a 中，=-=++10915812,1203a a a a a 则（ ） A ．24 B ．22 C ．20 D ．-8 5. 数列{}n a 的通项公式为n n a n 2832-=，则数列{}n a 各项中最小项是 （ ） A. 第4项 B.第5项 C. 第6项 D. 第7项 6.已知a ，b ，c ，d 是公比为2的等比数列，则 d c b a ++22等于（ ） A ．1 B ．21 C ．4 1 D ．81 7.在等比数列{}n a 中,7114146,5,a a a a ?=+=则 20 10 a a =( ) A.2 3 B.32 C.23或 32 D.23-或 32 - 8.已知等比数列{}n a 中,n a >0,243546225a a a a a a ++=,那么35a a +=( ) A.5 B .10 C.15 D .20 9.各项不为零的等差数列{}n a 中,有23711220a a a -+=,数列{}n b 是等比数列,且

7768,b a b b ==则( ) A.2 B. 4 C.8 D .16 10.已知等差数列{}n a 中, 211210,10,38,n m m m m a m a a a S -+-≠>+-==若且则m 等于 A. 38 B. 20 C.10 D. 9 11.已知n s 是等差数列{}n a *()n N ∈的前n 项和,且675s s s >>,下列结论中不正确的是( ) A. d<0 B. 110s > C.120s < D. 130s < 12.等差数列}{n a 中，1a ，2a ，4a 恰好成等比数列，则 1 4 a a 的值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 二．填空题 13．已知{a n }为等差数列，a 15＝8，a 60＝20，则a 75＝________ 14. 在等比数列}{n a 中，1682=?a a ，则5a =__________ 15．在等差数列{a n }中，若a 7＝m ，a 14＝n ，则a 21＝__________ 16. 若数列{}n x 满足1lg 1lg n n x x +=+()n N *∈,且12100100x x x +++=L ,则 ()101102200lg x x x +++=L ________ 17.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 3+a 17=10,则S 19的值_________ 18.已知等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝40，a 4＋a 5＋a 6＝20，则前9项之和等于_________

专题10 等差数列与等比数列—三年高考(2015-2017)数学(文)真题汇编

1.【2017浙江，6】已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】C 【考点】 等差数列、充分必要性 【名师点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式，通过公式的套入与简单运算，可知 4652S S S d +-=， 结合充分必要性的判断，若q p ?，则p 是q 的充分条件，若q p ?， 则 p 是q 的必要条件，该题“0>d ”?“02564>-+S S S ”，故为充要条件． 2.【2015高考新课标1，文7】已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若 844S S =，则10a =（ ） （A ） 172 （B ）19 2 （C ）10 （D ）12 【答案】B 【解析】∵公差1d =，844S S =，∴11118874(443)2 2 a a +??=+??，解得1a =1 2 ， ∴101119 9922 a a d =+= += ，故选B. 【考点定位】等差数列通项公式及前n 项和公式 【名师点睛】解等差数列问题关键在于熟记等差数列定义、性质、通项公式、前n 项和公式，利用方程思想和公式列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，利用等差数列性质可以简化计算. 3.【2014高考重庆文第2题】在等差数列{}n a 中,1 352,10a a a =+=，则7a =（ ） .5A .8B .10C .14D 【答案】B

【解析】 试题分析：设等差数列{}n a的公差为d，由题设知，12610 a d +=，所以，1 102 1 6 a d - ==所以，716268 a a d =+=+=.故选B. 考点：等差数列通项公式. 【名师点睛】本题考查了等差数列的概念与通项公式，本题属于基础题，利用下标和相等的两项的和相等更能快速作答. 4.【2014天津，文5】设 {} n a是首项为 1 a，公差为1-的等差数列，n S为其前n项和，若， ， ， 4 2 1 S S S成等比数列，则 1 a=（） A.2 B.-2 C. 2 1 D . 1 2 - 【答案】D 考点：等比数列 【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式，本题属于基础题，利用等差数列的前n项和公式表示出， ， ， 4 2 1 S S S然后依据， ， ， 4 2 1 S S S成等比数列，列出方程求出首项.这类问题考查等差数列和等比数列的基本知识，大多利用通项公式和前n项和公式通过列方程或方程组就可以解出. 5.【2014辽宁文9】设等差数列{}n a的公差为d，若数列1{2}n a a为递减数列，则（）A．0 dC．10 a d 【答案】C 【解析】 试题分析：由已知得，111 22 n n a a a a- <，即 1 11 2 1 2 n n a a a a- <，1n1 (a) 21 n a a- -<，又n1 a n a d - -=，故121 a d<，从而10 a d<，选C． 【考点定位】1、等差数列的定义；2、数列的单调性． 【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式、数列的性质等，解答本题的关键，是写出等差

等差数列与等比数列复习小结

山西省朔州市应县四中高二数学学案（十一） 等差数列与等比数列 编写人：朱强基 考纲要求 1理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。 2掌握等差数列与等比数列的概念、通项公式、前n 项和的公式，并能够运用这些知识解决一些问题。 重点、难点归纳 1数列的有关概念 数列：按照一定的次序排列的一列数。 通项公式：数列的第n 项a n 与n 之间的函数关系如果能够用一个解析式来表示，则这个解析式就叫做这个数列的通项公式。 2数列的表示法 列举法：如a 1，a 2，a 3，…，a n ，… 图象法：用孤立的点(n ，a n )来表示 解析法：即用通项公式来表示 递推法：一个数列的各项可由它的前m 项的值以及与它相邻的m 项之间的关系来表示 3数列的分类 有穷数列与无穷数列 有界数列与无界数列 常数列、递增数列、递减数列、摆动数列 4a n 与S n 的关系 S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ；a n ＝S 1(n ＝1时)，a n ＝S n －S n －1(n ≥2时)。 前n 项和公式 等差数列{a n }前n 项的和为2111()(1)()2222 n n a a n n n d d S na d n a n +-= =+=+-。

Ⅰ.设数列{}n a 是等差数列，其奇数项之和为奇S 、偶数项之和为 偶S ，那么，当项数为偶数2n 时， 1, +=n n a a S S nd S S ＝ －偶 奇奇偶；当项数为奇数2n ＋1时，11,n S n S S a S n ++-==奇奇偶 偶 Ⅱ.在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题：(1)当1a >0,d<0时，满足???≤≥+00 1 m m a a 的项数m 使得m s 取最大值. (2) 当1a <0,d>0时，满足???≥≤+0 1m m a a 的项数m 使得m s 取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应 用。 Ⅲ.121(21),{}2 n n n s a d s n a n n -=-是以为首项,为公差的等差数列. 等比数列{a n }前n 项的和为S n ＝na 1，(q ＝1时)；S n ＝q q a a q q a n n --=--11)1(11，(q ≠1时)。 （1）正数等比数列各项的（同底）对数值，依次组成等差数列.即｛ ｝为等比数列且 （i=1,2……,n,……） ｛ ｝( 且 )为等差数列；若定义 ＝ ，则｛ ｝亦 为等差数列. （2）取一个不等于1的正数为底数，则以等差数列各项为指数的方幂依次组成等比数列.即设a>0且a≠1，则｛ ｝ 为等差数列 ｛ ｝为等比数列. （3）｛ ｝既是等差数列，又是等比数列 ｛ ｝是非零常数列.