2020北京海淀高三(上)期末数学
2020北京海淀高三（上）期末
数学 2020.01
本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={2，3，4}，则集合A∩C U B=（）（A）{1，3，5，6}（B）{1，3，5}（C）{1，3}（D）{1，5}
（2）抛物线y2=4x的焦点坐标为（）
（A）(0，1)（B）(1，0)（C）(0，?1)（D）(?1，0)
（3）下列直线与圆(x?1)2+(y?1)2=2相切的是（）
（A）y=?x（B）y=x（C）y=?2x（D）y=2x
（4）已知a，b∈R，且a>b，则（）
（A）1
a <1
b
（B）sina>sinb（C）(1
3
)
a
<(1
3
)
b
（D）a2>b2
（5）在(x?1
x )
5
的展开式中，x3的系数为（）
（A）?5（B）5（C）?10（D）10
（6）已知平面向量a，b，c满足a+b+c=0，且|a|=|b|=|c|=1,则a?b的值为（）
（A）?1
2（B）1
2
（C）?√3
2
（D）√3
2
（7）已知α，β，γ是三个不同的平面，且α∩γ=m，β∩γ=n，则“m//n”是“α//β”的（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件
（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件
（8）已知等边?ABC的边长为3，点D在BC边上，且BD>CD，AD=√7.下列结论中错误的是（）
（A）BD
CD =2（B）S?ABD
S?ACD
=2（C）cos∠BAD
cos∠CAD
=2（D）sin∠BAD
sin∠CAD
=2
（9）声音的等级f(x)（单位：dB）与声音强度x（单位：W/m2）满足f(x)=10×lg x
1×10?12
.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB；一般说话时，声音的等级约为60dB，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（）
（A）106倍（B）108倍（C）1010倍（D）1012倍
（10）若点N为M在平面α上的正投影，则记N=f n(M).如图，在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，记平面AB1C1D为β，平面ABCD为γ.点P是棱CC1上一动点（与C，C1不重合），Q1=fγ[fβ(P)]，Q2=fβ[fγ(P)].
给出下列三个结论：
①线段PQ2的长度的取值范围是[1
2，√2
2
)；②存在点P使得PQ1//平面β；
③存在点P使得PQ1⊥PQ2.
（A）①②③（B）②③（C）①③（D）①②
第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（11）在等差数列{a n}中，a2=5，a5=2，则a7= .
（12）若复数z=1+i
i
，则|z|= .
（13）已知点A(0，√3)，点B，C分别为双曲线x 2
a2?y2
3
=1(a>0的左、右顶点，若?ABC为正三角形，则该双曲线
的离心率为 .
（14）已知函数f(x)=x+a
x
在区间(1，4)上存在最小值，则实数a的取值范围是 . （15）用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象时，列表如下：
)= .
则f(?1)=，f(0)+f(?
2
（16）已知曲线C:x4+y4+mx2y2=1(m为常数).
（i）给出下列结论：
①曲线C为中心对称图形；
②曲线C为轴对称图形；
③当m=?1时，若点P(x，y)在曲线C上，则|x|≥1或|y|≥1.
其中，所有正确结论的序号是 .
（ii）当m>?2时，若曲线C所围成的区域的面积小于π，则m的值可以是 .（写出一个即可）三、解答题共6小题，共80分。解答写出文字说明、演算步骤或证明过程。
（17）（本小题共13分）
.
已知函数f(x)=cos2x+√3sinxcosx?1
2
（I）求函数f(x)的单调递增区间；
（II）若f(x)在区间[0，m]上的最大值为1，求m的最小值.
（18）（本小题共13分）
如图，在三棱锥V?ABC中，平面VAC⊥平面ABC，?ABC和?VAC均是等腰直角三角形，AB=BC，AC=
CV?2，M，N分别为VA，VB中点.
（I）求证：AB//平面CMN；
（II）求证：AB⊥VC；
（III）求直线VB与平面CMN所成角的正弦值.
（19）（本小题共13分）
某市《城市总体规划（2016-2035年）》提出到2035年实现“15分钟社区生活圈”全覆盖的目标，从教育与文化、医疗与养老、交通与购物、休闲与健身4个方面构建“15分钟社区生活圈”指标体系，并依据“15分钟社区生活圈”指数高低将小区划分为：优质小区（指数为0.6?1）、良好小区（指数为0.4?0.6）、中等小区（指数为0.2?0.4）以及待改进小区（指数为0?0.2）4个等级.下面是三个小区4个方面指标的调查数据：
注：每个小区“15分钟社区生活圈”指数T=w11223344.其中w1，w2，w3，w4为该小区四个方面的权重，T1，T2，T3，T4为该小区四个方面的指标值（小区每个方面的指标值为0?1之间的一个数值）.
现有100个小区的“15分钟社区生活圈”指数数据，整理得到如下频数分布表：
（I）分别判断A，B，C三个小区是否是优质小区，并说明理由；
（II）对这100个小区按照优质小区、良好小区、中等小区和待改进小区进行分层抽样，抽取10个小区进行调查.若在抽取10个小区中随机地选取2个小区做深入调查，记这2个小区中为优质小区的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.
（20）（本小题共14分）
已知椭圆C:x 2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的右焦点为A(2，0)，且离心率为√3
2
.
（I）求椭圆C的方程；
（II）设O为原点，过点O的直线l与椭圆C交于两点P，Q，直线AP和AQ与直线x=4交于点M，N，求?APQ与 ?AMN的面积之和的最小值.
（21）（本小题共13分）
已知函数f(x)=e x(ax2+1)(a>0).
（I）求曲线y=f(x)在点(o，f(0))处的切线方程；
（II）若函数f(x)有极小值，求证：f(x)的极小值小于1.
（22）（本小题共14分）
给定整数(2)n n ≥，数列211221,,
,n n A x x x ++：每项均为整数，在21n A +中去掉一项k x , 并将剩下的数分
成个数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为k m (1,2,
,21)k n =+. 将
1221,,,n m m m +中的最小值称为数列21n A +的特征值.
（Ⅰ）已知数列5:1,2,3,3,3A ，写出123,,m m m 的值及5A 的特征值； （Ⅱ）若1221n x x x +≤≤
≤，当[(1)][(1)]0i n j n -+-+≥，其中,{1,2,
,21}i j n ∈+且i j ≠ 时，判断
||i j m m -与||i j x x -的大小关系，并说明理由；
（Ⅲ）已知数列21n A +的特征值为1n -，求121
||i j i j n x x ≤<≤+-∑
的最小值.