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七年级上册数学 期末试卷培优测试卷

七年级上册数学期末试卷培优测试卷

一、初一数学上学期期末试卷解答题压轴题精选(难)

1.已知点C在线段AB上,AC=2BC,点D、E在直线AB上,点D在点E的左侧

(1)若AB=18,DE=8,线段DE在线段AB上移动

①如图1,当E为BC中点时,求AD的长;

②点F(异于A,B,C点)在线段AB上,AF=3AD,CE+EF=3,求AD的长;

(2)若AB=2DE,线段DE在直线AB上移动,且满足关系式,则________.

【答案】(1)解:①

又 E为BC中点

②设,因点F(异于A、B、C点)在线段AB上,可知:

,和

当时,

此时可画图如图2所示,代入得:

解得:,即AD的长为3

当时,

此时可画图如图3所示,代入得:解得:,即AD的长为5

综上,所求的AD的长为3或5;

(2) .

【解析】【解答】(2)①若DE在如图4的位置设,则

(不符题设,舍去)

②如DE在如图5的位置

设,则

代入得:

解得:

则 .

【分析】(1)①根据AB的长和可求出AC和BC,根据中点的定义可得CE,再由可得CD,最后根据计算即可得;②设,因点F(异于A、B、C点)在线段AB上,可知,和,所以需分2种情况进行讨论:和,如图2、3(见解析),先根据已知条件判断点E、F位置,再将EF和CE用含x的式子表示出来,最后代入求解即可;

(2)设,先判断出DE在AB上的位置,再根据得出x和y 满足的等式,然后将其代入化简即可得.

2.如图1,已知∠MON=140°,∠AOC与∠BOC互余,OC平分∠MOB,

(1)在图1中,若∠AOC=40°,则∠BOC=°,∠NOB=°.

(2)在图1中,设∠AOC=α,∠NOB=β,请探究α与β之间的数量关系(必须写出推理的主要过程,但每一步后面不必写出理由);

(3)在已知条件不变的前提下,当∠AOB绕着点O顺时针转动到如图2的位置,此时α与β之间的数量关系是否还成立?若成立,请说明理由;若不成立,请直接写出此时α与β之间的数量关系.

【答案】(1)解:如图1,

∵∠AOC与∠BOC互余,

∴∠AOC+∠BOC=90°,

∵∠AOC=40°,

∴∠BOC=50°,

∵OC平分∠MOB,

∴∠MOC=∠BOC=50°,

∴∠BOM=100°,

∵∠MON=40°,

∴∠BON=∠MON-∠BOM=140°-100°=40°,

(2)解:β=2α-40°,理由是:

如图1,∵∠AOC=α,

∴∠BOC=90°-α,

∵OC平分∠MOB,

∴∠MOB=2∠BOC=2(90°-α)=180°-2α,

又∵∠MON=∠BOM+∠BON,

∴140°=180°-2α+β,即β=2α-40°;

(3)解:不成立,此时此时α与β之间的数量关系为:2α+β=40°,

理由是:如图2,

∵∠AOC=α,∠NOB=β,

∴∠BOC=90°-α,

∵OC平分∠MOB,

∴∠MOB=2∠BOC=2(90°-α)=180°-2α,

∵∠BOM=∠MON+∠BON,

∴180°-2α=140°+β,即2α+β=40°,

答:不成立,此时此时α与β之间的数量关系为:2α+β=40.

【解析】【分析】(1)先根据余角的定义计算∠BOC=50°,再由角平分线的定义计算∠BOM=100°,根据角的差可得∠BON的度数;(2)同理先计算∠MOB=2∠BOC=2(90°-α)=180°-2α,再根据∠BON=∠MON-∠BOM列等式即可;(3)同理可得∠MOB=180°-2α,再根据∠BON+∠MON=∠BOM列等式即可.

3.已知数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b,且满足|a+3|+(b-9)2018=0,O为原点

(1)试求a和b的值

(2)点C从O点出发向右运动,经过3秒后点C到A点的距离是点C到B点距离的3倍,求点C的运动速度?

(3)点D以1个单位每秒的速度从点O向右运动,同时点P从点A出发以5个单位每秒的速度向左运动,点Q从点B出发,以20个单位每秒的速度向右运动.在运动过程中,

M、N分别为PD、OQ的中点,问的值是否发生变化,请说明理由.

【答案】(1)解:a=-3,b=9

(2)解:设3秒后,点C对应的数为x

则CA=|x+3|,CB=|x-9|

∵CA=3CB

∴|x+3|=3|x-9|=|3x-27|

当x+3=3x-27,解得x=15,此时点C的速度为

当x+3+3x-27=0,解得x=6,此时点C的速度为

(3)解:设运动的时间为t

点D对应的数为:t

点P对应的数为:-3-5t

点Q对应的数为:9+20t

点M对应的数为:-1.5-2t

点N对应的数为:4.5+10t

则PQ=25t+12,OD=t,MN=12t+6

∴为定值.

【解析】【分析】(1)根据几个非负数之和为0,则每一个数都是0,建立关于a、b的方

程,求出a、b的值,就可得出点A、B所表示的数。

(2)根据点C从O点出发向右运动,经过3秒后点C到A点的距离是点C到B点距离的3倍,可表示出CA=|x+3|,CB=|x-9|,再由CA=3CB,建立关于x的方程,求出方程的解,然后求出点C的速度即可。

(3)根据点的运动速度和方向,分别用含t的代数式表示出点D、P、Q、M、N对应的数,再分别求出PQ、OD、MN的长,然后求出的值时常量,即可得出结论。

4.如图1,已知∠AOB=140°,∠AOC=30°,OE是∠AOB内部的一条射线,且OF平分∠AOE.

(1)若∠EOB=30°,则∠COF=________;

(2)若∠COF=20°,则∠EOB=________;

(3)若∠COF=n°,则∠EOB=________(用含n的式子表示).

(4)当射线OE绕点O逆时针旋转到如图2的位置时,请把图补充完整;此时,∠COF与∠EOB有怎样的数量关系?请说明理由.

【答案】(1)20°

(2)40°

(3)80°-2n°

(4)如图所示:∠EOB=80°+2∠COF.

证明:设∠COF=n°,则∠AOF=∠AOC-∠COF=30°-n°,

又∵OF平分∠AOE,

∴∠AOE=2∠AOF=60°-2n°.

∴∠EOB=∠AOB-∠AOE=140°-(60°-2n°)=(80+2n)°

即∠EOB=80°+2∠COF.

【解析】【解答】(1)∵∠AOB=140°,∠EOB=30°,

∴∠AOE=∠AOB-∠EOB=140°-30°=110°,

∵OF平分∠AOE,

∴∠AOF= ∠AOE= ×110°=55°,

∴∠COF=∠AOF-∠AOC,

=55°-30°,

=25°;

故答案为:25°;

(2)∵∠AOC=30°,∠COF=20°,

∴∠AOF=∠AOC+∠COF=30°+20°=50°,

∵OF平分∠AOE,

∴∠AOE=2∠AOF=2×50°=100°,

∴∠EOB=∠AOB-∠AOE=140°-100°=40°;

故答案为:40°;

(3)∵∠AOC=30°,∠COF=n°,

∴∠AOF=∠AOC+∠COF=30°+n°,

∵OF平分∠AOE,

∴∠AOE=2∠AOF=2(30°+n°)=60°+2n°,

∴∠EOB=∠AOB-∠AOE=140°-(60°+2n°)=80°-2n°;

故答案为:80°-2n°;

【分析】(1)根据∠AOE=∠AOB-∠EOB先求出∠AOE,再根据角平分线的定义求出∠AOF,最后根据∠COF=∠AOF-∠AOC解答即可;

(2)根据∠AOF=∠AOC+∠COF先求出∠AOF,再根据角平分线的定义求出∠AOE,最后根据∠EOB=∠AOB-∠AOE解答即可;

(3)与(2)的思路相同求解即可;

(4)设∠COF=n°,先表示出∠AOF,再根据角平分线的定义求出∠AOE,最后根据∠EOB=∠AOB-∠AOE解答即可.

5.如图,已知数轴上点A表示的数为10,B是数轴上位于点A左侧一点,且AB=30,动点P从点A出发,以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,设运动时间为秒.

(1)数轴上点B表示的数是________,点P表示的数是________(用含的代数式表示);(2)若M为线段AP的中点,N为线段BP的中点,在点P运动的过程中,线段MN的长度会发生变化吗?如果不变,请求出这个长度;如果会变化,请用含的代数式表示这个长度;

(3)动点Q从点B处出发,以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,若点P、Q 同时出发,问点P运动多少秒时与点Q相距4个单位长度?

【答案】(1)-20;10-5t

(2)线段MN的长度不发生变化,都等于15.理由如下:

①当点P在点A、B两点之间运动时,

∵M为线段AP的中点,N为线段BP的中点,

∴MN=MP+NP= AP+ BP= (AP+BP)= AB=15;

②当点P运动到点B的左侧时:

∵M为线段AP的中点,N为线段BP的中点,

∴MN=MP-NP= AP- BP= (AP-BP)= AB=15,

∴综上所述,线段MN的长度不发生变化,其值为15.

(3)若点P、Q同时出发,设点P运动t秒时与点Q距离为4个单位长度.

①点P、Q相遇之前,

由题意得4+5t=30+3t,解得t=13;

②点P、Q相遇之后,

由题意得5t-4=30+3t,解得t=17.

答:若点P、Q同时出发,13或17秒时P、Q之间的距离恰好等于4;

【解析】【解答】(1)解:∵点A表示的数为10,B在A点左边,AB=30,

∴数轴上点B表示的数为10-30=-20;

∵动点P从点A出发,以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,设运动时间为t (t>0)秒,

∴点P表示的数为10-5t;

故答案为:-20,10-5t;

【分析】(1)根据数轴上两点间的距离计算方法即可算出点B所表示的数,根据路程等于速度乘以时间得出PA=5t,然后用OA-AP即可算出点P所表示的数;

(2)线段MN的长度不发生变化,都等于15.理由如下:分类讨论:①当点P在点A、B两点之间运动时,根据线段中点的定义及线段的和差,由MN=MP+NP= AP+ BP= (AP+BP)= AB 即可得出结论;②当点P运动到点B的左侧时:根据线段中点的定义及

线段的和差,由 MN=MP-NP= AP- BP= (AP-BP)= AB 得出结论;

(3)若点P、Q同时出发,设点P运动t秒时与点Q距离为4个单位长度,此题其实质就是一个追击问题,需要分类讨论:①点P、Q相遇之前,根据P点运动的路程-Q点运动的路程等于它们之间之间的距离,列出方程,求解即可;②点P、Q相遇之后,根据Q

点运动的路程-P点运动的路程等于它们之间之间的距离,列出方程,求解即可,综上所述即可得出答案。

6.点 O 是直线 AB上一点,∠COD 是直角,OE平分∠BOC.

(1)①如图1,若∠DOE=25°,求∠AOC 的度数;

②如图2,若∠DOE=α,直接写出∠AOC的度数(用含α的式子表示);

(2)将图1中的∠COD 绕点O按顺时针方向旋转至图2 所示位置.探究∠DOE 与∠AOC 的度数之间的关系,写出你的结论,并说明理由.

【答案】(1)解:①∵∠COD=90°,∠DOE=25°,

∴∠COE=∠COD﹣∠DOE=90°﹣25°=65°,

又∵OE平分∠BOC,

∴∠BOC=2∠COE=130°,

∴∠AOC=180°﹣∠BOC=180°﹣130°=50°;

②∵∠COD=90°,∠DOE=α,

∴∠COE=∠COD﹣∠DOE=90°﹣α,

又∵OE平分∠BOC,

∴∠BOC=2∠COE=180°﹣2α,

∴∠AOC=180°﹣∠BOC=180°﹣(180°﹣2α)=2α

(2)解:∠DOE=∠AOC,理由如下:

∵∠BOC=180°﹣∠AOC,

又∵OE平分∠BOC

∴∠COE=∠BOC=(180°﹣∠AOC)=90°﹣∠AOC,

又∵∠COD=90°,

∴∠DOE=90°﹣∠COE=90°﹣(90°﹣∠AOC)=∠AOC

【解析】【分析】(1)①由图可知∠COE=-∠DOE,而OE平分∠BOC,由角平分线的定义可得∠BOC=2∠COE,根据平角的意义可求得∠AOC的度数;

②结合①的结论可得∠BOC=2∠COE=2(-),所以∠AOC=-∠BOC,把∠BOC 代入计算即可求解;

(2)由互为余角的定义可得∠COE=-∠DOE,而OE平分∠BOC,由角平分线的定义可得∠BOC=2∠COE=2(-∠DOE),再由平角的意义可得∠AOC=-∠BOC,把∠BOC 代入计算即可求解。

7.已知,,OB、OM、ON是内的射线.

(1)如图,若OM平分,ON平分,,则 ________ ;

(2)如图,若OM平分,ON平分,求的度数;

(3)如图,OC是内的射线,若,OM平分,ON平分,当射线OB在内时,求的度数.

【答案】(1)60

(2)解:,,

平分,OM平分,

,,

(3)解:设,则,

平分,ON平分,

,,

【解析】【解答】,,

平分,

故答案为:60;

【分析】(1)由题意和角的构成知∠BOD=∠AOD-∠AOB,再根据角平分线的定义得

∠BON=∠BOD可求解;

(2)由角的构成可求得∠BOD的度数,再根据角平分线的定义得∠BOM=∠AOB,

∠BON=∠BOD,则∠MON=∠BOM+∠BON可求解;

(3)设∠AOB=x,由角的构成得∠BOD=∠AOD-∠AOB=160°-x,由角平分线的定义得∠COM=∠AOC,∠BON=∠BOD,由角的构成得∠MON=∠COM+∠BON-∠BOC可求解.

8.如图1,点O为直线AB上一点,过O点作射线OC,使∠AOC=50°,将一直角三角板的直角顶点放在点O处,一边OM在射线OB上,另一边ON在直线AB的下方。

(1)如图2,将图1中的三角板绕点O逆时针旋转,使边OM在∠BOC的内部,且OM恰好平分∠BOC.此时∠BON=________度;

(2)如图3,继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转,使得ON在∠AOC的内部.试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系,并说明理由;

(3)将图1中的三角板绕点O按每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周,在旋转的过程中,若第t秒时,OA,OC,ON三条射线恰好构成相等的角,则t的值为________(直接写出结果)

【答案】(1)25

(2)解:∠AOM与∠NOC之间满足等量关系为:∠AOM-∠NOC=40°,

理由如下:∵∠MON=90°,∠AOC=50°,

∴∠AOM+∠NOA=90°

∠AON+∠NOC=50°

∴∠AOM-∠NOC=40°

(3)13秒,34秒,49秒或64秒。

【解析】【解答】解:(1)∵∠AOC=50°,

∴∠BOC=180°-∠AOC=130°,

∵OM平分∠BOC,

∴∠BOM=∠BOC÷2=130°÷2=65°,

∴∠BON=90°-∠BOM=90°-65°=25°;

故答案为:25.

(3)如图,有四种情况:

1)当∠AON1=∠CON1,

∵∠AOC=50°,

∴∠AON1=∠CON1=(360°-∠AOC)÷2=155°,

∴∠NON1=155°-90°=65°,

∴t=65°÷5=13(秒);

2)当∠AOC=∠CON2,

∴∠NON2=360°-∠AON-2∠AOC=360°-90°-2×50°=170°,

∴t=170°÷5=34(秒);

3)当∠AON3=∠CON3,

∵∠NON3=∠NOB+∠AOB-∠AON3=90°+180°-50°÷2=245°,

∴t=245°÷5=49(秒);

4)当∠COA=∠AON4,

∠NON4=∠NOB+∠AOB+∠AON4=90°+180°+50°=320°,

∴t=320°÷5=64(秒).

故答案为:13秒,34秒,49秒或64秒.

【分析】(1)已知∠AOC的度数,根据补角的性质可求∠BOC的度数,结合OM平分∠BOC,则∠BOM的角度可求,于是根据余角的性质即可确定∠BON的大小;

(2)∠AOM和∠NOA互余,∠AON与∠NOC之和等于50°,两式联立消去∠AON,可得∠AOM和∠NOC的数量关系;

(3)因为OA,OC,ON三条射线恰好构成相等的角,分四种情况讨论,依次为当∠AON1=

∠CON1,当∠AON3=∠CON3,当∠COA=∠AON4,当∠AOC=∠CON2,根据已知角的大小,结合角的关系分别求出∠NON1,∠NON2 ,∠NON3,∠NON4的大小,则t可求.

9.

(1)如图1,点在线段上,,,点,分别是线段,的中点.求线段的长;

(2)点在线段上,若,点,分别是线段,的中点.你能得出的长度吗?并说明理由.

(3)类似的,如图2,是直角,射线在外部,且是锐角,是的平分线,是的平分线.当的大小发生改变时,的大小也会发生改变吗?为什么?

【答案】(1)解:,分别为线段,中点,

,,

.

(2)解:由()知:,,

(3)解:是平分线,是平分线,

,,

∴,

∵,

当的大小发生改变,的大小不发生改变,恒为 .

【解析】【分析】(1)根据是的中点得,再根据为的中点可得的长,继而MN=MC+CN可得答案;(2)由是中点,是中点可得

、,再根据即可得.(3)根据角平分线的定义可得

、 = ,然后根据进行计算即可得解;

10.如图

(1)如图1,AB∥CD,∠AEP=40°,∠PFD=130°。求∠EPF的度数。

小明想到了以下方法(不完整),请填写以下结论的依据:

如图1,过点P作PM∥AB,

∴∠1=∠AEP=40°(________)

∵AB∥CD,(已知)

∴PM∥CD,(________)

∠2+∠PFD=180°(________)

∵∠PFD=130°,∴∠2=180°-130°=50°

∴∠1+∠2=40°+50°=90°

即∠EPF=90°

(2)如图2,AB∥CD,点P在AB,CD外,问∠PEA,∠PFC,∠P之间有何数量关系?请说明理由;

(3)如图3所示,在(2)的条件下,已知∠P=α,∠PEA的平分线和ZPFC的平分线交于点G,用含有α的式子表示∠G的度数是________。(直接写出答案,不需要写出过程)

【答案】(1)两直线平行,内错角相等;平行于同一条直线的两条直线互相平行;两直线平行,同旁内角互补

(2)解:

理由如下:过点作,则

即 .

(3)

【解析】【解答】(3)如图:

∵EG平分∠PEA,FG平分∠PFC,

∴∠1=∠PFC,∠2=∠PEA,

∴∠1-∠2=∠PFC-∠PEA=(∠PFC-∠PEA),

∵∠PFC=∠PEA+∠P,

∴∠PFC-∠PEA=∠P,

∴∠1-∠2=∠P,

∵∠3=∠P+∠2,

∴∠G=∠3-∠1=∠P+∠2-∠1=∠P=α.

【分析】(1)根据平行线的性质及平行公理,即可求解;

(2)过点P作PN∥AB,根据平行公理得PN∥CD,得出∠PFC=∠FPN,由AB∥CD得出∠PEA=∠NPE,

从而得出∠FPN=∠PEA+∠FPE,即可求出∠PFC=∠PEA+∠FPE,即可求解;

(3)根据角平分线的定义得出∠1=∠PFC,∠2=-∠PEA,由∠PFC=∠PEA+∠P,得出∠1-∠2=

∠P,由三角形的外角性质得出∠G=∠3-∠1,∠3=∠P+∠2,从而求出∠G=α.

11.如图1, .如图2,点分别是上的点,且, .

(1)求证: F;

(2)若的角平分线与的角平分线交于点,请补全图形并直接写出与之间的关系为________.

【答案】(1)证明:如图,延长EH,交CD的延长线与M,

(2)∠BFE=2∠P.

【解析】【解答】解:(2)结论:∠BFE=2∠P,理由如下:

如图,设∠B=∠HEF=y.∠BFE=x

=

故答案为:∠BFE=2∠P.

【分析】(1)延长EH,交CD的延长线与M,根据平行线的性质及等量代换即可证明;

(2)设∠B=∠HEF=y,∠BFE=x,根据平行的性质结合三角形的内角和定理得出∠BFE=2∠P.

12.如图1,直线CB∥OA,∠A=∠B=120°,E ,F在BC上,且满足∠FOC =∠AOC,并且OE

平分∠BOF.

(1)求∠AOB及∠EOC的度数;

(2)如图2,若平行移动AC,那么∠OCB: ∠OFB的值是否随之发生变化?若变化,找出变化规律或求出变化范围;若不变,求出这个比值;

【答案】(1)解:∵CB∥OA

∴∠BOA+∠B=180°

∴∠BOA=60°

∵∠FOC=∠AOC,OE平分∠BOF

∴∠EOC=∠EOF+∠FOC

= ∠BOF+ ∠F0A

= (∠BOF+∠FOA)

= ×60°

=30°

(2)解:不变

∵CB∥OA

∴∠OCB=∠COA,∠OFB=∠FOA

∵∠FOC=∠AOC

∴∠COA= ∠FOA, 即∠OCB:∠OFB=1:2

【解析】【分析】(1)利用两直线平行,同旁内角互补,易证∠BOA+∠B=180°,即可求出∠AOB的度数;再利用角平分线的定义,可证得∠BOE=∠EOF,从而可推出

∠EOC=∠AOB,代入计算求出∠EOC的度数。

(2)利用平行线的性质可证得∠OCB=∠COA,∠OFB=∠FOA,再结合已知条件可证得∠COA=∠FOA,从而可推出∠OCB: ∠OFB的值。

13.如图,在△ ABC中,∠ ABC、∠ ACB的平分线交于点O.

(1)若∠ABC=40°,∠ ACB=50°,则∠BOC=________

(2)若∠ABC+∠ ACB=lO0°,则∠BOC="________"

(3)若∠A=70°,则∠BOC=________

(4)若∠BOC=140°,则∠A=________

(5)你能发现∠ BOC与∠ A之间有什么数量关系吗?写出并说明理由.

【答案】(1)135°

(2)130°

(3)125°

(4)100°

(5)解:BO平分∠ABC, CO平分∠ABC ∴∠OBC=0.5∠ABC ∠OCB=0.5∠ACB ∴∠OBC+∠OCB=0.5∠ABC+0.5∠ACB= 0.5(180-∠A)=90-0.5∠A ∴∠O=180-(∠OBC+∠OCB)=180-(90-0.5∠A)=90°+0.5∠A

【解析】【解答】解:(1)∵∠ABC=40°,∠ACB=50°,在△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线交于点O.

∴∠OBC= ∠ABC=20°,∠OCB= ∠ACB=25°,

∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-20°-25°=135°,

故答案是:135°;

( 2 )在△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线交于点O.

∴∠OBC= ∠ABC,∠OCB= ∠ACB,

∴∠OBC+∠OCB= (∠ABC+∠ACB)=50°,

∴∠BOC=180°- (∠ABC+∠ACB)=180°-50°=130°,

故答案是130°.

( 3 )在△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线交于点O.

∴∠OBC= ∠ABC,∠OCB= ∠ACB,

∴∠OBC+∠OCB= (∠ABC+∠ACB)=55°,

∴∠BOC=180°- (∠ABC+∠ACB)=180°-55°=125°,

故答案是125°;

( 4 )∵∠BOC=140°,

∴∠OBC+OCB=40°,

∵∠OBC= ∠ABC,∠OCB= ∠ACB,

∴∠ABC+∠ACB=2(∠OBC+OCB)=80°,

∴∠A=100°,

故答案是:100°;

【分析】根据角平分线的性质以及三角形内角和定理得出∠OBC和∠OCB与∠A之间的关系,然后根据△BOC的内角和定理得出∠BOC与∠A的关系.

14.已知:∠1=∠2,EG 平分∠AEC.

(1)如图1,∠MAE=50°,∠FEG=15°,∠NCE=80°.试判断EF 与CD 的位置关系,并说明理由.

(2)如图2,∠MAE=135°,∠FEG=30°,当 AB∥CD 时,求∠NCE 的度数;

(3)如图2,试写出∠MAE、∠FEG、∠NCE 之间满足什么关系时,AB∥CD.

【答案】(1)解:

∵EG 平分∠AEC

∴;

(2)解:∵

∵∠MAE=135°

∵∠FEG=30°

∵EG 平分∠AEC

∴;

(3)解:

∵EG 平分∠AEC

∴ .

【解析】【分析】(1)根据可得,根据角的和差关系和角平分线的性质可得,从而得证;(2)根据可得,根据平行线的性质以及角平分线的性质可得;(3)根据可得,根据平行线的性质可得

,再根据角平分线的性质可得

,再根据平行线的性质即可得

.

15.如图①,点为直线上一点,过点作射线,使,将一直角三角板的直角顶点放在点处,一边在射线上,另一边在直线的上方.

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