三角函数的图像变换及应用
三角函数的图像变换及应用
1．“五点法”画正、余弦型函数的图像
(1)(2018浙江月考，6分)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)在某一个周期内
答案： f (x )＝5sin ????2x －π
6，表格及图像见解答过程 解：根据表中已知数据，知A ＝5， ???π3ω＋φ＝π2
，5π6ω＋φ＝3π2
，解得?????ω＝2，φ＝－π6， ∴函数的解析式为f (x )＝5sin ????2x －π
6.(2分) 表格数据补全如下表：(4分)
画出函数在一个周期内的图像如图所示．(6分)
2．常见的三角函数图像变换 a ．三角函数的图像变换
(2)(2018湖南模拟，7分)把函数f (x )＝2sin ????2x －π
3＋3－1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图像向左平移π
3个单位，得到函数y ＝g (x )的图像，求
g ????π6的值．
答案：3
解：把函数f (x )＝2sin ?
???2x －π
3＋3－1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐
标不变)，得到y ＝2sin ????x －π3＋3－1的图像，再把得到的图像向左平移π
3个单位，得到y ＝2sin x ＋3－1的图像，∴g (x )＝2sin x ＋3－1，(5分)
∴g ????π6＝2sin π6
＋3－1＝ 3.(7分)
(2018浙江模拟，4分)把函数f (x )＝2sin ????2x －π3＋3－1的图像向左平移π
3个单位，再将函数图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图像，则函数g (x )的解析式为__g (x )＝2sin ???
?x ＋π
3． 解析：把函数f (x )＝2sin ????2x －π3＋3－1的图像向左平移π
3个单位，得到y ＝2sin ????2????x ＋π3－π3＋3－1＝2sin(2x ＋π
3)＋3－1的图像，再将函数图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝2sin ????x ＋π
3＋3－1的图像．∴函数g (x )的解析式为g (x )＝2sin ???
?x ＋π
3＋3－1.
(3)(2016北京，5分)将函数y ＝sin ?
???2x －π
3图像上的点 P ????
π4，t 向左平移s (s ＞0) 个单位长度得到点P ′，若P ′位于函数y ＝sin2x 的图像上，则( A )
A ．t ＝12，s 的最小值为π6
B ．t ＝32，s 的最小值为π6
C ．t ＝12，s 的最小值为π3
D ．t ＝32，s 的最小值为π
3
解析：由题意得t ＝sin ????2×π4－π3＝12，∴P ????π4，1
2. 将点P ????
π4，12向左平移s (s >0)个单位得到点P ′， ∴点P ′的坐标为????π4
－s ，1
2， 又∵点P ′位于函数y ＝sin2x 的图像上， ∴1
2＝sin2????π4－s ＝cos2s ， ∴2s ＝π3＋2k π或5π
3＋2k π，k ∈N ，
∴s ＝π6＋k π或5π
6＋k π，k ∈N .
∴当k ＝0时，s 的最小值为π
6
.故选A.
b ．诱导公式在三角函数图像变换中的应用
(4)(2017全国Ⅰ，5分)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ????2x ＋2π
3，则下面结论正确的是( D )
A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π
6个
单位长度，得到曲线C 2
B ．把
C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
π
12个单位长度，得到曲线C 2
C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π
6个单
位长度，得到曲线C 2
D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π
12个
单位长度，得到曲线C 2
解析：因为C 2：y ＝sin ????2x ＋2π3＝sin ????2x ＋π6＋π2＝cos(2x ＋π
6)，故把问题转化为由y ＝cos x 的图像经何种变换得到y ＝cos ????2x ＋π
6的图像．将y ＝cos x 的图像上各点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，得到y ＝cos2x 的图像，再将y ＝cos2x 的图像向左平移π
12个单位得到y ＝
cos ?
???2x ＋π
6的图像．故选D. (5)(经典题，5分)函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ≤π)的图像向右平移π
2个单位后，与函数y
＝sin ????2x ＋π3的图像重合，则φ＝__5π
6
__． 解析：(法一)函数y ＝cos(2x ＋φ)的图像向右平移π2个单位，得到y ＝cos ????2????x －π2＋φ＝cos(2x －π＋φ)＝sin(2x －π
2
＋φ)的图像，
∵平移后的函数图像与函数y ＝sin ????2x ＋π
3的图像重合， ∴2x －π2＋φ＝2x ＋π3＋2k π，k ∈Z ，解得φ＝5π
6＋2k π，k ∈Z .
又∵－π≤φ≤π，∴φ＝5π6
.
(法二)函数y ＝cos(2x ＋φ)的图像向右平移π
2个单位，得到y ＝sin ????2x ＋π3的图像，即y ＝sin ????2x ＋π3的图像向左平移π
2
个单位，得到函数y ＝cos(2x ＋φ)的图像．y ＝sin ????2x ＋π3的图像向
左平移π2个单位，得到y ＝sin ????2????x ＋π2＋π3＝sin(2x ＋π＋π
3)＝sin ????2x ＋π2＋π3＋π2＝cos ????2x ＋π2＋π3＝cos(2x ＋5π6)的图像，∴φ＝5π
6
＋2k π，k ∈Z .
又∵－π≤φ≤π，∴φ＝5π6
.
(6)(2018河南月考，5分)为了得到函数y ＝－sin2x 的图像，可将函数y ＝sin ????2x －π3＋1的图像( C )
A ．向左平移π
3个单位，再向上平移1个单位
B ．向左平移π
6个单位，再向上平移1个单位
C ．向右平移π
3个单位，再向下平移1个单位
D ．向右平移2π
3
个单位，再向下平移1个单位
解析：(法一)∵y ＝－sin2x ＝sin(2x －π)＝sin2(x －π
2)，且y ＝sin ????2x －π3＝sin2????x －π6，∴将y ＝sin ????2x －π3＋1的图像向右平移π
3个单位，得到y ＝－sin2x ＋1的图像，再将该函数图像向下平移1个单位，得到y ＝－sin2x 的图像．故选C.
(法二)∵y ＝sin ????2x －π3＋1＝－sin ????2x ＋2π3＋1＝－sin2(x ＋π
3)＋1，∴问题转化为将函数y ＝－sin2(x ＋π
3)＋1的图像经过变换得到函数y ＝－sin2x 的图像．∴将y ＝sin ????2x －π3＋1的图像向右平移π
3个单位，得到y ＝－sin2x ＋1的图像，再将图像向下平移1个单位，得到y ＝－
sin2x 的图像．故选C.
3．根据图像求三角函数解析式
a ．求正弦型或余弦型三角函数的解析式
(7)(2016全国Ⅱ，5分)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图像如图17－4所示，则( A )
图17－4
A ．y ＝2sin ????2x －π6
B ．y ＝2sin ?
???2x －π3
C ．y ＝2sin ????2x ＋π6
D ．y ＝2sin ?
???2x ＋π3 解析：(法一)由图像知A ＝2，最小正周期T ＝2[π3－????－π6]＝π，∴ω＝2π
T ＝2，∴y ＝2sin(2x ＋φ)．又函数图像过点????π3，2，∴2＝2sin ????2π3＋φ，∴2π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，解得φ＝－π
6＋2k π，k ∈Z ，结合选项，取φ＝－π
6
.∴函数的解析式为y ＝2sin ????2x －π6.故选A. (法二)由图像可知， f (0)<0，排除C ，D 选项．又函数图像过点????π3，2，则A 中，x ＝π
3时，y ＝2sin π2＝2，满足条件．B 中，x ＝π3时，y ＝2sin π
3
＝3，不满足条件．故选A.
(经典题，5分)已知函数y ＝A sin ()ωx ＋φ的部分图像如图17－7所示，且ω>0，|φ|<π2，则
函数解析式为( A )
图17－7
A ．y ＝－4sin ????π8x ＋π4
B ．y ＝4sin ????π8x －π4
C ．y ＝－4sin ????π8x －π4
D ．y ＝4sin ???
?π8x ＋π4 解析：函数的最小正周期为[6－(－2)]×2＝16，即16＝2πω，∴ω＝π
8.当A >0时，根据函
数的图像，得A ＝4，
∴y ＝4sin ???
?π
8x ＋φ. ∵函数图像过点(－2，0)，且该点在减区间上， ∴π8×(－2)＋φ＝2k π＋π，k ∈Z ，即φ＝2k π＋5π
4，k ∈Z . 经验证，不存在k ∈Z 使|φ|<π
2，∴A >0不满足题意．
当A <0时，根据函数的图像，得A ＝－4， ∴y ＝－4sin ????π8x ＋φ＝4sin(π
8x ＋φ＋π)． ∵函数图像过点(－2，0)，且该点在减区间上，
∴π8×(－2)＋φ＋π＝2k π＋π，k ∈Z ，即φ＝2k π＋π
4，k ∈Z ， 又∵|φ|<π2，∴令k ＝0，得φ＝π4
，
∴y ＝－4sin ????
π8x ＋π4.故选A.
(8)(2015全国Ⅰ，5分)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图像如图17－9所示，则f (x )的单调递减区间为( D )
图17－9
A.?
???k π－14，k π＋3
4，k ∈Z B.?
???2k π－14，2k π＋3
4，k ∈Z C.????k －14
，k ＋3
4，k ∈Z D.?
???2k －14，2k ＋3
4，k ∈Z 解析：(法一)设图中左边最高点的横坐标为x 0，最低点的横坐标为x 1.由图像知函数的最小正周期为T ＝2×(54－14)＝2，则结合图像知x 0＝14－T 4＝－14，x 1＝14＋T 4＝3
4
，
∴函数f (x )在一个周期内的单调递减区间为(－14，3
4)．
∵函数f (x )的最小正周期为2，
∴函数f (x )的单调递减区间为(2k －14，2k ＋3
4)，k ∈Z .
故选D.
(法二)由五点法可知???14ω＋φ＝π2
，54ω＋φ＝3π2，解得?????ω＝π，φ＝π4，所以f (x )＝cos ????πx ＋π4 .令2k π≤πx ＋π4
≤π＋2k π，k ∈Z ，解得 2k －14≤x ≤2k ＋34，k ∈Z ，故函数f (x )的单调递减区间为(2k －1
4，2k
＋3
4
)，k ∈Z .故选D. b ．求正切型函数的解析式
(9)(经典题，5分)已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，||φ<π
2)，y ＝f (x )的部分图像如图17－
11所示，则f ????
π24＝．
图17－11
解析：由图像可知T 2＝3π8－π8＝π4，∴T ＝1
2π，
∴ω＝π
T ＝2，∴f (x )＝A tan(2x ＋φ)．
∵f ????3π8＝0，即0＝A tan ????2×3π8＋φ， ∴3π4＋φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝－3π
4＋k π，k ∈Z ， 又|φ|<π2，∴令k ＝1，得φ＝π4.
由f (0)＝1，得A tan π
4＝1，∴A ＝1，
∴f (x )＝tan ????2x ＋π4，∴f ????π
24＝ 3. 4．三角函数图像的综合应用
a ．三角函数图像变换与性质的综合
(10)(经典题，5分)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π
2)图像的两条相邻对称轴的距离
为π2，把f (x )的图像向右平移π
6个单位，得函数g (x )的图像，且g (x )为偶函数，则f (x )的单调增区间为( D )
A.?
???2k π＋π3，2k π＋4π
3，k ∈Z B.?
???k π＋π3，k π＋4π
3，k ∈Z C.?
???2k π－π6，2k π＋π
3，k ∈Z D.?
???k π－π6，k π＋π
3，k ∈Z 解析：∵函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)????ω>0，|φ|<π2图像的两条相邻对称轴的距离为π2，∴T 2＝π
2
.
又∵T ＝2πω，∴2π2ω＝π
2
，解得ω＝2，
∴函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋φ)???
?|φ|<π
2. (法一)∵把f (x )的图像向右平移π
6
个单位，得函数g (x )的图像，
∴g (x )＝2sin ????2????x －π6＋φ＝2sin(2x －π3
＋φ)????|φ|<π2. ∵g (x )为偶函数，∴φ－π3＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝5π6＋k π，k ∈Z .又∵|φ|<π
2，∴令k ＝－1，
得φ＝－π6，∴f (x )＝2sin ????2x －π6.令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，∴f (x )的单调增区间为[k π－π6，k π＋π
3
]，k ∈Z .故选D.
(法二)∵把函数f (x )的图像向右平移π
6个单位，得函数g (x )的图像，且g (x )为偶函数，∴
函数f (x )图像的一条对称轴为x ＝－π6，∴2×????－π6＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，∴φ＝5π
6
＋k π，k ∈Z . 又∵|φ|<π2，∴令k ＝－1，得φ＝－π
6.以下同法一．
b ．三角函数图像的判断
(11)(2017全国Ⅰ，5分)函数y ＝sin2x
1－cos x
的部分图像大致为( C )
解析：∵f (－x )＝sin （－2x ）1－cos （－x ）＝－sin2x
1－cos x ＝－f (x )，且定义域关于原点对称，∴函数y
＝
sin2x 1－cos x 为奇函数，排除B ；当x ＝π时，y ＝sin2π1－cos π＝0，排除D ；当x ＝1时，y ＝sin2
1－cos1
，
∵π
2
<2<π，∴sin2>0，又1－cos1>0，∴当x ＝1时，y >0，排除A.故选C.
c ．判断图像交点个数的问题
(12)(2016江苏，5分)定义在区间[0，3π]上的函数y ＝sin2x 的图像与y ＝cos x 的图像的交点个数是__7__．
解析：令sin2x ＝cos x ，则2sin x cos x ＝cos x ，即(2sin x －1)cos x ＝0，解得cos x ＝0或sin x ＝12.∵x ∈[0，3π]，∴当cos x ＝0时，x ＝π2，3π2，5π2；当sin x ＝12时，x ＝π6，5π6，13π6，17π6，∴在区间[0，3π]上的函数y ＝sin2x 的图像与y ＝cos x 的图像的交点个数是7.
(经典题，5分)方程x 1
3＝2sin x 的实数根的个数为( D ) A ．3 B ．5 C ．7 D ．9
解析：易知函数y ＝x 13
和函数y ＝2sin x 均为奇函数，且函数y ＝x 13
为增函数． 当x ＝0时，两函数值均为0； 当x ＝18时， ????1813
＝12>2×18>2sin 18
； 当x ＝5π2时，2sin 5π2
＝2， ????5π213
＜813＝2；
当x >8时，x 1
3
>2≥2sin x ，∴画出函数y ＝x 13
和函数y ＝2sin x 的部分图像如图所示．
由图知函数y ＝x 1
3
和函数y ＝2sin x 的图像在(0，＋∞)内的交点个数为4.∵函数y ＝x 13
和y ＝2sin x 均为奇函数，∴两函数图像在(－∞，0)上也有4个交点，再加上原点，∴方程x 1
3＝2sin x 的实数根的个数为9，故选D.
(13)(2018山东模拟，7分)已知函数f (x )＝sin x ＋2||sin x 在x ∈[0，2π]上的图像与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围．
答案：(1，3)
解：f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝?
????3sin x ，x ∈[0，π]，
－sin x ，x ∈（π，2π]，画出函数的图像，如图所示．(5分)
由图像知1 d ．三角函数与其他知识的综合 (14)(2018内蒙古期中，5分)已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，θ∈[0，π]，b ＝(3，－1)，若|2a －b | A ．[4，＋∞) B ．(4，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．(4，10) 解析：∵a ＝(cos θ，sin θ)，θ∈[0，π]，b ＝(3，－1)， ∴|2a －b |＝（2cos θ－3）2＋（2sin θ＋1）2 ＝4cos 2θ－43cos θ＋3＋4sin 2θ＋4sin θ＋1 ＝8－43cos θ＋4sin θ ＝ 8＋8sin ??? ?θ－π3. ∵θ∈[0，π]，∴θ－π 3∈????－π3，23π， ∴－43≤8sin ????θ－π 3≤8，∴|2a －b |≤16＝4. ∵|2a －b | 故选B. 随堂普查练17 1．(2018深圳一模，5分)将函数y ＝sin ????6x ＋π 4的图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移π 8 个单位，得到的函数图像的一个对称中心为( A ) A.????π2，0 B.????π 4，0 C.????7π16，0 D.??? ?5π 16，0 解析：将函数y ＝sin ????6x ＋π4的图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍，得到y ＝sin ????2x ＋π4的图像，再向右平移π 8个单位，得到y ＝sin[2????x －π8＋π4]＝sin2x 的图像．令2x ＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π 2 ，k ∈Z ，∴对称中心为????k π2，0，k ∈Z ，结合选项知A 正确． 2．(2019改编，6分)已知函数f (x )＝2sin ????ωx ＋π 3(ω>0)的图像上两个相邻的最高点之间的距离为π，求函数f (x )的表达式，并在平面直角坐标系中用“五点法”作出该函数在区间 ? ???0，17π24上的图像． 答案：f (x )＝2sin ? ???2x ＋π 3，图像见解答过程 解：∵函数f (x )＝2sin ? ???ωx ＋π 3(ω>0)的图像上两个相邻的最高点之间的距离为π，∴T ＝π， 即2π ω ＝π， ∴ω＝2，∴f (x )＝2sin ????2x ＋π 3.(2分) 3．(2018江西联考，5分)若将函数f (x )＝2sin x cos x －23sin 2x ＋3的图像向右平移φ(0<φ<π)个单位，所得的函数图像关于原点对称，则角φ的终边可能过以下的哪个点( D ) A ．(－3，1) B ．(1，3) C ．(3，－1) D ．(－1，3) 解析：∵f (x )＝2sin x cos x －23sin 2x ＋3＝sin2x －3(1－cos2x )＋3＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin(2x ＋π 3 )， ∴将该函数图像向右平移φ个单位得到f (x －φ)＝2sin[2(x －φ)＋π 3]＝2sin(2x －2φ＋π3)的 图像． ∵所得的函数图像关于原点对称， ∴π 3－2φ＝k π，k ∈Z ， ∴φ＝π6－k π 2，k ∈Z . 又0<φ<π， ∴令k ＝－1，得φ＝2 3π，此时角φ的终边过点(－1，3)． 故选D. 4．(2018天津，5分)将函数y ＝sin ????2x ＋π5的图像向右平移π 10个单位长度，所得图像对应的函数( A ) A ．在区间???? 3π4，5π4上单调递增 B ．在区间????3π4，π上单调递减 C ．在区间???? 5π4，3π2上单调递增 D ．在区间??? ?3π 2，2π上单调递减 解析：将函数y ＝sin ????2x ＋π5的图像向右平移π10个单位长度，得函数y ＝sin[2(x －π10)＋π 5]＝sin ? ???2x －π5＋π 5＝sin2x 的图像． 令2k π－π2≤2x ≤2k π＋π 2(k ∈Z )， 解得k π－π4≤x ≤k π＋π 4 (k ∈Z )． 当k ＝1时，可得3π4≤x ≤5π4；当k ＝2时，可得7π4≤x ≤9π4.故[3π4，5π4]和[7π4，9π 4]为单调递 增区间，A 选项正确，B ，C ，D 选项错误． 令2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π 2(k ∈Z )， 解得k π＋π4≤x ≤k π＋3π 4 (k ∈Z )． 当k ＝1时，可得5π4≤x ≤7π4，故[5π4，7π 4]为单调递减区间，C 选项错误．答案选A. 5．(2018东北三省三校模拟，5分)要得到函数f (x )＝cos ????2x ＋π 3的图像，只需将函数g (x )＝sin ? ???2x ＋π 3的图像( C ) A ．向左平移π 2个单位长度 B ．向右平移π 2个单位长度 C ．向左平移π 4个单位长度 D ．向右平移π 4 个单位长度 解析：(法一)f (x )＝cos ????2x ＋π3＝cos(2x ＋5π6－π 2)＝sin ????2x ＋5π6＝sin2????x ＋5π12，g (x )＝sin(2x ＋π3)＝sin2(x ＋π6)，∴将g (x )的图像向左平移π 4 个单位得到f (x )的图像．故选C. (法二)f (x )＝cos ????2x ＋π3＝cos2????x ＋π6，g (x )＝sin(2x ＋π 3)＝sin ????2x －π6＋π2＝cos ????2x －π6＝cos2??? ?x －π 12， ∴将g (x )的图像向左平移π 4 个单位得到f (x )的图像．故选C. (法三)设函数g (x )＝sin ????2x ＋π 3的图像向左平移a 个单位得到f (x )＝cos ????2x ＋π3的图像， 即y ＝sin ????2（x ＋a ）＋π3＝sin ????2x ＋2a ＋π 3 ＝sin ????2x ＋2a －π6＋π2＝cos ????2x ＋2a －π6 ＝cos ????2x ＋π3，∴2a －π6＝π 3＋2k π，k ∈Z ， 即a ＝π4＋k π，k ∈Z ，结合选项，可知a ＝π4 ， ∴函数g (x )的图像向左平移π 4个单位，得到f (x )的图像． 故选C. 6．(经典题，5分)如图17－17是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，||φ≤π 2)的部分图像， 为了得到这个函数的图像，只要将y ＝sin x 的图像上所有的点( A ) 图17－17 A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1 2，纵坐标不变 B. 向左平移π 3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1 2，纵坐标不变 D ．向左平移π 6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 解析：由图像知A ＝1，最小正周期T ＝5π6－????－π6＝π，∴ω＝2πT ＝2，∴y ＝sin(2x ＋φ)．∵x ＝－π6在函数的增区间上且是函数的零点，∴2×????－π6＋φ＝2k π，k ∈Z ，解得φ＝π 3＋2k π，k ∈Z ，又|φ|≤π2，∴令k ＝0，得φ＝π3，∴y ＝sin ????2x ＋π3.将y ＝sin x 的图像上所有的点向左平移π 3个单位，得到y ＝sin ????x ＋π3的图像，再把所得图像的各点的横坐标缩短到原来的1 2，纵坐标不变，得到y ＝sin ? ???2x ＋π 3的图像，故选A. 7．(2018珠海期末，5分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，A ＞0，ω＞0，||φ＜π 2 ，部分图像如图17－18所示，则下列关于函数f (x )的说法中正确的是( D ) 图17－18 A ．对称轴方程是x ＝π 6＋k π(k ∈Z ) B ．对称中心坐标是????π 3＋k π，0()k ∈Z C ．在区间????－π2，π 2上单调递增 D ．在区间????－π，－2π 3上单调递减 解析：由图可知， 函数的最小正周期为T ＝2×??? ?5π 6－??? ?－π6＝2π， 一条对称轴为x ＝5π6＋???? － π62＝π 3 ， ∴函数的对称轴方程为x ＝π 3＋k π，k ∈Z ，∴A ，C 错误； 由图像易知函数的一个对称中心为??? ?－π 6，0， ∴函数的对称中心为????－π 6＋k π，0，k ∈Z ，∴B 错误；延伸函数图像，如图所示，可知f (x )在[－ 7π6，－2π 3 ]上单调递减， 又－7π6<－π<－2π 3 ，∴ D 正确． 8．(2018浙江二模，4分)函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)的图像向右平移π 12个单位得到函数y ＝ g (x )的图像，并且函数g (x )在区间????π6，π3上单调递增，在区间????π3，π 2上单调递减，则实数ω的值为( C ) A.74 B.3 2 C ．2 D.5 4 解析：(法一)函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图像向右平移π 12 个单位，得y ＝sin ω????x －π12＝sin ? ???ωx －π 12ω， ∴g (x )＝sin ????ωx －π12ω，又函数g (x )在区间[π6，π3]上单调递增，在区间????π3，π2上单调递减，∴当x ＝π3时，g (x )取得最大值，且π2－π6≤T ＝2πω ， ∴ω×π3－ωπ12＝π 2＋2k π，k ∈Z ，且0<ω≤6， ∴ω＝2＋8k ，k ∈Z ，且0<ω≤6， ∴令k ＝0，得ω＝2.故选C. (法二)∵函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图像向右平移π 12个单位得到函数y ＝g (x )的图像，并且函 数g (x )在区间????π6，π3上单调递增，在区间??? ?π3，π 2上单调递减，∴函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间????π12，π4上单调递增，在区间??? ?π4，5π12上单调递减， ∴当x ＝π4时， f (x )取得最大值，且5π12－π12≤T ＝2π ω， ∴π4ω＝π 2 ＋2k π，k ∈Z ， 且0<ω≤6，解得ω＝2＋8k ，k ∈Z ，且0<ω≤6， ∴令k ＝0，得ω＝2.故选C. 9．(2016浙江，5分)函数y ＝sin x 2的图像是( D ) 解析：易知函数为偶函数，排除A ，C 选项；当x ＝ π2<π2时，y ＝sin π 2 ＝1，排除B 选项．故选D. 10．(2018景德镇期末，5分)已知函数f (x )为定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，且当x >0时， f (x )＝lg x .函数g (x )＝||sin x ，则函数f (x )与g (x )图像的交点个数为( C ) A ．6 B ．8 C ．10 D ．12 解析：∵g (－x )＝|sin(－x )|＝|sin x |＝g (x )，∴g (x )为偶函数． ∵函数f (x )与g (x )均为偶函数， ∴只需判断y 轴右侧的交点个数即可． 令y ＝lg x ＝1，解得x ＝10，且3π<10<7π 2 ， 作出函数y ＝|sin x |(x >0)与y ＝lg x 的图像，如图所示． 由图像可知y 轴右侧两个图像的交点个数为5，∴y 轴左侧也有5个交点，∴函数f (x )与g (x )图像的交点个数为10，故选C. 11．(经典题，5分)若关于x 的方程sin α＝1 2????x ＋1x (x ≠0)有解，则α的值为( D ) A ．2k π，k ∈Z B ．k π，k ∈Z C ．2k π＋π2，k ∈Z D ．k π＋π 2，k ∈Z 解析：设y ＝1 2????x ＋1x (x ≠0)，当x >0时， ∵x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2，当且仅当x ＝1时取等号， ∴y ＝1 2??? ?x ＋1x ≥1，∴函数的最小值为1. 又∵－1≤sin α≤1且方程sin α＝1 2????x ＋1x 有解，∴sin α＝1， ∴α＝2k π＋π 2，k ∈Z ；当x <0时， ∵x ＋1x ＝－????－x ＋????－1x ≤－2（－x ）·??? ?－1 x ＝－2， 当且仅当x ＝－1时取等号， ∴y ＝1 2????x ＋1x ≤－1， ∴函数的最大值为－1. 又∵－1≤sin α≤1且方程sin α＝1 2????x ＋1x 有解， ∴sin α＝－1，∴α＝3π 2＋2k π，k ∈Z . 综上，α＝π 2＋k π，k ∈Z ，故选D. 课后提分练17 三角函数的图像变换及应用 A 组(巩固提升) 1．(2016全国Ⅰ，5分)将函数y ＝2sin ????2x ＋π6的图像向右平移1 4个周期后，所得图像对应的函数为( D ) A ．y ＝2sin ????2x ＋π4 B ．y ＝2sin ????2x ＋π 3 C ．y ＝2sin ????2x －π 4 D ．y ＝2sin ? ???2x －π3 解析：∵函数y ＝2sin ????2x ＋π6的最小正周期T ＝2π 2＝π，∴将函数y ＝2sin ????2x ＋π6的图像向右平移14个周期，即向右平移π 4个单位，所得图像对应的函数解析式为y ＝2sin ????2????x －π4＋π6＝2sin(2x －π 3 )．故选D. 2．(2018全国Ⅲ，5分)函数f (x )＝cos ????3x ＋π 6在[0，π]上的零点个数为__3__． 解析：由题意，令f (x )＝cos ????3x ＋π6＝0，则3x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝k π3＋π 9(k ∈Z )． 因为x ∈[0，π]，所以可取x ＝π9，4π9，7π 9这3个值．所以函数f (x )＝cos ????3x ＋π6在[0，π]上的零点个数为3. 3．(2018湖南期末，5分)函数y ＝f (x )的图像如图17－1所示，则f (x )可能是( D ) 图17－1 A ．x sin x B ．x cos x C.sin x x D.cos x x 解析：由图像知函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}，排除A ，B ； ∵图像关于原点对称，∴函数f (x )为奇函数．设f (x )＝sin x x ，则f (－x )＝sin （－x ）－x ＝－sin x －x ＝ sin x x ＝f (x )，不符合条件，排除C ；设g (x )＝cos x x ，则g (－x )＝cos （－x ）－x ＝cos x －x ＝－cos x x ＝ －g (x )，符合条件，故选D. 4．(2018山西模拟，5分)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)????ω＞0，||φ<π 2的图像如图17－2所示，则函数y ＝f (x )＋ω的图像的对称中心坐标为( D ) 图17－2 A.????23k π＋π24，32()k ∈Z B.????3k π－3π8，2 3()k ∈Z C.????12k π＋5π8，32()k ∈Z D.????32 k π－3π8，2 3()k ∈Z 解析：(法一)由图像知函数f (x )的最小正周期T ＝2×????15π8－3π8＝3π，∴ω＝2πT ＝2 3.由图像知函数f (x )的图像的一个对称中心为(15π8＋3π 82，0)，即???? 9π8，0，∴函数f (x )的图像的对称中心为????9π8＋3k π2，0，k ∈Z ，即????－3π8＋3 2k π，0，k ∈Z ，∴函数y ＝f (x )＋ ω的图像的对称中心坐标为????－3π8＋32 k π，2 3，k ∈Z ，故选D. (法二)同法一得ω＝23 ，∴f (x )＝2sin ????23x ＋φ， 又函数图像过点????3π8，2，∴2＝2sin ????23×3π8＋φ＝2sin ????π4＋φ，∴π4＋φ＝π 2＋2k π，k ∈Z ，解得φ＝π 4 ＋2k π，k ∈Z . 又∵|φ|<π2，∴令k ＝0，得φ＝π 4，∴f (x )＝2sin ????23x ＋π4，∴函数y ＝f (x )＋ω＝2sin ????23x ＋π4＋2 3 . 令23x ＋π4＝k π，k ∈Z ，解得x ＝－3π8＋3 2 k π，k ∈Z ，∴该函数图像的对称中心为????－3π8＋32 k π，23，k ∈Z .故选D. 5．(2018河南月考，5分)要得到函数y ＝sin x 的图像，只需将函数y ＝sin ????2x ＋π 4 的图像上所有点的( D ) A ．横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向左平移π 8个单位长度 B ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π 4个单位长度 C ．横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向右平移π 4个单位长度 D ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移π 4 个单位长度 解析：将函数y ＝sin ????2x ＋π 4的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ????x ＋π4的图像，再向右平移π 4 个单位长度，得到y ＝sin x 的图像，故选D. 6．(2018江苏月考，5分)将函数y ＝sin ????2x ＋π6的图像向右平移φ????0<φ<π 2个单位后，得到函数f (x )的图像，若函数f (x )是偶函数，则φ的值等于__π 3 __． 解析：将函数y ＝sin ????2x ＋π6的图像向右平移φ????0<φ<π 2个单位后，得到函数f (x )＝sin(2x ＋π 6 －2φ)的图像． ∵函数f (x )是偶函数，∴π6－2φ＝π2＋k π，k ∈Z ，解得φ＝－π6－k π2，k ∈Z .∵0<φ<π 2，∴当 k ＝－1时，φ＝π 3 . 7．(2018山西月考，5分)将函数y ＝2sin ????ωx ＋π4(ω＞0)的图像向右平移π 4ω个单位，得到函数y ＝g (x )的图像，若y ＝g (x )在??? ?－π6，π 3上为增函数，则ω的最大值为( C ) A ．3 B ．2 C.32 D.5 4 解析：函数y ＝2sin ????ωx ＋π4(ω>0)的图像向右平移π4ω个单位，可得g (x )＝2sin[ω(x －π 4ω)＋π4]＝2sin ωx 的图像．当－π6≤x ≤π3时，－π6ω≤ωx ≤π3ω，∵－π6ω<0<π 3ω且y ＝g (x )在????－π6，π3上为增函数，∴－π2≤－π6ω<π3ω≤π2，解得ω≤32，∴0<ω≤32，∴ω的最大值为3 2 .故选C. 8．(2018山西模拟，5分)已知ω＞0，将函数f (x )＝cos ωx 的图像向右平移π 2个单位后，得 到函数g (x )＝sin ? ???ωx －π 4的图像，则ω的最小值是( A ) A.32 B ．3 C.43 D.23 解析：将函数f (x )＝cos ωx 的图像向右平移π 2个单位后，得到y ＝cos ω????x －π2＝cos ????ωx －π2ω＝sin(ωx －π2ω＋π2)的图像，由题意知ωx －π2ω＋π2＝ωx －π4＋2k π，k ∈Z ，即ω＝3 2－4k ，k ∈Z ， 又∵ω>0，∴当k ＝0时，ω取得最小值3 2 .故选A. 9．(2018河南息县一中一模，5分)将函数f (x )的图像向左平移π 6个单位后，得到函数g (x ) 的部分图像如图17－3所示，则函数f (x )的解析式是( A ) 图17－3 A ．f (x )＝sin ????2x －π6 B ．f (x )＝sin ????2x ＋π6 C ．f (x )＝sin ????2x －π3 D ．f (x )＝sin ????2x ＋π3 解析：(法一)设g (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，A >0，ω>0，|φ|<π 2，由图像知A ＝1，B ＝0，最小 正周期T ＝4×????5π12－π6＝π，∴ω＝2πT ＝2，∴g (x )＝sin(2x ＋φ)．当x ＝π 6时，函数g (x )取得最大值，∴2×π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z .又|φ|<π2，解得φ＝π 6，∴g (x )＝sin ????2x ＋π6.∵将函数f (x )的图像向左平移π6个单位后得到函数g (x )的图像，∴将函数g (x )的图像向右平移π 6个单位后得到函数 f (x )的图像，∴f (x )＝sin ??? ?2????x －π6＋π6＝sin ? ???2x －π 6.故选A. (法二)∵将函数f (x )的图像向左平移π 6个单位后得到函数g (x )的图像，∴将函数g (x )的图 像向右平移π 6 个单位后得到函数f (x )的图像，∴可在图中画出f (x )的图像，如图所示． 设函数f (x )的解析式为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，A >0，ω>0，|φ|<π 2 ，由图像知A ＝1，B ＝0， . 三角函数的图像与性质练习题 正弦函数、余弦函数的图象 A组 1.下列函数图象相同的是() A. y= sin x 与 y=sin(x+ π) B.y= cos x 与 y= sin - C.y= sin x 与 y=sin( -x) D.y=- sin(2π+x )与 y= sin x 解析 :由诱导公式易知 y= sin- = cos x,故选 B . 答案 :B 2.y= 1+ sin x,x∈[0,2π]的图象与直线y= 2 交点的个数是 () A.0 B.1 C.2 D.3 解析 :作出 y= 1+ sin x 在 [0,2 π]上的图象 ,可知只有一个交点. 答案 :B 3.函数y= sin(-x),x∈[0,2π]的简图是() 解析 :y=sin( -x)=- sin x,x∈ [0,2 π]的图象可看作是由y= sin x,x∈ [0,2 π]的图象关于 x 轴对称得到的 ,故选B. 答案 :B 4.已知cos x=- ,且x∈[0,2π],则角x等于() A. 或 B.或 C.或 D.或 解析 :如图 : 由图象可知 ,x=或. 答案 :A 5.当x∈[0,2π]时,满足sin-≥ -的x的取值范围是() A. B. C. D. 解析 :由 sin -≥ - ,得cos x≥ - . 画出 y=cos x,x∈ [0,2 π],y=- 的图象 ,如图所示 . ∵cos = cos =- ,∴当 x∈ [0,2 π]时 ,由 cos x≥- ,可得 x∈. 答案 :C 6.函数y= 2sin x与函数y=x图象的交点有个. 解析 :在同一坐标系中作出函数 y= 2sin x与 y=x 的图象可见有3个交点. 答案 :3 7.利用余弦曲线,写出满足cos x>0,x∈ [0,2 π]的 x 的区间是. 解析 :画出 y= cos x,x∈ [0,2 π]上的图象如图所示 . cos x>0 的区间为 答案 : 8.下列函数的图象:①y= sin x-1;② y=| sin x|;③y=- cos x;④ y=;⑤y=-.其中与函数y= sin x 图象形状完全相同的是.(填序号 ) 三角函数图像的平移变换专项练习 1.为了得到函数)6 3sin(π +=x y 的图象，只需把函数x y 3sin =的图象 （ ） A 、向左平移 6π B 、向左平移18π C 、向右平移6π D 、向右平移18 π 6、将函数)(sin )(R x x x f y ∈?=的图象向右平移4 π 个单位后，再作关于x 轴的对 称变换，得到函数x y 2sin 21-=的图象，则)(x f 可以是＿＿＿＿＿＿＿。 1、要得到函数)4 2sin(3π +=x y 的图象，只需将函数x y 2sin 3=的图象（ ） （A ）向左平移 4π个单位 （B ）向右平移4π 个单位 （C ）向左平移8π个单位 （D ）向右平移8 π 个单位 2、将函数y=sin3x 的图象作下列平移可得y=sin(3x+ 6 π )的图象 （A) 向右平移 6π 个单位 (B) 向左平移6π 个单位 （C ）向右平移18π 个单位 （D ）向左平移18 π 个单位 3．将函数sin y x =的图象上每点的横坐标缩小为原来的1 2 （纵坐标不变），再把 所得图象向左平移6π 个单位，得到的函数解析式为（ ） ()sin 26A y x π?? =+ ?? ? ()sin 23B y x π? ?=+ ?? ? ()sin 26x C y π??=+ ??? ()s i n 212x D y π??=+ ??? 4、把函数x y cos =的图象上所有的点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，然后把图象向左平移4 π 个单位长度，得到新的函数图象，那么这个新函数的解析式为 （A ）??? ??+=42cos πx y （B ）??? ??+=42cos πx y （C ）x y 2sin = （D ）x y 2sin -= 5．要得到函数x y cos 2=的图象，需将函数)42sin(2π +=x y 的图象（ ） (A)横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π 个单位长度 (B)横坐标缩短到原来的 21倍（纵坐标不变），再向右平行移动4 π个单位长度 三角函数解之分析 考纲要求: （1）求参数的顺序问题：理论上，三个参数均可以通过特殊点的代入进行求解，但由于,A ω与函数性质联系非常紧密，所用通常先抓住波峰波谷以确定A 的值，再根据对称轴对称中心的距离确定T ，进而求出ω，最后再通过代入一个特殊点，并根据?的范围确定?。 （2）求?时特殊点的选取：往往优先选择最值点，因为最值点往往计算出的?值唯一，不会出现多解的情况。如果代入其它点（比如零点），有时要面临结果取舍的问题。 基础知识回顾: 在有关三角函数的解答题中，凡涉及到()()sin f x A x ω?=+的性质时，往往表达式不直接给出，而是需要利用已知条件化简或求得,,A ω?得到，本讲主要介绍求解()sin y A x ω?=+解析式的一些技巧和方法 1．“五点法”作图 “五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x 轴相交的三个点，作图的一般步骤为： (1)定点：如下表所示． (2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y ＝Asin (ωx ＋φ)在一个周期内的图象． (3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y ＝Asin (ωx ＋φ)在R 上的图象． 2．函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝Asin (ωx ＋φ)的图象的两种途径 3．函数y ＝Asin (ωx ＋φ)的物理意义 当函数y ＝Asin (ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈[)0，＋∞表示一个振动量时，A 叫做振幅，T ＝2π ω 叫做 周期，f ＝1 T 叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相． 应用举例: 类型一、确定三角函数的解析式和振幅、初相、相位 【例1】 【山东省乐陵市第一中学2019届高三一轮复习检测试题】函数 的部分图象如图所示，则将 的图象向右平移个单位后，得 到的图象的解析式为 A ． 2x B ． 2x C ． D ． 【答案】D 《图象变换的顺序寻根》 题根研究 一、图象变换的四种类型 从函数y = f (x)到函数y = A f ()+m，其间经过4种变换： 1.纵向平移——m 变换 2.纵向伸缩——A变换 3.横向平移——变换 4.横向伸缩——变换 一般说来，这4种变换谁先谁后都没关系，都能达到目标，只是在不同的变换顺序中，“变换量”可不尽相同，解题的“风险性”也不一样. 以下以y = sin x到y = A sin ()+m为例，讨论4种变换的顺序问题. 【例1】函数的图象可由y = sin x的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到？ 【解法1】第1步，横向平移： 将y = sin x向右平移，得 第2步，横向伸缩： 将的横坐标缩短倍，得 第3步：纵向伸缩： 将的纵坐标扩大3倍，得 第4步：纵向平移： 将向上平移1，得 【解法2】第1步，横向伸缩： 将y = sin x的横坐标缩短倍，得y = sin 2x 第2步，横向平移： 将y = sin 2x向右平移，得 第3步，纵向平移： 将向上平移，得 第4步，纵向伸缩： 将的纵坐标扩大3倍，得 【说明】解法1的“变换量”（如右移）与参数值（）对应，而解法2中有的变 换量（如右移）与参数值（）不对应，因此解法1的“可靠性”大，而解法2的“风险性”大. 【质疑】对以上变换，提出如下疑问： （1）在两种不同的变换顺序中，为什么“伸缩量”不变，而“平移量”有变？ （2）在横向平移和纵向平移中，为什么它们增减方向相反—— 如当<0时对应右移（增方向），而m < 0时对应下移（减方向）？ （3）在横向伸缩和纵向伸缩中，为什么它们的缩扩方向相反—— 如|| > 1时对应着“缩”，而| A | >1时，对应着“扩”？ 【答疑】对于（2），（3）两道疑问的回答是：这是因为在函数表达式y = A f ()+m 中x和y的地位在形式上“不平等”所至. 如果把函数式变为方程式 (y+) = f ()，则x、y在形式上就“地位平等”了. 如将例1中的变成 它们的变换“方向”就“统一”了. 对于疑问（1）：在不同的变换顺序中，为什么“伸缩量不变”，而“平移量有变”？这是因为在“一次”替代：x→中，平移是对x进行的. 故先平移（x→）对后伸缩（→）没有影响； 但先收缩（x→）对后平移（→）却存在着“平移”相关. 这 三角函数的图像题型总结 三角函数的图像与性质是三角函数的重要内容，近几年在对三角函数图像的考查，出现新题型，这类题目能灵活考查对知识掌握情况。下面就分类解析。 一、基本类 例1、如图是周期为π2的三角函数y ＝f （x ）的图像的一部分，那么f （x ）可以写成 （ ） A 、)1sin(x + B 、)1sin(x -- C 、)1sin(-x D 、)1sin(x - 分析：由函数的图像求解析式问题，要抓住特殊点、函数的单调性、奇偶性等方面进行判定。 解：由图像提示，与x 轴的一个交点是（1，0），即f （1）＝0，所以可以排除A 、B ；又由图像提示，与y 轴的交点在原点上方，即0)0(>f ，所以排除C ，故正确答案是 D. 例2、函数()()0,0sin >>++=w A b wx A y ?的图象如图所示，求此函数的表 达式。 分析：由最值点可确定振幅A ，又由相邻最值点间的距离得T=2π ω =8，又由于特值点 确定?的值。 解：由图易求得 24sin 2+?? ? ??+=?πx y 。下面求?。 由图知，当 2 -=x 时， 4 max =y ，即 ()4 224sin 2=+?? ? ??+-??π， ()Z k k ∈+=+-∴222ππ?π.取0=k ，得 π?=。24sin 2+?? ? ??+=∴ππx y 。 点拨：?的确定（1）也可以利用2=x ，0min =y 求?。（2）?有无穷性，相差π k 2。（3）确定?的值还可用五点相位法。注意：若将平衡点（0，2）代入关系式，π ?k =， 应再由其他条件舍去k 为偶数的?值，但不如用最值法简单。 二、创新型 例3、设函数f （x ）的图像与直线x ＝a ，x ＝b 及x 轴围成图形的面积称为函数f （x ）在[a ，b]上的面积，已知函数nx y sin =在], 0[n π 上的面积为)(2 *∈N n n （1）x y 3sin =在]3 2, 0[π 上的面积为________； （2）1)3sin(+-=πx y 在]3 4,3[π π上的面积为_________. 解：（1）如图，x y 3sin =在]3, 0[π 上的面积为3 2 ，根据x y 3sin =的图像，可以知道在]3,0[π上与在]32,3[ππ上的面积相等，所以x y 3sin =在]32,0[π上的面积为.3 4 （2）根据图像变换，作出1)3sin(+-=πx y 的图像，根据图像，运用补形手段， 1)3sin(+-=πx y 在]34,3[π π的面积计算可以由一个长为π宽为1的矩形面积，再加上一 个正弦草垛形面积32得出，所以所求面积为.3 2 +π 点评：与三角函数图像有关的命题较为灵活，周期、最值、单调性是司空见惯的问题， 本题新定义一个面积，然后借助新定义，通过变换求另一个区域的面积。其中，对变换过程的准确分析是求解的关键，解题时，需注意区间的变化，否则容易出错。 三、综合交汇类 例4、已知定义在区间2,3ππ??-??? ?上的函数()y f x =的图像关于直线6x π =-对称，当 2,63x ππ?? ∈-???? 时，函数()sin()(0,0,)22f x A x A ππω?ω?=+>>-<<的图像如图。 三角函数的性质及其编稿：李霞审稿：孙永钊 【考纲要求】 1、了解函数sin()yAx????的物理意义；能画出sin()yAx????的图象，了解参数 A，?，?对函数图象变化的影响. 2、了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题. 【知识络】 【考点梳理】 考点一、函数sin()yAx????(0A?,0??)的图象的作法 1.五点作图法： 作sin()yAx????的简图时，常常用五点法，五点的取法是设tx????，由t取0、 2?、?、32?、2?来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。 2．图象变换法： （1）振幅变换:把sinyx?的图象上各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0 变换和相位 sin()yAx???? sin 图象的作法三角函的质其 图象的性 变换的先后顺序不同时，原图象沿x轴的伸缩量有区别. 考点二、sin()yAx????的解析式 1.sin()yAx????的解析式 sin()yAx????(0A?, 0??)，[0,)x???表示一个振动量时，A叫做振幅，2T??? 叫做周期，12fT????叫做频率，x???叫做相位，0x?时的相位?称为初相. 2.根据图象求sin()yAx????的解析式 求法为待定系数法，突破口是找准五点法中的第一零点(,0)???. 求解步骤是先由图象求出A与T，再由2T???算出?，然后将第一零点代入0x????求出?. 要点诠释：若图象未标明第一零点，就只能找特殊点用待定系数法计算. 考点三、函数 sin()yAx????(0A?,0??)的性质 1. 定义域: xR?,值域:y∈[-A,A]. 2．周期性: 2T??? 3. 奇偶性:2k?????时为偶函数；k???时为奇函数，kZ?. 4．单调性:单调增区间 :[????????????22,22kk] , kZ? 单调减区间:[????????????232,22kk] , kZ? 5. 对称性:对称中心(????k,0)，kZ?；对称轴 三角函数的图像的变换口诀解读 变T 数倒系数议，变A 伸压 y 无疑， 变φ 要把系数提，正φ 左进负右移． 周期变换是通过改变x 的系数来实现的，即周期T 的变化只与ω有关而与φ无关．这是因为ω π 2=T ，故要使周期扩大或缩小m (m >0) 倍，则须用 x m 1去代原式中的x (纵坐标不 变)，故有“变T 数倒系数议”之说． 相位φ变换实质上就是将函数的图像向左或向右平移．当先作周期变换后作相位变换时，须提出系数ω，这是因为周期变化时改变了x 的值，此时其初相位（非0初相）同时也改变相应得到改变，且改变的倍数相同．当先作相位变换后作周期变换，由于此时x 的系数为1，系数提不提无影响，为了统一记忆我们也视为提出系数“1”．因而有“变φ要把系数提”之说． 三角函数图像的周期﹑振幅﹑相位等变换的问题是历年高考中常考查的内容．对此类命题的求解，无论三种变换怎样摆设，先要弄清哪是原函数的图像，哪是新函数的图像，再据本歌诀所述，很快就可得到解决． 例1 为了得到 y =) 62sin(π-x 的图像，可以将函数 y = cos2x 的图像 (2004年高考) ( ) (A)向右平移6 π 个单位长度 (B)向右平移3 π 个单位长度 (C)向左平移 6 π 个单位长度 (D) 向左平移 3 π 个单位长度 解法1 ∵ y = cos2x =) 4 (2sin )2 2sin(π π + =+ x x , 而 y =] 3 )4 [(2sin )6 2sin(π π π - + =- x x ， 由此可得 只须将函数y = cos2x 的图像向右平移3 π 个单位长度即可．故选(B)． 解法2 ∵ y =)62sin(π - x ) 6 22 cos( ππ x + -=，即y ) 3(2cos π - = x , 而已知的函数为y = cos2x , 由此可得，须将函数y = cos2x 的图像向右平3 π 个单位即可．故选(B)． 点评 由于当ω ?- =x 时, 相位0 =+?ω x ．因而，我们可称此时的相位为零相位．由此可 见，在作相位变换时，其平移的数值与方向是由两个0相位对应的x 值的差来决定的．对于本题而言，由于两个0相位对应的x 的值分别为12 π与4 π - ，故所作的平移就是要将已知函数 的0相位对应的点) 0 ,4(π - 移到点)0 12 ( ，π 处．易知要平移的数值是： 3 )4 (12 π π π = - -，方向是向 右的．显然这一方法就是“五点作图法”中的第一零点判断法． 例2 已知函数 f (x ) =) 5 sin( 2π + x (x ∈R ) 的图像为C, 函数 y = ) 5 2sin(π - x (x ∈R ) 的图 像为C 1, 为了得到C 1，只需把C 上所有的点先向右平移 ，再将 ． ( ) (A) 5 2π个单位，横、纵坐标都缩短到原来的2 1 (B) 5 2π个单位，横、纵坐标都伸 1、函数y=sin(x+π)，x∈R和y=sin(x- 6- O 3 )，x∈R的图象与y=sin x的图象有什么联系？2 个单位所得的曲线是 2 sin x的图象，试求y=f(x)的解析式。 3 )y=sin2x 3 ) 3 ) 3 ) 3 ) 3 )，x∈R的简图。 π2 3 )，x∈R 6 )，x∈R 三角函数图像的变换 题型归纳： 系？ π 34 )，x∈R的图象与y=sin x的图象有什么联 - π-π 3 1y π5ππ 6 34x 2、函数y=3sin(2x+π (1)y=sin x(2)y=sin x y=sin(x+π 4、函数f(x)的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移 π y=1 5、函数y＝Asin(ωx＋φA>0,ω>0，｜φ｜＜π） 的图象如图，求函数的表达式. y=sin(2x+π y=3sin(2x+π y=sin(2x+π y=3sin(2x+π ★☆作业：（A组） 1、画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图： 3、画出函数y=3sin(2x+π y 2x+ 3 x 3sin(2x+π) 3 （3）y=4sin(x- π （4）y=sin(2x+π 第1页共2页 6 ) ，x ∈R （2） y = 1 sin( 3 x - （1） y = 5 sin( 1 x + 4 ) ，x ∈R 6、把函数 y ＝cos(3x ＋ π A.向右平移 π 4 C.向右平移 12 （3） y = 3sin(2 x － ) ，x ∈R （4） y = 2 cos( x + π ) ，x ∈R 3 ，φ ＝－ 6 B.A ＝1，Ｔ＝ 2 3 ，φ ＝－ 4 D.A ＝1，Ｔ＝ 3 sin(2x + 3 sin(2x + （1） y = 8sin( － ) ，x ∈[0,＋∞） （2） y = 1 7 ) ，x ∈[0,＋∞） 2 的图象的一部分，求这个函数的解析式。 4、(1)y ＝sin(x ＋ π (2)y ＝sin(x － π (3)y ＝sin(x － π 4 )是由 y ＝sin(x ＋ 4 )向 5、若将某函数的图象向右平移 π 10、设函数 y = sin （x - π A.y ＝sin(x ＋ 3π B.y ＝sin( x ＋ π C.y ＝sin(x － π D.y ＝sin(x ＋ π 2、说明下列函数的图像由正弦函数或余弦函数经过了怎样的变换。 π 2 2 π 4 )的图象适当变动就可以得到 y ＝sin(－3x )的图象，这种变动 可以是( ) π π π 4 B.向左平移 D.向左平移 12 ★★☆☆作业( B 组)： 7、如图：是函数 y ＝A sin(ω x ＋φ ）＋2 的图象的一部分，它 的振幅、周期、初相各是 ( ) π 1 1 6 4 A.A ＝3，Ｔ＝ 4π π 4π 3π 3 ，φ ＝－ 4 C.A ＝1，Ｔ＝ 2π 3π 4π π 3 ，φ ＝－ 6 8、如左下图是函数 y ＝A sin （ω x ＋φ ）的图象的一段，它的 解析式为 ( ) A. y = 2 π 2 x 3 ) B. y = 3 sin( 2 + π 2 π 4 ) C. y = 3 sin(x - 3 ) D. y = 2 2π 3 ) 3、不画简图，直接 写出下列函数的振幅、周期和初相，并说明这些 函数的图象可由正弦曲 线经过怎样的变化得出（注意定义域）： x π 4 8 3 cos(3x + π 4 )是由 y ＝sin x 向 平移 个单位得到的. 4 )是由 y ＝sin x 向 平移 个单位得到的. π 平移 个单位得到的. 2 以后所得到的图象的函数式是 y ＝sin(x ＋ 表达式为( ) 4 ) 2 ) π 4 )－ 4 4 ) π 4 )，则原来的函数 1.4 三角函数的图像与性质 A 卷 基础训练 一、选择题 1、以下对正弦函数y ＝sin x 的图象描述不正确的是( ) A ．在x ∈[2k π，2k π＋2π](k ∈Z )上的图象形状相同，只是位置不同 B ．介于直线y ＝1与直线y ＝－1之间 C ．关于x 轴对称 D ．与y 轴仅有一个交点 解析：选C.由正弦函数y ＝sin x 的图象可知，它不关于x 轴对称． 2、函数y ＝3cos(25x －π6 )的最小正周期是( ) A.2π5 B.5π2 C ．2π D ．5π 解析：选D.∵3cos[25(x ＋5π)－π6]＝3cos(25x －π6＋2π)＝3cos(25x －π6 )， ∴y ＝3cos(25x －π6 )的最小正周期为5π. 3、下列命题中正确的是( ) A ．y ＝－sin x 为奇函数 B ．y ＝|sin x |既不是奇函数也不是偶函数 C ． y ＝3sin x ＋1为偶函数 D ．y ＝sin x －1为奇函数 解析：选A.y ＝|sin x |是偶函数，y ＝3sin x ＋1与y ＝sin x －1都是非奇非偶函数． 4．若函数y ＝sin(x ＋φ)(0≤φ≤π)是R 上的偶函数，则φ等于( ) A ．0 B.π4 C.π2 D ．π 解析：选C.由于y ＝sin(x ＋π2)＝cos x ，而y ＝cos x 是R 上的偶函数，所以φ＝π2 . 5、函数y ＝－sin x ，x ∈??? ?－π2，3π2的简图是( ) 解析：选D.用特殊点来验证．x ＝0时，y ＝－sin 0＝0，排除选项A 、C ；又x ＝－π2 时，y ＝－sin ??? ?－π2＝1，排除选项B. 6、函数y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝32 的交点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．0 解析：选B.作出两个函数的图象如下图所示，可知交点的个数为2. 7、若函数y ＝cos 2x 与函数y ＝sin(x ＋φ)在区间[0，π2 ]上的单调性相同，则φ的一个值是( ) A.π6 B.π4 三角函数的图象与性质 一、基础知识： 1．三角函数的图象和性质 2.正弦函数y ＝sin x 当x ＝2k π＋π2(k ∈Z )，取最大值1；当x ＝2k π－π 2(k ∈Z )时，取最小值－1. 3余弦函数y ＝cos x 当x ＝2k π(k ∈Z )时，取最大值1；当x ＝2k π＋π(k ∈Z )时，取最小值－1. 4．y ＝sin x 、y ＝cos x 、y ＝tan x 的对称中心分别为(k π，0)(k ∈Z )、 ? ????k π＋π 2，0(k ∈Z ) ? ?? ??k π2，0(k ∈Z ). 5．y ＝sin x 、y ＝cos x 的对称轴分别为 x ＝k π＋π 2(k ∈Z )和_ x ＝k π(k ∈Z )，y ＝tan x 没有对称轴． 二、综合运用： 1、五点法绘y ＝A sin(ωx ＋φ)或y=A ＋ 的图像： 依据：以 ＝ ＋ 为例； ＝0， ＝1， ＝ ， ＝－1， ＝0 在实际画图中，要分别令 ＋ ＝0、 、 、 、 ，再求出x 与y 的值，确定对应的五点坐标。 例：“五点法”绘出y=2 图像。 例：“五点法”绘出y= （ ）的图像，其中x 图像。 注：正切函数的图像采用三点两线的办法。 2、解有关三角函数的方程。 思路：在一个周期内，利用原始函数的图像求出对应的x 的值，然后使用整体替代的思路，解出方程中的x. 例1： - 例2： =- 例3：2 （ ）=1 例4：︱ （ ）︱= 例5︱ （ ）︱= 注：在解有关三解函数的非常规方程时，需要使用数形结合的思想，用图像交点的个数来代表方程的解的个数。 例：分析方程 - =0的解的个数。（2个） 例：分析方程x- =0的解的个数。（1个）提示：利用三角函数线的性质， α 时， α α tan α。 《图象变换的顺序寻根》 题根研究? 一、图象变换的四种类型 从函数y = f (x)到函数y = A f ()+m，其间经过4种变换： 1.纵向平移——m 变换 2.纵向伸缩——A变换 3.横向平移——变换 4.横向伸缩——变换 一般说来，这4种变换谁先谁后都没关系，都能达到目标，只是在不同的变换顺序中，“变换量”可不尽相同，解题的“风险性”也不一样. 以下以y = sin x到y = A sin ()+m为例，讨论4种变换的顺序问题. 【例1】函数的图象可由y = sin x的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到？ 【解法1】第1步，横向平移： 将y = sin x向右平移，得 第2步，横向伸缩： 将的横坐标缩短倍，得 第3步：纵向伸缩： 将的纵坐标扩大3倍，得 第4步：纵向平移： 将向上平移1，得 【解法2】第1步，横向伸缩： 将y = sin x的横坐标缩短倍，得y = sin 2x 第2步，横向平移： 将y = sin 2x向右平移，得 第3步，纵向平移： 将向上平移，得 第4步，纵向伸缩： 将的纵坐标扩大3倍，得 【说明】解法1的“变换量”（如右移）与参数值（）对应，而解法2 中有的变换量（如右移）与参数值（）不对应，因此解法1的“可靠性”大，而解法2的“风险性”大. 【质疑】对以上变换，提出如下疑问： （1）在两种不同的变换顺序中，为什么“伸缩量”不变，而“平移量”有变？ （2）在横向平移和纵向平移中，为什么它们增减方向相反—— 如当<0时对应右移（增方向），而m < 0时对应下移（减方向）？ （3）在横向伸缩和纵向伸缩中，为什么它们的缩扩方向相反—— 如|| > 1时对应着“缩”，而| A | >1时，对应着“扩”？ 【答疑】对于（2），（3）两道疑问的回答是：这是因为在函数表达式y = A f ()+m中x和y的地位在形式上“不平等”所至. 如果把函数式变为方程式 (y+) = f ()，则x、y在形式上就“地位平等”了. 高一数学第十四讲 三角函数图像及其变换 一、知识要点： ππ ππ ?ω2,2 3, ,2 , 0=+x 列表求出对应的x 的值与y 的值，用平滑曲线连结各点，即可得到其在一个周期内的图象。 3．研究函数R x x A y ∈+=),sin(?ω(其中0,0>>ωA )的单调性、对称轴、对称中心仍然是将?ω+x 看着整 体并与基本正弦函数加以对照而得出。它的最小正周期||2ωπ =T 4．图象变换 (1)振幅变换 R x x y ∈=,s i n ??????????????→ ?<<>倍 到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A 1)A (01)(A R x x y ∈=,s i n A (2)周期变换 R x x y ∈=,s i n ??????????????→ ?<<>倍 到原来的或伸长所有点的横坐标缩短ω ωω1 1)(01)(R x x y ∈=,s i n ω (3)相位变换 R x x y ∈=,s i n ????????????→?<>个单位长度平移或向右所有点向左||0)(0)(???R x x y ∈+=,)(s i n ? (4)复合变换 R x x y ∈=,s i n ????????????→ ?<>个单位长度平移或向右所有点向左||0)(0)(???R x x y ∈+=,)(s i n ? ?? ????????????→?<<>倍 到原来的 或伸长所有点的横坐标缩短ω ωω11)(01)(R x x y ∈+=),sin(?ω ??????????????→ ?<<>倍到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A 1)A (01)(A R x x A y ∈+=),sin(?ω 5．主要题型：求三角函数的定义域、值域、周期，判断奇偶性，求单调区间，利用单调性比较大小，图 象的平移和伸缩，图象的对称轴和对称中心，利用图象解题，根据图象求解析式，已知三角函数值求角。 二.基础练习 1． 函数1π2sin()23 y x =+的最小正周期T = ． 2．函数sin 2x y =的最小正周期是 若函数tan(2)3y ax π=-的最小正周期是2π,则a=____. 3．函数]),0[)(26 sin( 2ππ ∈-=x x y 为增函数的区间是 4．函数2 2cos()()363 y x x ππ π=- ≤≤的最小值是 5．将函数cos y x =的图像作怎样的变换可以得到函数2cos(2)4 y x π =-的图像？ 6．已知简谐运动ππ()2sin 32f x x ????? ?=+< ??????? 的图象经过点(01)， ，则该简谐运动的最小正周期T 和初相?分别为 7.已知a=tan1,b=tan2,c=tan3,则a,b,c 的大小关系为______. 8．给出下列命题： ①存在实数x ，使sin cos 1x x =成立； ②函数5sin 22y x π?? =- ???是偶函数； ③直线8x π=是函数5sin 24y x π? ?=+ ??? 的图象的一条对称轴； ④若α和β都是第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>． ⑤R x x x f ∈+ =),32sin(3)(π 的图象关于点)0,6 (π - 对称； 其中结论是正确的序号是 （把你认为是真命题的序号都填上）． 三、例题分析： 题型1：三角函数图像变换 例1、 变为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数1 cos 2 y x =的图象怎样变换？ 三角函数的图像与性质练习题 一 选择题 1.把函数=sin y x 的图像上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不 变,再把图像向左平移4π个单位,这时对应于这个图像的解析式是（ ） A ．cos 2y x = B ．sin 2y x =- C ．sin(2)4y x π=- D ．sin(2)4 y x π=+ 2.函数cos(4)3 y x π =+图象的两条相邻对称轴间的距离为（ ） A ．π8 B ．π4 C ．π2 D ．π 3.函数21cos ()cos x f x x -=（ ） A ．在ππ (,)22-上递增 B ．在π(,0]2-上递增，在π (0,)2上递减 C ．在ππ (,)22 -上递减 D ．在π(,0]2-上递减，在π (0,)2 上递增 4.下列四个函数中,最小正周期为π,且图象关于直线12 x π = 对称的是（ ） A ．sin()2 3x y π =+ B ．sin()23 x y π=- C ．sin(2)3 y x π=+ D ．sin(2)3 y x π =- 5.函数231sin 232y x x =的最小正周期等于（ ） A ．π B ．2π C ．4π D ．4π 6.“φ=π”是“曲线y=sin(2x +φ)过坐标原点的”（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 7.函数2sin()y x ω?=+在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式可能是 x y O π 2π 1 -1 （ ） A ．2sin(2)4y x π =- B ．2sin(2)4y x π =+ C ．32sin()8 y x π =+ D ．72sin()216 x y π =+ 8.（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）已知函数sin()y A x ω?=+的图象如图所示，则该函数的解析式可能．． 是 （ ） 第6题图 （ ） A ．41sin(2)55y x =+ B ．31 sin(2)25y x =+ C ．441sin()555y x =- D ．441 sin()555 y x =+ 9.(2013·湖北)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m ＞0)个 单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( ) 10.函数y ＝sin 2 x ＋sin x －1的值域为 ( ) A ．[－1,1] B ．[－54，－1] C ．[－54，1] D ．[－1，54 ] 11.已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f (x ＋π 4 )＝f (－x )成立，且f ( π 8 )＝1，则实数b 的值为( ) 《图象变换的顺序寻根》 题根研究？ 一、图象变换的四种类型 从函数y二f (x)到函数y二A f ( ： "「)+m其间经过4种变换： 1. 纵向平移——m变换 2. 纵向伸缩——A变换 3.横向平移一一变换 4. 横向伸缩一一总变换 一般说来，这4种变换谁先谁后都没关系，都能达到目标，只是在不同的变换顺序中，“变换量”可不尽相同，解题的“风险性”也不一样. 以下以y二sin x到y二A sin ( ' ：」)+m为例，讨论4种变换的顺序问题 V：= / (x)= 1+ 3sin( 2x- ［例1】函数 ' -的图象可由y二sin x的图象经过怎 样的平移和伸缩变换而得到 【解法1】第1步，横向平移: 将y二sin x向右平移：，得 第2步，横向伸缩: L-1—A ——J — 将. 二的横坐标缩短二倍, 第3步：纵向伸缩: v 二s￡n( 2x——''i 将. -的纵坐标扩大3倍，得 第4步：纵向平移: v = 3sin(2x——) v = 1 + —— 将二向上平移1,得 【解法2】第1步，横向伸缩: 2 将y 二sin x 的横坐标缩短二倍，得 y 二sin 2 x 第2步，横向平移: 第3步，纵向平移: y — sinC2x ——） 将， -向上平移】；，得 第4步，纵向伸缩: v = — 4- sinf 2x — 将1 1的纵坐标扩大 71 【说明】 解法1的“变换量”（如右移：）与参数值（「对应，而解法2 71 71 中有的变换量（如右移1）与参数值（一）不对应，因此解法1的“可靠性” 大, 而解法2的“风险性”大. 【质疑】 对以上变换，提出如下疑问： （1） 在两种不同的变换顺序中，为什么“伸缩量”不变，而“平移量”有 变 （2） 在横向平移和纵向平移中，为什么它们增减方向相反一一 如当匚<0时对应右移（增方向），而m < 0时对应下移（减方向） （3） 在横向伸缩和纵向伸缩中，为什么它们的缩扩方向相反一一 如1^1 > 1时对应着“缩”，而| A | >1时，对应着“扩” 【答疑】 对于（2），（3）两道疑问的回答是：这是因为在函数表达式 y 二A f （-八i ）+m 中x 和y 的地位在形式上“不平等”所至.如果把函数式变为方 程式 -r （y^' ） = f （一」），则x 、y 在形式上就“地位平等”了 v = 1 + 2x- — （v — 1） = sinf 2x -—） 71 将y 二sin 2 x 向右平移；一：，得 尸二 sin （ 2孟一— .-I + 3sin( 2x —— 3倍，得. - 71 三角函数的图象与性质 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 (时间：80分钟 满分：100分) 一、选择题(每小题5分，共40分) 1．函数y ＝sin ? ?? ??4x ＋32π的周期是( )． A ．2π B ．π C.π2 D ．π 4 解析 T ＝2π4＝π 2. 答案 C 2．函数y ＝cos ? ?? ?? x ＋π2(x ∈R )是( )． A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．无法确定 解析 ∵y ＝cos ? ???? x ＋π2＝－sin x ，∴此函数为奇函数． 答案 A 3．函数y ＝cos x 图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y ＝cos ωx ，则ω的值为( )． A ．2 B ．12 C ．4 D ．1 4 解析 由已知y ＝cos x 的图象经变换后得到y ＝cos 12x 的图象，所以ω＝1 2. 答案 B 4．函数y ＝－x sin x 的部分图象是( )． 解析 考虑函数的奇偶性并取特殊值．函数y ＝－x sin x 是偶函数，当x ∈? ? ???0，π2时，y <0. 答案 C 5．在下列区间上函数y ＝sin ? ?? ?? x ＋π4为增函数的是( )． A.??????－π2，π2 B ．??????－3π4，π4 C ．[－π，0] D ．?????? －π4，3π4 解析 由2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )得2k π－3π4≤x ≤2k π＋π 4(k ∈Z )，当k ＝0时，－3π4≤x ≤π 4，故选B. 答案 B 6．已知简谐运动f (x )＝2sin ? ????π3x ＋φ? ? ???|φ|<π2的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最 小正周期T 和初相φ分别为( )． A ．T ＝6，φ＝π6 B ．T ＝6，φ＝π3 C ．T ＝6π，φ＝π6 D ．T ＝6π，φ＝π 3 解析 将(0,1)点代入f (x )可得sin φ＝1 2. ∵|φ|<π2，∴φ＝π6，T ＝2π π 3 ＝6. 答案 A 7．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的一部分图象如图所示，如果A >0，ω>0，|φ|<π 2， 考点测试20 三角函数的图象和性质 一、基础小题 1．已知f(x)＝sin ? ????x ＋π2，g(x)＝cos ? ????x －π2，则f(x)的图象( ) A ．与g(x)的图象相同 B ．与g(x)的图象关于y 轴对称 C ．向左平移π2个单位，得到g(x)的图象 D ．向右平移π 2 个单位，得到g(x)的图象 解析 因为g(x)＝cos ? ????x －π2＝cos ? ????π2－x ＝sinx ，所以f(x)向右平移π2个单位，可得到g(x)的图象，故选 D. 2．函数y ＝sin 2x＋sinx －1的值域为( ) A ．[－1,1] B ．??????－54，－1 C ．???? ? ?－54，1 D ．? ?????－1，54 答案 C 解析 (数形结合法)y ＝sin 2x＋sinx －1，令sinx ＝t ，则有y ＝t2＋t －1，t ∈[－1,1]，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当t ＝－12及t ＝1时，函数取最值，代入y ＝t2＋t －1可得y ∈???? ??－54，1. 3．函数y ＝2sin ? ????π6－2x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是( ) A ．??????－π，－5π6 B ．??????－π3，0 C ．??????－2π 3 ，－π6 D ．??????－π 3 ，－π6 答案 C 解析 因为y ＝2sin ? ????π6－2x ＝－2sin ? ????2x －π6，所以函数y ＝2sin ? ????π6－2x 的单调递增区间就是函数y ＝sin ? ????2x －π6的单调递减区间．由π2＋2kπ≤2x －π6≤3π2＋2kπ(k ∈Z)，解得π3＋kπ≤x ≤5π6＋kπ(k ∈Z)， 即函数y ＝2sin ? ????π6－2x 的单调递增区间为? ?? π3 ＋kπ， ? ??5π 6＋kπ(k ∈Z)，又x ∈[－π，0]，所以k ＝－1，故函数y ＝2sin ? ????π6－2x (x ∈[－π，0])的单调递增区间为???? ??－2π3，－π6. 4．使函数f(x)＝sin(2x ＋φ)为R 上的奇函数的φ的值可以是( ) A ．π4 B ．π2 C ．π D ．3π 2 答案 C 解析 若f(x)是R 上的奇函数，则必须满足f(0)＝0，即sinφ＝0.∴φ＝kπ(k ∈Z)，故选C. 5．已知函数f(x)＝sin ? ????x ＋π6，其中x ∈??????－π3，a ，若f(x)的值域是??????－12，1，则a 的取值围是( ) A ．? ????0，π3 B ．??????π3，π2 C ．??????π2 ，2π3 D ．???? ??π3，π 解析 若－π3≤x ≤a ，则－π6≤x ＋π6≤a ＋π6.因为当x ＋π6＝－π 6 或x 三角函数专题辅导 课程安排 制作者：程国辉 专题辅导一 三角函数的基本性质及解题思路 课时：4-5学时 学习目标： 1. 掌握常用公式的变换。 2. 明确一般三角函数化简求值的思路。 第一部分 三角函数公式 1、两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cos α·cos β-sin α·sin β cos(α-β)=cos α·cos β+sin α·sin β sin(α±β)=sin α·cos β±cos α·sin β tan(α+β)=(tan α+tan β)/(1-tan α·tan β) tan(α-β)=(tan α-tan β)/(1+tan α·tan β 2、倍角公式： sin(2α)=2sin α·cos α=2/(tan α+cot α) cos(2α)=(cos α)^2-(sin α)^2=2(cos α)^2-1=1-2(sin α)^2 tan(2α)=2tan α/(1-tan^2α) cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cot α) 3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： ()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβ αβαβαβααα=±=±???→= ()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2 1cos2sin 2 2tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααα αααβα αβααβα αα αα=±=???→=-↓=-=-±±=?-↓= - 4、同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系：2 2 2 2 2 2 sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= （2）倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, （3）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα αααα = =三角函数的图像与性质练习题
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