人教版八年级数学上册《全等三角形》培优专题训练(含答案)

《全等三角形全等三角形》》培优专题培优专题训练训练

1 全等三角形的概念

两个能够完全重合的三角形叫做全等三角形.把两个全等三角形重合在一起，重合的角

叫做对应角，重合的边叫做对应边.

全等三角形的对应角相等，对应边相等

.

经典例题

如图所示，ABC DEF ???，30A ∠=°，50B ∠=°，2BF =.求DFE ∠的度数与EC

的长.

解题策略

在ABC ?中，+180A B ACB ∠∠+∠=°(三角形内角和为

180°).因为30A ∠=°，

50B ∠=°(已知)，所以

1803050100ACB ∠=°-°-°=°因为ABC DEF ???(已知)，所以

ACB DFE ∠=∠(全等三角形对应角相等)

BC EF =(全等三角形对应边相等)，因此100DFE ∠=°，所以2

EC EF FC BC FC BF =-=-==画龙点睛

1.在解答与全等三角形有关的问题时，要充分利用全等三角形的定义所得到的对应边相等、对应角相等的结论

.

2.在本题中求EC 的长时，不能直接求，可将之转化为两条线段的差，这也是将来求线段长的一种常用的转化方法.

举一反三

1.

如图，若ABC ADE ???，则这对全等三角形的对应边是

;对

应角是.

2.

如图，若ABD ACD ???，试说明AD 与BC 的位置关系.

3.

如图所示，斜折一页书的一角，使点A 落在同一页书内'A 处，DE 为折痕，作DF

平分'A DB ∠，试猜想FDE ∠等于多少度，并说明理由

.

融会贯通

4.

如图，ABE ?和ACD ?是ABC ?分别沿着AB 、AC 边翻折180°形成的，若θ∠的度数50°，则BAC ∠的度数是

.

2 三角形全等的判定

判断两个三角形全等，并非需要证明两个三角形的三条边以及三个角均对应相等，而只

需满足全等三角形的判定定理就可以了. 经典例题

已知:如图，AO 平分EAD ∠和EOD ∠，求证:(1)AOE AOD ???;(2)

BOE COD ???.

解题策略

证明:(1)因为AO 平分EAD ∠和EOD ∠，所以OAD OAE ∠=∠，AOE AOD ∠=∠，又因为AO AO =，所以AOE AOD ???( ASA).

(2)由AOE AOD ???，得OE OD =，且AEO ADO ∠=∠.

又180BEO AEO ∠=°-∠，180CDO ADO ∠=°-∠，所以BEO CDO ∠=∠.在

AOE ?和AOD ?中，因为BEO CDO ∠=∠，OE OD =，BOE COD ∠=∠，所以BOE COD ???(ASA).

画龙点睛

1.判定两个三角形全等，往往需要三个条件，根据题目已知的条件可以得到两个条件(要注意公共角及公共边)，这时.设法证明所缺的条件也成立就是证题的关键了

.

2.要证明两条线段或者两个角相等，

常用的方法是证明它们是一对全等三角形的对应

边或者对应角.

举一反三

1.

如图，已知AB AD =，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC ADC ???的

是(

).

(A) CB CD =(B)BAC DAC ∠=∠(C)BCA DCA

∠=∠(D)90B D ∠=∠=°

2.

如图所示，点D 、C 在BF 上，//AB EF ，A E ∠=∠，BC DF =.求证AB EF =.

3.如图，

AB 交CD 于点O ，AD 、CB 的延长线相交于点E ，且OA OC =，

EA EC =，你能证明A C ∠=∠吗?点O 在AEC ∠的平分线上吗?

融会贯通

4.

如图所示，已知

BD 、CE 分别是ABC ?的边AC 和AB 上的高，点P 在BD 的延

长线上，BP AC =，点Q 在CE 上，CQ AB =.

求证:(1)

AP AQ =;(2)AP AQ ⊥.

3 全等三角形的应用

全等三角形的判定和性质被广泛地应用于几何证明题中。我们常利用全等三角形来转移线段和角，用来证明线段和角的等量关系，以及线段和角的和差倍分等数量关系;用来证明直线和直线的平行、垂直等位置关系.

经典例题

如图，在ABC ?中，90BAC ∠=°，AB AC =，BE 平分ABC ∠，CE BE ⊥.求

证:12

CE BD

=

解题策略

延长CE 、BA 交于点F

由于90BAC ∠=°，CE BE ⊥得90FCA F DBA ∠=°-∠=∠在FCA ?和DBA ?中.因为

90FAC DAB ∠=∠=°

AC AB =，FCA DBA ∠=∠所以FCA DBA ???得BD CF

=在BEF ?和BEC ?中，因为

90FEB CEB ∠=∠=°，BE BE =，FBE CBE ∠=∠所以BEF BEC

???得EC EF =即(2CF CE =所以112

2

CE CF BD

==

画龙点睛

1.要证明一条线段的长度是另一条线段的2倍，常用截长或补短的方法转化为证明线

段相等的问题，从而进一步转化为三角形全等的问题

.

2.有的题目需要证两次三角形全等

.

举一反三

1.

如图，//AB DC ，//AD BC ，聪明的小老鼠哼哼和唧唧分别从B 、D 出发沿垂

直于AC 的路径BE 、DF 去寻找奶酪，假设点A 、C 处堆满了奶酪，哼哼和唧唧

的速度相同，问它俩谁先寻找到奶酪

?为什么?

2.

如图，公园有一条“Z ”字形道路，其中//AB CD ，在E 、M 、F 处各有一个小石凳，且BE CF =，M 为BC 的中点，请问三个小石凳是否在一条直线上?说出你推断的理由.

3.

(1)如图，AC 与BD 交于点E ，且AC DB =，AB DC =.求证:A D ∠=∠.

(2)如图，AC DB =，A D ∠=∠，求证: AB DC =.

融会贯通

4.

如图，已知在ABC ?中，90A ∠=°，AB AC =，D 为AC 的中点，AE BD ⊥于

E ，延长AE 交BC 于

F . 求证:=ADB CDF ∠∠.

4 与中线有关的辅与中线有关的辅助助线————倍长中线法倍长中线法

在解答几何证明题时，常常要作出辅助线来，而且某些辅助线的做法是有规律的.例如

对于在题目条件中含有中线的问题，我们常用的辅助线就是将中线延长一倍.

经典例题

求证:如果两个三角形有两边和第三边上中线对应相等，那么这两个三角形全等

.

解题策略

已知:如图所示.在ABC ?和'''A B C ?中，''AB A B =，''AC A C =，AM 和''A M 是

中线，且''AM A M =.

求证:'''ABC A B C ???.

分别延长AM 和''A M 到D 和'D ，使得MD AM =，''''M D A M =，连结CD 、

''C D .

在AMB ?和DMC ?中，因为MA MD =，AMB DMC ∠=∠，BM CM =，所以

AMB DMC ???()

SAS 因此,AB CD =3D ∠=∠同理

'''',A B C D =4'

D ∠=∠因为''AB A B =所以''CD C D =又

22'''',''AD AM A M A D AC A C ====所以

'''()

ACD A C D SSS ???因此12∠=∠，'D D ∠=∠从而34∠=∠，'''BAC B A C ∠=∠所以'''ABC A B C ???()

SAS 画龙点睛

在题目条件中含有中线的问题，我们常用的辅助线就是将中线延长一倍，

其目的是为了

得到一对全等三角形，将分散的条件集中到一个三角形中去

.

举一反三

1.

ABC ?中，5AB =，3AC =，求中线AD 的取值范围.

2.如图所示，在ABC ?中，已知AD 是BAC ∠的平分线，又是边BC 上的中线，求

证AB AC =.

3.

已知在ABC ?中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长

BE 交AC 于F ，求证:AF EF =.

融会贯通

4.

如图，已知CE 、CB 分别是ABC ?、ADC ?的中线，且AB AC =，求证:2CD CE =.

5 运用角平分线的性质解题

我们知道角平分线具有如下重要的性质:角平分线上的点，到角的两边的距离相等

.在解

答与角平分线有关的问题时，常常利用角平分线的这个性质来解题

.

经典例题

如图1所示，在△ABC 中，AD 平分BAC ∠，BD CD =，求证:B C ∠=∠.

解题策略

作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，如图 2.

因为AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥，DF AC ⊥，所以DE DF =(角平分线上的点到角两边的距离相等).

在Rt BDE ?和Rt CDF ?中.因为BD CD

=(已知)，DE DF

=(已证)，所以

()

Rt BDE Rt CDF HL ???于是B C

∠=∠

画龙点睛

1.本题实质上是证明了角平分线与中线重合的三角形是等腰三角形.

2.在解答与角平分线有关的问题时，利用角平分线的这个性质，从角平分线上一点，向

角的两边作垂线，是一种常见的辅助线

.

3.不能由BAD CAD ∠=∠，BD CD =，AD AD =，直接得到BDA CDA ???，因为由SSA 是不能判定两个三角形全等的. 举一反三

1.

如图，在Rt ABC ?中，90C ∠=°，AC BC =，AD 是BAC ∠的平分线，交

BC 于D ，DE AB ⊥于E ，若10AB =cm ，则DBE ?的周长等于(

).

(A)10 cm

(B)8 cm

(C)12 cm

(D)9 cm

2.

如图，已知AB AC =，BE AC ⊥于E ，CF AB ⊥于F ，BE 与CF 交于点D ，求证:点D 在BAC ∠的平分线上.

3.

如图，在Rt ABC ?中，90ACB ∠=°，20CAB ∠=°，ACB ∠的平分线与外角

ABD ∠的平分线交于点E ，连结AE ，求AEB ∠的度数.

融会贯通

4.

已知:点O 到ABC ?的两边AB 、AC 所在直线的距离相等，且

OB OC =.

(1)如图1，若点O 在边BC 上，求证AB AC =; (2)如图2，若点O 在ABC ?的内部，求证: AB AC =; (3)若点O 在ABC ?的外部，AB AC =成立吗?请画图表示.

6 与角平分线有关的辅助线与角平分线有关的辅助线——————翻折法翻折法

这一节我们介绍第二类与角平分线有关的辅助线:在角的两边截取相等的线段，从而构

造一对全等三角形.

经典例题

如图，已知P 是ABC ?的角平分线AD 上任一点，且AB AC >.求证:PB PC AB AC -<-.

解题策略

在AB 上截取AE AC =，连结PE .

在APE ?和APC ?中，因为AE AC =，EAP CAP ∠=∠，AP AP =，所以

()APE APC SAS ???，因此PE PC =.

在BPE ?中，PB PE BE -<，即PB PC AB AC -<-. 画龙点睛

当题目的条件中出现了某个角的平分线时，可在这个角的两边截取相等的线段，

利用角

平分线是公共边来构造一对全等三角形，这也是一种常用的辅助线

.它可将原来分属两个三

角形中的边转移到一个三角形中来.

举一反三

1.

已知:在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，且D ∠与B ∠互补.求证:CD CB =.

2.

(1)如图，P 是ABC ?的BAC ∠的外角平分线上一点.求证:PB PC AB AC

+>+(2)若P 是ABC ?的BAC ∠的平分线上一点，且

AC AB >，画出图形，试分析

PB 、PC 、AB 、AC 间又有怎样的不等关系

.

3.

如图1，OP 是MON ∠的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称

轴的全等三角形.

请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题:

(1)如图2，在ABC ?中，ACB ∠是直角，60B ∠=°，AD 、CE 分别是BAC ∠、BCA

∠的平分线，AD 、CE 相交于点F .请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系;

(2)如图3，在ABC ?中，如果ACB ∠不是直角，而(1)中的其他条件不变，请问，你在

(1)中所得结论是否仍然成立

?若成立，请证明:若不成立，请说明理由

.

融会贯通

4.

如图，三所学校分别记作

A 、

B 、

C ，体育场记作O ，它是ABC ?的三条角平分

线的交点，O 、A 、B 、C 每两地之间有道路相连，一支长跑队伍从体育场O 出

发，跑遍各校再回到O 点，指出哪条路线跑的距离最短，(已知AB AC BC <<)

并说明理由.

7 截长补短法

在几何证明题中，有这么一类问题，就是要证明一条线段的长度等于另外两条线段长度的和或等于另外一条线段的两倍，此类问题一般采用截长补短法来证明.在本节中.我们就来

介绍这种方法. 经典例题

如图，四边形ABCD 中，AB AD =，60BAD ∠=°，120BCD ∠=°，求证:

BC CD AC +=.

解题策略

延长BC 到E ，使CE CD =，连结DE .

因为120BCD ∠=°，所以60DCE ∠=°.又因为CE CD =，所以CDE ?是等边三角形.因此DE CD CE ==DE=CD ，60CDE ∠=°.

又因为AB AD =，60BAD ∠=°，所以ABD ?是等边三角形.因此ADC BDE ∠=∠，

()ACD BDE SAS ???.

所以AC BE BC CE BC CD ==+=+. 画龙点睛

1.上面的这种作辅助线的方法叫做“补短法”

，也就是将较短的一段延长，使延长的部分

等于较短的另外一段，然后将问题转化为证明线段相等的问题，一般用全等三角形来解决

.

“补短法”也可以这么来用，将较短的一段延长，使延长后的一段长度等于较长的一段，然后证明延长的部分等于较短的另外一段

.

2.本题还可以这么作辅助线:在CA 上截取CE CD =，然后设法证AE BC =.这种方法叫做“截长法”，即在较长的一段上截取一段等于较短的一段，然后证明剩下的一段等于较短的另外一段. 举一反三

1.

如图，90C ∠=°，AC BC =，AD 是BAC ∠的角平分线.求证. AC CD AB +=.

2.

如图，五边形ABCDE 中，AB AE =，BC DE CD +=，180ABC AED ∠+∠=°.连结AD .求证:AD 平分CDE ∠.

3.

(1)如图，E 、F 分别是四边形

ABCD 的边AD 、DC 上的点，AB CB =，90A ABC C ∠=∠=∠=°，45EBF ∠=°，求证:AE CF EF +=;

(2)如图，E 、F 分别是四边形ABCD 的边AD 、DC 上的点，AB CB =，

90A ABC C ∠=∠=∠=°，AEB FEB ∠=∠，EFB CFB ∠=∠.试探究EF 、AE 、CF 之间的关系。并求EBF ∠的度数.

融会贯通

4.

在ABC ?中，90ACB ∠=°，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于D ,

BE MN ⊥于E .

(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证:①ADC CEB ???;②DE AD BE =+;

(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证:DE AD BE =-;

(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关

系?请写出这个等量关系，并加以证明

.

参考答案

1 全等三角形的概念

1.AC 和AE ，BC 和DE ，AB 和AD ；C ∠和E ∠，CAB ∠和EAD ∠，CBA ∠和D ∠

2. 因为ABD ACD ???所以ADB ADC ∠=∠又180ADB ADC ∠+∠=°所以90ADB ∠=°即AD BC

⊥3. 猜想90FDE ∠=°，理由如下：因为'ADE A DE ???（翻折）所以'A DE ADE

∠=∠

又DF 平分'A DB ∠（已知）所以'BDF A DF

∠=∠因此11

''('')180902

2

FDE FDA A DE BDA ADA ∠=∠+∠=

∠+∠=

×°=°

4. 因为ABE ?是ABC ?沿着AB 边翻折180°形成的，所以E ACB ∠=∠，BAE BAC

∠=∠又因为ACD ?是ABC ?分别沿着AC 边翻折180°形成的，所以ACB ACD ∠=∠所以E ACD

∠=∠而ACD CAE E θ

∠+∠=∠+∠所以50EAC θ∠=∠=°

所以36050310BAE BAC ∠+∠=°-°=°所以155BAC ∠=°

2 三角形全等的判定

1. C

2. 因为//AB EF 所以B F

∠=∠又因为A E ∠=∠，BC DF =. 所以ABC EFD ???所以AB EF

=3. 连结OE ，

由OA OC =，EA EC =，且OE OE =(公共边)，得AOE OCE

???所以A C ∠=∠，且AEO CEO ∠=∠所以点O 在AEC ∠的平分线上

4. (1) 因为BD 、CE 分别是ABC ?的边AC 和AB 上的高

所以90B F ACQ BAC PBA

∠=∠∠=°-∠=∠在

ACQ ?与PBA ?中，BP AC =，ACQ PBA ∠=∠，CQ AB =于是ACQ PBA ???，从而

AP AQ =.

(2)由ACQ PBA ???，知CQA BAP ∠=∠，

于是90QAP BAP BAQ CQA BAQ CEA ∠=∠-∠=∠-∠=∠=°所以

AP AQ

⊥ 3 全等三角形的应用

1.

因为//AB DC ，//AD BC

所以DCA BAC ∠=∠，DAC BCA

∠=∠

又因为AC CA =所以

()

ADC CBA ASA ???所以AB CD

=又因为90CFD AEB ∠=∠=°所以()ABE CDF AAS ???所以

,BE DF AE CF

==即哼哼和卿卿以相同的速度跑了相同的路程，因此它俩同时找到奶酪.

2.

三个小石凳在一条直线上.证明如下:

连结EM 、MF ，因为M 为BC 的中点所以BM MC =又因为//AB CD 所以EBM FCM

∠=∠在BEM ?和CFM ?中，BE CF =，EBM FCM ∠=∠，BM MC =所以

()

BEM CFM SAS ???所以BME CMF ∠=∠又180BMF CMF ∠+∠=°所以180BMF BME ∠+∠=°所以E 、M 、F 在一条直线上3.

(1)证明：连结BC

在ABC ?和DCB ?中，AC DB =，AB DC =，BC CB =所以

()

ABC DCB SSS ???所以A D

∠=∠(2)延长BA 、CD 交于O ，因为BAC CDB ∠=∠所以OAC ODB

∠=∠又AC DB =，BOD COA ∠=∠所以OAC ODB ???所以

,OB OC OA OD

==所以AB DC =4.

作CG AC ⊥交AF 延长线于G ，在ABC ?在，90BAC ∠=°，AB AC =所以45ABC ACB ∠=∠=°所以45GCF ∠=°在Rt ABD ?中，AE BD

⊥所以90ABD BAE EAD

∠=°-∠=∠在ABD ?和CAG ?，AB AC =，ABD EAD ∠=∠，90BAD ACG ∠=∠=°所以ABD CAG

???

所以G BDA ∠=∠，AD CG =故有CD AD CG ==，

在CDF ?和CGF ?中，45DCF GCF ∠=∠=°，CF CF =，CD CG =所以CDF CGF ???所以G CDF ∠=∠所以ADB CDF

∠=∠ 4 与中线有关的辅与中线有关的辅助助线————倍长中线法倍长中线法

1.

延长AD 到E ，使得DE AD =，连结CE

在ADB ?和EDC ?中BD CD =，ADB EDC ∠=∠，AD ED =所以ADB EDC ???所以5EC AB ==即53253AD -<<+所以14

AD <<2.

延长AD 到E ，使DE AD =，连结BE . 易证ACD EBD ???，

因此CAD E ∠=∠(全等三角形对应角相等)，AC BE =(全等三角形对应边相等

).

又BAD CAD ∠=∠(已知) 所以E BAD

∠=∠因此BE AB =，即AB AC

=

3.

延长AD 至G ，使DG AD =，连结BG 由BD DC =，BDG CDA ∠=∠，AD DG =知ADC GDB

???故AC BG =，G EAF ∠=∠又BE AC

=故BE BG =，G BED ∠=∠，而BED AEF ∠=∠所以AEF EAF ∠=∠从而有FA FE

=4.

延长CE 到F ，使EF CE =，连结BF

在EBF ?和EAC ?中，AE BE =，AEC BEF ∠=∠，CE FE =所以

()

EBF EAC SAS ???所以BF AC AB BD ===，CAB ABF ∠=∠所以CBA BCA

∠=∠因为CBF CBA ABF ∠=∠+∠，CBD BCA CAB ∠=∠+∠所以CBF CBD

∠=∠在CBF ?和CBD ?，BF BD =，CBF CBD ∠=∠，BC BC =所以

()

CBF CBD SAS ???所以CF CD =所以2CD CE

=

5 运用角平分线的性质解题

1. A

2.

因为BE AC ⊥，CF AB ⊥所以90BEA CFA ∠=∠=°

在ABE ?和ACF ?中，A A ∠=∠，BEA CFA ∠=∠，AB AC =所以

()

ABE ACF AAS ???所以AE AF =又因为AB AC =所以CE BF

=在BFD ?和CED ?中，BFD CED ∠=∠，BDF CDE ∠=∠，BF CE =所以

()

BFD CED AAS ???所以DF DE

=又因为DE AC ⊥，DF AB ⊥所以点D 在BAC ∠的平分线上. 3.

过点E 作EH CB ⊥，交CB 延长线于

H ，作EF AC ⊥，交CA 延长线于

F ，作

EG AB ⊥于G . 因为CE 平分ACB ∠所以EF EH =因为BE ABD

∠所以EH EG =所以EF EG =所以AE 平分FAB

∠因为180160FAB BAC ∠=°-∠=°所以80EAB ∠=°

因为110ABD ACB BDC ∠+∠+∠=°所以55ABE ∠=°

所以18045AEB EAB ABE ∠=°-∠-∠=°4.

(1)过点O 分别作OE AB ⊥，OF AC ⊥，E 、F 分别是垂足，由题意知，

,OE OF OB OC

==所以Rt OEB Rt OFC ???，所以B C ∠=∠，从而AB AC =.

(2)如图1，过点O 分别作OE AB ⊥，OF AC ⊥，E 、F 分别是垂足，由题意知，

OE OF

=在Rt OEB ?和Rt OFC ?中，因为

,OE OF OB OC ==，

所以Rt OEB Rt OFC ???，所以OBE OCF ∠=∠，又由OB OC =知OBC OCB ∠=∠所以ABC ACB ∠=∠所以AB AC

=(3)不一定成立.当A ∠的平分线所在直线与边BC 的垂直平分线重合时，有AB AC =，

如图2;否则，AB AC ≠，如图 3.

6 与角平分线有关的辅助线与角平分线有关的辅助线——————翻折法翻折法

1.

在AB 上截取AE AD =，连结EC 因为AC 平分BAD ∠所以DAC EAC ∠=∠故ACD ACE

???因此CD CE =，D AEC ∠=∠又因为180D B ∠+∠=°所以180AEC B ∠+∠=°而180AEC CEB ∠+∠=°所以B CEB ∠=∠所以CB CE =所以CD CB =2.

(1)在BA 的延长线上取'AC AC =，连结'PC ，先证'APC APC ???，由

"'PB PC BC +>即得PB PC AB AC

+>+( 2)结论为AC AB PC PB

->-如图，在AC 上取得'AB AB =.先证，再由''B C PC PB >-即得.

八年级数学培优练习题及答案大全

八年级数学培优练习题及答案大全 1．如图所示，在△ABC中，M是BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN．若AB=?14，?AC=19，则MN的长为． A． B．2.C．D．3.2.如图，在周长为20cm的□ABCD 中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE 的周长为 4cm 6cm8cm 10cm AE O B C A F M DQ 3题 o B C N 3、如图，在平行四边形 ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF=45，且

AE+AF=ABCD的周长是 4、如图，已知正方形纸片ABCD，M，N分别是AD，BC 的中点，把BC向上翻折，使点C恰好落在MN上的Ｆ点处，BQ为折痕，则∠FBQ＝ A 0° B 5° C 0° D 15° 5、如图所示,在正方形ABCD中,点E、F、G、H均在其内部，且DE＝EF＝FG＝GH＝HB＝2,∠E=∠F=∠G=∠H=60°,则正方形ABCD的边长为 A. B.2 C. D.32 6、如图是一块长、宽、高分别是6cm、4cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从顶点A出发，沿长方体的表面爬到和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路线的长是． 7、已知一组数据10，10，x，8的众数与它的平均数相等，则这组数的中位数是． 8、如图OA、AB分别表示甲、乙两名同学运动的一次函数图象，图中s和t分别表示运动 路程和时间，已知甲的速度比乙快，下列说法：①射线BA表示甲的路程与时间的函数关系；②甲的速度比乙快1.5米/秒；③甲让乙先跑12米；④秒钟后，甲超过了乙，其中正确的说法是。

新人教版八年级数学《三角形》重点、难点、培优训练习题集

三角形重难点培优突破 1、知：a 、b 、c 是△ABC 的三边长，化简︱a+b-c ︱+︱b-a-c ︱-︱c-a+b ︱ 2、知：a 、b 、c 是△ABC 的三边长，化简︱a-b-c ︱+︱b-c-a ︱-︱c+a-b ︱. 3、为△ABC 内任意一点，BP 延长线交AC 于D ，试说明： （1）AB+AC+BC>2BD （2）AB+AC>PB+PC 4、所示②③两条路线，哪一条比较近？为什么？ 5、三角形中，一腰上的中线把三角形的周长分为6cm 和15cm 的两部分，求此三角形的腰和底边的长. 6、所示，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63o， 求∠DAC 的度数． 7、图所示,已知∠1=∠2,∠3=∠4,∠C=32°,∠D=28°,求∠P 的度数. A B C D P ② ③ A B C D E 2 1C A

8、已知BD、CE是△ABC的高，直线BD、CE相交所成的角中有一个角为50°，则∠BAC的度数为。 9如图，把△ABC的纸片沿着DE折叠． （1）若点A落在四边形BCDE的内部点A′的位置．（如图1）且∠1=40°，∠2=24°，求：∠A′的度数； （2）若点A落在四边形BCDE的外部（BE的上方）点A′的位置（如图2），则∠A′与∠1，∠2有怎样的关系？请说明你的理由； （3）若点A落在四边形BCDE的外部（CD的下方）点A′的位置（如图3），∠A′与∠1，∠2又有怎样的关系？直接写出你的结论． 10、，∠MON=90°，点A、B分别在射线OM、ON上移动，BD是∠NBA的平分线，BD的反向延长线与∠BAO的平分线相交于点C．试猜想：∠ACB的大小是否随A、B的移动发生变化？如果保持不变，请给出证明；如果随点A、B的移动发生变化，请给出变化范围．

北师大版八年级数学下册-测培优试题(有难度)

数学综合测试题（北师大版·八年级） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若21 =+x x ，则221x x + =（ ） A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4 2. 已知关于x 的不等式组230 320a x a x +>??-≥? 恰有3个整数解，则a 的取值范围是（ ） A ． 23≤a ≤32 B . 43≤a ≤32 C ．43＜a ≤32 D ．43≤a ＜3 2 3. 已知a b c d 满足 2003 1 200212001120001+= -=+=-d c b a 则a b c d 四个数的大小关系为（ ） A ． a >c >b >d ( B ) b >d >a >c (C ) d >b >a >c (D ) c >a >b >d 4. 已知x 为整数，且分式 1 222-+x x 的值为整数，则x 可取的值有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5. 要使a 5＜a 3＜a ＜a 2＜a 4成立，则a 的取值范围是（ ） A ．0＜a ＜1 B . a ＞1 C .－1＜a ＜0 D . a ＜－1 6. 下列因式分解正确的是 （ ） A ．4x 2–4xy+y 2–1=(2x –y)2–1=(2x –y+1)(2x –y –1) B ．4x 2–4xy+y 2–1=(2x –y)2–1=(2x –y+1)(2x+y –1) C ．4x 2–4xy+y 2–1=(2x –y)2–1=(2x –y+1)(2x+y+1) D ．4x 2–4xy+y 2–1=(2x+y)2–1=(2x+y+1)(2x+y –1) 7. 13. 数据8，10，12，9，11的平均数和方差分别是 （ ） A ．10和2 B ．10和2 C ．50和2 D ．50和2 8. 延长线段AB 到C,使得BC= AB,则AC:AB=( ) A ．2:1 B ．3:1 C ．3:2 D ．4:3 9. 三角形三边之比为3:4:5，与它相似的另一个三角形的最短边为6cm ，则这个三角形的周长为（ ） A ．12cm B ．18cm C ．24cm D ．30cm 10. 如图，已知梯形ABCD ，AD BC ∥，4AD DC ==，8BC =，点N 在BC 上，2CN =，E 是 AB 中点，在AC 上找一点M 使EM MN +的值最小，此时其 最小值一定等于（ ） A ．6 B ．8 C ．4 D ．3二、填空题（每小题3分，共30分） 1. 因式分解：x 3–4x= ． 2. 若543z y x = =，则x z y x 562-+= ． A E B D N

八年级上册数学 三角形填空选择单元培优测试卷

八年级上册数学三角形填空选择单元培优测试卷 一、八年级数学三角形填空题（难） ∠=，边AB的垂直平分线交边BC于点D，边AC的垂直平分线1．在ABC中，BACα ∠的度数为______.(用含α的代数式表示) 交边BC于点E，连结AD，AE，则DAE 【答案】2α﹣180°或180°﹣2α 【解析】 分两种情况进行讨论，先根据线段垂直平分线的性质，得到∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，进而得到∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°－a，再根据角的和差关系进行计算即可． 解：有两种情况： ①如图所示,当∠BAC?90°时， ∵DM垂直平分AB， ∴DA=DB， ∴∠B=∠BAD， 同理可得，∠C=∠CAE， ∴∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°?α， ∴∠DAE=∠BAC?(∠BAD+∠CAE)=α?(180°?α)=2α?180°； ②如图所示,当∠BAC<90°时， ∵DM垂直平分AB， ∴DA=DB， ∴∠B=∠BAD， 同理可得，∠C=∠CAE， ∴∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°?α， ∴∠DAE=∠BAD+∠CAE?∠BAC=180°?α?α=180°?2α. 故答案为2α?180°或180°?2α. 点睛：本题主要考查垂直平分线的性质.根据题意准确画出符合题意的两种图形是解题的关键. 2．△ABC的两边长为4和3，则第三边上的中线长m的取值范围是_______．

【答案】 17 22 m << 【解析】 【分析】 作出草图，延长AD到E，使DE=AD，连接CE，利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，然后根据全等三角形对应边相等可得CE=AB，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之和小于第三边求出AE的取值范围，便不难得出m的取值范围． 【详解】 解：如图，延长AD到E，使DE=AD，连接CE， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD=CD， 在△ABD和△ECD中， AD DE ADB EDC BD CD = ? ? ∠=∠ ? ?= ? , ∴△ABD≌△ECD（SAS）， ∴CE=AB， ∵AB=3，AC=4， ∴4-3＜AE＜4+3，即1＜AE＜7， ∴ 17 22 m <<． 故答案为： 17 22 m <<． 【点睛】 本题主要考查倍长中线法构造全等三角形和三边关系，解决本题的关键是要熟练掌握倍长中线法构造全等三角形. 3．如图,在平面直角坐标系xOy中,点A、B分别在x轴的正半轴、y轴的正半轴上移动,点M在第二象限，且MA平分∠BAO，做射线MB，若∠1=∠2，则∠M的度数是_______。

新人教版八年级数学下册培优辅导资料(全册)48359

`新人教版八年级数学下册辅导资料（01） 姓名：________ 得分：_____ 一、知识点梳理： 1、二次根式的定义. 一般地，式子 a （a ≥0）叫做二次根式，a 叫做被开方数。两个非负数：（1）a ≥0 ；（2） a ≥0 2、二次根式的性质： （1）.()0≥a a 是一个________ 数 ； （2） () =2 a __________（a ≥0） （3）()() () ?? ? ???=?==0_______0_______ 0_______2a a a a a 3、二次根式的乘除： 积的算术平方根的性质： )0,0(≥≥?=b a b a ab ，二次根式乘法法则： __________=?b a （a ≥0,b ≥0） 商的算术平方根的性质： b a b a =).0,0(>≥b a 二次根式除法法则：)0,0(>≥= b a b a b a 1．被开方数不含分母； 4、最简二次根式 2．分母中不含根号； 3. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 分母有理化：是指把分母中的根号化去，达到化去分母中的根号的目的． 二、典型例题： 例1：当x 是怎样实数时，下列各式在实数范围内有意义？ ⑴ 2-x ⑵ x x -+2) 1(0 ⑶13-+-x x ⑷12+x （5） 1 2 -+x x

小结： 代数式有意义应考虑以下三个方面：（1）二次根式的被开方数为非负数。（2）分式的分母不为0.（3）零指数幂、负整数指数幂的底数不能为0 例2：化简： （1）|21|)22(2-+- （2）|3 254|)3253(2-+- 例3： (1)已知y=x -3+62-x +5，求 x y 的值． (2) 已知01442=-+++-y x y y ，求xy 的值．

初中八年级数学竞赛培优讲义全套专题25 配方法-精编

专题 25 配方法 阅读与思考 把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种方法叫配方法，配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧. 配方法的作用在于改变式子的原有结构，是变形求解的一种手段；配方法的实质在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具. 配方法解题的关键在于“配方”，恰当的“拆”与“添”是配方常用的技巧，常见的等式有： 1、222 2()a ab b a b ±+=± 2、2 a b ±= 3、2222 222()a b c ab bc ca a b c +++++=++ 4、2 2 2 2221 [()()()]2 a b c ab bc ac a b b c a c ++---= -+-+- 配方法在代数式的求值，解方程、求最值等方面有较广泛的应用，运用配方解题的关键在于： (1) 具有较强的配方意识，即由题设条件的平方特征或隐含的平方关系，如2 a = 能 联想起配方法. (2) 具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式. 例题与求解 【例1】 已知实数x ，y ，z 满足2 5,z 9x y xy y +==+- ，那么23x y z ++=_____ (“祖冲之杯”邀请赛试题) 解题思路：对题设条件实施变形，设法确定x ， y 的值. 【例2】 若实数a ，b ， c 满足222 9a b c ++= ，则代数式2 2 2 ()()()a b b c c a -+-+- 的 最大值是 ( ) A 、27 B 、18 C 、15 D 、12 (全国初中数学联赛试题) 解题思路：运用乘法公式 ，将原式变形为含常数项及完全平方式的形式.

苏科版八年级上册数学 三角形解答题(培优篇)(Word版 含解析)

苏科版八年级上册数学 三角形解答题（培优篇）（Word 版 含解析） 一、八年级数学三角形解答题压轴题（难） 1．如图1，直线MN 与直线AB 、CD 分别交于点E 、F ，1∠与2∠互补. (1)试判断直线AB 与直线CD 的位置关系，并说明理由. (2)如图2，BEF ∠与EFD ∠的角平分线交于点P ，EP 与CD 交于点G ，点H 是MN 上一点，且GH EG ⊥，求证：//PF GH . (3)如图3，在(2)的条件下，连接PH ，K 是GH 上一点使PHK HPK ∠=∠，作PQ 平分 EPK ∠，求HPQ ∠的度数. 【答案】(1)AB//CD ，理由见解析；(2)证明见解析；(3)45HPQ ∠=. 【解析】 【分析】 （1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角∠AEF 、∠CFE 互补，即可证明； （2）利用（1）中平行线的性质、角平分线的性质、三角形内角和定理可得∠EPF=90°，即EG ⊥PF ，再结合GH ⊥EG ，即可证明; （3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得∠A=90°-∠3=90°-2∠2；然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知∠QPK=-1 2 ∠EPK=45°+∠2，最后根据角与角间的和差关系即可求解. 【详解】 (1)//AB CD ， 理由如下：如图1， 图1 ∵1∠与2∠互补， ∴12180∠+∠=?，

又∵1AEF ∠=∠，2CFE ∠=∠， ∴180AEF CFE ∠+∠=?， ∴//AB CD ； (2)如图2，由(1)知，//AB CD ， 图2 ∴180BEF EFD ∠+∠=?． 又∵BEF ∠与EFD ∠的角平分线交于点P ， ∴1 (2 )90FEP EFP BEF EFD ∠+∠= ∠+∠=?， ∴90EPF ∠=?，即EG PF ⊥． ∵GH EG ⊥， ∴//PF GH ； (3)如图3， ∵PHK HPK ∠=∠， 2PKG HPK ∴∠=∠. 又∵GH EG ⊥， ∴90902KPG PKG HPK ∠=-∠=-∠． ∴180902EPK KPG HPK ∠=-∠=+∠． ∵PQ 平分EPK ∠， ∴1 452 QPK EPK HPK ∠= ∠=+∠． ∴45HPQ QPK HPK ∠=∠-∠=．

八年级数学分式培优练习题完整复习资料

分式培优练习题 分式 (一) 一 选择 1 下列运算正确的是（ ） A -40=1 B （-3）-1=3 1 C （-2）2=4 D （）-111 2 分式2 8,9,12z y x xy z x x z y -+-的最简公分母是（ ） A 722 B 108 C 72 D 962 3 用科学计数法表示的树-3.6×10-4写成小数是（ ） A 0.00036 B -0.0036 C -0.00036 D -36000 4 若分式652 2+--x x x 的值为0，则x 的值为（ ） A 2 B -2 C 2或-2 D 2或3 5计算?? ? ??-+÷??? ?? -+1111112x x 的结果是（ ） A 1 B 1 C x x 1+ D 1 1-x 6 工地调来72人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走，怎样调动劳动力才能使挖出的土能及时运走，解决此问题，可设派x 人挖土，其它的人运土，列方程 ①3172=-x x ②723x ③372 ④372=-x x 上述所列方程，正确的有（ ）个 A 1 B 2 C 3 D 4 7 在m a y x xy x x 1,3,3,21,21,12+++π中，分式的个数是（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 8 若分式方程x a x a x +-=+-321有增根，则a 的值是（ ） A -1 B 0 C 1 D 2 9 若3,111--+=-b a a b b a b a 则的值是（ ） A -2 B 2 C 3 D -3 10 已知 k b a c c a b c b a =+=+=+，则直线2k 一定经过（ ） A 第1、2象限 B 第2、3象限 C 第3、4象限 D 第 1、4象限 二 填空 1 一组按规律排列的式子：()0,,,,4 11 38252≠--ab a b a b a b a b ，其中第7个式子是

人教版八年级数学下册期末解答题培优练习(含答案)(优选.)

最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word文本 --------------------- 方便更改 人教版2018年八年级数学下册期末解答题培优练习 1、如图,长方体的长BE=15cm,宽AB=10cm,高AD=20cm,点M在CH上,且CM=5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M,需要爬行的最短距离是多少? 2、如图所示，在△ABC中，分别以AB.AC.BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE.等边△BCF． (1)求证：四边形DAEF是平行四边形； (2)探究下列问题：(只填满足的条件，不需证明) ①当△ABC满足_________________________条件时，四边形DAEF是矩形； ②当△ABC满足_________________________条件时，四边形DAEF是菱形； ③当△ABC满足_________________________条件时，以D.A.E.F为顶点的四边形不存在． 3、如图，在△ABC 中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA 的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F． （1）求证：EO=FO； （2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．

4、如图，直线l1：y1=kx+2（k≠0）与直线l2：y2=4x﹣4交于点P（m，4），直线l1分别交x轴、y轴于点A、B，直线l2交x轴于点C． （1）求k、m的值； （2）写出使得不等式kx+2＜4x﹣4成立的x的取值范围； （3）在直线l2上找点Q，使得S△QAC=S△BPC，求点Q的坐标． 5、小丽剪了一些直角三角形纸片，她取出其中的几张进行了如下的操作： 操作一：如图，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE. ⑴如果AC=6cm,BC=8cm,试求△ACD的周长. ⑵如果∠CAD:∠BAD=4:7,求∠B的度数. 操作二：如图，小丽拿出另一张Rt△ABC纸片，将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上,且与AE重合,已知两直角边AC=6cm，BC=8cm，你能求出CD的长吗？ 操作三：如图，小丽又拿出另一张Rt△ABC纸片，将纸片折叠，折痕CD⊥AB。 你能证明：BC2+AD2=AC2+BD2吗？

八年级数学竞赛培优专题及答案 09 二次根式的概念与性质

专题09 二次根式的概念与性质 阅读与思考 0) a≥叫做二次根式，二次根式的性质是二次根式运算、化简求值的基础，主要有： 1 ≥ a、a2一样都是非负数． 2 ． 2 ＝a（a≥0）．解二次根式问题的基本途径——通过平方，去掉根号有理化． 3 () () a a a a a ≥ ?? ==? -≤ ?? 揭示了与绝对值的内在一致性． 4 a b =（a≥0，b≥0）． 5 =（a≥0，b＞0）．给出了二次根式乘除法运算的法则． 6．若a＞b＞0 ＞0，反之亦然，这是比较二次根式大小的基础． 运用二次根式性质解题应注意： （1）每一性质成立的条件，即等式中字母的取值范围； （2）要学会性质的“正用”与“逆用”，既能够从等式的左边变形到等式的右边，也能够从等式的右边变形到等式的左边． 例题与求解 【例1】设x，y都是有理数，且满足方程 11 40 2332 x y ππ π ???? +++--= ? ? ???? ，那么x y -的值是 ____________．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：将等式整理成有理数、无理数两部分，运用有理数和无理数的性质解题． 【例2】当1≤x≤2 ___________． 解题思路： a≥0的隐含制约．

【例3】若a＞0，b＞0=+ 的值． （天津市竞赛试题）解题思路：对已知条件变形，求a，b的值或探求a，b的关系． 【例4】若实数x，y，m满足关系式： 199 y x =--m的值． （北京市竞赛试题）解题思路：观察发现（x－199＋y）与（199－x－y）互为相反数，由二次根式的定义、性质探索解题的突破口． 【例5】已知 1 5 2 a b c +-=-，求a＋b＋c的值． （山东省竞赛试题） 解题思路：题设条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试. 【例6】在△ABC中，AB，BC，AC 学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC （即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积． （1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上：_________． （2）我们把上述求△ABC面积的方法叫作构图法．若△ABC， （a＞0），请利用图2中的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积． （3）若△ABC（m＞0，n＞0，且m≠n） 试运用构图法求出这个三角形的面积． （咸宁市中考试题）解题思路：本题主要考查三角形的面积、勾股定理等知识，不规则三角形的面积，可通过构造直角三角形、正方形等特殊图形求得．

数学八年级上册 全等三角形单元培优测试卷

数学八年级上册 全等三角形单元培优测试卷 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，已知正六边形 ABCDEF 的边长是 5，点 P 是 AD 上的一动点，则 PE+PF 的最小值是_____． 【答案】10 【解析】 利用正多边形的性质，可得点B 关于AD 对称的点为点E ，连接BE 交AD 于P 点，那么有PB=PF ，PE+PF=BE 最小，根据正六边形的性质可知三角形APB 是等边三角形，因此可知BE 的长为10，即PE+PF 的最小值为10. 故答案为10. 2．如图，ABC 中，ABC=45∠?，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连接DH 与BE 相交于点G ，下列结论： BF=AC ①；A=67.5∠?②；DG=DF ③；ADGE GHCE S S =四边形四边形④，其中正确的有 __________（填序号）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】

只要证明△BDF≌△CDA，△BAC是等腰三角形，∠DGF=∠DFG=67.5°，即可判断①②③正确，作GM⊥BD于M，只要证明GH＜DG即可判断④错误． 【详解】 解：∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠BDC=∠ADC=∠AEB=90°， ∴∠A＋∠ABE=90°，∠ABE＋∠DFB=90°， ∴∠A=∠DFB， ∵∠ABC=45°，∠BDC=90°， ∴∠DCB=90°?45°=45°=∠DBC， ∴BD=DC， 在△BDF和△CDA中， ∠BDF=∠CDA，∠A=∠DFB，BD=CD， ∴△BDF≌△CDA（AAS）， ∴BF=AC，故①正确． ∵∠ABE=∠EBC=22.5°，BE⊥AC， ∴∠A=∠BCA=67.5°，故②正确， ∵BE平分∠ABC，∠ABC=45°， ∴∠ABE=∠CBE=22.5°， ∵∠BDF=∠BHG=90°， ∴∠BGH=∠BFD=67.5°， ∴∠DGF=∠DFG=67.5°， ∴DG=DF，故③正确． 作GM⊥AB于M．如图所示： ∵∠GBM=∠GBH，GH⊥BC， ∴GH=GM＜DG， ∴S△DGB＞S△GHB， ∵S△ABE=S△BCE， ∴S四边形ADGE＜S四边形GHCE．故④错误， 故答案为：①②③． 【点睛】 此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点的综合运用，第五个问题难度比较大，添加辅助线是解题关键，属于中考选择题中的压轴题．

最新八年级数学(下)培优竞赛训练题

图1 A B C D E P 八年级数学培优训练题 1. 如图，已知反比例函数y ＝ m x 的图象经过点A (－1，3)，一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点A 和点C (0，4），且与反比例函数的图象相交于另一点B (1)求这两个函数的解析式； (2)求点B 的坐标． 2． 如图1，把边长为2cm 的正方形沿图中虚线剪成四个全等的直角三角形．请你用这四个直角三角形分别拼成符合下列（1）、（2）、（3）要求的图形(每次拼成的图形必须全部用上这四个直角三角形，且这四个直角三角形互相没有重叠部分，也不留空隙)各一个，并按实际大小把你拼出的图形画在相应的方格纸内(方格纸内每个小方格是边长为1cm 的正方形)． 3．(12分)如图，在菱形ABCD 中，P 是AB 上的一个动点 (不与A 、B 重合)．连接OP 交对角线AC 于E 连接BE ． (1)证明：∠APD ＝∠CBE ；(6分) (2)若∠DAB ＝60o，试问P 点运动到什么位置时，△ADP 的面积等于菱形ABCD 面积的 1 4 ？为什么？(6分) (1)不是正方形的菱形 (2)不是正方形的矩形 (3)梯形

4．(7分)如图，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上，连接BE 、DG ． (1)求证：BE ＝DG ； (2)图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，说出旋转过程；若不存在，请说明理由． 5．(7分)在直角坐标系中直接画出函数y ＝|x |的图象．若一次函数y ＝kx ＋b 的图象分别过 点A (－1，1)、B (2，2)，请你依据这两个函数的图象写出方程组???y ＝|x | y ＝kx ＋b 的解． 6．(8分)如图，反比例函数y ＝ m x (x ＞0)的图象与一次函数y ＝－ 1 2x ＋ 5 2 的图象交于A 、B 两点，点C 的坐标为(1， 1 2 )，连接AC ，AC ∥y 轴． (1)求反比例函数的解析式及点B 的坐标； (2)现有一个直角三角板，让它的直角顶点P 在反比例函数图象上A 、B 之间的部分滑动(不与A 、B 重合)，两直角边始终分别平行于x 轴、y 轴，且与线段AB 交于M 、N 两点，试判断P 点在滑动过程中△PMN 是否与△CBA 总相似？简要说明判断理由．

人教版八年级数学下期中专题培优复习

期中复习专题 期中专题（一） 二次根式 1.计算： (1) (9) (10) 202π-+（ (12)+ (13) 2 2.已知，a =b = (1)22a b -； (2)11a b +； (3)22a ab b -+ . 3.已知22446100x y x y +--+=，求(5y - 的值.

期中专题（二） 勾股定理 1.在△ABC 中，∠C =90°，∠A =60°，BC =3+，BD 平分∠ABC 交AC 于D .求AD 的长. 2.如图，在△ABC 中，AB =AC =10，BC =16，AD ⊥AC 交BC 于D ，求DB 的长. 3.如图，在△ABC 中，AB =AC ，BD ⊥AC 于D ，BD =4，CB =5，求AB 的长.

4.如图，在△ABC 中，∠B =45°，∠ A =15°，BC 1，求AC ，A B 的长. 5.如图，在四边形ABCD 中，∠A =60°，∠B =∠D =90°，AB =2，CD =1，求BC 和AD 的长. 6.如图，点E ，F 分别为正方形ABCD 的边BC ，CD 上一点，且AE 平分∠BEF ，连AF . (1)求证：∠EAF =45°； (2)若点E 为BC 的中点，AB =6，求AEF S .

期中专题（三）特殊四边形的简单证明 1.如图，在ABCD中，点E，F在AC上，且AE=CF. (1)求证：四边形BEDF为平行四边形； (2)若需四边形BEDF为菱形，则原四边形对角线之间需添加什么条件？ 2.如图，AD为△ABC的平分线，DE∥AB交AC于E，DF∥AC交AB于F，判断四边形AEDF 的形状并证明. 3. (2013乌鲁木齐)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AE平分∠BAC，分别与BC，CD交于点E，F，EH⊥AB于点H，连接FH.求证：四边形CFHE是菱形.

人教版八年级数学上册等腰三角形培优专题练习.doc

等腰三角形培优专题 等腰三角形是一种特殊的三角形，它具有一般三角形的性质，同时，还具有自身的特殊性，这些特殊性使它比一般三角形应用更加广泛．等腰三角形的性质和判定为证明两个角相等和两条线段相等提供了依据．等腰三角形是轴对称图形，底边上的高所在直线是它的对称轴，对于某些含有（或隐含）等腰三角形条件的问题，可以作等腰三角形底边上的高或构建等腰三角形、等边三角形找到解决问题的途径． 练习 1．如图，已知△ A．7．5°ABC中， AB B．10° ＝AC ，AD ＝ C．12.5 ° AE ，∠ BAE D．18° ＝ 30 °，则 ∠ DEC 等于（）． 2．如图，AA′、 BB′分别是△ABC的外角∠C 在一直线上，则∠ACB的度数是多少？EAB 和∠CBD 的平分线，且AA′＝ AB ＝ B′Ｂ，A′、 B 、 3．如图，则∠ BDC 等腰三角形 ＝ ________ ABC ． 中，AB ＝AC ，∠ A ＝20 °． D 是AB 边上的点，且AD ＝ BC ，连 结 CD ， 例 2 如图， D 是等边三角形ABC 的 AB 边延长线上一点， E 是等边三角形ABC 的 AC 边延长线上一点，且EB ＝ ED ．那么CE 与 AD 相等吗？试说明理由． E

C A B D

练习 线交1．已知如图，在△ CA 的延长线于点 ABC中，AB＝CD，D是 F ，判断AD 与 AF 相等吗？ AB 上一点，DE⊥BC ， E 为垂足，ED? 的延长 2．如图，△ABC ＝ 15°，则 BD 与 A ． BD>BA 是等腰直角三角形，∠ BA 的大小关系是（ B ． BD

八年级上册数学 三角形填空选择单元培优测试卷

八年级上册数学 三角形填空选择单元培优测试卷 一、八年级数学三角形填空题（难） 1．如图，ABC ?的ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D ，点,E F 分别在线段BD 、CD 上，点G 在EF 的延长线上，EFD ?与EFH ?关于直线EF 对称，若60,84,A BEH HFG n ???∠=∠=∠=，则n =__________. 【答案】78. 【解析】 【分析】 利用ABC ?的ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D 得到 ∠DBC= 12∠ABC ，∠ACD=12(∠A+∠ABC)，根据三角形的内角和得到∠D=12 ∠A=30?，利用外角定理得到∠DEH=96?，由EFD ?与EFH ?关于直线EF 对称得到∠DEG=∠HEG=48?，根据外角定理即可得到∠DFG=∠D+∠DEG=78?. 【详解】 ∵ABC ?的ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D ∴∠DBC=12∠ABC ，∠ACD=12 (∠A+∠ABC)， ∵∠DBC+∠BCD+∠D=180?，∠A+∠ABC+∠ACB=180?， ∴∠D=12 ∠A=30?， ∵84BEH ?∠=, ∴∠DEH=96?, ∵EFD ?与EFH ?关于直线EF 对称， ∴∠DEG=∠HEG=48?，∠DFG=∠HFG n ?=, ∵∠DFG=∠D+∠DEG=78?， ∴n=78. 故答案为：78. 【点睛】 此题考查三角形的内角和定理、外角定理，角平分线性质，轴对称图形的性质，此题中求出∠D=12 ∠A=30?是解题的关键.

2．如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A 、B 分别在x 轴的正半轴、y 轴的正半轴上移动,点M 在第二象限，且MA 平分∠BAO ，做射线MB ，若∠1=∠2，则∠M 的度数是_______。 【答案】45? 【解析】 【分析】 根据三角形内角与外角的关系可得2M MAB ∠∠∠=+ 由角平分线的性质可得MAB MAO ∠∠= 根据三角形内角和定理可得OBA OAB BOA 180∠∠∠++=? 易得∠M 的度数。 【详解】 在ABM 中，2∠是ABM 的外角 ∴2M MAB ∠∠∠=+ 由三角形内角和定理可得OBA OAB BOA 180∠∠∠++=? ∵BOA 90∠=? ∴OBA OAB 90∠∠+=? ∵MA 平分BAO ∠ ∴BAO 2MAB ∠∠= 由三角形内角与外角的关系可得12BAO BOA 90BAO ∠∠∠∠∠+=+=?+ ∵12∠∠= ∴2290BAO ∠∠=?+ 又∵2M MAB ∠∠∠=+ ∴222M 2MAB 2M BAO ∠∠∠∠∠=+=+ ∴90BAO 2M BAO ∠∠∠?+=+ 2M 90∠=? M 45∠=? 【点睛】 本题考查三角形外角的性质，即三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和。 3．某多边形内角和与外角和共1080°，则这个多边形的边数是__________． 【答案】6 【解析】 ∵多边形内角和与外角和共1080°，

八年级数学培优讲义下册

第十六章 分式 测试1 从分数到分式 学习要求 掌握分式的概念，能求出分式有意义，分式值为0、为1的条件． 课堂学习检测 一、填空题 1．用A 、B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示成的形式，如果除式B 中，该分式的分式． 2．把下列各式写成分式的形式： （1）5÷为. （2）（3x ＋2y ）÷（x －3y ）为. 3．甲每小时做x 个零件，做90个零件所用的时间，可用式子表示成小时． 4．n 公顷麦田共收小麦m 吨，平均每公顷的产量可用式子表示成吨． 5．轮船在静水中每小时走a 千米，水流速度是b 千米／时，轮船在逆流中航行s 千米所需要的时间可用式子表示成小时． 6．当x ＝时，分式 1 3-x x 没有意义． 7．当x ＝时，分式1 1 2--x x 的值为0． 8．分式 y x ，当字母x 、y 满足时，值为1；当字母x ，y 满足时值为－1． 二、选择题 9．使得分式 1 +a a 有意义的a 的取值范围是（ ） A ．a ≠0 B ．a ≠1 C ．a ≠－1 D ．a ＋1＞0 10．下列判断错误．． 的是（ ） A ．当32 =/x 时，分式2 31-+x x 有意义 B ．当a ≠b 时，分式2 2b a ab -有意义 C ．当2 1- =x 时，分式x x 41 2+值为0 D ．当x ≠y 时，分式x y y x --2 2有意义 11．使分式 5 +x x 值为0的x 值是（ ） A ．0 B ．5 C ．－5 D ．x ≠－5 12．当x ＜0时， x x | |的值为（ ） A ．1 B ．－1 C ．±1 D ．不确定 13．x 为任何实数时，下列分式中一定有意义的是（ ) A ．x x 12+ B ． 1 1 2--x x C ． 1 1 +-x x D ． 1 1 2+-x x

北师大版八年级下数学培优提高习题

八年级下“勇攀高峰”第1期（2015年3月）命题人：张志欣 一．选择题（共7小题） 1．如果关于x的不等式（a+2）x＞a+2的解集为x＜1，那么a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＜0 C．a＞﹣2 D．a＜﹣2 2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（） A．B．C．D． 3．已知不等式组的解集是x＞5，则m的取值范围是（） A．m＞5 B．m≥5 C．m＜5 D．m≤5 4．已知点M（1﹣2m，m﹣1）关于x轴的对称点在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（） A．B． C．D． 5．阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为=ad﹣bc，例如 =1×4﹣2×3=﹣2，如果＞0，则x的解集是（） A．x＞1 B．x＜﹣1 C．x＞3 D．x＜﹣3 6．如图，直线y=﹣x+2与y=ax+b（a≠0且a，b为常数） 的交点坐标为（3，﹣1），则关于x的不等式 ﹣x+2≥ax+b的解集为（） A．x≥﹣1 B．x≥3 C．x≤﹣1 D．x≤3 7．已知关于x的不等式组有且只有1个整数解，则a的取值范围是（）A．a＞0 B．0≤a＜1 C．0＜a≤1 D．a≤1 二．填空题（共5小题） 8．不等式组的最小整数解是． 9．已知不等式组的解集为x＞3，则a的取值范围是．

10．已知不等式3x﹣a≤0的解集为x≤5，则a的值为． 11．如果1＜x＜2，则（x﹣1）（x﹣2）0．（填写“＞”、“＜”或“=”） 三．解答题（共5小题） 12．代数式的值不大于的值，求x的取值范围． 13．解不等式组：14．解不等式组，并求其整数解．15. 某电器商场销售A、B两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元，商 场销售5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利润120元． （1）求商场销售A、B两种型号计算器的销售价格分别是多少元？（利润=销售价格﹣进货价格）（2）商场准备用不多于2500元的资金购进A、B两种型号计算器共70台，问最少需要购进A型号的计算器多少台？

八年级数学全等三角形(培优篇)(Word版 含解析)

八年级数学全等三角形（培优篇）（Word版含解析） 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=10cm，点P是这个菱形内部或边上的一点．若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A（P，A两点不重合）两点间的最短距离为______cm． - 【答案】10310 【解析】 解：连接BD，在菱形ABCD中， ∵∠ABC=120°，AB=BC=AD=CD=10，∴∠A=∠C=60°，∴△ABD，△BCD都是等边三角形，分三种情况讨论： ①若以边BC为底，则BC垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”，即当点P与点D重合时，PA最小，最小值PA=10； ②若以边PB为底，∠PCB为顶角时，以点C为圆心，BC长为半径作圆，与AC相交于一点，则弧BD（除点B外）上的所有点都满足△PBC是等腰三角形，当点P在AC上时，AP -； 最小，最小值为10310 ③若以边PC为底，∠PBC为顶角，以点B为圆心，BC为半径作圆，则弧AC上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形，当点P与点A重合时，PA最小，显然不满足题意，故此种情况不存在； -（cm）． 综上所述，PA的最小值为10310 -． 故答案为：10310 点睛：本题考查菱形的性质、等边三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

2．在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=1 2 BC，则△ABC的顶角的度数为 _____． 【答案】30°或150°或90° 【解析】 试题分析：分两种情况；①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可． 解：①BC为腰， ∵AD⊥BC于点D，AD=1 2 BC， ∴∠ACD=30°， 如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°， 如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°， ②BC为底，如图3， ∵AD⊥BC于点D，AD=1 2 BC， ∴AD=BD=CD， ∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，

八年级数学培优计划

培优计划 一、指导计划 提高优生的自主和自觉学习能力，逐步提高学习成绩，并培养较好的学习习惯，形成基本能力。培优计划要落到实处，发掘并培养一批数学尖子，挖掘他们的潜能，从培养能力入手，训练良好学习习惯，从而形成较扎实的基础和能力，并能协助老师进行辅差活动，提高整个班级的数学素养和数学成绩。 二、学生情况分析 八年级各班共196人，从本学期的学习情况及知识技能掌握情况看，大部分学生学习积极性高，学习目的明确，上课认真，作业能按时按量完成，且质量较好，一部分尖子生能起到较好的模范带头作用，因此本学期除在教学过程中要注重学生的个体差异外，我组准备在提高学生学习兴趣上下功夫，通过培优的方式使优秀学生得到更好的发展。 三、原则与措施 （一）.培优对象：八年级各班数学成绩突出有发展潜能的5名同学组成培优班，班主任由张成山担任，上课教师：张成山、王守香、申朝福 （二）.培优资料，采用活页制，由培优老师提前准备活页资料，培优时，发给学生。培优过程必须优化

备课，功在课前，效在课上，成果巩固在课后培优。培优要做到备好学生、备好教材、备好练习，才能上好课，才能保证培优补差的效果。 （三）.培优教学要有四度： （1）习题设计要有梯度，紧扣重点、难点、疑点和热点，面向大多数学生，符合学生的认知规律，有利于巩固“双基”，有利于启发学生思维； （2）习题讲评要增加信息程度，围绕重点，增加强度，引到学生高度注意，有利于学生学会解答；（3）解答习题要有多角度，一题多解，一题多变，多题一解，扩展思路，培养学生思维的灵活性，培养学生思维的广阔性和变通性； （4）解题训练要讲精度，精选构思巧妙，新颖灵活的典型题，有代表性和针对性的题，练不在数量而在质量，训练要有多样化。 （四）．要讲究教法。要认真上好每一节课，研究不同课型的教法。要把知识进行网络，把知识进行列表比较，把知识系统，便于学生掌握；做到既评又讲，评有代表性的学生答题情况，讲知识的重点、易混点、热点及考点。做到师生互动，生生互动，极大的调动学生学习积极性，提高优生率。 四、主要措施：