中考数学专题复习——全等三角形

中考数学专题复习——全等三角形

一、选择题

1. （山东省潍坊市）如图, Rt△ABC中,AB⊥AC,AD⊥BC,平分∠ABC，交A D于E，EF∥AC，下列结论一定成立的是（）

A.AB=BF

B.AE=ED

C.AD=DC

D.∠ABE=∠DFE，

2.(成都市)如图，在△ABC与△DEF 中，已有条件AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEF，不能添加的一组条件是( )

(A)∠B=∠E,BC=EF （B ）BC=EF，AC=DF

(C)∠A=∠D，∠B=∠E （D）∠A=∠D，BC=EF

3．（08绵阳市）如图，O是边长为1的正△ABC的中心，将△ABC绕点O逆时针方向旋转180°，得△A1B1C1，则△A1B1C1与△ABC重叠部分（图中阴影部分）的面积为（）．

A．

3

3

B．

4

3

C．

6

3

D．

8

3

4.( 台湾)如图，有两个三角锥ABCD、EFGH，其中甲、乙、丙、丁分别表示?ABC、?ACD、?EFG、?EGH。若∠ACB=∠CAD=∠EFG=∠EGH=70?，∠BAC=∠ACD=∠EGF=∠EHG=50?，则下列叙述何者正确？( )

(A)甲、乙全等，丙、丁全等(B) 甲、乙全等，丙、丁不全等

(C) 甲、乙不全等，丙、丁全等(D) 甲、乙不全等，丙、丁不全等

A

B C

D

E

F

G

50?

A

B C

D

E

F

70?

50?

70?50?

70?

50?

70?

H

甲

乙丙

丁

5.（湖南省邵阳市）如图（四），点P 是AB 上任意一点，ABC ABD ∠=∠，还应补充一个条件，才能推出APC APD △≌△．从下列条件中补充一个条件，不一定能．．．．

推出APC APD △≌△的是（ ） A ．BC BD = B ．AC AD = C ．ACB ADB ∠=∠ D ．CAB DAB ∠=∠

6.（江苏省无锡市）如图，OAB △绕点O 逆时针旋转80到OCD △的位置，已知

45AOB ∠=，则AOD ∠等于（ ）

Ａ．55 Ｂ．45 Ｃ．40 Ｄ．35

二、填空题

1、（山东省滨州市）如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE 、AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ.以下五个结论：①AD=BE ；②PQ ∥AE ；③AP=BQ ；④DE=DP ；⑤∠AOB=60°. 恒成立的结论有_______________________（把你认为正确的序号都填上）。

Q

P

O B

E

D

C A

C

A

D

P B

图（四）

2. （山东省滨州市）将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，……如此继续下去，结果如下表：

所剪次数 1 2 3 4 … n 正三角形个数

4

7

10

13

…

a n

则a n =________________（用含n 的代数式表示）.

3..（江苏省南通市）已知：如图，△OAD ≌△OBC ，且∠O ＝70°，∠C ＝25°，则∠AEB ＝________度.

4．（08厦门市）如图，点G 是ABC △的重心，CG 的延长线交AB 于D ，5cm GA =，4cm GC =，3cm GB =，

将ADG △绕点D 旋转180得到BDE △，则DE = cm ， ABC △的面积= cm 2．

5．（08莆田市）在正三角形，正四边形，正五边形和正六边形中不能单独密铺的是__________. 6..（佳木斯市3）如图，BAC ABD ∠=∠，请你添加一个条件： ，使OC OD

=（只添一个即可）．

O A

B

C

D

E

A B

E

G C

D

7. (山东济宁)用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明

A O

B AOB '''∠=∠的依据是 ．

三、简答题

1、（四川省宜宾市）已知:如图,AD=BC,AC=BD.求证:OD=OC

2、（浙江省衢州市）如图，AB ∥CD

(1)用直尺和圆规作C ∠的平分线CP ，CP 交AB 于点E(保留作图痕迹，不写作法)

(2)在(1)中作出的线段CE 上取一点F ，连结AF 。要使△ACF ≌△AEF ，还需要添加一个什么条件？请你写出这个条件(只要给出一种情况即可；图中不再增加字母和线段；不要求证明)。

3.（浙江金华）如图，在ΔABC 和ΔDCB 中，AC 与BD 相交于点。， AB = DC ，AC = BD. (1)求证: ΔABC ≌ΔDCB ；(2) Δ0BC 的形状是 。(直接写出结论，不需证明) 。

O

D

C

B

A

D

O C

B

A

A

B

C D

4.（山东威海）（1）把两个含有45°角的直角三角板如图1放置，点D 在BC 上，连结BE ，AD ，AD 的延长线交BE 于点F ．

求证：AF ⊥BE ．

（2）把两个含有30°角的直角三角板如图2放置， 点D 在BC 上，连结BE ，AD ，AD 的延长线交BE 于点F ． 问AF 与BE 是否垂直？并说明理由．

5. （山东省临沂市）已知∠MAN ，AC 平分∠MAN 。

⑴在图1中，若∠MAN ＝120°，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，求证：AB ＋AD ＝AC;

⑵在图2中，若∠MAN ＝120°，∠ABC ＋∠ADC ＝180°，则⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明;若不成立，请说明理由

;

图 1

A

F

B C

E

D

A

B

D

C

E

图 2

F

⑶在图3中：

①若∠MAN ＝60°，∠ABC ＋∠ADC ＝180°，则AB ＋AD ＝____AC;

②若∠MAN ＝α（0°＜α＜180°），∠ABC ＋∠ADC ＝180°，则AB ＋AD ＝____AC （用含α的三角函数表示），并给出证明。

6.(浙江省绍兴市)学完“几何的回顾”一章后，老师布置了一道思考题： 如图，点M N ，分别在正三角形ABC 的BC CA ，边上， 且BM CN =，AM BN ，交于点Q ．求证：60BQM =∠．

（1）请你完成这道思考题；

（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出 了许多问题，如：

②若将题中的点M N ，分别移动到BC CA ，的延长线上，是否仍能得到60BQM =∠？ ③若将题中的条件“点M N ，分别在正三角形ABC 的BC CA ，边上”改为“点M N ，分别在正方形ABCD 的BC CD ，边上”，是否仍能得到60BQM =∠？

……

请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：① ；② ；③ ．并对②，③的判断，选择一个给出证明．

7.(天津市)已知Rt △ABC 中，?=∠90ACB ，CB CA =，有一个圆心角为?45，半径的长等于CA 的扇形CEF 绕点C 旋转，且直线CE ，CF 分别与直线AB 交于点M ，N ．

（Ⅰ）当扇形CEF 绕点C 在ACB ∠的内部旋转时，如图①，求证：222BN AM MN +=； 思路点拨：考虑222BN AM MN +=符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△ACM 沿直线CE 对折，得△DCM ，连DN ，只需证BN DN =，?=∠90MDN 就可以了．

A

C

N

Q

M

B

A M

N D

B C A M N D

B C A M

N D B C

请你完成证明过程：

（Ⅱ）当扇形CEF 绕点C 旋转至图②的位置时，关系式222BN AM MN +=是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

8.(年沈阳市)已知：如图①所示，在ABC △和ADE △中，AB AC =，AD AE =，

BAC DAE ∠=∠，且点B A D ，，在一条直线上，

连接BE CD M N ，，，分别为BE CD ，的中点．

（1）求证：①BE CD =；②AMN △是等腰三角形．

（2）在图①的基础上，将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立； （3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED 交线段BC 于点P ．求证：PBD AMN △∽△．

9.(2008年乐山市)如图（10），AC ∥DE ， BC ∥EF ，AC ＝DE 求证：AF ＝BD

C

A

B

E

F M N 图①

C

A

B

E F M

N 图②

C E N

D A B M

图① C A E

M B D N

图②

10．（2008年陕西省）已知：如图，B C E ，，三点在同一条直线上，AC DE ∥，AC CE =，ACD B ∠=∠．

求证：ABC CDE △≌△．

11.（2008年江苏省无锡市）已知一个三角形的两条边长分别是1cm 和2cm ，一个内角为

40．

（1）请你借助图1画出一个满足题设条件的三角形；

（2）你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在图1的右边用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由． （3）如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是3cm 和4cm ，一个内角为40”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有 个． 友情提醒：请在你画的图中标出已知角的度数和已知边的长度，“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹．

F

A E

D

B

C

A

D

B

C E

图1

12.（2008年江苏省苏州市）如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于O 点，12∠=∠，34∠=∠．

求证：（1）ABC ADC △≌△； （2）BO DO =．

13.(2008 湖南 怀化)如图10，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG,AE 与CG 相交于点M ，CG 与AD 相交于点N ．

求证： CG AE =；

14.(2008 重庆)已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC=DC ，CF 平分∠BCD ，DF ∥AB ，BF 的延长线交DC 于点E 。

求证：（1）△BFC ≌△DFC ；（2）AD=DE

D

C

B

A O

1 2

3 4 F

E

D

C

B

A

15.(2008 湖北 荆门)将两块全等的含30°角的三角尺如图(1)摆放在一起，它们的较短直角边长为3．

(1) 将△ECD 沿直线l 向左平移到图(2)的位置，使E 点落在AB 上，则CC ′=______； (2) 将△ECD 绕点C 逆时针旋转到图(3)的位置，使点E 落在AB 上，则△ECD 绕点

C 旋转的度数=______；

(3) 将△ECD 沿直线AC 翻折到图(4)的位置，ED ′与AB 相交于点F ，求证AF =FD ′．

．

16.(2008 四川 广安)如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 中点，连接AE 并延长AE 交BC 的延长线于点F ．

（1）求证：CF =AD ；

（2）若AD =2，AB =8，当BC 为多少时，点B 在线段AF 的垂直平分线上，为什么？

17.(2008 河北)如图1，ABC △的边BC 在直线l 上，AC BC ⊥，且AC BC =；EFP △的边FP 也在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF FP =．

（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB 与AP 所满足的数量关系和位置关

A

E

B

C

F

D

(2)

A C

B E

D E

A C

B E

D

l

(3) l D ’

F A C B

E

D

(4)

A C

B E D l E ’

C ’

系；

（2）将EFP △沿直线l 向左平移到图2的位置时，EP 交AC 于点Q ，连结AP ，BQ ．猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；

（3）将EFP △沿直线l 向左平移到图3的位置时，EP 的延长线交AC 的延长线于点Q ，连结AP ，BQ ．你认为（2）中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．

18.（2008 四川 泸州）如图4，E 是正方形ABCD 的边DC 上的一点，过点A 作FA ⊥AE 交CB 的延长线于点F ， 求证：DE=BF

19.(2008 河南)复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：

“如图①，已知，在△ABC 中，AB ＝AC ，P 是△ABC 中内任意一点，将AP 绕点A 顺时针旋转至AQ ，使∠QAP ＝∠BAC ，连结BQ 、CP 则BQ ＝CP 。”

小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABC ≌△ACP ，从而证得BQ ＝CP 。之后，他将点P 移到等腰三角形ABC 外，原题中其它条件不变，发现“BQ ＝CP ” 仍然成立，请你就图②给出证明。

F E

D C

B A A （E ） B

C （F ） P l

l

l

A

A

B B

Q

P

E

F

F

C Q

图1

图2

图3

E

P

C

20．（2008湖北黄石）如图，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，AE EC =，CF AB ∥． 求证：AD CF =．

21．(2008北京)已知：如图，C 为BE 上一点，点A D ，分别在BE 两侧．AB ED ∥，AB CE =，BC ED =．

求证：AC CD =．

22．(2008安徽)已知：点O 到ABC △的两边AB AC ，所在直线的距离相等，且OB OC =．

A

B C

D E

F

A C

E

D

B

（1）如图1，若点O 在边BC 上，求证：AB AC =； （2）如图2，若点O 在ABC △的内部，求证：AB AC =； （3）若点O 在ABC △的外部，AB AC =成立吗？请画图表示．

23.(2008泰安) 两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B C E ，，在同一条直线上，连结DC ．

（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； （2）证明：DC BE ⊥

24.（2008山西太原）将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图①中的两张三角形胶片ABC 和DEF 。将这两张三角形胶片的顶点B 与顶点E 重合，把DEF 绕点B 顺时针方向旋转，这时AC 与DF 相交于点O 。

（1）当DEF 旋转至如图②位置，点B （E ），C ，D 在同一直线上时，AFD ∠与DCA ∠的

数量关系是 。

（2）当DEF 继续旋转至如图③位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由。 （3）在图③中，连接BO ，AD,探索BO 与AD 之间有怎样的位置关系，并证明。

A

A

B

B

C C E F D

O

图1

图2

D

C E

A B

25.（2008浙江湖州） 如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，F 、E 分别是AD 及延长线上的点，

CF ∥BE ，

（1）求证：△BDE ≌△CDF

（2）请连结BF 、CE ，试判断四边形BECF 是何种特殊四边形，并说明理由。

26.（2008四川达州市）（6分）含30角的直角三角板ABC （30B ∠=）绕直角顶点C 沿逆时针方向旋转角α（90α∠<），再沿A ∠的对边翻折得到A B C ''△，AB 与B C '交于点M ，A B ''与BC 交于点N ，A B ''与AB 相交于点E ． （1）求证：ACM A CN '△≌△．

（2）当30α∠=时，找出ME 与MB '的数量关系，并加以说明．

27.(2008黑龙江哈尔滨)已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB ＝DC ，BE ＝CF ，∠B ＝∠C ．

求证：OA ＝OD ．

28.（2008福建省泉州市）已知：如图，E 、C 两点在线段BF 上，BE=CF ，AB=DE ， AC=DF,求证:ABC DEF ???

29.(2008山东济宁)如图，在Rt ABC △中，90B ∠=，BC AB >．

（1）在BC 边上找一点P ，使BP BA ，分别过点B P ，作AC 的垂线BD PE ，，垂足为D E ，． （2）在四条线段AD BD DE PE ，，，中，某些线段之间存在一定的数量关系．请你写出一个等式表示这个数量关系（等式中含有其中的2条或3条线段），并说明等式成立的理由．

30.（2008湖北宜昌市）.如图，在△ABC 和△ABD 中，BC=BD ，设点E 是BC 的中点，点F 是BD 的中点.

（1）请你在图中作出点E 和点F ；（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法与证明） （2）连接AE 、AF.若∠ABC=∠ABD ，请你证明△ABE ≌△ABF.

31.（2008桂林市）

已知：△ＡＢＣ为等边三角形，Ｄ为ＡＣ上任意一点，连结ＢＤ

（１）在ＢＤ左下方，以ＢＤ为一边作等边三角形ＢＤＥ（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（２）连结ＡＥ，求证：ＣＤ＝ＡＥ

32.（2008广东肇庆市）

如图4， E 、F 、G 分别是等边△ABC 的边AB 、BC 、AC 的中点. （1） 图中有多少个三角形？

（2） 指出图中一对全等三角形，并给出证明.

全等三角形答案

一.选择题

1.A

2.D

3.C

4.B

5.B

6.D 二.填空题

1. （1）（2）（3）（5）

2. 3n+1

3. 120

4. 2，18

5. 正五边形

6.C D ∠=∠或ABC BAD ∠=∠或AC BD =或OAD OBC ∠=∠

7. 全等三角形的对应角相等 三.解答题

1. 证明：连结AB

在△ADB 与△ACB 中AD BC AB BA AC BD =??

=??=?

∴△ADB ≌△ACB ∴OC=OD.

2. 解：(1)作图略；

(2)取点F 和画AF 正确(如图)；

添加的条件可以是：F 是CE 的中点；

AF ⊥CE ；∠CAF=∠EAF 等。(选一个即可)

3. (1)证明：在ΔABC 和ΔDCB 中

AB DC

BC CB AC BD =??

=??=?

∴ΔABC ≌ΔDCB(SSS) (2)等腰三角形。

4. 证明：（1）证明：方法一：在△ACD 和△BCE 中，

AC ＝BC ，

∠DCA ＝∠ECB ＝90°， DC ＝EC ，

∴ △ACD ≌△BCE （SAS ）． ………………2分 ∴ ∠DAC ＝∠EBC ． ………………………3分 ∵ ∠ADC ＝∠BDF ，

∴ ∠EBC ＋∠BDF ＝∠DAC ＋∠ADC =90°．

C A

B

D

E

P F

A

F

B C E D

∴ ∠BFD =90°．

∴ AF ⊥BE ． …………………………………5分 方法二：∵ AC ＝BC ，DC ＝EC ，

∴ BC CE AC CD =

．即tan ∠DAC ＝tan ∠EBC ． ∴ ∠DAC ＝∠EBC ．（下略）…………………3分 （2）AF ⊥BE ． …………………………………6分 ∵ ∠ABC ＝∠DEC ＝30°，∠ACB ＝∠DCE ＝90°， ∴ BC EC AC DC

=＝tan 60°． ……………………7分

∴ △DCA ∽△ECB ． …………………………8分 ∴ ∠DAC ＝∠EBC ． …………………………9分 ∵ ∠ADC ＝∠BDF ，

∴ ∠EBC ＋∠BDF ＝∠DAC ＋∠ADC =90°． ∴ ∠BFD =90°．

∴ AF ⊥BE ． ……………………………………………………………………10分 5. 解:⑴证明:∵AC 平分∠MAN ，∠MAN ＝120°， ∴∠CAB ＝∠CAD ＝60°， ∵∠ABC ＝∠ADC ＝90°，

∴∠ACB ＝∠ACD ＝30°，…………1分

∴AB ＝AD ＝2

1

AC ，……………………2分

∴AB ＋AD ＝AC 。……………………3分 ⑵成立。……………………………r …4分

证法一：如图，过点C 分别作AM 、AN 的垂线，垂足分别为E 、F 。 ∵AC 平分∠MAN ，∴CE ＝CF.

∵∠ABC ＋∠ADC ＝180°,∠ADC ＋∠CDE ＝180°,

∴∠CDE ＝∠ABC,………………………………………………………………5分 ∵∠CED ＝∠CFB ＝90°，∴△CED ≌△CFB,∴ED ＝FB,……………………6分 ∴AB ＋AD ＝AF ＋BF ＋AE －ED ＝AF ＋AE,由⑴知AF ＋AE ＝AC,

∴AB ＋AD ＝AC ……………………………………………………………………7分 证法二：如图，在AN 上截取AG ＝AC ，连接CG.

∵∠CAB ＝60°,AG ＝AC,∴∠AGC ＝60°,CG ＝AC ＝AG,…………5分 ∵∠ABC ＋∠ADC ＝180°,∠ABC ＋∠CBG ＝180°,

∴∠CBG ＝∠ADC,∴△CBG ≌△CDA,……………………………………6分 ∴BG ＝AD,

∴AB ＋AD ＝AB ＋BG ＝AG ＝AC ，…………………………………………7分 ⑶①3;………………………………………………………………………8分 ②2

cos

2α

.………………………………………………………………………9分

证明：由⑵知，ED ＝BF,AE ＝AF ， 在Rt △AFC 中，AC AF CAF =

∠cos ,即AC

AF

=2cos α, A

B

D

C E F

E A M

N D

B C

F G

∴2

cos

α

AC AF =,………………………………………………………………10分

∴AB ＋AD ＝AF ＋BF ＋AE －ED ＝AF ＋AE ＝22

cos

α

AC AF =，…………11分

6. 解：（1）证明：BM NC =，ABM BCN ∠=∠，AB BC =， ABM BCN ∴△≌△， BAM CBN ∴∠=∠，

60BQM BAQ ABQ MBQ ABQ ∴∠=∠+∠=∠+∠=．

（2）①是；②是；③否． ②的证明：如图，

120ACM BAN ∠=∠=，CM AN =，AC AB =，

ACM BAN ∴△≌△， AMC BNA ∴∠=∠，

NQA NBC BMQ ∴∠=∠+∠18060120NBC BNA =∠+∠=-=，

60BQM ∴∠=．

③的证明：如图，

BM CN =，AB BC =， Rt Rt ABM BCN ∴△≌△，

AMB BNC ∴∠=∠．又90NBM BNC ∠+∠=，

90QBM QMB ∴∠+∠=，

90BQM ∴∠=，即60BQM ∠≠．

7. （Ⅰ）证明 将△ACM 沿直线CE 对折，得△DCM ，连DN ，

则△DCM ≌△ACM ． ··········································································· 1分 有CA CD =，AM DM =，ACM DCM ∠=∠，A CDM ∠=∠． 又由CB CA =，得 CB CD =． ··································· 2分 由DCM DCM ECF DCN ∠-?=∠-∠=∠45， ACM ECF ACB BCN ∠-∠-∠=∠ ACM ACM ∠-?=∠-?-?=454590，

得BCN DCN ∠=∠． ···················································································· 3分 又CN CN =，

∴△CDN ≌△CBN ． ············································································· 4分 有BN DN =，B CDN ∠=∠．

∴?=∠+∠=∠+∠=∠90B A CDN CDM MDN ． ·················································· 5分 ∴在Rt △MDN 中，由勾股定理，

A

C Q

M

B

（第②题图）

N A

D N

C

B

Q (第③题图)

M C

A

B

E

F

D

M

N

得222DN DM MN +=．即222BN AM MN +=． ·············································· 6分 （Ⅱ）关系式222BN AM MN +=仍然成立． ·················································· 7分 证明 将△ACM 沿直线CE 对折，得△GCM ，连GN ， 则△GCM ≌△ACM ． ············································· 8分 有CA CG =，AM GM =，

ACM GCM ∠=∠，CAM CGM ∠=∠．

又由CB CA =，得 CB CG =．

由?+∠=∠+∠=∠45GCM ECF GCM GCN ，

ACM ACM ECF ACN ACB BCN ∠+?=∠-∠-?=∠-∠=∠45)(90．

得BCN GCN ∠=∠． ················································································· 9分 又CN CN =， ∴△CGN ≌△CBN ．

有BN GN =， 45=∠=∠B CGN ，?=∠-?=∠=∠135180CAB CAM CGM ， ∴ 9045135=-=∠-∠=∠CGN CGM MGN ． ∴在Rt △MGN 中，由勾股定理，

得222GN GM MN +=．即222BN AM MN +=． ··············································· 10分 8. 证明：（1）①

BAC DAE ∠=∠

BAE CAD ∴∠=∠

AB AC =，AD AE = ABE ACD ∴△≌△

BE CD ∴= ·

······························································································· 3分 ②由ABE ACD △≌△得ABE ACD ∠=∠，BE CD =

M N ，分别是BE CD ，的中点，BM CN ∴= ·

·············································· 4分 又AB AC = ABM ACN ∴△≌△

AM AN ∴=，即AMN △为等腰三角形 ·

························································· 6分 （2）（1）中的两个结论仍然成立． ································································ 8分

（3）在图②中正确画出线段PD 由（1）同理可证ABM ACN △≌△ CAN BAM ∴∠=∠ BAC MAN ∴∠=∠ 又BAC DAE ∠=∠

MAN DAE BAC ∴∠=∠=∠

AMN ∴△，ADE △和ABC △都是顶角相等的等腰三角形 ·

······························· 10分 PBD AMN ∴∠=∠，PDB ADE ANM ∠=∠=∠ PBD AMN ∴△∽△ 12分

C

A

B

E F

M

N G

9.

证明： AC ∥DE ， BC ∥EF ∴,CAB EDF ABC DFE ∠=∠∠=∠

，又AC=DE ∴

ABC DFE ?, ∴AB=DF ∴AF=BD 10. 证明：AC DE ∥，

ACD D ∴∠=∠，BCA E ∠=∠．、） 又ACD B ∠=∠， B D ∴∠=∠． 又AC CE =， ABC CDE ∴△≌△． （6分

11.

解：（1）如图1； （2）如图2； （3）4． （8分）

12.证明：（1）在ABC △和ADC △中

1234AC AC ∠=∠??

=??∠=∠?

ABC ADC ∴△≌△．

（2）ABC ADC △≌△，AB AD ∴=．又12∠=∠，BO DO ∴=．

13. 证明： 四边形ABCD 和四边形DEFG 都是正方形

,,90,AD CD DE DG ADC EDG ∴==∠=∠=

,ADE CDG ADE CDG ∴∠=∠∴△≌△，

AE CG ∴=

14. 证明：（1）CF 平分BCD ∠，BCF DCF ∴∠=∠．

在BFC △和DFC △中，

BC DC BCF DCF FC FC =??

∠=∠??=?

，，

． BFC DFC ∴△≌△．

2cm 1cm

40° 2cm

1cm 40°

图1

图2

中考专题复习全等三角形(含答案)

中考专题复习全等三角形 知识点总结 一、全等图形、全等三角形： 1.全等图形：能够完全的两个图形就是全等图形。 2.全等图形的性质：全等多边形的、分别相等。 3.全等三角形：三角形是特殊的多边形，因此，全等三角形的对应边、对应角分别相等。同样，如果两个三角形的边、角分别对应相等，那么这两个三角形全等。 说明：全等三角形对应边上的高，中线相等，对应角的平分线相等；全等三角形的周长，面积也都相等。 这里要注意：（1）周长相等的两个三角形，不一定全等；（2）面积相等的两个三角形，也不一定全等。 二、全等三角形的判定： 1.一般三角形全等的判定 （1）三边对应相等的两个三角形全等（“边边边”或“”）。 （2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(“边角边”或“”)。 （3）两个角和它们的夹边分别对应相等的两个三角形全等(“角边角”或“”)。 （4）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(“角角边”或“”)。 2.直角三角形全等的判定 利用一般三角形全等的判定都能证明直角三角形全等． 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(“斜边、直角边”或“”)． 注意：两边一对角(SSA)和三角(AAA)对应相等的两个三角形不一定全等。3.性质 1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。 2、全等三角形的对应边上的高对应相等。 3、全等三角形的对应角平分线相等。 4、全等三角形的对应中线相等。 5、全等三角形面积相等。 6、全等三角形周长相等。 (以上可以简称:全等三角形的对应元素相等) 三、角平分线的性质及判定： 性质定理：角平分线上的点到该角两边的距离相等。 判定定理：到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上。 四、证明两三角形全等或利用它证明线段或角相等的基本方法步骤： 1.确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、

全等三角形中考真题汇编[解析版]

全等三角形中考真题汇编[解析版] 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，在四边形ABCD 中，BC CD = ，对角线BD 平分ADC ∠，连接AC ，2ACB DBC ∠=∠，若4AB =，10BD =，则ABC S =_________________． 【答案】10 【解析】 【分析】 由等腰三角形的性质和角平分线的性质可推出AD ∥BC ，然后根据平行线的性质和已知条件可推出CA=CD ，可得CB=CA=CD ，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，CF ⊥AB 于点F ，如图，根据等腰三角形的性质和已知条件可得DE 的长和BCF CDE ∠=∠，然后即可根据AAS 证明△BCF ≌△CDE ，可得CF=DE ，再根据三角形的面积公式计算即得结果． 【详解】 解：∵BC CD =，∴∠CBD =∠CDB ， ∵BD 平分ADC ∠，∴∠ADB =∠CDB ， ∴∠CBD =∠ADB ，∴AD ∥BC ，∴∠CAD =∠ACB ， ∵2ACB DBC ∠=∠，2ADC BDC ∠=∠，∠CBD =∠CDB ， ∴ACB ADC ∠=∠，∴CAD ADC ∠=∠， ∴CA=CD ，∴CB=CA=CD ， 过点C 作CE ⊥BD 于点E ，CF ⊥AB 于点F ，如图，则152 DE BD ==，12 BCF ACB ∠=∠， ∵12BDC ADC ∠= ∠，ACB ADC ∠=∠，∴BCF CDE ∠=∠， 在△BCF 和△CDE 中，∵BCF CDE ∠=∠，∠BFC =∠CED =90°，CB=CD ， ∴△BCF ≌△CDE （AAS ），∴CF=DE =5， ∴11451022 ABC S AB CF =?=??=． 故答案为：10．

全等三角形知识点讲解经典例题含答案

全等三角形 一、目标认知 学习目标： 1．了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素； 2．探索三角形全等的条件，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式。 重点： 1. 使学生理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式； 2 .三角形全等的性质和条件。 难点： 1.掌握用综合法证明的格式； 2 .选用合适的条件证明两个三角形全等 经典例题透析 类型一：全等三角形性质的应用 1、如图，△ABD≌△ACE，AB=AC，写出图中的对应边和对应角. 思路点拨:AB=AC，AB和AC是对应边，∠A是公共角，∠A和∠A是对应角，按对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边可求解. 解析：AB和AC是对应边，AD和AE、BD和CE是对应边，∠A和∠A是对应角，∠B和∠C，∠AEC和∠ADB是对应角. 总结升华：已知两对对应顶点，那么以这两对对应顶点为顶点的角是对应角，第三对角是对应角；再由对应角所对的边是对应边，可找到对应边. 已知两对对应边，第三对边是对应边，对应边所对的角是对应角.

举一反三： 【变式1】如图，△ABC≌△DBE.问线段AE和CD相等吗？为什么？ 【答案】证明：由△ABC≌△DBE，得AB=DB,BC=BE， 则AB-BE=DB-BC，即AE=CD。 【变式2】如右图，，。 求证：AE∥CF 【答案】 ∴AE∥CF 2、如图，已知ΔABC≌ΔDEF，∠A=30°，∠B=50°，BF=2，求∠DFE 的度数与EC的长。 思路点拨:由全等三角形性质可知：∠DFE=∠ACB，EC+CF=BF+FC，所以只需求∠ACB的度数与BF的长即可。 解析：在ΔABC中， ∠ACB=180°-∠A-∠B， 又∠A=30°，∠B=50°， 所以∠ACB=100°. 又因为ΔABC≌ΔDEF， 所以∠ACB=∠DFE， BC=EF（全等三角形对应角相等，对应 边相等）。 所以∠DFE=100° EC=EF-FC=BC-FC=FB=2。 总结升华：全等三角形的对应角相等，对应边相等。 举一反三： 【变式1】如图所示，ΔACD≌ΔECD，ΔCEF≌ΔBEF，

全等三角形(历年中考题)

全等三角形专题（一） 姓名： 1.如图，OP 平分,MON PA ON ∠⊥于点A ，点Q 是射线OM 上的一个动点，若2PA =，则PQ 的最小值为（ ） A.1 B.2 C.3 D. 4 2.如图所示，两块完全相同的含30°角的直角三角形叠放在一起，且∠DAB=30°。有以下四个结论：①AF ⊥BC ；②△ADG ≌△ACF ； ③O 为BC 的中点； ④AG ：DE =3：4，其中正确结论的序号是 .（错填得0分，少填酌情给分） 3．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AC=2AB ，点D 是AC 的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A 、D 重合，连结BE 、EC ． 试猜想线段BE 和EC 的数量及位置关系，并证明你的猜想． 4．八（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图）.设计了如下方案： A B C D E O N

（Ⅰ）∠AOB 是一个任意角，将角尺的直角顶点P 介于射线OA 、OB 之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M 、N 重合，即PM=PN ，过角尺顶点P 的射线OP 就是∠AO B 的平分线. （Ⅱ）∠AOB 是一个任意角，在边OA 、OB 上分别取OM=ON ，将角尺的直角顶点P 介于射线OA 、OB 之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M 、N 重合，即PM=PN ，过角尺顶点P 的射线OP 就是∠AOB 的平分线. （1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由. （2）在方案（Ⅰ）PM=PN 的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA，PN⊥OB.此方案是否可行？请说明理由. 5．（2010湖南娄底）如图10，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 的中点，连结AE 、BE ，BE ⊥AE ，延长AE 交BC 的延长线于点F . 求证：（1）FC =AD ； （2）AB =BC +AD 6．（2010江苏扬州）电子跳蚤游戏盘是如图所示的△ABC ，AB =6，AC =7，BC =8．如果跳蚤开始时在BC 边的P 0处，BP 0=2．跳蚤第一步从P 0跳到AC 边的P 1（第一次落点)处，且CP 1=CP 0；第二步从P 1跳到AB 边的P 2（第一次落点)处，且AP 2=AP 1；第三步从P 2跳到BC 边的P 3（第三次落点)处，且BP 3=BP 2；……；跳蚤按上述规则一致跳下去，第n 次落点为P n （n 为正整数），则点P 2007与P 2010之间的距离为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．（2010安徽蚌埠）在ABC ?中，E D 、分别是AC BC 、上的点，CD BD CE AE 2,2==， BE AD 、交于点F ，若3=?ABC S ，则四边形DCEF 的面积为________。 03第8题

全等三角形题型归类及解析

全等三角形难题题型归类及解析 一、角平分线型 角平分线是轴对称图形，所以我们要充分的利用它的轴对称性，常作的辅助线是：一利用截取一条线段构造全等三角形，二是经过平分线上一点作两边的垂线。另外掌握两个常用的结论：角平分 线与平行线构成等腰三角形，角平分线与垂线构成等腰三角形。 1. 如图，在ΔABC 中，D 是边BC 上一点，AD 平分∠BAC ，在AB 上截取AE=AC ， 连结DE ，已知DE=2cm ，BD=3cm ，求线段BC 的长。 2. 已知：如图所示，BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD 于M ， ?PN ⊥CD 于N ，判断PM 与PN 的关系． 3. 已知：如图E 在△ABC 的边AC 上，且∠AEB=∠ABC 。 (1) 求证：∠ABE=∠C ； (2) 若∠BAE 的平分线AF 交BE 于F ，FD ∥BC 交AC 于D ，设AB=5，AC=8，求DC 的长。 ． A B C D E P D A C B M N

5、如图所示，已知∠1=∠2，EF ⊥AD 于P ，交BC 延长线于M ，求证：2∠M=（∠ACB-∠B ） 2 1P F M D B A C E 6、如图，已知在△ABC 中，∠BAC 为直角，AB=AC ，D 为AC 上一点，CE ⊥BD 于E ． （1） 若BD 平分∠ABC ，求证CE=1 2 BD ； （2） 若D 为AC 上一动点，∠AED 如何变化，若变化，求它的变化范围； 若不变，求出它的度数，并说明理由。 8、如图，在△ABC 中，∠ABC=60°，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ， 求证：AC=AE+CD ． 二、中点型 由中点应产生以下联想： E D C B A

人教版八年级数学上册 全等三角形中考真题汇编[解析版]

一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难） 1．在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴，y轴于A（a，0），B（0，b），且满足a2+b2+4a﹣8b+20＝0． （1）求a，b的值； （2）点P在直线AB的右侧；且∠APB＝45°， ①若点P在x轴上（图1），则点P的坐标为； ②若△ABP为直角三角形，求P点的坐标． 【答案】（1）a＝﹣2，b＝4；（2）①（4，0）；②P点坐标为（4，2），（2，﹣2）．【解析】 【分析】 （1）利用非负数的性质解决问题即可． （2）①根据等腰直角三角形的性质即可解决问题． ②分两种情形：如图2中，若∠ABP=90°，过点P作PC⊥OB，垂足为C．如图3中，若∠BAP=90°，过点P作PD⊥OA，垂足为D．分别利用全等三角形的性质解决问题即可．【详解】 （1）∵a2+4a+4+b2﹣8b+16＝0 ∴（a+2）2+（b﹣4）2＝0 ∴a＝﹣2，b＝4． （2）①如图1中， ∵∠APB＝45°，∠POB＝90°， ∴OP＝OB＝4， ∴P（4，0）． 故答案为（4，0）． ②∵a＝﹣2，b＝4 ∴OA＝2OB＝4 又∵△ABP为直角三角形，∠APB＝45° ∴只有两种情况，∠ABP＝90°或∠BAP＝90° ①如图2中，若∠ABP＝90°，过点P作PC⊥OB，垂足为C．

∴∠PCB＝∠BOA＝90°， 又∵∠APB＝45°， ∴∠BAP＝∠APB＝45°， ∴BA＝BP， 又∵∠ABO+∠OBP＝∠OBP+∠BPC＝90°， ∴∠ABO＝∠BPC， ∴△ABO≌△BPC（AAS）， ∴PC＝OB＝4，BC＝OA＝2， ∴OC＝OB﹣BC＝4﹣2＝2， ∴P（4，2）． ②如图3中，若∠BAP＝90°，过点P作PD⊥OA，垂足为D． ∴∠PDA＝∠AOB＝90°， 又∵∠APB＝45°， ∴∠ABP＝∠APB＝45°， ∴AP＝AB， 又∵∠BAD+∠DAP＝90°， ∠DPA+∠DAP＝90°， ∴∠BAD＝∠DPA， ∴△BAO≌△APP（AAS）， ∴PD＝OA＝2，AD＝OB＝4， ∴OD＝AD﹣0A＝4﹣2＝2， ∴P（2，﹣2）． 综上述，P点坐标为（4，2），（2，﹣2）．

全等三角形证明中考题精选(有答案)

新人教版八年级上学期全等三角形证明题 一．解答题（共10小题） 1．（2013?泉州）如图，已知AD是△ABC的中线，分别过点B、C作BE⊥AD于点E，CF⊥AD交AD 的延长线于点F，求证：BE=CF． 2．（2013?河南）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．（1）操作发现 如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空： ①线段DE与AC的位置关系是_________； ②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是_________． （2）猜想论证 当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想． （3）拓展探究 已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA 上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的BF的长．

3．（2013?大庆）如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C 旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H． （1）求证：CF=DG； （2）求出∠FHG的度数． 4．（2012?阜新）（1）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°． ①当点D在AC上时，如图1，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论； ②将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），如图2，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． （2）当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段BD、CE在（1）中的位置关系仍然成立？不必说明理由． 甲：AB：AC=AD：AE=1，∠BAC=∠DAE≠90°； 乙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE=90°； 丙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE≠90°．

《全等三角形》典型例题课件.doc

全等三角形知识梳理一、知识网络 性质对应角相等对应边相等 边边边SSS 全等形全等三角形边角边SAS 应用 判定角边角ASA 角角边AAS 斜边、直角边HL 角平分线 作图 性质与判定定理 二、基础知识梳理 （一）、基本概念 1、“全等”的理解全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形； 即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2、全等三角形的性质 （1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等； 3、全等三角形的判定方法 （1）三边对应相等的两个三角形全等。 （2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 （3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 （4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 （5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 4、角平分线的性质及判定 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上 （二）灵活运用定理 1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因 此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。 2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。 1

3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。 （1）已知条件中有两角对应相等，可找： ①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等(AAS) （2）已知条件中有两边对应相等，可找 ①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS) （3）已知条件中有一边一角对应相等，可找 ①任一组角相等(AAS 或ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS) 全等三角形的判定训练 1．已知AD 是⊿ABC 的中线，BE⊥AD，CF⊥AD，问BE= C F 吗？说明理由。 A F B C D E 2．已知AC= B D，AE =CF，BE=DF ，问AE∥CF 吗？ E F A C B D 3．已知AB= C D，BE =DF，AE =CF ，问AB∥CD 吗？ A B E F C D 4.已知AC=AB，AE= A D，∠1=∠2，问∠3=∠4 吗？ A 1 2 E D 3 4 B C 5. 如图, 已知线段AB、CD相交于点O,AD、CB的延长线交于点E,OA=OC,EA=EC请, 说明∠A=∠C. 2

全等三角形中考真题汇编[解析版]

全等三角形中考真题汇编[解析版] 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，在△ABC和△DBC中，∠A=40°，AB=AC=2，∠BDC=140°，BD=CD，以点D为顶点作∠MDN=70°，两边分别交AB，AC于点M，N，连接MN，则△AMN的周长为 ___________． 【答案】4 【解析】 【分析】 延长AC至E，使CE=BM，连接DE．证明△BDM≌△CDE（SAS），得出MD=ED， ∠MDB=∠EDC，证明△MDN≌△EDN（SAS），得出MN=EN=CN+CE，进而得出答案． 【详解】 延长AC至E，使CE=BM，连接DE． ∵BD=CD，且∠BDC=140°， ∴∠DBC=∠DCB=20°， ∵∠A=40°，AB=AC=2， ∴∠ABC=∠ACB=70°， ∴∠MBD=∠ABC+∠DBC=90°， 同理可得∠NCD=90°， ∴∠ECD=∠NCD=∠MBD=90°， 在△BDM和△CDE中，

BM CE MBD ECD BD CD ? ? ∠∠ ? ? ? ＝ ＝， ＝ ∴△BDM≌△CDE（SAS）， ∴MD=ED，∠MDB=∠EDC， ∴∠MDE=∠BDC=140°， ∵∠MDN=70°， ∴∠EDN=70°=∠MDN， 在△MDN和△EDN中， MD ED MDN EDN DN DN ? ? ∠∠ ? ? ? ＝ ＝， ＝ ∴△MDN≌△EDN（SAS）， ∴MN=EN=CN+CE， ∴△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+CN+CE+AN=AM+AN+CN+BM=AB+AC=4； 故答案为：4． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；证明三角形全等是解题的关键． 2．我们知道，经过三角形一顶点和此顶点所对边上的任意一点的直线，均能把三角形分割成两个三角形 （1）如图，在ABC ?中，25,105 A ABC ∠=?∠=?，过B作一直线交AC于D，若BD 把ABC ?分割成两个等腰三角形，则BDA ∠的度数是______． （2）已知在ABC ?中，AB AC =，过顶点和顶点对边上一点的直线，把ABC ?分割成两个等腰三角形，则A ∠的最小度数为________． 【答案】130? 180 7 ? ?? ? ?? 【解析】 【分析】 （1）由题意得：DA=DB，结合25 A ∠=?，即可得到答案； （2）根据题意，分4种情况讨论，①当BD=AD，CD=AD，②当AD=BD，AC=CD，

初中中考全等三角形专题.doc

全等三角形问题中常见的辅助线的作法【三角形辅助线做法】 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。 1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线 合一”的性质解题 2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形 3.角平分线在三种添辅助线 4.垂直平分线联结线段两端 5.用“截长法”或“补短法” ：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长， 6.图形补全法：有一个角为 60 度或 120 度的把该角添线后构成等边三角形 7. 角度数为 30、60 度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为 30 度或 60 度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90 的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等 三角形创造边、角之间的相等条件。 8. 计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形, 常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。 常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二 个角之间的相等。 1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变 换中的“对折”法构造全等三角形． 2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的 思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形． 3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂

全等三角形中题型归纳讲解

全等三角形中题型归纳 一、含有公共边（线段） 例1已知，如图，AB=CD ，DF ⊥AC 于F ，BE ⊥AC 于E ，DF=BE 。求证：AF=CE 。 二、含有公共角（夹角） 例2已知，如图，AB ⊥AC ，AB ＝AC ，AD ⊥AE ，AD ＝AE 。求证：BE ＝CD 。 三、直角三角形 例3已知：如图，△ABC 中，∠ABC =45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与 CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G 。(1) BF =AC (2) CE = BF (3)CE 与BC 的大小关系如何。 四、角平分线 例4.已知：如图，PA 、PC 分别是△ABC 外角∠MAC 和∠NCA 的平分线，?它们交于点P ，PD ⊥BM 于D ，PF ⊥BN 于F ．求证：BP 为∠MBN 的平分线． 五、中线（点） 例5如图，在△ABC 中，AD 是中线，BE 交AD 于F,且AE=EF,说明AC=BF 的理由 1 2 F E A C D B A E D C B

六、二次全等 例6已知：如图，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，AB=AD ，若E 是AC 上一点。求证：EB=ED 。 D A E C B 七、线段和差倍分 例7如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求 证：AD +BC =AB ． 八、常见辅助线归纳总结 例8如图：四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD+BC ，E 是CD 的中点，求证：AE ⊥BE 。 例9在△ABC 中，,AB=AC ， 在AB 边上取点D ，在AC 延长线上了取点E ，使CE=BD ， 连接DE 交BC 于点F ，求证DF=EF . 九、全等与等腰三角形 例10已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB ＝DC ，BE 求证：OA ＝OD ． P E D C B A A D B E F C B A E D

“全等三角形”中考试题分类汇编(含答案)

16、全等三角形 要点一：三角形的全等判定及其应用 一、选择题 1.(2009·江西中考)如图，已知AB AD =，那么添加下列一个条件后，仍无法判定败涂地 ABC ADC △≌△的是（ ） A ．C B CD = B ．BA C DAC =∠∠ C ．BCA DCA =∠∠ D ．90B D ==?∠∠ 【解析】选C.根据SSS 可知添加A 正确，根据SAS 可知添加B 正确, 根据HL 可知添加D 正确. 2.（2009·江苏中考）如图，给出下列四组条件： ①AB DE BC EF AC DF ===，，； ②AB DE B E BC EF =∠=∠=，，； ③B E BC EF C F ∠=∠=∠=∠，，； ④AB DE AC DF B E ==∠=∠，，． 其中，能使ABC DEF △≌△的条件共有（ ） A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组 【解析】选C. ①②③均可. 3.（2009·太原中考）如图，ACB A CB ''△≌△，BCB ∠'=30°，则A C A '∠的度数为（ ） A.20° B.30° C.35° D.40°

【解析】选B.由ACB A CB ''△≌△得A C B BCA ''∠=∠, ∴ACA '∠.30 ='∠='∠-''∠='∠-∠=B BC A BC B C A A BC BCA 4.（2010·温州中考）如图，AC 、BD 是矩形ABCD 的对角线，过点D 作DE ∥AC 交BC 的延长线于E ，则图中与△ABC 全等的三角形共有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【解析】选D.在矩形ABCD 中，△CDA 、△BAD 、△DCB 都和△ABC 全等，由题意不难得出四边形ＡＣＥＤ为平行四边形，得出△ＤＣＥ也和△ABC 全等． 5.（2009·黄冈中考）在△ABC 和C B A '''?中，∠C ＝C '∠，且b-a=a b '-',b+a=a b '+',则这两个三角形（ ） A.不一定全等 B.不全等 C.全等，根据“ASA” D. 全等，根据“SAS” 【解析】选D.由b-a=a b '-',b+a=a b '+'可得a a '=，b b '=，又∠C ＝C '∠，根据“SAS”，可得这两个三角形全等. 6.（2010·凉山中考）如图所示，90E F ∠=∠=，B C ∠=∠，AE AF =，结论： ①EM FN =； ②CD DN =；③FAN EAM ∠=∠；④ACN ABM △≌△．其中正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【解析】选C ∵90E F ∠=∠=，B C ∠=∠，AE AF =,∴△ABE ≌△ACF, ∴∠EAB=∠FAC,∴FAN EAM ∠=∠ ∴△EAM ≌△FAN,∴EM FN =.易证△ACN ≌△ABM. A E F B C D M N

2021年九年级中考专题训练：全等三角形(含答案)

2021中考专题训练：全等三角形 一、选择题 1. 如图，要用“SAS”证明△ABC≌△ADE，若已知AB＝AD，AC＝AE，则还需添加条件() A．∠B＝∠D B．∠C＝∠E C．∠1＝∠2 D．∠3＝∠4 2. 如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，BC上的点．若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为() A．15°B．20°C．25°D．30° 3. 如图所示，∠C＝∠D＝90°，若要用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等，则可添加的条件是() A．AC＝AD B．AB＝AB C．∠ABC＝∠ABD D．∠BAC＝∠BAD 4. 如图，点E，F在AC上，AD＝BC，DF＝BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加一个条件是() A．∠A＝∠C B．∠D＝∠B

C．AD∥BC D．DF∥BE 5. 如图，在直角坐标系中，AD是Rt△OAB的角平分线，点D的坐标是(0，-3)，那么点D到AB的距离是() A.3 B.-3 C.2 D.-2 6. 如图，△ABC的外角平分线BD，CE相交于点P，若点P到AC的距离为3，则点P到AB的距离为() A．1 B．2 C．3 D．4 7. 如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，点O是AB的中点，且AB＝6， 将一块直角三角板的直角顶点放在点O处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与AC、BC相交，交点分别为D、E，则CD＋CE等于() A. 2 B. 3 C. 2 D. 6 8. 如图，点G在AB的延长线上，∠GBC，∠BAC的平分线相交于点F，BE⊥CF 于点H.若∠AFB＝40°，则∠BCF的度数为() A．40°B．50°C．55°D．60° 二、填空题

八年级数学全等三角形经典例题练习及解析

全等三角形单元 预习测试题 小题3分，共30分） 一、选择题（每 1．下列说法错误的是（） A ．全等三角形的对应边相等B．全等三角形的对应角相等 C．全等三角形的周长相等D．全等三角形的高相等 2．如图，△ABC≌△CDA，并且BC=DA，那么下列结论错误的是（） A ．∠1=∠2 B．AC= C A C．AB=AD D．∠B=∠D 第2 题第3 题第5 题第7 题 3．如图，AB∥DE，AC∥DF ，AC= D F ，下列条件中不能判断△ABC≌△DEF 的是（） A ．A B =DE B．∠B=∠E C．EF =B C D．EF∥BC 4．长为3cm，4 c m，6 c m，8cm 的木条各两根，小明与小刚分别取了3cm 和4cm 的两根，要使两人所拿的三根木条组成的两个三角形全等，则他俩取的第三根木条应为（） A ．一个人取6cm 的木条，一个人取8cm 的木条B．两人都取6cm 的木条 C．两人都取8cm 的木条D．B、C 两种取法都可以 5．△ABC 中，AB= A C，三条高AD，BE，CF 相交于O，那么图中全等的三角形有（） A ． 5 对B．6 对C．7 对D．8 对 6．下列说法中，正确的有（） ①三角对应相等的两个三角形全等；②三边对应相等的两个三角形全等；③两角、一 边相等的两个三角形全等；④两边、一角对应相等的两个三角形全等． A ． 1 个B．2 个C．3 个D．4 个 7．如图，已知△ABC 中，∠ABC=45°，AC =4，H 是高AD 和BE 的交点，则线段B H 的长度为（） A ．B．4 C．D．5 8．如图，ABC 中，AD 是它的角平分线，AB=4，AC=3，那么△ABD 与△ADC 的面积比是（） A ．1：1 B．3：4 C．4：3 D．不能确定

黄冈数学全等三角形中考真题汇编[解析版]

黄冈数学全等三角形中考真题汇编[解析版] 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在x轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有_____个． 【答案】4 【解析】 【分析】 以O为圆心，OA为半径画弧交x轴于点P1、P3，以A为圆心，AO为半径画弧交x轴于点P4，作OA的垂直平分线交x轴于P2． 【详解】 解：如图，使△AOP是等腰三角形的点P有4个． 故答案为4． 【点睛】 本题考查了在平面直角坐标系中寻找等腰三角形，掌握两圆一线找等腰三角形是解题的关键． 2．在锐角三角形ABC中．BC=32，∠ABC=45°，BD平分∠ABC．若M，N分别是边BD，BC上的动点，则CM＋MN的最小值是____．

【答案】4 【解析】 【分析】 过点C 作CE ⊥AB 于点E ，交BD 于点M′，过点M′作M′N′⊥BC 于N′，则CE 即为CM+MN 的最小值，再根据BC=32，∠ABC=45°，BD 平分∠ABC 可知△BCE 是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义即可求出CE 的长． 【详解】 解：过点C 作CE ⊥AB 于点E ，交BD 于点M′，过点M′作M′N′⊥BC 于N′， 则CE 即为CM+MN 的最小值， ∵BC=32，∠ABC=45°，BD 平分∠ABC ， ∴△BCE 是等腰直角三角形， ∴CE=BC?cos45°=32×2=4． ∴CM+MN 的最小值为4． 【点睛】 本题考查了轴对称最短路线问题，难度较大,根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键． 3．如图，1AB A B =，1112A B A A =，2223A B A A =，3334A B A A =，…，当2n ≥，70A ∠=?时，11n n n A A B --∠=__________． 【答案】 1 702n -? 【解析】 【分析】 先根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出121B A A ∠，232B A A ∠及343B A A ∠的度数，再找出规律即可得出11n n n A A B --∠的度数．

中考试题全等三角形专题复习

复习说明：全等三角形作为中考试题中必考内容之一，考查的方向非常明确，尤其是近三年来，在解答题中，分值从6分变为7分，考查方式都是通过三角形全等来证明线段相等。从陕西省中考试卷赋分的变化可以看出，命题组是偏向于基础较差的学生来命题，对于简单问题的考查分数比例在逐渐上升趋势，而偏难题的分数分布及赋分比例在逐渐弱化。这部分属于偏低难度的试题，中等以上的学生都可以完成。在复习中面向全体学生，争取让每一位学生都可以可以找出三角形全等的条件，做对三角形全等试题。 全等三角形专题复习 1．(2015·贵州六盘水，第9题3分)如图4，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（） A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD 考点：全等三角形的判定．. 分析：本题要判定△ABC≌△DCB，已知∠ABC=∠DCB，BC是公共边，具备了一组边对应相等，一组角对应相等，故添加AB=CD、∠ACB=∠DBC、∠A=∠D后可分别根据SAS、ASA、AAS能判定△ABC≌△DCB，而添加AC=BD后则不能． 解答：解：A、可利用AAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； B、可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； C、利用ASA判定△ABC≌△DCB，故此选项不符合题意； D、SSA不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意；

故选：D． 点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 2.（2015?江苏泰州,第6题3分）如图，△中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等的三角形的对数是 A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 【答案】D． 【解析】 试题分析：根据已知条件“AB=AC，D为BC中点”，得出△ABD≌△ACD，然后再由AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，推出△AOE≌△EOC，从而根据“SSS”或“SAS”找到更多的全等三角形，要由易到难，不重不漏． 试题解析：∵AB=AC，D为BC中点， ∴CD=BD，∠BDO=∠CDO=90°， 在△ABD和△ACD中， ， ∴△ABD≌△ACD； 3. （2015?四川省宜宾市，第18题，6分）如图，AC=DC，BC=EC，∠ACD = ∠BCE 求证：∠A=∠D

全等三角形经典题型50题带答案知识讲解

全等三角形经典题型50题带答案

全等三角形证明经典50题（含答案） 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 延长AD 到E,使DE=AD, 则三角形ADC 全等于三角形EBD 即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE

证明：连接BF 和EF 。因为 BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF 。所以 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)。所以 BF=EF,∠CBF=∠DEF 。连接BE 。在三角形BEF 中,BF=EF 。所以 ∠EBF=∠BEF 。又因为 ∠ABC=∠AED 。所以 ∠ABE=∠AEB 。所以 AB=AE 。在三角形ABF 和三角形AEF 中， AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF 。所以 三角形ABF 和三角形AEF 全等。所以 ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。 4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ，∠DGE=∠2又∵CD=DE ∴⊿ADC ≌⊿GDE （AAS ） ∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC 5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C C D B A B A C D F 2 1 E

中考全等三角形专题

中考数学试题专题汇编：全等三角形 一、选择题 1. （2011安徽芜湖，6，4分）如图，已知ABC △中，45ABC ∠=， F 是高AD 和BE 的交点，4CD =，则线段DF 的长度为（ ）. A ．22 B ． 4 C ．32 D ．42 【答案】B 2. （2011山东威海，6，3分）在△ABC 中，AB ＞AC ，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，点F 在BC 边上，连接DE ,DF ,EF .则添加下列哪一个条件后，仍无法判定△BFD 与△EDF 全等（ ）． A ． EF ∥A B B ．BF =CF C ．∠A =∠DFE D ．∠B =∠DFE 【答案】C 3. （2011浙江衢州，1,3分）如图，OP 平分,MON PA ON ∠⊥于点A ，点Q 是射线OM 上的一个动点，若2PA =，则PQ 的最小值为（ ） A.1 B.2 C.3 D. 4 【答案】B *1. （2011江西，16，3分）如图所示，两块完全相同的含30°角的直角三角形叠放在一起，且∠DAB=30°。有以下四个结论：①AF ⊥BC ；②△ADG ≌△ACF ； ③O 为BC 的中点； ④AG ：DE =3：4，其中正确结论的序号是 . （第6题） A O N M Q P

**2. （2011广东湛江19,4分）如图，点,,,B C F E 在同一直线上, 12∠=∠,BC FE =,1∠ （填“是”或“不是”） 2∠的对顶角，要使ABC DEF ???，还需添加一个条件，这个条件可以是 （只需写出一个）．【答案】AC DF = 三、解答题 *2. （2011山东菏泽，15（2），6分）已知：如图，∠ABC =∠DCB ，BD 、C A 分别是∠ABC 、 ∠DCB 的平分线．求证：AB =DC 证明：在△ABC 与△DCB 中 (A B C D C B A C B D B C B C B C ∠=∠?? ∠=∠??=? 已知）（公共边）（∵AC 平分∠BCD ，BD 平分∠ABC ） ∴△ABC ≌△DCB ∴AB =DC 3. （2011浙江省，19，8分）如图，点D ，E 分别在AC ，AB 上． (1) 已知，BD =CE ，CD=BE ，求证：AB=AC ； (2) 分别将“BD=CE ”记为①，“CD=BE ” 记为②，“AB=AC ”记为③．添加条件①、③，以②为结论构成命题1，添加条件②、③以①为结论构成命题2．命题1是命题2的 命题，命题2是 命题．（选择“真”或“假”填入空格）．

中考数学知识点训练题(全等三角形)

全等三角形 【复习要点】 1、全等三角形的概念：能够完全 的两个三角形叫做全等三角形。 2、全等三角形的性质：全等三角形的对应边 ，对应角 ， 全等三角形的对应中线 ，对应高 ， 全等三角形的对应角平分线 。 全等三角形的面积 ，周长 。 （二）实例点拨 例1 （2010淮安） 已知：如图，点C 是线段AB 的中点，CE=CD ，∠ACD=∠BCE 。求证：AE=BD 。 解析：此题可先证三角形全等，由三角形全等得出对应边相等即结论成立。证明如下： 证明：∵点C 是线段AB 的中点 ∴AC=BC ∵∠ACD=∠BCE ∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE 即∠ACE=∠BCD 在△ACE 和△BCD 中， AC=BC ∠ACE=∠BCD CE=CD ∴△ACE ≌△BCD （SAS ） ∴AE=BD 反思：证明两边相等是常见证明题之一，一般是通过发现或构造三角形全等来得到对应边即要证边相等，或者若要证边在同一个三角形中，也常先证角相等，再用“等角对等边”来证明边相等。 例2 已知：AB=AC ，EB=EC ，AE 的延长线交BC 于D ，试证明：BD=CD E B C A D

解析：此题若直接证BD 、CD 所在的三角形全等，条件不够，所以先证另一对三角形全等得到有用的角、边相等的结论用来证明BD 、CD 所在的三角形全等。证明如下： 证明：在△ABE 和△ACE 中 AB=AC ， EB=EC ， AE=AE ∴ △ABE ≌△ACE (SSS) ∴∠BAE ＝∠CAE 在△ABD 和△ACD 中 AB=AC ∠BAE= ∠CAE AD=AD ∴ △ABD ≌ △ACD (SAS ) ∴ BD = CD 反思：通过证明几次三角形全等才得到边、角相等的思路也是中考中等难度题型的常考思路。此种题型需要学生先针对条件分析、演绎推理，逐步找出解题的思路，再书写规范过程。 【实弹射击】 1、 如图，AB=AC ，AE=AD ，BD=CE ，求证：△AEB ≌ △ ADC 。 2、如图：AC 与BD 相交于O ，AC ＝BD ，AB ＝CD ，求证：∠C ＝∠B 3、如图，已知AB=CD ，AD=CB ，E 、F 分别是AB ，CD 的中点， 且DE=BF ，说出下列判断成立的理由 .①△ADE ≌△CBF ②∠A=∠C C A B D E 第1题图 O A C D B 第2题图 A D B C F E 第3题图

中考全等三角形复习专题

全等三角形证明专题 一、平移类型 1、如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，BE=CF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF． 第1题第2题 2、已知：如图，AB∥DE，AC∥DF，BE=CF．求证：AB=DE． 二、旋转类型 1、如图，已知AB＝AD，∠1＝∠2，要使△ABC≌△ADE，还需添加的条件是（只需填一个）． 第1题第2题 2、平面上有△ACD与△BCE，其中与相交于P点，所示。若=，=，=，∠ACE=55°，∠BCD=155°，则∠BPD的度数为（） (A) 110° (B) 125° (C) 130° (D) 155° 3、如图，已知AB=AD，AC=AE，∠1=∠2，求证△ABC≌△ADE. 4、已知：如图，AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E．求证：BC=ED．

5、已知：如图，AB、CD交于O点，CE//DF，CE=DF，AE=BF。求证：∠ACE=∠BDF。 6、已知：如图，AB、CD交于O点，且OA=OB，OC=OD，过O作直线，交AC于E，交BD于F。求证：OE=OF。 引申：如上图，若给出的条件是四边形ACBD为平行四边形，O为对角线交点，过O作作直线，交AC于E，交BD于F。是否还能证明到OE=OF？ 7、已知：如图，AB=CD，AD=BC，O是AC中点，OE⊥AB于E，OF⊥DC于F。求证：OE=OF。 8、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B、C、E在同

一条直线上，连结DC． （1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； （2）证明：． 9、如图7，已知A、B、C在一条直线上，分别以AB、BC为边在AC同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE，AE交BD于点F，DC交BE于点G。求证：AE=DC，BF=BG； 如图8，如果A、B、C不在一条直线上，那么AE=DC和BF=BG是否仍然成立？并请加以说明。 10、已知： BE⊥ CD，BE＝DE，BC＝DA，求证：△BEC≌△DAE