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新北师大版八年级下册《三角形的证明》

三角形的证明

【知识点一:全等三角形的判定与性质】 1.判定和性质

一般三角形

直角三角形

判定

边角边(SAS )、角边角(ASA )

角角边(AAS )、边边边(SSS ) 具备一般三角形的判定方法

斜边和一条直角边对应相等(HL )

性质

对应边相等,对应角相等

对应中线相等,对应高相等,对应角平分线相等

2.证题的思路:

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???????????????)找任意一边()找两角的夹边(已知两角)找夹已知边的另一角()找已知边的对角()找已知角的另一边(边为角的邻边)任意角(若边为角的对边,则找已知一边一角)找第三边()找直角()找夹角(已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 【典型例题】

1.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示,则能说明∠AOC =∠BOC 的依据是( ) A .SSS B .ASA

C .AAS

D .角平分线上的点到角两边距离相等 2.下列说法中,正确的是( )

A .两腰对应相等的两个等腰三角形全等

B .两角及其夹边对应相等的两个三角形全等

C .两锐角对应相等的两个直角三角形全等

D .面积相等的两个三角形全等 3.如图,△ABC ≌ΔAD

E ,若∠B =80°,∠C =30°,∠DAC =35°, 则∠EAC 的度数为( ) A .40°

B .35°

C .30°

D .25°

4.已知:如图,在△MPN 中,H 是高MQ 和NR 的交点,且MQ =NQ .求证:HN =PM .

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5.用三角板可按下面方法画角平分线:在已知∠AOB的两边上,分别取OM=ON(如图5-7),再分别过点M、N 作OA、OB的垂线,交点为P,画射线OP,则OP平分∠AOB,请你说出其中的道理.

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图5-7

【巩固练习】

1.下列说法正确的是()

A.一直角边对应相等的两个直角三角形全等B.斜边相等的两个直角三角形全等

C.斜边相等的两个等腰直角三角形全等D.一边长相等的两等腰直角三角形全等

2.如图,在△ABC中,D、E分别是边AC、BC上的点,若△ADB≌

△EDB≌△EDC,则∠C的度数为()

A.15°B.20°C.25°D.30°

3.如图,已知△ABC的六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中,和△ABC全等的图形是()

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A.甲和乙B.乙和丙C.只有乙D.只有丙

4.如图4-9,已知ΔABC≌ΔA'B'C',AD、A'D'分别是ΔABC和ΔA'B'C'的角平分线.

(1)请证明AD=A'D';

(2)把上述结论用文字叙述出来;

(3)你还能得出其他类似的结论吗?

图4-9

5.如图4-10,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线l经过顶点C,过A、B两点分别作l的垂线AE、BF,E、F为垂足.

(1)当直线l不与底边AB相交时,求证:EF=AE+BF.

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图4-10 (2)如图4-11,将直线l绕点C顺时针旋转,使l与底边AB交于点D,请你探究直线l在如下位置时,EF、AE、BF之间的关系.

①AD>BD;②AD=BD;③AD<BD.

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图4-11

【知识点二:等腰三角形的判定与性质】

等腰三角形的判定:有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)

等腰三角形的性质:

①等腰三角形的两底角相等(等边对等角);

②等腰三角形“三线合一”的性质:顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合;

③等腰三角形两底角的平分线相等,两腰上的高、中线也相等.

【典型例题】

1.等腰三角形的两边长分别为3和6,则这个等腰三角形的周长为()

A.12 B.15 C.12或15 D.18

2.等腰三角形的一个角是80°,则它顶角的度数是()

A.80°B.80°或20°C.80°或50°D.20°

3.已知△ABC中,AB=AC=x,BC=6,则腰长x的取值范围是()

A.0<x<3 B.x>3 C.3<x<6 D.x>6

4.如图,∠MON=43°,点A在射线OM上,动点P在射线ON上滑动,

要使△AOP为等腰三角形,那么满足条件的点P共有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.如图,在△ABC中,BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,DE过O且平行于BC,已知△ADE的周长为10cm,BC的长为5cm,求△ABC的周长.

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6、如下图,在△ABC中,∠B=90°,M是AC上任意一点(M与A不重合)MD⊥BC,交∠ABC的平分线于点D,求

证:MD=MA.

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【巩固练习】

1.如图,已知直线AB∥CD,∠DCF=110°且AE=AF,则∠A等于()

A.30°B.40°C.50°D.70°

2.下列说法错误的是()

A.顶角和腰对应相等的两个等腰三角形全等

B.顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等

C.斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等

D.两个等边三角形全等

3.如图,是一个5×5的正方形网格,网格中的每个小正方形的边长均为1.点A和点B 在小正方形的顶点上.点C也在小正方形的顶点上.若△ABC为等腰三角形,满足条

件的C点的个数为()

A.6 B.7 C.8 D.9

4.如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点E,过点E作MN∥BC交AB于M,交AC于N,若BM+CN=9,则线段MN的长为()

A.6 B.7 C.8 D.9

5.如图:E在△ABC的AC边的延长线上,D点在AB边上,DE交BC于点F,DF=EF,BD=CE,过D 作DG∥AC交BC于G.求证:

(1)△GDF≌△CEF;(2)△ABC是等腰三角形.

【知识点三:等边三角形的判定与性质】

判定:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形;

三条边都相等的三角形是等边三角形;

三个角都是60°的三角形是等边三角形;

有两个叫是60°的三角形是等边三角形.

性质:等边三角形的三边相等,三个角都是60°.

【典型例题】

1.下列说法中不正确的是()

A.有一腰长相等的两个等腰三角形全等

B.有一边对应相等的两个等边三角形全等

C.斜边相等、一条直角边也相等的两个直角三角形全等

D.斜边相等的两个等腰直角三角形全等

2.如图,在等边△ABC中,∠BAD=20°,AE=AD,则∠CDE的度数是()

A.10°B.12.5°C.15°D.20°

3、如右图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形,求证:AE=CD.

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【变式练习】

1.下列命题:①两个全等三角形拼在一起是一个轴对称图形;②等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在直线;③等边三角形一边上的高所在直线就是这边的垂直平分线;④一条线段可以看作是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形.其中错误的有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.如图,AC=CD=DA=BC=DE.则∠BAE是∠BAC的()

A.4倍B.3倍

C.2倍D.1倍

3.如图,等边△ABC的周长是9,D是AC边上的中点,E在BC的延

长线上.若DE=DB,则CE的长为.

4.如图,等边△ABC中,点D、E分别为BC、CA上的两点,

且BD=CE,连接AD、BE交于F点,则∠FAE+∠AEF的度数

是()

A.60°B.110°C.120°D.135°

5.如图,已知:∠MON=30°,点A1、A2、A3…在射线ON上,点B1、

B2、B3…在射线OM上,△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三

角形,若OA1=1,则△A6B6A7的边长为()

A.6 B.12 C.32 D.64

6.如图①,M、N点分别在等边三角形的BC、CA边上,且BM=CN,AM、BN交于点Q.

(1)求证:∠BQM=60°;

(2)如图②,如果点M、N分别移动到BC、CA的延长线上,其它条件不变,(1)中的结论是否仍然成立? 若成立,给予证明;若不成立,说明理由.

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7.如图,C为线段BD上一点(不与点B,D重合),在BD同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE,AD与BE交于一点F,AD与CE交于点H,BE与AC交于点G.

(1)求证:BE=AD;(2)求∠AFG的度数;(3)求证:CG=CH.

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【知识点四:反证法】

反证法:先假设命题的结论不成立,然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果,从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法.

【基础练习】

1、否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反正假设为()

A.a、b、c都是奇数B.a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数

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