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计算方法论文

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矩形截面梁的纯弯正应力

实验

(计算方法—工程应用课题)

指导教师:荣彦

院系:工程力学系

专业班级:工程力学2班

姓名:宋七龙

学号:20090680216

2011年5月30日

分析问题

梁的纯弯曲应力计算公式,是在观察梁的变形情况下,作出平面假设的基础上导出的,是否正确,不妨用“电测法”加以验证。通过本实验要理解理论分析与实验结果之间的关系,认识到各自的重要性。本试验使用单向应力状态的电测发。所用主要设备为含测力通道

YE2538AT程控静态电阻应变仪。

本实验要求我们熟悉应变电测法和应变仪的使用,测定矩形铝合金梁的纯弯正应力,并与理论计算结果,以验证弯曲正应力计算公式。

实验数据

梁宽b=20mm , 梁深h=40mm , 受力点到支撑点的距离

a=100mm ;

测点坐标y1=-20 , y2=-10 , y3=0 , y4=10 , y5=20 ;

材料杨氏模量E= 70 GPa 。

矩形梁的受力图及测点分布

果,完成复杂的计算,省事儿不少。

二、通过图像看出,梁材料的拉压特性是不同的。

三、误差来源:应应变仪的灵敏系数与应变计的灵敏

系数,接线柱的牢固程度。

参考书籍:

(1)《mathematica教程》中科大,张韵华,科学出版社。

(2)《材料力学实验》(第二版试用稿),杜云海,郑州。

数值计算方法学习心得

数值计算方法学习心得 ------一个代码的方法是很重要,一个算法的思想也很重要,但 在我看来,更重要的是解决问题的方法,就像爱因斯坦说的内容比 思维本身更重要。 我上去讲的那次其实做了挺充分的准备,程序的运行,pdf文档,算法公式的推导,程序伪代码,不过有一点缺陷的地方,很多细节 没有讲的很清楚吧,下来之后也是更清楚了这个问题。 然后一学期下来,总的来说,看其他同学的分享,我也学习到 许多东西,并非只是代码的方法,更多的是章胜同学的口才,攀忠 的排版,小冯的深入挖掘…都是对我而言比算法更加值得珍惜的东西,又骄傲地回想一下,曾同为一个项目组的我们也更加感到做项 目对自己发展的巨大帮助了。 同时从这些次的实验中我发现以前学到的很多知识都非常有用。 比如说,以前做项目的时候,项目导师一直要求对于要上传的 文件尽量用pdf格式,不管是ppt还是文档,这便算是对产权的一种 保护。 再比如代码分享,最基础的要求便是——其他人拿到你的代码 也能运行出来,其次是代码分享的规范性,像我们可以用轻量级Ubuntu Pastebin,以前做过一小段时间acm,集训队里对于代码的分享都是推荐用这个,像数值计算实验我觉得用这个也差不多了,其 次项目级代码还是推荐github(被微软收购了),它的又是可能更 多在于个人代码平台的搭建,当然像readme文档及必要的一些数据 集放在上面都更方便一些。

然后在实验中,发现debug能力的重要性,对于代码错误点的 正确分析,以及一些与他人交流的“正规”途径,讨论算法可能出 错的地方以及要注意的细节等,比如acm比赛都是以三人为一小组,讨论过后,讲了一遍会发现自己对算法理解更加深刻。 然后学习算法,做项目做算法一般的正常流程是看论文,尽量 看英文文献,一般就是第一手资料,然后根据论文对算法的描述, 就是如同课上的流程一样,对算法进一步理解,然后进行复现,最 后就是尝试自己改进。比如知网查询牛顿法相关论文,会找到大量 可以参考的文献。 最后的最后,想说一下,计算机专业的同学看这个数值分析, 不一定行云流水,但肯定不至于看不懂写不出来,所以我们还是要 提高自己的核心竞争力,就是利用我们的优势,对于这种算法方面 的编程,至少比他们用的更加熟练,至少面对一个问题,我们能思 考出对应问题的最佳算法是哪一个更合适解决问题。 附记: 对课程的一些小建议: 1. debug的能力不容忽视,比如给一个关于代码实现已知错误的代码给同学们,让同学们自己思考一下,然后分享各自的debug方法,一步一步的去修改代码,最后集全班的力量完成代码的debug,这往往更能提升同学们的代码能力。 2. 课堂上的效率其实是有点低的,可能会给学生带来一些负反馈,降低学习热情。 3. 总的来说还是从这门课程中学到许多东西。 数值分析学习心得体会

第一性原理计算方法论文

第一性原理计算的理论方法 随着科技的发展,计算机性能也得到了飞速的提高,人们对物理理论的认识也更加的深入,利用计算机模拟对材料进行设计已经成为现代科学研究不可缺少的研究手段。这主要是因为在许多情况下计算机模拟比实验更快、更省,还得意于计算机模拟可以预测一些当前实验水平难以达到的情况。然而在众多的模拟方法中,第一性原理计算凭借其独特的精度和无需经验参数而得到众多研究人员的青睐,成为计算材料学的重要基础和核心计算。本章将介绍第一性原理计算的理论基础,研究方法和ABINIT 软件包。 1.1第一性原理 第一性原理计算(简称从头计算,the abinitio calculation),指从所要研究的材料的原子组分出发,运用量子力学及其它物理规律,通过自洽计算来确定指定材料的几何结构、电子结构、热力学性质和光学性质等材料物性的方法。基本思想是将多原子构成的实际体系理解成为只有电子和原子核组成的多粒子系统,运用量子力学等最基本的物理原理最大限度的对问题进行”非经验”处理。第一性原理计算就只需要用到五个最基本的物理常量即(b o k c h e m ....)和元素周期表中各组分元素的电子结构,就可以合理地预测材料的许多物理性质。用第一性原理计算的晶胞大小和实验值相比误差只有几个百分点,其他性质也和实验结果比较吻合,体现了该理论的正确性。 第一性原理计算按照如下三个基本假设把问题简化: 1.利用Born-Oppenheimer 绝热近似把包含原子核和电子的多粒子问题转化为多电子问题。 2.利用密度泛函理论的单电子近似把多电子薛定谔方程简化为比较容易求解的单电子方程。 3.利用自洽迭代法求解单电子方程得到系统基态和其他性质。 以下我将简单介绍这些第一性原理计算的理论基础和实现方法:绝热近似、密度泛函理论、局域密度近似(LDA)和广义梯度近似(GGA)、平面波及赝势方法、密度泛函的微扰理论、热力学计算方法和第一性原理计算程序包ABINIT 。 1.2量子力学与Born-Oppenheimer 近似 固体是由原子核和核外的电子组成的,在原子核与电子之间,电子与电子之间,原子核与原子核之间都存在着相互作用。从物理学的角度来看,固体是一个多体的量子力学体系,相应的体系哈密顿量可以写成如下形式: ),(),(R r E R r H H ψψ= (1-1) 其中r,R 分别代表所有电子坐标的集合、所有原子核坐标的集合。在不计外场作用下,体系的哈密顿量日包括体系所有粒子(原子核和电子)的动能和粒子之间的相互作用能,即 N e N e H H H H -++= (1-2) 其中,以是电子部分的哈密顿量,形式为:

数值分析_数值计算小论文

Runge-Kutta 法的历史发展与应用 摘要Runge-Kutta 法是极其重要的常微分方程数值解法,本文仅就其起源及发展脉络加以简要研究。对Runge 、Heun 以及Kutta 等人的贡献做出适当评述,指出Runge-Kutta 方法起源于Euler 折线法。同时对Runge-Kutta 法的应用做简要研究。 关键词 Euler 折线法 标准四阶Runge-Kutta 法 应用 一、发展历史[1] 1.1 Euler 折线法 在微分方程研究之初,瑞士数学家L.Euler(1707.4—1783.9)做出了开创性的工作。他和其他一些数学家在解决力学、物理学问题的过程中创立了微分方程这门学科。在常微分方程方面,Euler 在1743年发表的论文中,用代换kx y e =给出了任意阶常系数线性微分方程的古典解法,最早引入了“通解”和“特解”的概念。 1768年,Euler 在其有关月球运行理论的著作中,创立了广泛用于求初值问题 00 (,), (1.1)() (1.2)y f x y x x X y x a '=<≤??=? 的数值解的方法,次年又把它推广到二阶方程。欧拉的想法如下:我们选择0h >,然后在00x x x h ≤≤+情况下用解函数的切线 0000()()(,)l x y x x f x y =+- 代替解函数。这样对于点 10x x h =+ 就得到 1000(,)y y hf x y =+。 在11(,)x y 重复如上的程序再次计算新的方向就会得到所谓的递推公式: 11, (,),m m m m m m x x h y y hf x y ++=+=+

数值分析小论文

“数值分析”课程 第一次小论文 郑维珍2015210459 制研15班(精密仪器系)内容:数值分析在你所在研究领域的应用。 要求:1)字数2500以上;2)要有摘要和参考文献;3)截至10.17,网络学堂提交,过期不能提交! 数值分析在微流控芯片研究领域的应用 摘要: 作者在硕士期间即将参与的课题是微流控芯片的研制。当前,微流控芯片发展十分迅猛,而其中涉及到诸多材料学、电子学、光学、流体力学等领域的问题,加上微纳尺度上的尺寸效应,理论研究和数值计算都显得困难重重。发展该领域的数值计算,成为重中之重。本文从微流体力学、微传热学、微电磁学、微结构力学等分支入手,简要分析一下数值分析方法在该领域的应用。 微流控芯片(Microfluidic Chip)通常又称芯片实验室(Lab-On-a-Chip ),它是20世纪90年代初由瑞士的Manz和Widmer提出的[1-2],它通过微细加工技术,将微管道、微泵、微阀、微电极、微检测元件等功能元件集成在芯片材料(基片)上,完成整个生化实验室的分析功能,具有减少样品的消耗量、节省反应和分析的时间、高通量和便携性等优点。 通常一个微流控芯片系统都会执行一个到多个微流体功能,如泵、混合、热循环、扩散和分离等,精确地操纵这些流体过程是微流控芯片的关键。因此它的研究不仅需要生命科学、MEMS、材料学、电子学、光学、流体力学等多学科领域的基础理论的支持,还需要很多数学计算。

1)微流体力学计算[3]: 对微管里的流体动力的研究主要包含了以下几个方面:(1)微管内流体的粘滞力的研究;(2)微管内气流液流的传热活动;(3)在绝热或传热的微管内两相流的流动和能量转换。这三方面的研究涵盖了在绝热、传热和多相转换条件下,可压缩和不可压缩流体在规则或不规则的微管内的流动特性研究。 由此,再结合不同的初值条件和边界条件,我们可以得到各种常微分方程或偏微分方程,而求解这些方程,就是需要很多数值分析的知识。例如,文献[4]里就针对特定的初值和边界条件,由软件求解了Navier-Stodes方程: 文献[4]专门有一章节讨论了该方程的离散化和数值求解。 微流体力学主要向两个方面发展:一方面是研究流动非定常稳定特性、分叉解及微尺寸效应下的湍流流动的机理,更为复杂的非定常、多尺度的流动特征,高精度、高分辨率的计算方法和并行算法;另一方面是将宏观流体力学的基本模型,结合微纳效应,直接用于模拟各种实际流动,解决微纳芯片生产制造中提出来的各种问题。 2)微传热方程计算: 常微分、偏微分方程的数值求解应用较为广泛的另一问题就是微流体传热问题。由传热学的相关知识,我们可以达到如下的传热学基本方程: 该方程在二维情况下经过简化和离散,可以得到如教材第三章所讲的“五点差分格式”的方程组,从而采取数值方法求解[5]。 除此之外,微结构芯片在加工和制造过程中也会有很多热学方面的问题,例如文献[6]所反映的注塑成型工艺中,就有大量的类似问题的解决。 3)微电磁学计算: 由于外加电场的作用,电渗流道中会产生焦耳热效应。许多研究者对电渗流道中的焦耳热效应进行了数值模拟研究。新加坡南洋理工大学的G. Y. Tang等在电渗流模型的基础上,考虑了与温度有关的物理系数,在固一液祸合区域内利用

计算方法课程设计

数理学院2014级信息与计算科学 课程设计 姓名:刘金玉 学号: 3141301240 班级: 1402 成绩:

实验要求 1.应用自己熟悉的算法语言编写程序,使之尽可能具有通用性。2.上机前充分准备,复习有关算法,写出计算步骤,反复检查,调试程序。(注:在练习本上写,不上交) 3.完成计算后写出实验报告,内容包括:算法步骤叙述,变量说明,程序清单,输出计算结果,结构分析和小结等。(注:具体题目 具体分析,并不是所有的题目的实验报告都包含上述内容!)4.独立完成,如有雷同,一律判为零分! 5.上机期间不允许做其他任何与课程设计无关的事情,否则被发现一次扣10分,被发现三次判为不及格!非特殊情况,不能请 假。旷课3个半天及以上者,直接判为不及格。

目录 一、基本技能训练 (4) 1、误差分析 (4) 2、求解非线性方程 (6) 3、插值 (12) 4、数值积分 (12) 二、提高技能训练 (16) 1、 (16) 2、 (18) 三、本课程设计的心得体会(500字左右) (21)

一、基本技能训练 1、误差分析 实验1.3 求一元二次方程的根 实验目的: 研究误差传播的原因与解决对策。 问题提出:求解一元二次方程20ax bx c ++= 实验内容: 一元二次方程的求根公式为 1,22b x a -+= 用求根公式求解下面两个方程: 2210(1)320(2)1010 x x x x +-=-+= 实验要求: (1) 考察单精度计算结果(与真解对比); (2) 若计算结果与真解相差很大,分析其原因,提出新的算法(如先求1x 再 根据根与系数关系求2x )以改进计算结果。 实验步骤: 方程(1): 根据求根公式,写出程序: format long a=1;b=3;c=-2; x1=((-1)*b+sqrt(b^2-4*a*c))/2*a x2=((-1)*b-sqrt(b^2-4*a*c))/2*a

计算方法-论文

浅论拉格朗日与牛顿插值法 一、课程简介 计算方法是一种以计算机为工具,研究和解决有精确解而计算公式无法用手工完成和理论上有解而没有计算公式的数学问题的数值近似解的方法。在实际中,数学与科学技术一向有着密切关系并相互影响,科学技术各领域的问题通过建立数学模型和数学产生密切的联系,并以各种形式应用于科学与工程领域。而所建立的这些数学模型,在许多情况下,要获得精确解是十分困难的,甚至是不可能的,这就使得研究各种数学问题的近似解变的非常重要了,计算方法就是这样一门课程,一门专门用来研究各种数学问题的近似解的一门课程。计算方法的一般步骤四:实际问题抽象出实际问题的物理模型,再有物理模型具体出数学模型,根据相关的数值方法利用计算机计算出结果。从一般的过程可以看出,计算方法应该具有数学类课程的抽象性和严谨性的理论特性和实验课程的实用性和实验性的技术特征等。 随着计算机的飞速发展,数值计算方法已深入到计算物理、计算力学、计算化学、计算生物学、计算机经济学等各个领域,并且在航天航空、地质勘探、桥梁设计、天气预报和字形字样设计等实际问题领域得到广泛的应用。 二、主要内容 《计算方法》这门课程可以分为三大块:数值逼近,数值代数,常微分方程。 1.数值逼近模块 这模块的知识点主要分布在第一章到第三章。 第一章:数值计算中的误差。主要的知识点是绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限、有效数字等概念的引入和计算绝对误差和绝对误差限、相对误差 和相对误差限及有效数字的方法。 第二章:插值法。在这一章中,主要的就是拉格朗日插值法与牛顿插值法的讲述。拉格朗日插值法中核心就是去求插值结点的插值基函数,牛顿插值法中核心就 是计算插值结点的差商,还有就是截断误差的说明。 第三章:曲线拟合的最小二乘法。重点是最小二乘法的法则和法方程组列写,如何利用法方程组去求一个多项式各项的系数。最小二乘法是与插值方法是有区别 的,它不要求过所有的结点,只要靠近这些点,尽可能的表现出这些点的趋势就行 了。 2.数值代数模块 这一部分内容主要在第四章至第七章。 第四章:数值积分。主要说的是插值型的数值积分的公式和积分系数。刚开始讲了牛顿-柯特斯插值求积公式,包括梯形公式、Simpson公式、Cotes公式-系数、 代数精度和截断误差。然后就是复合的牛顿-柯特斯求积公式,包括复合的梯形公式、复合的Simpson公式、各个复合公式的收敛阶和它们各自的截断误差。最后讲的是 龙贝格算法的计算思想和公式的讲述。

中北大学数值分析小论文

中北大学 《数值分析》 常微分方程初值问题的数值解法 专业: 班级: 学号: 姓名: 日期: 2012.12.26

常微分方程初值问题的数值解法 摘 要 微分方程的数值解法在科学技术及生产实践等多方面应用广泛. 文章分析了构造常微分方程初值问题数值解法的三种常用基本方法,差商代替导数法,数值积分法及待定系数法,推导出了Euler 系列公式及三阶龙格-库塔公式,指出了各公式的优劣性及适用条件,并对Euler 公式的收敛性、稳定性进行了分析。 Abstract The numerical solution of differential equations is widely used in science, technology, production practices and many other fields. This paper analyzed three kinds of basic methods for constructing numerical solutions for initial value problem of ordinary differential equations :difference quotient instead of derivative method, numerical integral method and undetermined coefficients method. At the same time, the paper deduces the Euler series formula and the classical third order Runge-Kutta formula. In addition, the paper pointed out the advantages and disadvantages of each formula and application condition, it also analyzed the convergence and stability of the Euler formula. 1.引言 科学技术及实际生产实践中的许多问题都可归结为微分方程的求解问题,使用较多的是常微分方程初值问题的求解。对于一阶常微分方程的初值问题 000dy /dx f (x,y),y(x )y ,x x b ==<<,其中f 为已知函数,0y 是初始值。如 果函数f 关于变量y 满足Lipschitz 条件,则初值问题有唯一解。只有当f 是一些特殊类型的函数时,才能求出问题的解析解,但一般情况下都满足不了生产实践与科学技术发展的需要,因此通常求其数值解法。 2.主要算法 数值解法是一种离散化的方法,可以求出函数的精确解在自变量一系列离散点处的近似值。基本思想是离散化,首先要将连续区间离散化,对连续区域[]0x ,b 进行剖分01n 1n x x x x b -<<Λ<<=,n n 1n h x x +=-为步长;其次将其函离散

数值分析实验报告总结

数值分析实验报告总结 随着电子计算机的普及与发展,科学计算已成为现代科 学的重要组成部分,因而数值计算方法的内容也愈来愈广泛和丰富。通过本学期的学习,主要掌握了一些数值方法的基本原理、具体算法,并通过编程在计算机上来实现这些算法。 算法算法是指由基本算术运算及运算顺序的规定构成的完 整的解题步骤。算法可以使用框图、算法语言、数学语言、自然语言来进行描述。具有的特征:正确性、有穷性、适用范围广、运算工作量少、使用资源少、逻辑结构简单、便于实现、计算结果可靠。 误差 计算机的计算结果通常是近似的,因此算法必有误差, 并且应能估计误差。误差是指近似值与真正值之差。绝对误差是指近似值与真正值之差或差的绝对值;相对误差:是指近似值与真正值之比或比的绝对值。误差来源见表 第三章泛函分析泛函分析概要 泛函分析是研究“函数的函数”、函数空间和它们之间 变换的一门较新的数学分支,隶属分析数学。它以各种学科

如果 a 是相容范数,且任何满足 为具体背景,在集合的基础上,把客观世界中的研究对象抽 范数 范数,是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函 分析及相关的数学领域,泛函是一个函数,其为矢量空间内 的所有矢量赋予非零的正长度或大小。这里以 Cn 空间为例, Rn 空间类似。最常用的范数就是 P-范数。那么 当P 取1, 2 ,s 的时候分别是以下几种最简单的情形: 其中2-范数就是通常意义下的距离。 对于这些范数有以下不等式: 1 < n1/2 另外,若p 和q 是赫德尔共轭指标,即 1/p+1/q=1 么有赫德尔不等式: II = ||xH*y| 当p=q=2时就是柯西-许瓦兹不等式 般来讲矩阵范数除了正定性,齐次性和三角不等式之 矩阵范数通常也称为相容范数。 象为元素和空间。女口:距离空间,赋范线性空间, 内积空间。 1-范数: 1= x1 + x2 +?+ xn 2-范数: x 2=1/2 8 -范数: 8 =max oo ,那 外,还规定其必须满足相容性: 所以

计算方法论文

****学校课程考查论文 课程名称:《计算方法》 学院: 专业: 班级: 姓名: 学号: 论文题目:《我对拉格朗日公式的认识》成绩:

我对拉格朗日公式的认识 一、问题背景 (一)背景 在生产和科研中出现的函数是多种多样的,常常会遇到这样的情况:在某个实际问题中,虽然可以断定所考虑的函数在区间[a,b]上存在且连续,但却难以找出它的解析表达式,只能通过实验和观测得到在有限个点的函数值(即一张函数表)。显然,要利用这张函数表来分析函数的性态,甚至直接求出其他一些点的函数值可能是非常困难的。在有些情况 下,虽然可以写出函数的解析表达式,但由于结构相当复杂,使用起来很不方便。插值法是解决此类问题的一种比较古老的、然而却是目前常用的方法。 许多实际问题中都用函数来表示某种内在联系或规律,而不少函数都只能通过实验和观测来了解。如对实践中的某个物理量进行观测,在若干个不同的地方得到相应的观测值,拉格朗日插值法可以找到一个多项式,其恰好在各个观测的点取到观测到的值。这样的多项式称为拉格朗日插值多项式。 (二)相关数学知识 插值法利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值,作出适当的特定函数,在这些点上取已知值,在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。如果这特定函数是多项式,就称它为插值多项式。 在多项式插值中,最常见、最基本的问题是:一次数不超过n次的代

数多项式P n(x)=a0+a1x+…+a n x (1) 使P n(x i)=y i (2) 其中,a0,a1,…a n为实数;x i,y i意义同前。 插值多项式的存在唯一性:若节点x0,x1,x2…x n互不相同,则(2)式满足插值条件式的n次多项式(1)存在且唯一。 可以写出n+1个n次多项式。容易看出,这组多项式仅与节点的取法有关,我们称之为n次插值基函数。 二、方法综述 某多项式函数,已知给定的k+1个取值点:(x0,y1)…(x k,y k),其中x i对应着自变量的位置,而y i对应着函数在这个位置的取值。 假设任意两个不同的x j都互不相同,那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为: 其中每个为拉格朗日基本多项式(或称插值基函数),其表达式为: (x)+(x)+…+(x) 拉格朗日基本多项式l j(x)的特点是在x j上取值为1,在其它的点x i,i≠j上取值为0。 当n=1时,即得线性插值公式L1(x)=y0+y1又叫线性插值;

数值分析论文

插值方法总结 摘 要:本文是对学过的插值方法进行了总结使我们更清楚的知道那一种方法适合那一种型。 关键词:插值;函数;多项式;余项 (一)Lagrange 插值 1.Lagrange 插值基函数 n+1个n 次多项式 ∏≠=--= n k j j j k j k x x x x x l 0)( n k ,,1,0 = 称为Lagrange 插值基函数 2.Lagrange 插值多项式 设给定n+1个互异点))(,(k k x f x ,n k ,,1,0 =,j i x x ≠,j i ≠,满足插值条件 )()(k k n x f x L =,n k ,,1,0 = 的n 次多项式 ∏∏ ∏=≠==--==n k n k j j j k j k k n k k n x x x x x f x l x f x L 0 00 ))(()()()( 为Lagrange 插值多项式,称 ∏=+-+=-=n j j x n n x x n f x L x f x E 0)1()()!1()()()()(ξ 为插值余项,其中),()(b a x x ∈=ξξ (二)Newton 插值 1.差商的定义 )(x f 关于i x 的零阶差商 )(][i i x f x f = )(x f 关于i x ,j x 的一阶差商 i j i j j i x x x f x f x x f --= ][][],[ 依次类推,)(x f 关于i x ,1+i x ,……,k i x +的k 阶差商

i k i k i i k i i k i i i x x x x f x x f x x x f --= +-+++++] ,,[],,[],,,[111 2.Newton 插值多项式 设给定的n+1个互异点))(,(k k x f x ,n k ,,1,0 =,j i x x ≠,j i ≠, 称满足条件 )()(k k n x f x N =,n k ,,1,0 = 的n 次多项式 )()](,,,[)](,[][)(10100100---++-+=n n n x x x x x x x f x x x x f x f x N 为Newton 插值多项式,称 ],[,)(],,,[)()()(0 10b a x x x x x x f x N x f x E n j j n n ∈-=-=∏= 为插值余项。 (三)Hermite 插值 设],[)(1b a C x f ∈,已知互异点0x ,1x ,…,],[b a x n ∈及所对应的函数值为 0f ,1f ,…,n f ,导数值为'0f ,' 1f ,…,' n f ,则满足条件 n i f x H f x H i i n i i n ,,1,0,)(,)(' '1212 ===++ 的12+n 次Hermite 插值多项式为 )()()(0 '12x f x f x H j n j j j n j i n βα∏∏=++= 其中 )())((,)]()(21[)(2 2'x l x x x l x l x x x j j j j j j j j ---=βα 称为Hermite 插值基函数,)(x l j 是Lagrange 插值基函数,若],[22b a C f n +∈,插值误差为 220) 22(12)()()! 22() ()()(n x n n x x x x n f x H x f --+= -++ ξ,),()(b a x x ∈=ξξ (四)分段插值 设在区间],[b a 上给定n+1个插值节点 b x x x a n =<<<= 10 和相应的函数值0y ,1y ,…,n y ,求作一个插值函数)(x ?,具有性质

数值分析论文

题目:论数值分析在数学建模中的应用 学院: 机械自动化学院 专业: 机械设计及理论 学号: 学生姓名: 日期: 2011年12月5日

论数值分析在数学建模中的应用 摘要 为了满足科技发展对科学研究和工程技术人员用数学理论解决实际的能力的要求,讨论了数值分析在数学建模中的应用。数值分析不仅应用模型求解的过程中,它对模型的建立也具有较强的指导性。研究数值分析中插值拟合,解线性方程组,数值积分等方法在模型建立、求解以及误差分析中的应用,使数值分析作为一种工具更好的解决实际问题。 关键词 数值分析;数学建模;线性方程组;微分方程 the Application of Numerical Analysis in Methmetical Modeling Han Y u-tao 1 Bai Y ang 2 Tian Lu 2 Liu De-zheng 2 (1 College of Science ,Tianjin University of Commerce ,Tianjin ,300134 2 College of Science ,Tianjin University of Commerce ,Tianjin ,300134) Abstract In order to meet the technological scientific researchers who use mathematical theory to solve practical problems, the use of numerical analysis in mathematical modeling is discussed.Numerical analysis not only solve the model,but also relatively guide the model.Research on some numerical methods in numerical analysis which usually used in mathmetical modeling and error analysis will be a better way to solve practical problems. Key Words Numerical Analysis ;Mathematical Modeling; Linear Equations ;differential equation 1. 引言 数值分析主要介绍现代科学计算中常用的数值计算方法及其基本原理,研究并解决数值问题的近似解,是数学理论与计算机和实际问题的有机结合[1]。随着科学技术的迅速发展,运用数学方法解决科学研究和工程技术领域中的实际问题,已经得到普遍重视。数学建模是数值分析联系实际的桥梁。在数学建模过程中,无论是模型的建立还是模型的求解都要用到数值分析课程中所涉及的算法,如插值方法、最小二乘法、拟合法等,那么如何在数学建模中正确的应用数值分析内容,就成了解决实际问题的关键。 2. 数值分析在模型建立中的应用 在实际中,许多问题所研究的变量都是离散的形式,所建立的模型也是离散的。例如,对经济进行动态的分析时,一般总是根据一些计划的周期期末的指标值判断某经济计划执行的如何。有些实际问题即可建立连续模型,也可建立离散模型,但在研究中,并不能时时刻刻统计它,而是在某些特定时刻获得统计数据。例如,人口普查统计是一个时段的人口增长量,通过这个时段人口数量变化规律建立离散模型来预测未来人口。另一方面,对常见的微分方程、积分方程为了求解,往往需要将连续模型转化成离散模型。将连续模型转化成离散模型,最常用的方法就是建立差分方程。 以非负整数k 表示时间,记k x 为变量x 在时刻k 的取值,则称k k k x x x -=?+1为k x 的一阶差分,称k k k k k x x x x x +-=??=?++1222)(为k x 的二阶差分。类似课求出k x 的n 阶差分k n x ?。由k ,k x ,及k x 的差分给出的方程称为差分方程[2]。例如在研究节食与运动模型时,发现人们往往采取节食与运动方式消耗体内存储的脂肪,引起体重下降,达到减肥目的。通常制定减肥计划以周为时间单位比较方便,所以采用差分方程模型进行讨论。记第k 周末体重为)(k w ,第k 周吸收热量为)(k c ,热量转换系数α,代谢消耗系数β,在不考虑运动情况下体重变化的模型

论文二重极限计算方法

包头师范学院 本科毕业论文 题目:二重极限的计算方法 学生姓名:王伟 学院:数学科学学院 专业:数学与应用数学 班级:应数一班 指导教师:李国明老师 二〇一四年四月

摘要 函数极限是高等数学中非常重要的内容。关于一元函数的极限及求法,各种高等数学教材中都有详细的例题和说明。二元函数极限是在一元函数极限的基础上发展起来的,二者之间既有联系又有区别。本文在二元函数定义基础上通过求对数,变量代换等方式总结了解决二重极限问题的几种方法,并给出相关例题及解题步骤,及二重极限不存在的几种证明方法。 关键词:二重极限变量代换等不存在的证明二元函数连续性

Abstract The limit function is a very important contents of advanced mathematics. The limit of a function and method, all kinds of advanced mathematics textbooks are detailed examples and explanation. The limit function of two variables is the basis for the development in the limit of one variable function on it, there are both connections and differences in the two yuan on the basis of the definition of the logarithm function between the two, variable substitution, summarizes several methods to solve the problem of double limit, and gives some examples and solving steps. Several proof method and double limit does not exist. keywords: Double limit variable substitution, etc. There is no proof Dual function of continuity

数值计算方法设计论文

课程设计(论文) 题目: 三次样条插值问题 学院: ___ 理学院 _ 专业: __ _ 数学与应用数学 班级:数学08-2班 学生姓名: 魏建波 学生学号: 080524010219 指导教师:李文宇 2010年12月17日

课程设计任务书

目录 摘要……………………………………………………………………… 一、前言………………………………………………………………… (一)Lagrange插值的起源和发展过程……………………………………… (二)本文所要达到的目的……………………………………………………… 二、插值函数…………………………………………………………… (一)函数插值的基本思想…………………………………………………… (二)Lagrange插值的构造方法……………………………………………… 三、MATLAB程序………………………………………………………… (一)Lagrange程序…………………………………………………………… (二)龙格程序………………………………………………………………… 四、理论证明…………………………………………………………… 五、综述……………………………………………………………………谢辞………………………………………………………………………参考文献…………………………………………………………………

摘要

前言 要求:500字以上,宋体小四,行距20磅,主要内容写该算法的产生及发展、应用领域等。 题目 整体要求:报告页数,正文在8页以上 字体:宋体小四(行距20磅) 内容:1、理论依据 2、问题描述 3、问题分析 4、求解计算(程序) 5、结论 注:(1)页码编号从正文页开始 (2)标题可根据情况自己适当改动 示例见下: 2判别…………………… 2.1 判……………… 2.1.1 判别……………… 所谓的判别分析,………………………………………………方法[3]。 2.1.2 判………………………… 常用的有四种判别方法:…………………………………………………步判别法[6]。 1. 马氏………………

计算方法论文

对数值计算中误差分析 (一)问题背景: 随着科学技术的突飞猛进,无论是工农业生产还是国防尖端技术,例如机电产品的设计、建筑工程项目的设计、气象预报和新型尖端武器的研制、火箭的发射等,都有大量复杂的数值计算问题亟待解决。他们的复杂程度已达到远非人工手算所能解决的地步。数字电子计算机的出现和飞速发展大大推动了数值计算方法的进展,许多复杂的数值计算问题现在都可以通过电算得到妥善解决。 利用计算机、电子计算机等计算工具来求出数学问题的数值解的全过程,称为数值计算。 关于数值计算中误差的产生与传播以及如何分析与控制各种误差的方法与过程。数据近似值与精确值之差是衡量数据可靠性和精确度的重要方面。应用数值方法在计算机上求解实际问题时,由于模型、测量手段和计算工具等方面的限制,以及计算方法的差异,所得结果往往不是所考虑对象的准确值,而是近似值。 误差按其来源可分为模型误差、观测误差、截断误差和舍人误差等。

1 模型误差 用数值计算方法解决实际问题时,首先必须建立数学模型。由于实际问题的复杂性,在对实际问题进行抽象与简化时,往往为了抓住主要因素而忽略了一些次要因素,这样就会使得建立起来的数学模型只是复杂客观现象的一种近似描述,它与实际问题之间总会存在一定的误差。 2 测量误差 在数学模型中往往包含一些由观测或实验得来的物理量,如电阻、电压、温度、长度等,由于测量工具精度和测量手段的限制,它们与实际量大小之间必然存在误差,这种误差称为测量误差。上面近似公式中地球半径是要经过测量得到,然而无论使用什么工具,其误差是无法避免的。 3 截断误差 由实际问题建立起来的数学模型,在很多情况下要得到准确解是困难的,通常要用数值方法求出它的近似解。例如常用有限过程逼近无限过程,用能计算的问题代替不能计算的问题。这种数学模型的精确解与由数值方法求出的近似解之间的误差称为截断误差,由于截断误差是数值计算方法固有的,故又称为方法误差。 4 舍入误差 无论用计算机、计算器计算还是笔算,都只能用有限位小数来代替无穷小数或用位数较少的小数来代替位数较多的有限小数。在上面的近似公式中的 ,因为是一个无理数,在计算机中无法精确表示,只能取有限位,一般取3.14159,而将后面无穷多位舍弃。不仅无理数,即便是十分简单的有理数如1/3,也只能用有限位的计算机数近似地表示为0.333333(保留6位)。因此在用计算机进行数值计算时,由于计算机的位数有限,在数值计算时只能近似地表示这些数字,由此而产生的误差称为舍入误差。 舍入地方法比较多,有收尾法(只入不舍)、去尾法(只舍不入)和四舍五入法等,一般常用人们所熟知的四舍

数值计算方法总结计划复习总结提纲.docx

数值计算方法复习提纲 第一章数值计算中的误差分析 1 2.了解误差 ( 绝对误差、相对误差 ) 3.掌握算法及其稳定性,设计算法遵循的原则。 1、误差的来源 模型误差 观测误差 截断误差 舍入误差 2误差与有效数字 绝对误差E(x)=x-x * 绝对误差限x*x x* 相对误差E r (x) ( x x* ) / x ( x x* ) / x* 有效数字 x*0.a1 a2 ....a n10 m 若x x*110m n ,称x*有n位有效数字。 2 有效数字与误差关系 ( 1)m 一定时,有效数字n 越多,绝对误差限越小; ( 2)x*有 n 位有效数字,则相对误差限为E r (x)1 10 (n 1)。 2a1 选择算法应遵循的原则 1、选用数值稳定的算法,控制误差传播; 例 I n 11n x dx e x e I 0 1 1 I n1nI n1 e △ x n n! △x0 2、简化计算步骤,减少运算次数; 3、避免两个相近数相减,和接近零的数作分母;避免

第二章线性方程组的数值解法 1.了解 Gauss 消元法、主元消元法基本思想及算法; 2.掌握矩阵的三角分解,并利用三角分解求解方程组; (Doolittle 分解; Crout分解; Cholesky分解;追赶法) 3.掌握迭代法的基本思想,Jacobi 迭代法与 Gauss-Seidel 4.掌握向量与矩阵的范数及其性质, 迭代法的收敛性及其判定。 本章主要解决线性方程组求解问题,假设n 行 n 列线性方程组有唯一解,如何得到其解? a 11x 1 a 12 x 2... a 1n x n b1 a 21x 1 a 22 x 2... a 2n x n b2 ... a n1x 1 a n 2 x 2... a nn x n b n 两类方法,第一是直接解法,得到其精确解; 第二是迭代解法,得到其近似解。 一、Gauss消去法 1、顺序G auss 消去法 记方程组为: a11(1) x1a12(1) x2... a1(1n) x n b1(1) a21(1) x1a22(1) x2... a2(1n) x n b2(1) ... a n(11) x1a n(12) x2... a nn(1) x n b n(1) 消元过程: 经n-1步消元,化为上三角方程组 a11(1) x1b1(1) a 21(2) x1a22(2 ) x2b2( 2 ) ... a n(1n) x1a n(n2) x2...a nn(n ) x n b n( n ) 第k步 若a kk(k)0 ( k 1)( k) a ik(k )(k )( k 1)( k )a ik(k )( k) a ij a ij a kk(k ) a kj b i b i a kk(k )b k k 1,...n 1 i, j k 1,....,n 回代过程:

数值分析小论文

基于MATLAB曲线拟合对离散数据的处理和研究 摘要:曲线拟合是数值分析中的一种普遍且重要的方法,求解拟合曲线的方法也有很多,这里主要介绍利用MATLAB曲线拟合工具箱对离散数据点做你和处理,并与利用最小二乘法求相应的拟合曲线的方法做对比,突出MATLAB曲线拟合工具箱的优点,并阐述了其适用的范围,最后通过利用MATLAB曲线拟合工具箱对实例中离散数据点的拟合来具体说明它的使用方法和优点。 关键字:数值分析;MATLAB;曲线拟合;最小二乘法 一问题探究 在很多的实际情况中,两个变量之间的关系往往很难用具体的表达式把它表示出来,通常只能通过实际测量得到一些互不相同的离散数据点,需需要利用这些已知的数据点估计出两个变量的关系或工件的具体轮廓,并要得到任意未知数据点的具体数据,这个过程就需要用到拟合或差值方法来实现,这里主要讨论拟合的方法。 曲线拟合可以通过MATLAB编程来完成,通常为了达到更好的讷河效果需要做多次重复修改,对于非线性曲线拟合还需要编写复杂的M-文件,运用MATLAB曲线拟合工具箱来实现离散数据点的曲线拟合是一种直观并且简洁的方法。 二曲线拟合的最小二乘法理论 假设给定了一些数据点(Xi,Yi),人们总希望找到这样的近似的函数,它既能反映所给数据的一般趋势,又不会出现较大的偏差,并且要使构造的函数与被逼近函数在一个给定区间上的偏差满足某种要求。这种思想就是所谓的“曲线拟合”的思想。 曲线拟合和差值不同,若要求通过所有给定的数据点是差值问题,若不要求曲线通过所有给定的数据点,而只要求反映对象整体的变化趋势,拟合问题,曲线拟合问题最常用的解决方法是线性最小二乘法[1],步骤如下: 第一步:先选定一组函数r1(x),r2(x),…,rm(x),m

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