搜档网
当前位置:搜档网 > 三角形的边角之间的关系

三角形的边角之间的关系

三角形的边角之间关系

(1)三角形三内角和等于180°(在球面上,三角形内角之和大于180°);

(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和;

(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角;

(4)三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;

(5)在同一个三角形内,大边对大角,大角对大边.

(6)三角形中的四条特殊的线段:角平分线,中线,高,中位线.

(7)三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心,它是三角形内切圆的圆心,它到各边的距离相等.

(8)三角形的外接圆圆心,即外心,是三角形三边的垂直平分线的交点,它到三个顶点的距离相等.

(9)三角形的三条中线的交点叫三角形的重心,它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍。

(10)三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。

(11)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的1/2。

(12)三角形的一边与另一边延长线的夹角叫做三角形的外角。

注意: ①三角形的内心、重心都在三角形的内部

. ②钝角三角形垂心、外心在三角形外部。

③直角三角形垂心、外心在三角形的边上。(直角三角形的垂心为直角顶点,外心为斜边中点。)

④锐角三角形垂心、外心在三角形内部。

三角形相关定理

重心定理

三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.上述交点叫做三角形的重心.

外心定理

三角形的三边的垂直平分线交于一点.

这点叫做三角形的外心.

垂心定理

三角形的三条高交于一点.

这点叫做三角形的垂心.

内心定理

三角形的三内角平分线交于一点.

这点叫做三角形的内心.

旁心定理

三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.

这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.

三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心.

它们都是三角形的重要相关点.

中位线定理

三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.

三边关系定理

三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.

勾股定理

在Rt三角形ABC中,A≤90度,则

AB·AB+AC·AC=BC·BC

梅涅劳斯定理

梅涅劳斯(Menelaus)定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出:如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点,那么(AF /FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。

证明:

过点A作AG∥BC交DF的延长线于G,

则AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。

三式相乘得:AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=1

它的逆定理也成立:若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延长线上,且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1,则F、D、E三点共线。利用这个逆定理,可以判断三点共线。

塞瓦定理

设O是△ABC内任意一点,

AO、BO、CO分别交对边于D、E、F,则BD/DC*CE/EA*AF/FB=1

证法简介

(Ⅰ)本题可利用梅涅劳斯定理证明:

∵△ADC被直线BOE所截,

∴CB/BD*DO/OA*AE/EC=1 ①

而由△ABD被直线COF所截,∴BC/CD*DO/OA*AF/BF=1②

②÷①:即得:BD/DC*CE/EA*AF/FB=1

(Ⅱ)也可以利用面积关系证明

∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③

同理CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤

③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1

利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点:

设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F,

根据塞瓦定理逆定理,因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA)/[(CD*ctgB)] *[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/

[(AE*ctgB)]=1,所以三条高CD、AE、BF交于一点。

莫利定理

将三角形的三个内角三等分,靠近某边的两条三分角线相得到一个交点,则这样的三个交点可以构成一个正三角形。这个三角形常被称作莫利正三角形。