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三角形的边角之间的关系

三角形的边角之间的关系
三角形的边角之间的关系

三角形的边角之间关系

(1)三角形三内角和等于180°(在球面上,三角形内角之和大于180°);

(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和;

(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角;

(4)三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;

(5)在同一个三角形内,大边对大角,大角对大边.

(6)三角形中的四条特殊的线段:角平分线,中线,高,中位线.

(7)三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心,它是三角形内切圆的圆心,它到各边的距离相等.

(8)三角形的外接圆圆心,即外心,是三角形三边的垂直平分线的交点,它到三个顶点的距离相等.

(9)三角形的三条中线的交点叫三角形的重心,它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍。

(10)三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。

(11)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的1/2。

(12)三角形的一边与另一边延长线的夹角叫做三角形的外角。

注意: ①三角形的内心、重心都在三角形的内部

. ②钝角三角形垂心、外心在三角形外部。

③直角三角形垂心、外心在三角形的边上。(直角三角形的垂心为直角顶点,外心为斜边中点。)

④锐角三角形垂心、外心在三角形内部。

三角形相关定理

重心定理

三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.上述交点叫做三角形的重心.

外心定理

三角形的三边的垂直平分线交于一点.

这点叫做三角形的外心.

垂心定理

三角形的三条高交于一点.

这点叫做三角形的垂心.

内心定理

三角形的三内角平分线交于一点.

这点叫做三角形的内心.

旁心定理

三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.

这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.

三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心.

它们都是三角形的重要相关点.

中位线定理

三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.

三边关系定理

三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.

勾股定理

在Rt三角形ABC中,A≤90度,则

AB·AB+AC·AC=BC·BC

梅涅劳斯定理

梅涅劳斯(Menelaus)定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出:如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点,那么(AF /FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。

证明:

过点A作AG∥BC交DF的延长线于G,

则AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。

三式相乘得:AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=1

它的逆定理也成立:若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延长线上,且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1,则F、D、E三点共线。利用这个逆定理,可以判断三点共线。

塞瓦定理

设O是△ABC内任意一点,

AO、BO、CO分别交对边于D、E、F,则BD/DC*CE/EA*AF/FB=1

证法简介

(Ⅰ)本题可利用梅涅劳斯定理证明:

∵△ADC被直线BOE所截,

∴CB/BD*DO/OA*AE/EC=1 ①

而由△ABD被直线COF所截,∴BC/CD*DO/OA*AF/BF=1②

②÷①:即得:BD/DC*CE/EA*AF/FB=1

(Ⅱ)也可以利用面积关系证明

∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③

同理CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤

③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1

利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点:

设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F,

根据塞瓦定理逆定理,因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA)/[(CD*ctgB)] *[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/

[(AE*ctgB)]=1,所以三条高CD、AE、BF交于一点。

莫利定理

将三角形的三个内角三等分,靠近某边的两条三分角线相得到一个交点,则这样的三个交点可以构成一个正三角形。这个三角形常被称作莫利正三角形。

初中数学竞赛专题训练之例题及三角形边角不等关系

A. B. 33 C. 39 D. 15 C A B C P 图 8-2 图 8-1 D A A. 4cm 10cm B. 5cm 10cm C. 4cm 2 3cm D. 5cm 2 3cm a C. D. 初中数学竞赛专项训练(8) (命题及三角形边角不等关系) 一、选择题: 1、如图 8-1,已知 AB =10,P 是线段 AB 上任意一点,在 AB 的同侧分别以 AP 和 PB 为边作两个等边三 角形 APC 和 BPD ,则线段 CD 的长度的最小值是 ( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 5( 5 - 1) 2、如图 8-2,四边形 ABCD 中∠A =60°,∠B =∠D =90°,AD =8,AB =7, 则 BC +CD 等于 ( ) A. 6 3 B. 5 3 C. 4 3 D. 3 3 3、如图 8-3,在梯形 ABCD 中,AD ∥BC ,AD =3,BC =9,AB =6,CD =4,若 EF ∥BC ,且梯形 AEFD 与梯形 EBCF 的周长相等,则 EF 的长为 ( ) 45 7 5 5 2 C D A D D E F B 图 8-3 4、已知△ABC 的三个内角为 A 、B 、C 且α =A+B ,β =C+A ,γ =C+B ,则α 、β 、γ 中,锐角的个数 最多为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 5、如图 8-4,矩形 ABCD 的长 AD =9cm ,宽 AB =3cm ,将其折叠,使点 D 与点 B 重合,那么折叠后 DE 的长和折痕 EF 的长分别为 ( ) E A D B F C B C C 图 8-4 6、一个三角形的三边长分别为 a ,a ,b ,另一个三角形的三边长分别为 a ,b ,b ,其中 a>b ,若两个三角 形的最小内角相等,则 的值等于 ( ) b A. 3 + 1 2 B. 5 + 1 2 3 + 2 2 5 + 2 2 7、在凸 10 边形的所有内角中,锐角的个数最多是 ( ) A. 0 B. 1 C. 3 D. 5 8、若函数 y = kx (k > 0) 与函数 y = 1 x 的图象相交于 A ,C 两点,AB 垂直 x 轴于 B ,则△ABC 的面积为 ( ) A. 1 B. 2 C. k D. k 2 二、填空题 1、若四边形的一组对边中点的连线的长为 d ,另一组对边的长分别为 a ,b ,则 d 与 ______ a + b 2 的大小关系是_

三角形中的边角关系

三角形中的边角关系 一、选择题(每小题3分,共30分) 1、下列长度的各组线段中,能组成三角形的是( ) A .1,1,2 B .3,7,11 C .6,8,9 D .3,3,6 2、下列语句中,不是命题的是( ) A .两点之间线段最短 B .对顶角相等 C .不是对顶角不相等 D .过直线AB 外一点P 作直线AB 的垂线 3、下列命题中,假命题是( ) A .如果|a|=a ,则a ≥0 B .如果 ,那么a=b 或a=-b C .如果ab>0,则a>0,b>0 D .若,则a 是一个负数 4、若△ABC 的三个内角满足关系式∠B +∠C=3∠A ,则这个三角形( ) A .一定有一个内角为45° B .一定有一个内角为60° C .一定是直角三角形 D .一定是钝角三角形 5、三角形的一个外角大于相邻的一个内角,则它是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 6、下列命题中正确的是( ) A .三角形可分为斜三角形、直角三角形和锐角三角形 B .等腰三角形任一个内角都有可能是钝角或直角 C .三角形外角一定是钝角 D .△ABC 中,如果∠A>∠B>∠C ,那么∠A>60°,∠C<60° 7、若一个三角形的三个内角的度数之比为1:2:3,那么相对应的三个外角的度数之比为( ) A .3:2:1 B .5:4:3 C .3:4:5 D .1:2:3 8、设三角形三边之长分别为3,8,1-2a ,则a 的取值范围为( ) A .-62 9、如图9,在△ABC 中,已知点D,E,F 分别为边BC,AD,CE 的中点, 且S △ABC =4cm 2,则S 阴影等于( ) A.2cm 2 B.1cm 2 C.12cm 2 D.14 cm 2 图9 图10 10、已知:如图10,在△ABC 中,∠C=∠ABC=2∠A ,BD 是AC 边的高,则∠DBC=( ) A .10° B .18° C .20° D .30° F E C A

三角形中的边角关系

三角形中的边角关系 1、 A+B+C=π , 2C = 2 π-( 2A + 2 B ) 2、 sinC=sin(A+B), cosC=-cos(A+B) sin 2 C =cos( 2 A +2 B ), cos 2 C =sin( 2 A + 2 B ), tan 2 C =cot( 2 A + 2 B ) sin2C=-sin2(A+B), cos2C=cos2(A+B) 3、 三角形面积公式 S ?= 12 absinC= 12 bcsinA= 12 casinB p= 12 (a+b+c ) 4、 正弦定理sin sin sin a b c A B C = = =2R sinA ?sinB ? sinC ?a = b ? c sinA= 2a R ,sinB=2b R ,sinC= 2c R a=2RsinA , b=2RsinB , c=2RsinC 适用类型:AAS →S ,SSA →A (2,1,0解) 5、余弦定理2222cos a b c bc A =+- 2 2 2 co s 2b c a A b c +-= 适用类型:SSS →A ,SAS →S ,AAS →S(2,1,0解) 5、 判定三角形是锐角直角钝角三角形 设c 为三角形的最大边 2c <2a +2b ??ABC 是锐角三角形 2 c =2 a +2 b ??ABC 是直角三角形 2 c >2 a +2 b ??ABC 是钝角三角形 6、 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1 tan 2 A tan 2 B +tan 2 B tan 2 C +tan 2 C tan 2 A =1 7* 、若三角形三内角成等差数列,则B=3 π 三边成等差数列,则0

三角形三边关系(带答案)

【考点训练】三角形三边关系-2 一、选择题(共10小题) 1.(2011?青海)某同学手里拿着长为3和2的两个木棍,想要找一个木棍,用它们围成一个三角形, 4.(2012?长沙)现有3cm,4cm,7cm,9cm长的四根木棒,任取其中三根组成一个三角形,那么可 二、填空题(共10小题)(除非特别说明,请填准确值) 11.(2007?安顺)如果等腰三角形的两边长分别为4和7,则三角形的周长为_________.12.(2004?云南)已知三角形其中两边a=3,b=5,则第三边c的取值范围为_________.

13.(2007?柳州)如果三角形的两条边长分别为23cm和10cm,第三边与其中一边的长相等,那么第三边的长为_________cm. 14.(2006?连云港)如图,∠BAC=30°,AB=10.现请你给定线段BC的长,使构成△ABC能惟一确定.你认为BC的长可以是_________. 15.(2005?泸州)一个等腰三角形的两边分别为8cm和6cm,则它的周长为_________cm. 16.(2007?贵阳)在△ABC中,若AB=8,BC=6,则第三边AC的长度m的取值范围是_________. 17.(2006?梧州)△ABC的边长均为整数,且最大边的边长为7,那么这样的三角形共有_________个. 18.(2004?芜湖)已知等腰三角形的一边等于5,另一边等于6,则它的周长等于_________. 19.(2004?玉溪)已知一个梯形的两底长分别是4和8,一腰长为5,若另一腰长为x,则x的取值范围是_________. 20.(2004?嘉兴)小华要从长度分别为5cm、6cm、11cm、16cm的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形,那么他选的三根木棒的长度分别是:_________,_________,_________(单位:cm). 三、解答题(共10小题)(选答题,不自动判卷) 21.已知三角形的三边互不相等,且有两边长分别为5和7,第三边长为正整数. (1)请写出一个三角形符合上述条件的第三边长. (2)若符合上述条件的三角形共有n个,求n的值. (3)试求出(2)中这n个三角形的周长为偶数的三角形所占的比例. 22.如果一个三角形的各边长均为整数,周长大于4且不大于10,请写出所有满足条件的三角形的三边长. 23.一个三角形的边长分别为x,x,24﹣2x, (1)求x可能的取值范围; (2)如果x是整数,那么x可取哪些值? 24.已知三角形的三边长分别为2,x﹣3,4,求x的取值范围. 25.三角形的三边长分别为(11﹣2x)m、(2x2﹣3x)cm、(﹣x2+6x﹣2)cm

三角形边角中的边角关系一对一辅导讲义

教学目标 1、了解三角形的概念,掌握分类思想。 2、经历探索三角形中的三条边之间的关系,感受几何学中基本图形的内涵。 3、让学生养成有条理的思考的习惯,以及说理有据的意识,体会三角形三 边关系在现实生活中的实际价值。 重点、难点 了解三角形的分类,弄清三角形三边关系;对两边之差小于第三边的领悟 考点及考试要求 考点1:三角形边与边的关系 考点2:三角形角与角的关系 考点3:三角形边与角的关系 教 学 内 容 第一课时 三角形边角中的边角关系知识梳理 1.以下列各组线段长为边,能组成三角形的是( ) A .1cm ,2cm ,4 cm B .8 crn ,6cm ,4cm C .12 cm ,5 cm ,6 cm D .2 cm ,3 cm ,6 cm 2.等腰三角形的两边长分别为5 cm 和10 cm ,则此三角形的周长是( ) A .15cm B .20cm C .25 cm D .20 cm 或25 cm 3.如图,四边形ABCD 中,AB=3,BC=6,AC=35,AD=2,∠D=90○, 求CD 的长和四边形 ABCD 的面积. 4.三角形中,最多有一个锐角,至少有_____个锐角,最多有______个钝角(或直角),三角形外角 中,最多有______个钝角,最多有______个锐角. 5.两根木棒的长分别为7cm 和10cm ,要选择第三根棒,将它钉成一个三角形框架,那么第三根木棒长xcm 的范围是__________ 三角形边角性质主要的有: 1. 边与边的关系是:任意两边和大于第三边,任意两边差小于第三边,反过来要使三条线段能组成 一个三角形,必须任意两条线段的和都大于第三条线段,即最长边必须小于其他两边和。用式子表示如下: 知识梳理 课前检测

(完整word版)沪科版八年级数学三角形中的边角关系

三角形中的边角关系 知识点 一、 边 1、基本概念(三角形的定义、 边、 顶点、 △、 Rt △) 2、按边对三角形的分类:≠?? ?????? 不等边三角形三角形腰底等腰三角形等边三角形 ☆3、三边关系: (1)任意两边之和大于第三边 (2)任意两边之差小于第三边 验证:两条较短边之和与第三边的关系 二、角 1、基本概念( 内角、外角、∠ ) 2、按角对三角形的分类:???? ???? 锐角三角形斜三角形三角形钝角三角形直角三角形 3、三角形的内角和 (1)三角形三个内角和等于180° (2)直角三角形的两个锐角互余 (3)一个三角形最多3个锐角,最多1个钝角,最多1个直角,最少2个锐角) 三、线 1、中线 (1) 定义 (2) 重心 (3)中线是线段 (4) 表述方法 2、高线 (1)定义 (2)垂心 (3)高是线段,垂线是直线 (4)表示方法 (5)3种高的画法 3、角平分线 (1)定义 (2)外心 (3)画法 (4)表示方法 四、数三角形的个数 (1)图形的形成过程 (2)三角形的大小顺序 (3)按某一条边沿着一定的方向 (4)固定一个顶点,按照一定的顺序不断变换另外两个顶点去数 基础练习 1、图中有____个三角形;其中以AB 为边的三角形有______________;含∠ACB 的三角形有______________;在△BOC 中,OC 的对角是___________;∠OCB 的对边是___________. 2、用集合来表示“用边长把三角形分类”,下面集合正确的是( ) A B C D 3、若三角形的三边长分别为3,4,x -1,则x 的取值范围是_________________________

2020-2021中考数学复习《直角三角形的边角关系》专项综合练习及答案

2020-2021中考数学复习《直角三角形的边角关系》专项综合练习及答案 一、直角三角形的边角关系 1.(6分)某海域有A ,B 两个港口,B 港口在A 港口北偏西30°方向上,距A 港口60海里,有一艘船从A 港口出发,沿东北方向行驶一段距离后,到达位于B 港口南偏东75°方向的C 处,求该船与B 港口之间的距离即CB 的长(结果保留根号). 【答案】. 【解析】 试题分析:作AD ⊥BC 于D ,于是有∠ABD=45°,得到AD=BD=,求出∠C=60°,根据 正切的定义求出CD 的长,得到答案. 试题解析:作AD ⊥BC 于D ,∵∠EAB=30°,AE ∥BF ,∴∠FBA=30°,又∠FBC=75°,∴∠ABD=45°,又AB=60,∴AD=BD= ,∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°,∠ABC=45°, ∴∠C=60°,在Rt △ACD 中,∠C=60°,AD=,则tanC= ,∴CD= =, ∴BC= .故该船与B 港口之间的距离CB 的长为 海里. 考点:解直角三角形的应用-方向角问题. 2.如图,反比例函数() 0k y k x = ≠ 的图象与正比例函数 2y x = 的图象相交于A (1,a ),B 两点,点C 在第四象限,CA ∥y 轴,90ABC ∠=?. (1)求k 的值及点B 的坐标; (2)求tanC 的值.

【答案】(1)2k =,()1,2B --;(2)2. 【解析】 【分析】(1)先根据点A 在直线y=2x 上,求得点A 的坐标,再根据点A 在反比例函数 ()0k y k x = ≠ 的图象上,利用待定系数法求得k 的值,再根据点A 、B 关于原点对称即可求得点B 的坐标; (2)作BH ⊥AC 于H ,设AC 交x 轴于点D ,根据90ABC ∠=? , 90BHC ∠=? ,可得C ABH ∠∠=,再由已知可得AOD ABH ∠∠=,从而得C AOD ∠∠=,求出C tan 即可. 【详解】(1)∵点A (1,a )在2y x =上, ∴a =2,∴ A (1,2), 把A (1,2)代入 k y x = 得2k =, ∵反比例函数()0k y k x = ≠ 的图象与正比例函数 2y x = 的图象交于A ,B 两点, ∴A B 、 两点关于原点O 中心对称, ∴()1 2B --, ; (2)作BH ⊥AC 于H ,设AC 交x 轴于点D , ∵ 90ABC ∠=? , 90BHC ∠=? ,∴C ABH ∠∠=, ∵CA ∥y 轴,∴BH ∥x 轴,∴AOD ABH ∠∠=,∴C AOD ∠∠=, ∴AD 2 2OD 1 tanC tan AOD =∠= ==.

直角三角形边角关系专题复习

页 1 第1讲 解直角三角形专题复习 【知识点梳理】 (一) 三角函数的概念 1、正弦,余弦,正切的概念(及书写规范) 如图,在 ABC Rt ?中,(1)的邻边 的对边 A A A ∠∠= tan = a b (2)斜边 的对边 A A ∠=sin = a c (3)斜边 的邻边A A ∠= cos = b c (二)特殊角的三角函数值 (三)三角函数之间的关系 1、余角关系:在∠A+∠B=90°时 A B C ∠A 的对边 ∠A 的邻边 斜边

页 2 B A cos sin = B A sin cos = 1tan tan =?B A 2、同角关系 sin 2A+cos 2A=1. .cos sin tan A A A = (四)斜坡的坡度 1、仰角、俯角、坡度、坡角和方向角 (1)仰角:视线在水平线上方的角叫仰角. 俯角:视线在水平线下方的角叫俯角. (2)坡度:坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或叫坡比),用字母i 表示. 坡角:坡面与水平面的夹角叫坡角,用α表示,则有i =_tan α 如图所示, l h i ==αtan ,即坡度是坡角的正切值. (3)方向角: 平面上,通过观察点O 作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向),则从O 点出发的视线与水平线或铅锤线所夹的角,叫做观测的方向角. (五)解三角形及其应用 利用(三角函数)解直角三角形解实际应用题的一般步骤: ① 弄清题中名词术语的意义(如俯角、仰角、坡角、方向角等),然后根据题意画出几何图形,建立数学模型; ② 将实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素之间的关系,当有些图形不是直角三角形时,可添加适当的辅助线,把它们分割成直角三角形; ③ 寻求基础直角三角形,并解这个三角形或设未知数进行求解.

三角形边角关系培优训练经典

三角内角与外角典型题 1、①求下图各角度数之和。 ②如图,已知∠BOF=120°,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=__________. 2、如图,BE是∠ABD的平分线,CF是∠ACD的平分线,BE、CF相交于点G,∠BDC=140°,∠BGC=110°。求∠A的 度数。 3、如图△ABC中, ∠BAD=∠CBE=∠ACF, ∠ABC=50°,∠ACB=62°,求∠DFE的大小。 4、△ABC中,AD、BE、CF是角平分线,交点是点G,GH⊥BC。求证:∠BGD=∠CGH. A

2 1 P C B A 5.如图,已知CE 为△ABC 的外角∠ACD 的角平分线,CE 交BA 的延长线于点E , 求证:∠BAC > ∠B 6、△ABC 中,∠A: ∠ABC: ∠ACB=3:4:5,CE 是AB 上的高,∠BHC=135° 求证:BD ⊥AC 7、三角形的最大角与最小角之比是4:1,则最小内角的取值范围是多少? 8.若三角形的三个外角的比是2:3:4,则这个三角形的最大内角的度数是 . 9.如图,在△ABC 中,∠ABC = ∠ACB ,∠A = 40°,P 是△ABC 内一点,且∠1 = ∠2.则∠BPC =________。 10.锐角三角形ABC 中,3条高相交于点H ,若∠BAC =70°,则∠BHC =_______

11、如图,BE平分∠ABD交CD于F,CE平分∠ACD交AB于G,AB、CD交于点O,且∠A=48?,∠D=46?,则∠BEC= 。 12.已知△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点O,则∠BOC一定() A.小于直角 B.等于直角 C.大于直角 D.不能确定 13. △ABC的三条外角平分线所在直线相交构成的三角形是() A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 14、若?ABC的三个内角满足3∠A>5∠B,3∠C<2∠B,则三角形是() A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.都有可能

直角三角形的边角关系(含答案)

学生做题前请先回答以下问题 问题1:在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=________,cosA=________,tanA=________. 问题2:在Rt△ABC中,∠C=90°,锐角A越大,正弦sinA______,余弦cosA______,正切tanA______. 问题3:默写特殊角的三角函数值: 问题4:计算一个角的三角函数值,通常把这个角放在____________中研究,常利用_________或__________两种方式进行处理. 直角三角形的边角关系 一、单选题(共14道,每道7分) 1.式子2cos30°-tan45°-的值是( ) A. B.0 C. D.2 答案:B 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:特殊角的三角函数值 2.如果△ABC中,,则下列说法正确的是( ) A.△ABC是直角三角形 B.△ABC是等腰三角形 C.△ABC是等腰直角三角形 D.△ABC是锐角三角形

答案:A 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:特殊角的三角函数值 3.已知为锐角,且,那么的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案:B 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:锐角三角函数的增减性 4.如图,在Rt△ABC中,tanB=,BC=,则AC等于( )

A.3 B.4 C. D.6 答案:A 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:解直角三角形 5.在平面直角坐标系中,已知点A(2,1)和点B(3,0),则sin∠AOB的值等于( ) A. B. C. D. 答案:A 解题思路:

试题难度:三颗星知识点:锐角三角函数的定义 6.在Rt△ABC中,∠C=90°,若AB=4,,则斜边上的高为( ) A. B. C. D. 答案:B 解题思路:

直角三角形的边角关系专题复习

直角三角形的边角关系测试题 1、在Rt △ABC 中,∠A=90o,AB=6,AC=8,则sinB= ,cosC= 2、在△ABC 中,∠B=90o,2 1 cos =C ,则∠C= 】 3、在△ABC 中,∠C=90o,∠A=60o,AC=34,则BC= 4、在△ABC 中,∠C=90o,BC=3,AB=32,则∠A= 5、在△ABC 中,∠C=90o,若tanA= 2 1 ,则sinA= 6、在△ABC 中,若∠C=90o,∠A=45o,则tanA+sinB= 7、如图1,在△ABC 中,∠C=90o,∠B=30o,AD 是∠BAC 的平分线。已知AB=34, 那么AD= # 8、正方形ABCD 中,AM 平分∠BAC 交BC 于M ,AB=2,BM=1,则cos ∠MAC= 9、如果3)20tan(3=?+α,那么锐角α= 10、某校数学课外活动小组的同学测量英雄纪念碑的高,如图2所示,测得的数据为: BC=42m ,倾斜角o?=30α,测得测角仪高CD=1.5m ,则AB= 。(结果保留四位 有效数字) 11、在△ABC 中,∠C=90o,BC=5,AC=12,则tanA=( ) A 、512 B 、125 C 、513 D 、13 5 12、在Rt △ABC 中,∠C=90o,5 3 cos = A ,AC=6cm ,则BC=( )cm A 、8 B 、 C 、 D 、 ! 13、菱形ABCD 的对角线AC=10cm ,BD=6cm ,那么=2tan A ( ) A 、53 B 、54 C 、34 343 D 、34345 14、已知:如图3,梯形ABCD 中,AD 63864238242 3 23 1,23-1,2 3 --3253500 )3sin 2(3tan 2=-+-A B 5 米 353103?+?+?-?45tan 30cos 230tan 330sin ?-?+? -? - ?60tan 45tan 30sin 160cos 45cos 2226—1为平地 上一幢建筑物与铁塔图,题6-2图为其示意图.建筑物AB 与铁塔CD 都垂直于底面,BD=30m ,在A 点测得D 点的俯角为45°,测得C 点的仰角为60°.求铁塔CD 的高度. … 图6-1 图6-2 图2 a C A E B ) 图1 B C D A 图3 图4 图5

三角形的概念及边角关系

三角形㈠ 一、考点链接 ㈠三角形的分类: 1.按边分: 2. 按角分:锐角三角形,直角三角形,钝角三角形 ㈡三角形中的主要线段: 三角形的中线、高线、角平分线都是____________.(线段、射线、直线) ㈢三角形的性质: 1.三角形中任意两边之和 第三边,两边之差 第三边. 2.三角形的内角和为 180° . 3.外角与内角的关系:⑴ 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 ; ⑵ 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 . 二、课前热身 1. (2011昆明)如图,点D 是△ABC 的边BC 延长线上一点,∠A =70o,∠ACD =105o,则∠B =________.35° 2. 如图在△ABC 中,AD 是高线,AE 是角平分线,AF 是中线. (1) ∠ADC = =90°; (2) ∠CAE = =12 ; (3) CF = =1 2 ; (4) S △ABC = . 3.(07临沂)如图,△ABC 中,∠A =50°,点D 、E 分别在AB 、AC 上,则∠1+∠2的大小为( ) A .130° B .230° C .180° D .310° 4. (2011南通)下列长度的三条线段,不能组成三角形的是 A. 3,8,4 B. 4,9,6 C. 15,20,8 D. 9,15,8 1. (2011济南)(1)如图1,△ABC 中,∠A = 60°,∠B ∶∠C = 1∶5.求∠B 的度数. C B A

2 1 A 三、典例精析 考点一:三角形的边之间的关系 1.以长度5厘米,7厘米,9厘米,13厘米中的三条线段为边能够组成的三角形的个数共有( ) A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 2.在△ABC 中,BC=20,AB=2x ,AC=3x ,则x 的取值范围是 。 3.下面五组线段的长度之比为:①2∶3∶4;②3∶4∶7;③7∶4∶2;④4∶2∶6;⑤7∶10∶2,其中能组成三角形的有 组,它们是 . 4. 若三角形的三边长分别为x-1,x,x+1,则x 的取值范围是 . 5.(2011河北)已知三角形三边长分别为2,x ,13,若x 为正整数,则这样的三角形个数为( ) A .2 B .3 C .5 D .13 6.已知一个三角形的三边的长为5,10,2-a ,则a 的取值范围是 . 7、若三角形中两条边的长分别为4厘米和1厘米,则第三边x 的长的范围是 ;周长l 的范围是 ;若周长为奇数,则第三边的长为 。 考点二:三角形的角之间的关系 1.已知三角形的三个外角的比为2∶3∶4,则这个三角形的三个内角之比为 。 2.一个外角等于它相邻的内角,这个三角形是 三角形;一个外角小于它相邻的内角,这个三角形是 三角形,每个外角都是钝角,这个三角形是 三角形. 3.(2011东营)一副三角板,如图所示叠放在一起,则图中∠α的度数是( ) A . 75 B . 60 C . 65 D . 55 4、如图,∠A=20°,∠C=27°,∠D=45°,则∠ABC= 度。 5、如图,试求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= 。 6. (2011山东济宁,3,3分)若一个三角形三个内角度数的比为2∶7∶4,那么这个三角形是( ) A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 7、如图,已知∠A=∠30°,∠BEF=105°,∠B=20°,则∠D= 。 8.已知:如图,在△ABC 中,∠BAC=900,AD ⊥BC 于D ,AE 平分∠DAC ,∠B=500 ,求∠AEC 的度数. 9、如图,在△ABC 中,D 是BC 边上一点,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=63°.

三角形中的边角关系

三角形基础知识 说明:△ ABC中,角A , B, C的对边分别为a, b, c, p为三角形周长的一半,r为内切圆半径,R为外接圆半径,)h a, h b, %分别为a, b, c边上的高S^ABC表示面积。 1.三角形的定义:三条线段首尾顺次连结所组成的图形,其中各条线段叫做三角形的边,每两条边组成的角叫做三角形的内角(简称三角形的角). 2.三角形的元素:三角形的边、角、中线、高线、角平分线、周长、面积等都叫三角形的元素.3.确定三角形的条件:在三角形的元素中,边和角叫做三角形的基本元素,其中角确定三角形的形状(定形) ,边确定三角形的大小(定量) ,三角形具有稳定性.确定三角形的条件是:已知三角形的三边(SSS)或两边及其夹角(SAS)或两角及其公 共边(ASA )或两角与其中一角的对边(AAS),这也是判断两个三角形全等的主要方法,全等三角形的对应元素都相等.只知三角形的三角大小,不能确定三角形,具有相同大小的三个角的两个三角形是相似关系. 4.三角形的“线”与“心” : (1)高线、垂心. (2)中线、重心及其的性质、坐标公式、向量公式及其物理意义、中线长定理. (3)中垂线、外接圆、外心. (4)内角平分线、内切圆、内心、内角平分线定理. (5)外角平分线、旁切圆、旁心、外角平分线定理. (6)中位线、中位线定理、中点三角形及其性质. 5.三角形的分类: (1)按边的相等情况分:三边不等的三角形、等腰三角形、等边三角形。 (2)按最大角的情况分:锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 6.等腰三角形的判定与性质、四线合一 7.等边三角形的判定与性质、四心合一(中心) 8.三角形元素之间的关系: (1)角与角的关系: ①内角和定理、 ②外角定理 ③角的性质:范围、关系. ④最大角、最小角. ⑤锐角三角形中任两角的和 (2)边与边的关系:两边之和大于第三边,两边之差小于第三边. (“三胞胎” )(3)边与角的关系:(“三胞胎”) ①对边与对角的大小关系:在三角形中,大边所对的角也较大,相等两边所对的角也相等, 反之也真. ②正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦之比都相等,都等于该三角形外接圆的 直径.

2020中考数学专题练习:三角形的边角关系 (含答案)

2020中考数学专题练习:三角形的边角关系 (含答案) 1.已知在△ABC中,∠A=70°-∠B,则∠C=() A.35° B.70° C.110° D.140° 2.已知如图1中的两个三角形全等,则角α的度数是() 图1 A.72° B.60° C.58° D.50° 3.如图2,∠A,∠1,∠2的大小关系是() A.∠A>∠1>∠2 B.∠2>∠1>∠A C.∠A>∠2>∠1 D.∠2>∠A>∠1 图2 图3 4.王师傅用四根木条钉成一个四边形木架,如图3.要使这个木架不变形,他至少还要再钉上几根木条() A.0根B.1根C.2根D.3根 5.下列命题中,真命题的是() A.周长相等的锐角三角形都全等 B.周长相等的直角三角形都全等 C.周长相等的钝角三角形都全等 D.周长相等的等腰直角三角形都全等 6.小华在电话中问小明:“已知一个三角形三边长分别是4,9,12,如何求这个三角形的面积?”小明提示说:“可通过作最长边上的高来求解.”小华根据小明的提示作出的图形正确的是() A B C D

7.不一定在三角形内部的线段是() A.三角形的角平分线B.三角形的中线 C.三角形的高D.三角形的中位线 8.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图3所示,则能说明∠AOC =∠BOC的依据是() A.SSS B.ASA C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等 图3 图4 9.如图4,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=2 cm,CD⊥AB,在AC上取一点E,使EC=BC,过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F,若EF=5 cm,则AE=________cm. 10.如图5,△ABC中,AB=AC,BD⊥AC,CE⊥AB.求证:BD=CE. 图5 11.如图6,点A,B,D,E在同一直线上,AD=EB,BC∥DF,∠C=∠F.求证:AC=EF. 图6

三角形边角关系教案

14.1 三角形中的边角关系(1) -------边的关系 1.三角形的概念 2.三角形的表示方法及分类 3.三角形三边之间的关系 1.了解三角形的概念,掌握分类思想。 2.经历探索三角形中的三条边之间的关系,感受几何学中基本图形的内涵。 3.让学生养成有条理的思考的习惯,以及说理有据的意识,体会三角形三边关系在现实生活中的实际价值。 三教学重难点: 1.重点:了解三角形的分类,弄清三角形三边关系 2.难点:对两边之差小于第三边的领悟 四教学准备: 1.教师准备:多媒体课件 2.学生准备:四根小木条 五课时安排: 一节课 六教学过程: (一)创设情境,探究新知 1.请同学们仔细观察一组图片,找出你熟悉的图形三角形,引入课题 我们在日常生活中几乎随处可见三角形,它简单、有趣,也十分有用。三角形可以帮助我们更好地认识周围的世界,可以帮助我们解决很多实际问题……从这一节课开始我们将学习三角形。 (二)合作交流,探究新知 你能画一个三角形吗? 三角形的概念:由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形 3.自学指导: 认真看书67页的内容。注意三角形边的表示方法。 并思考下面问题: (1)知道三角形的顶点,边,角等概念,会用几何符号表示一个三角形; (2)会把三角形按边进行分类,知道每类三角形的特征;

(3)知道等腰三角形的腰,底边,顶角,底角等概念; 依次向学生介绍有关知识 4.巩固练习(多媒体展示) 5.合作探究三角形的三边关系 有这样的四根小棒(6cm、8cm、12cm、18cm)请你任意的取其中的三根,首尾连接,摆成三角形。 (1)有哪几种取法? (2)是不是任意三根都能摆出三角形?若不是,哪些可以?哪些不可以? (3)用三根什么样的小棒才能拼成三角形呢?你从中发现了什么? 小组活动:学生自主探索并合作交流满足怎样的数量关系的三根小棒能组成三角形; 我们可以发现这四根小棒中,如果较短的两根的和不大于最长的第三根,就不能组成三角形。 这就是说:三角形中任何两边的和大于第三边 三角形中任意两边的差与第三边有什么关系?你能根据上面的结论,利用不等式的性质加以说明吗? 三角形中任何两边的差小于第三边 6.讲解例题 例1 :例:一根木棒长为7,另一根木棒长为2,若要围成三角形,那么则第三根木棒长度应在什么范围呢? 解:设第三条边长为a cm,则 7-2<a<7+2 即5<a<9 结论:其它两边之差< 三角形的一边< 其它两边之和 例2:已知:等腰三角形周长为18cm,如果一边长等于4cm,求另两边的长? 解(1)设等腰三角形的底边长为4 cm,则腰长为x cm。根据题意,得 x+x+4=18 解方程,得 x=7

2020中考数学 几何专项突破:三角形的边角关系(含详解版)

2020中考数学几何专项突破 三角形的边角关系(含答案) 典例探究 例1 如图,△ABC中,AB=AC,∠B=70°,则∠A的度数是()A.70°B.55°C.50°D.40° 例2 如图,已知AB∥CD,∠EBA=45°,∠E+∠D的度数为() A.30° B.60° C.90° D.45° 例3 如果一个三角形的两边长分别为2和4,则第三边长可能是() A.2 B.4 C.6 D.8 巩固练习 1.下列命题中,错误的是: ( ) A.三角形两边之差小于第三边. B.三角形的外角和是360°.

C.三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分. D.等边三角形即是轴对称图形,又是中心对称图形. 2.下面四个结论中,正确的是() A. 三角形的三个内角中最多有一个锐角 B. 等腰三角形的底角一定大于顶角 C. 钝角三角形最多有一个锐角 D. 三角形的三条内角平分线都在三角形内 3.下列说法正确的是() 三角形的角平分线是射线。 B、三角形三条高都在三角形内。 三角形的三条角平分线有可能在三角形内,也可能在三角形外。 D、三角形三条中线相交于一点。 4.如图(1),用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框,不计螺丝大小,其中相邻两螺丝的距离依序为2、3、4、6,且相邻两木条的夹角均可调整。若调整木条的夹角时不破坏此木框,则任两螺丝的距离之最大值为何? (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 10 。 5.若一个三角形三个内角度数的比为2:3:4,那么这个三角形是 A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 6.已知a、b、c为三个正整数,如果a+b+c=12,那么以a、b、c为边能组成的三角形是: ①等腰三角形;②等边三角形;③直角三角形;④钝角三角形.以上符合条件的正确结论是.(只填序号) 7.如图,在中,,是的垂直平分线,交于点,交 于点.已知,则的度数为() A. B. C. D. 8.已知三角形的两边长分别为3cm和8cm,则此三角形的第三边的长可能是() A.4cm B.5cm C.6cm D.13cm 9.下列长度的三条线段能组成三角形的是( ) A.1cm, 2cm, 3.5cm; B.4cm, 5cm, 9cm C.5cm,8cm, 15cm D.6cm,8cm, 9cm Rt ABC △ο 90 = ∠B ED AC AC D BC Eο 10 = ∠BAE C ∠ ο 30ο 40ο 50ο 60 A D C E B

三角形中的边角关系测试卷

《三角形中的边角关系》测试卷 一、选择题 1、三角形的三边分别为3,1-2a,8,则a 的取值范围是( ) -2 2、下列不属于命题的是( ) A.两直线平行,同位角相等; B.如果x 2=y 2 ,则x =y ; C.过C 点作CD ∥EF ; D.不相等的角就不是对顶角。 3、如果三角形的一个内角等于其它两个内角的差,这个三角形是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D. 斜三角形 4、四条线段的长度分别为4、6、8、10,可以组成三角形的组数为( ) .3 5、如图,在长方形网格中,每个小长方形的长为2,宽为1,A 、B 两点在网格格点上,若点C 也在网格格点上,以A 、B 、C 为顶点的三角形面积为2,则满足条件的点C 个数是( ) A .2 B .3 C .4 D . 5 6、一次数学活动课上,小聪将一副三角板按图中方式叠放,则∠α等于( ) A .30° B .45° C .60° D .75° 7、图(五)为一张方格纸,纸上有一灰色三角形,其顶点均位于某两网格线的交点上,若灰色三角形面积为 4 21 平方公分,则此方格纸的面积为多少平方公分? A . 11 B . 12 C . 13 D . 14 8、已知如图,∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°则ΔDFE 等于( ) ° ° ° ° 9、如图,把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上,如果∠1=32°, 那么∠2的度数是( ) A .32° B .58° C .68° D .60° 10、已知:如图,在△ABC 中,∠C=∠ABC=2∠A ,BD 是AC 边的高,则∠DBC=( ) A .10° B .18° C .20° D .30° 11、已知等腰三角形的一个内角为040,则这个等腰三角形的顶角为 ( ) A.0 40 B.0 100 C.0 40或0 100 D.0 70或0 50 二、填空题 A B 30° 45° α 1 2

三角形中边与角之间的不等关系

三角形中边与角之间的不等关系 《三角形中边与角之间的不等关系》教学设计教学目标: 1. 通过 实验探究发现:在一个三角形中边与角之间的不等关系; 2. 通过实验探究和推理论证,发展学生的分析问题和解决问题的能力;通过探索、总结形成利用图形的翻折等变换是解决几何问题常见的策略; 3. 提供动手操作的机会,让学生体验数学活动中充满着探索与创新,激发学生学习几何的兴趣。教学重点:三角形中边与角之间的不等关 系及其探究过程。教学难点:如何从实验操作中得到启示,写成几 何证明的表达。教具准备:三角形纸片数张、剪刀、圆规、三角板等。教学过程一、知识回顾 1. 等腰三角形具有什么性质? 2. 如何判定一个三角形是等腰三角形?从这两条结论来看,今后要在同 一个三角形中证明两个角相等,可以先证明它们所对的边相等;同样要证明两条边相等可以先证明它们所对的角相等。二、引入新课问题:在三角形中不相等的边所对的角之间又有怎样的大小关系呢?或者不相等的角所对的边之间大小关系又怎样?方法回顾:在探究 “等边对等角”时,我们采用将三角形对折的方式,发现了“在三角形中相等的边所对的角相等”,从而利用三角形的全等证明了这些性质。现在请大家拿出三角形的纸片用类似的方法探究今天的问题。三.探究新知实验与探究1:在△ABC中,如果AB>AC,那么我们可以将△ABC沿∠BAC的平分线AD折叠,使点C落在AB边上的点E处,即AE=AC,这样得到∠AED=∠C,再利用∠AED是△BDE的外角的关系得到∠AED>∠B,从而得到∠C>∠B。由上面的操作过程得到启示, 请写出证明过程。(提示:作∠BAC的平分线AD,在AB边上取点E,使AE=AC,连结DE。)形成结论1:在一个三角形中,如果两条边不等,那么它们所对的角也不等,大边所对的角较大。思考:是否还 有不同的方法来证明这个结论? 实验与探究2:在△ABC中,如果∠C>∠B,那么我们可以将△ABC沿BC的垂直平分线MN折叠,使点B落在点C上,即∠MCN=∠B,于是MB=MC,这样AB=AM+MB=AM+MC>AC. 由上面的操作过程得到启示,请写出证明过程。 形成结论2:在一个三角形中,如果两个角不等,那么它们所对的边

三角形边角关系专项练习

三角形边角关系及三线练习题 典型例题 【例1】 已知三角形的三边长分别为4、5、x ,则x 不可能是( ) A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 1. 【例2】 一个三角形的三条边中有两条边相等,且一边长为4,还有一边长为9,则它 的周长为( ) A. 17 B. 22 C. 17或22 D. 13 相关变形:一等腰三角形两边长分别为3,5,试求该三角形的周长。 等腰三角形中,一个角为50°,则这个等腰三角形的顶角的度数为( ) A.150° B.80° C.50°或80° D.70° 【例3】 如图SX —02,AD ⊥BC ,则图中以AD 为高的三角形有___________个。 【例4】 如图SX —03,已知线段AD 、AE 分别是△ABC 的中线和高线,且AB=5cm ,AC=3cm , (1) △ABD 与△ACD 的周长之差为_________;(2) △ABD 与△ACD 的面积关系为__________。 【例5】 已知△ABC 中,给出下列四个条件:(1) ∠A+∠B=∠C; (2) ∠A=90°-∠B; (3) ∠A :∠B :∠C=1:1:2; (4) ∠A :∠B :∠C=1:2:3. 其中能够判定△ABC 是直角三角形的有( )个。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【例6】 如图SX —04,Rt △ABC 中,∠ACB=90°,CD 是AB 边上的高,AB=13cm ,BC=12cm ,AC=5cm ,求:(1) △ABC 的面积; (2) CD 的长。 【例7】 如图SX —05,△ABC 中,∠B 、∠C 的平分线交于点P ,且∠BPC=130°,求∠ BAC SX — 02 SX —03 SX — 04

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