匈牙利算法

匈牙利算法是一种用于在多项式时间内解决任务分配问题的组合优化算法，它推广了后来的原始对偶方法。美国数学家哈罗德·库恩（Harold Kuhn）于1955年提出了该算法。该算法之所以称为匈牙利算法，是因为该算法的很大一部分是基于前匈牙利数学家DéNESK?nig和Jen?egerváry的工作。

概念

在介绍匈牙利算法之前，我想介绍一些概念。接下来的M是G 的匹配项。

如果是，则边缘已经在匹配的M上。

M交织路径：P是G的路径。如果P中的边缘是属于m的边缘，而不属于m但属于G的边缘是交替的，则p是M交织的路径。例如：路径。

M饱和点：例如，如果V与M中的边相关联，则称V为m饱和，否则V为非m饱和。如果它们全部属于m饱和点，则其他点都属于非m饱和点。

M扩展路径：P是m隔行扫描路径。如果P的起点和终点均为非m饱和点，则p称为m增强路径。例如（不要与流网络中的扩展路径混淆）。

寻找最大匹配数的一种显而易见的算法是先找到所有匹配项，然后保留匹配数最大的匹配项。但是该算法的时间复杂度是边数的指数函数。因此，我们需要找到一种更有效的算法。本文介绍了一种使用扩展路径查找最大匹配的方法（称为匈牙利算法，由匈牙利的

Edmonds于1965年提出）。

增强导轨（也称为增强导轨或交错导轨）的定义

如果P是连接图G中两个不匹配顶点的路径，并且属于m和不属于m的边缘（即，匹配边缘和待匹配边缘）在P上交替，则p称为相对于M.

从增强路径的定义可以得出三个结论

（1）P的路径数必须为奇数，并且第一个边缘和最后一个边缘都不属于M。

（2）通过将m和P取反可以获得更大的匹配度。

（3）当且仅当没有M的增强路径时，M是G的最大匹配。

算法概述：

（1）将M设置为null

（2）通过XOR操作找到扩展路径P并获得更大的匹配项而不是m

（3）重复（2），直到找不到增强路径

二分图的最大匹配完美匹配和匈牙利算法

二分图的最大匹配完美匹配和匈牙利算法 匈牙利算法是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出，因而得名。匈牙利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想，它是二部图匹配最常见的算法，该算法的核心就是寻找增广路径，它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。这篇文章讲无权二分图（unweighted bipartite graph）的最大匹配（maximum matching）和完美匹配（perfect matching），以及用于求解匹配的匈牙利算法（Hungarian Algorithm）；不讲带权二分图的最佳匹配。二分图：简单来说，如果图中点可以被分为两组，并且使得所有边都跨越组的边界，则这就是一个二分图。准确地说：把一个图的顶点划分为两个不相交集U 和V ，使得每一条边都分别连接U、V 中的顶点。如果存在这样的划分，则此图为一个二分图。二分图的一个等价定义是：不含有「含奇数条边的环」的图。图 1 是一个二分图。为了清晰，我们以后都把它画成图 2 的形式。匹配：在图论中，一个「匹配」（matching）是一个边的集合，其中任意两条边都没有公共顶点。例如，图3、图4 中红色的边就是图 2 的匹配。我们定义匹配点、匹配边、未匹配点、非匹配边，它们的含义非常显然。例如图 3 中1、4、5、7 为匹配点，其他顶点为未匹配点；1-5、4-7为匹配边，其他边为非匹配边。最大匹配：一个图所有匹配中，所含匹

配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配。图 4 是一个最大匹配，它包含4 条匹配边。完美匹配：如果一个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是一个完美匹配。图 4 是一个完美匹配。显然，完美匹配一定是最大匹配（完美匹配的任何一个点都已经匹配，添加一条新的匹配边一定会与已有的匹配边冲突）。但并非每个图都存在完美匹配。举例来说：如下图所示，如果在某一对男孩和女孩之间存在相连的边，就意味着他们彼此喜欢。是否可能让所有男孩和女孩两两配对，使得每对儿都互相喜欢呢？图论中，这就是完美匹配问题。如果换一个说法：最多有多少互相喜欢的男孩/女孩可以配对儿？这就是最大匹配问题。基本概念讲完了。求解最大匹配问题的一个算法是匈牙利算法，下面讲的概念都为这个算法服务。交替路：从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边…形成的路径叫交替路。增广路：从一个未匹配点出发，走交替路，如果途径另一个未匹配点（出发的点不算），则这条交替路称为增广路（agumenting path）。例如，图5 中的一条增广路如图6 所示（图中的匹配点均用红色标出）：增广路有一个重要特点：非匹配边比匹配边多一条。因此，研究增广路的意义是改进匹配。只要把增广路中的匹配边和非匹配边的身份交换即可。由于中间的匹配节点不存在其他相连的匹配边，所以这样做不会破坏匹配的性质。交换后，图中的匹配边数

用改进的匈牙利算法求解运输问题

用改进的匈牙利算法求解运输问题 李雪娇，于洪珍 中国矿业大学信电学院，江苏徐州 (221008) Email ：liaohuchushan@https://www.sodocs.net/doc/9e15456580.html, 摘 要：本文提出用改进的匈牙利算法求解运输问题。此算法不但可以直接求取最优解，而且在运量受限制的运输问题中有很好的应用。 关键词：改进，匈牙利算法，运输问题，最优解 0. 引言 在现实生活中，我们常常会遇到许多运输问题。运输问题的求解多采用表上作业法。在此方法中，我们需要先利用最小元素法或西北角法求出一组基本可行解，再对此解检验其最优性。若此解非最优解，则又要进行解的改进。这一过程比较麻烦，尤其对一些结构不太大的模型，编程时往往过于繁琐。 同时，经典运输问题在实际应用中有很大的局限性, 对一些运输量受限制或运输能力受限制的运输问题，我们无法用表上作业法直接求取。在此，我们采用改进的匈牙利算法处理这类运输问题。为了便于描述，设物资供应量12[...]m A a a a =，物资需求量12[...]n B b b b =，从到i A j B 的单物的物资运价，最小运输量 (假设m )。 i j C i j L n >1. 匈牙利算法[1][4] 匈牙利算法的基本思想是修改效益矩阵的行和列，使得每行和每列中至少有一个零元素。经过一定的变换，得到不同行、不同列只有一个零元素。从而得到一个与这些零元素相匹配的完全分配方案。这种方法总是在有限步内收敛于一个最优解。该方法的理论基础是：在效益矩阵的任何行或列中，加上或减去一个常数后不会改变最优解的分配。求解步骤如下： 第一步：使指派问题的系数矩阵经变换后，在各行各列中都出现零元素，即从系数矩阵的每行（或列）元素中减去该行（或列）的最小元素。 第二步：寻求找n 个独立的零元素，以得到最优解：（1）从只有一个0元素的行（或列）开始，对这个0元素加圈，记为θ。然后划去此元素所在列（或行）的其他0元素，记作?。反复进行，直到所有的0元素被划完。（2）若仍有没有划圈的0元素，则从剩有0元素最少的行开始，比较这行0元素所在各列中0元素的数目，选择0元素少的那列的0元素加圈θ，然后划掉同行同列的其他0元素，反复进行直到所有的0元素被划掉或圈出。 （3）若元素的数目m 等于矩阵的阶数，那么指派问题的最优解已得到。若m ，则转入下一步。 n n <第三步：作最少的直线覆盖所有0元素，以确定该系数矩阵中能找到最多的独立元素数：若l ，必须再变换当前的系数矩阵，才能找到个独立的0元素，为此转第四步；若l ，而，应回到第二步（2），另行试探。 n

二分图匹配(匈牙利算法和KM算法)

前言： 高中时候老师讲这个就听得迷迷糊糊，有一晚花了通宵看KM的Pascal代码，大概知道过程了，后来老师说不是重点，所以忘的差不多了。都知道二分图匹配是个难点，我这周花了些时间研究了一下这两个算法，总结一下 1.基本概念 M代表匹配集合 未盖点：不与任何一条属于M的边相连的点 交错轨：属于M的边与不属于M的边交替出现的轨（链） 可增广轨：两端点是未盖点的交错轨 判断M是最大匹配的标准：M中不存在可增广轨 2.最大匹配，匈牙利算法 时间复杂度：O(|V||E|) 原理： 寻找M的可增广轨P，P包含2k+1条边，其中k条属于M，k+1条不属于M。修改M 为M&P。即这条轨进行与M进行对称差分运算。 所谓对称差分运算，就是比如X和Y都是集合，X&Y=(X并Y)-(x交Y) 有一个定理是：M&P的边数是|M|+1，因此对称差分运算扩大了M 实现： 关于这个实现，有DFS和BFS两种方法。先列出DFS的代码，带注释。这段代码来自中山大学的教材

核心部分在dfs(x)，来寻找可增广轨。如果找到的话，在Hungarian()中，最大匹配数加一。这是用了刚才提到的定理。大家可以想想初始状态是什么，又是如何变化的 view plaincopy to clipboardprint?

第二种方法BFS，来自我的学长cnhawk 核心步骤还是寻找可增广链，过程是： 1.从左的一个未匹配点开始，把所有她相连的点加入队列 2.如果在右边找到一个未匹配点，则找到可增广链 3.如果在右边找到的是一个匹配的点，则看它是从左边哪个点匹配而来的，将那个点出发的所有右边点加入队列 这么说还是不容易明白，看代码吧

二分图的最大匹配经典之匈牙利算法

Doctor的图论计划之——二分图最大匹配 第一讲二分图的最大匹配经典之匈牙利算法 二分图，顾名思义就是分成了两个部分的图……很白痴的解释（自己吐槽了先），但吐槽的同时我们也要发现一些二分图的基本性质！ 性质1 二分图之所以分成了两个部分，那是因为单独的一个部分中的任意两点不连通！ 性质2 二分图匹配——匈牙利算法中我们只需记录集合1到集合2的单向边就可以了（注意看上边的图，箭头是单向的）思考这是为什么！ 但是！二分图确实是无向图！！！只不过匈牙利算法只是从一个集合另一个集合走一遍罢了！！！！ 性质3 树是一种特殊的二分图！ 紫色的结点构成集合1，绿色的结点构成集合2，换句话说，儿子和爸爸打仗时爷爷和

孙子站在同一战线！（也可以认为是儿子和爸妈吵架时总是爷爷奶奶护着，小时候有这样的记忆没有？反正我没有！） PS：树就是无回路懂不？ 性质3 对于任意二分图，其包含的环一定全部是偶环！（充要可证） 可以证明，含有奇数条边的环一定有两个在相同集合内的点有边相连！ 也就是说——二分图的bfs子树一定不含奇环！ 接下来说一下二分图求最大匹配的算法——匈牙利算法 【例1】传说中的多米诺骨牌覆盖问题 在一个n*m的棋盘上，摆放一些1*2大小的多米诺骨牌，但棋盘某些地方是坏 掉的，即不能将骨牌置于这些坏掉的格子上，求最多能摆上的骨牌数量 【例2】传说中的猎人打鸟问题 猎人要在n*n的格子里打鸟,他可以在某一行中打一枪,这样此行中的所有鸟都被 打掉，也可以在某一列中打,这样此列中的所有鸟都打掉.问至少打几枪,才能打光 所有的鸟？ 【例3】传说中的搞对象问题 一保守教师想带学生郊游, 却怕他们途中谈恋爱,他认为满足下面条件之一的两 人谈恋爱几率很小: (1)身高差>40 (2) 性别相同(3) 爱好不同类型的音乐(4) 爱好同类型的运动 告诉你每个同学的信息，问老师最多能带多少学生？ 这样的问题如何解决？搜索？怎么搜？会不会超时？答案很简单，三道题中的元素都可以用很简单的方式分成两个互不相干的部分，因此可以用二分图匹配来解决这个问题：形象的说，我们规定搞基和百合都是不允许的，已知一群男人和女人，他们可以看做图中的顶点，男人构成了集合A,女人构成了集合B，边表示这名男人和这名女人互相有好感（可以配成一对）不考虑个人因素，现在希望为这些饥渴的男男女女找到最多的配对数（脚踏两只船也是不允许的！）为了解决这样的问题我们才引入了二分图的匹配算法——匈牙利算法！ 匈牙利算法是一种用增广路求二分图最大匹配的算法。它由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出，因而得名。 如果暴搜的话那么无疑时间复杂度将成为O（2^E）！无法快速实现，于是我们就提出了更为高效的算法，这种算法是从网络流演变而来，但这里我们抛开所有网络流的知识，但从这一算法的角度来进行阐释！ 解释一些常用的名词 交错轨：所谓交错轨，还有一种更为文雅的说法叫增广轨，这种说法让人不禁联想到蛋疼的网络流算法，所以我更喜欢用一种与网络流无关的说法来称呼它，下面我们来举几个交错轨的例子：

匈牙利算法

匈牙利算法是一种在多项式时间内求解任务分配问题的组合优化算法，并推动了后来的原始对偶方法。美国数学家哈罗德·库恩于1955年提出该算法。此算法之所以被称作匈牙利算法，是因为算法很大一部分是基于以前匈牙利数学家Dénes K?nig和Jen? Egerváry的工作之上创建起来的。 匈牙利算法是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出，因而得名。匈牙利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想，它是部图匹配最常见的算法，该算法的核心就是寻找增广路径，它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。 二分图： 二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为一个二分图。图一就是一个二分图。 匈牙利算法： 匈牙利算法是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出，因而得名。匈牙利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想，它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。 Hall定理： 二部图G中的两部分顶点组成的集合分别为X, Y; X={X1, X2, X3,X4, .........,Xm}, Y={y1, y2, y3, y4 , .........,yn}, G中有一组无公共点的边，一端恰好为组成X的点的充分必要条件是：X中的任意k个点至少与Y中的k个点相邻。（1≤k≤m) 匹配： 给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。图一中红线为就是一组匹配。 未盖点： 设Vi是图G的一个顶点，如果Vi 不与任意一条属于匹配M的边相关联，就称Vi 是一个未盖点。如图一中的a 3、b1。

可以直接用的匈牙利算法

将xyl程序存入M文件，在matlab中先写入邻接矩阵marix，而后再写function [z,ans]=xyl(marix) 回车得出结果 程序文件 xyl.m function [z,ans]=xyl(marix) %输入效率矩阵 marix 为方阵; %若效率矩阵中有 M,则用一充分大的数代替; %输出z为最优解，ans为最优分配矩阵； %////////////////////////////////////////////////// a=marix; b=a; %确定矩阵维数 s=length(a); %确定矩阵行最小值，进行行减 ml=min(a'); for i=1:s a(i,:)=a(i,:)-ml(i); end %确定矩阵列最小值，进行列减 mr=min(a); for j=1:s a(:,j)=a(:,j)-mr(j); end % start working num=0; while(num~=s) %终止条件是“（0）”的个数与矩阵的维数相同 %index用以标记矩阵中的零元素，若a(i,j)=0，则index(i,j)=1,否则index(i,j)=0 index=ones(s); index=a&index; index=~index; %flag用以标记划线位，flag=0 表示未被划线， %flag=1 表示有划线过，flag=2 表示为两直线交点 %ans用以记录 a 中“（0）”的位置 %循环后重新初始化flag,ans flag = zeros(s); ans = zeros(s); %一次循环划线全过程，终止条件是所有的零元素均被直线覆盖， %即在flag>0位,index=0 while(sum(sum(index))) %按行找出“（0）”所在位置，并对“（0）”所在列划线， %即设置flag,同时修改index,将结果填入ans for i=1:s t=0;

匈牙利算法

匈牙利算法(Edmonds算法)步聚： (1)首先用（*）标记X中所有的非M顶点，然后交替进行步骤（2），（3）。 (2)选取一个刚标记（用（*）或在步骤（3）中用（y i）标记）过的X中顶点，例如顶点x ，如果x i与y为同一非匹配边的两端点，且在本步骤中y尚未被标记过,则用（x i）i 去标记Y中顶点y。重复步骤(2)，直至对刚标记过的X中顶点全部完成一遍上述过程。 (3)选取一个刚标记（在步骤(2)中用(x i)标记）过的Y中结点，例如y i，如果y i与x为 同一匹配边的两端点，且在本步骤中x尚未被标记过，则用(y i)去标记X中结点x。 重复步骤(3)，直至对刚标记过的Y中结点全部完成一遍上述过程。 (2),(3)交替执行，直到下述情况之一出现为止： (I)标记到一个Y中顶点y，它不是M顶点。这时从y出发循标记回溯，直到（*）标 记的X中顶点x，我们求得一条交替链。设其长度为2k+1，显然其中k条是匹配 边，k+1条是非匹配边。 (II)步骤(2)或(3)找不到可标记结点，而又不是情况(I)。 (4)当(2),(3)步骤中断于情况(I)，则将交替链中非匹配边改为匹配边，原匹配边改为非 匹配边(从而得到一个比原匹配多一条边的新匹配)，回到步骤(1)，同时消除一切现有 标记。 (5)对一切可能,(2)和(3)步骤均中断于情况(II),或步骤(1)无可标记结点,算法终止 (算法找不到交替链). 以上算法说穿了，就是从二分图中找出一条路径来，让路径的起点和终点都是还没有匹配过的点，并且路径经过的连线是一条没被匹配、一条已经匹配过交替出现。找到这样的路径后，显然路径里没被匹配的连线比已经匹配了的连线多一条，于是修改匹配图，把路径里所有匹配过的连线去掉匹配关系，把没有匹配的连线变成匹配的，这样匹配数就比原来多1个。不断执行上述操作，直到找不到这样的路径为止。 下面给出此算法的一个例子：

算法学习：图论之用匈牙利算法求二分图的最大匹配

用匈牙利算法求二分图的最大匹配 什么是二分图，什么是二分图的最大匹配，这些定义我就不讲了，网上随便都找得到。二分图的最大匹配有两种求法，第一种是最大流（我在此假设读者已有网络流的知识）；第二种就是我现在要讲的匈牙利算法。这个算法说白了就是最大流的算法，但是它跟据二分图匹配这个问题的特点，把最大流算法做了简化，提高了效率。匈牙利算法其实很简单，但是网上搜不到什么说得清楚的文章。所以我决定要写一下。 最大流算法的核心问题就是找增广路径（augment path）。匈牙利算法也不例外，它的基本模式就是： 可见和最大流算法是一样的。但是这里的增广路径就有它一定的特殊性，下面我来分析一下。 （注：匈牙利算法虽然根本上是最大流算法，但是它不需要建网络模型，所以图中不再需要源点和汇点，仅仅是一个二分图。每条边也不需要有方向。） 图1 图2 图1是我给出的二分图中的一个匹配：［1，5］和［2，6］。图2就是在这个匹配的基础上找到的一条增广路径：3->6->2->5->1->4。我们借由它来描述一下二分图中的增广路径的性质： (1)有奇数条边。 (2)起点在二分图的左半边，终点在右半边。 (3)路径上的点一定是一个在左半边，一个在右半边，交替出现。（其实二分图的性质就决定了这一点，因为二分图同一边的点之间没有边相连，不要忘记哦。） (4)整条路径上没有重复的点。 (5)起点和终点都是目前还没有配对的点，而其它所有点都是已经配好对的。（如图1、图2所示，［1，5］和［2，6］在图1中是两对已经配好对的点；而起点3和终点4目前还没有与其它点配对。） (6)路径上的所有第奇数条边都不在原匹配中，所有第偶数条边都出现在原匹配中。（如图1、图2所示，原有的匹配是［1，5］和［2，6］，这两条配匹的边在图2给出的增广路径中分边是第2和第4条边。而增广路径的第1、3、5条边都没有出现在图1给出的匹配中。） (7)最后，也是最重要的一条，把增广路径上的所有第奇数条边加入到原匹配中去，并把增广路径中的所有第偶数条边从原匹配中删除（这个操作称为增广路径的取反），则新的匹配数就比原匹配数增加了1个。（如图2所示，新的匹配就是所有蓝色的边，而所有红色的边则从原匹配中删除。则新的匹配数为3。） 不难想通，在最初始时，还没有任何匹配时，图1中的两条灰色的边本身也是增广路径。因此在这张二分图中寻找最大配匹的过程可能如下： (1)找到增广路径1->5，把它取反，则匹配数增加到1。 (2)找到增广路径2->6，把它取反，则匹配数增加到2。 (3)找到增广路径3->6->2->5->1->4，把它取反，则匹配数增加到3。 (4)再也找不到增广路径，结束。 当然，这只是一种可能的流程。也可能有别的找增广路径的顺序，或者找到不同的增广路径，最终的匹配方案也可能不一样。但是最大匹配数一定都是相同的。 对于增广路径还可以用一个递归的方法来描述。这个描述不一定最准确，但是它揭示了寻找增广路径的一般方法：“从点A出发的增广路径”一定首先连向一个在原匹配中没有与点A配对的点B。如果点B在原匹配中没有与任何点配对，则它就是这条增广路径的终点；反之，如果点B已与点C配对，那么这条增广路径就是从A到B，再从B 到C，再加上“从点C出发的增广路径”。并且，这条从C出发的增广路径中不能与前半部分的增广路径有重复的点。 比如图2中，我们要寻找一条从3出发的增广路径，要做以下3步： (1)首先从3出发，它能连到的点只有6，而6在图1中已经与2配对，所以目前的增广路径就是3->6->2再加上从2出发的增广路径。 (2)从2出发，它能连到的不与前半部分路径重复的点只有5，而且5确实在原匹配中没有与2配对。所以从2连到5。

图的匹配——匈牙利算法与KM算法

图的匹配 一、什么是图的匹配 1.图的定义 无向图：无向图G 是指非空有限集合V G ，和V G 中某些元素的无序对的集合E G ，构成的二元组(V G ，E G )。V G 称为G 的顶点集，其中的元素称为G 的顶点。E G 称为G 的边集，其中的元素称为G 的边。在不混淆的情况下，有时记V ＝V G ，E ＝E G 。如果V ＝{v 1,…,v n }，那么E 中的元素e 与V 中某两个元素构成的无序对(v i ，v j )相对应，记e ＝v i v j ，或e ＝v j v i 。在分析问题时，我们通常可以用小圆圈表示顶点，用小圆圈之的连线表示边。 二分图：设G 是一个图。如果存在V G 的一个划分X ，Y ，使得G 的任何一条边的一个端点在X 中，另一个端点在Y 中，则称G 为二分图，记作G ＝(X ，Y ，E)。如果G 中X 的每个顶点都与Y 的每个顶点相邻，则称G 为完全二分图。 2.匹配的相关概念 设G ＝(V ，E)是一个图，E M ?，如果M 不含环且任意两边都不相邻，则称M 为G 的一个匹配。G 中边数最多的匹配称为G 的最大匹配。 对于图G ＝(V ，E)，在每条边e 上赋一个实数权w(e)。设M 是G 的一个匹配。定义∑∈=m e e w M w )()(，并称之为匹配M 的权。G 中权最大的匹配称为G 的最大权匹配。如果 对一切，e ∈E ，w(e)=1,则G 的最大权匹配就是G 的最大匹配。 设M 是图G=(V ,E)的一个匹配，v i ∈V 。若v i 与M 中的边相关联，则称v i 是M 饱和点，否则称v i 为M 非饱和点。 如果G 中每个顶点都是M 饱和点，则称M 为G 的完美匹配。 设M 是G 的一个匹配，P 是G 的一条链。如果P 的边交替地一条是M 中的边，一条不是M 中的边，则称P 为M 交错链。类似地，我们可以定义G 的交错圈。易知，G 的交错圈一定是偶圈。 一条连接两个不同的M 非饱和点的M 交错链称为M 增广链。 两个集合S 1与S 2的“异或”操作S 1⊕S 2是指集合S 1⊕S 2＝（S 1∩S 2）\（S 1∪S 2） 容易看出，设M 是G 的匹配，P 是G 中的M 增广链、则M ⊕P 也是G 的匹配，而且1+=⊕M P M 。 图表 1 “异或”操作 可以证明，G 中匹配M 是最大匹配当且仅当G 中没有M 增广链。

匈牙利算法的MATLAB代码

程序文件 fenpei.m function [z,ans]=fenpei(marix) %////////////////////////////////////////////////// %输入效率矩阵 marix 为方阵; %若效率矩阵中有 M,则用一充分大的数代替; %输出z为最优解，ans为最优分配矩阵； %////////////////////////////////////////////////// a=marix; b=a; %确定矩阵维数 s=length(a); %确定矩阵行最小值，进行行减 ml=min(a'); for i=1:s a(i,:)=a(i,:)-ml(i); end %确定矩阵列最小值，进行列减 mr=min(a); for j=1:s a(:,j)=a(:,j)-mr(j); end % start working num=0; while(num~=s) %终止条件是“（0）”的个数与矩阵的维数相同 %index用以标记矩阵中的零元素，若a(i,j)=0，则index(i,j)=1,否则index(i,j)=0 index=ones(s); index=a&index; index=~index; %flag用以标记划线位，flag=0 表示未被划线， %flag=1 表示有划线过，flag=2 表示为两直线交点 %ans用以记录 a 中“（0）”的位置 %循环后重新初始化flag,ans flag = zeros(s); ans = zeros(s); %一次循环划线全过程，终止条件是所有的零元素均被直线覆盖， %即在flag>0位,index=0 while(sum(sum(index))) %按行找出“（0）”所在位置，并对“（0）”所在列划线， %即设置flag,同时修改index,将结果填入ans for i=1:s t=0; l=0; for j=1:s if(flag(i,j)==0&&index(i,j)==1)

匈牙利算法

匈牙利算法是一种组合优化算法，可以在多项式时间内解决任务分配问题，并在以后推广原始的对偶方法。美国数学家哈罗德·库恩（Harold Kuhn）在1955年提出了该算法。该算法之所以称为匈牙利算法，是因为它很大程度上是基于前匈牙利数学家Denes K nig和Jen Egervary的工作。 假设它是无向图。如果顶点集V可以分为两个不相交的子集，则在该子集中选择具有最大边数的子集称为图的最大匹配问题。 如果存在匹配项和匹配项数，则该匹配项称为完美匹配项，也称为完全匹配项。称为完美匹配时的特殊。 在介绍匈牙利算法之前，只有几个概念，M是G的匹配项。 如果，则边缘已经在匹配的M上。 M交错的路径：P是G的路径。如果P中的边是属于M的边和不属于M而是属于G的边交替，则称P为M交错的路。如：路径，。 M饱和点：例如，如果V与M中的边关联，则V为m饱和点；否则，V为非M饱和点。例如，它们都属于M饱和点，而其他所有点都属于非M饱和点。 M扩展路径：P是M交错的路径。如果P的起点和终点均为非M饱和点，则P称为m增强路径。例如（不要与流网络中的增强路径混淆）。 寻找最多匹配项的一种明显算法是找到所有匹配项，然后保留最多匹配项。但是该算法的时间复杂度是边数的指数函数。因

此，我们需要找到一种更有效的算法。下面介绍使用增强路径查找最大匹配的方法（称为匈牙利算法，由匈牙利数学家爱德蒙兹（Edmonds）于1965年提出）。 增强轨道（也称为增强轨道或交错轨道）的定义： 如果P是连接图G中两个不匹配顶点的路径，并且属于M的边和不属于M的边（即已匹配和待匹配）在P上交替，则称P为扩充路径相对于M 从增强路径的定义可以得出以下三个结论： （1）到P的路径数必须是奇数，并且第一个边缘和最后一个边缘都不属于M。 （2）通过将M和P取反可以获得更大的匹配度。 （3）当且仅当没有M的增加路径时，M是G的最大匹配。 算法简介： （1）令M为空 （2）通过异或运算找到增强路径P并获得更大的匹配项而不是M （3）重复（2），直到找不到扩展路径。 时间复杂度邻接矩阵：最差的是邻接表： 空间复杂度的邻接矩阵：邻接表：

匈牙利算法

匈牙利算法： 匈牙利算法是一种在多项式时间内求解任务分配问题的组合优化算法，并推动了后来的原始对偶方法。美国数学家哈罗德·库恩于1955年提出该算法。此算法之所以被称作匈牙利算法，是因为算法很大一部分是基于以前匈牙利数学家DénesK?nig和Jen?Egerváry 的工作之上创建起来的。 设G=(V,E)是一个无向图。如顶点集V可分割为两个互不相交的子集V1，V2，选择这样的子集中边数最大的子集称为图的最大匹配问题（maximalmatchingproblem)。 果一个匹配中，|V1|≤|V2|且匹配数|M|=|V1|，则称此匹配为完全匹配，也称作完备匹配。特别的当|V1|=|V2|称为完美匹配。 作用： 解决指派问题。所谓的指派问题就比如：甲乙丙三个人去做ABC 三件事情。每个人做每件事情所花的时间可能不一样。每个人只能安排一件事情，问怎样安排才能使三个人所工作的时间之和最小？ 扩展成n个人n件事也可以，但要求是： 事情数和人数一样多 每人只能做一件事 这样的问题就称作指派问题 匈牙利算法就是解决这样的问题的。 步骤概括： 每行减去此行最小数

判断是否达到算法目标，如未达到算法目标，继续下一步。否则结束。 横纵交替，从行开始。找出所有还没有选中0的行（具体见步骤实例），在此行后面打钩；把此行中有0的列全打钩。在打钩的列中，如果有零，又在有0的行打钩，如此交替，直到不能再打钩。 在没有打钩的行和打钩的列上划线，会得到发现所有的0已经被划去，如果没有划去，请检查前面的步骤。此时剩下的所有元素中，找到最小值，就记为min吧。 在第4步画线的行减去min（此时原来的0变成-min)，再在画线的列加上min(此时矩阵中没有了负数）。回到第2步。

匈牙利算法

匈牙利算法 匈牙利算法是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出，因而得名。匈牙利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想，它是部图匹配最常见的算法，该算法的核心就是寻找增广路径，它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。 在介绍匈牙利算法之前还是先提一下几个概念，下面M是G的一个匹配。 M-交错路:p是G的一条通路，如果p中的边为属于M中的边与不属于M但属于G中的边交替出现，则称p是一条M-交错路。如:路径(X3,Y2,X1,Y4)，(Y1,X2,Y3)。 M-饱和点:对于v∈V(G)，如果v与M中的某条边关联，则称v 是M-饱和点，否则称v是非M-饱和点。如X1，X2，Y1，Y2都属于M-饱和点，而其它点都属于非M-饱和点。 M-可增广路:p是一条M-交错路，如果p的起点和终点都是非M-饱和点，则称p为M-可增广路。如(X3,Y2,X1,Y4)。(不要和流网络中的增广路径弄混了) 求最大匹配的一种显而易见的算法是:先找出全部匹配，然后保留匹配数最多的。但是这个算法的时间复杂度为边数的指数级函数。因此，需要寻求一种更加高效的算法。下面介绍用增广路求最大匹配的方法(称作匈牙利算法，匈牙利数学家Edmonds于1965年提出)。

增广路的定义(也称增广轨或交错轨): 若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径，并且属于M的边和不属于M的边(即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现，则称P为相对于M的一条增广路径。 由增广路的定义可以推出下述三个结论: 1-P的路径个数必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于M。 2-将M和P进行取反操作可以得到一个更大的匹配M'。 3-M为G的最大匹配当且仅当不存在M的增广路径。 算法轮廓: ⑴置M为空 ⑵找出一条增广路径P，通过异或操作获得更大的匹配M'代替M ⑶重复⑵操作直到找不出增广路径为止 折叠

运筹学中匈牙利算法解题步骤

运筹学中匈牙利算法解题步骤 解题步骤： 指派问题是0-1 规划的特例，也是运输问题的特例，当然可用整数规划，0-1 规划或运输问题的解法去求解，这就如同用单纯型法求解运输问题一样是不合算的。利用指派问题的特点可有更简便的解法，这就是匈牙利法，即系数矩阵中独立 0 元素的最多个数等于能覆盖所有 0 元素的最少直线数。 第一步：变换指派问题的系数矩阵（c ij）为(b ij)，使在(b ij)的各行各列中都出现0元素，即 (1) 从（c ij）的每行元素都减去该行的最小元素； (2) 再从所得新系数矩阵的每列元素中减去该列的最小元素。 第二步：进行试指派，以寻求最优解。 在(b ij)中找尽可能多的独立0元素，若能找出n个独立0元素，就以这n个独立0元素对应解矩阵(x ij)中的元素为1，其余为0，这就得到最优解。找独立0元素，常用的步骤为： (1)从只有一个0元素的行(列)开始，给这个0元素加圈，记作◎。然后划去◎所在列(行)的其它0元素，记作? ；这表示这列所代表的任务已指派完，不必再考虑别人了。 (2)给只有一个0元素的列(行)中的0元素加圈，记作◎；然后划去◎所在行的0元素，记作?． (3)反复进行(1)，(2)两步，直到尽可能多的0元素都被圈出和划掉为止。 (4)若仍有没有划圈的0元素，且同行(列)的0元素至少有两个，则从剩有0元素最少的行(列)开始，比较这行各0元素所在列中0元素的数目，选择0元素

少的那列的这个0元素加圈(表示选择性多的要“礼让”选择性少的)。然后划掉同行同列的其它0元素。可反复进行，直到所有0元素都已圈出和划掉为止。 (5)若◎元素的数目m 等于矩阵的阶数n，那么这指派问题的最优解已得到。若m < n, 则转入下一步。 第三步：作最少的直线覆盖所有0元素。 (1)对没有◎的行打√号； (2)对已打√号的行中所有含?元素的列打√号； (3)再对打有√号的列中含◎元素的行打√号； (4)重复(2)，(3)直到得不出新的打√号的行、列为止； (5)对没有打√号的行画横线，有打√号的列画纵线，这就得到覆盖所有0元素的最少直线数 l 。l 应等于m，若不相等，说明试指派过程有误，回到第二步(4)，另行试指派；若 l＝m < n，须再变换当前的系数矩阵，以找到n个独立的0元素，为此转第四步。 第四步：变换矩阵(b ij)以增加0元素。 在没有被直线覆盖的所有元素中找出最小元素，然后打√各行都减去这最小元素；打√各列都加上这最小元素（以保证系数矩阵中不出现负元素）。新系数矩阵的最优解和原问题仍相同。转回第二步。

求解指派问题的匈牙利算法.doc

3.2 求解指派问题的匈牙利算法 由于指派问题的特殊性，又存在着由匈牙利数学家D.Konig 提出的更为简便的解法—匈牙利算法。算法主要依据以下事实：如果系数矩阵)(ij c C =一行（或一列）中每一元素都加上或减去同一个数，得到一个新矩阵)(ij b B = ，则以C 或B 为系数矩阵的指派问题具有相同的最优指派。 利用上述性质，可将原系数阵C 变换为含零元素较多的新系数阵B ，而最优解不变。若能在B 中找出n 个位于不同行不同列的零元素，令解矩阵中相应位置的元素取值为1，其它元素取值为零，则所得该解是以B 为系数阵的指派问题的最优解，从而也是原问题的最优解。 由C 到B 的转换可通过先让矩阵C 的每行元素均减去其所在行的最小元素得矩阵D ，D 的每列元素再减去其所在列的最小元素得以实现。 下面通过一例子来说明该算法。 例7 求解指派问题，其系数矩阵为 ????? ???????=16221917171822241819211722191516C 解 将第一行元素减去此行中的最小元素15，同样，第二行元素减去17，第三行元素减去17，最后一行的元素减去16，得 ????? ???????=06310157124074011B 再将第3列元素各减去1，得 ????? ???????=****20531005711407301B 以2B 为系数矩阵的指派问题有最优指派 ??? ? ??43124321 由等价性，它也是例7的最优指派。 有时问题会稍复杂一些。 例8 求解系数矩阵C 的指派问题

??????? ?????????=61071041066141512141217766698979712C 解：先作等价变换如下 ∨∨ ∨????????????????→????????????????----- 26360 40*089 57510*00*0032202*056107104106614151214121776669897971246767 容易看出，从变换后的矩阵中只能选出四个位于不同行不同列的零元素，但5=n ，最优指派还无法看出。此时等价变换还可进行下去。步骤如下： (1) 对未选出0元素的行打∨； (2) 对∨行中0元素所在列打∨； (3) 对∨列中选中的0元素所在行打∨； 重复（2）、（3）直到无法再打∨为止。 可以证明，若用直线划没有打∨的行与打∨的列，就得到了能够覆盖住矩阵中所有零元素的最少条数的直线集合，找出未覆盖的元素中的最小者，令∨行元素减去此数，∨列元素加上此数，则原先选中的0元素不变，而未覆盖元素中至少有一个已转变为0，且新矩阵的指派问题与原问题也等价。上述过程可反复采用，直到能选取出足够的0元素为止。例如，对例5变换后的矩阵再变换，第三行、第五行元素减去2，第一列元素加上2，得 ??????? ?????????0414******* 353800003420207 现在已可看出，最优指派为???? ??5314254321。

匈牙利算法

匈牙利算法--过程图解 以下算法可把G中任一匹配M扩充为最大匹配，此算法是Edmonds于1965年提出的，被称为匈牙利算法，其步骤如下： （1）首先用（*）标记X中所有的非M-顶点，然后交替进行步骤（2），（3）。 （2）选取一个刚标记（用（*）或在步骤（3）中用（y i）标记）过的X中顶点，例如顶点x i，然后用（x i）去标记Y中顶点y，如果x i与y为同一非匹配边的两端点，且在本步骤中y尚未被标记过。重复步骤（2），直至对刚标记过的X中顶点全部完成一遍上述过程。（3）选取一个刚标记（在步骤（2）中用（x i）标记）过的Y中结点，例如y i，用（y i）去标记X中结点x，如果y i与x为同一匹配边的两端点，且在本步骤中x尚未被标记过。重复步骤（3），直至对刚标记过的Y中结点全部完成一遍上述过程。 （2），（3）交替执行，直到下述情况之一出现为止： （Ⅰ）标记到一个Y中顶点y，它不是M-顶点。这时从y出发循标记回溯，直到（*）标记的X中顶点x，我们求得一条交替链。设其长度为2k+1，显然其中k条是匹配边，k+1 条是非匹配边。 （Ⅱ）步骤（2）或（3）找不到可标记结点，而又不是情况（Ⅰ）。 （4）当（2），（3）步骤中断于情况（Ⅰ），则将交替链中非匹配边改为匹配边，原匹配边改为非匹配边（从而得到一个比原匹配多一条边的新匹配），回到步骤（1），同时消除一切现有标记。 （5）对一切可能，（2）和（3）步骤均中断于情况（Ⅱ），或步骤（1）无可标记结点，算法终止（算法找不到交替链）。 我们不打算证明算法的正确性，只用一个例子跟踪一下算法的执行，来直观地说明这一点。例9.3用匈牙利算法求图9.3的一个最大匹配。 （1）置M = ?，对x1-x6标记（*）。 （2）找到交替链（x1, y1）（由标记（x1），（*）回溯得），置M = {(x1, y1)}。 （3）找到交替链（x2, y2）（由标记（x2），（*）回溯得），置M = {(x1, y1), (x2, y2),}。（4）找到交替链（x3, y1, x1, y4）（如图9.4所示。图中虚线表示非匹配边，细实线表示交替链中非匹配边，粗实线表示匹配边），因而得M = {(x2, y2), (x3, y1),(x1, y4)}。 （5）找到交替链（x4, y3）（由标记（x4），（*）回溯得），置M = {(x2, y2), (x3, y1),(x1, y4), (x4, y3)}。 （6）找到交替链（x5, y4, x1, y1, x3, y7）（如图9.5所示，图中各种线段的意义同上），因而得

匈牙利算法

匈牙利算法是一种用于在多项式时间内解决任务分配问题的组合优化算法，它推广了后来的原始对偶方法。美国数学家哈罗德·库恩（Harold Kuhn）于1955年提出了该算法。该算法之所以称为匈牙利算法，是因为该算法的很大一部分是基于前匈牙利数学家DéNESK?nig和Jen?egerváry的工作。 概念 在介绍匈牙利算法之前，我想介绍一些概念。接下来的M是G 的匹配项。 如果是，则边缘已经在匹配的M上。 M交织路径：P是G的路径。如果P中的边缘是属于m的边缘，而不属于m但属于G的边缘是交替的，则p是M交织的路径。例如：路径。 M饱和点：例如，如果V与M中的边相关联，则称V为m饱和，否则V为非m饱和。如果它们全部属于m饱和点，则其他点都属于非m饱和点。 M扩展路径：P是m隔行扫描路径。如果P的起点和终点均为非m饱和点，则p称为m增强路径。例如（不要与流网络中的扩展路径混淆）。 寻找最大匹配数的一种显而易见的算法是先找到所有匹配项，然后保留匹配数最大的匹配项。但是该算法的时间复杂度是边数的指数函数。因此，我们需要找到一种更有效的算法。本文介绍了一种使用扩展路径查找最大匹配的方法（称为匈牙利算法，由匈牙利的

Edmonds于1965年提出）。 增强导轨（也称为增强导轨或交错导轨）的定义 如果P是连接图G中两个不匹配顶点的路径，并且属于m和不属于m的边缘（即，匹配边缘和待匹配边缘）在P上交替，则p称为相对于M. 从增强路径的定义可以得出三个结论 （1）P的路径数必须为奇数，并且第一个边缘和最后一个边缘都不属于M。 （2）通过将m和P取反可以获得更大的匹配度。 （3）当且仅当没有M的增强路径时，M是G的最大匹配。 算法概述： （1）将M设置为null （2）通过XOR操作找到扩展路径P并获得更大的匹配项而不是m （3）重复（2），直到找不到增强路径

匈牙利算法的MATLAB代码

程序文件fenpei.m function [z,ans]=fenpei(marix) %////////////////////////////////////////////////// %输入效率矩阵marix 为方阵; %若效率矩阵中有M,则用一充分大的数代替; %输出z为最优解，ans为最优分配矩阵； %////////////////////////////////////////////////// a=marix; b=a; %确定矩阵维数 s=length(a); %确定矩阵行最小值，进行行减 ml=min(a'); for i=1:s a(i,:)=a(i,:)-ml(i); end %确定矩阵列最小值，进行列减 mr=min(a); for j=1:s a(:,j)=a(:,j)-mr(j); end % start working num=0; while(num~=s) %终止条件是“（0）”的个数与矩阵的维数相同 %index用以标记矩阵中的零元素，若a(i,j)=0，则index(i,j)=1,否则index(i,j)=0 index=ones(s); index=a&index; index=~index; %flag用以标记划线位，flag=0 表示未被划线， %flag=1 表示有划线过，flag=2 表示为两直线交点 %ans用以记录a 中“（0）”的位置 %循环后重新初始化flag,ans flag = zeros(s); ans = zeros(s); %一次循环划线全过程，终止条件是所有的零元素均被直线覆盖， %即在flag>0位,index=0 while(sum(sum(index))) %按行找出“（0）”所在位置，并对“（0）”所在列划线， %即设置flag,同时修改index,将结果填入ans for i=1:s t=0; l=0; for j=1:s if(flag(i,j)==0&&index(i,j)==1)