第九讲：代数系统
第五章习题几个典型的代数系统
.设G为群,若x∈G有x2=e,证明G为交换群。 .设G为群,证明e为G中唯一的幂等元。 .证明4阶群必含2阶元。 设A={a+bi|a,b∈Z,i2=-1},证明A关于复数的加法和乘法构成环,称为高斯整数环。 .(1) 设R 1,R 2 是环,证明R 1 与R 2 的直积R 1 ×R 2 也是环。 (2) 若R 1和R 2 为交换环和含幺环,证明R 1 ×R 2 也是交换环和含幺环。 . 判断下列集合和给定运算是否构成环、整环和域,如果不能构成,说明理由。 (1) A={a+bi|a,b∈Z},其中i2=-1,运算为复数的加法和乘法。 (2) A={-1,0,1},运算为普通加法和乘法。 (3) A=M 2 (Z),2阶整数矩阵的集合，运算为矩阵加法和乘法。 (4) A是非零有理数集合Q*,运算为普通加法和乘法。 .设G是非阿贝尔群,证明G中存在元素a和b,a≠b,且ab=ba. .设H是群G的子群,x∈G,令 xHx-1={xhx-1|h∈H}, 证明xHx-1是G的子群,称为H的共轭子群。 .设
第14章 代数系统
第14章代数系统 14.1 代数系统 1.集合A={1,2,3,4}, * 是A 上的二元运算，定义为 a * b = a ·b - b ，试写出*的运算表。 2.< Z 5,5⊕>是代数系统，其中Z 5 ={0,1,2,3,4}，运算5⊕是模5加法，试写出5⊕的运算表。 3.设A={1,2,3,4,5}，A 上二元运算*定义 a * b = min(a,b), 其中min(a,b)是求a 和b 的最小值，写出*的运算表。 4.< Z 3,3?>是代数系统，其中Z 3 = {0,1,2}，运算3?是模3乘法，试写出3?的运算表，并求（23?2）3?2和23?（23?2）的值。
5.
9.设Z+是所有正整数的集合，Z+上的二元运算*定义为a*b = gcd(a,b), 其中gcd(a,b)表示a和b的最大公约数。写出代数系统< Z+, * >幺元和零元（如果存在的话）。 10.设
离散数学 代数系统
第三部分：代数系统 1.在代数系统,S *中，若一个元素的逆元是唯一的，其运算*必定可结合。( ) 2.每一个有限整环一定是域，反之也对。( ) 3.任何循环群必定是阿贝尔群，反之亦真。( ) 4.设(),A ∧∨是布尔代数，则(),A ∧∨一定为有补分配格。( ) 5.设Q 为有理数集，Q 上运算*定义为max(,)a b a b *=，则 ,Q * 是半群。( ) 6.阶数为偶数的有限群中，周期为2的元素的个数一定为偶数。( ) 7.群中可以有零元（对阶数大于一的群）。( ) 8.循环群一定是阿贝尔群。( ) 9.每一个链都是分配格。( ) 1. 对自然数集合N ，哪种运算不是可结合的，运算定义为任,a b N ∈ ( ) A. min(,)a b a b *= B. 2a b a b *=+ C. 3a b a b *=+- D. a b a b *=+ (mod 3) 2. 任意具有多个等幂元的半群，它 ( ) A. 不能构成群 B. 不一定能构成群 C. 不能构成交换群 D. 能构成交换群 3. 循环群33,Z +的生成元为[][]1,2，它们的周期为 ( ) A. 5 B. 6 C. 3 D. 9 4. 设
计算机代数系统第5章-方程求解
第五章 方程求解 1 代数方程(组)求解 1.1 常用求解工具—solve 求解代数方程或代数方程组, 使用Maple 中的solve 函数. 求解关于x 的方程eqn=0的命令格式为： solve(eqn, x); 求解关于变量组vars 的方程组eqns 的命令为： solve(eqns, vars); > eqn:=(x^2+x+2)*(x-1); := eqn () + + x 2x 2() - x 1 > solve(eqn,x); ,,1- + 1212I 7- - 1212 I 7 当然, solve 也可以求解含有未知参数的方程： > eqn:=2*x^2-5*a*x=1; := eqn = - 2x 25a x 1 > solve(eqn,x); , + 5a 14 + 25a 28 - 5a 1 + 25a 28 solve 函数的第一个参数是有待求解的方程或方程的集合, 当然也可以是单个表达式或者表达式的集合, 如下例： > solve(a+ln(x-3)-ln(x),x); 3e a - + 1e a 对于第二个参数, Maple 的标准形式是未知变量或者变量集合, 当其被省略时, 函数indets 自动获取未知变量. 但当方程中含有参数时, 则会出现一些意想不到的情况： > solve(a+ln(x-3)-ln(x));
{}, = x x = a - + ()ln - x 3()ln x 很多情况下, 我们知道一类方程或方程组有解, 但却没有解决这类方程的一般解法, 或者说没有解析解. 比如, 一般的五次或五次以上的多项式, 其解不能写成解析表达式. Maple 具备用所有一般算法尝试所遇到的问题, 在找不到解的时候, Maple 会用RootOf 给出形式解. > x^7-2*x^6-4*x^5-x^3+x^2+6*x+4; - - - + + + x 72x 64x 5x 3x 26x 4 > solve(%); + 15 - 15()RootOf , - - _Z 5_Z 1 = index 1()RootOf , - - _Z 5_Z 1 = index 2()RootOf , - - _Z 5_Z 1 = index 3,,,,, ()RootOf , - - _Z 5_Z 1 = index 4()RootOf , - - _Z 5_Z 1 = index 5, > solve(cos(x)=x,x); ()RootOf - _Z ()cos _Z 对于方程组解的个数可用nops 命令获得, 如： > eqns:={seq(x[i]^2=x[i],i=1..7)}; := eqns {},,,,,, = x 12x 1 = x 22x 2 = x 32x 3 = x 42x 4 = x 52x 5 = x 62x 6 = x 72 x 7 > nops({solve(eqns)}); 128 但是, 有时候, Maple 甚至对一些“显而易见”的结果置之不理, 如： > solve(sin(x)=3*x/Pi,x); ()RootOf - 3_Z ()sin _Z π 此方程的解为0 ,6 π±, 但Maple 却对这个超越方程无能为力, 即便使用allvalues 求解也只有下述结果： > allvalues(%); ()RootOf , - 3_Z ()sin _Z π0. 另外一个问题是, Maple 在求解方程之前,会对所有的方程或表达式进行化简, 而不管表达式的类型, 由此而产生一些低级的错误： > (x-1)^2/(x^2-1); () - x 12 - x 21 > solve(%); 1
第六章 代数系统
第六章代数系统 1. 填空题：f是X上的n元运算的定义是（）。 2. 判断正误，并说明原因：自然数集合N上的减法运算“－”是个封闭的运算。 3. 判断正误，并说明原因：实数集合R上的除法运算“?”是个封闭的运算。 4.填空题：代数系统的定义是：（）。 5. 填空题：*是X上的二元运算，*具有交换性，则它的运算表的特征是（）。 6.填空题：*是X上的二元运算，*具有幂等性，则它的运算表的特征是（）。 7. 简答题：*是X上的二元运算，*具有幺元，如何在它的运算表上判定哪个元素是幺元？ 8. 简答题：*是X上的二元运算，*具有零元，如何在它的运算表上判定哪个元素是零元？ 9. 简答题：*是X上的二元运算，*具有幺元，如何判定哪个元素是元素x的逆元？ 10 令N4={0,1,2,3}，N4上定义运算+4： 任何x,y∈N4 , x+4 y=(x+y)(mod 4) 。例如2+43=(2+3)(mod 4) =5(mod 4)＝1 请列出
14. 填空题：E是全集，E={a,b}，E的幂集P(E)上的对称差运算?的幺元是（）。零元是（）。有逆元的元素是（）。它们的逆元分别是（）。 15. 填空题：对于自然数集合N上的加法运算“＋”，13＝（）。 16. 填空题：你所知道的满足吸收律的运算有（）。 17. 填空题：你所知道的具有零元的运算有（），其零元是（）。 18. 设?是X上的二元运算，如果有左幺元e L∈X，也有右幺元e R∈X，则e L= e R =e ，且幺元e 是唯一的。 19. 设?是X上的二元运算，如果有左零元θL∈X，也有右零元θR∈X，则θL=θR =θ,且零元θ是唯一的。 20. 设?是X上有幺元e且可结合的二元运算，如果x∈X，x的左、右逆元都存在，则x的左、右逆元必相等。且x的逆元是唯一的。 21. 设?是X上且可结合的二元运算，如a∈X，且a-1∈X，则a是可消去的，即任取x,y∈X，设有a?x=a?y 则x=y。 22. 对于实数集合R，给出运算如下：＋是加法、—是减法、·是乘法、max是两个数中取最大的、min是两个数中取最小的、|x-y|是x与y差的绝对值。判 N”。 23. 设R是实数集合，在R上定义二元运算* 如下：任取x,y∈R， x*y=xy－2x－2y＋6
离散数学代数系统练习
一、填空 1.下列集合中， 对普通加法和普通乘法都封闭。 （ ） （A ）{}1,0 （B ）{}2,1 （C ）{}N n n ∈2 （D ）{} N n n ∈2 2、在自然数集N 上，下面哪种运算是可结合的？ （ ） （A ）b a - （B ）),max(b a （C ）b a 2+ （D ）b a - 3、有理数集Q 关于下列哪个运算能构成代数系统？ （ ） （A ）b a b a =* （B ）()1ln 22++=*b a b a （C ）()b a b a +=*sin （D ）ab b a b a -+=* 4、下列运算中，哪种运算关于整数集I 不能构成半群？ （ ） （A ）()b a b a ,max =* （B ）b b a =* （C ）ab b a 2=* （D ）b a b a -=* 5．设代数系统?A ，·?，则（ ）成立. A ．如果?A ，·?是群，则?A ，·?是阿贝尔群 B ．如果?A ，·?是阿贝尔群，则?A ，·?是循环群 C ．如果?A ，·?是循环群，则?A ，·?是阿贝尔群 D ．如果?A ，·?是阿贝尔群，则?A ，·?必不是循环群 6．设?L ,∧∨,?是格，?L ，≤?是由这个格诱导的偏序集，则（ ）不成立. A ．对任意a L b a ,,∈≤b b a b =∨? B ．∧∨对是可分配 C ．∧∨,都满足幂等律 D ．?L,≤?的每对元素都有最小上界与最大下界 7．在下列四个哈斯图表示的偏序集中（ ）是格.
8. 已知偏序集的哈斯图，如图所示，是格的为( ) 9. 6阶有限群的任何子群一定不是（）。 (A) 2阶(B) 3 阶(C) 4 阶(D) 6 阶 10. 下列哪个偏序集构成有界格（） (1) （N,≤）(2) （Z,≥） (3) （{2,3,4,6,12},|（整除关系））(4) (P(A),?) 11. 下面代数系统中（G、＊）中（）不是群 A、G为整数集合＊为加法 B、G为偶数集合＊为加法 C、G为有理数集合＊为加法 D、G为有理数集合＊为乘法 12. 设
第九章环与域 91 环
第九章环与域 ?9.1 环：两个二元运算的代数结构 ?1.环的概念 ?定义9.1：
9.2 整环和域 ?定义9.5：R是环，令，若为阿 贝尔群，则称
代数系统简介
代数发展简史 一门科学的历史是那门科学中最宝贵的一部分，因为科学只能给我们知识， 而历史却能给我们智慧。 傅鹰 数学的历史是重要的，它是文明史的有价值的组成部分， 人类的进步和科学思想是一致的。 F. Cajori 0、引言 数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有100多个主要分支学科的庞大的“共和国”。大体说来，数学中研究数的部分属于代数学的范畴；研究形的部分，属于几何学的范筹；沟通形与数且涉及极限运算的部分，属于分析学的范围。这三大类数学构成了整个数学的本体与核心。在这一核心的周围，由于数学通过数与形这两个概念，与其它科学互相渗透，而出现了许多边缘学科和交叉学科。在此简要介绍代数学的有关历史发展情况。 “代数”（algebra）一词最初来源于公元9世纪阿拉伯数学家、天文学家阿尔·花拉子米（al-Khowārizmī，约780－850）一本著作的名称，书名的阿拉伯文是‘ilm al-jabr wa’l muqabalah，直译应为《还原与对消的科学》．al-jabr 意为“还原”，这里指把负项移到方程另一端“还原”为正项；muqabalah 意即“对消”或“化简”，指方程两端可以消去相同的项或合并同类项．在翻译中把“al-jabr”译为拉丁文“aljebra”，拉丁文“aljebra”一词后来被许多国家采用，英文译作“algebra”。
阿布·贾法尔·穆罕默德·伊本·穆萨·阿尔—花拉子米的传记材料，很少流传下来．一般认为他生于花拉子模[Khwarizm，位于阿姆河下游，今乌兹别克境内的希瓦城(Хива)附近]，故以花拉子米为姓．另一说他生于巴格达附近的库特鲁伯利(Qut-rubbullī)．祖先是花拉子模人．花拉子米是拜火教徒的后裔，早年在家乡接受初等教育，后到中亚细亚古城默夫(Мерв)继续深造，并到过阿富汗、印度等地游学，不久成为远近闻名的科学家．东部地区的总督马蒙(al-Ma’mūn，公元786—833年)曾在默夫召见过花拉子米．公元813年，马蒙成为阿拔斯王朝的哈利发后，聘请花拉子米到首都巴格达工作．公元830年，马蒙在巴格达创办了著名的“智慧馆”(Bayt al-Hikmah，是自公元前3世纪亚历山大博物馆之后最重要的学术机关)，花拉子米是智慧馆学术工作的主要领导人之一．马蒙去世后，花拉子米在后继的哈利发统治下仍留在巴格达工作，直至去世．花拉子米生活和工作的时期，是阿拉伯帝国的政治局势日渐安定、经济发展、文化生活繁荣昌盛的时期． 花拉子米科学研究的范围十分广泛，包括数学、天文学、历史学和地理学等领域．他撰写了许多重要的科学著作．在数学方面，花拉子米编著了两部传世之作：《代数学》和《印度的计算术》． 1859年，我国数学家李善兰首次把“algebra”译成“代数”。后来清代学者华蘅芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，亦即：代数，就是运用文字符号来代替数字的一种数学方法。
内蒙古大学离散习题代数系统部分答案
《离散数学》代数系统 1.以下集合和运算是否构成代数系统？如果构成，说明该系统是否满足结合律、交换律？求出该运算的幺元、零元和所有 可逆元素的逆元. 1)P(B)关于对称差运算⊕，其中P(B)为幂集. 构成代数系统；满足结合律、交换律；幺元φ；无零元；逆元为自身。 2)A={a,b,c}，*运算如下表所示：构成代数系统；满足结合律、交换律；无幺元；无逆元；零元b. 2.设集合A={a,b}，那么（1）在A上可以定义多少不同的二元运算？（2）在A上可以定义多少不同的具有交换律的二元 运算？24个不同的二元运算；23个不同的具有交换律的二元运算 3.设A={1,2},B是A上的等价关系的集合. 1)列出B的元素. 2元集合上只有2种划分，因此只有2个等价关系，即B={I A，E A} 2)给出代数系统V=
第5章代数系统的一些性质
第五章代数系统的一般性质 代数的概念与方法是研究计算机科学和工程的重要数学工具。众所周知，在许多实际问题的研究中都离不开数学模型，而构造数学模型就要用到某种数学结构，而近世代数研究的中心问题是代数系统的结构：半群、群、格与布尔代数等等。近世代数的基本概念、方法和结果已成为计算机科学与工程领域中研究人员的基本工具。在研究形式语言与自动机理论、编码理论、关系数据库理论、抽象数据类型理论中，在描述机器可计算的函数、研究计算复杂性、刻画抽象数据结构、研究程序设计学中的语义学、设计逻辑电路中有着十分广泛的应用。 5.1 代数运算及其性质 5.1.1代数运算的定义 定义5.1.1 设S是一个非空集合， （1）函数f：S→S,称为一个S上的一个一元运算。 （2）函数f：S?S→S,称为一个S上的一个二元运算。 记号： f(x,y)=z, xfy=z x y=z （3）函数f：S?S?…?S →S,称为一个S上的一个n元运算。 ［例5.1.1］(1)数理逻辑中的联结词；集合论中的并运算、交运算和补运算；整数集中的加法、减法和乘法运算都是相应集合上的运算. (2)但Z中的除法不是一个二元运算。 (3) 在Z商定义x*y=x+y-2,则*是一个二元运算。 当S是有限集时，S上的一元、二元运算可用运算表来定义。 定义5.1.2 设 是集合S上的n元运算，S是S的一个非空子集。若对?x1，x2，…，x n∈S，有 （x 1，x 2，…，x n）∈S，则称S关于运算 是封闭的。 ［例5.1.2］实数集关于数的普通除法是封闭的，整数集关于数的普通加法不是封闭的。
5.1.2代数运算的性质 定义5.1.3 设*是集合S上的二元运算。若?x，y∈S，x*y=y*x， 则称运算*满足交换律（或称*是可交换的）。 定义5.1.4 设*是集合S上的二元运算。若?x，y，z∈S，(x*y)*z = x*(y*z)，则称运算*满足结合律（或称*是可结合的）。 定义5.1.5 设*是集合S上的二元运算。若?x∈S，x*x = x，则称运算*满足幂等律。定义5.1.8 设*和 是集合S上的二元运算。若?x，y，z∈S， x*(y z)=(x*y) x*z）， (y z)*x =(y*x) (z*x)， 则称*关于 满足分配律。 定义5.1.9设*和 是集合S上的二元运算。若?x，y∈S， x*(x y)=x x (x*y)=x 则称*关于 满足分配律。 ［例5.1.3］R上的加法和乘法运算是可交换的，也是可结合的；但减法却是不可交换和 不可结合的；乘法关于加法是可分配的，但加法关于乘法则是不可分配的。任一集合的幂集 上的并和交运算是可交换和可结合的，并且它们是相互可分配的。 注：若运算*是可结合的，则有时我们简称*为乘法，而把x*y简记为xy，称为x 与y的积。 5.1.3特殊元素：单位元、零元、逆元 定义5.1.10 设*是集合S上的二元运算。 （1）若e l∈S，使得?x∈S，有e l*x=x，则称e l是关于运算*的左单位元（左么元）； （2）若e r∈S，使得?x∈S，有x*e r=x，则称e r是关于运算*的右单位元（右么元）； （3）若e∈S，使得?x∈S，有e*x＝x*e=x，则称e是关于运算*的单位元（么元）。 定理5.1.3 设*是集合S上的二元运算，且e l，e r分别为关于运算*的左和右么元，则
代数系统
代数系统 一、选择题： 1、下列正整数集的子集在普通加法运算下封闭的是（ D ） A 、{30x x ≤} B 、{x x 与30互质} C 、{x x 是30的因子} D 、{x x 是30的倍数} 2、设S={1，2，…，10 }，则下面定义的运算*关于S 非封闭的有（ D ） A 、x*y=max(x ,y) B 、x*y=min(x ,y) C 、x*y=取其最大公约数 D 、x*y= 取其最小公倍数 3、设集合A 的幂集为()A ρ，-?I U 、、、为集合的交、并、差、笛卡尔乘积运算，则下列系统中是代数系统的为（ D ） A 、()A ρI , B 、()A ρU , C 、(),A ρ- D 、(),A ρ? 4、在自然数集上定义的下列四种运算，其中满足结合律的是（C ） A 、a b a b *=- B 、||a b a b *=- C 、max{,}a b a b *= D 、2a b a b *=+ 5、设Z +为正整数集，*表示求两数的最小公倍数，对代数系统*A Z +=,，有（ A ） A 、1是么元，无零元 B 、1是零元，无么元 C 、无零元，无么元 D 、无等幂元 6、设非空有限集S 的幂集为()S ρ ，对代数系统()A S ρ=I ,，有（ B ） A 、Φ是么元，S 是零元 B 、Φ是零元，S 是么元 C 、唯一等幂元 D 、无等幂元 7、在有理数集Q 上定义的二元运算*： xy y x y x -+=*，则Q 中元素满足（ C ） A 、都有逆元 B 、只有唯一逆元 C 、1x ≠时，有逆元 D 、都无逆元 8、设R 是实数集合，“?”为普通乘法，则代数系统
第五章部分答案
5.2 设S=Q×Q,其中Q为有理数集合。定义S上的二元运算*, ?
可结合的，D个是有幺元的，E个是有零元的。 供选择的答案 A、B、C、D、E：①0；②1；③2；④3；⑤4；⑥5；⑦6. 解：f1(
第九章 代数系统
第九章代数系统 9.1 二元运算及其性质 一、二元运算与一元运算的定义 1．二元运算的定义与实例 定义9.1 设S为集合,函数f：S×S→S称为S上的二元运算,简称为二元运算。 验证一个运算是否为集合S上的二元运算主要考虑两点： (1)S中任何两个元素都可以进行这种运算,且运算的结果是唯一的。 (2)S中任何两个元素的运算结果都属于S,即S对该运算是封闭的。 例9.1 (1) 自然数集合N上的加法和乘法是N上的二元运算,但减法和除法不是。 (2) 整数集合Z上的加法、减法和乘法都是Z上的二元运算,而除法不是。 (3) 非零实数集R*上的乘法和除法都是R*上的二元运算,而加法和减法不是,因为两个非零实数相加或相减可能得0. (4) 设M n(R)表示所有n阶(n≥2)实矩阵的集合,即 则矩阵加法和乘法都是M n(R)上的二元运算。 (5) S为任意集合,则∪、∩、－、为S的幂集P(S)上的二元运算,这里∪和∩是初级并和初级交。 (6) S为集合,S S为S上的所有函数的集合,则函数的集合运算为S S上的二元运算。 2．一元运算的定义与实例 定义9.2设S为集合,函数f：S→S称为S上的一个一元运算,简称为一元运算。例9.2 (1) 求一个数的相反数是整数集合Z,有理数集合Q和实数集合R上的一元运算。 (2) 求一个数的倒数是非零有理数集合Q*,非零实数集合R*上的一元运算。 (3) 求一个复数的共轭复数是复数集合C上的一元运算。
S 可以用x x. x,y 3*4=3,(-5)*0.2=-5,0* a a a a i a 1
潍坊学院计算机系（院）讲稿专用纸 例9.4设S={1,2},给出P(S)上的运算~和的运算表,其中全集为S. 解：所求的运算表如表9.3和表9.4. 表9.3 表9.4 三．二元运算的性质 1．主要算律 定义9.3 设为S上的二元运算, (1)如果对于任意的x,y∈S,有x y=y x,则称运算在S上满足交换律。 (2)如果对于任意的x,y,z∈S有(x y)z=x(y z),则称运算在S上满足结合律。 (3)如果对于任意的x∈S有x x=x,则称运算在S上满足幂等律。 定义9.4设和*为S上两个不同的二元运算, (1)如果对于任意的x,y,z∈S有(x*y)z=(x z)*(y z)和z(x*y)=(z x)*(z y),则称运算对*运算满足分配律。 (2)如果和*都可交换,并且对于任意的x,y∈S有x(x*y)=x和x*(x y)=x,则称和*运算满足吸收律。 例9.5 表9.5和9.6给出了某些常见代数运算的性质,其中Z、Q、R分别代表整数集、有理数集、实数集,M n(R)表示n(n≥2)阶实矩阵的集合,A A是所有从A到A的函数的集合。 表9.5
第6章几个典型的代数系统
第六章 几个典型的代数系统 本章讨论几类重要的代数结构：半群、群、环、域、格与布尔代数等．我们先讨论最简 单的半群． 6.1 半群 6.1.1半群的概念 定义6.1.1 设是代数结构，若?是可结合的二元运算，即： ?a ，b ，c ∈S ，(a ?b)?c=a ?(b ?c) 则称为半群; 定义6.1.2 设的运算?满足交换律，则称是可交换半群。 ［例6.1.1］ (1)是半群，T 为S 的非空子集。若T 关于运 算?封闭，则称的子半群。 定义6.1.5 设是独异点，T 为S 的非空子集。若T 关于运算?封闭，且e ∈T ， 则称的子独异点。 ［例6.1.2］ , V 2=是两个半群，V 1与V 2的积代数V 1?V 2 =
第五章习题几个典型的代数系统
代数系统
1 代数系统 1. 定义 定义1.1 设A 是集合， 12,, ,n f f f 是A 上的运算，则称12(,,,,)n A f f f 是集 合A 上的代数系统（algebra system ），简称代数（algebra ）。 根据其中的运算定律可将代数系统划分为若干不同的类型。由某一类代数的基本运算定律可以推出一些隐患的普遍定律，即任何满足基本定律的代数系统一定满足这些推出的定律。 2. 半群 半群是最简单的代数系统，其定义如下。 定义 2.1 在一个非空集合上定义一个满足结合律的二元运算，则二者构成半群（semi-group ）。带单位元的半群称为幺半群（monoid ）或者独异点。 例2.2字符串集合与字符串的连接运算构成半群，并且是幺半群，其中空串是连接运算的单位元。 3. 群 定义3.1 若幺半群中的每个元素都有逆元，则称该幺半群为群（group ）。 例3.2 整数集合与加法构成一个群，称为整数加法群。 4. 置换群 定义4.1 集合{1,2,…,n}上的双射称为n-元置换（permutation ，也译为“排列”），记为二行矩阵。 12343241?? ??? 定义4.2 n-阶轮换：简记为行向量( )。 2-阶轮换称为对换。 定理4.3（置换的分解）置换可唯一地分解为若干次不相交的轮换的复合。此外， 置换可以分解为若干次对换的复合。 置换的奇偶性：若置换可分解为奇数次对换，则称之为奇置换，否则称为偶置换。
定理4.4集合{1,2,…,n}上的所有双射与复合运算构成一个群，称为置换群。 证明：请读者尝试完成该证明。证毕 5.环和域 略。 6.格 定义6.1（格的第二种定义）设L是非空集合，∨和∧是L上的二元运算。若下列四条定律成立，则称代数系统(,,) L∨∧为格：交换律、结合律、幂等律、吸收律。 注：格的第一种定义和第二种定义是等价的，即可相互构造。 定义6.2设(,,) L∨∧是格。 （1）有界格：若L有最大上界和最小下界，则称为有界格（bounded lattice），记为(,,,0,1) L∨∧，其中0，1分别表示最大上界和最小下界。 （2）有补格：每个元素都有补元的有界格。 （3）分配格。 定律6.3有界分配格中任何元素的补元是唯一的。 证明：请读者尝试给出该证明。证毕 7.布尔代数 布尔代数是数理逻辑和计算机科学中常用的一种代数系统。例如，我们用布尔代数实现命题的真值演算；用布尔代数设计和分析数字电路，等等。 定义6.1布尔代数是一个满足如下4条定律的代数系统 A + (,,,',0,1) 其中A是集合，+和所是A上的二元运算，’是A上的一元运算，0和1是A 中两个元素： （1）交换律：x+y=y+x，xy=yx （2）分配律：x(y+z)=(xy)+(xz), x+(yz)=(x+y)(x+z) （3）同一律：0+x=x, 1x=x （4）补元律：'1,'0 +== x x xx 2
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