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初中奥数讲义_等腰三角形的判定附答案

初中奥数讲义_等腰三角形的判定附答案
初中奥数讲义_等腰三角形的判定附答案

等腰三角形的判定

由于等腰三角形有丰富的性质,这些性质为我们解几何题提供了新的理论依据,所以寻找发现等腰三角形是解一些几何题的关键,判定一个三角形为等腰三角形的基本方法是:从定义入手,证明一个三角形的两条边相等;从角入手,证明一个三角形的两个角相等,实际解题中的一个常用技巧是,构造等腰三角形,进而利用等腰三角形的性质为解题服务,常用的构造方法有:

1.“角平分线+平行线”构造等腰三角形;

2.“角平分线+垂线”构造等腰三角形;

3.用“垂直平分线”构造等腰三角形;

4.用“三角形中角的2倍关系”构造等腰三角形.

例题求解

【例1】如图,一个六边形的6个内角都是120°,其连续四边的长依次是1、9、9、5,那么这个六边形的周长是 cm.

(“祖冲之杯”邀请赛试题)

思路点拨设法将六边形的问题转化为三角形或四边形的问题加以解决,六边形的外角都为60°,利用60°构造等边三角形是解本例的关键.

注证明线段相等是最基本的几何问题,目前常用证法有:

(1)若两线段属于两个三角形,则考虑证对应的三角形全等;

(2)若两线段是同一个三角形两边,则考虑用等角对等边证明;

(3)寻找中间线段,通过等量代换证明.

类似的,我们可以对证明角相等、等边三角形的判定作归纳总结.

不同形状的几何图形之间可互相转化,向外补形与对内分割是基本的两种转化方式.

【例2】如图,已知Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,在直线BC或AC上取一点P,使得△PAB 是等腰三角形,则符合条件的P点有( )

A.2个 B.4个 C.6个 D.8个

(江苏省竞赛题)

思路点拨 AB既可作等腰三角形PAB的腰,也可作为等腰三角形PAB的底,故要思考全面,才能正确地得出符合条件的P点的个数.

【例3】如图,△ABC中,AD⊥BC于D,∠B=2∠C,求证:AB十BD=CD.

(天津市竞赛题)

思路点拨如何利用条件∠B=2∠C?又怎样得到AB+BD?不同的思考方向,会找到解题的不同方法.【例4】如图甲,点C为线段AB上一点,△ACM、△CBN是等边三角形,直线AN、MC交于点E,直线BM、CN交于点F.

(1)求证:AN=BM;

(2)求证:△CEF是等边三角形;

(3)将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°,其他条件不变,在图乙中补出符合要求的图形,并判断第(1)、(2)两小属结论是否仍然成立(不要求证明).

(荆门市中考题)

思路点拨图甲中有多对全等三角形,这是解(1)、(2)问的基础.

注若仅将题中的条件∠A=30°改为∠A=45°,则符合条件的点有几个?若将题中的条件∠A=30°,改

等腰三角形的性质和判定

1.1等腰三角形的性质和判定(2) 九年级数学备课组课型:新授 【学习目标】 在掌握了等腰三角形的性质定理和判定定理的基础上,探索等边三角形和其它相关知识的证明方法。 【重点、难点】 1、等边三角形的性质及其证明。 2、应用性质解题。 【预习指导】 上节课中,我们对等腰三角形的性质定理和判定定理进行了证明,请你写出这些定理。等腰三角形性质定理:(1)_______________________; (2)_______________________。 等腰三角形判定定理:______________________。 【思考与交流】 1、证明:两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。(简写为“AAS”) 2、证明:(1)等边三角形的每个内角都等于60°。 (2)3个内角都相等的三角形是等边三角形。 3、证明:(1)线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 (2)到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 【典题选讲】 例1.如图,在△ABC中,点O在AC上,过点O作M N∥BC,CE、CF分别是△ABC 的内外角平分线,与MN分别交于E、F,求证:OE=OF. 例2、在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BC=BD=AD,则∠A的度数是多少?

变式; .如下图,在△ABC 中, AB=AC ,点D 、E 分别在AC 、AB 上,且BC=BD=DE=EA ,求∠A 的度数。 【课堂练习】 1、如图,在△ABC 中,∠B =∠C =36°,∠ADE =∠AED =2∠B ,由这些条件你能得到哪些结论?请证明你的结论。 2、已知:如图,△ABC 是等边三角形,DE ∥BC ,分别交AB 、AC 于点D 、E 。 求证:△ADE 是等边三角形。 A B C D E A B C D E

小学奥数知识点归纳和总结

小学奥数知识点归纳和总结 二年级奥数知识点分类: 一、运算符号类 二、规律填数类 三、规律画图类 四、年龄问题类 五、间隔问题类(含植树问题及智力计数) 六、周期问题类 七、有序思考类 八、时钟问题类 九、推理及思维训练类(包含算式类) 十、和差问题类 十一、和倍问题类 十二、差倍问题类 十三、一笔画类 十四、移动变换类 十五、智力趣味类(包含巧切西瓜) 十六、鸡兔同笼类 十七、盈亏问题类 十八、应用类(含数量关系、重叠问题、) 三年级奥数知识点分类: 一、计算类 计算是数学学习的基本知识,也是学好奥数的基础。能否又快又准的算出答案,是历年数学竞赛考察的一个基本点。三年级的计算包括:速算与巧算、数列规律、数列求和、等差数列的和等。 二、应用题类从三年级起,大量的奥数专题知识都是所有年级所有竞赛考试中必考的重点知识。学生们 一定要在各个应用题专题学习的初期打下良好的基础。(1)和倍、差倍问题: 用线段标识等方法揭示这两类问题中各种数量关系,和倍问题:小数=和十(倍数+1)。 三、差倍问题: 小数=差十(倍数-1) (2)年龄问题: 教授解决年龄问题的主要方法:和倍、差倍方法;画图线段标示法。 (3)盈亏问题: 介绍盈亏问题的主要形式(双盈、双亏、一盈一亏) 分配总人数=盈亏总额十两次分配数之差。 (4)植树问题: 总长、株距、棵树三要素之间的数量关系:总长=株距X段数,封闭图形:棵数=段数不 封闭图形: 两头都栽:棵数=段数+1 两头都不栽:棵数=段数-1 一头栽一头不栽:棵数=段数

(5) 鸡兔同笼问题: 介绍鸡兔同笼问题的由来和主要形式,揭示鸡兔同笼问题中的数量关系,假设法 (6) 行程问题: 相遇问题、追及问题等,相遇时间=总路程十速度和,追及时间=距离十速度差。 (7) 周期问题 (8) 还原问题 (9) 归一问题 (10) 体育比赛中的数学、趣题巧解几何类 三年级学校的学习中就会涉及到一些简单的图形求周长和面积了,那么在奥数中图形问题 涉及到的是巧求周长、巧求矩形面积数论类 现在三年级也开始涉及到了数论了,是比较简单的能被2、3、5 整除的性质、奇数和偶数、余数与周期问题。 四年级奥数知识点分类: 1. 圆周率常取数据 3.14 X 1 = 3.14 3.14 X 2 = 6.28 3.14 X 3 = 9.42 3.14 X 4 = 12.56 3.14 X 5 = 15.7 3.15 X 6 = 18.84 3.14 X 7 = 21.98 3.14 X 8 = 25.12 3.14 X 9 = 28.26 2. 常用特殊数的乘积 125X 8= 1000 25 X 4 = 100 125X 3= 375 625X 16= 10000 7X11X13=1001 25X 8= 200 125X 4= 500 37X 3=111 3.100 内质数: 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 4. 单位换算: 1 米=3 尺=3.2808 英尺=1.0926 码 1 公里=1000米=2里 1 码=3 英尺=36 英寸 1 海里=1852米=3.704 里=1.15 英里 1 平方公里=1000000 平方米=100 公顷=4 平方里=0.3861 平方英里 1 平方米=100 平方分米=10000 平方厘米

等腰三角形一对一辅导讲义

教学目标 1.掌握等腰三角形的下列性质:等腰三角形的两个底角相等;等腰三角形三线合一. 2.会利用等腰三角形的性质进行推理、计算和证明. 重点、难点 1、本节教学的重点是理解并掌握等腰三角形的性质:等边对等角;三线合一. 2、等腰三角形三线合一性质的运用,在解题思路上需要作一些转换。 考点及考试要求 1、等腰三角形的性质 2、等腰三角形的证明 教 学 内 容 第一课时 等腰三角形知识梳理 1、 已知线段a ,h (如下图)用直尺和圆规作等腰三角形ABC ,使底边BC =a ,BC 边上的高线为h 。 2、如果等腰三角形有两边的长分别为12cm ,5cm ,这个三角形的周长是 cm 。 3、 请写出周长为8cm ,且边长均为整数的等腰三角形的各边长。 4、一个等腰三角形的两个内角度数之比为4∶1,求这个三角形各角度数。 5、已知:如图,AB=AC ,BD ⊥AC ,垂足为点D 。求证:∠DBC=21∠A 。 课前检测 A B C D

图2-5 A B C D (1)等腰三角形的定义 等腰三角形:有两条边相等的三角形叫等腰三角形(如下图AB=AC ),相等的两边叫做腰(AB 和AC ),另一边叫底边(BC ),两腰的夹角叫做顶角(A ∠),腰和底边的夹角叫做底角(C ∠∠和B ) (2)等腰三角形的性质 等腰三角形性质定理1:等腰三角形的两个底角相等。或“在一个三角形中,等边对等角”。 等腰三角形性质定理2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合。简称等腰三角形三线合一。 注:上述性质指导学生通过证全等自己来推理 (3)等边三角形 等边三角形是特殊的等腰三角形,各边相等,各角均为60度。 第二课时 等腰三角形典型例题 题型一:根据等腰三角形的性质计算角的度数或边的长度 例1:等腰三角形两个内角的度数之比为1:2,这个等腰三角形底角的度数为 【点拨】:本题的考点是等腰三角形两底角相等,但题目中没有明确是 底角:顶角=1:2还是 顶角:底角=1:2,所以要分两种情况进行讨论,根据三角形内角和为180度求出三角形的三个角的度数,很多学生容易漏掉一种情况。 变1、已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4,则这个等腰三角形的顶角度数为 度。 知识梳理 典型例题

等腰三角形的判定

3等腰三角形 第3课时等腰三角形的识别 教学目的 1.通过探索一个三角形是等腰三角形的条件,培养学生的探索能力. 2.能利用一个三角形是等腰三角形的条件,正确判断某个三角形是否为等腰三角形. 重点、难点 重点:让学生掌握一个三角形是等腰三角形的条件和正确应用. 难点:一个三角形是等腰三角形的条件的正确文字叙述. 教学过程 一、复习引入 等腰三角形具有哪些性质? 等腰三角形的两底角相等,底边上的高、中线及顶角平分线“三线合一”. 二、新课 对于一个三角形,怎样识别它是不是等腰三角形呢?我们已经知道的方法是看它是否有两条边相等.这一节,我们再学习另一种识别方法. 我们已学过,等腰三角形的两个底角相等,反过来,在一个三角形中,如果有两个角相等,那么它是等腰三角形吗? 为了回答这个问题,请同学们分别拿出一张半透明纸,做一个实验,按以下方法进行操作: 1.在半透明纸上画一个线段BC. 2.以BC为始边,分别以点B和点C为顶点,用量角器画两个相等的角,两角终边的交点为A. 3.用刻度尺找出BC的中点D,连接AD,然后沿AD对折. 问题1:AB与AC是否重合? 问题2:本实验的条件与结论如何用文字语言加以叙述? 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等,简写成“等角对等边”. 也就是说,如果一个三角形中有两个角相等,那么它就是等腰三角形.一个三角形是等腰三角形的条件,可以用来判定一个三角形是否为等腰三角形. 例1.在△ABC中,已知∠A=40°,∠B=70°,判断△ABC是什么三角形,为什么? 问题3:三个角都是60°的三角形是等边三角形吗?你能说明理由吗? 等腰直角三角形:顶角是直角的等腰三角形是等腰直角三角形,如图所示. 问题4:你能说出等腰直角三角形各角的大小吗? 问题5:请你画一个等腰直角三角形,使∠C=90°,CD是底边上的高,数一数图中共有几个等腰直角三角形? 三、练习巩固 P99练习l、2、3. 四、小结 这节课,,我们学习了一个三角形是等腰三角形的条件:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”),此条件可以做为判断一个三角形是等腰三角形的依据.因此,要牢记并能熟练应用它. 五、作业 P99习题第5题. - 1 -

等腰三角形的性质和判定

1.1 等腰三角形的性质和判定 班级姓名学号 学习目标: 1、进一步掌握证明的基本步骤和书写格式. 2、能用“基本事实”和“已经证明的定理”为依据,证明等腰三角形的性质定理和判定定理. 学习重点:等腰三角形的性质及其证明. 学习难点:等腰三角形的性质及其证明. 学习过程 一、知识回顾: 1、什么叫做等腰三角形?_____________________ 2、等腰三角形有哪些性质?___________________________; __________________________________. 3、上述性质你是怎么得到的?你能否用从基本事实出发,对它们进行证明?(不妨动手操作做一做) 二、新知教学: (一)探索活动: 1、合作与讨论:证明:等腰三角形的两个底角相等. 2、思考:由上面的证明过程,你能否得出“等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合”的结论?请用符号语言表示. 3、通过上面两个问题的证明,我们得到了等腰三角形的性质定理. 定理:___________________________,(简称:______)定理:____________________________,(简称:______)

4、思考与探索 如何证明“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是正确的? (二)例题分析 1、已知:如图∠EAC 是△ABC 的外角,AD 平分∠EAC ,且AD ∥BC.求证:AB =AC 拓展:在上图中,如果AB =AC ,AD ∥BC ,那么AD 平分∠EAC 吗?为什么? 2、证明:到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. (三)巩固练习: 1、证明:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等. 2、如图,BO 平分∠CBA, CO 平分∠ABC, 且MN//BC,设AB=12,BC=24,AC=18,求△AMN 的周长. 三、总结反思 1、证明文字命题应注意什么? 2、等腰三角形的判定和性质分别是什么?如何证明? 3、一个常见的基本图形. A B C D E A B C M N O

小学1-6年级数学公式及知识点汇总

小学数学公式大全, 第一部分:概念. 1,加法交换律:两数相加交换加数的位置,和不变. 2,加法结合律:三个数相加,先把前两个数相加,或先把后两个数相加,再同第三个数相加,和不变. 3,乘法交换律:两数相乘,交换因数的位置,积不变. 4,乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,或先把后两个数相乘,再和第三个数相乘,它们的积不变. 5,乘法分配律:两个数的和同一个数相乘,可以把两个加数分别同这个数相乘,再把两个积相加,结果不变. 如:(2+4)×5=2×5+4×5 6,除法的性质:在除法里,被除数和除数同时扩大(或缩小)相同的倍数,商不变. 0除以任何不是0的数都得0. 简便乘法:被乘数,乘数末尾有0的乘法,可以先把0前面的相乘,零不参加运算,有几个零都落下,添在积的末尾. 7,什么叫等式等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子叫做等式. 等式的基本性质:等式两边同时乘以(或除以)一个相同的数,等式仍然成立. 8,什么叫方程式答:含有未知数的等式叫方程式. 9, 什么叫一元一次方程式答:含有一个未知数,并且未知数的次数是一次的等式叫做一元一次方程式. 学会一元一次方程式的例法及计算.即例出代有χ的算式并计算. 10,分数:把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几分的数,叫做分数. 11,分数的加减法则:同分母的分数相加减,只把分子相加减,分母不变.异分母的分数相加减,先通分,然后再加减. 12,分数大小的比较:同分

母的分数相比较,分子大的大,分子小的小. 异分母的分数相比较,先通分然后再比较;若分子相同,分母大的反而小. 13,分数乘整数,用分数的分子和整数相乘的积作分子,分母不变. 14,分数乘分数,用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作为分母. 15,分数除以整数(0除外),等于分数乘以这个整数的倒数. 16,真分数:分子比分母小的分数叫做真分数. 17,假分数:分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数.假分数大于或等于1. 18,带分数:把假分数写成整数和真分数的形式, 叫做带分数. 19,分数的基本性质:分数的分子和分母同时乘以或除以同一个数(0除外),分数的大小不变. 20,一个数 除以分数,等于这个数乘以分数的倒数. 21,甲数除以乙数(0除外),等于甲数乘以乙数的倒数. 分数的加,减法则:同分母的分数相加减,只把分子相加减,分母不变.异分母的分数相加减,先通分,然后再加减. 分数的乘法则:用分子的积做分子,用分母的积做分母. 22,什么叫比:两个数相除就叫做两个数的比.如:2÷5或3:6或13 比的前项和后项同时乘以或除以一个相同的数(0除外),比值不变. 23,什么叫比例:表 示两个比相等的式子叫做比例.如3:6=9:18 24,比例的基 本性质:在比例里,两外项之积等于两内项之积. 25,解比例:求比例中的未知项,叫做解比例.如3:χ=9:18 26,正比例:两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着化,如果这两种量中相对应的的比值(也就是商k)一定,这两种量就叫做成正比

人教版初中数学讲义第11讲 等腰三角形

第11讲等腰三角形 知识点梳理: (一)等腰三角形的性质 等腰三角形的定义:腰、底边、顶角、底角。 定理:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)。 推论1:等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边,这就是说,等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(通常称作“三线合一”)。 推论2:等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形; (二)等腰三角形的判定 定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”。) 推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形(有两个角是60°的三角形是等边三角形)。 推论2:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。 (三)方法点拨:等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线,由于这条线可以把顶角和底边折半,所以常通过它来证明线段或角的倍分问题,在等腰三角形中,虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合,添加辅助线时,有时作哪条线都可以,有时需要作顶角的平分线,有时则需要作高或中线,这要视具体情况来定。 经典例题: 例1.等腰三角形边与角计算中的分类讨论思想 1.已知等腰三角形的一个内角是1000,则它的另外两个内角是 2.已知等腰三角形的周长为24,一边长为10,则另外两边的长是 3.等腰三角形的两边长是6和7,则三角形的周长为: *4.一等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15cm和18cm两部分,则这个等腰三角形的底边长是

数学教案-等腰三角形的判定

数学教案-等腰三角形的判定 重点与难点分析:本节内容的重点是等腰三角形的判定定理。本定理是证明两条线段相等的重要定理,它是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据,此定理为证明线段相等提供了又一种方法,这是本节的重点。推论1、2提供证明等边三角形的方法,推论3是直角三角形的一条重要性质,在直角三角形中找边和角的等量关系经常用到此推论。本节内容的难点是性质与判定的区别。等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理,题设与结论正好相反。学生在应用它们的时候,经常混淆,帮助学生认识判定与性质的区别,这是本节的难点。另外本节的文字叙述题也是难点之一,和上节结合让学生逐步掌握解题的思路方法。由于知识点的增加,题目的复杂程度也提高,一定要学生真正理解定理和推论,才能在解题时从条件得到用哪个定理及如何用。教法建议: 本节课教学方法主要是“以学生为主体的讨论探索法”。在数学教学中要避免过多告诉学生现成结论。提倡教师鼓励学生讨论解决问题的方法,引导他们探索数学的内在规律。具体说明如下:(1)参与探索发现,领略知识形成过程学生学习过互逆命题和互逆定理的概念,首先提出问题:等腰三角形性质定理的逆命题的什么?找一名学生口述完了,接下来问:此命题是

否为真命?等同学们证明完了,找一名学生代表发言。最后找一名学生用文字口述定理的内容。这样很自然就得到了等腰三角形的判定定理。这样让学生亲自动手实践,积极参与发现,满打满算了学生的认识冲突,使学生克服思维和探求的惰性,获得锻炼机会,对定理的产生过程,真正做到心领神会。(2)采用“类比”的学习方法,获取知识。由性质定理的学习,我们得到了几个推论,自然想到:根据等腰三角形的判定定理,我们能得到哪些特殊的结论或者说哪些推论呢?这里先让学生发表意见,然后大家共同分析讨论,把一些有价值的、甚至就是教材中的推论板书出来。如果学生提到的不完整,教师可以做适当的点拨引导。(3)总结,形成知识结构为了使学生对本节课有一个完整的认识,便于今后的应用,教师提出如下问题,让学生思考回答:(1)怎样判定一个三角形是等腰三角形?有哪些定理依据?(2)怎样判定一个三角形是等边三角形?一.教学目标:1.使学生掌握等腰三角形的判定定理及其推论;2.掌握等腰三角形判定定理的运用;3.通过例题的学习,提高学生的逻辑思维能力及分析问题解决问题的能力;4.通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受;5.通过知识的纵横迁移感受数学的辩证特征。二.教学重点:等腰三角形的判定定理三.教学难点:性质与判定的区别四.教学用具:直尺,微机五.教

等腰三角形性质及判定

等腰三角形性质及判定 要点一、等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形,其中相等的两条边叫做腰,另一边叫做底,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示,在△ABC中,AB=AC,则它叫等腰三角形,其中AB、AC为腰,BC为底边,∠A是顶角,∠B、∠C是底角. 要点诠释:等腰直角三角形的两个底角相等,且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角,不能为钝角(或直角),但顶角可为钝角(或直角). ∠A=180°-2∠B,∠B=∠C=180 2 A ?-∠ . 要点二、等腰三角形的性质 1.等腰三角形的性质 性质1:等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”). 性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合(简称“三线合一”). 2.等腰三角形的性质的作用 性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据. 性质2用来证明线段相等,角相等,垂直关系等. 3.等腰三角形是轴对称图形 等腰三角形底边上的高(顶角平分线或底边上的中线)所在直线是它的对称轴,通常情况只有一条对称轴.要点三、等腰三角形的判定 如果一个三角形中有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称“等角对等边”). 要点诠释:等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理,是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理. 【典型例题】 类型一、等腰三角形中有关度数的计算题 例1、如图,在△ABC中,D在BC上,且AB=AC=BD,∠1=30°,求∠2的度数.

举一反三: 1.已知:如图,D、E分别为AB、AC上的点,AC=BC=BD,AD=AE,DE=CE,求∠B的度数. 2.如图,在△ABC中AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求三角形各角的度数. 3. 如图,在△ABC中,AB=AC,D、E分别在AC、AB边上,且BC=BD,AD=DE=EB,求∠A的度数 类型二、等腰三角形中的分类讨论 例2.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,则顶角的度数为( ). A.60°B.120°C.60°或150°D.60°或120° 举一反三: 1.等腰三角形有一个外角是100°,这个等腰三角形的底角是. 2.等腰三角形的一个底角是70度,则它的顶角是______ 3.等腰三角形的周长是10,腰长是4,则底边为______ 4.等腰三角形的一个底角是30度,则它的底角是______ 5.等腰三角形的周长是20cm,一边长是8cm,则其它两边长为____ 6.等腰三角形的周长为26㎝,一边长为6㎝,那么腰长为() D C B A

【小学数学】小学奥数所有知识点大汇总(最全)

1.和差倍问题 和差问题和倍问题差倍问题 已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数 一、和差倍问题 (一)和差问题:已知两个数的和及两个数的差;求这两个数。 方法①:(和-差)÷2= 较小数;和-较小数=较大数 方法②:(和+ 差)÷2=较大数;和- 较大数=较小数 例如:两个数的和是15;差是5;求这两个数。 方法:(15-5)÷2=5 ;(15+5)÷2=10 . (二)和倍问题:已知两个数的和及这两个数的倍数关系;求这两个数。 方法:和÷(倍数+1)=1倍数(较小数) 1倍数(较小数)×倍数=几倍数(较大数) 或和-1 倍数(较小数)= 几倍数(较大数) 例如:两个数的和为50;大数是小数的4倍;求这两个数。 方法:50÷(4+1)=10 10×4=40 (三)差倍问题:已知两个数的差及两个数的倍数关系;求这两个数。 方法:差÷(倍数-1 )=1倍数(较小数) 1倍数(较小数)×倍数=几倍数(较大数) 或和-倍数(较小数)=几倍数(较大数) 例如:两个数的差为80;大数是小数的5倍;求这两个数。 方法:80÷(5-1)=20 20×5=100 和与差和与倍数差与倍数

2.年龄问题的三个基本特征: ①两个人的年龄差是不变的; ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的; ③两个人的年龄的倍数是发生变化的;两人年龄的倍数关系是变化的量; 解答年龄问题的一般方法是: 几年后年龄=大小年龄差÷倍数差-小年龄; 几年前年龄=小年龄-大小年龄差÷倍数差. 题目一般用“照3.归一问题的基本特点:问题中有一个不变的量;一般是那个“单一量”; 这样的速度”……等词语来表示。 关键问题:根据题目中的条件确定并求出单一量; 4.植树问题 基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树;两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树;两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树;只有一端植树封闭曲线上植树 三、植树问题 (一)不封闭型(直线)植树问题 1、直线两端植树:棵数=段数+1=全长÷株距+1 ; 全长=株距×(棵数-1 ); 株距=全长÷(棵数-1 ); 2、直线一端植树:全长=株距×棵数; 棵数=全长÷株距; 株距=全长÷棵数; 3 、直线两端都不植树:棵数=段数-1= 全长÷株距-1 ;

等腰三角形(讲义)

等腰三角形 考点一、等腰三角形的特征和识别 ⑴等腰三角形的两个_____________相等(简写成“________________”) ⑵等腰三角形的_________________、_________________、_________________互相重合(简称为“________________”) 特别的:(1)等腰三角形是___________图形. (2)等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应__________. ⑶如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的________也相等(简称为“____________________”) 特别的: (1)有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形. (2)有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形. (3)有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形. (4)有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形. 典例1、如图,△ABC 中,AB=AC=8,D 在BC 上,过D 作DE ∥AB 交AC 于E ,DF∥AC 交AB 于F ,则四边形AFDE 的周长为______ 。 2、 如图,△ABC 中,BD 、CD 分别平分∠ABC 与∠ACB ,EF 过D 且EF ∥BC ,若AB = 7,BC = 8,AC = 6,则△AEF 周长为( ) A. 15 B . 14 C. 13 D. 18 3、 如图,点B 、D 、F 在AN 上,C 、E 在AM 上,且AB=BC=CD=ED=EF,∠A=20o ,则∠FEB=____度. 4、已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°,则它的一个底角的度数是_____________ 5、△ABC 中, DF 是AB 的垂直平分线,交BC 于D ,EG 是AC 的垂直平分线,交BC 于E ,若∠DAE=20°,则∠BAC 等于 ° N M F E C D B A F E D A B C

初二八年级数学章节练习等腰三角形性质及判定

轴对称章 等腰三角形的性质及判定 北京四中龚剑钧 知识要点: 一、等腰三角形的性质 1:等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”). 2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合 (简称“三线合一”). 3.等腰三角形是轴对称图形 等腰三角形底边上高(顶角平分线或底边中线)所在直线是它的对称轴,通常情况只有一条对称轴. 二、说明: 性质1证明同一个三角形中的两角相等的一个重要依据. 性质2用来证明线段相等,角相等,垂直关系等. 三、等腰三角形的判定 如果一个三角形中有两个角相等, 那么这两个角所对的边也相等(简称“等角对等边”). 例题讲解 1.如图,在△ABC中,D在BC上,且AB=AC=BD,∠1=30°, 求∠2的度数. 经典练习: 1.已知:如图,D、E分别为AB、AC上的点, AC=BC=BD,AD=AE,DE=CE, 求∠B的度数.

2.(1)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°, 则顶角的度数为______. (2)已知等腰三角形的周长为13,一边长为3, 则其余各边长是_________. 3. 已知,如图,AB=AC,∠A=1080,BD平分∠ABC交AC于D, 求证:BC=AB+CD. 4.如图,△ABC中,CE是BC的延长线,CD平分∠A CE,CD//AB. 求证:△ABC是等腰三角形. 5.如图,△ABC中,∠ACB=900,CD是AB上高,∠BAC的平分线AF交CD 于E,判断△CEF的形状,证明你的结论. 6.如图,已知△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,,垂足

分别为E,F,求证:DE=DF 7.如图,在RtABC中,AB=AC,∠BAC =90°,O为BC的中点. (1)写出O点到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系(不要求证明).(2)如果点M、N分别在线段AB、AC上移动,在移动中保持AN=BM, 请你判断△OMN的形状,并证明你的结论. 8.已知:如图,△ABC中,∠ACB=450,AD⊥BC于D,在AD上取点F,连接BF并延长交AC于E,∠BAD=∠FCD. 求证:(1)△ABD≌△CFD;(2)BE⊥AC.

全等三角形培优竞赛讲义(四)等腰三角形

全等三角形培优竞赛讲义(四) 等腰三角形 【知识点精读】-、等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论 定理:等腰三角形有两边相等; 定理:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)。 推论1:等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边,这就是说,等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2:等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形; 2. 定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系,由两边相等推出两角相等,是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等,两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。 二、等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”。) 推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系,它是证明线段相等的重要定理,也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据,是本节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线,由于这条线可以把顶角和底边折半,所以常通过它来证明线段或角的倍分问题,在等腰三角形中,虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合,添加辅助线

《等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明》教案

( 课 题 《等腰三角形的性质定理和判定定理及 课型 新授课 教学目标 教学重点 教学难点 教学方法 教学后记 其证明》教案 1、了解作为证明基础的几条公理的内容,掌握证明的基本步骤和书写格式。 2、经历“探索-发现-猜想-证明”的过程。能够用综合法证明等腰三角 形的关性质定理和判定定理。 了解作为证明基础的几条公理的内容,掌握证明的基本步骤和书写格式。 能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。 观察法 教 学 内 容 及 过 程 学生活动 一、复习: 1、什么是等腰三角形? 2、你会画一个等腰三角形吗?并把你画的等腰三角形栽剪下来。 3、试用折纸的办法回忆等腰三角形有哪些性质? 二、新课讲解: 之前,我们已经证明了有关平行线的一些结论,运用下面的公理和已 经证明的定理,我们还可以证明有关三角形的一些结论。 同学们和我一起来回忆上学期学过的公理: ? 1.两直线被第三条直线所截 ,如果同位角相等 ,那么这两条直线平 行; ? 2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等; ? 3.两边夹角对应相等的两个三角形全等; (SAS ) ? 4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; (ASA ) ? 5.三边对应相等的两个三角形全等; (SSS ) ? 6.全等三角形的对应边相等,对应角相等. 由公理 5、3、4、6 可容易证明下面的推论: 推论 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 AAS ) 证明过程: 已知:∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF 求证:△ABC ≌△DEF 证明:∵∠A=∠D,∠B=∠E (已知) ∵∠A+∠B+∠C=180°,∠D+∠E+∠F=180°(三角形内角和等于 180°) ∠C=180°-(∠A+∠B) ∠F=180°-(∠D+∠E) ∠C=∠F (等量代换) BC=EF (已知) △ABC ≌△DEF (ASA ) 这个推论虽然简单,但也应让学生进行证明,以熟悉的基本要求和步 骤,为下面的推理证明做准备。 这个推论 虽然简单, 但也应让 学生进行 证明,以熟 悉的基本 要求和步 骤,为下面 的推理证 明做准备。 学生充分 讨论问题 1,借助等 腰三角形

小学奥数知识点汇总大全!

小学数学奥数知识点汇总大全! 1.、小升初奥数知识点(年龄问题的三大特征) ①两个人的年龄差是不变的; ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的; ③两个人的年龄的倍数是发生变化的; 2、小升初奥数知识点(植树问题总结): 基本类型: 在直线或者不封闭的曲线上植树,两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树,两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树,只有一端植树。 3、鸡兔同笼问题 基本概念:鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题,就是把假设错的那部分置换出来; 基本思路:

①设,即假设某种现象存在(甲和乙一样或者乙和甲一样): ②假设后,发生了和题目条件不同的差,找出这个差是多少; ③每个事物造成的差是固定的,从而找出出现这个差的原因; ④再根据这两个差作适当的调整,消去出现的差。 基本公式: ①把所有鸡假设成兔子:鸡数=(兔脚数×总头数-总脚数)÷(兔脚数-鸡脚数) ②把所有兔子假设成鸡:兔数=(总脚数一鸡脚数×总头数)÷(兔脚数一鸡脚数) 关键问题:找出总量的差与单位量的差。 4、奥数知识点(盈亏问题) 盈亏问题 基本概念:一定量的对象,按照某种标准分组,产生一种结果:按照另一种标准分组,

又产生一种结果,由于 分组的标准不同,造成结果的差异,由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量. 基本思路:先将两种分配方案进行比较,分析由于标准的差异造成结果的变化,根据这个关系求出参加分配的总份数,然后根据题意求出对象的总量. 基本题型: ①一次有余数,另一次不足; 基本公式:总份数=(余数+不足数)÷两次每份数的差 ②当两次都有余数; 基本公式:总份数=(较大余数一较小余数)÷两次每份数的差 ③当两次都不足; 基本公式:总份数=(较大不足数一较小不足数)÷两次每份数的差 基本特点:对象总量和总的组数是不变的。

等腰三角形的性质及应用讲义

初二数学讲义 等腰三角形的性质及应用 等腰三角形的性质: 性质1▲等腰三角形的两个底角相等。 (简写成: 等边对等角. ) 性质2▲等腰三角形的 、底边上的 、底边上的 互相重合。 (简写成:等腰三角形的“三线合一”) 性质3▲ 等腰三角形是轴对称图形,底边的垂直平分线是它的对称轴. 用几何符号语言表达: 性质1 性质2 注意:△ABC 中,如果AB =AC ,D 在BC 上,那么由条件①∠1=∠2,②AD ⊥AC ,③BD =CD 中的任意一个都可以推出另外两个.(为了方便记忆可以说成“知一求二” ) 等腰三角形的三边的关系,三个内角的关系 1.某等腰三角形的两条边长分别为3cm 和6cm ,则它的周长为( ) A .9cm B.12cm C.15cm D.12cm 或15cm 2.已知等腰三角形的周长为24cm ,一腰长是底边长的2倍,则腰长是( ) A .4.8cm B .9.6cm C .2.4cm D .1.2cm 3.若等腰三角形中有一个角等于50?,则这个等腰三角形的顶角的度数为( ) A .50? B.80? C.65?或50? D.50?或80? ∵AB =AC ∴∠B =∠C (等边对等角) ∵AB =AC ,AD ⊥BC , ∴∠1=∠____,BD =_____;(等腰三角形的“三线合一”) ∵AB =AC ,∠1=∠2, ∴AD ⊥_____,BD =______;(等腰三角形的“三线合一”) ∵AB =AC ,BD =CD , ∴∠1=∠___,AD ⊥_____.(等腰三角形的“三线合一”)

【例1】如图,等腰三角形ABC中,已知AB=AC,∠A=30°,AB的垂直平分线交AC 于D,求∠CBD的度数. 【例2】在ABC ?中,AB AC =,BC BD ED EA ===.求A ∠的度数. 【例3】已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60?,求三角形三个内角的度数. 【例4】如图所示,已知ABC ?中,D、E为BC边上的点,且AD AE =,BD EC =,求证:AB AC =. A B C D E 例题精讲

等腰三角形的判定教学设计

《等腰三角形的判定》教学设计 ◆您现在正在阅读的《等腰三角形的判定》教学设计文章内容由收集!本站将为您提供更多的精品教学资源!《等腰三角形的判定》教学设计重点与难点分析: 本节内容的重点是等腰三角形的判定定理.本定理是证明两条线段相等的重要定理,它是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据,此定理为证明线段相等提供了又一种方法,这是本节的重点.推论1、2提供证明等边三角形的方法,推论3是直角三角形的一条重要性质,在直角三角形中找边和角的等量关系经常用到此推论. 本节内容的难点是性质与判定的区别。等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理,题设与结论正好相反.学生在应用它们的时候,经常混淆,帮助学生认识判定与性质的区别,这是本节的难点.另外本节的文字叙述题也是难点之一,和上节结合让学生逐步掌握解题的思路方法.由于知识点的增加,题目的复杂程度也提高,一定要学生真正理解定理和推论,才能在解题时从条件得到用哪个定理及如何用. 教法建议: 本节课教学方法主要是以学生为主体的讨论探索法。在数学教学中要避免过多告诉学生现成结论。提倡教师鼓励学生讨

论解决问题的方法,引导他们探索数学的内在规律。具体说明如下: 页 1 第 (1)参与探索发现,领略知识形成过程 学生学习过互逆命题和互逆定理的概念,首先提出问题:等腰三角形性质定理的逆命题的什么?找一名学生口述完了,接下来问:此命题是否为真命?等同学们证明完了,找一名学生代表发言.最后找一名学生用文字口述定理的内容。这样很自然就得到了等腰三角形的判定定理.这样让学生亲自动手实践,积极参与发现,满打满算了学生的认识冲突,使学生克服思维和探求的惰性,获得锻炼机会,对定理的产生过程,真正做到心领神会。 (2)采用类比的学习方法,获取知识。 由性质定理的学习,我们得到了几个推论,自然想到:根据等腰三角形的判定定理,我们能得到哪些特殊的结论或者说哪些推论呢?这里先让学生发表意见,然后大家共同分析讨论,把一些有价值的、甚至就是教材中的推论板书出来。如果学生提到的不完整,教师可以做适当的点拨引导。(3)总结,形成知识结构 为了使学生对本节课有一个完整的认识,便于今后的应用,教师提出如下问题,让学生思考回答:(1)怎样判定一个三角形是等腰三角形?有哪些定理依据?(2)怎样判定一个

【精品】等腰三角形性质及判定 基础知识点练习题

等腰三角形性质及判定 等腰三角形的性质 知识点一:等腰三角形的定义 1.等腰三角形的两边的长为3和5,则其周长为_____________ 2.等腰三角形的两边的长分别为2和4,则取周长为__________ 3.等腰三角形的周长为29,其中一边长为7,则它的底边长为________ 4.等腰三角形的一个角为40°,则其余角度为_____________ 5.等腰三角形的一个角为120°,则其余角为____________ 知识点二等边对等角 6.△ABC中,AB=AC,∠B=70°,则∠A的度数是___________ 7.如图,AB∥CD,点E在BC上,且CD=CE,∠D=80°,则∠B的度数为_________。 第7题第8题第9题 8.如图,在△ABC中,AB=AC,AD∥BC,若∠1=70°,则∠BAC=___________ 9.如图,△ABC中,AB=AC,∠B=40°,CD=AC,则∠DAC=_________,∠DAB=__________- 10.如图,△ABC中,AB=AC,AE平分△ABC的外角∠DAC,求证:AE∥BC。

知识点三:等腰三角形的“三线合一” 11.在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,若AB=6,CD=4,则△ABC的周长为_________- 12.在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,若∠BAD=20°,则∠C=_________ 13.如图,在△ABC中,AB=AC,BD=CD,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,求证:DE=DF 14.如图,已知AB=AC=AD,且AD∥BC,求证:∠C=2∠D 15.在△ABC中,AC=AB,点D在AB上,BC=BD,∠ACD=15°,求∠B的度数。 16.如图,AB=AC=CD,AD=BD,求∠BAC的度数。

小学奥数知识点梳理

小学奥数(知识点梳理) .、八、一 前言 小学奥数知识点梳理,对于学而思的小学奥数大纲建设尤其必要,不过,对于知识点的概 括很可能出现以偏概全挂一漏万的现象,为此,本人参考了单尊主编的《小学数学奥林匹克》 中国少年报社主编的《华杯赛教材》、《华杯赛集训指南》以及学而思的《寒假班系列教材》和华罗庚学校的教材共五套教材,力图打破原有体系,重新整合划分,构建十七块体系(其第十七为解题方法汇集,可补充相应杂题),原则上简明扼要,努力刻画小学奥数知识的主树干。 概述 一、计算 1.四则混合运算繁分数 ⑴ 运算顺序 ⑵ 分数、小数混合运算技巧 一般而言: ①加减运算中, 能化成有限小数的统一以小数形式; ②乘除运算中, 统一以分数形式。 ⑶带分数与假分数的互化 ⑷繁分数的化简 2.简便计算 ⑴凑整思想 ⑵基准数思想 ⑶裂项与拆分 ⑷提取公因数 ⑸商不变性质 ⑹改变运算顺序 ①运算定律的综合运用 ②连减的性质 ③连除的性质 ④同级运算移项的性质 ⑤增减括号的性质 ⑥变式提取公因数 形如:a1 b a2 b a n b (a1 a2 a n) b 3.估算求某式的整数部分:扩缩法 4.比较大小 ①通分 a. 通分母 b. 通分子 ②跟“中介”比 ③利用倒数性质

⑥ a 2 b 2 2 +n+ (n_1 ) + …4+3+2+1= n 二、 数论 1.奇偶性问题 奇 奇=偶 奇X 奇=奇 奇 偶=奇 奇X 偶=偶 偶 偶=偶 偶X 偶=偶 2.位值原则 形如:abc =100a+10b+c ① 如果c|a 、c|b,那么c|(a b )。 ② 如果bc|a,那么b|a,c|a 。 若1 1 丄,则c>b>a.。形如: m 2 m 3 ,则 厲 a b c 5 n 3 n ? n 3 m 2 m 3 5. 定义新运算 6. 特殊数列求和 运用相关公式: ① 1 2 3 n ② 12 22 ③ a n n n 1 n n 1 2 2 n n 1 2n 1 n 6 2 n n ④ 13 23 n 3 1 2 n 2 n ⑤ abcabc abc 1001 abc 7 11 13 ⑦1+2+3+4???(n-1)

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