线性代数公式定理大全
线性代数公式大全
第一章 行列式
1．逆序数 1.1 定义
n 个互不相等的正整数任意一种排列为：12n i i i ???，规定由小到大为标准次序，当某两个元素的先后次序与标准次序
不同时，就说有一个逆序数，该排列全部逆序数的总合用()12n i i i τ???表示，()12n i i i τ???等于它所有数字中后面小于前
面数字的个数之和。 1.2 性质
一个排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性，即 ()211ττ=-。
证明如下：
设排列为111l m n a a ab b bc c ，作m 次相邻对换后，变成111l m n a a abb b c c ，再作1m +次相邻对换
后，变成1
11l m n a a bb b ac c ，共经过21m +次相邻对换，而对不同大小的两元素每次相邻对换逆序数要么增加1 ，
要么减少1 ，相当于()211ττ=-，也就是排列必改变改变奇偶性，21m +次相邻对换后()()21
21111m τττ+=-=-，
故原命题成立。
2．n 阶行列式的5大性质
性质1：转置（行与列顺次互换）其值不变。 性质2：互换任意两行（列）其值变号。
性质3：任意某行（列）可提出公因子到行列式符号外。 性质4：任意行列式可按某行（列）分解为两个行列式之和。 性质5：把行列式某行（列）λ倍后再加到另一行（列），其值不变。
行列式的五大性质全部可通过其定义证明；而以后对行列式的运算主要是利用这五个性质。
对性质4的重要拓展： 设n 阶同型矩阵，
()()(); ij ij ij ij A a B b A B a b ==?+=+，而行列式只是就某一列分解，所以，A B +应当
是2n
个行列式之和，即A B A B
+≠+。
韦达定理的一般形式为：
()1
2
120
120111
0; ; 1n n
n
n n n n n n n n n i i j i i i j i n n n a a a
a x a x
a x
a x x x x a a a ------=≠==+++
+=?=-==-∑∑∏
一、行列式定义 1．定义
11
121212221
2
n n n n nn
a a a a a a a a a n n nj j j j j j a a a 221211)
()
1(τ∑-=
其中逆序数 ()12
1
n
j j j j τ=后面的1j 小的数的个数 2j +后面比2j 小的数的个数+1n j -+后面比1n j -小的数的
个数.
2．三角形行列式
11
12122200
n n nn
a a a a a
a 1121221
2
000n n nn
a a a a a a =
1122
nn a a
a
=
121
1
00
0n n n nn nn
a a a a a -11121
21221
00
n n a a a a a a =
()
()121121
11n n n n n a a a τ-?????
-=-()
()12
12111n n n n n a a a --=-
二、行列式性质和展开定理
1．会熟练运用行列式性质，进行行列式计算. 2．展开定理
1122i k i k in kn ik a A a A a A A δ+++=
A A a A a A a jk nk nj k j k j δ=+++2211
三、重要公式 设A 是n 阶方阵，则 1．T A A =
2．
1
1A A
--=
3．1
*n A A
-=
4．n kA k A =
5．
AB A B =，其中B 也是n 阶方阵
6．设B 为m 阶方阵，则
00A C A A B B C
B =
=
()
10
mn
A
C A A B
B C
B
=
=-
7．范德蒙行列式
()12222
12
11
11
12
111n i
j
n
j i n
n n n n
x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏
四．有关结论 1．对于
,n n n n A B ??
(1)
00A A ?==? (2) A B A B
?==?
2.
A 为n 阶可逆矩阵
A E A E ?→?→行变
列变
（A 与E 等价）
0AX ?=只有惟一零解
AX b ?=有惟一解（克莱姆法则） A ?的行（列）向量组线性无关 A ?的n 个特征值0,1,2,
,i i n λ≠=
?A 可写成若干个初等矩阵的乘积 ?)()(B r AB r = ?A A T 是正定矩阵
?A 是n R 中某两组基之间的过渡矩阵
3.
A 为n 阶不可逆矩阵
0=A 0AX ?=有非零解 ?n A r <)( ?0是A 的特征值 ?A A -=
4.若
A 为n 阶矩阵，)2,1(n i i =λ为A 的n 个特征值，则∏==n
i i A 1
λ
5.若B A ~，则B A =
行列式的基本计算方法：
1. 应用行列式的性质化简行列式（例如化为三角形行列式就是一个常用方法）。
2. 按行（列）展开行列式（在此基础上，有些题可用数学归纳法、有些题可用递推关系式来计算行列式）。 在实际使用中，常常将上述两种方法交替使用。
行列式的计算是行列式的重点内容，特别是低阶行列式及简单的n 阶行列式的计算一般总要遇到（例如求特征值），因此，务求熟练掌握。 典型题:
一. 数字行列式的计算. 1. 利用行列式的定义. 2. 利用行列式的基本性质.
3. 一般的数字行列式，三角化，爪形行列式，行列式按某行（列展开），利用特征值、特征向量求。递推公式. 二. 行列式的代数余子式的相关计算. 三.
A B
+类型成抽象行列式的计算.
1.与向量成分块矩阵结合 2与特征值、特征向量结合. 4 与代数余子式结合.
四.范德蒙行列式与克莱姆法则
第二章 矩阵
一 内容概要 1 矩阵的概念
注意它和行列式的区别：1）表现形式上的差别；2）表现本质上的差别，一个是数（行列式是数），而矩阵是一个符号；3）一般地当A 是一个方阵时候，
A 才有意义，但是A A ≠；此外当A 是长方形矩阵时A 没有意义。
2矩阵的运算及其运算律 （1）矩阵的相等； （2）矩阵的线性运算：
a)矩阵的和：A+B 注意A 和B 要是阶数一致的矩阵（或称同型矩阵）；
b)矩阵的数乘（或称数乘矩阵）
()n m ij n m ij ka a k kA ??==)(；
c)一般地，若t t t A k A k A A A A +++ 221121k ,,,是同型矩阵，则有意义，称为矩阵t A A A ,,,21 的一个
线性运算；
3矩阵的转置
将矩阵A 的行列互换，得到新的矩阵A A T '或，称为矩阵A 的转置。
4 矩阵的乘法 矩阵乘法的定义：
()s m ij s n n m C B A ???=
注意指出：在定义中，第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，而
()????
??
? ??=+++=nj j j i i i nj in j i j i ij b b b a a a b a b a b a c 2142
12211
5 关于矩阵运算的运算律要注意的问题： 1）一般地其BA AB ≠原因是a)AB 与BA 不一定同时有意义；b)即使AB 与BA 都有意义，AB 与BA 的阶数也未必一
致；例如
()()同都有意义，但其阶数不与，则BA AB b B a A jt ij 3223,??==；
c)即使AB 与BA 其阶数相同，但AB 与BA 也未必相同；如果AB=BA ，则称A 与B 是可以交换的。
例如BA AB BA AB B A ≠???
? ??--=???? ??=都有意义，但是
与，则1111,1111 2）矩阵的乘法不满足消去律， 即一般地若
0,0,00,=≠==≠=X A AX C B A AC AB 推不出，例如若，推不出
3）若
()T T T
A B AB AB =有意义，则
3 几种特殊类型的矩阵
（1）0矩阵；（2）单位矩阵；（3）对角矩阵；数量矩阵；（4）三角矩阵；上三角、下三角矩阵； （5）对称矩阵：若
()T ji ij n n ij A A a a a A ===?，即,； （6）反对称矩阵：若
()T ji ij n n ij A A a a a A --,===?，即；
关于反对称矩阵常用的结论：1）A 的主对角线上的元素全是0；2）若A 是奇数阶行列式，则
0=A ;
(7)正交矩阵：若
1-===A A E A A AA A T T T 或满足：，则称A 是正交矩阵。
关于正交矩阵与对称矩阵的关系有：若A 是一个实对称矩阵，则存在一个正交矩阵T 使得：
??
?
???
?? ?
?==--n n T AT T AT T λλλλ12
11
； （8）阶梯形矩阵
若A 满足：0行全在非0行的下方，非0行的第一个非0的数它的下面的数全是0（若有的话）； 关于阶梯形矩阵：任意一个矩阵A 都可以通过初等变换化为阶梯形矩阵；
（9）分块矩阵；对一个矩阵进行适当的分快，可以带来很多方便，它有很多的应用；
（10）初等矩阵：初等矩阵与矩阵的初等变换关系非常密切，要充分理解它的概念和它的作用。 4 分块矩阵
当一个矩阵的阶数较高时，对此矩阵进行恰当的分块，更能容易看清其矩阵的规律和问题的结构特点。 矩阵分块的原则：在同一行中，其各个块矩阵的行数一致，在同一列中，其块矩阵列数一致； 分块矩阵运算的原则：
（1）分块矩阵的加法：若A+B,其对矩阵A,B 的分块方法完全一致；
（2）分块矩阵的乘法：若AB ，其对第一个矩阵的列的分法同第二个矩阵行的分法完全一致。 5初等矩阵、矩阵的初等变换、矩阵的等价
（1）初等矩阵的定义：对单位矩阵进行一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵； 用四阶单位矩阵来说明初等矩阵的几种形式。 （2）初等变换
初等行变换、初等列变换； （3）初等变换与初等矩阵之间的关系
对矩阵A 做一次初等行变换成为B ，则B=PA （其中P 是与行变换相对应的初等矩阵）举例说明：
B A r r =????
?
??--???→?????? ??--=+-?13131022113113222121)2(
即则PA B =???
?
?
??--????? ??-=????? ??--=131132221100012001131310221B
对于矩阵A 作一次初等列变换成为B ，则B=AP （其中P 是与上述列变换相对应的初等矩阵）。
举例说明B A c c =???
?? ??---??
?→?????? ??--=+-?11111220113113222121)2( ????
? ??-????? ??--=????? ??---=100010021131132221111112201B
(4)矩阵A 与B 等价
如果A 能够通过初等变换变为B 则称A 与B 等价，用式子表示就是：
j s t t Q P Q Q AQ P P P B ,,i 2111其中 -=是初等矩阵
每一个矩阵A 都与矩阵???
?
??000r
E 等价，其中r 是矩阵A 的秩，即存在 ???
? ?
?=-000,2111i r
s t t j E Q Q AQ P P P Q P 使得：初等矩阵 6 关于n 阶矩阵的逆矩阵
（1）逆矩阵的定义：设A 是一个n 阶矩阵，若有n 阶方阵B 使得 AB=E 或BA=E 则称矩阵A 是可逆的； ( 2 )n 阶方阵A 可逆的充要条件
1）用矩阵的方式描述：存在矩阵B 使得 AB=E 或BA=E(即定义）； 2）用A 的行列式
0≠A A 来描述：;
3）用矩阵的秩来描述：的阶数；是矩阵这里A n n A r =)( 4）用向量的观点来描述：矩阵A 的行向量组（或列向量组）线性无关； 5）用方程组的观点来描述：方程组AX=0仅有0解； 6）用矩阵A 的特征值来描述：A 的特征值全不0； （3）逆矩阵的性质
1）若A 有逆矩阵，则逆矩阵是唯一的； 2）若A,B 是同阶可逆矩阵，则AB 也可逆，且()111---=A B AB ;
3）
()
()
()()()n
n
T T
A A A A A k A A A A A 11
1
1111
11
1
1,k ,)(,-----------=====，;
4）???
?
??≠???? ?
?=???? ?????? ?
?=????
??--------00
00
00
,00001
1111
111
B A A B B A B A B A （4）逆矩阵的求法
1）具体的数字矩阵常用的方法是用伴随矩阵的方法；或用初等变换的方法。这是两种最基本的方法，应该熟练，特别是对于三阶矩阵；
初等变换求逆矩阵的方法：
()()1||-=?????→?A B B E E A ，则一系列初等行变换
2）对于抽象的矩阵A,求此逆矩阵，常用的方法是想办法找到矩阵B 使得：AB=E ，或BA=E ，此时的B 就是所求的逆矩阵；
3）如果要判断矩阵A 是否可逆，就考虑上述的矩阵可逆的充要条件； （5）关于伴随矩阵
1)伴随矩阵的定义，强调伴随矩阵中元素的构成规律； 2)伴随矩阵常用的性质 对于任意的方阵A 均有此伴随矩阵
*A
E A A A AA ==**使得
当
00,10***
1====
≠-A A AA A A A
A A 时：当时， 对于一般地方阵A ，其伴随矩阵
*A 的秩为：
??
?
??-≤-===2)(01)(1)()(*n A r n A r n A r n A r 若若若
当
00,0*1
*===≠-A A A
A A n 时当时，。
（6）关于矩阵的秩
1）矩阵秩的定义：在矩阵A 中，有一个不等于0的r 阶子式r D ，且所有r+1阶子式（如果存在的话）全等于0，那么r 称为矩阵A 的秩，r D 称为矩阵A 的最高阶非0子式。规定0矩阵的秩是0。
2）矩阵的秩与初等变换的关系：对矩阵A 实行初等变换其秩不变
)()(B r A r B A =→→，则一系列初等变换
3）矩阵秩的求法 应用上面的结论，求矩阵A 的秩其一般方法是
是阶梯型矩阵），（一系列初等变换T T A ????→?
行的行数的非）（则0)(T T r A r ==
4）有关矩阵秩的重要结论
()()()
是实矩阵）（若A AA r A r A r T T ==
{}n m A r A ,m in )(10≤≤≠，则若
()(){}())()(|)(),(m ax ,)(),(m in ),()()(B r A r B A r B r A r B r A r AB r B r A r B A r +≤≤≤+≤±
若P 、Q 分别是可逆矩阵，且下列运算有意义，则
)()()()(PAQ r AQ r PA r A r ===
)()(00
),()(00B r A r B A r B r A r B A r +=???
?
?
?+=???? ?? 若A 为n m ?矩阵，B 为s n ?矩阵，且AB=0，则：
n B r A r ≤+)()(
此外，矩阵的秩常常和向量组的秩联系起来，注意和向量组的秩的关系。
二 常见题型
题型一：有关矩阵运算律的考察和相关概念的考查 在考虑矩阵的乘积可交换时，常常利用E A A AA ==--11来进行。
题型二： 矩阵可逆的计算与证明
（1）对于具体的三阶、四阶的数字矩阵求此逆，初等变换的方法一定要会，用伴随矩阵的方法要基本清楚； （2）如果给定了抽象的条件，要求
1-A ，此时注意将条件转化为AB=E ，或BA=E,此时的B 就是要求的1-A 。
在处理有关矩阵逆的问题的时候，注意逆矩阵的性质以及前面所讲的矩阵可逆的充要条件。 题型三： 关于伴随矩阵
逆矩阵常常与伴随矩阵相联系，此外伴随矩阵也是多年来考察的热点。这类问题多注意伴随矩阵的定义以及与逆矩阵的关系。
题型四： 有关初等矩阵及其初等变换的问题 题型五： 解矩阵方程
将所给的条件转化为矩阵方程：这里或或B AXC B XA B AX ===的矩阵A,C 一般地都是可逆矩阵。
对于矩阵方程()()D E B A B AX ||???→?=初等行变换，其一般的解法为：，则这里的矩阵B A D 1-=；
或者先求出
B A A 11--，再计算。
对于其他类型的矩阵方程类似地可以给出求解方法。 题型六： 关于矩阵的秩
1 具体的数字矩阵求秩，用初等变换进行，对矩阵A 实行初等变换使之称为阶梯形矩阵T,由此可求出矩阵A 的秩（在初等变换下，矩阵的秩不变）；
2 利用矩阵的秩，等于矩阵A 的行向量组的秩，等于矩阵A 的列向量组的秩等性质。
3 注意矩阵秩的有关不等式。 题型七： 求一个方阵的高次幂 当A 是一个方阵的时候，k A 才有意义，否则没有意义。
第三章 n 维向量空间
§3.1 n 维向量的定义 1. 定义
定义：n 个数n a a a ,,,21 构成的有序数组, 记作),,,(21n a a a =α,
称为n 维行向量．
i a –– 称为向量α的第i 个分量
R ∈i a –– 称α为实向量（下面主要讨论实向量）
C ∈i a –– 称α
为复向量
零向量：)0,,0,0( =θ
负向量：
),,,()(21n a a a ---=- α
列向量：n 个数n a a a ,,,2
1 构成的有序数组, 记作?
??
???
??????=n a a a 21α, 或者T 21),,,(n a a a =α, 称为n 维列向量．
零向量：
?
?
?
?
??
??????=000 θ 负向量：????????????---=-n a a a 21)(α 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．
§3.2 n 维向量的线性运算 1．定义
线性运算：),,,(21n a a a =α, ),,,(21n b b b =β
相等：若),,2,1(n i b a i i ==, 称β
α=．
加法：Δ
=+βα),,,(2211n n b a b a b a +++
数乘：
),,,(21Δ
n ka ka ka k =α
减法：Δ
=-βα=-+)(βα),,,(2211n n b a b a b a ---
2．线性运算律：
),,,(21n a a a =α, ),,,(21n b b b =β, ),,,(21n c c c =γ (1)
αββα+=+ (5) αα=1
(2) )()(γβαγβα++=++ (6) αα)()(l k l k = (3) αθα=+ (7) βαβαk k k +=+)(
(4) θαα=-+)( (8) αααl k l k +=+)(
§3.3 向量组的线性相关性 1．线性组合与线性表示
对n 维向量α及m αα,,1 , 若有数组m k k ,,1 使得
m m k k ααα++= 11, 称α
为
m αα,,1 的线性组合,
或α可由m α
α,,1
线性表示． 例如，
有
，
所以称β是
4321,,,εεεε的线性组合，或β可由4321,,,εεεε线性表示。
判别β是否可由向量组
m εεεε,,,,321 线性表示的定理：
定理1 向量β可由向量组
m εεεε,,,,321 线性表示的充分必要条件是：
以m εεεε,,,,321
为系数列向量，以β为常数项列向量的线性方程组有解，且一个解就是线性表示的系数。
2．向量组的线性相关性
对n 维向量组
m αα,,1 , 若有数组m k k ,,1 不全为0, 使得
011=++m m k k αα
称向量组
m αα,,1 线性相关, 否则称为线性无关．
线性无关：对n 维向量组m αα,,1 , 仅当数组m k k ,,1 全为0时, 才有
011=++m m k k αα
称向量组m αα,,1 线性无关, 否则称为线性相关．
定理2 向量组
m ααα,,,21 3214120ββββ++=线性相关?
其中至少有一个向量可由其余
321,,βββ个向量线性表示．
推论：向量组
m ααα,,,21 3214120ββββ++=线性无关?
任何一个向量都不可由其余
321,,βββ个向量线性表示．
定理3 n 维向量组
m ααα,,,21 线性相关?0=Ax 有非零解，其中),,,(21m A ααα =。 推论：n 维向量组m ααα,,,2
1 线性无关?0=Ax 只有零解，其中),,,(21m A ααα =。
定理4 若向量组
m ααα,,,21 线性无关, βααα,,,,21m 线性相关,
则β可由m α
αα,,,2
1 线性表示, 且表示式唯一． 一些结论：
(1) 单个零向量线性相关,单个非零向量线性无关； (2) 含零向量的任何向量组线性相关；
(3) 基本向量组n e
e e ,,,2
1 线性无关； (4) 有两个向量相等的向量组线性相关；
(5) m>n 时， m 个n 维向量必线性相关. 特别：m=n+1 ；
(6) n 个n 维向量线性无关?它们所构成方阵的行列式不为零； (7) n 维向量空间任一线性无关组最多只能包含n 向量. §3.4 向量组的极大线性无关组 1. 等价向量组
1234
2100050100,,,,3001000001βεεεε?????????? ? ? ? ? ?- ? ? ? ? ?=
==== ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???????????
210005010025303001000001?????????? ? ? ? ? ?- ? ? ? ? ?=-++ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???????????
1234=2530βεεεε
-++即
设向量组r T ααα,,,:211 , s T βββ,,,:212
若
),,2,1(r i i =α可由s βββ,,,21 线性表示, 称1T 可由2T 线性表示；
若1T 与2T 可以互相线性表示, 称1T 与2T 等价． (1) 自反性：1T 与1T 等价 (2) 对称性：1T 与2T 等价?2T 与1T 等价
(3) 传递性：1T 与2T 等价, 2T 与3T 等价?1T 与3T 等价
等价向量组的基本性质： 定理 设
s ααα,,,21 与s βββ,,,21 是两个向量组，如果
(1) 向量组s ααα,,,21 可以由向量组s βββ,,,21 线性表示；
(2)
t s >
则向量组s ααα,,,2
1 必线性相关。
推论1向量组
s ααα,,,21 可以由向量组s βββ,,,21 线性表示，并且
s ααα,,,21 线性无关，那么t s ≤。
推论2 两个线性无关的等价的向量组，必包含相同个数的向量。 2．向量组的极大线性无关组
设向量组为
A , 如果在A 中有r 个向量r ααα,,,21 满足： (1) 0A :r ααα,,,2
1 线性无关；
(2) 任意1+r 个向量线性相关（如果有1+r 个向量的话）．
称r α
αα,,,2
1 为向量组为A 的一个极大线性无关组，简称极大无关组。 注：(1) 只含零向量的向量组没有极大无关组；
(2) 一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身； (3) 一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组表示。 例如，在向量组
???
???? ??--=??????? ??-=??????? ??-=1412,4524,1312321ααα中，首先21,αα线性无关，又321,,ααα线性相关，所以21,αα组成的
部分组是极大无关组。还可以验证32
,αα也是一个极大无关组。
注：一个向量组的极大无关组一般不是唯一的。
极大无关组的基本性质：
性质1 任何一个极大无关组都与向量组本身等价。 性质2 向量组的任意两个极大无关组都是等价的。
定理 一个向量组的任意两个极大无关组等价，且所包含向量的个数相同。
3．向量组的秩与矩阵秩的关系 3.1 向量组的秩
定义3 向量组的极大无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩，记做
),,,(21s r ααα 。
例如，向量组
???
???? ??--=??????? ??-=??????? ??-=1412,4524,1312321ααα的秩为2. 关于向量组的秩的结论:
(1) 零向量组的秩为0；
(2) 向量组s ααα,,,21 线性无关?s r s =),,,(21ααα ，
向量组
s ααα,,,21 线性相关?.),,,(21s r s <ααα ，
(3) 如果向量组s α
αα,,,21 可以由向量组t β
ββ,,,21 线性表示，则
);,,,(),,,(2121s s r r βββααα ≤
(4) 等价的向量组必有相同的秩。 注：两个有相同的秩的向量组不一定等价。
两个向量组有相同的秩，并且其中一个可以被另一个线性表示，则这两个向量组等价。
3.2 矩阵的秩
3.2.1 行秩、列秩、矩阵的秩
把矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可被认为由这些行向量组成， 把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵可被认为由这些列向量组成。 定义4：矩阵的行向量的秩，就称为矩阵的行秩; 矩阵的列向量的秩，就称为矩阵的列秩。 问题：矩阵的行秩等于矩阵的列秩吗？
引理1: 矩阵的初等行(列)变换不改变矩阵的行(列)秩。 引理2：矩阵的初等行(列)变换不改变矩阵的列(行)秩。 综上，矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩与列秩。 定理：矩阵的行秩＝矩阵的列秩。
定义5：矩阵的行秩＝矩阵的列秩，统称为矩阵的秩。
记为r(A),或rankA ，或秩A 。
推论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。
3.2.2矩阵秩的求法
首先复习: 行阶梯形矩阵和行最简形矩阵的概念和特点。
对于任何矩阵，总可以经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。 结论：行阶梯形矩阵的秩＝非零行的行数 求矩阵秩的方法:
把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵，则行阶梯形矩阵中非零行的行数就是原来矩阵的秩。 求向量组的秩、极大无关组的步骤：
(1) 向量组
s ααα,,,21 作列向量构成矩阵A ；
(2) B
A 初等行变换(行最简形矩阵) (3) 求出
B 的列向量组的极大无关组
(4) A 中与B 的列向量组的极大无关组相对应部分的列向量组，即为A 的极大无关组。 3.2.3 矩阵秩的性质
(1) 等价的矩阵，秩相同；
(2) 任意矩阵A ，有
)()(T
A r A r =； (3) 任何矩阵与可逆矩阵相乘，秩不变。 若P 可逆，对于任意的矩阵A ，有)()()(AP r A r PA r ==
(4) 对于
,,p n n m B A ??
??????
?<+=-+≥≤+≤+.)()(;)()()()};(),(min{)();
()()(n B r A r O AB n B r A r AB r B r A r AB r B r A r B A r 有时，
当 3.3 矩阵的秩与行列式的关系 定理 n 阶方阵A ，
A n A r ?=)(的n 个行(列)向量组线性无关
,0≠?A 即A 为可逆矩阵(也称为满秩矩阵) A n A r ?<)(的n 个行(列)向量组线性相关
.0=?A
§3.5 向量空间
1．向量空间的概念
定义1： 设 V 为n 维向量的集合，如果集合V 非空，且集合V 对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称集合V 为向量空间．
说明：集合 V 对于加法及数乘两种运算封闭指 ,
,V ∈?βα有;V ∈+βα
,
,R k V ∈∈?α有.V k ∈α
一般地，由向量组
m a a a ,,,21 所生成的向量空间为
},,,{212
211R a a a x V m m m ∈+++==λλλλλλ
2．向量空间的基与维数
定义2：设V 是向量空间，如果r 个向量V r
∈ααα,,,21 ，且满足
(1)
r ααα,,,21 线性无关；
(2) V 中任何一向量都可由r ααα,,,21 线性表示，那么，就称向量组r ααα,,,21 是向量空间V 的一个基，r 成为向量空间V 的维数，记作dim V ＝r ，并称V 是r 维向量空间。 注：（1）只含有零向量的向量空间没有基，规定其维数为0。
（2）如果把向量空间看作向量组，可知，V 的基就是向量组的极大无关组，V 的维数就是向量组的秩。 （3）向量空间的基不唯一。 3．向量在基下的坐标 定义3：设向量空间V 的基为r αα,,1 , 对于V ∈?α,
表示式
r r x x ααα++= 11唯一（定理2）, 称T 1),,(r x x 为α
在
基
r αα,,1 下的坐标（列向量）．
注： α为n 维向量, α在V 的基r αα,,1
下的坐标为r 维列向量．
因为线性无关的“n 维向量组”最多含有n 个向量, 所以由 n 维向量构成的向量空间的基中最多含有n 个向量, 故n r ≤． §3.5 欧式空间 1． 内积的概念
定义1：n 维实向量
???
???? ??=??????? ??=n n b b b a a a 2121,βα，称n n b a b a b a +++= 2211),(βα
()β
αT n n b b b a a a =????
???
??= 2121,,,为α
和β的内积。
若βα,为行向量，则T αββα=)
,(。
向量空间的性质： (1) ),(),(αββα=
(2) ),(),(),(γβγαγβα+=+ (3) ),(),(βαβαk k =
(4)
0),(≥αα等号成立当且仅当0=α
定义2 实数
2
2221),(n a a a +++== ααα为向量的长度(或模，或范数)。
若
1=α，称α
为单位向量。
把向量单位化：若,0≠α则0≠α，考虑
11),(1),(
222===ααααααααα，即
αα的模为1，为单位向量，称
为把α单位化。 向量长度的性质：
(1) 非负性：当0≠α时，0>α；当0=α时，0=α；
(2) 齐次性：
α
αk k =；
(3) 柯西-------施瓦兹不等式：β
αβα≤),(；
(4) 三角不等式：
β
αβα+≤+
定义3：设实向量θα≠,θβ≠, 称
β
αβαβα)
,(arccos
,>=<
)0(π?≤≤
为α与β之间的夹角．
定义4：若0),(=βα, 称α与β正交, 记作βα⊥．
(1)
θα≠,θβ≠时, βα⊥2π
?=
?；
(2) θα=或θβ=时, βα⊥有意义, 而><βα,无意义．
注：（1）零向量与任何向量都正交。
（2）定义了内积的向量空间称为欧氏空间。 2．标准正交基的向量组 定义5
正交向量组：非零实向量
s ααα,,,21 两两正交。
正交单位向量组(标准正交向量组)：非零实向量
s
ααα,,,21 两两正交，且每个向量长度全为1，即
??
?≠==)(0)
(1),(j i j i j i αα。
定理：正交向量组是线性无关的。 例如，书p100例3.5.1
例1 已知三维向量空间中两个向量
正交，试求3α
使
321,,ααα构成三维空间的一个正交基.
3． 正交矩阵
定义6：A 是一个n 阶实矩阵，若E A A T
=，则称A 为正交矩阵。
定理：设A 、B 都是n 阶正交矩阵，则 (1)1=A 或1-=A
(2)
T A A =-1 (3)
)(1T A A 即-也是正交矩阵 (4)
AB 也是正交矩阵。
定理：n 阶实矩阵A 是正交矩阵?A 的列（行）向量组为单位正交向量组。
注：n 个n 维向量，若长度为1，且两两正交，责备以它们为列（行） 向量构成的矩阵一定是正交矩阵。
????
? ??-=???
?? ??=121,11121αα
第四章 线性方程组
一、基本概念及表达形式
非齐次线性方程组的一般形式：?????
??=+++=+++=+++m
n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112
222212********* (I)
A =
??????? ??mn m m n n a a a a a a a a a 2
1
2222111211
A =?????
??
??m mn m m n n
b b b a a a
a a a a a a 2121222
21112
11 ，??????
? ??=??
??
??? ??=??????? ??=mj j j j m n a a a b b b b x x x x 212121,,α。 A 叫作(I)的系数矩阵，A 叫作(I)的增广矩阵。
(I) 还可改写为矩阵方程的形式：
b Ax =
和向量形式：b x x x n n =+++ααα 221
1。
齐次线性方程组的一般形式：???????=+++=+++=+++0
00
221122221211212111n mn m m n
n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a (II)
(II)叫作(I)的导出组，其矩阵形式为：
O Ax =
向量形式为：O x x x n n =+++ααα 221
1。
二、线性方程组解的性质
1)如果α，β是齐次线性方程组O Ax =的两个解，则α+β也是它的解。
2)如果α是齐次线性方程组O Ax =的解，则k α也是它的解。
3)如果有α1，α2，…，αs 是
O Ax =的解，则k 1
α1
+k 2
α2
+…+k s
αs 也是它的解．k i
为任意常数(i =1，2，…，s )。
4)如果α，β是非齐次线性方程组b Ax =的两个解，则α-β是导出组O Ax =的解。
5)如果α是
O Ax =的解，β是b Ax =的解，则α+β是b Ax =的解。
6)如果s γγγ,,,21 是b Ax =的解，s k k k ,,,21 为常数，且121=++s k k k ，
则s s k k k γγγ ++221
1也是b Ax =的解。
三、线性方程组解的判定定理
1、非齐次线性方程组b Ax =
1）若秩≠)
(A 秩)(A ，则b Ax =无解。
2) 若秩=)
(A 秩)(A ???<=则有无穷多解。
则有唯一解，
,,n n
具体做法：设
b Ax =的增广矩阵记为A ，则A 经过初等行变换可化为如下的阶梯形矩阵(需要交换列时可重新排列
未知量的顺序)：
A → … → 11112122111000100
010000000000000
0r n r n rr rn r r c c d c c d c c d d ++++?? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ??
?
于是可知：
（1）当d r +1=0，且r =n 时，原方程组有唯一解。 （2）当d r +1=0，且r 当方程组有解时，写出阶梯形矩阵对应的线性方程组，并求解，就可得到原方程组的解。 2、齐次线性方程组 O Ax = 一定有解（至少有零解），且秩=)(A n 时，有唯一解；秩<=r A )(n 时，有非零解，且有r n -个线性无关的解向 量。 具体做法：由于齐次线性方程组 O Ax =的增广矩阵A 的最后一列全为零，所以对A 施行初等行变换，A 可化为： 11121211 0000100001000000000000000 0r n r n rr rn c c c c c c +++?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 于是可知： (1) 当且r =n 时，齐次线性方程组仅有零解。 (2) 当r 当m =n 时，齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行列式D =0。 四、非齐次线性方程组与其对应的齐次线性方程组解的关系 b Ax =有解?秩=)(A 秩)(A ? ? ?<==则有无穷多解。则有唯一解，,,n n r b Ax =有唯一解?O Ax =只有零解n A =?)(秩。 b Ax =有无穷多解?O Ax =有非零解n A 五、线性方程组解的结构及基础解系的求法 1、齐次线性方程组解的结构及基础解系的求法 设η1，η2，…，ηs 是齐次线性方程组O Ax =的一组解，若 1? η1，η2，…，ηs 线性无关； 2? 方程组O Ax =任何一个解都可由η1，η2，…，ηs 线性表出，则称η1，η2，…，ηs 是O Ax =一个基础解系。 如果齐次线性方程组有非零解(r (A )=r 并且基础解系含有r n -个线性无关的解向量。若 O Ax =的基础解系含有r n -个线性无关的解向量，则O Ax =的任意r n -个线性无关的解向量都是O Ax =的一 个基础解系。 如果η1，η2，…，ηn -r 是齐次线性方程组的一个基础解系，则 O Ax =的全部解为：η=k 1η1+k 2η2+…+k n -r ηn -r ，其中k i (i =1， 2，…，n -r )为任意常数。 若齐次线性方程组O Ax =有非零解，则r (A )=r 下形式： ?????????? ? ??+++00 000000010000100001 1212111 rn rr n r n r c c c c c c 即方程组 O Ax =与下面的方程组同解 ?????? ?----=----=----=++++++++++++n rn r rr r rr r n n r r r r n n r r r r x c x c x c x x c x c x c x x c x c x c x 22112222112212211111 其中x r+1， x r+2，…， x n 为自由未知量 对这n –r 个自由未知量分别取 ?????? ? ??001 ，?????? ? ??010 ，…，???? ?? ? ??100 ，（共n –r 个） 可得方程组(1)的n –r 个线性无关的解 η1=???? ? ??? ???? ? ??+++ 0 0 1- --11211 rr r r c c c ，η2=????????????? ??+++ 0 1 0- --2 2221 rr r r c c c ，…，ηn –r =?? ??????????? ?? 1 0 0- --21 rn n n c c c ，即为其基础解系。 2、齐次线性方程组解的结构及基础解系的求法 设非齐次线性方程组 b Ax =的任意一个解均可表示为方程组b Ax =的一个特解与其导出组O Ax =的某个解之和。 当非齐次线性方程组有无穷多解时，它的通解可表示为： x =0η+k 1η1+k 2η2+…+k n -r ηn -r ， 其中0η为b Ax =的一个特解，η1，η2，…，ηn -r 是齐次线性方程组O Ax =的一个基础解系，k i (i =1，2，…，n -r )为任 意常数。 III 题型归纳及思路提示 题型1 基本概念题（解的结构、性质和结构） 题型2 求线性方程组的通解 题型3 含有参数的线性方程组的讨论（历届考研的重点） 题型4 讨论两个方程组的公共解 题型5 有关线性方程组及其基础解系的证明题 题型6 向量组与线性方程组的综合题 IV 本章小结 重点难点：1、含参数的非齐次线性方程组解的判定及讨论； 2、线性方程组的解的结构，特别要掌握基础解系。 本章几乎每年都要考查，也是线性代数部分的考试重点。一般出单项选择题和计算题。要求考生熟练掌握线性方程组的解的判定和结构。由于三元一次方程的几何意义是平面，故方程组是否有解也可转换为平面的空间位置关系问题。近几年方程组也常与空间平面联合出题，请大家注意方程组与空间平面的关系。 第五章 特征值与二次型 §1 向量的内积 在空间几何中，内积描述了向量的度量性质，如长度、夹角等.由内积的定义： cos ?=x y y x θ ，可得 cos()=y ,?= +x y x x y x 且在直角坐标系中1231231122 33()()=x ,x ,x y ,y ,y x y x y x y .?++ 将上述三维向量的内积概念自然地推广到n 维向量上，就有如下定义。 定义1 设有n 维向量 12 n x x x ??????=??????x ，12n y y y ??????=?????? y ， 称 []1122n n x y x y x y ,=++ +x y 为x 与y 的内积. 内积是向量的一种运算，用矩阵形式可表为 [],'=x y x y . 若ｘ、ｙ、ｚ为n 维实向量，λ为实数，则下列性质从内积的定义可立刻推得. (i) ［x,y ］＝［y,x ］， (ii)［λx,y ］＝λ［x,y ］， (iii)［x+y,z ］＝［x,z ］＋［y,z ］. 同三维向量空间一样，可用内积定义n 维向量的长度和夹角. 定义2 称 == x x 的长度(或范数)，当‖x ‖＝1时称x 为单位向量. 从向量长度的定义可立刻推得以下基本性质： （ｉ）非负性： 当x ≠0时，‖x ‖＞０，当x ＝０时‖x ‖＝０. （ｉｉ）齐次性： ‖λx ‖＝｜λ｜‖x ‖. （ｉｉｉ）三角不等式： ‖x ＋y ‖≤‖x ‖＋‖y ‖. （ｉｖ）柯西----许瓦茨（Cauchy-Schwarz ）不等式: ［x ，y ］２ ≤‖x ‖２ ‖y ‖２ . 由柯西-许瓦茨不等式可得 [] ,?x y y x ≤１（‖x ‖·‖y ‖≠０）. 于是我们定义，当‖ｘ‖≠０，‖ｙ‖≠0时，称 [] arccos ,θ=?x y y x 为x 与y 的夹角.当［x ，y ］＝０时，称x 与y 正交. 显然，n 维零向量与任意n 维向量正交. 称一组两两正交的非零向量组为正交向量组. 定理1 若n 维非零向量12r ,, ,ααα为正交向量组，则它们为线性无关向量组. 证 设有12r ,, ,λλλ使1 r i i i λ.==∑0α，分别用k α与上式两端作内积(k ＝１，２，…，r )，即得 k λ[][]0k k k ,.ααα==,0 线性代数 第一章行列式 一、相关概念 1.行列式——n阶行列式是所有取自不同行不同列的n个元素的乘积 的代数和，这里是1，2，···n的一个排列。当是偶排列时，该项的前面带正号；当是奇排列时，该项的前面带负号，即 (1.1) 这里表示对所有n阶排列求和。式(1.1)称为n阶行列式的完全展开式。 2.逆序与逆序数——一个排列中，如果一个大的数排列在小的数之前，就称这两个数构成一个逆序。一个排列的逆序总是称为这个排列的逆序数。用表示排列的逆序数。 3.偶排列与奇排列——如果一个排列的逆序数是偶数，则称这个排列为偶排列，否则称为奇排列。 4.2阶与3阶行列式的展开——， 5.余子式与代数余子式——在n阶行列式中划去所在的第i行，第j列的元素，剩下的元素按原来的位置排法构成的一个n-1阶的行列式 称为的余子式，记为；称为的代数余子式，记为，即。 6.伴随矩阵——由矩阵A的行列式|A|所有的代数余子式所构成的形如，称为A的伴随矩阵，记作。 二、行列式的性质 1.经过转置行列式的值不变，即→行列式行的性质与列的性质是对等的。 2.两行互换位置，行列式的值变号。特别地，两行相同(或两行成比例)，行列式的值为0. 3.某行如有公因子k，则可把k提出行列式记号外。 4.如果行列式某行(或列)是两个元素之和，则可把行列式拆成两个行列式之和： 5.把某行的k倍加到另一行，行列式的值不变： 6.代数余子式的性质——行列式任一行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和为0 三、行列式展开公式 n阶行列式的值等于它的任何一行(列)元素，与其对应的代数余子式乘积之和，即 |A|按i行展开的展开式 |A|按j列展开的展开式 四、行列式的公式 1.上(下)三角形行列式的值等于主对角线元素的乘积； 2.关于副对角线的n阶行列式的值 3.两个特殊的拉普拉斯展开式：如果A和B分别是m阶和n阶矩阵，则 4.范德蒙行列式 5.抽象n阶方阵行列式公式(矩阵) 若A、B都是n阶矩阵，是A的伴随矩阵，若A可逆，是A的特征值： 线性代数公式大全——最新修订 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90o ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==-g ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； ?A 与E 等价； ?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； 概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确 (),n T A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E οοοββ==??≠≠≠??∈=?可逆 的列（行）向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ， 0总有唯一解 是正定矩阵 R 12,s i A p p p p n B AB E AB E ?? ??? ????? ?? ??=????==?? 是初等阵 存在阶矩阵使得 或 ○ 注：全体n 维实向量构成的集合n R 叫做n 维向量空间. ()A r A n A A A Ax A ολ<=?==不可逆 0的列（行）向量线性相关 0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的?? ?? ?????特征向量 ○ 注 ()()a b r aE bA n aE bA aE bA x οολ+ 12121211 12121222()121 2()n n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ= = -∑ 1 √ 行列式的计算： ①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. ②若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 == ()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O *= =* * =-1（拉普拉斯展开式） ③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④关于副对角线： (1)2 1121 21 1211 1 ()n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* ==- 1 （即：所有取自不同行不 同列的n 个元素的乘积的代数和） ⑤范德蒙德行列式：()1 2 2 22 1211 1112n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏ 111 由m n ?个数排成的m 行n 列的表11 12121 2221 2 n n m m mn a a a a a a A a a a ?? ? ? = ? ? ?? 称为m n ?矩阵.记作：()ij m n A a ?=或m n A ? () 1121112222* 12n T n ij n n nn A A A A A A A A A A A ?? ? ? == ? ? ?? ，ij A 为A 中各个元素的代数余子式. √ 逆矩阵的求法: ① 1 A A A *-= ○注： 1 a b d b c d c a ad bc --????= ? ? --???? 1 主换位副变号 ②、1 11A O A O O B O B ---?? ?? = ? ?????;(主对角分块) ③、1 11O A O B B O A O ---?? ?? = ? ? ???? ;(副对角分块) ④、11111A C A A CB O B O B -----?? -??= ? ????? ;(拉普拉斯) ⑤、 11111A O A O C B B CA B -----???? = ? ?-???? ;(拉普拉斯) 3、矩阵的初等变换与线性方程组 1. 一个m n ?矩阵A ,总可经过初等变换化为标准形,其标准形就是唯 一确定的:r m n E O F O O ??? = ???; 等价类:所有与A 等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵; 对于同型矩阵A 、B ,若()()r A r B A B = ? :; 2. 行最简形矩阵: ①、只能通过初等行变换获得; ②、每行首个非0元素必须为1; ③、每行首个非0元素所在列的其她元素必须为0; 3. 初等行变换的应用:(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换) ①、 若(,)(,)r A E E X :,则A 可逆,且1 X A -=; ②、对矩阵(,)A B 做初等行变化,当A 变为E 时,B 就变成1 A B -, 即:1 (,)(,) c A B E A B - ~ ; ③、求解线形方程组:对于n 个未知数n 个方程Ax b =,如果(,)(,)r A b E x :,则A 可逆,且1 x A b -=; 4. 初等矩阵与对角矩阵的概念: ①、初等矩阵就是行变换还就是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵; XX年考研线性代数重点内容和典型题型总结线性代数在考研数学中占有重要地位，必须予以高度重视.线性代数试题的特点比较突出，以计算题为主，证明题为辅，因此，专家们提醒广大的xx年的考生们必须注重计算能力.线性代数在数学一、二、三中均占22%，所以考生要想取得高分，学好线代也是必要的。下面，就将线代中重点内容和典型题型做了总结，希望对xx年考研的同学 们学习有帮助。 行列式在整张试卷中所占比例不是很大，一般以填空题、选择题 为主，它是必考内容，不只是考察行列式的概念、性质、运算，与行列式有关的考题也不少，例如方阵的行列式、逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组、特征值、正定二次型与正定矩阵等问题中都会涉及到行列式.如果试卷中没有独立的行列式的试题，必 然会在其他章、节的试题中得以体现.行列式的重点内容是掌握计算 行列式的方法，计算行列式的主要方法是降阶法，用按行、按列展开公式将行列式降阶.但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进 行恒等变形，化简之后再展开.另外，一些特殊的行列式(行和或列和相等的行列式、三对角行列式、爪型行列式等等)的计算方法也应掌握.常见题型有：数字型行列式的计算、抽象行列式的计算、含参数 的行列式的计算.关于每个重要题型的具体方法以及例题见《xx年全国硕士研究生入学统一考试数学120种常考题型精解》。 矩阵是线性代数的核心，是后续各章的基础.矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代数的始终.这部分考点较多，重点考点有逆矩阵、伴 随矩阵及矩阵方程.涉及伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩及包含伴随矩阵的矩阵方程是矩阵试题中的一类常见试题.这几年还经常出现有关初等变换与初等矩阵的命题.常见题型有以下几种：计算方阵的幂、与伴随矩阵相关联的命题、有关初等变换的命题、有关逆矩阵的计算与证明、解矩阵方程。 向量组的线性相关性是线性代数的重点，也是考研的重点。xx年的考生一定要吃透向量组线性相关性的概念，熟练掌握有关性质及判定法并能灵活应用，还应与线性表出、向量组的秩及线性方程组等相联系，从各个侧面加强对线性相关性的理解.常见题型有：判定向量组的线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量能否由一向量组线性表出、向量组的秩和极大无关组的求法、有关秩的证明、有关矩阵与向量组等价的命题、与向量空间有关的命题。 往年考题中，方程组出现的频率较高，几乎每年都有考题，也是线性代数部分考查的重点内容.本章的重点内容有：齐次线性方程组有非零解和非齐次线性方程组有解的判定及解的结构、齐次线性方程组基础解系的求解与证明、齐次(非齐次)线性方程组的求解(含对参数取值的讨论).主要题型有：线性方程组的求解、方程组解向量的判别及解的性质、齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的通解结构、两个方程组的公共解、同解问题。 特征值、特征向量是线性代数的重点内容，是考研的重点之一，题多分值大，共有三部分重点内容：特征值和特征向量的概念及计算、方阵的相似对角化、实对称矩阵的正交相似对角化.重点题型有：数 1、行列式 1. n 行列式共有2 n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1) (1) i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1) 2 1 (1) n n D D -=-；(1) 2 2 (1) n n D D -=- 将D 顺时针或逆时针旋转90 ，所得行列式为2D ，则； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4 D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1) m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1 (1) n n k n k k k E A S λλλ -=-=+ -∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明 A =的方法： ①、 A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ? 齐次方程组0 Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； ?A 与E 等价； ?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； 考研数学线性代数行列式的计算方法考研数学线性代数行列式的计算方法 一、基本内容及历年大纲要求。 本章内容包括行列式的定义、性质及展开定理。从整体上来看，历年大纲要求了解行列式的概念，掌握行列式的性质，会应用行列 式的性质及展开定理计算行列式。不过要想达到大纲中的要求还需 要考生理解排列、逆序、余子式、代数余子式的概念，以及性质中 的相关推论是如何得到的。 二、行列式在线性代数中的地位。 行列式是线性代数中最基本的运算之一,也是考生复习考研线性 代数必须掌握的基本技能之一(另一项基本技能是求解线性方程组)，另外，行列式还是解决后续章节问题的一个重要工具，不论是后续 章节中出现的重要概念还是重要定理、解题方法等都与行列式有着 密切的联系。 三、行列式的计算。 由于行列式的计算贯穿整个学科，这就导致了它不仅计算方法灵活，而且出题方式也比较多变，这也是广大考生在复习线性代数时 面临的第一道关卡。虽然行列式的计算考查形式多变，但是从本质 上来讲可以分为两类：一是数值型行列式的计算;二是抽象型行列式 的计算。 1.数值型行列式的计算 主要方法有： (1)利用行列式的定义来求，这一方法适用任何数值型行列式的 计算，但是它计算量大，而且容易出错; (2)利用公式，主要适用二阶、三阶行列式的计算; (3)利用展开定理，主要适用出现零元较多的行列式计算; (4)利用范德蒙行列式，主要适用于与它具有类似结构或形式的行列式计算; (5)利用三角化的思想，主要适用于高阶行列式的计算，其主要思想是找1，化0，展开。 2.抽象型行列式的计算 主要计算方法有： (1)利用行列式的性质，主要适用于矩阵或者行列式是以列向量的形式给出的; (2)利用矩阵的运算，主要适用于能分解成两个矩阵相乘的'行列式的计算; (3)利用矩阵的特征值，主要适用于已知或可以间接求出矩阵特征值的行列式的计算; (4)利用相关公式，主要适用于两个矩阵相乘或者是可以转化为两个矩阵相乘的行列式计算; (5)利用单位阵进行变形，主要适用于既不能不能利用行列式的性质又不能进行合并两个矩阵加和的行列式计算。 我们究竟该做多少年的真题? 建议大家在刚开始复习的时候，不要去做真题，因为以你刚开始复习的程度还不足以支撑起真题的难度和深度。我们做真题的时间是在我们的强化阶段结束之后，也就是提高阶段和冲刺模考去做真题。 应该怎么样去做真题? 第一：练习重质不重量 线性代数公式必记 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90 ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； 线性代数性质公式整 的乘积 的代数和，这里帘汀?是1, 2,?n ?的一个排列。当? 是偶排列时，该项的 前面带正号；当 是奇排列时，该项的前面带负号，即 | 釦1 a l2 V 这里. 表示对所有n 阶排列求和。式（1.1）称为n 阶行列式的完全展开式 2. 逆序与逆序数 ——一个排列中，如果一个大的数排列在小的数之前，就称这 两个数构成一个逆序。一个排列的逆序总是称为这个排列的逆序数。用 表示排列 '的逆序数。 3. 偶排列与奇排列一一如果一个排列的逆序数是偶数，则称这个排列为偶排 列，否则称为奇排列 忖h 4.2阶与3阶行列式的展开一 |匚d =ad - he a 21 a 22 也 3 对1 日32 ^33 =^^22333 + ^12a 23^31 + a 13a 21a 32 _ a 13a 22a 31 ~ 312^21^33 _ a ll a 23 a 32 、相关概念 1?行列式 线性代数 第一章行列式 町1 31? a 22 … di ?1!| ? |i gi f di f ■ ■1 P ? a n i 鈿.2 a t]n 是所有取自不同行不同列的 n 阶行列式 n 个元素 行，第j 列的元素，剩下的元素按原来的位置排法构成的一个 n-1阶的行列式 6.伴随矩阵一一由矩阵A 的行列式|A|所有的代数余子式所构成的形如 、行列式的性质 1. 经过转置行列式的值不变，即I ：l A l'k 行列式行的性质与列的性质是对等 的。 2. 两行互换位置，行列式的值变号。特别地，两行相同 （或两行成比例），行列式 的值为0. 3. 某行如有公因子k ,则可把k 提出行列式记号外。 4. 如果行列式某行（或列）是两个元素之和，则可把行列式拆成两个行列式之和: 5.把某行的k 倍加到另一行，行列式的值不变: pi 岂为 a l 旳 b ］帕 b :t =b t + 斶 b? + kaj b$ + 1“巳5 1 c i “ 卬 6.代数余子式的性质一一行列式任一行元素与另一行元素的代数余子式乘积 5.余子式与代数余子式——在n 阶行列式 日12… ^22 … 屯】】 4)-| * || || * 甲章■ ■1 p III 釘2 … a t ］n an - 日］』1 1 … … … … a i - 14 …a i -1J- 1 邳Li 丰 a i + u …+ i,j -1 a i + 1.| + *** *** … 2［订 … ^ll,j -1 a IIJ +1 （-1）2叫为％的代数余子式，记为 ?1 - Ln + Im Aij 称为呦的余子式，记为 ，即A 产（-1严叫 ii ；称 A 】 】 A12 A21 … A 22 ...A (2) A lllv ,称为A 的伴随矩阵，记作… 中划去所在的第i 考研数学线性代数常用公式 数学考研考前必背常考公式集锦。希望对考生在暑期的复习中有所帮助。本文内容为线性代数的常考公式汇总。 1、行列式的展开定理 行列式的值等于其任何一行（或列）所有元素与其对应的代数余子式乘积之 和，即 C 的 3、设A 为n 阶方阵，*A 为它的伴随矩阵则有**==AA A A A E . 设A 为n 阶方阵，那么当AB =E 或BA =E 时，有1-B =A 4、 对单位矩阵实施一次初等变换得到的矩阵称之为初等矩阵.由于初等变换有三种，初等矩阵也就有三种： 第一种：交换单位矩阵的第i 行和第j 行得到的初等矩阵记作ij E ，该矩阵也 可以看做交换单位矩阵的第i 列和第j 列得到的.如1,3001010100?? ?= ? ?? ?E . 第二种：将一个非零数k 乘到单位矩阵的第i 行得到的初等矩阵记作()i k E ；该矩阵也可以看做将单位矩阵第i 列乘以非零数k 得到的.如 2100(5)050001?? ?-=- ? ?? ?E . 第三种：将单位矩阵的第i 行的k 倍加到第j 行上得到的初等矩阵记作()ij k E ；该矩阵也可以看做将单位矩阵的第j 列的k 倍加到第i 列上得到的.如 3,2100(2)012001?? ?-=- ? ??? E . 注： 1）初等矩阵都只能是单位矩阵一次初等变换之后得到的. 2）对每个初等矩阵，都要从行和列的两个角度来理解它，这在上面的定义中已经说明了.尤其需要注意初等矩阵()ij k E 看做列变换是将单位矩阵第j 列的k 倍加到第i 列，这一点考生比较容易犯错. 5、矩阵A 最高阶非零子式的阶数称之为矩阵A 的秩，记为()r A . 1）()()(),0r r r k k ==≠T A A A ； 2）()1r ≠?≥A O A ； 3）()1r =?≠A A O 且A 各行元素成比例； 4）设A 为n 阶矩阵，则()0r n =?≠A A . 6、线性表出 设12,,...,m ααα是m 个n 维向量，12,,...m k k k 是m 个常数，则称1122...m m k k k ααα+++为向量组12,,...,m ααα的一个线性组合. 设12,,...,m ααα是m 个n 维向量，β是一个n 维向量，如果β为向量组 线性代数公式大全 1、行列式 1. n 行列式共有2 n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式：A O A C A B C B O B ==、(1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 5. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1) n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 6. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； ?A 与E 等价； ?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ?A 的特征值全不为0； ?T A A 是正定矩阵； ?A 的行（列）向量组是n R 的一组基； ?A 是n R 中某两组基的过渡矩阵； 2. 对于n 阶矩阵A ：* * AA A A A E == 无条件恒成立； 3. 1* *1 11**()()()()()()T T T T A A A A A A ----=== * * * 1 1 1 ()()()T T T AB B A AB B A AB B A ---=== 4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆： 若12 s A A A A ?? ? ?= ? ?? ? ，则： Ⅰ、12s A A A A = ； Ⅱ、1 1112 1s A A A A ----?? ? ?= ? ? ?? ? ； ②、1 11A O A O O B O B ---?? ?? = ? ????? ；（主对角分块） ③、1 11O A O B B O A O ---?? ??= ? ? ???? ；（副对角分块） ④、1 1111A C A A CB O B O B -----?? -?? = ? ????? ；（拉普拉斯） ⑤、1 111 1A O A O C B B CA B -----?? ?? = ? ?-???? ；（拉普拉斯） 3、矩阵的初等变换与线性方程组 1. 一个m n ?矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：r m n E O F O O ???= ???； 等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B = ? ； 2. 行最简形矩阵： 考研数学线代定理公式汇总 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 3 概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确 (),n T A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E οοοββ==??≠≠≠??∈=?可逆 的列（行）向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ， 0总有唯一解 是正定矩阵 R 12,s i A p p p p n B AB E AB E ?? ??? ????? ?? ??=????==?? 是初等阵 存在阶矩阵使得 或 ○ 注：全体n 维实向量构成的集合n R 叫做n 维向量空间. ()A r A n A A A Ax A ολ<=?==不可逆 0的列（行）向量线性相关 0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的?? ?? ?????特征向量 ○ 注 ()()a b r aE bA n aE bA aE bA x οολ+ 4 ? ? ????? →???? :;具有 向量组等价矩阵等价()反身性、对称性、传递性矩阵相似()矩阵合同() √ 关于12,,,n e e e ???： ①称为n ? 的标准基，n ? 中的自然基，单位坐标向量87p 教材； ②12,,,n e e e ???线性无关； ③12,,,1n e e e ???=； ④tr =E n ； ⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ???线性表示. 行列式的定义 1212121112121222() 1212()n n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ= =-∑ L L L L L M M M L 1 √ 行列式的计算： ①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. 从近几年的真题来看，数学线性代数出题没有过多的变化，2014年的考研[微博]学子们，如何做到在千军万马中胜出，需要我们提前准备，更要做到心中有数，下面跨考教育[微博]数学教研室张老师就考研中线性代数部分的复习重点 在考前再给大家梳理一遍。 一、行列式与矩阵 第一章《行列式》、第二章《矩阵》是线性代数中的基础章节，有必要熟练 掌握。 行列式的核心内容是求行列式，包括具体行列式的计算和抽象行列式的计 算，其中具体行列式的计算又有低阶和高阶两种类型；主要方法是应用行列式的性质及按行列展开定理化为上下三角行列式求解。对于抽象行列式的求值，考点不在求行列式，而在于相关性质，矩阵部分出题很灵活，频繁出现的知识点包括矩阵运算的运算规律、运算性质、矩阵可逆的判定及求逆、矩阵的秩的性质、初 等矩阵的性质等。 二、向量与线性方程组 向量与线性方程组是整个线性代数部分的核心内容。相比之下，行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节；后两章特征值、特征向量、二次型的内容则相对独立，可以看作是对核心内容的扩展。 向量与线性方程组的内容联系很密切，很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性。复习这两部分内容最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系，因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解，同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。 解线性方程组可以看作是出发点和目标。线性方程组(一般式) 还具有两种形式：(1)矩阵形式，(2)向量形式。 1)齐次线性方程组与线性相关、无关的联系 齐次线性方程组可以直接看出一定有解，因为当变量都为零时等式一定成立；印证了向量部分的一条性质“零向量可由任何向量线性表示”。 齐次线性方程组一定有解又可以分为两种情况：①有唯一零解；②有非零解。当齐次线性方程组有唯一零解时，是指等式中的变量只能全为零才能使等式成 立，而当齐次线性方程组有非零解时，存在不全为零的变量使上式成立；但向量部分中判断向量组是否线性相关无关的定义也正是由这个等式出发的。故向量与线性方程组在此又产生了联系：齐次线性方程组是否有非零解对应于系数矩阵的列向量组是否线性相关。可以设想线性相关无关的概念就是为了更好地讨论线 性方程组问题而提出的。 线性代数公式大全 第一章 行列式 1．逆序数 1.1 定义 n 个互不相等的正整数任意一种排列为：12n i i i ???，规定由小到大为标准次序，当某两个元素的先后次序与标准次序不 同时，就说有一个逆序数，该排列全部逆序数的总合用()12n i i i τ???表示，()12n i i i τ???等于它所有数字中后面小于前面 数字的个数之和。 1.2 性质 一个排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性，即 ()211ττ=-。 证明如下： 设排列为111l m n a a ab b bc c L L L ，作m 次相邻对换后，变成111l m n a a abb b c c L L L ，再作1m +次相邻对换 后，变成111l m n a a bb b ac c L L L ，共经过21m +次相邻对换，而对不同大小的两元素每次相邻对换逆序数要么增加1 ， 要么减少1 ，相当于()211ττ=-，也就是排列必改变改变奇偶性，21m +次相邻对换后() ()21 21111m τττ+=-=-， 故原命题成立。 2．n 阶行列式的5大性质 性质1：转置（行与列顺次互换）其值不变。 性质2：互换任意两行（列）其值变号。 性质3：任意某行（列）可提出公因子到行列式符号外。 性质4：任意行列式可按某行（列）分解为两个行列式之和。 性质5：把行列式某行（列）λ倍后再加到另一行（列），其值不变。 行列式的五大性质全部可通过其定义证明；而以后对行列式的运算主要是利用这五个性质。 对性质4的重要拓展： 设n 阶同型矩阵， ()()(); ij ij ij ij A a B b A B a b ==?+=+，而行列式只是就某一列分解，所以，A B +应当 是2n 个行列式之和，即A B A B +≠+。 韦达定理的一般形式为： 1、行列式 1. n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、A j和a^的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为 A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：M ij （ 1）i j A ij A ij （ 1）i j M ij 4. 设n行列式D : n（n 1）n（n 1）将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D!，则U （ 1）F D；D2 （ 1L D 将D顺时针或逆时针旋转90o，所得行列式为D2，贝U； 将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为D3，则D3 D ； 将D主副角线翻转后，所得行列式为D4，则D4 D ； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； n（n 1） ②、副对角行列式：副对角元素的乘积（1）h ； ③、上、下三角行列式（、i ）:主对角元素的乘积; n （n 1） ④、匚和丄：副对角元素的乘积（1）F ； ⑤、拉普拉斯展开式: A||B、(1)mgn A B ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； n 6. 对于n阶行列式A，恒有：E A n（1）W nk，其中S k为k阶主子式; k 1 7. 证明A 0的方法： ①、A A ； ②、反证法； ③、构造齐次方程组Ax 0，证明其有非零解； ④、利用秩，证明r（A） n ; ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A是n阶可逆矩阵： A 0 （是非奇异矩阵）； r（A） n （是满秩矩阵） A的行（列）向量组线性无关； 齐次方程组Ax 0有非零解； b R n，Ax b总有唯一解； 线性代数必考知识点 一、行列式 1、逆序数 一个排列n i i i i ,,,321若有类似21i i 时，我们称21i i 组成一个逆序。一个排列中逆序总的个数之和称为逆序数，记为)(21n i i i 2、行列式性质 (1) 行列式行列互换，其值不变，即T A A (2) 行列式两行或两列互换，其值反号。 (3) 行列式某行或某列乘以k 等于行列式乘以k 。 (4) 行列式某行货某列乘以k 加到另一行或列上，行列式值不变。 (5) 行列式两行或两列对应成比例，则行列式为零。 (6) 行列式某行或某列元素为零，则行列式为零。 (7) 上、下三角行列式其值为主对角线上元素乘积。 (8) 行列式值等于对应矩阵所有特征值的乘积，即n A 21 (9) 齐次线性方程组0 Ax 有非零解n A r A )(0 3、行列式行列展开定理 (1) 余子式ij j i ij A M )1( (2) 代数余子式ij j i ij M A )1( 4、三阶行列式展开公式 33211232231131221332211331231233221133 32 3123222113 1211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 二、矩阵 1、矩阵运算 (1) 矩阵加减法即是将对应元素进行加减。 (2) 矩阵乘法是将对应行与对应列元素相乘再相加。 (3) 矩阵除法是乘以逆矩阵。 (4) 矩阵加减法满足交换律、结合律，乘法满足结合律、分配率。 (5) n 阶方阵一般可以有1*,,, A A A A T 四大基本矩阵运算 2、矩阵的行列式 (1) A k kA A A n T , (2) A B B A BA AB 3、矩阵转置 (1) T T T T T T T T T T A B AB kA kA B A B A A A )(,)(,)(,)( (2) **11)()(,)()(T T T T A A A A 概率论公式大全（2010版） 1．随机事件及其概率 吸收律：A AB A A A A =?=??Ω=Ω?)( A B A A A A A =???=??=Ω?)( )(AB A B A B A -==- 反演律：B A B A =? B A AB ?= n i i n i i A A 11=== n i i n i i A A 11=== 2．概率的定义及其计算 )(1)(A P A P -= 若B A ? )()()(A P B P A B P -=-? 对任意两个事件A , B , 有 )()()(AB P B P A B P -=- 加法公式：对任意两个事件A , B , 有 )()()()(AB P B P A P B A P -+=? )()()(B P A P B A P +≤? )()1()()()()(2111111n n n n k j i k j i n j i j i n i i n i i A A A P A A A P A A P A P A P -≤<<≤≤<≤==-+++- =∑∑∑ 3．条件概率 ()=A B P ) ()(A P AB P 乘法公式 ())0)(()()(>=A P A B P A P AB P ()() ) 0)(()()(12112112121>=--n n n n A A A P A A A A P A A P A P A A A P 全概率公式 ∑==n i i AB P A P 1)()( )()(1i n i i B A P B P ?=∑= Bayes 公式 )(A B P k )()(A P AB P k = ∑==n i i i k k B A P B P B A P B P 1 ) ()()()( 4．随机变量及其分布 分布函数计算 ) ()()()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤< 5．离散型随机变量 (1) 0 – 1 分布 1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k (2) 二项分布 ),(p n B 若P ( A ) = p n k p p C k X P k n k k n ,,1,0,)1()( =-==- *Possion 定理 0lim >=∞ →λn n np 有 ,2,1,0!)1(l i m ==---∞→k k e p p C k k n n k n k n n λλ (3) Poisson 分布 )(λP ,2,1,0,!)(===-k k e k X P k λλ 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90o ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==-g ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； 基本运算 ①A + B =B +A ② (A + B )+C =A +(B +C ) ③ c(A + B )=cA +cB (c + d A = cA +dA ④ c(dA )=(cd A ⑤cA = 0二 c=0或 A=0。 (A T T =A (A±B y =A T ±B T (cA T = C (A T L (AB T =B T A T T(n (n —1)"21)=C j = n (n ~1) 2 逆值变A 」 CA =c n Ct , P l + P 2, 丫 = P i ,Y y p 2,Y A =?1,^2,^3 ), 3 阶矩阵 B =(3l, 02,卩3 ) A + B | H |A +|B | 线性代数全公式 B + P l ?2 +P 233+P 3 D = a 21A 21 + a 22A 2^ ^a 2n A Zn 转置值不变 A T =A A + B =(% + P l,% +6,03 +P 3) E(i,j(c)“1 I 有关乘法的基本运算 C ij =a ii b ij +a i2b2j + …+a in b nj 线性性质(A t + 民B=A1B +A2B , A(Bi + B2 )= AB i + AB2 (cAB =c(AB )= A(cB )结合律(AB C = A(BC ) (AB T =B T A T AB| =|A|B .k .l . k + A A =A (A k} A kl （AB （=A k B k不一定成立! A(kE )= kA , (kE A = kA AB = E u BA = E 与数的乘法的不同之处 （AB；= A k B k不一定成立! 无交换律因式分解障碍是交换性 一个矩阵A的每个多项式可以因式分解，例如 2 A —2A-3E =(A—3E )(A + E ) 无消去律（矩阵和矩阵相乘） 当AB = 0时口A = 0或B=0 由AH0和AB =0= B=0 由AH0时AB=ACx B=C （无左消去律）特别的设A可逆，则A 有消去律。 左消去律：AB = AC二B = C。右消去律：BA = CA=B=C。 如果A列满秩，则A有左消去律，即 ①AB =0= B =0 ②AB = AC = B = C线性代数性质公式
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